8 Mtoda ojętości skończonch Mtoda ojętości skończonch lu ojętości kontrolnch oszarów kontrolnch została zudowana na zasadzi osłainia warunków opisanch rozwiązwanm równanim różniczkowm. Zamiast spłninia warunku w dowolnm punkci oszaru żądam, a został on spłnion w sposó całkow w małm oszarz kontrolnm. Duża dowolność kształtowania tch oszarów powoduj łatwość gnrowania odpowidnich równań wznaczającch wartości węzłow poszukiwanj funkcji. Z tgo powodu mtod ojętości skończonch wparł w większości zastosowań praktcznch zaprzntowaną w poprzdnim punkci mtodę różnic skończonch. Rs. 8. Oszar kontroln zudowan wokół węzła siatki D Z względu na sposó wirania oszaru kontrolngo mtod ojętości skończonch można wróżnić dwa podjścia: oszar kontroln zudowan jst wokół węzła siatki rs. 8., oszar kontroln równoważn jst komórc siatki rs. 8.. W pirwszm przpadku niwiadommi ędą wartości funkcji w węzłach siatki a oszar kontroln zudowan jst przz połączni krawędziami środków komórk o wspólnm węźl, jak na rs. 8., lu przz utworzni innj, podrzędnj siatki rozdzilającj oszar kontroln poszczgólnch węzłów. Podjści drugi powoduj, ż niwiadommi są wartości funkcji w punktach środkowch najczęścij są to środki ciężkości komórk rs. 8., 8.4. Wznaczani wartości pośrdnich, lżącch międz węzłami siatki odwa się tu zwkl mtodą intrpolacji liniowj lu przz uśrdnini sąsidnich wartości. Możliw jst 8-
jdnak jawn wprowadzni dowolnj funkcji intrpolacjnj analogiczni jak ma to mijsc w Mtodzi Elmntów Skończonch, co nazwan jst zwkl mtodą hrdową. Zastosowani mtod pokazan zostani na przkładzi rozwiązania równania Poissona w oszarz D. 8.. Oszar kontroln zudowan wokół węzła siatki Jako przkład ilustrując zastosowani mtod ojętości skończonch kontrolnch wirzm rozwiązani dorz znango równania Poissona 8.9, któr traz zapiszm w nico innj postaci: u u p,. 8. Całkując to równani w oszarz kontrolnm, otrzmam: u, u, p, d, 8. gdzi oznaczono u, u, u, u. Stosując twirdzni Gaussa-Ostrogradskigo można wrazić całkę powirzchniową lu ojętościową gd rozwiązujm zadani D w oszarz przz całkę oliczoną na konturz lu powirzchni oszaru: u, n u, n d p, d, gdzi oznacza rzg oszaru, a n i n są składowmi wktora normalngo do tgo rzgu. Wrażając pirwszą całkę prz pomoc sum oraz zastępując pochodn ilorazami różnicowmi otrzmam: u u n n p, d, 8.4 gdzi oznacza sumowani różnic skończonch na wszstkich odcinkach rzgu oszaru. Drugą całkę można oliczć dowolną mtodą numrczną np. stosując kwadraturę Gaussa. Wrażając ją w najprostszj postaci mam: p, d p, gdzi p oznacza śrdnią wartość p, w oszarz 8. 8-
4 n 4 4 n 4 5 n 4 5 n 5 5 4 n n 5 n 5 n n n Rs. 8. Oszar kontroln w postaci -cio oku a rs. 8. przdstawion jst oszar kontroln w postaci dzisięciooku otaczającgo węzł. Zakładając, ż składowa normalna wktora gradintu: du/dn a jst stała na ou odcinkach rzgu, i i, sąsiadującch krawędzią -i, otrzmam: gdzi: u n a i u n i a i i u u i i i, 8.5 i. 8.6 i i W równaniu tm wliminowan został składow normalnj dzięki związkom: a i a i a a a n, i i n, i i a, i i a, i i a n, i i n, i i, i i. Smolm oznaczono liczę krawędzi siatki przchodzącch przz węzł =5 dla przpadku przdstawiongo na rs. 8., indks a oznacza wirzchołk oszaru kontrolngo lżąc w części poprzdzającj krawędź -i, a wirzchołk w części następnj. 8-
