Piotr Przybyłowicz. Mechanika techniczna

Transkrypt

1 Pio Pzbłowicz Mechanika echniczna Waszawa

2 Poliechnika Waszawska Wział Samochoów i Maszn Roboczch Kieunek suiów "Eukacja echniczno infomaczna" -54 Waszawa, ul. Nabua 84, el. () , () ipbm.sim.pw.eu.pl/spin/, so@sim.pw.eu.pl pinioawca: pof. hab. inŝ. Danua SD Pojek okłaki: Nobe SKUMIŁ, Sefan TMSZEK Pojek ukłau gaficznego eksu: Gzegoz LINKIEWICZ Skła eksu: Janusz BNRWSKI Publikacja bezpłana, pzeznaczona la suenów kieunku suiów "Eukacja echniczno infomaczna" Copigh Poliechnika Waszawska Uwó w całości ani we fagmenach nie moŝe bć powielan ani ozpowszechnian za pomocą uzązeń elekonicznch, mechanicznch, kopiującch, nagwającch i innch bez pisemnej zgo posiaacza paw auoskich. ISBN Duk i opawa: STUDI MULTIGRF SP. Z.., ul. łowiana, Bgoszcz

3 Spis eści Wsęp Geomeia mas Wznaczanie połoŝenia śoka mas Reguł Pappusa-Gulina Momen bezwłaności...7. Saka Saka bez acia Saka z uwzglęnieniem acia Efek mechaniczne wwołane aciem Kinemaka punku pis połoŝenia, ównania uchu Kzwizna ou, pomień kzwizn Pękość punku Pzspieszenie punku Dnamika punku Duga zasaa namiki Zaganienie owone namiki Zasaa zmienności pęu i kęu Paca, moc, enegia Bła szwna Kinemaka bł Dnamika bł...77

4

5 Wsęp Niniejsze maeiał zosał opacowane w amach ealizacji Pogamu Rozwojowego Poliechniki Waszawskiej współfinansowanego ze śoków PRGRM PERCYJNY KPITŁ LUDZKI. Pzeznaczone są la suenów piewszego oku suiów inŝnieskich na kieunku Eukacja echniczno-infomaczna powazonch na Wziale Samochoów i Maszn Roboczch Poliechniki Waszawskiej. pacowanie pzgoowano la pzemiou Mechanika. Jego zawaość meoczna w pełni opowiaa zakesowi opisanemu w slabusie opacowanm la ego pzemiou. Zajęcia akczne obejmują 3 gozin wkłau i 3 gozin ćwiczeń auojnch. Celem opacowania jes pokazanie Czelnikowi miejsca i oli mechaniki ogólnej na le innch nauk posawowch oaz w ziezinie buow i eksploaacji maszn, zapoznanie go z posawowmi pojęciami i pawami zązącmi uchem ukłaów mechanicznch, pzekazanie umiejęności moelowania obieków zeczwisch, fomułowania i ozwiązwania zaań. Całość maeiału ujęo w pięciu ozziałach. W ozziale piewszm pzbliŝono poblem wznaczania połoŝenia śoka mas oaz masowch momenów bezwłaności. Umiejęność a bęzie niezbęna w ozziale osanim, poświęconm ble szwnej, gzie większość paw i zasa nawiązuje o połoŝenia śoka mas i wzmaga znajomości inecji oboowej ciał (momenów bezwłaności). Rozział ugi omawia szczególn pzpaek uchu, j. bezuch, a więc zaganienie ównowagi ciał i waunków jakie muszą bć spełnione ab a ównowaga mogła zaisnieć. W ozziale oczącm saki zawao akŝe poblem acia suchego i efeków mechanicznch jakie sił acia wpowazają o baanch ukłaów. W ozziale zecim pzpomniano posawowe pojęcia uŝwane w analizie uchu punku maeialnego, j. kinemace, akie jak o, ównanie uchu, pękość, kzwizna, pzspieszenie. nalizę uchu łącznie z jego genezą wjaśnianą związkiem pzcznowo-skukowm w posaci II zasa Newona włoŝono w ozziale czwam. W oz-

6 ziale piąm ozwaŝania e ozszezono na moel bliŝsz obiekom zeczwism błę szwną.

7 Geomeia mas W m ozziale: o Wznaczanie połoŝenia śoka mas o Wcinek koła o Reguł Pappusa-Gulina o Momen bezwłaności o Twiezenie Seinea o Pzkła

8 RZDZIŁ.. Wznaczanie połoŝenia śoka mas Jeną z posawowch umiejęności inŝniea mechanika jes zolność spawnego wznaczania połoŝenia śoków mas bł o óŝnch kszałach geomecznch, kóe owzoowują zeczwise obiek, w m akŝe elemen pojekowanch lub isniejącch maszn. PołoŜenie śoka mas eeminuje właściwości mechaniczne obieków, począwsz o poblemu ównowagi po zaganienia namiczne jak eakcja na pzkłaane pole sił, sposób wpawiania w uch i ozaje ego uchu (posępow, oboow, złoŝon, ip.). Wiele wiezeń mechaniki fomułowanch jes właśnie la śoka mas, lub uzskuje pose pzejzse waŝenia wzglęem właśnie ego punku. W niniejszm ozziale poznam posawowe pawa i wzo niezbęne o nabcia ej umiejęności. Momen saczn Momenem sacznm punku maeialnego wzglęem pewnego punku oniesienia (np. począku ukłau współzęnch) nazwam iloczn mas ego punku m i oległości wzglęem miejsca oniesienia. PoniewaŜ oległość a jes bana w piewszej poęze, momen saczne nazwam momenami piewszego zęu. Jak się okaŝe, isnieją akŝe momen ugiego zęu, gzie oległość a pojawia się w kwaacie, zwane momenami bezwłaności. W oóŝnieniu o ch osanich, momen saczn moŝe bć wekoem jako ilocznem mas m i wekoa powazonego o począku ukłau współzęnch o anego punku maeialnego, czli: S m (.) czwiście zapis aki oznacza z momen skalane: S m, S m oaz S z m z. W pzpaku, g mam o cznienia nie z pojenczm punkem maeialnm, lecz błą o znacznch wmiaach (sunek..) moŝem bezpośenio wznaczć momen saczn elemenanej mas m i scałkować po całej objęości bł: Sona 8

9 GEMETRI MS z m c C Rsunek.. Bła o owolnm kszałcie oaz elemenana masa o obliczania całki momenu sacznego S m (.) V Z ugiej son, gbśm znali połoŝenie śoka mas ej bł (oznaczonej jako punk C ) i skupili w nim całą jej masę, o momen saczn akiego punku wniósłb oczwiście S mc. Poównując en momen z całką (.) ozmujem nachmias: lub skalanie: m V c (.3) m z c c c V V V m m m m z m m (.4) co sanowi posawow zesaw wzoów na obliczanie połoŝenia śoka mas, j. współzęnch punku C C( c, c, zc). W isocie ozóŝniam w mechanice z ozaje śoków: śoek mas, śoek cięŝkości i śoek geomeczn. Pawą jes eŝ, Ŝe w najba- Sona 9

10 RZDZIŁ ziej ogólnm pzpaku kaŝ z nich moŝe bć w innm miejscu. RóŜnica w połoŝenia śoka mas i śoka cięŝkości zajzie we g pole gawiacjne nie jes jenoone i kóaś część bł (np. olna) mogłab bć pzciągana silniej niŝ góna. To jenak suacja wjąkowa i la powch obieków inŝnieskich (maszn, buowle) nie ma zasosowania w naualnm polu gawiacjnm na Ziemi. Dla ość skajnch pzpaków (bazo wsokie konsukcje) óŝnica a jes o wznaczenia, jenak minimalna w poównaniu z wmiaami samej konsukcji. Na pzkła słup o jenoonm pzekoju i wsokości 6m, posiaa śoek cięŝkości obniŝon o 3cm w sosunku o śoka mas, właśnie ze wzglęu na zmianę pola gawiacjnego. RóŜnica w połoŝeniu śoka mas i śoka geomecznego wnika z maeiału, z kóego wkonan jes obiek, a kó moŝe bć niejenoon (óŝna gęsość). Waość momenu sacznego wzasa z gęsością, gŝ m ρ V, gzie ρ oznacza gęsość objęościową, a V elemenaną objęość. W pzpaku g maeiał jes jenoon połoŝenie śoka mas i śoka geomecznego pokwa się. We eŝ moŝem obliczać o połoŝenie całkując nie po masie, lecz po kszałcie, czli objęości bł: V ρ V c i jeśli ρ cons o ρ V V c V ρ ρ V V V V V JeŜeli bła jes figuą płaską (lub ójwmiaową powiezchnią), o oczwiście całkujem jej pole: S c (.5) naomias la linii (owolnch kzwch) całkujem po ługości: V Pzkła en jes inspiowan zeczwisą konsukcją, kóą wzniesiono w Polsce w 974. (pzez jakiś czas bła o najwŝsza konsukcja uŝeczności publicznej na świecie), a kóa miała 646m. Bła o anena półfalowa wbuowana w Konsannowie k. Gąbina, naająca pogam I Polskiego Raia o sile MW. Pz obej pogozie sgnał ocieał o kańców połuniowej fki. Masz unął w 99. na skuek pęknięcia jenego z zech najwŝszch ociągów poczas pac konsewaoskich. Maszu nie obuowano. Sona

