14. Pole elektryczne, kondensatory, przewodniki i dielektryki. Wybór i opracowanie zadań : Andrzej Kuczkowski.

Transkrypt

1 III Elektycność i magnetym 4. Pole elektycne, konensatoy, pewoniki i ielektyki. Wybó i opacowanie aań : Anej Kuckowski. 4.. Dwie niewielkie, pewoące kulki o masach ównych opowienio m i m nałaowane łaunkami q i q awiesone są na ównych niciach o ługości l (jak na ysunku). (a) Jakie waunki musą spełniać masy m i m oa łaunki aby kąty ochylenia nici o pionu spełniały waunek: α = α = α? (b) Oblic sumaycny łaunek obu kulek, jeżeli po nałaowaniu kąt mięy nićmi wynosi 9 py ałożeniu, że omiay i masy obu kulek są ówne: m = m = m =, g ługości nici: l = cm, a kulki pe nałaowaniem stykały się e sobą. 4.. Dwie niewielkie, pewoące kulki o jenakowych omiaach i ciężaach: G =,5 N awiesono na ównych niciach o ługościach: l = cm tak, że powiechnie stykały się. Jakim łaunkiem q c należy nałaować kulki aby napężenie nici N wynosiło, N? 4.. y wa ociągłe, pewoące ciała nałaowane łaunkami jenoimiennymi, bęą awse się opychały? 4.4. Jak należy oielić łaunek na wie kulki, aby siła wajemnego oiaływania mięy kulkami była najwięksa? Oblic watość tej siły Jaś obił sobie smalec e skwakami i stopiony, jesce pe wlaniem o słoicka, posolił. Niestety sól nie opuściła się w tłuscu i opała na no patelni. Spóbuj wyjaśnić Jasiowi lacego tak się stało y można bepośenio posłużyć się pawem oulomba w celu oblicenia siły, jaką pyciągają się okłaki nałaowanego konensatoa? 4.7. Oblic siłę iałającą na punktowy łaunek q = 5-9, najujący się w śoku ównomienie nałaowanego łaunkiem = -7 półokęgu o pomieniu = 5 cm tey jenakowe łaunki umiescono w wiechołkach kwaatu. Gie i jaki łaunek q należy umieścić, aby ukła nalał się w ównowae? W jakiej ównowae najują się łaunki? 4.9. Pole elektycne jest wytwaane pe ty łaunki, i, umiescone w wiechołkach tójkąta ównobocnego o boku a. Oblic potencjał w śoku ocinka łącącego łaunki i.

2 4.. Na końcach ocinka o ługości najują się łaunki > i -4. W jakich punktach postej pechoącej pe łaunki: (a) natężenie pola ówna się eu, (b) potencjał pola ówna się eu, (c) występuje minimum (lokalne) potencjału? 4.. Potencjał w pewnym punkcie pola pochoącego o łaunku punktowego wynosi = 6, a natężenie pola wynosi E = N/. Oblic wielkość łaunku i oległość tego punktu o łaunku. Pyjmij =. 4.. Mała kulka o masie m =, g wisi na nici mięy wiema nałaowanymi płytami. Kulka nałaowana jest łaunkiem q = 6-9. Ile wynosi óżnica potencjałów mięy płytami, jeżeli nić twoy pionem kąt =, a oległość mięy płytami =, m? 4.. Naysuj linie sił pola elektycnego oa powiechnie stałego potencjału la pestawionych poniżej ukłaów łaunków elektycnych: (a) (b) (c)

3 () 4.4. Jak wpływają pemioty pewoące na okła pola elektycnego? Naysuj linie sił pola elektycnego i powiechnie ekwipotencjalne la poniżsych ukłaów: (a) (b) (c) 4.5. Oblic potencjał i natężenie pola elektycnego w śoku półpieścienia o pomieniu nałaowanego ównomienie łaunkiem.