Rozwiązując zadani idntczn z opisanm w punkci otrzmam zgodni z oznaczniami podanmi na rsunku 8. : a, p p a a a a 8 7, 8 9, a a a a a a 8, 8 5, a a gdzi zrowmi wartościami zastąpion został iloraz tpu / co odpowiada znikaniu ilocznu skalarngo wktora gradintu i wktora normalngo. 6 9 5 8 9 5 4 8 5 n 8 5 n 8 7 8 7 n 8 7 8 n 8 8 7 4 Rs. 8. Kwadratow oszar kontroln węzła r 8 Zapisując traz równani 8.5 dla oszaru zudowango wokół węzła r 8 otrzmam po uwzględniniu związków 8.5 i 8.5 równani: u 7 u 8 8,7 + u u 8 8, + u 9 u 8 8,9 + u 5 u 8 8,5 = a p, 8.7 któr po uporządkowaniu przjmi postać: u 5 + u 7 + u 9 + u 4u 8 = a p, 8.8 idntczną z równanim 8.. 8-4
Podoni zapisując równania dla węzłów r 5 i otrzmam związki 8. i 8.4, któr po uwzględniniu warunków rzgowch dadzą to samo rozwiązani, któr podan zostało w rozdzial poświconm mtodzi różnic skończonch. W przpadku ortogonalnj siatki dskrtzującj oszar rozwiązania mtoda ojętości skończonch staj się idntczna z mtodą różnic skończonch. 8.. Oszar kontroln równoważn komórc siatki a rs. 8. przdstawion jst oszar kontroln, którm jst komórka ograniczona krawędziami siatki dskrtzującj oszar rozwiązania. iwiadommi w tm przpadku są wartości funkcji u, w punktach środkowch A, B, C, D.. lżącch w wnętrzu komórk: u A, u B, u C, u D. Wartości węzłow, wstępując u u u u w oszarach czworokątnch lu w równaniach, olicza się zwkl najprostszą mtodą uśrdniając sąsidni wartości : u A 4 4 u u u w oszarach trójkątnch. u A C D E B A G F n A n n Rs. 8. Oszar kontroln równoważn komórc siatki D Równani 8.5 pozostaj tu dalj w moc, al szczgółow wraz sum ędą traz odminn od 8.5, 8.5. Dla przkładu, gd oszar kontroln jst czworokątm rs. 8.4 mam 8-5
8-6 D C B A u u n u n u,,,, 8.9 gdzi O O. 8. Oliczając najprostszm sposom współrzędn punktów środkowch uśrdniając współrzędn sąsiadującch węzłów siatki otrzmam: i i, i i, 4 4, A A,, B B,, C C, 4 4, D D. Pozwala to ułożć równania dla wszstkich punktów środkowch, lżącch wwnątrz siatki. Rs. 8.4 Czworokątn oszar kontroln A D C E H G F O B O 4 n A n D n C n B A B C D
8.. Podjści wzorowan na Mtodzi Elmntów Skończonch Biorąc oszar kontroln utworzon wokół węzła siatki i wprowadzając jawni funkcj aproksmując otrzmam wrsję Mtod Ojętości Skończonch Kontrolnch podoną do Mtod Elmntów Skończonch MES. Analogia okazuj się jszcz liższa gd zastosujm sposó udowania agrgacji układu równań, w którm udujm macirz współcznników w koljności oczk siatki lmntów co pozwala utworzć macirz gomtrczn analogiczni jak tworzon są macirz sztwności w MES por. Podgórski, Błazik-Borowa []. Podjści to pokażm na przkładzi trójkątngo oraz prostokątngo lmntu siatki zastosowango do opisango poprzdnio równania Poissona. W książc T. J. Chunga [] można znalźć przkład zastosowania lmntu czworokątngo, o dowolnm kształci, co możliw jst po wprowadzniu ukośnokątnch, lokalnch układów współrzędnch. Wrazim poszukiwaną funkcję u, w oszarz lmntu u,, przz sumę ilocznów wartości węzłowch u i i funkcji