11 GEMETRI MS l c V L (.6) gzie i L w powŝszch wzoach oznacza opowienio całkowie pole i ługość anego obieku. KaŜ z powŝszch wzoów ma posać wekoową i aje się wazić skalanie analogicznie jak w (.4). Zasanówm się na koniec co w suacji, jeśli bła ma ość złoŝon kszał, ale kó waźnie a się pozielić na mniejsze części, w kóch połoŝenia śoków mas (cz geomecznch) są bazo ławe o zienfikowania (np. posoką, koło, ip.). ZauwaŜm, Ŝe we momen saczn pojenczego fagmenu jes ilocznem mas ego fagmenu i oległości jego śoka mas o pewnego punku oniesienia. Jeśli akich skłaowch części jes, ajm na o n, o całkowi momen saczn wazi się nie całką, lecz nasępującą sumą: gzie zaem: n S m i i ci oznacza połoŝenie śoka mas iego elemenu. Bęzie n mi ci n i c gzie oczwiście m m n i. i m i i JeŜeli maeiał jes jenoon, o zamias mas wsawiam objęości, pola lub ługości poszczególnch fagmenów w zaleŝności o ozaju obieku. I ak np. la figu płaskich bęziem mieli: czli skalanie: n ci i ci i c, Sona

12 RZDZIŁ c c n ci i n i n ci i n i i i i i (.7) Zasosujm eaz powŝej omówione wzo o posch i pakcznch zaań. Pzkła. Wznaczć połoŝenie śoka mas kąownika, kóego amiona mają ługość a i b, naomias szeokość (sunek..). b C a C Rsunek.. Teownik z Pzkłau. Piewszą i posawową spawą jes wpowazenie ukłau współzęnch, w kóm bęziem powazić obliczenia. Jeśli z jakichś powoów nie jes o nam nazucone, pzjmujem en ukła w moŝliwie najbaziej ogon la nas sposób, np. wzłuŝ zewnęznch kawęzi kąownika (sunek..). Po ugie zauwaŝm, Ŝe kąownik jes posm kszałem, kó aje się złoŝć z wóch posokąów, a połoŝenia śoków mas kaŝego z nich są oczwise (na pzecięciu pzekąnch). Na posawie powŝszego sunku szbko ienfikujem połoŝenia śoków mas poszczególnch części: Sona

13 GEMETRI MS Sona ,,, b a c c c c, Pola poszczególnch posokąów wnoszą: ) (, a b. Wobec powŝszch achunek pozwalając na obliczenie współzęnch śoka mas całego kąownika w pzjęm ukłazie osi jes nachmiasow: ) ( ) ( a b a a b c c i i i i ci c, co po uposzczeniach aje: ) ( a b a b c. Dla współzęnej c, obliczenia są analogiczne: ) ( ) ( a b a b b c c i i i i ci c, i osaecznie: ) ( a b a b c. Pzkła. Wznaczć połoŝenie śoka mas koła o pomieniu 5, z kóego wcięo owó o pomieniu w oległości 3 o śoka koła oaz owó posokąn pzsając jenm bokiem o pionowej śenic koła, wpisan o niego, o wsokości 8 (sunek.3.). Tm azem suacja pzesawia się nieco inaczej niŝ w popzenim pzkłazie. Teaz ozwaŝan elemen nie sanowi sum lecz óŝnicę geomeczną pewnch posch komponenów. Zachozi panie jak o wpłwa na analizę połoŝenia śoka mas. óŝ jeną óŝnicą w akich pzpakach jes o, Ŝe momen saczn o bakującch elemenów

14 RZDZIŁ oblicza się jako iloczn połoŝenia śoka mas akiego elemenu i jego mas (pola, objęości lub ługości) ze znakiem minus. W en właśnie sposób uwzglęnia się jego nieobecność. Cał pozosał achunek jes analogiczn. W ozwaŝanm pzkłazie aną figuę moŝem zekomponować na z elemen skłaowe koło uŝe pełne, wcię owó i wcię posoką. Te wa osanie bęą miał ujemną waość pola. PołoŜenie śoków ich mas (pól) zaleŝeć bęzie jenie o wbanego ukłau współzęnch. biezm go moŝliwie najpościej, np. wzłuŝ poziomej i pionowej śenic koła (sunek.3.). bwie współzęne śoka koła wniosą zaem zeo. Pozosałe bęą: 3 8 C3 C C 5 Rsunek.3. Koło z wcięmi owoami z Pzkłau. Piewszą i posawową spawą jes wpowazenie ukłau współzęnch, w kóm bęziem powazić obliczenia. Jeśli z jakichś powoów nie jes o nam nazucone, pzjmujem en c 3, c3 gzie smbolem b oznaczono szeokość posokąa (na azie nie znaną). ZauwaŜm, Ŝe współzęne wszskich elemenów są zeo, gŝ oś jes osią smeii kaŝego z nich, a więc i całego ukłau. Taka eŝ bęzie współzęna c całej figu. Jes o chaakesczna właściwość la ego pu suacji jeŝeli obiek posiaa oś smeii, o śoek jego mas bęzie leŝał na ej osi. Rachunek la c jes więc zbęn bęzie c. Naomias pze obliczeniem c pozeba wznaczć szeokość posokąa. Jako Ŝe jes on wpisan w koło moŝem uŝć wiezenia Piagoasa (paz szczegół ukłau na sunku.4.) b Sona 4

15 GEMETRI MS 4 5 b Rsunek.4. bliczanie szeokości posokąa z Pzkłau. Wiać o azu, Ŝe: b (5) (4) Zaem c 3 b / 3 / i ozmujem we: c c c 3 c3 3 π (5) 3 π (5) 3 ( π ) ( 8 3) ( π ) ( 8 3) 3 3π 3 (4 π ) c. 5π π 4 4 ( π ) 3 3 saecznie: 4 π c. 8 π Jak wiać, połoŝenie śoka mas jes po oaniej (pawej) sonie, co nie ziwi zwaŝwsz, Ŝe bakujące pole posokąa jes większe niŝ okągłego owou, a więc lewa sona jes lŝejsza, a śoek mas pzesunie się na pawo. Pzkła.3 Wznaczć połoŝenie śoka mas owolnego ójkąa o wsokości h licząc ę wsokość o posaw. becn pzkła pzesawia suację zupełnie omienną. Tm azem nie poafim ozłoŝć ójkąa na fagmen, w kóch połoŝenia śoków mas błb o azu znane. W akim pzpaku naleŝ skozsać pojęcia momenu sacznego jako całki pewnego obieku o kszałcie ciągłm. Elemenem całkującm bęzie masa (pole) nieskończenie wąskiego wcinka, kó w kaŝm swm punkcie bęzie ównooległ o Sona 5

16 RZDZIŁ posaw ójkąa (sunek.5.). Jego pole wniesie u, gzie szeokość paska u moŝna wznaczć z popocji zaznaczonch na sunku.5. h - u h a Rsunek.5. Wznaczanie śoka cięŝkości ójkąa Zgonie z nimi mam: h h u a a czli u ( h ). h Teaz moŝem pzsąpić o achunków: c h u ah h a a ( h ) h ah h h ( h ) h h h 3 h ( h ) h h h 3 h c więc obliczenia powieził obze znan fak, Ŝe śoek mas ójkąa zieli kaŝą wsokość (ozwaŝan ójką bł owoln) w sosunku : (jes na /3 wsokości). Pzkła.4 Wznaczć połoŝenie śoka mas półkuli o pomieniu. (sunek.6.). h Sona 6

17 GEMETRI MS z C Rsunek.6. Półkula z Pzkłau.4 W m pzkłazie, poobnie jak w popzenim, musim uŝć całki o obliczenia momenu sacznego z ą jenak óŝnicą, Ŝe obiek jes ójwmiaow, a więc całką bęzie obliczana po objęości, a nie polu. Dla pzjęego ukłau osi,, z i smeii bł swiezam, Ŝe współzęne śoka mas o C C,, z ), pz czm: ( c z c 3 bjęość półkuli o V π / 3. z V. V Do obliczenia momenu sacznego wcinam nieskończenie niski ką- Ŝek o zmiennm pomieniu u, ównoległ o płaszczzn poziału półkuli (sunek.7.). bjęość akiego elemenu całkującego bęzie: V π u z, gzie u z, a więc: V π ( z ) z i momen saczn: 4 4 z z 4 π z V π z( z )z π π Sona 7