4 4.6. Duciany pieścień o pomieniu nałaowany jest ównomienie łaunkiem. Oblic i wykeśl ależność potencjału i natężenia pola elektycnego o tego pieścienia la punktów najujących się na osi postopałej o powiechni pieścienia. Watości natężenia pola elektycnego wynac woma metoami: (a) metoą supepoycji pól oa (b) e wiąku E ga. 4.7.* Oblic natężenie pola elektycnego na symetalnej ocinka o ługości a nałaowanego e stałą gęstością łaunku liniowego. Wykaż, że pole to staje się w ganicnych pypakach polem elektycnym: (a) nieskońcenie ługiego pewonika, (b) łaunku punktowego. 4.8.* Oblic potencjał i natężenie pola elektycnego na osi symetii postopałej o powiechni nałaowanego łaunkiem kążka o pomieniu. Wykaż, że pole to staje się w skajnym pypaku polem elektycnym: (a) płascyny nieskońconej, (b) łaunku punktowego. 4.9.* Potencjał pola elektycnego okeślony jest ównaniem: = a(x +y )+b, gie a >, b >. (a) Jaki jest kstałt powiechni ekwipotencjalnych? (b) Wynac wekto natężenia pola elektycnego E i jego mouł E. (c) Jaki jest kstałt powiechni, na któych E = const? () Jaki kstałt bęą miały powiechnie ekwipotencjalne gy potencjał bęie okeślony ównaniem: = a(x +y )-b gie a >, b >? 4.. Koystając asay supepoycji oiaływań, oblic potencjał i natężenie pola elektycnego o ukłau wóch łaunków + i oległych o siebie o (ipol elektycny) w oległości o śoka ipola: (a) na symetalnej ocinka łącącego obywa łaunki, (b) na postej łącącej obywa łaunki. 4..* Oblic potencjał i watości bewglęne natężenia pola elektycnego ipola o momencie p jako funkcję i, gie onaca oległość o śoka a kąt mięy osią ipola i postą łącącą śoek ipola anym punktem.

5 4.. kła cteech łaunków q omiesconych w naożach kwaatu o boku a jak na ysunku twoy kwaupol. Oblic potencjał i natężenie pola elektycnego w punkcie leżącym w oległości > a o śoka kwaupola (pat ysunek): 4.. Kwaupolem liniowym naywamy ukła cteech łaunków q umiesconych na jenej postej, jak na ysunku. kła ten możemy taktować jako skłaający się wóch stykających się ipoli. Oblic potencjał i natężenie pola elektycnego na osi kwaupola w oległości >> a W jenoonym polu elektycnym o natężeniu E = /m najuje się ipol elektycny o momencie ipolowym p = 5 - m. Naysuj siły iałające na ipol oa oblic moment tych sił, jeżeli oś ipola twoy polem elektycnym kąt =. 4.5 Dipol o momencie p = 5 - m najuje się w niejenoonym polu elektycnym E o gaiencie. Oblic siłę wywieaną pe pole na ipol w tym polu. m x 4.6 Na ipol elektycny w niejenoonym polu elektycnym iała siła wciągająca lub wypychająca go pola w ależności o ustawienia ipola. Wyjaśnij, lacego skawki papieu są awse pyciągane o naelektyowanej pałecki W polu elektycnym wytwoonym pe punktowy łaunek q w oległości o niego najuje się ipol elektycny o momencie p. Oblic siłę, jakiej onaje ipol o łaunku punktowego, w pypaku, gy łaunek q najuje się: (a) na osi ipola, (b) na symetalnej ipola Wynacyć watość momentu siły iałającego na ipol o momencie ipolowym p umiescony w oległości o bao użej okągłej płyty metalowej o pomieniu ( >> ) nałaowanej łaunkiem ujemnym o gęstości powiechniowej. Dipol jest ustawiony po kątem 45 o płyty Koystając pawa Gaussa, wynacyć natężenie pola elektycnego wytwoonego pe płascynę nałaowaną ównomienie łaunkiem o gęstości powiechniowej.