aproksmującch i,: u Lw,, u, 8. i i i gdzi Lw oznacza liczę węzłów lmntu. Funkcj t w mtodzi lmntów skończonch noszą nazwę funkcji kształtu por. Zinkiwicz [97], [994] oraz Podgórski, Błazik-Borowa [] lu funkcji prónch por. Chung []. Po podstawiniu tgo wrażnia do 8.49 otrzmam całkę po rzgu oszaru kontrolngo zudowango wokół węzła k : k Lw i k n n u d i, i, i k Lw i G ki u i k g k, 8. gdzi górn indks oznaczają numr lmntu połączongo z rozważanm węzłm k, jst numrm pirwszgo lmntu a k numrm ostatnigo lmntu połączongo z węzłm, k fragmntm owodu oszaru kontrolngo wokół węzła k, nalżącgo do lmntu. W równaniu 8.58 oznaczono: Gki i, n i, n k d, oraz g k Lw i G ki u i. Składow lmntu, na wartość całki po rzgu oszaru kontrolngo utworzongo wokół węzła k, składowa lmntu w tj całc równani 8.49. Gki macirz gomtrcznj G oznaczają wpłw i-tgo węzła g k wktora węzłowgo g, jst udziałm całgo 8... Elmnt trójkątn Przjmujm liniow funkcj kształtu: i, = a i + a i + a i, gdzi stał a i, a i, a i są tak doran a funkcja i, przirała w węźl i wartość jdnostkową i zrow wartości w pozostałch węzłach lmntu. Warunk tn można wrazić w zwięzłj postaci następująco: i,, 8. j j ij 8-7
gdzi dlta Kronckra ij = gd i = j, lu gd i j. Przjęci liniowj kształtu pozwala łatwo oliczć wartość całki w równaniu 8.58: G a i nk ai nk k ki, 8.4 gdzi k oznacza tą część owodu oszaru kontrolngo wokół węzła k, która nalż do lmntu, a n k, n k są składowmi wktora normalngo do tgo rzgu, sumowani odwa się po wszstkich odcinkach rzgu. n n _ h n n n n a Rs. 8.5 Elmnt trójkątn i lokaln układ współrzędnch Oliczm traz wartości składowch G ki macirz gomtrcznj lmntu trójkątngo pokazango na rs. 8.5. Tak przjęt lokaln układ współrzędnch daj następując wartości stałch a funkcji, : a =, a =, a =/h, gdzi h jst wsokością trójkąta poprowadzoną z wirzchołka. Poniważ fragmnt rzgu oszaru kontrolngo wokół węzła, nalżąc do jdngo lmntu składa się z dwóch odcinków o długości i to składowa G sum 8.6 w oszarz lmntu trójkątngo oliczona dla funkcji, ma wartość: n n ctg ctg G, 8.5 h h 8-8
8-9 gdzi jst długością oku lżącgo naprzciw wirzchołka, i są kątami trójkąta lżącmi prz węzłach i. Podon olicznia dla fragmntu rzgu wokół węzła dają: ctg cos h n n h G, 8.6 ctg cos h n n h G, 8.7 gdzi i są długościami oków lżącch naprzciw wirzchołków i. Podon olicznia nalż przprowadzić dla funkcji kształtu, oraz,. Zirając wszstki oliczon składow w macirz otrzmam zalżność: g = G u, 8.8 lu w postaci rozwiniętj: u u u c c c c c c c c c c c c g g g, 8.9 gdzi c i = ctg i, a wktor u = [u i ] zawira wartości węzłow poszukiwanj funkcji u, w węzłach sąsiadującch z lmntm. 8... Elmnt prostokątn Równania 8.57 i 8.58 pozostają równiż w moc dla innch tpów lmntów. Pokażm traz przkład wznaczania macirz gomtrcznj G lmntu prostokątngo o okach,, któr pokazan jst na rs. 8.6. Funkcj kształtu i,, gdzi i=..4 jst lokalnm numrm węzła lmntu, powinn spłniać warunk 8.59. ajprostszą postacią takij funkcji jst wilomian postaci:,= a + a + a + a, któr można otrzmać iorąc iloczn funkcji liniowch: = /, =, = /, =. Odpowidni wilomian przjmują wtd postać:, =,, =,, =, 4, =. 8.
