CAŁKOWANIE NIELINIOWYCH RÓWNAŃ DYNAMIKI CIAŁA SZTYWNEGO I POWŁOK SPRĘŻYSTYCH

Transkrypt

1 POLITECHNIKA GDAŃSKA IZABELA LUBOWIECKA CAŁKOWANIE NIELINIOWYCH RÓWNAŃ DYNAMIKI CIAŁA SZTYWNEGO I POWŁOK SPRĘŻYSTYCH PUBLIKACJĘ SFINANSOWAŁA GDAŃSK 4 FUNDACJA ROZWOJU INŻYNIERII LĄDOWEJ

2

3 SPIS TREŚCI WYKAZ WAŻNIEJSZYCH OZNACZEŃ... 7 WPROWADZENIE METODY BEZPOŚREDNIEGO CAŁKOWANIA RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH ZWYCZAJNYCH Uwagi wstępe Rówaia różiczkowe zwyczaje Procesy ewolucyje Zagadieie Cauchy ego Postać ormala Iterpretacja geometrycza Waruki istieia i jedozaczości rozwiązaia Metody różicowe, kocepcja Liiowa k-krokowa metoda różicowa Jawe metody różicowe Niejawe metody różicowe Uwagi o iteracji prostej Uwagi o iteracji metodą Newtoa Uwagi o metodach predyktor-korektor Błędy schematu różicowego Źródła błędów Lokaly błąd schematu Globaly błąd schematu Właściwości błędów schematu Przykłady określaia współczyików i błędów schematów różicowych Metoda Eulera Metoda puktu środkowego Metoda trapezów Metoda Simpsoa Zbieżość rozwiązaia rówaia różicowego Zbieżość jedostaja Zgodość (rząd) schematu różicowego Wielomiay charakterystycze Zero-stabilość Stabilość absoluta Przykłady obszarów stabilości wybraych schematów całkowaia Układ liiowych rówań różiczkowych Układ rówań Układ rówań liiowych Macierz fudametala Obliczaie macierzy fudametalej w układach o stałych współczyikach Efektywe obliczaie macierzy fudametalej Układ ieliiowych rówań różiczkowych Liearyzacja układu Lokale własości układu Sztywość i stabilość układu Sztywość układu Stabilość układu Pukty krytycze układów autoomiczych... 46

4 4 Spis treści.. Rówaia różiczkowe w dyamice kostrukcji Zagadieia dyamiki kostrukcji Rówaia dyamiki kostrukcji FORMALNY OPIS OBROTÓW Pojęcie obrotu Obrót skończoy, grupa obrotów Nieskończeie mały obrót, przestrzeń stycza do grupy obrotów Parametryzacja grupy obrotów Współrzęde lokale tesora obrotu Fukcja wykładicza, parametryzacja kaoicza Parametryzacje przez wektor obrotu skończoego Parametryzacja Cayleya-Kleia, pseudowektor Rodriguesa Kąty Eulera Akumulacja obrotów Bazy układów współrzędych Lewa i prawa trasformacja, przyrost obrotu Składaie obrotów Powiązaie przyrostów wektorów obrotu Operatory dotyczące obrotów Pochode kierukowe obrotu Wariacje tesora obrotu Prędkości kątowe Przyspieszeia kątowe Relacje między obiektami z różych przestrzei styczych Przestrzeie stycze Relacje między przyrostami, reprezetacja przestrzea Relacje między przyspieszeiami kątowymi, reprezetacja przestrzea Relacje między przyrostami, reprezetacja materiala Relacje między przyspieszeiami kątowymi, reprezetacja materiala MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ Wybrae pojęcia i prawa mechaiki ośrodków ciągłych Czasoprzestrzeń Ośrodek ciągły Opis ruchu Opis ruchu względego dwóch układów Składaie prędkości Składaie przyspieszeń Uiwersale prawa mechaiki ośrodków ciągłych Masa Siła Pęd i kręt Prawa mechaiki klasyczych ośrodków ciągłych Kocepcja ciała sztywego Opis ciała sztywego Ciało sztywe i kotur ciała sztywego Pukt podstawowy Przestrzeń kofiguracyja Prawa mechaiki ciała sztywego Podstawa formułowaia praw mechaiki ciała sztywego Masa, pęd i kręt ciała sztywego Wypadkowa siła i wypadkowy momet Całkowe prawa mechaiki ciała sztywego Różiczkowe prawa dyamiki... 83