6 4.. Niepewoącą kulę o pomieniu nałaowano jenoonie łaunkiem o gęstości objętościowej. Oblic ależność potencjału i natężenia pola elektycnego w funkcji oległości o śoka kuli. Pestaw gaficnie otymane ależności. Pyjmij = wewnąt kuli. 4.. Metalową kulę o pomieniu nałaowano łaunkiem q. (a) Oblic i wykeśl ależność potencjału i natężenia pola elektycnego w funkcji oległości o śoka kuli. (b) Jak mieni się okła pola elektycnego, gy amiast metalowej, użyjemy kuli ielektyka nałaowanej powiechniowo łaunkiem q. 4.. Nieskońcenie ługą postą nić najującą się w póżni nałaowano e stałą gęstością liniową łaunku = -6 /m. (a) Wynac mouł natężenia pola E i potencjał jako funkcję oległości o nici. (b) Oblic E i la = m. 4.. Łaunki o peciwnych nakach są ołożone e stałymi gęstościami powiechniowymi + i opowienio na wóch metalowych płascynach nieskońconych, ównoległych wglęem siebie i oległych o. (a) Oblic i wykeśl ależność potencjału i natężenia pola elektycnego w funkcji oległości mięy płytami. (b) Jak mieni się okła pola, gy jeną płyt połącymy iemią? 4.4. Oblic pojemność oosobnionej kulki metalowej o pomieniu Oblic, koystając efinicji pojemności elektycnej, pojemność konensatoa: (a) płaskiego, (b) kulistego, (c) walcowego Płaski konensato nałaowano o napięcia i ołącono o źóła. Jak mieni się: (a) napięcie na konensatoe, (b) natężenie pole elektycnego, (c) łaunek na okłakach, jeżeli okłaki suniemy na n ay mniejsą oległość? 4.7. Płaski konensato połącono biegunami akumulatoa o sile elektomotoycnej. Jak mieni się łaunek na konensatoe, jeżeli suniemy okłaki na n ay mniejsą oległość? Jak mieni się wówcas natężenie pola elektycnego? 4.8. Do wóch seegowo połąconych konensatoów o pojemnościach = pf i = pf pyłożono stałe napięcie =. Oblic napięcia i na konensatoach i łaunki q i q na ich okłakach. Jaka jest pojemność tego ukłau? 4.9. Płaski konensato powietny, o oległości mięy okłakami, nałaowano łaunkiem. (a) Jak mieni się natężenie pola elektycnego po wpowaeniu mięy okłaki, ównolegle o nich, metalowej płytki o gubości l? Powiechnie okłaek i płytki wynosą S. (b) Oblic pojemność ukłau płytką. (c) Jak mieni się napięcie mięy okłakami w wyniku wpowaenia płytki? 4.4. Kulka tęci, nałaowana o potencjału, poieliła się na wie kulki, któych jena ma n ay więksą objętość o ugiej. Do jakich potencjałów bęą nałaowane te kulki?

7 4.4. Każy tech konensatoów o pojemnościach,, nałaowano o napięcia i następnie, po ołąceniu źóła napięcia, wsystkie połącono seegowo (ys. a) Oblic łaunki,, na okłakach konensatoów tak otymanego ukłau konensatoów po waciu ich pewonikiem (ys. b). (a) (b) 4.4. Ty konensatoy o pojemnościach,, i połącono jak na ysunku i nałaowano łaunkiem. Oblic łaunki na okłakach każego konensatoów Ty konensatoy o pojemnościach,, i połącono jak na ysunku i nałaowano łaunkiem. Oblic łaunki na okłakach każego konensatoów Ile ay twały moment ipolowy cąstecki tlenku węgla O, któy wynosi p =,7 - m, jest więksy o momentu ipolowego inukowanego w tej cąstecce pe ewnęte pole elektycne o natężeniu E = 4 /cm? Śenia polayowalność elektonowa cąstecki O wynosi =,. -4 Fm W oległości = 5 - m o atomu agonu najuje się elekton. Osacuj moment ipolowy inukowany w atomie agonu pe pole elektycne elektonu. Polayowalność elektonowa atomu agonu wynosi =,8-4 Fm Momenty ipolowe molekuł ównają się sumie wektoowej opowienich momentów ipolowych wiąań. Oblic moment ipolowy wiąania OH w molekule woy, jeżeli moment ipolowy molekuły woy ówna się 6, - m, a kąt mięy wiąaniami OH wynosi 4.