8-4 n = n = = / = / Rs. 8.6a Elmnt prostokątn o okach. Zaznaczono rzg oszaru kontrolngo wokół węzła A wznaczć składow macirz gomtrcznj G nalż wkonać całkowania opisan równaniami 8.. Wkonajm traz szczgółow olicznia składowch pirwszgo wirsza macirz G :.5.5,,,, d d d d d n n G 8.5.5,
8-4 n = n =- = / = / Rs. 8.6 Elmnt prostokątn o okach. Zaznaczono rzg oszaru kontrolngo wokół węzła..5.5,,,, d d d d d n n G 8..5.5,
8-4 n = - n =- = / = / Rs. 8.6c Elmnt prostokątn o okach. Zaznaczono rzg oszaru kontrolngo wokół węzła..5..5,,,, d d d d d n n G 8..5..5,
8-4 n = - n = = / = / Rs. 8.6d Elmnt prostokątn o okach. Zaznaczono rzg oszaru kontrolngo wokół węzła 4.5..5,,,, 4 d d d d d n n G 8.5..5. Po wkonaniu pozostałch całkowań w oszarz lmntu otrzmujm macirz gomtrczną G lmntu prostokątngo w postaci: G = 8, 8. gdzi,.
W przpadku siatki o oczkach kwadratowch mam: =, =, macirz gomtrczna znaczni się upraszcza: G = 4 8.a. 8... Przkład tworznia układu równań Wniki otrzman w równaniach 8.9 i 8. posłużą traz do porównania różnch postaci układu równań, któr otrzmujm w clu wznaczania wartości węzłowch u i poszukiwanj funkcji u, stosując opisan tp lmntów. Posłużm się w tm clu tm samm przkładm, któr uprzdnio rozwiązan został mtodą różnic skończonch oraz mtodą ojętości skończonch w p. 8... a 6 9 5 6 9 5 a 5 8 4 5 8 4 4 7 4 7 a lmnt siatka r c siatka r Rs. 8.7 Elmnt trójkątn oraz dwi różn siatki dskrtzując oszar rozwiązania Elmnt trójkątn o okach: a, a, a i powirzchni A, pokazan na rsunku 8.7a. Wartości kotangnsów wnoszą: c = ctg =, c = ctg =, c = ctg =. Macirz gomtrczna tgo lmntu jst zatm równa: G =. 8-4 a
Budując oszar kontroln wokół węzła r 8 rs. 8.7 otrzmam: 4 g 8 = p, lu w postaci rozwiniętj:,5 u 5 + u 7 u 8 +,5 u 7 + u u 8 + +,5 u + u 9 u 8 +,5 u 9 + u 5 u 8 = p, 8. któr po uporządkowaniu przjmi postać: u 5 + u 7 + u 9 + u 4u 8 = p, 8. A podoną do otrzmanj w równaniu 8.. Wilkość oszaru kontrolngo jst tu nico mnijsza niż w równaniu 8. i wnosi 4 a. A 4 Przjmując siatkę lmntów o nico innm kształci rs. 8.7c otrzmam 8 a, a zatm więcj niż w równaniu 8.. Wartość śrdnia oszarów kontrolnch ou siatk jst równa =a, tzn. tl il oliczona w równaniu 8.. Elmnt kwadratow o oku a, zastosowan do dskrtzacji tgo samgo oszaru daj znaczni ardzij rozudowan układ równań, co spowodowan jst wższm stopnim wilomianu intrpolacjngo zastosowango jako funkcja kształtu tgo lmntu por. równani 8.66. Macirz gomtrczna lmntu kwadratowgo =, = oliczona na podstawi 8.67 jst równa: G = Oszar kontroln zudowan z tch lmntów wokół węzła r 8 rs. 8.7 implikuj równani: u 5 + u 4 + u 7 u 8 + u 7 + u + u u 8 + u + u + u 9 u 8 + u 9 + u 6 + u 5 u 8 = p, któr po niwilkich przkształcniach przjmuj postać: 4 8.4 u 4 + u + u + u 6 + u 5 + u 7 + u + u 9 u 8 = a p. 8.5. 8-5