5 Spis treści Rówaie pracy wirtualej Kiematyka i waruki rówowagi dyamiczej Kostrukcja tożsamości Rówaie pracy wirtualej Symetrie czasoprzestrzei i prawa zachowaia Kiematyka ciała sztywego Prędkości rzeczywiste ciała sztywego Chwilowe kofiguracje bryły sztywej Rzeczywisty ruch bryły sztywej Uogólioe przemieszczeia, wektory kierukowe Reprezetacja materiala Kietycze rówaia kostytutywe dla ciała sztywego Uwagi ogóle Więzy sztywe Środek masy, mimośród Pęd ciała sztywego Kręt ciała sztywego Tesor bezwładości Przemieszczeiowe rówaia dyamiki ciała sztywego Zaczeie rówań przemieszczeiowych Rówaia Eulera Zasada przemieszczeń wirtualych Eergia kietycza Liearyzacja zasady przemieszczeń wirtualych ZAGADNIENIE POCZĄTKOWO-BRZEGOWE SZEŚCIOPARAMETROWEJ NIELINIOWEJ TEORII POWŁOK Opis podstawowych rówań problemu Uwagi wstępe Kofiguracja odiesieia oraz opis kiematyki powłoki Rówaia rówowagi ogóle rówaia pola, waruki ubocze Relacje kostytutywe szczególe rówaia pola, powłoki hipersprężyste Zasada przemieszczeń wirtualych Symbolicza otacja macierzowo-operatorowa Pola kiematyczie dopuszczale Zasada przemieszczeń wirtualych Liearyzacja zasady przemieszczeń wirtualych Aproksymacja, przemieszczeiowe powłokowe elemety skończoe Istota aproksymacji skończeie elemetowej Współrzęde fizycze, składowe fizycze Dziedzia problemu, typowy elemet skończoy Iterpolacja geometrii, fukcje kształtu Iterpolacja tesora obrotu Obliczaie pochodych, reguła trasformacyja Stopie swobody, iterpolacja zmieych kiematyczych Macierze elemetowe Całkowaie umerycze zależości elemetowych, efekt blokady Rówaia globale ALGORYTMY NUMERYCZNEGO CAŁKOWANIA ZAGADNIEŃ DYNAMIKI KONSTRUKCJI Klasycze zagadieie dyamiki kostrukcji w ujęciu algorytmiczym Charakterystyka problemu Cel metody bezpośrediego całkowaia Metoda Newmarka... 4

6 6 Spis treści Proces przyrostowo-iteracyjy Zbieżość i dokładość Przegląd wybraych algorytmów całkowaia a grupie obrotów Charakterystyka problemu Algorytm wg Cardoa i Geradi Algorytm wg Simo i Vu-Quoc Algorytm wg Ibrahimbegović i Al Mikdad Algorytm wg Simo i Wog Postaci implemetacyje algorytmów całkowaia a grupie obrotów Pewa modyfikacja algorytmu Simo i Wog Własa propozycja algorytmu całkowaia a grupie obrotów Kotrola stabilości rozwiązań w dyamice kostrukcji Kryterium eergetycze PRZYKŁADY NUMERYCZNE Uwagi wstępe Dobór przykładów testujących Uwagi do dyamiki ciała sztywego Uwagi do dyamiki powłok Dyamika ciała sztywego Żyroskop i zjawisko żyroskopowe Precesja regulara ciała sztywego Precesja regulara bąka symetryczego Symulacje umerycze ruchu kulistego ciała sztywego Symulacja iestabily bąk swobody Symulacja bąk w szybkim ruchu obrotowym Symulacja 3 krążek w ruchu opadającym Symulacja 4 układ żyroskopowy Symulacja 5 bryła w kształcie graiastosłupa Wioski Dyamika powłok sprężystych Symulacje umerycze dyamiki powłok sprężystych Symulacja prostokąty układ wsporikowy Symulacja powłoka cylidrycza Symulacja 3 powłoka o przekroju teowym Symulacja 4 powłoka falista z żebrem Wioski PODSUMOWANIE BIBLIOGRAFIA... 7 STRESZCZENIE W JĘZYKU POLSKIM STRESZCZENIE W JĘZYKU ANGIELSKIM... 77