8 4.47. Stała elektycna iamentu wynosi =,46 - /(Nm ). Znajź wglęną penikalność i poatność ielektycną iamentu. Ile wynosi polayowalność jenostki objętości i jenego mola iamentu? Gęstość iamentu =,5 g/cm, masa molowa = g/mol. Skoystaj e woów na wekto polayacji: P ( ) E ne, gie n onaca koncentację ipoli Jak mieni się: (a) pojemność elektycna, (b) łaunek na okłakach, (c) napięcie, () natężenie pola elektycnego, jeżeli mięy elektoy konensatoa płaskiego o pojemności wsuniemy ielektyk o penikalności i gubości ównej oległości mięy okłakami konensatoa? opatyć wa pypaki: (I) Konensato po nałaowaniu o napięcia ołącono o źóła. (II) Konensato jest cały cas połącony o źóła o napięciu Konensato płaski, któego okłaki są oalone o l = cm wypełniony jest olejem ( = 5). Jakie napięcie należy pyłożyć o konensatoa, aby gęstość łaunków polayacyjnych na oleju wynosiła = 6, - /cm? 4.5. Płaski konensato póżniowy nałaowano tak, że natężenie pola wynosi w nim E = M/m. Następnie wypełniono go ielektykiem, któego obiny są stywnymi ipolami o momencie p e =,5-9 m. Koncentacja ipoli n = 6 m -. Oblic śenią watość natężenia pola elektycnego wewnąt ielektyka, pomijając wpływ uchów cieplnych obin Oblic gęstość łaunków polayacyjnych na powiechni płytki mikowej ( = 7) o gubości l =, mm, wypełniającej całkowicie płaski konensato nałaowany o napięcia = 4. Jak i o ile mieni się napięcie na konensatoe po wyjęciu płytki? 4.5. Płaski konensato powietny, o pionowo ustawionych okłakach oległych o, nałaowano i anuono cęściowo w ciecy o wglęnej penikalności ielektycnej. Oblic stosunek łaunków elektycnych i natężeń pól elektycnych w obu cęściach konensatoa, jeżeli wysokość okłaek wynosi H, a wysokość anuonej cęści jest h Płaski konensato o powiechni elekto S = cm oalonych o siebie o = cm nałaowano o napięcia = i ołącono o źóła. Następnie obsa mięy okłakami konensatoa ściśle wypełniono wiema płytkami ielektycnymi o gubościach = mm i = 8 mm, oa stałych ielektycnych = i = 4. Oblic: (a) Łaunek swobony na okłakach konensatoa. (b) Watości wektoów natężenia pola elektycnego E, inukcji elektostatycnej D i polayacji elektycnej P w obu ielektykach. (c) Napięcie na konensatoe po włożeniu płytki. () Pojemność konensatoa obu ielektykami.

9 owiąania: 4... (a) Jenoimiennie nałaowane kulki opychają się siłami F c = F c = F c (gonie III asaą ynamiki). qq F c k, gie: k. 4 F tg c Fc tg Fc m g Fc m g = wtey, gy m = m = m. Łaunki q i q mogą być óżne. (b) Ponieważ kąt + = = 9, więc kąt = 45, stą: () tg tg45 q Fc 4 q () tg. mg 4 mg Łaunki obu kulek są ówne: q = q = q, bo kulki mają te same omiay, są pewoące, oa stykały się e sobą pe nałaowaniem.