18 RZDZIŁ z u z z Rsunek.7. Elemenan wcinek półkuli saecznie, połoŝenie śoka mas półkuli licząc o jej posaw bęzie: Wcinek koła π z z V 3 4 c V 3 π 8. 3 Do kompleu umiejęności wznaczania śoków mas figu płaskich wao ołączć wzó na połoŝenie śoka mas wcinka koła (sunek.8.), kó moŝe się pzać w oku sanaowch inŝnieskich obliczeń. 4 α C c Rsunek.8. Wcinek koła zefiniowan pomieniem i kąem α Sona 8

19 GEMETRI MS czwiście, połoŝenie o wnosi c, gzie pole wcinka koła opisanego kąem α jes częścią pola koła pełnego opaego na kącie π. Z popocji ławo obliczć sosunek pola koła pełnego o kąa pełnego, kó musi bć ówn sosunkowi pola wcinka o kąa, kó go efiniuje, j. α : zaem α α π α π α π π Momen saczn wcinka wgonie bęzie obliczć uŝwając biegunowego ukłau współzęnch ρ ϕ, w kóm ρ cosϕ naomias ρ ρ ϕ. We: jakobian zamian współzęnch wnosi ρ ( ) D(,) D( ρ, ϕ ) ρ cosϕ ρ ρ ϕ i alej, wobec ziezin całkowania opisanej zbioem: ozmam: {( ρ, ϕ) : ρ α ϕ α} D( ρ, ϕ), α α cosϕ ϕ 3 3 α ρ sinα α 3 3 ρ ρ sinϕ saecznie śoek mas wcinka bęzie w oległości: sinα 3 c, α 3 sinα c (.8) 3 α Pamięać naleŝ o wóch zeczach pz uŝwaniu wzou (.8). Po piewsze wcinek opisan jes kąem α, poczas g we wzoze mam waość pojenczego kąa (ławo o m zapomnieć poczas szbkich achunków). Po ugie waość kąa wsawiam w mieze łukowej (aianach, co waŝne la waości mianownika, i pzez o la końcowego wniku). Na pzkła, obliczając połoŝenie śoka mas półkola Sona 9

20 RZDZIŁ musim, kó jes opa na kącie półpełnm (8 ), a więc π posawić naleŝ α π, czli α π / i we: π sin 4 c. (.9) 3 π 3 π 3π Wkozsajm ozmaną fomułę o pzkłaowego zaania. Pzkła.5 Z posokąa o wmiaach a a wcięo w pawm gónm ogu ójką oaz w pawm olnm ćwieć koła o pomieniu a. Wznaczć połoŝenie śoka mas ak ozmanej figu (sunek.9.). o a a Rsunek.9. Posoką z wcięm ogiem i czwaą częścią koła W m zaaniu wkozsam pze chwilą wpowazon wzó na wcinek koła. Wcześniej pzepowaźm ekompozcję figu na pose elemen, a w m pzpaku bęzie o gón ójką (pełn), oln kwaa (eŝ pełn) i wcięe ¼ koła. Bazo ławo jes znaleźć połoŝenie śoków mas piewszch wóch elemenów. Dla ójkąa bęzie o: a a, c a i pole 3 3 c a naomias la olnego kwaau jeszcze pościej: Sona

21 GEMETRI MS a a, c i pole c a. Nieco uniej jes wznaczć współzęne śoka mas wcinka koła la pzjęego ukłau współzęnch (sunek..). a c C u a a a c C c3 C 3 c a c Rsunek.. Figua z Pzkłau.5. po ozłoŝeniu na pose fagmen Nieco uniej jes wznaczć współzęne śoka mas wcinka koła la pzjęego ukłau współzęnch (sunek..). Weług wzou (.8) poafim bezpośenio znaleźć o połoŝenie liczone wzłuŝ osi smeii wcinka. Na sunku.. zaznaczono ę oległość jako u 3. Wnosi ona: π sin u a 4 3 π 4 3 a 4 a 3π gŝ ¼ koła opaa jes na kącie π /, a jak pamięam o wzou (.8) wsawiam połowę ej waości. Mając znalezione u 3 zzuujm en ocinek na osie pzjęego ukłau i wznaczm współzęne punku C 3. Wniosą one: c3 u3 45 a c 3 a u 3 o cos 45 oaz o c 3 u 3 sin 45 czli: 4 4 c 3 a a a oaz 3π 3π 4 4a c 3 a 3π 3π Sona

22 RZDZIŁ Sona i pole oczwiście 4 / 3 a π. Mając ak obliczone waości pzsępujem o końcowch achunków: a a a a a a a a a i i i i ci c π π π oaz a a a a a a a a a i i i i ci c π π π. Bęzie więc: π π π π π π π π a a a a a c, co osaecznie aje: π π 6 4 a c oaz po analogicznch pzekszałceniach: ) 3(6 π a c.

23 GEMETRI MS.. Reguł Pappusa-Gulina RozwaŜm w ukłazie współzęnch kzwą płaską B o ługości L, kóa w kaŝm swm punkcie pzlega o płaszczzn π i nie pzecina ocięej. bóćm ją o 36 wokół ocięej (sunek..) Po akim obocie ozmam powiezchnię osiowo-smeczną, kóej pole powiezchni bocznej bęzie miało pewną waość. kazuje się, Ŝe waość ego pola ściśle wiąŝe się z połoŝeniem śoka mas C obacanej kzwej. Mówi o m I eguła Pappusa -Gulina 3 : I eguła Pappusa-Gulina: Pole powiezchni bocznej bł osiowo smecznej powsałej wskuek pełnego obou kzwej płaskiej wokół osi nie pzecinającej ej kzwej jes ówne ilocznowi ogi pzebej pzez śoek mas poczas ego obou i ługości ej kzwej. B C c Rsunek.. bó kzwej płaskiej Doga pzeba pzez śoek mas o oczwiście okąg, czli: π c L (.) Suacja ma się poobnie (analogicznie) g zamias kzwej płaskiej obacam pewne pole płaskiej powiezchni S. Tak jak popzenio, waunkiem koniecznm jes ab aka płaska powiezchnia nie pzecinała osi ocięej, wokół kóej okonujem obou. Pappus z leksanii (9-35 n.e.), gecki maemak ziałając w Egipcie. 3 Habbakuk Gulinus (Paul Gulin, ), maemak szwajcaski. Sona 3

24 RZDZIŁ II eguła Pappusa-Gulina: bjęość bł osiowo smecznej powsałej wskuek pełnego obou płaskiego pola wokół osi nie pzecinającej ego pola jes ówne ilocznowi ogi pzebej pzez śoek mas ego pola i jego waości. S C c c Rsunek.. bó płaskiego pola Bęzie więc: V π c S (.) Reguł e są bazo pzane ównieŝ o zaania owonego, j. obliczania połoŝenia śoków mas kzwch i pól płaskich na posawie znajomości waości pól i objęości bł ozmanch po obocie. Naualnie, ocz o posch kszałów ch bł. Weźm po uwagę np. pół okęgu o pomieniu oaz pół koła (sunek.3.). C c C c Rsunek.3. Śoek mas ½ okęgu i ½ koła Ławo sobie wobazić, Ŝe po obocie ½ okęgu (o ługości L π ) ozmam pusą kulę (sfeę), kóej pole, jak pamięam, wnosi 4π. Zaem: Sona 4

25 GEMETRI MS π c L czli 4π π c π są c (.) π Poobnie zecz się bęzie miała la półkola. Jego pole wnosi S π / naomias po pełnm obocie wokół osi powsanie kula (pełna), kóej objęość wniesie V 4π / 3. więc: 3 V π c S czli 4 π 3 3 π π c i 4 c (.3) 3π Poównajm en osani ezula z wnikiem (.9). Zasosujm eaz II egułę Pappusa Gulina bezpośenio o obliczania objęości. Pzkła.6 bliczć objęość bł powsałej po obocie wokół pionowej osi figu płaskiej złoŝonej z półkola o pomieniu i ójkąa ównobocznego pzległego posawą o ego półkola (sunek.4.). 6 c C Rsunek.4. Ilusacja o Pzkłau.6 Reguła II (wzó.) mówi, Ŝe w m wpaku V π c S, pozeba więc wznaczć najpiew waość obacanego pola i połoŝenie śoka mas. Te osanie ławo znaleźć zieląc figuę na wie części, kóch pola i połoŝenia śoków mas są znane. Śoek mas całej figu wniesie oczwiście: Sona 5