7 WYKAZ WAŻNIEJSZYCH OZNACZEŃ Podstawowym aparatem matematyczym wykorzystywaym w mechaice ośrodków ciągłych jest rachuek wektorowy i tesorowy (zob. p. Boer [98]). W pracy stosuje się jedocześie zapis absoluty i wskaźikowy oraz reprezetację macierzową. W zapisie wskaźikowym ideksy ozaczoe literami alfabetu łacińskiego przebiegają ciąg wartości,, 3, a wskaźiki ozaczae literami alfabetu greckiego wartości,. Obowiązuje kowecja sumacyja. Poprzez tesor rozumie się odwzorowaie liiowe, które wektorom przyporządkowuje wektory. Wektory ozacza się małymi literami, p. y, u, ω, tesory dużymi, p. T, Q, Θ. W rozdziałach dotyczących redukcji obiekty ozaczoe literami prostymi, p. y, u, odoszą się do opisu ciała trójwymiarowego (wyjściowego), zaś pisae kursywą, p. y, u, do ciała zredukowaego (ciała sztywego, powłok). W rozdziałach, w których pojawia się opis obrotów, obiekty ozaczoe literami prostymi, p. ω, odoszą się do reprezetacji materialej, zaś pisae kursywą, p. ω, ozaczają obiekty w reprezetacji przestrzeej. t,,, t czas, chwila czasowa i +, przedział czasowy od chwili do chwili + t t + f, f + wartości fukcji f w chwili i + M, C, K macierze mas, tłumieia i sztywości pb, wektor obciążeń zewętrzych, siły bezwładościowe q () t, q () t, q () t wektor przemieszczeń układu dyskretego, prędkości i przyspieszeń Q, Q tesor obrotu, pochoda tesora obrotu względem czasu trt ślad tesora T SO (3) trójwymiarowa grupa obrotów właściwych so (3) przestrzeń wektorowa tesorów skośie symetryczych e i t i 3 E R ad wektor bazy stałej wektor bazy obrócoej 3-wymiarowa przestrzeń euklidesowa -wymiarowa przestrzeń kartezjańska operacja podwzorowaia przestrzei euklidesowej w przestrzeń wektorów 3 skośie symetryczych ad: E so(3) θ, φ wektor obrotu w reprezetacji przestrzeej i materialej Ω, Ω tesor prędkości kątowej w reprezetacji przestrzeej i materialej ω, ω wektor prędkości kątowej w reprezetacji przestrzeej i materialej u, v, a wektor przemieszczeia, wektor prędkości liiowej i wektor przyspieszeia J, J tesor bezwładości w reprezetacji przestrzeej i materialej

8 8 Wykaz ważiejszych ozaczeń ρ B, B( t ) gęstość masy w kofiguracji początkowej początkowa i chwilowa kofiguracja ciała B, B( t) początkowy i chwilowy brzeg ciała y () t wektor pozycyjy p () t wektor pędu k () t wektor mometu pędu (krętu) f () t wektor sił masowych m () t wektor mometu siły m uva,, masa ciała uogólioe przemieszczeia, prędkości i przyspieszeia β β, m powłokowe siły przekrojowe ε, κ powłokowe miary odkształceń β β Γ krawędź połączeia wewętrzych płatów powłoki β β (.), = (.) / ξ ozacza pochodą cząstkową względem dowolie wybraego układu współ- β rzędych powierzchiowych { ξ, β =,} (.) β ozacza pochodą kowariatą w kieruku bazy aturalej Pozostałe ozaczeia są wyjaśioe w tekście i często mają charakter lokaly.