Powirzchnia oszaru kontrolngo = a jst tu taka sama jak w równaniu 8.. Wpisując podon równania dla węzłów 5 i por. rs. 8.6 i uwzględniając warunki u i = na rzgach oszaru, otrzmam następując układ równań: 6 6 u u 6 u 5 8 a p. 8.6 Po jgo rozwiązaniu otrzmujm wartości węzłow poszukiwanj funkcji u, u 5 = u, u =,476 a p, u 8 =,4759 a p, nico różniąc się od rozwiązania równania 8.5. Porównując to rozwiązani z wartością dokładną, dostanim łąd równ +,5%, a więc nico mnijsz niż łąd rozwiązania uzskango mtodą różnic skończonch. 8...4 Przkład rozwiązania równania Poissona za pomocą sstmu KAM FEAS/KAM jst dukacjnm sstmm wspomagającm nauczani Mtod Elmntów Skończonch. Sstm został opracowan w Zakładzi Oprogramowania Inżnirskigo Politchniki Warszawskij pod kirunkim Zigniwa Kacprzka. Clm podsstmu KAM jst ralizacja podstawowch funkcji rachunku macirzowgo wzogaconch o gnrowani macirz Mtod Elmntów Skończonch. Opracowan zstaw komnd umożliwia komponowani algortmów analiz statcznj w zakrsi liniowm i niliniowm oraz dnamicznj prz zastosowaniu Mtod Elmntów Skończonch. Wrsj. i. podsstmu FEAS/KAM dostępn są zpłatni. Autorami sstmu są: Z. Grodzki, J. Jankowski, Z. Kacprzk, M. Maj, J. Orsiak, B. Pawlak, B. Pawłowska, M. Sokół, T. Sokół. Mtoda Ojętości Skończonch ni jst w sstmi uwzględniona, tak więc opracj konstrukcji macirz gomtrcznch ędzim musili wkonać mtodami inicjowania macirz wartościami wliczonmi na podstawi równania 8.. Rozwiązan zostani tu wilokrotni omawian przkład równania Poissona w oszarz prostokątnm o wmiarach 4aa z zrowmi warunkami na rzgu. Równani Poissona opisuj ugięci łon napiętj na rzgu oszaru stałm naciągim i poddanj wwnątrz oszaru działaniu stałgo ciśninia, co można opisać równanim: u u p, gdzi p oznacza iloraz p = q /T, q jst stałm ciśninim a T stałm naciągim łon. Zadani r Rozwiązan zostani równani Poissona prz podzial oszaru na 8 kwadratowch pól, jak pokazano na rsunku 8.8a. Jak widać tlko węzł siatki o numrach:,, mają niznan przmiszcznia, pozostał węzł lżąc na rzgu mają przmiszcznia równ. a rsunku węzł rzgow oznaczon są numrm, co spowoduj, ż sstm KAM automatczni wzruj w nich przmiszcznia. 8-6
4 5 6 7 8 Rs. 8.8a Podział oszaru łon na 8 kwadratowch pól Macirz gomtrczną pola nr wznaczm na podstawi równania: G = 4, podoni jak w punkci 8... Pozostał podoszar są idntczn, więc ich macirz gomtrczn zostaną przjęt analogiczni. Powirzchnia oszaru kontrolngo zudowango wokół węzła siatki jst równa = a. Macirz gloaln zadania są równ: G u = p, -..5..5 -..5..5 -.. u u u = a p -. -. -. Po rozwiązaniu układu równań otrzmujm: u =.476.4759.476 a p Wartość dokładna ugięcia maksmalngo wnosi u ma =.45549 a p 8-7