26 RZDZIŁ i c co po posawieniu o (.) aje V i i i ci i π S, ale pzecieŝ suma pól wsępującch w mianowniku jes polem całej obacanej figu, a więc S. PoniewaŜ: i i i ci S i i o V π i i ci a więc nawe nie zeba wznaczać połoŝenia śoka mas całego obieku, lko jego skłaowch. Dekompozcja jes jenoznaczna: półkole ójką (są w sumach powŝszch wzoów). 4 3π 3 h C C a c c Rsunek.5. naliza Pzkłau.6 Na sunku.5. wiać, Ŝe oległość śoka półkola o począku ukłau współzęnch jes sumą wsokości ójkąa h i juŝ wznaczonej oległości śoka mas półkola o linii swego poziału (co akŝe wznaczliśm z II eguł, ozmując c 4 /(3π ). Wsokość ójkąa h jes ilocznem połow posaw ego ójkąa i coangensa połow kąa wiezchołkowego, a więc h cg3 3. Łącznie: Sona 6

27 GEMETRI MS 4 c 3 3 π Znając wsokość ójkąa szbko swiezam, Ŝe c / 3, czli: h 3 c oaz jego pole 3 ah 3 3 saecznie, poszukiwana objęość bęzie: 4 π 3 V π i ci π 3 3 i 3π 3 3 co po pzekszałceniach aje π ( 6 3π 3) V Momen bezwłaności Inuicjne wczucie pojęcia mas anego obieku jako mia inecji, j. pewnego opou wpawiania ciała w uch jes jak najbaziej uzasanione i pokowane coziennm oświaczeniem, lecz oganicza się o bezwłaności obieku poczas wpawiania go w uch posępow. Tak eŝ jes sfomułowana II zasaa Newona, wg kóej pzspieszenie jakie uzskuje ciało o masie m po ziałaniem sił F jes właśnie owonie popocjonalne o waości m. Im coś więcej waŝ (czli ma większą masę waga, czli siła, oznacza u oczuwaln skuek isnienia niezeowej mas obieku w oaczającm i powszechnm polu gawiacjnm, choć znana jes wielowiekowa skusja na m, cz masa gawiacjna jes ab na pewno oŝsama z bezwłaną skusja alece wkaczająca poza en poęcznik), a więc im coś jes cięŝsze m uniej o ozpęzić. Ta oczwisa pawa zaję się obowiązwać ównieŝ w pzpaku ozpęzania ciał w uchu oboowm, ale cz na pewno w akim pzpaku ecuje włącznie waość m? PzecieŜ im alej o osi obou m większe pękości i pzspieszenia punków anego obieku. bacanie pojenczego punku maeialnego (nieskończenie małego) wokół niego samego nic nie koszuje pozosaje on alej nieuchom, nie pzeciwsawia się Ŝanm mechanicznm opoem (bezwłanością). Jeśli jenak zaczniem go wpawiać w uch oboow Sona 7

28 RZDZIŁ wokół innego miejsca (punku, osi) naam mu pewne pzspieszenie i chwilową ajekoię w kszałcie okęgu. Pzspieszenie o bęzie m większe im alej punk maeialn bęzie się znajował o miejsca obou. u juŝ, zgonie z II zasaą Newona, wmagać bęzie coaz większej sił spawczej, opowiaającej za en uch (ak napawę większego momenu sił ilocznu sił i pomienia jej ziałania). co, jeśli en momen jes sał? powieź jes jasna im alej o miejsca obou m mniejsze uzskam pzspieszenie. To bazo niepeczjne ozumowanie ma na celu pose uzmsłowienie, Ŝe w pzpaku naawania ciału uchu oboowego o mieze bezwłaności nie ecuje włącznie waość mas, ale akŝe jej oległość a ściślej sposób jej ozkłau wzłuŝ pomienia, czli oległości miezonej o miejsca (osi) obou. Rozkła en peczuje pojęcie momenu bezwłaności. Dla pojenczego punku maeialnego efinicja a jes nasępująca (sunek.6.) m m m l e π Rsunek.6. ległość punku maeialnego m o punku (geomecznego), osi (linii posej) l i płaszczzn π Momen bezwłaności wzglęem punku: I m (.4) Sona 8 momen bezwłaności wzglęem osi: momen bezwłaności wzglęem płaszczzn: Il m (.5) Iπ m e (.6) Jak wiać, pojęcie momenu jes szesze o poszukiwanej inuicjnie mia uności wpawiania punku maeialnego w uch oboow, gŝ uno mówić o uchu oboowm wokół płaszczzn. Nasze wsępne ozwaŝania ak napawę oczł efinicji momenu wzglęem osi (.5). kazuje się jenak, Ŝe pozosałe efinicje choć nieławo im

29 GEMETRI MS pzpisać posą inepeację fizczną są bazo pzane pz wznaczaniu wszskich właściwości namicznch ciała. No właśnie w uchu oboowm mam o cznienia z obiekami o znacznch wmiaach (wał, ski, koła, ip.), kóch nie moŝna zasąpić posm punkem maeialnm. Jak zaem wgląają powŝsze efinicje la ciała o ciągłm kszałcie, zajmującm pewną objęość? Spawa jes posa. Wsacz okonać ego samego zabiegu, kó bł pzepowazan w pzpaku wznaczania śoków mas obieków o owolnm kszałcie, j. popzez zasosowanie efinicji o nieskończenie małego fagmenu obieku i późniejsze całkowanie. RozwaŜm błę o całkowiej masie m, kóa zajmuje w pzeszeni opisanej kaezjańskim ukłaem współzęnch,, z pewną objęość V i wóŝnijm nieskończenie mał elemen ej bł m. z m π z π z π Rsunek.7. Bła o owolnm kszałcie, osie i płaszczzn posokąnego ukłau współzęnch RozwaŜm błę o całkowiej masie m, kóa zajmuje w pzeszeni opisanej kaezjańskim ukłaem współzęnch,, z pewną objęość V i wóŝnijm w niej nieskończenie mał elemen ej bł m. Wkozsajm akŝe efinicje (.4), (.5), (.6) sosując je o począku ego ukłau, jego osi i posawowch płaszczzn. Weług ch efinicji bęzie: Momen wzglęem punku (zw. biegunow): momen wzglęem osi,, z: I I V V m ( z )m (.7) Sona 9

30 RZDZIŁ I I I z V V V ( ( ( z z )m )m )m (.8) oaz momen wzglęem płaszczzn π, π z, π z : I π I πz I πz V V V z m m m (.9) KaŜoazowo obliczam całki objęościowe, a więc poójne, moŝna jenak upościć achunek o całek pojenczch pamięając, Ŝe elemenan fagmen bł m oznaczać bęzie we masę akiego wcinka, kó w kaŝm swm punkcie jes ównooległ (nie mlić z ównoległm) o ego wzglęem czego an momen jes liczon. Dla momenu biegunowego bęzie o zaem sfea o nieskończenie małej gubości, la momenów osiowch powiezchnia walcowa, la płaszczznowch inna płaszczzna. ak napawę lko e pozbio sfe, walca, płaszczzn, kóe pozosają w pzecięciu z aną błą pz ssemaczn obliczaniu całek. Kszał ch pozbioów moŝe bć ość skomplikowan i nasęczać powaŝnch poblemów achunkowch, lub ucznić je zgoła niemoŝliwmi w bezpośenim szukaniu analicznego wniku. Poblem en zosanie jeszcze omówion na pzkłaach. bok powŝszch efinicji fomułuje się jeszcze zw. momen ewiacji, kóch inepeacja jes ość una w inuicjnm poejściu, moŝna je jenak akować jako pewną miaę oejścia lub zabuzenia egulanego kszału (np. smeii) bł wzglęem zaanch osi,, z. Momen e oznacza się poobnie jak płaszczznowe, ale z pominięciem ineksu π.są one całkami nasępującch ilocznów: I I I z z V V V m z m z m (.) Sona 3

31 GEMETRI MS Ich znaczenie jes ogomne w analizie właściwości namicznch bł poczas obacania się. Momen osiowe i ewiacji zesawione w fomie nasępującej maciez: I I I I z I I I z I I I z z z (.) nazwam ensoem bezwłaności. Posiaa on w ogólności 6 (nie 9) niezaleŝnch elemenów ze wzglęu na pzemienność mnoŝenia (np. I m m I ). Zobaczm, jak wgląa obliczanie momenów bezwłaności posch figu i bł geomecznch w pakce. Pzkła.7 Wznaczć momen bezwłaności płaskiej pł posokąnej o całkowiej masie m oaz wmiaach a i b wzglęem osi pzechozącej pzez kawęź pł i osi ównoległej, pzechozącej pzez śoek mas (zw. momen cenaln). b C c a Rsunek.8. Posokąna pła i pzję ukła osi współzęnch Piewszą zeczą jaką naleŝ zobić jes wpowazenie ukła współzęnch w ogon sposób, np. wzłuŝ boków posokąa ak, ab ławo moŝna bło zasosować wzo efinicjne momenów bezwłaności. Dla suacji pokazanej na sunku.8 naszm zaaniem jes obliczenie momenu wzglęem osi oaz c. Sona 3