9 WPROWADZENIE Charakterystyka problemu Zaczeia dyamiki kostrukcji w zagadieiach iżyierskich ie trzeba uzasadiać. Wszelkie układy mobile, a także iektóre rodzaje kostrukcji budowlaych (o dużej wiotkości), z powodu swej specyfiki wymagają od początku aalizowaia w zakresie dyamiki ieliiowej. Poadto, coraz ostrzejsze wymagaia użytkowe, ekoomicze i ormowe stawiae ustrojom zmuszają do projektowaia z uwzględieiem zjawisk ieliiowych. Badaie zaawasowaych ieliiowych zagadień dyamiczych w zakresie ieograiczoego rzędu przemieszczeń jest szczególie waże w pewych skrajych przypadkach zachowań układów kostrukcyjych i może służyć p. symulacji katastrof oraz badaiu ich przyczy i skutków. Tego typu badaia obejmują typowe modele kostrukcji, od ajprostszych w postaci dyskretych układów mechaiczych (ciał sztywych), po bardziej złożoe w formie prętów, płyt, powłok czy samego ośrodka ciągłego, aż do ich połączeń w skomplikowae systemy mechaicze. W przypadku kostrukcji przestrzeych, aproksymacja skończeie wymiarowa sprowadza je do układu dyskretego. Ruch tego typu układów opisują rówaia różiczkowe zwyczaje. Teoria rówań różiczkowych zwyczajych, jak podkreśla Palczewski ) [999], staowi, od czasu powstaia, pomost między matematyką a aukami przyrodiczymi. Poieważ,,prawdziwe problemy rzadko są reprezetowae przez rówaia różiczkowe mające rozwiązaia aalitycze, pozostają dwie możliwości: jakościowa aaliza rozwiązań lub zastosowaie metod umeryczych. Te ostatie, w odiesieiu do dyamiki kostrukcji, są tematem pracy. Przez pojęcie problemów dyamiki kostrukcji rozumie się zagadieia, w których zachowaie aalizowaych układów charakteryzuje iewielka liczba postaci drgań o,,iskiej częstotliwości (zob. Kleiber [985]). Tutaj jako,,iskie częstotliwości rozumie się drgaia, którym odpowiadające długości fali są zaczie większe od charakterystyczych długości fal akustyczych. Ogólie, algorytmy całkowaia w czasie dzielą się a dwa podstawowe typy, tj. schematy jawe i schematy iejawe. Okazuje się, że w problemach dyamiki kostrukcji bardziej przydate są metody typu iejawego, podczas gdy metody typu jawego są bardziej efektywe w zagadieiach propagacji fal (zderzeia, eksplozje). Metody iejawe ajczęściej są formułowae w postaci samostartujących jedokrokowych schematów przyrostowo-iteracyjych predyktor/korektor. W aalizie odrzuca się metody aalizy modalej ze względu a silą ieliiowość rozważaego zagadieia i związae z tym występowaie silych, z kroku a krok, zmia zredukowaej bazy układu. Metody aalizy modalej mają zastosowaie w układach liiowych i układach o słabej ieliiowości, w których baza zredukowaa (własa) zmieia się iezaczie w trakcie całego ruchu. W literaturze ajczęściej dyskutowaymi problemami schematów całkowaia względem czasu są stabilość i dokładość oraz związae z imi kryteria. W układach liiowych przede wszystkim baday jest rząd dokładości schematu całkowaia, poieważ dla większości z ich moża uzyskać bezwarukową stabilość. Przeciwie jest w układach ieliiowych, gdzie badaia kocetrują się właśie a zapewieiu stabilości. Wyika to ) Odwołaia do literatury są realizowae przez etykietę zawierającą azwisko autora i datę publikacji.