10 Z ównań () i () otymujemy: () q 4 mg. Ponieważ l (pekątna kwaatu), więc ównanie () możemy apisać w postaci: 6 q l mg 4, 7. Sumaycny łaunek obu kulek q c ówna się: 4... gie: q c 8 q 9, 4. ( N G ) l q,, k N q c 6 4 k N m Wskaówka: Pat owiąanie a. 4.. Skoystaj poobieństwa tójkątów sił i oległości oa pawa Pitagoasa Nie. W pypaku pewoących ciał ociągłych, gy łaunek jenego ciał bęie nacnie więksy o łaunku ugiego ciała, efekt inukcji elektostatycnej (oielenia łaunków w pewoniku po wpływem pola elektostatycnego) może być silniejsy i nałaowane jenoimiennie ciała bęą się pyciągały! q q Wskaówka: Skoystaj waunku ekstemum siły coulombowskiej W soli występuje wiąanie jonowe. Zgonie pawem oulomba, siła oiaływania wóch łaunków F c ówna się: F c qq 4. Dla tłuscu =, w peciwieństwie o woy, la któej = 8, latego też w woie następuje opuscanie się soli, a w tłuscu nie. Jest to intepetacja jakościowa. W ciele stałym o wiąaniu jonowym występują baiej łożone oiaływania.

11 4.6.. Nie. Pawo oulomba stosuje się ściśle tylko o łaunków punktowych. W pypaku pewoących ciał ociągłych, ecywiste oiaływanie może óżnić się nie tylko co o watości, ale też co o naku siły. Pat pykła Koystamy asay supepoycji oiaływań. Na ługości l półokęgu najuje się łaunek punktowy : gie l element ługości półokęgu. () l, Łaunek q w śoku półokęgu onaje oiaływania o tego punktowego łaunku: q () F k. Siłę F możemy ołożyć na wie skłaowe: F x i F y. Skłaowe siły F y pochoące o punktów położonych symetycnie wglęem osi x bęą się kompensowały. Dlatego też wypakowa siła F bęie skieowana włuż osi x i pochoić bęie o skłaowych siły F x. F F x Fx F sin Postawiając a l: l = we woe () i () otymamy: F q sin k q k, 4 N kła najuje się w ównowae, gy w śoku kwaatu umieścimy łaunek: q ( ). 4

12 Bęie to ównowaga chwiejna. Najmniejse akłócenie ównowagi powouje, że ukła nie bęie już w ównowae k ( ), a gie: k (a) Onacając pe E + natężenie pola elektycnego o łaunku oatniego, a pe E - natężenie pola elektycnego o łaunku ujemnego, oa pe oległość o łaunku oatniego, możemy stwieić, że natężenie wypakowe może być ówne eu tylko w obsae I. Dla tego obsau: i E + = E -, cyli: E k, 4 E k ( ) k 4 k. ( ) Stą otymujemy ównanie kwaatowe na :. Z ównania tego otymujemy wa owiąania: i, cyli natężenie pola elektostatycnego ówne eo wystąpi lewej stony łaunku w oległości. Dugie owiąanie bęie opowiaało położeniu na pawo o łaunku. W punkcie tym natężenia E + i E - są ównież ówne, lec są gonie skieowane (spawź to!). (b)

13 Koystamy asay supepoycji pól: = + + -, gie: k - watość potencjału elektycnego w punkcie oległym o o łaunku, ' 4 k - watość potencjału elektycnego w punkcie oległym o o łaunku -4. Watość oległości wiąana jest oległością następującą ależnością: III w obsae II w obsae w obsaei ' W alsych oważaniach amiast bęiemy pisać pamiętając, że jest to watość bewglęna. W obsae I watość wypakowego potencjału wyaża się woem: k k k 4 4 w obsae II aś: k k k 4 4 5

14 Jak łatwo spawić, w obsae III wypakowy potencjał nie pyjmuje watości ównej eu. (c) Minimum lokalne potencjału wypakowego może wystąpić tylko w obsae I. Koystając waunku ekstemum funkcji:, najujemy watość oległości tego punktu o łaunku : =. Jest to ównoceśnie watość oległości, w któej E =. Wynika to e wiąku E ga, któy w pypaku jenowymiaowym wyaża się woem: E. = m, = -7. tg m g q 5, (a) (b)