32 RZDZIŁ Z efinicji: I ( z ) m m gŝ z (figua płaska). Elemen całkując o masa wcinka pł powsałego pzez pzecięcie powiezchni walcowej ównooległej o osi płą, co w konsekwencji spowaza się o nieskończenie wąskiego paska na płcie ównoległego o. Elemenana masa akiego posokąnego paska o m ρ, gzie ρ jes gęsością powiezchniową pł, naomias elemenane pole a. Bęzie więc: I ρ a. Teaz, g całka waŝona jes funkcją jenej zmiennej wsawiam ganice całkowania i obliczam wnik: I b b 3 b aρ aρ aρ. 3 3 Pamięajm, ab osaeczn wnik poawać nie w funkcji gęsości lecz mas. To ławe zwaŝwsz, Ŝe gęsość powiezchniowa o: m ρ m ab co posawieniu o wniku na momen aje: 3 3 b m b aρ a mb. I 3 ab a 3 Pamięajm o spawzeniu jenosek na końcu obliczeń u mam [kgm ], co jes w zgozie z efinicjami momenów masowch (wo.4.). bliczm eaz momen cenaln. Wszskie ozwaŝania pozosają bez zmian, zauwaŝm lko, Ŝe zmienią się jenie ganice całkowania. Teaz elemenan wcinek całkowan o ołu o gó pł ma ganice wzglęem osi śokowej: b / oaz b /. Zaem: I b b 3 3 b c a aρ aρ 3 b b ρ mb, 3 Sona 3

33 GEMETRI MS a więc momen cenaln jes 4-konie mniejsz o momenu wzglęem kawęzi. Ten ugi ezula moŝna bło ozmać inaczej. Twiezenie Seinea Zasanówm się, cz isnieje związek mięz momenem wzglęem owolnego punku, a momenem wzglęem śoka mas. z z c c m ρ C c c Rsunek.9. Dowolna bła i wa ukła współzęnch: owoln i cenaln Z powŝszego sunki wiać, Ŝe ρ zaem momen biegunow bł wzglęem śoka owolnego ukłau współzęnch wniesie: I m ( c ) m ρ m ρcm V V V V c V c ρ m. PoniewaŜ kwaa wekoa jes ówn kwaaowi jego moułu, o: I ρ m c ρm V V c V m gzie ponao wciągnęliśm pze całki weko c (jes jeen aki weko, nie zaleŝ o całki). czwiście m m, zaem: mc. I ρ m c ρm V V Sona 33

34 RZDZIŁ Piewsza całka w osanim wzoze o efinicja momenu cenalnego I c, gŝ oległość ρ (nie mlić z gęsością ma o samo oznaczenie) jes miezona właśnie o śoka mas (cenum). Duga całka o momen saczn bł liczon wzglęem śoka mas. Naualnie aki momen jes ówn zeu gŝ aka jes oległość śoka mas o samego siebie: ρ c ρm, ale poniewaŝ ρ c, o m ρ m. więc c c mc I I, i osaecznie: I I m c c (.) co sanowi eść wiezenia Seinea 4 : momen bezwłaności bł wzglęem owolnego punku jes ówn momenowi wzglęem śoka mas powiększonemu o iloczn mas ej bł i kwaau oległości mięz mi punkami. Twiezenie o jes akŝe słuszne la momenów wzglęem osi ównoległch oaz momenów ewiacji. Pz czm, w pzpaku ch osanich suacja wgląa nasępująco (sunek..) c (, c) C (, c) c Rsunek.. Ilusacja w. Seinea la momenów ewiacji I I m, ) (, ) (.3) c c ( c c gzie (, ) oznacza oległość miez osiami poanmi w nawiasie. 4 Jakob Seine ( ) szwajcaski maemak. bsolwen uniweseów w Heielbegu i Belinie, w 83 uzskał okoa w Kólewcu. 834 kieownik kae geomeii na uniwesecie w Belinie. Sona 34

35 GEMETRI MS Powóćm ponownie o popzeniego pzkłau i obliczm az jeszcze momen cenaln pł mając wznaczon wcześniej momen wzglęem kawęzi. Weług wiezenia Seinea bęzie: I c I m (, c ), gzie oległość b (, c ), więc b I c mb m mb 3 co aje okłanie en sam ezula. Pokeślm w m miejscu az jeszcze, Ŝe wiezenie Seinea ocz osi, wśó kóch jena jes osią cenalną, a nie wóch owolnch osi ównoległch. Pzkła.8 Wznaczć momen bezwłaności płaskiego koła o masie m i pomieniu wzglęem osi obou i wzglęem śenic (sunek..). Zacznijm obliczenia o momenu wzglęem osi z, pzjmując jako zasaę, Ŝe achunki ozpocznam o akiej osi, kóa posiaa najsilniejszą smeię (lub smeię w ogóle). Pokowane jes o spoziewaną posoą achunków w poównaniu o analogicznch obliczeń la osi owolnej. z 3 4 mb Rsunek.. Ukła współzęnch la koła z Pzkłau.8 Dla z I elemenan wcinek koła pzjmuje posać pieścienia o nieskończenie małm pomieniu u i szeokości u (jak na lewm sunku..). Sona 35

36 RZDZIŁ u u u Rsunek.. Elemenane wcinki koła pz obliczaniu momenu I z oaz I Pole powiezchni akiego pieścienia o iloczn jego obwou i szeokości π u u. ZauwaŜm eŝ, Ŝe suma kwaaów współzęnch i aje kwaa pomienia ego pieścienia em momen wzglęem osi z wniesie: I z ( ) m u m u ρ u π ρ u u. Wsawiając opowienie ganice, ozmam: I z 4 3 u π ρ π ρ u u π ρ. 4 m Wieząc, Ŝe gęsość powiezchniowa wnosi ρ, mam: π m 4 π 4 π ρ π I z m. 4 u. Za- bliczm eaz momen bezwłaności koła wzglęem śenic, powiezm osi. Zgonie z efinicją bęzie: I ( z ) m { z } m Sona 36

37 GEMETRI MS gzie m azem m ρ ρ u (paz paw sunek..). Połowę ługości elemenanego paska ławo obliczm z w. Piagoasa u. więc momen I wniesie I m ρ u ρ Zwóćm uwagę, Ŝe ozmaliśm całkę z funkcji niewmienej, co sanowi pewne zaskoczenie, gŝ moŝna bło się spoziewać posszego achunku wszak koło samo w sobie jes kszałem o wjąkowej posocie i silnej smeii. Isnieje więc ealne poejzenie, Ŝe wnik ównieŝ powinien bć pos i co więcej bć moŝe isnieje pos sposób o niego ojścia. Spawźm cz ak jes w isocie. W m celu zauwaŝm pewne oŝsamości: I I ( z ) m m poniewaŝ ukła jes płaski z, ( z ) m m z w/w powou. Zsumujm e momen: I ( ) m I m m czli I z Bioąc po uwagę, Ŝe ze wzglęu na smeię obwa momen są akie same I I, ozmam: saecznie: I I I I z czli I I I z m I I z m. 4 Zwóćm uwagę, Ŝe wznaczliśm momen wzglęem śenic nie obliczając Ŝanej całki, lko kozsając z pewnch oŝsamości. Jak się okaŝe, moŝe o bć jen sposób posępowania pz baziej złoŝonch kszałach figu i bł. Sona 37

38 RZDZIŁ Pzkła.9 Wznaczć momen bezwłaności soŝka o masie m, pomieniu posaw i wsokości h wzglęem osi smeii oaz śenic posaw (sunek.3.). z Sona 38 h Rsunek.3. SoŜek o pomieniu posaw i wsokości h Pamięając o zasazie wznaczania momenu bezwłaności wzglęem osi smeii (jeśli isnieje) w piewszej kolejności obliczam I z ( ) m. Tm azem elemenan fagmen pzbiea posać powłoki walcowej okalającej oś z (sunek.4.). Jej objęość o iloczn pola i gubości, a więc V π uzu, ponao u, ozmam we I z ( )m u m u ρπ uzu. Funkcja pocałkowa zaleŝ jenak o wóch zmiennch u i z. Waźm ę osanią w funkcji pomienia elemenanej powłoki walcowej u. Z popocji pzesawionej na pawm sunku.4. wiać, Ŝe: i we I z I z h z u h u z h, (.4) 4 5 u 3 u u u u uh u h u u h ρ π ρπ ρπ ρ π h ρπ h 4 5 4