10 Wprowadzeie z faktu, że schematy bezwarukowo stabile w zagadieiach liiowych, w przypadku zadań ieliiowych często tracą tę własość. W ieliiowej dyamice kostrukcji za waruek koieczy, odpowiadający warukowi stabilości, przyjmowae jest dobrze uzasadioe fizyczie kryterium zachowaia lub zaikaia całkowitej eergii a kroku czasowym. W odiesieiu do tego waruku moża wyróżić trzy grupy algorytmów: a) z kotrolą umeryczej dyssypacji eergii związaej z wysokimi częstościami; b) z dodatkowym ograiczeiem wymuszającym zachowaie eergii; c) o sformułowaiu spełiającym z założeia waruek zachowaia eergii. Kolejy etap doskoaleia schematów staowią próby łączeia w jedym algorytmie różych zalet właściwych kocepcjom z poszczególych grup. W pracy ie podejmuje się tych zagadień, jedak stosuje się wspomiae kryterium eergetycze do kotroli poprawości (stabilości) rozwiązań. Tredy ujmujące aspekty obliczeiowe ieliiowej dyamiki kostrukcji moża odaleźć w pracach Kuhl i Ramm [996],, Kuhl i Crisfield [999], Ambrósio i Kleiber [], []. Szeroką klasę modeli używaych w ramach umeryczej aalizy ieliiowej dyamiki układów mechaiczych staowią teorie kostrukcji, których przestrzeń kofiguracyja zawiera w defiicji iloczy kartezjański trójwymiarowej przestrzei euklidesowej i trójwymiarowej grupy obrotów właściwych. W tej klasie mieszczą się ustroje o kiematyce opisaej teorią sześcioparametrową. Obejmuje oa modele bryły sztywej, przestrzeych kostrukcji prętowych oraz iektóre teorie płyt i powłok. W przypadku dwóch ostatich (układy ciągłe), ze względu a złożoość badaego zjawiska i dziedziy aproksymacji przestrzeej, ajczęściej do rozwiązaia kostrukcji używaa jest metoda elemetów skończoych ) (MES). Moża uzać, że MES jest już stadardem w zagadieiach iżyierskich. Jedak w przypadku wspomiaego modelu zadaie aproksymacji ie jest takie proste. Główa trudość rozpatrywaego zagadieia wyika ze struktury przestrzei kofiguracyjej, która ie ma struktury przestrzei liiowej, gdyż zawiera w defiicji grupę obrotów. Z tego względu wymagae jest iestadardowe podejście, zarówo w aproksymacji przestrzeej, p. w ramach użytej w pracy metody elemetów skończoych, jak i w aproksymacji względem czasu, gdzie wykorzystao metodę Newmarka. Wymaga to, w szczególości, opracowaia iestadardowej metodologii aproksymacji a grupie obrotów, liearyzacji rówań, procesu iteracyjego, parametryzacji obrotów i uaktualiaia zmieych iezależych. Problemy te, mimo długoletiej historii począwszy od Eulera (775), są ciągle aktuale i adal staowią trude zadaie badawcze, co zajduje potwierdzeie w liczej ajowszej literaturze 3). ) Zob. p.: Ziekiewicz [97], Bathe [98], Kleiber M. [985], [989], [995], Dacko i ii [994]. 3) Zob. p.: w kotekście ciała sztywego Simo i Wog [99], Borri, Mello i Atluri [99], Ageles [999]; prętów Simo i Vu-Quoc [988], Cardoa i Geradi [988], Bottaso i Borri [998], Bauchau i Botasso [999]; powłok Simo, Rifai i Fox [99], Simo i Tarow [994], Betsh, Mezel i Stei [998], Miehe i Schröder [], Wiśiewski i Turska [].

11 Cel pracy Cel pracy Ogólym celem pracy jest studium i opracowaie algorytmu całkowaia względem czasu ieliiowych układów dyamiczych, których przestrzeń kofiguracyja zawiera w defiicji iloczy prosty E 3 SO(3), tj. przestrzei euklidesowej E 3 i grupy obrotów SO(3). W tej klasie mieszczą się ustroje, których kiematyka opisaa jest teorią sześcioparametrową u = (u, Q), gdzie u E 3 jest wektorem przemieszczeń traslacyjych, a Q SO(3) właściwym tesorem obrotu opisującym przemieszczeia rotacyje. W szczególości w pracy rozważa się dyamikę bryły sztywej i powłok sprężystych. Wspóla platforma w postaci kiematyki części bezwładościowej pozwala zaczą partię rozważań teoretyczych i podstawowe badaia umerycze tworzoych algorytmów przeprowadzić dla ajprostszego przypadku ruchu kulistego bryły sztywej. Następie algorytmy te mogą być zastosowae w zagadieiach bardziej złożoych kostrukcji powłokowych (także prętowych) o dużej liczbie stopi swobody. Podejście takie pozwala a skocetrowaie wysiłku a zagadieiu aproksymacji względem czasu jako pierwszoplaowym celu postawioym w pracy. W przypadku dyamiki kostrukcji prętowych, przy stadardowym założeiu iedeformowalości przekroju poprzeczego, rozważaia dotyczące bryły sztywej zajdują bezpośredie zastosowaie (zob. p. Cardoa i Geradi [988]). Dla powłok, w zależości od teorii, awet przy przyjęciu klasyczego założeia iedeformowalości włóka, sytuacja taka ie zawsze ma miejsce. Zależy to od wcześiej przyjętych hipotez powłokowych, a w szczególości założeia dotyczącego szóstego stopia swobody, opisującego obrót ormaly do powierzchi odiesieia (ag. drillig rotatio owiięcie, zob. p. Simo, Rifai i Fox [99], Betsch, Mezel i Stei [998]). W przyjętym w pracy podejściu do teorii powłok, opartym a kocepcji zapropoowaej przez Reissera (Reisser [974]) i Simmodsa (Simmods [984], Libai, Simmods [998]) oraz rozwiiętej w pracach Chróścielewski, Makowski i Stumpf [99] [997], Chróścielewski [996], Chróścielewski, Makowski i Pietraszkiewicz [], tak jak w przypadku teorii prętów, rozważaia dotyczące dyamiki bryły sztywej zajdują bezpośredie zastosowaie (teoria sześcioparametrowa). Rozważaa teoria powłok, jak i zagadieie jej aproksymacji przestrzeej metodą elemetów skończoych, bazuje a istiejącym oprogramowaiu autorskim statyki sześcioparametrowej teorii powłok (Chróścielewski [996]) i wobec tego ie jest podstawowym celem tej pracy. Główym celem aplikacyjym opracowaia jest stworzeie efektywego oprogramowaia komputerowego aalizy ieliiowej dyamik powłok, wykorzystującego zaprojektoway dla ciała sztywego algorytm autorski. Cel realizoway jest poprzez stworzeie opracowaych w języku MATLAB programów do aalizy ruchu ciała sztywego i przeprowadzeie badań różych algorytmów. Utworzeie algorytmu, który może być bezpośredio zastosoway do badań ieliiowej dyamiki powłok i zrealizoway a drodze pewych modyfikacji istiejących programów aalizy statyczej. Postępowaie takie zakłada aalogię dyamiki obu tych modeli.