Maksmalna wartość oliczona u =.4759 a p Błąd oliczń: = u /u ma % =.5% Komnd sstmu KAM rozwiązując zadani! Oszar prostokątn a 4a podzilono na 8 kwadratowch pól o wmiarach a a! Tworzni macirz gomtrcznj kwadratowgo oszaru kontrolngo dm G 4 4 -.75.5! Wktor alokacji oszarów kontrolnch, węzł rzgow numrowan są jako imi AL 4 imi AL 4 imi AL 4 imi AL4 4 imi AL5 4 imi AL6 4 imi AL7 4 imi AL8 4!Gloalna macirz gomtrczna dm G dal G G AL dal G G AL dal G G AL dal G G AL4 dal G G AL5 dal G G AL6 dal G G AL7 dal G G AL8! Tworzni wktora prawj stron im p - - -! Rozwiązani układu równań ro G p ws p 8-8
Zadani r W zadaniu r rozwiązano równani Poissona prz podzial oszaru na kwadratow pola, jak pokazano na rsunku 8.8. Jak widać tlko węzłów siatki o numrach: mają niznan przmiszcznia, pozostał węzł lżąc na rzgu mają przmiszcznia równ. a rsunku węzł rzgow oznaczon są numrm, co spowoduj, ż sstm KAM automatczni wzruj w nich przmiszcznia. 4 5 6 7 8 4 5 6 7 9 4 5 6 8 9 4 7 8 9 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 Rs. 8.8 Podział oszaru łon na kwadratow pola Macirz gomtrczna pola nr jst idntczna jak w zadaniu poprzdnim G =. 4 Pozostał podoszar są idntczn, więc ich macirz gomtrczn zostaną przjęt analogiczni. Powirzchnia oszaru kontrolngo zudowango wokół węzła siatki jst równa =.5 a. Macirz gloaln w macirz G pokazano tlko lmnt nizrow zadania są równ: G u = p, 8-9
-.5.5.5.5 -.5.5.5.5.5 -.5.5.5.5.5 -.5.5.5.5.5 -.5.5.5.5.5 -.5.5.5.5.5 -.5.5.5.5 -.5.5.5.5.5.5.5 -.5.5.5.5.5.5.5.5 -.5.5.5.5.5.5.5.5 -.5.5.5.5.5.5.5.5 -.5.5.5.5.5.5.5.5 -.5.5.5.5.5.5.5 -.5.5.5.5 -.5.5.5.5.5 -.5.5.5.5.5 -.5.5.5.5.5 -.5.5.5.5.5 -.5.5.5.5.5 -.5.5.5.5 -. u u u u 4 u 5 u 6 u 7 u 8 u 9 u u u u u 4 u 5 u 6 u 7 u 8 u 9 u u = a p -.5 -.5 -.5 -.5 -.5 -.5 -.5 -.5 -.5 -.5 -.5 -.5 -.5 -.5 -.5 -.5 -.5 -.5 -.5 -.5 -.5 Po rozwiązaniu układu równań otrzmujm: u =.9.996.68.46.68.996.9.694.94.445.459.445.94.694.9.996.68.46.68.996.9 a p Wartość dokładna ugięcia maksmalngo wnosi u ma =.45549 a p Maksmalna wartość oliczona u =. 459 a p Błąd oliczń: = u /u ma % =.799% 8-
Komnd sstmu KAM rozwiązując zadani! Oszar prostokątn a 4a podzilono na kwadratowch pól o wmiarach a/ a/! a rzgu ugięci łon jst równ zru, ponumrowano tlko węzł siatki o niznanch przmiszczniach! Tworzni macirz gomtrcznj kwadratowgo oszaru kontrolngo! Wszstki oczka siatki są idntczn, więc tworzm tlko jdną macirz gomtrczną! dm G 4 4 -.75.5! Wktor alokacji oszarów kontrolnch, węzł rzgow numrowan są jako imi AL 4 imi AL 4 imi AL 4 imi AL4 4 4 imi AL5 4 4 5 imi AL6 4 5 6 imi AL7 4 6 7 imi AL8 4 7 imi AL9 4 8 imi AL 4 8 9 imi AL 4 9 imi AL 4 4 imi AL 4 5 4 imi AL4 4 6 5 imi AL5 4 4 7 6 imi AL6 4 4 7 imi AL7 4 5 8 8-