39 GEMETRI MS z z E h-z u u B u D z h u Rsunek.4. Elemenana powłoka walcowa o obliczania momenu I z ρ m / V, gzie V π h / 3 oz- Posawiając gęsość objęościową mam osaecznie: 3m 4 I z π h π h Pzejźm eaz o obliczeń momenu bezwłaności soŝka wzglęem osi bęącej śenicą jego posaw, np.. Jak wiać z kolejnego sunku, pojawia się poblem kszału elemenu całkującego, kó eaz sanowi juŝ nie jes smeczną powłoką walcową, cz nawe jej połową, ale ze wzglęu na pochlenie pobocznic soŝka jes pewną błą o ość skomplikowanm kszałcie. z 3 m. u u Rsunek.5. Dezinegacja elemenanego wcinka soŝka pz bezpośenim obliczaniu momenu I Co więcej, całkowanie obejmujące całą objęość soŝka powazi pz zwiększającm pomieniu całkowania o ozpau ej powłoki na z Sona 39

40 RZDZIŁ części. czwise jes, Ŝe w ej suacji nie poafim znaleźć objęości ak ozzielonch elemenanch fagmenów. Suacja saje się poobna o poblemu z obliczaniem śenicowego momenu bezwłaności koła. Tam wpawzie achunek bezpośeni bł skomplikowan, choć moŝliw, o le uaj zupełnie niewkonaln. Dlaego ak samo jak w popzenim wpaku zeba zasosować meoę obejściową, j. obliczć wszskie e momen soŝka, kóe ają się wznaczć ławo i nasępnie skozsać z pewnch związków jakie zachozą pomięz efinicjami momenów w ogóle i smeią soŝka w szczególności. Jenm ławm achunkiem la soŝka (opócz I z ) jes wznaczenie jego momenu wzglęem płaszczzn π (sunek.6). z z E h-z π u B z z D h Rsunek.6. Schema o obliczania momenu I π W m pzpaku elemen całkując pzbiea kszał nieskończenie cienkiego kąŝka, kó zmieniając swe wmia pozosaje jenak ciągle kąŝkiem. Bęzie więc: Iπ z m z ρ V z ρ π u z Kozsając ponownie z zaleŝności (.4), m azem la z w funkcji u ozmam: u h i wsawiając o waŝenia na momen: ( h z) I π h z ρ π h h ( h z) z ρ π z ( h z) h z Sona 4

41 GEMETRI MS h h z h z h z ( z h z h z ) z π ρ π h ρ π h 3 4 5, I 5 3 3m 3 π ρ π h h h m h ρ π π. I h π h Wóćm eaz o efinicji momenów bezwłaności (.8) i (.9) i zauwaŝm nasępując związek: z I z m m π π ( ) m I z I Z ugiej son smeia soŝka wmusza ówność ch momenów płaszczznowch ( Iπ Iπ ). Zaem: z z I πz Iπz I z albo I z I π z I z π. Poobnie zecz się ma z momenami wzglęem osi i soŝka są akie same. ZauwaŜm, Ŝe: I ( z ) m m z m Iπ z Iπ I z Iπ saecznie więc ozmam: 3 I m mh, a więc ( 3 h ) m I I co kończ nasze ozwaŝania na ema soŝka. Na koniec spawźm jak wgląa pow achunek la momenów ciał, kóe nie wmagają całkowania, gŝ ich kszał aje się zekomponować na mniejsze fagmen o posch konuach, la kóch isnieją goowe fomuł na waości momenów. Taska suacja ma ość częso miejsce w obliczeniach inŝnieskich. Zajmijm się pzpakiem eownika, kó jes złoŝeniem wóch posokąów. Z pzkłau.7 wiem juŝ ile wnosi momen pojenczej płaskiej pł posokąnej.. Sona 4

42 RZDZIŁ Spawźm, jak wkozsać ę wiezę o pzpaku nieco baziej złoŝonego. Pzkła. Wznaczć cenalne momen bezwłaności płaskiego eownika o całkowiej masie m i poanch wmiaach (sunek.7). c 6a C C c a a 8a Rsunek.7. Teownik z Pzkłau. Na począek zauwaŝm, Ŝe eownik posiaa oś smeii i auomacznie a oś jes osią cenalną. Duga posopała pzechozi ównieŝ pzez śoek mas, alej jej połoŝenie na azie nie jes znane. Zacznijm, acjnie, achunki o posszego pzpaku, czli obliczania momenu wzglęem osi smeii c. Pozielm eownik na wa posoką pionową linią ozielającą część o wmiaach 6 a a oaz a 8a (j. wzłuŝ pawej kawęzi pionowego posokąa). Całkowi momen eownika bęzie sumą: c () c I I I gzie ineks gón w nawiasie oznacza nume elemenu eownika (posokąa). Na posawie pzkłau.7. wiem, Ŝe momen pł jes wunasą częścią ilocznu mas i kwaau wmiau boku popzecznego o osi, wzglęem kóej an momen jes obliczan. Zaem: () c () () I c m (6a) oaz I c m( a)., Sona 4

43 GEMETRI MS Zwóćm uwagę na bazo waŝn szczegół, Ŝe w powŝszch wzoach uŝo mas o waościach m oaz m, a nie m. To oczwise, bo m ocz mas całego eownika, a mczasem liczm jego części. NaleŜ jenak pamięać, gŝ w unowch achunkach moŝna en szczegół pzeoczć, co opowazi o ogomnch błęów. bliczm waości ch mas. Ławo o ucznić na posawie gęsości powiezchniowej. Jeśli cał eownik wkonan jes z jenoonego maeiału, o: m ρ i m ρ gzie ρ m m i konkenie: m m 6a a a m m 6a a a 8a a m m m a 8a 8a m 6a a a 8a a 3 m 5 m 5 Spawźm jeszcze cz spełnion jes waunek sum mas, j.: 3 m m m m m 5 5 a więc zgaza się. Choć w m pzkłazie wiać ę zgoność o azu, nie zawsze jes o ak oczwise i spawzian aki moŝe uchonić pze powaŝnmi błęami. bliczm więc: () 3 9 I c m 36a ma oaz 5 5 i oajm ozmane momen: () I c m a ma. 5 3 I 9 54 ma () () c I c I c ma ma ma Pzejźm eaz o uniejszego zaania wznaczenia momenu I c. Jes naualnie: c () c I I I () c Sona 43

44 RZDZIŁ ale m azem nie jes znane połoŝenie osi cenalnej c. Nie moŝna więc o azu policzć momenów skłaowch. MoŜliwe jes jenak wznaczenie momenów poszczególnch posokąów wzglęem ich własnch pionowch osi smeii c oaz c (paz eŝ sunek.8.). c c c c 6a c C C C a a 8a Rsunek.8. Poział eownika z Pzkłau. oaz jego najwaŝniejsze osie () I c m (a) oaz () I c m(8 a). () 3 I c m 4a ma oaz 5 5 () 3 I c m 64a ma. 5 5 Są o jenak momen wzglęem óŝnch osi i Ŝanm wpaku nie wolno ich ze sobą oawać. Najpiew naleŝ spowazić je o wspólnej osi c. Dokonam ego wkozsując wiezenie Seinea: () c () c I I m (, ) c c oaz () c () c I I m ( c, c ), gzie ( c, c) i ( c, c ) oznaczają oległości pomięz osiami c i c oaz c i c (na sunku.8 oznaczone opowienio smbolami i ). Znajźm eaz e oległości. W m celu naleŝ wznaczć połoŝenie śoka mas eownika. Wgonie o zobić wpowazając oś wzłuŝ lewego bzegu eownika i o ej osi miezć połoŝenia śoków mas C, C obwu posokąów (sunek.8). Ławo wiać, Ŝe: c a oaz c 6a. Zaem bęzie: Sona 44

45 GEMETRI MS 3 a a 6a 8a 6a c 3 a 8a a c c a więc oległości pomięz osiami c i c oaz c i c są: a (, ) a c c c a i (, ) 6a c c c 3 a MoŜem eaz policzć momen wzglęem wspólnej osi c I I 3 3 ( ma () () c I c m a) ma m 4a 3 86 ( ma () () c I c m 3a) ma m 9a i weszcie je zsumować, ozmując osaecznie: () I c ma ma ma ma ma, co kończ pzkła i nasze ozwaŝania. Sona 45

46 RZDZIŁ Sona 46

47 Saka W m ozziale: o Sił cznne i biene, zewnęzne i wewnęzne o naliczne waunki ównowagi o Szczególne pzpaki ukłau sił o Skęnik o Tacie Coulomba o Mechaniczne efek wwołane aciem o Pzkła