12 Wprowadzeie Zakres i orgaizacja pracy Każdy rozdział pracy starao się zorgaizować tak, aby zawierał krótki przegląd literatury, zestaw iezbędych pojęć i system ozaczeń z zakresu, którego dotyczy, staowiąc pewą, w miarę iezależą całość. Rozważaia ograiczoe są do determiistyczych zjawisk czysto mechaiczych. W rozdziale zebrao iformacje dotyczące klasyczych metod umeryczych stosowaych w zagadieiach dyamiczych sprowadzających się do całkowaia rówań różiczkowych zwyczajych. W rozdziale tym starao się pokazać ogólą kocepcję metod różicowych dla jedowymiarowego zagadieia Cauchy ego. Omówioo błędy wybraych schematów oraz problem zbieżości rozwiązaia. Następie przedstawioo zagadieia związae z liiowymi i ieliiowymi układami rówań różiczkowych (p. sztywość i stabilość układu) oraz ich powiązaie z dyamiką kostrukcji. Rozdział dotyczy formalego opisu obrotu. Pojęcie obrotu traktuje się jako przekształceie ortogoale przestrzei euklidesowej, wykorzystując pojęcie grupy obrotów właściwych SO(3). Omówioo wybrae sposoby parametryzacji i akumulacji obrotów. W rozdziale tym wyprowadzoo i zestawioo wszystkie operatory dotyczące obrotów używae w pracy. Podstawowe pojęcia dotyczące ośrodka ciągłego oraz jego redukcja do ciała sztywego, a astępie kocepcja jego redukcji do powłoki, są treścią rozdziałów 3 i 4. Rozdziały te łączy aalogicza techika redukcji ośrodka ciągłego przy jak ajsłabszych założeiach upraszczających. Rozdział 3 zawiera iezbęde do dalszych rozważań pojęcia i prawa mechaiki ośrodków ciągłych oraz modelu ciała sztywego. Zestawioo w im prawa mechaiki, rówaie pracy wirtualej, kiematykę oraz kietycze rówaia kostytutywe ciała sztywego. Rozdział kończą rówaia przemieszczeiowe. W rozdziale 4 pokazuje się formalą strukturę powłokowego zagadieia początkowo-brzegowego. Rozdział jest rozszerzeiem o część dyamiczą wcześiejszych wyików badań dotyczących statyki sześcioparametrowej ieliiowej teorii powłok hipersprężystych (Chróścielewski, Makowski i Stumpf [99], Chróścielewski [996]), Chróścielewski, Makowski i Pietraszkiewicz []. Odwołując się do aalogii procesu redukcji ośrodka ciągłego z rozdziału 3 zastosowaej w wymieioych wyżej pracach, ograiczoo się tylko do zestawieia kompletu rówań powłokowych rozszerzając je o część bezwładościową. Ostateczie podao zasadę przemieszczeń wirtualych, która staowi podstawę aproksymacji skończeie wymiarowej. Na tej podstawie, do sformułowaych w wymieioych pracach przemieszczeiowych elemetów skończoych 4-, 9- i 6-węzłowych typu Lagrage'a, dodao odpowiedie elemetowe macierze bezwładościowe, otwierając drogę do aalizy dyamiczej. Elemety sformułowae w termiach wielkości przekrojowych zawierają szósty obrotowy stopień swobody (owiięcie) jako implikację teorii powłok. Szósty stopień swobody umożliwia użycie elemetów w aalizie zarówo powłok gładkich, jak i ieregularych, złożoych z wielu płatów kostrukcji powierzchiowych. W rozdziale 5 omawia się algorytmy umeryczego całkowaia rówań ruchu. Ze względu a silą ieliiowość rozważaego zagadieia i związae z tym występowaie dużych zmia bazy układu, w aalizie odrzuca się metody aalizy modalej, a rozważaia szczegółowe ograicza się do dyskusji klasyczego schematu Newmarka. Metoda ta ależy do ajbardziej popularych i efektywych metod stosowaych do rozwiązywaia ieliiowych zagadień mechaiki kostrukcji. Schemat klasyczy rozszerza się o zagadieie całkowaia a grupie obrotów i, a tle kocepcji zaczerpiętych z literatury, formułuje się własą procedurę całkowaia w czasie. Wykazawszy podobieństwo części bezwładościo-