imi AL8 4 5 6 9 8 imi AL9 4 6 7 9 imi AL 4 7 8 imi AL 4 8 9 imi AL 4 9 imi AL 4 4 imi AL4 4 4 imi AL5 4 5 imi AL6 4 6 5 imi AL7 4 7 6 imi AL8 4 8 7 imi AL9 4 9 8 imi AL 4 9 imi AL 4 imi AL 4!Gloalna macirz gomtrczna dm G dal G G AL dal G G AL dal G G AL dal G G AL4 dal G G AL5 dal G G AL6 dal G G AL7 dal G G AL8 dal G G AL9 dal G G AL 8-
dal G G AL dal G G AL dal G G AL dal G G AL4 dal G G AL5 dal G G AL6 dal G G AL7 dal G G AL8 dal G G AL9 dal G G AL dal G G AL dal G G AL dal G G AL dal G G AL4 dal G G AL5 dal G G AL6 dal G G AL7 dal G G AL8 dal G G AL9 dal G G AL dal G G AL dal G G AL! Tworzni wktora prawj stron wartości -p*a/4 im p *-.5! Rozwiązani układu równań ro G p ws p 8-
Zadani r W zadaniu r rozwiązano równani Poissona prz podzial oszaru na 6 prostokątnch pól, jak pokazano na rsunku 8.8c. Jak widać tlko 9 węzłów siatki o numrach: 9 ma niznan przmiszcznia, pozostał węzł lżąc na rzgu mają przmiszcznia równ. a rsunku węzł rzgow oznaczon są numrm, co spowoduj, ż sstm KAM automatczni wzruj w nich przmiszcznia. 4 5 6 9 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 8 Rs. 8.8c Podział oszaru łon na 6 prostokątnch pól Macirz gomtrczna pola nr jst wznaczona z równania 8.: G =. 8 Wmiar wszstkich pól są idntczn: = a, = a/, co daj: =, =.6. Macirz gomtrczna pola po wliczniu wartości jst równa: G = -.975 -.65.5.6875 -.65 -.975.6875.5.5.6875 -.975 -.65.6875.5 -.65 -.975 8-4
Wszstki pola siatki są idntczn, więc ich macirz gomtrczn zostaną przjęt analogiczni. Powirzchnia oszaru kontrolngo zudowango wokół węzła siatki jst równa =.5 a. Macirz gloaln w macirz G pokazano tlko lmnt nizrow zadania są równ: G u = p, -.75.75 -.5.5.75 -.75.75.5 -.5.5.75 -.75.5 -.5 -.5.5 -.75.75 -.5.5.5 -.5.5.75 -.75.75.5 -.5.5.5 -.5.75 -.75.5 -.5 -.5.5 -.75.75.5 -.5.5.75 -.75.75.5 -.5.75 -.75. u u u u 4 u 5 u 6 u 7 u 8 u 9 = a p -.5 -.5 -.5 -.5 -.5 -.5 -.5 -.5 -.5 Po rozwiązaniu układu równań otrzmujm: u =.794.48.794.586.46647.586.794.48.794 a p Wartość dokładna ugięcia maksmalngo wnosi u ma =.45549 a p Maksmalna wartość oliczona u 5 =. 46647 a p Błąd oliczń: = u 5 /u ma % =.4% Komnd sstmu KAM rozwiązując zadani! Oszar prostokątn a 4a podzilono na 6 prostokątnch pól o wmiarach a a/! a rzgu ugięci łon jst równ zru, ponumrowano tlko węzł siatki o niznanch przmiszczniach! Tworzni macirz gomtrcznj kwadratowgo oszaru kontrolngo! Wszstki oczka siatki są idntczn, więc tworzm tlko jdną macirz gomtrczną! ---------------------! - +k -k! G=t+/t/8* +k - -k t=/= k=-t^/+t^=-.6! -k - +k +k=-. -k=.! -k +k - t+/t/8=.5! --------------------- 8-5
im G 4 4 -. -... -. -..... -. -... -. -. sk G.5 ws G! Wktor alokacji oszarów kontrolnch, węzł rzgow numrowan są jako imi AL 4 imi AL 4 4 imi AL 4 4 7 imi AL4 4 7 imi AL5 4 imi AL6 4 5 4 imi AL7 4 5 8 7 4 imi AL8 4 8 7 imi AL9 4 imi AL 4 6 5 imi AL 4 6 9 8 5 imi AL 4 9 8 imi AL 4 imi AL4 4 6 imi AL5 4 9 6 imi AL6 4 9 8-6