48 RZDZIŁ.. Saka bez acia Waunek konieczn i wsaczając ównowagi Saka jes ziałem mechaniki zajmującm się sanem ównowagi ciał. Mówim, Ŝe ciało jes w ównowaze jeŝeli jego pękość wnosi zeo: (.) i jes o waunek konieczn ównowagi. Nie jes o jenak waunek wsaczając. Zeowa pękość nie gwaanuje bowiem ego sanu w alszej chwili. Ruszając samochó w chwili począkowej ma właśnie zeową pękość, ale momen później juŝ nie. Na o ab bł o san ównowagi wałej pozeba i wsacza ab p (.) gzie p jes pzspieszeniem ciała. To właśnie z ego ugiego waunku i II zasa namiki Newona ( p F / m ) wpowaza się ównania ównowagi ciał, pozwalające na ilościowe ujęcie zaganienia saki. PowŜsze ozumowanie jes bazo uposzczone, gŝ w isocie ocz punku maeialnego i uchu posępowego (II zas. Newona). W zeczwisości suacja jes baziej skomplikowana, gŝ w sace mam o cznienia z obiekami o znacznch wmiaach (moŝliw jes ównieŝ uch oboow) skepowanch óŝnmi więzami (oganiczeniami) zaówno zewnęznmi jak i wewnęznmi. Rozaje obciąŝeń i skępowań (więzów) ukłaów w ównowaze W analizie ównowagi zeczwise obiek moelujem jako: punk maeialn, ukła punków maeialnch, Sona 48

49 STTYK ciało szwne, ukła akich ciał. Sił, kóe pojawiają się w analizie zielim na: cznne (usiłujące zabuzć ównowagę mogą o bć sił masowe, j. cięŝa elemenów, oaz sił oakowo wpowazone o ukłau). biene (póbujące uzmać san ównowagi pochozące o skępowań, czli więzów ukłau). Sił biene zielim na: zewnęzne (o zewnęznch więzów, akich jak np. popo), wewnęzne (o skępowań wewnęznch, j. połączeń pomięz poszczególnmi elemenami). Bazo obze o pzesawia sunek.. Wizim na nim pową abinę złoŝoną z wóch belek połączonch pzegubowo na góze i zabezpieczoną liną pze ozsunięciem. KaŜe amię abin ma cięŝa Q, a oakowo jeno z nich obciąŝono oakową siłą F. W W F W W F Q Q S Q Q S R R R R Rsunek.. Sił cznne i biene, zewnęzne i wewnęzne Po ozłoŝeniu ukłau na pose elemen (zw. uwolnienie z więzów) pojawiają się wszskie sił, o kóch bła mowa powŝej. W m pzpaku siłami zewnęznmi cznnmi są: siła F oaz cięŝa amion Q. Siłami zewnęznmi bienmi są eakcje R i R, naomias bienmi Sona 49

50 RZDZIŁ wewnęznmi W, W oaz siła napięcia w zabezpieczającej linie S. Sił wewnęzne ujawniają się włącznie po ozłoŝeniu ukłau. Twozą pa o pzeciwnch znakach. Muszą znikać po złoŝeniu ukłau, gŝ w pzeciwnm azie błb siłami zewnęznmi (e nie znikają). Pzjzm się eaz na posawowm ozajom popó zewnęznch, geneującch eakcje zewnęzne biene. Pzesawiono je na sunku.. R R a) R R R R b) R c) R M R Rsunek.. Rozaje popó belek i eakcje, kóe w nich powsają: a) popoa sała, b) popoa uchoma, c) zw. zamuowanie Rsunek.a. pokazuje zw. popoę sałą. Pozwala ona na obó w jej miejscu, ale nie na owanie się anego elemenu. Geneuje ona eakcje w wóch posopałch kieunkach (np. poziomm i pionowm) niezaleŝnie o jej usuowania. Popoa uchoma (sunek.b.) aje lko jeną eakcję, kóa jes posopała o kieunku uchu moŝliwego la ej popo. Dlaego kieunek ej eakcji zaleŝ o jej usuowania. Tzeci ozaj zamocowania elemenów belkowch o zw. zamuowanie. znacza ono, Ŝe elemen w m miejscu nie moŝe się pzesuwać w Ŝanm kieunku, ani obacać. Dlaego aka popoa obiea z sopnie swobo, wwazając wie posopałe sił eakcji i jeen momen eakcjn (sunek.c.). Zajmijm się eaz ozajem obciąŝeń zewnęznch cznnch powch la elemenów belkowch i nie lko (paz sunek.3.). Sona 5

51 STTYK P [N] a) M [Nm] b) q [N/m] c) Rsunek.3. Rozaje obciąŝeń belek Najbaziej ozpowszechnionm ozajem obciąŝenia jes siła skupiona ziałająca w owolnm kieunku w wbanm punkcie elemenu belkowego (sunek.3a). Czasem moŝe pojawić się momen skupion usiłując skęcić elemen w anm punkcie (ziała mniej więcej jak obuęczn klucz o ociągania połączeń gwinowch). Smboliczne ziałanie akiego momenu pzesawia sunek.3b. Równie częso spokanm obciąŝeniem jes siła ziałająca nie punkowo, lecz ozło- Ŝona na pewnej ługości. MoŜe o bć cięŝa własn elemenu lub inna siła zewnęzna (np. napó wiau o óŝnej inenswności) sunek.3c. W ównaniach ównowagi akie obciąŝenie ciągłe zasępujem pojenczą siłą skupioną, kóej waość jes wpos popocjonalna o pola powiezchni epezenującego zeczwis ozkła obciąŝenia, a miejsce jej pzłoŝenia leŝ w śoku cięŝkości (geomecznm) ego pola. Reukcja ukłau sił RozwaŜm w ej chwili owoln pzeszenn ukła sił F, F,..., F i,..., F n jak pokazano na sunku.4. Do punku pzłoŝenia kaŝej z nich popowaźm pomień woząc,..., i,..., n. Sona 5

52 RZDZIŁ z F i F i n F n Rsunek.4. Dowoln ukła sił i pomienie ich ziałania bliczm eaz sumę wszskich ch sił (czli wpakową) nazwając ją wekoem głównm ukłau: n S F (.) i oaz momen główn efiniując go jako sumę ilocznów wekoowch pomieni wozącch poszczególnch sił i ich samch: i M n i i F i (.) ZauwaŜm, Ŝe w efinicji wekoa głównego nie ma punku oniesienia, czli en weko jes zw. niezmiennikiem ukłau sił gŝ nie zmieni się pz zmianie ukłau współzęnch, j. pzesunięciu go z punku o na pzkła za pomocą wekoa pzesunięcia (paz sunek.5.). Suacja bęzie jenak omienna la momenu głównego. Teaz la punku wniesie on: i nie jes on ówn momenowi n M F (.3) i M. i i Sona 5

53 STTYK z z i i F i i i Rsunek.5. Zmiana połoŝenia ukłau współzęnch. bliczanie momenu sił wzglęem nowego punku oniesienia Z ójkąa wekoów pzesawionch na pawm sunku.5. wiać, Ŝe: i i (.4) czli bęzie: M n i i F i n i n ( ) F F F i i i i i M M S (.5) a więc waźnie momen zmienia swą waość, a óŝnica mięz sam i nowm momenem głównm jes ówna wg wzou (.5) ilocznowi wekoowemu wekoa pzesunięcia i głównego S. Zasanówm się eaz cz isnieje jakaś wielkość związana z momenem głównm, a bęąca jenocześnie niezmiennikiem (zaleŝ nam na m, gŝ szukam jakichś uniwesalnch paameów ukłau sił niezaleŝnch o wbou ukłau współzęnch). kazuje się, Ŝe aką wielkością jes zu momenu głównego na kieunek główn. Rzu aki okeślon jes wzoem: o ( S ) o o M ( M S ) S (.6) o gzie S oznacza weso kieunku wekoa głównego S, j. jego weko o jenoskow ( S ). Spawźm, Ŝe zu en jes w isocie niezmiennikiem. Posawm w m celu o wzou (.6) waŝenie na momen M wg (.5): n i Sona 53