13 Zakres, orgaizacja i teza pracy 3 wych obu modeli ciała sztywego i powłok sprężystych, w sformułowaiu algorytmów stosowaych do aalizy dyamiki powłok wykorzystao schematy stworzoe do całkowaia rówań ruchu ciała sztywego. Dwie zasadicze części rozdziału 6 prezetują symulacje umerycze zadań dyamiki ciała sztywego i kostrukcji powłokowych, wykorzystujących te sam algorytm. W celu zbadaia poprawości zaimplemetowaego schematu, testuje się układy dyamicze pochodzące z literatury. Zaletą posługiwaia się zaymi przykładami jest zajomość ich właściwości dyamiczych, szczególie pewych zachowań patologiczych, staowiących trudość w modelowaiu umeryczym. Do kotroli poprawości (stabilości) rozwiązań stosuje się kryterium eergetycze.

14

15 Rozdział METODY BEZPOŚREDNIEGO CAŁKOWANIA RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH ZWYCZAJNYCH.. Uwagi wstępeequatio Sectio... Rówaia różiczkowe zwyczaje Od stroy formalej, zależości opisujące zagadieia dyamiki przestrzeie zdyskretyzowaych ieliiowych zagadień mechaiki mają charakter układów rówań różiczkowych zwyczajych. Z tego względu metody umerycze rozwiązywaia tych rówań odgrywają istotą rolę w aalizie kostrukcji (Bathe [98], Kleiber [985]). Nawet jeśli ograiczyć się tylko do metod rozwiązywaia, pożądaa jest zajomość pewych arzędzi pozwalających stwierdzić, czy rozwiązaie, które chce się badać, rzeczywiście istieje. Tego typu jakościowej iformacji dostarczają ogóle twierdzeia o istieiu i jedozaczości. Zagadieie całkowaia rówań różiczkowych zwyczajych ależy do podstawowych zadań metod umeryczych, co zajduje swe odbicie w literaturze dotyczącej rówań różiczkowych (zob. p. Collatz [96], Arold [983], Krupowicz [986], Palczewski [999], Ombach [999]) oraz z dziedziy metod umeryczych (zob. p.: Demidowicz, Maro i Szuwałowa [965], Ralsto [975], Stoer i Bulirsch [98], Bjorck i Dahlquist [987]).... Procesy ewolucyje Od stroy fizyczej, poruszae w pracy zagadieia ależą do zakresu badań modeli procesów ewolucyjych, tj. procesów opisujących zmiaę zjawiska w czasie, czyli ewolucję. Rozważaia zawarte w pracy ograicza się do pewej klasy procesów determiistyczych, tj. takich, w których stay przyszłe są całkowicie określoe przez sta aktualy. Rówaia opisujące procesy są całkowae w sposób bezpośredi, co ozacza, że przed przystąpieiem do umeryczego całkowaia względem czasu metodą krok po kroku, rówaia wyjściowe ie są poddawae żadej dodatkowej trasformacji... Zagadieie Cauchy ego... Postać ormala Wprowadza się termiy i omawia się pewe problemy teoretycze dotyczące metod rozwiązaia zagadieia początkowego w formie ) ) Ogólość postaci (.) wyika z faktu, że każde rówaie wyższego rzędu, którego ajwyższa pochoda każdej zmieej zależej wystąpi tylko po lewej stroie jedego rówaia, moża sprowadzić do układu rówań pierwszego rzędu. W szczególości, dotyczy to sprowadzaia układu ieautoomiczego do układu autoomiczego.