!Gloalna macirz gomtrczna dm G 9 9 dal G G AL dal G G AL dal G G AL dal G G AL4 dal G G AL5 dal G G AL6 dal G G AL7 dal G G AL8 dal G G AL9 dal G G AL dal G G AL dal G G AL dal G G AL dal G G AL4 dal G G AL5 dal G G AL6! Tworzni wktora prawj stron im p 9 9* -.5! Rozwiązani układu równań ro G p ws p 8-7
Zadani r 4 W zadaniu r 4 rozwiązano równani Poissona prz podzial oszaru na 6 prostokątnch pól, jak pokazano na rsunku 8.8d. Jak widać tlko 7 węzłów siatki o numrach: 7 ma niznan przmiszcznia, pozostał węzł lżąc na rzgu mają przmiszcznia równ. a rsunku węzł rzgow oznaczon są numrm, co spowoduj, ż sstm KAM automatczni wzruj w nich przmiszcznia. 4 5 6 7 8 4 5 6 7 9 4 5 6 Rs. 8.8d Podział oszaru łon na 6 prostokątnch pól Macirz gomtrczna pola nr jst wznaczona z równania 8.: G =. 8 Wmiar wszstkich pól są idntczn: = a/, = a, co daj: =.5, =.6. Macirz gomtrczna pola po wliczniu wartości jst równa: G = -.975.6875.5 -.65.6875 -.975 -.65.5.5 -.65 -.975.6875 -.65.5.6875 -.975 8-8
Wszstki pola siatki są idntczn, więc ich macirz gomtrczn zostaną przjęt analogiczni. Powirzchnia oszaru kontrolngo zudowango wokół węzła siatki jst równa =.5 a. Macirz gloaln w macirz G pokazano tlko lmnt nizrow zadania są równ: G u = p, -.75.75.75 -.75.75.75 -.75.75.75 -.75.75.75 -.75.75.75 -.75.75.75 -.75. u u u u 4 u 5 u 6 u 7 = a p -.5 -.5 -.5 -.5 -.5 -.5 -.5 Po rozwiązaniu układu równań otrzmujm: u =.85.49.4554.467.4554.49.85 a p Wartość dokładna ugięcia maksmalngo wnosi u ma =.45549 a p Maksmalna wartość oliczona u 5 =. 467 a p Błąd oliczń: = u 4 /u ma % =.89% Komnd sstmu KAM rozwiązując zadani! a rzgu ugięci łon jst równ zru, ponumrowano tlko węzł siatki o niznanch przmiszczniach! Tworzni macirz gomtrcznj kwadratowgo oszaru kontrolngo! Wszstki oczka siatki są idntczn, więc tworzm tlko jdną macirz gomtrczną! ---------------------! - +k -k! G=t+/t/8* +k - -k t=/=/ k=-t^/+t^=.6! -k - +k +k=. -k=-.! -k +k -! --------------------- t+/t/8=.5! im G 4 4 -... -.. -. -... -. -.. -... -. sk G.5 8-9
! Wktor alokacji oszarów kontrolnch, węzł rzgow numrowan są jako imi AL 4 imi AL 4 imi AL 4 imi AL4 4 4 imi AL5 4 4 5 imi AL6 4 5 6 imi AL7 4 6 7 imi AL8 4 7 imi AL9 4 imi AL 4 imi AL 4 imi AL 4 4 imi AL 4 5 4 imi AL4 4 6 5 imi AL5 4 7 6 imi AL6 4 7!Gloalna macirz gomtrczna dm G 7 7 dal G G AL dal G G AL dal G G AL dal G G AL4 dal G G AL5 dal G G AL6 dal G G AL7 8-
dal G G AL8 dal G G AL9 dal G G AL dal G G AL dal G G AL dal G G AL dal G G AL4 dal G G AL5 dal G G AL6! Tworzni wktora prawj stron im p 7 7* -.5! Rozwiązani układu równań ro G p ws p 8-