54 RZDZIŁ M ( S ) ( M ( M o S ) S S ) S o o o [( [( M o S) S ] S S) S ] S o M gŝ ugi skłanik ówna się zeo. Jes ak laego, Ŝe wnikiem ilocznu wekoowego S jes weko posopał o obwu skłaników, z kóch powsał (aka jes właściwość ilocznu wekoowego), o a więc posopał o S i m samm o S. Za chwilę jes jenak o mnoŝon skalanie pzez S, co aje wnik zeo, gŝ z kolei iloczn skalan wekoów posopałch o siebie właśnie aki wnik aje: o ( S ) o o S S ( S) S. o Kolejne mnoŝenie pzez pozosaje zeo), zaem: o S niczego oczwiście nie zmienia (alej ( S ) ( S ) M M (.7) PoniewaŜ wbó punku bł zupełnie owoln, mam pawo sązić, Ŝe właściwość a zachozi la kaŝego innego punku. Zilusujm ę suację gaficznie sując weko główn ukłau sił S, momen główn ( S ) M (.) oaz jego zu M (.) la kilku punków oniesienia (sunek.6.). KaŜoazowo ozmujem inn weko momenu, ale jego zu na kieunek S pozosaje bez zmian. Zachozi poejzenie, Ŝe isnieje aki punk oniesienia, la kóego obliczon momen główn o azu jes swoim zuem na kieunek główn (punk W na sunku.6.). Paę (S ) wekoów głównego S i momenu głównego akiego, Ŝe M W M W nazwam skęnikiem, a oś zefiniowaną kieunkiem S i punkem W osią skęnika. Pojęcie skęnika sanowi esencję zaganienia eukcji owolnego ukłau sił. Działanie zeczwisego ukłau owolnch sił F, F,..., F i,..., F n aje się zasąpić woma wekoami S i M W, kóe wwołają en sam skuek. Sona 54

55 STTYK S S S S M M M W (s) M B M (s) (s) M M B (s) M W W B Rsunek.6. Wpłw zmian połoŝenia ukłau współzęnch na weko główn i momen główn b zamknąć ozwaŝania na ema eukcji ukłau sił zasanówm się jak znaleźć połoŝenie osi skęnika. Po piewsze mam ukła współzęnch z kó wbieam w ogon la nas sposób, nie znając połoŝenia punku W pzez kó poszukiwana oś pzechozi. Niech punk en ma współzęne W W (,, z). Zaem weko pzesunięcia bęzie: [,, z ] [,,. z] W bliczam więc najpiew weko główn S i momen główn (S ) M oaz jego zu M. Na posawie wzou ansfomacjnego momen pz zmianie ukłau współzęnch (.5) ozmam: W S M M W PoniewaŜ ( S ) ( S ) S M MW oaz M ( ) W MW mam: W S M M (S ) Posawiając oakowo (.6) osaecznie ozmam. i S j S k z S z M M M z M M M ( S ) ( S ) ( S ) z (.8) Pześleźm e ozwaŝania na konkenm pzkłazie. Sona 55

56 RZDZIŁ Sona Pzkła. Dan jes pzeszenn ukła czeech sił, kóch kieunki ziałania i punku pzłoŝenia opao na sześcianie o boku a. KaŜa z ch sił ma ienczną waość P (sunek.7.). Zeukować en ukła o skęnika i znaleźć ównanie jego osi. z P a a a P P P Rsunek.7. Pzeszenn ukła sił z Pzkłau. Najpiew zefiniujm weko poszczególnch sił P i ich pomienie wozące. Ponumeujm w m celu e sił pzjmujące, Ŝe piewsza leŝ wzłuŝ osi, kolejne wie wzłuŝ osi i osania wzłuŝ z: ] [,,,], [,,], [,,,,] [ 4 3 P P P P F F F F. powienie pomienie wozące bęą:,], [ ],,, [ ],, [,,,,] [ 4 3 a a a a a a a. bliczm eaz weko główn ukłau sił z sunku.7. P P P P P P P i i 4 F S oaz momen główn: P a a P a a a P a a P k j i k j i k j i k j i M

57 STTYK Sona co aje: Pa Pa Pa Pa Pa Pa Pa Pa 3 M Wznaczm weso o S kieunku głównego S : S S S o gzie 6 ) ( P P P P S S S z S, zaem: 6, 6, 6 6 ],, [ P P P P o S. Spawźm, cz spełnion jes waunek wesoa S : S a więc zgaza się. bliczm eaz zu momenu głównego na kieunek główn zgonie z (.6). Najpiew iloczn 6, 6, 6 ],, 3 [ Pa Pa Pa o S M, Pa Pa Pa Pa o S M i alej: 6, 6, ) ( ) ( Pa S o o S S M M, Pa Pa Pa S 3, 3 4, 3 ) ( M.

58 RZDZIŁ Ławo spawzić, Ŝe zu wekoa momenu na kieunek główn jes ównoległ o samego wekoa głównego: Na posawie (.8) obliczam: ( S ) ( S) M a S M S. 3 i P j P Pa k 3Pa 3 4 z Pa Pa 3 P Pa Pa 3 co aje: 7 Pa P zp 3 zp P Pa. 3 P P 5 Pa 3 Dzieląc ozmane ównanie wekoowe pzez P i mnoŝąc pzez 3 (lub - 3 la uniknięcia ułamków) ozmam: 3 6z 7a 3z 3 a 6 3 5a. (.9) Wiaomo, Ŝe linia posa w pzeszeni moŝe bć pzesawiona jako część wspólna wóch pzecinającch się płaszczzn, kóe opisane są w ogólności ównaniem o posaci B Cz D, czli ak jak kaŝe z ównań (.9). Mam jenak z ównania, a o opisu osi pozeba lko wóch. Musim więc wkazać, Ŝe jeno z nich jes liniową kombinacją wóch pozosałch, i e właśnie sanowić bęą paę płaszczzn, kóch część wspólna woz oś skęnika. ZauwaŜm, Ŝe ak jes w isocie. ejmując o piewszego ównania z ukłau (.9) powojone ugie ozmam okłanie ównanie zecie. Jes więc ono liniową kombinacją piewszch wóch i e wbiezm o opisu osi skęnika. Zaem ukła: Sona 58

59 STTYK 3 6z 7a 3 3z a (.) efiniuje jenoznacznie ównanie osi skęnika. Nasujm ę oś. Dla sunku pzeszennego jes o ość kłopoliwe, więc la wgo znajźm wa pzkłaowe punk, pzez kóe a oś pzechozi. Pzjmijm na pzkła, Ŝe (czli punk na płaszczźnie z). We z piewszego ównania (.) wnika, Ŝe z 7a / 6, a z ugiego, Ŝe 5a / 6. Posępując analogicznie pz jenoczesnm wboze np. z (czli punk na płaszczźnie ) znajujem: a / 3 oaz 7a / 3. Teaz moŝna nasować oś skęnika na le pzjęego ukłau współzęnch. Pokazano ją na sunku.8. azem z naniesionm na ę oś wekoem głównm i momenem głównm. z M (s) 5 6 a 7 6 a a 3 S 7 3 a Rsunek.8. Skęnik i połoŝenie osi skęnika z Pzkłau. naliczne waunki ównowagi Wieząc juŝ, Ŝe owoln ukła sił moŝem zeukować o pa wekoa głównego i momenu głównego moŝem juŝ sfomułować analiczne waunki ównowagi. W ogólności na o, ab ukła pozosawał w ównowaze pozeba i wsacza Ŝeb: S oaz ( S) M (.) W ukłazie ciał o owolnm kszałcie na sił zewnęzne skłaają się sił cznne F zabuzające ównowagę i biene eakcji R uzmujące i i Sona 59

60 RZDZIŁ Sona ę ównowagę. Momen główn naomias jes ilocznem wekoowm ch sił. Dla owolnego pzeszennego ukłau moŝem zaem sfomułować nasępujące waunki ównowagi: R F R F n i i i n i i i n i i n i i ) ( ) ( R M F M R F (.) gzie i if i i F F M ) ( i i ir i i R R M ) (, a if oaz ir oznaczają opowienio pomienie ziałania sił zewnęznch cznnch i eakcji. WaŜając (.) skalanie ozmujem ukła sześciu ównań w posaci: R F R F R F n i iz n i iz n i i n i i n i i n i i R F R F R F (.a) gzie liczb F n i R n oznaczają liczbę sił cznnch i biench eakcji (kóe w ogólności mogą się óŝnić) oaz: R F R F R F n i i oiz n i i oiz n i i oi n i i oi n i i oi n i i oi R M F M R M F M R M F M ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( (.b) RozwaŜm eaz kilka chaakescznch pzpaków szczególnch. Płaski ukła sił ównoległch Tuaj moŝem ak wbać ukła współzęnch ab jena z jego osi pokwała się z kieunkiem wszskich sił (sunek.9.).

61 STTYK Sona F i Rsunek.9. Płaski ukła sił ównoległch We ównania (.) zeukują się o ukłau wóch ównań jenego na ównowagę sił i jenego la zeowania momenów:. ) ( ) ( R F R F n i i oiz n i i oiz n i i n i i R M F M R F (.3) Pzeszenn ukła sił ównoległch Tm azem sił ównoległe mogą wwozć niezeow momen wzglęem wóch osi. Zgonie z sunkiem.., moŝe o bć momen wzglęem i z. Zaem zeba oać o ukłau (.3) jeszcze jeen waunek na zeowanie momenu wzglęem.. ) ( ) ( ) ( ) ( R F R F R F n i i oiz n i i oiz n i i oi n i i oi n i i n i i R M F M R M F M R F (.4)