15 (c) () (a) (b)

16 (c) k E k. Wskaówka: Należy skoystać asay supepoycji oiaływań, poobnie jak w a Potencjały należy sumować skalanie, a natężenia wektoowo Łaunek q najujący się na elemencie ługości pieścienia l wytwaa na osi w oległości o niego potencjał :, ponieważ: l, a, więc:

17 k l. Po scałkowaniu: k l, ską: k. Z symetii ukłau wiać, że skłaowe natężenia pola elektycnego postopałe o osi skompensują się, latego E = E. (a) Koystając asay supepoycji możemy napisać: E k, E E cos, ale: cos, więc: E k k l, ską: (b) E k l k E E k E ga. W nasym pypaku wyażenie to możemy apisać w postaci: E E k, stą: E E k

18 4.7.. E k a a a q (a) la E k k a, gie q a. (b) la a E k Posługując się asaą supepoycji pól najujemy poobnie jak w a watości potencjału i natężenia pola elektycnego la punktów najujących się na osi. Potencjał o łaunku, najującego się na pieścieniu o pomieniu i seokości, w punkcie najującym się na osi w oległości o pomienia, ówna się: k, ' ale:, gie gęstość powiechniowa łaunku, a '. Stą: k Watość potencjału o całego kążka ówna się więc: k. ałkując pe postawienie otymujemy: k

19 Postawiając a :, otymujemy: () k. Ponieważ natężenie pola elektycnego jest wielkością wektoową, latego też skłaową pola w kieunku osi o łaunku najującego się na pieścieniu, można wyaić woem: ' ' ' cos k k E E. Postawiając a : oa a ' : ' otymamy: k E ską: k E, lub kłaąc : () E k. Dla >>, cyli la użych oległości wyażenie na potencjał () można apisać w postaci: k Wyłącając pe nawias i stosując pybliżenie słusne la, otymamy: k. Stosując analogicne pybliżenie o wyażenia () na skłaową E pola elektycnego otymamy: k E.

20 Dla ugiego skajnego pypaku, cyli la watości opowiaającym punktom leżącym w pobliżu kążka, spełniona jest elacja <<, lub ównoważna. Watość potencjału la tych punktów możemy otymać pe astosowanie następującego pybliżenia w wyażeniu (): la >>. Stą: k ( ). Natomiast la >>, w wyażeniu na skłaową E pola, możemy aniebać ugi cłon w nawiasie, co powai o wyażenia na natężenie pola elektycnego o nałaowanej nieskońconej powiechni: E k. (a) Powiechnie ekwipotencjalne mają kstałt elipsoiy obotowej o półosiach:, a, a. b (b) E ( axi ayj bk ), E Wskaówka: Skoystać e wiąku a ( x y ) b. E ga. (c) Powiechnie, na któych E = const mają ównież kstałt elipsoiy obotowej o innych E E E półosiach:,,. a a b () W tym pypaku la watości potencjału > powiechnie ekwipotencjalne bęą miały kstałt jenopłatowej hipeboloiy obotowej, la = kstałt stożka, a la < kstałt wupłatowej hipeboloiy obotowej p p (a) =, E k, gie p. 4 (b) p k, p p E k. 4 Woy te słusne są py ałożeniu: >>.

21 4... Potencjał w owolnym punkcie, oległym o ipola o, licymy sumując potencjały o obu łaunków. k k k. Dla >> l, a l cos, ską: lcos pcos k, 4 gie: p = ql moment ipolowy. Watość natężenia pola elektycnego w punkcie licymy posługując się następującym oumowaniem: Załóżmy, że w punkcie B umieścimy obok siebie wa łaunki: +q i q. Nie wpłyną one na pole piewotne, lec tea już nas ukła można taktować jak wa ipole: p I i p II. Z tójkąta postokątnego ABD wynika, że ługość boku AB l cos, a boku BD l sin. Stą watość ipola p I ql cos pcos, a ipola p II ql sin psin. Natężenie pola elektycnego w punkcie można taktować jako sumę wektoową pól: E I pochoącego o ipola p I (na jego osi), oa pola E II pochoącego o ipola p II (na jego osi symetii), cyli: stą: E E I II pi p cos k k, pii psin k k. p E EI EII k 4cos p p k cos 4 sin. cos

22 4... gie: = qa moment kwaupolowy., 6 E k, 4 4 Wskaówka: Natężenie pola elektycnego kwaupola możemy taktować jako łożenie wu pól ipolowych w punkcie leżącym na ich osi symetii. Należy wócić uwagę, że oległości mięy łaunkami wynosą a. 4..., k 4, E k gie: = qa M M p E p E sin 5N m F E p x 5 N Skawki papieu są elektycnie obojętne. Dopieo po wpływem pola elektycnego skawki papieu stają się ipolami inukowanymi. Py takim aś ustawieniu ipola, bęie on wciągany pe niejenoone pole elektycne. (Zób ysunek i naysuj siły iałające na poscególne łaunki ipola) (a) W punkcie, w któym najuje się łaunek q występuje pole elektycne o ipola p o natężeniu E: E k. Dlatego też na łaunek bęie iałała siła: F pq pq qe k. 4 Na ipol aś, gonie III asaą ynamiki, bęie iałała siła ówna, peciwnie skieowana.

23 (b) Stosując poobne oumowanie jak w punkcie (a), otymujemy watość siły: F pq pq k M pe sin, gie: E natężenie pola elektycnego o nałaowanej płyty. Dla >>, a Stą: E. Pat p sin. M E 4... (a) <. Koystamy pawa Gaussa: q () E S, gie: q łaunek awaty wewnąt powiechni gaussowskiej (sfey) o pomieniu = w <. stą całkując () otymamy: E 4 q, 4 4,

24 ską: E. (b) Dla > : () E S 4 gie: - łaunek awaty w całej nałaowanej kuli. la sfey gaussowskiej o pomieniu = > otymamy, całkując (): E 4 4 ską: 4 () E. 4 Ze wou () wynika, że la > natężenie pola elektycnego nałaowanej objętościowo kuli jest ientycne polem o łaunku punktowego, najującego się w śoku kuli. Potencjał pola elektycnego w nałaowanej kuli licymy koystając e wiąku: E, la > : E, ską: ew : la cyli: ew la < : E, ską, po scałkowaniu: wew. Stałą wylicymy waunku: cyli: wew ( ) ew ( ) wew, 6 wew ( 6 )., latego:

25 4... (a) Dla < : ( ) q 4 const, E() = la > : ( ) q 4, E( ) q 4 (b) Na ewnąt i wewnąt kuli ielektyka, nałaowanej powiechniowo łaunkiem q, pole bęie ientycne polem o kuli metalowej o tych samych omiaach i nałaowanej ientycnym łaunkiem (a) E, ln (b) E =,5 /m, = -,8 5 Wskaówka: W celu oblicenia E należy posłużyć się pawem Gaussa. Potencjał należy wynacyć całkując ależność: E. Stałej całkowania nie można jenak wynacyć ależności = la. Stałą obieamy tak, aby = la = = m.

26 4... (a) Natężenie pola elektycnego ówna się: mięy płytkami: x : E, poa płytkami: < x i x > : E =. Potencjał licymy ależności: ską: E, x x Ex. Po scałkowaniu: x, ostatecnie: x. (b) Gy jeną płyt połącymy iemią, wówcas potencjał jej bęie ówny eu, a uga płyta bęie na potencjale Koystając efinicji pojemności elektycnej oosobnionego pewonika:, gie: łaunek na pewoniku, a potencjał na powiechni pewonika. Pamiętając, że la kuli o pomieniu :, 4 otymamy: 4.

27 4.5.. Pojemność konensatoa: (a) Płaskiego: S, la S >> (b) Kulistego: 4, (c) Walcowego: l, la l >> i. ln Sposób oblicania pojemności konensatoów pokażemy na pykłaie konensatoa płaskiego. Natężenie pola elektycnego mięy okłakami konensatoa: E, gie: - gęstość powiechniowa łaunku, S powiechnia okłaki. Koystając S ależności: otymamy: E x Ex x,

28 ską otymamy: Postawiając o ostatniego wyażenia a ( ),, ostajemy: S, S ską otymamy wyażenie na pojemność konensatoa płaskiego: S pe sunięciem: po sunięciu: Pojemności: S S S, n n Łaunki: (a) n n Napięcie mniejsa się n ay.

29 (b) E E n E n E E const Natężenie pola elektycnego nie mieni się. (c) const Łaunki na okłakach obu konensatoów połąconych seegowo spełniają elację: q q q q q, gie pojemność astępca Z tych tech ównań otymujemy:, a q łaunek wypakowy., 8 q q q (a) Natężenie pola elektycnego nie mieni się w wyniku wpowaenia płytki metalowej mięy okłaki konensatoa, bowiem: E. S (b) Pojemność konensatoa po włożeniu płytki wośnie: S. l (c) Ponieważ łaunek na okłakach konensatoa jest stały, a pojemność wośnie, l w wiąku tym napięcie maleje o:. S

30 4.4.. Ponieważ kulki tęci są pewoące, więc ich potencjały w chwili oielania i potem musą być ówne. n n. Wskaówka: Skoystaj pawa achowania łaunku, efinicji pojemności kulki, oa faktu, że objętość piewotna kulki bęie ówna sumie objętości obu kulek W wyniku wacia konensatoów nastąpi pepływ jenakowego łaunku mięy kolejnymi konensatoami, aż o chwili, gy okaże się, że suma napięć na wsystkich konensatoach stanie się ówna eu. W Wyniku tego łaunki na poscególnych konensatoach bęą ówne:, gie: ) (, ,,.

31 p in E, p p in 68 4 m p in e E 4, m p OH 7, 6 m , 5, 5, 5, F n ( ) 4,, m 6 F m n 4, 7. mol N A (I) Konensato po nałaowaniu o napięcia ołącono o źóła. W tym pypaku łaunek na okłakach nie bęie się mieniał const. (a) Pojemność: Pe włożeniem ielektyka: S. Po włożeniu ielektyka: S Pojemność wośnie ay. (b) Łaunek: () const

32 (c) Napięcie: Z ównania () wynika, że: Napięcie mniejsy się ay. () Natężenie pola elektycnego E, E E. Natężenie pola elektycnego wewnąt ielektyka mniejsy się ay, ponieważ łaunki polayacyjne na powiechni ielektyka wytwoą pole peciwne o pola ewnętnego. (II) Konensato jest cały cas połącony o źóła o napięciu. W wiąku tym napięcie const. Napięcie nie mieni się. (a) Pojemność:. (b) Łaunek na okłakach konensatoa: Łaunek wośnie ay. Ze źóła opłynie na okłaki oatkowy łaunek, ówny łaunkowi polayacyjnemu. (c) Napięcie: const. () Natężenie pola elektycnego: E E, E const. Natężenie pola elektycnego nie ulegnie mianie.

33 P ( ) n l ) ( l 75 Wskaówka: Gęstość łaunków polayacyjnych ówna się skłaowej nomalnej wektoa polayacji P npe E E E 4, 4 M m. P n 6, l 4 m Konensato płaski o okłakach anuonych cęściowo w ciecy ielektycnej można opatyć jako wa konensatoy połącone ównolegle. Dlatego, cyli: ską: Ponieważ, więc: 4.5.., ( H h). h E E. (a) Łaunki na okłakach konensatoa ównają się: S q 8, 9

34 (b) Watości: natężenia pola elektycnego w ielektykach: m E E 5 m, E E 5 inukcji elektycnej: m, E D m, E D, cyli D D. wektoa polayacji: m, )E ( P m, )E ( P (c) Napięcie na konensatoe po włożeniu płytek: E E x E E x Postawiając watości licbowe:. () Pojemność konensatoa ielektykiem licymy wou efinicyjnego: F S