16 6. Metody bezpośrediego całkowaia rówań różiczkowych zwyczajych x () t = f( x,) t, x( t) = x lub x () t = f( x,) t, x( t) = x, (.) tj. pojedyczego lub macierzowego rówaia różiczkowego rzędu pierwszego rozwikłaego względem pochodej, w postaci (.) azywaej postacią ormalą i z warukiem początkowym Cauchy ego ). Rozwiązaiem zagadieia Cauchy ego (.) - azywa się fukcję x(t) klasy C a przedziale t [t, b = t + a], spełiającą rówaie (.) i waruek początkowy (.). W przypadku rówaia macierzowego (.) 3, wykres fukcji x(t) R m w przestrzei R m+ zmieych (x, t) azywa się krzywą całkową rówaia (.) 3. Niech G R m+ będzie zbiorem spójym 3), w którym prawa stroa (.) 3 jest dobrze określoa. Zbiór G azywa się rozszerzoą przestrzeią fazową rówaia (.) 3, a jego rzut D a przestrzeń R m zmieych x azywa się przestrzeią fazową. Przestrzeń fazowa umożliwia geometryczą iterpretację zagadieia Cauchy ego jako rodziy rozwiązań odpowiadających różym wartościom początkowym (.) Iterpretacja geometrycza Geometryczie zagadie Cauchy ego moża sformułować astępująco: wśród wszystkich krzywych całkowych (rodziy rozwiązań) rówaia x () t = f( x,) t zaleźć tę, która przechodzi przez day pukt (x,t ). Zatem, rozwiązaie zagadieia początkowego moża uważać za fukcję x(x,t) i przedstawiać jak rodzię rozwiązań w przestrzei (x,t), gdzie poszczególe rozwiązaia odpowiadają różym wartościom początkowym x. W tym kotekście zaburzeie waruku początkowego ozacza, że rozwiązaie musi zmieić się a iy elemet rodziy. Jeśli więc poszczególe rozwiązaia, w wyiku zaburzeia waruków początkowych, oddalają się szybko jedo od drugiego, to mówi się, że zagadieie początkowe jest źle uwarukowae. W przeciwym razie, że jest dobrze uwarukowae 4). W teorii rówań różiczkowych zwyczajych przeważająca część wyików jest prawdziwa zarówo dla pojedyczych rówań (.), jak i dla układów rówań (.) 3. Dlatego zasadiczą część dyskusji prowadzi się tutaj dla pojedyczego rówaia...3. Waruki istieia i jedozaczości rozwiązaia Pomijając pytaie o możliwość efektywego rozwiązaia daego rówaia typu (.), ależy zadać pytaie ogóliejsze: jakie waruki musi spełiać rówaie, aby moża być pewym, że ma oo rozwiązaie (iezależie czy potrafi się je zaleźć) i kiedy rozwiązaie to będzie jedozacze? ) W przypadku, kiedy stara się zaleźć rozwiązaie (.),3, podając w miejsce waruku początkowego (.),4 wartości a dwóch końcach przedziału, a którym poszukujemy rozwiązaia, ma się do czyieia ze zaczie trudiejszym zagadieiem brzegowym. 3) Zbiór G azywa się spójym, jeśli każde dwa pukty tego zbioru moża połączyć łamaą składającą się ze skończoej liczby odcików, która leży całkowicie wewątrz G. 4) Uwarukowaia zagadieia początkowego ie ależy mylić z uwarukowaiem metody umeryczej zastosowaej do jego rozwiązaia.

17 .3. Metody różicowe, kocepcja 7 Twierdzeie. 5) Niech f (x, t) C(D) a obszarze 6) D ={(x, t) t [t, b = t + a], x (,+ )} i iech t, b będą skończoe 7) oraz istieje taka stała α, że dla każdego (x,t), (x*,t) D zachodzi waruek Lipschitza 8) f( x, t) f( x*, t) α x x*. (.) Dla dowolej liczby x istieje wtedy jedozacze rozwiązaie x(t) problemu (.) -, przy czym fukcja x(t) jest ciągła i różiczkowala dla (x, t) D..3. Metody różicowe, kocepcja.3.. Liiowa k-krokowa metoda różicowa Rozważmy zagadieie początkowe (.) -. Niech fukcja f spełia wszystkie waruki wymagae dla istieia i jedozaczości rozwiązaia. Rozpatrujemy ciąg rówoodległych puktów (kroków) w przedziale I =[t, b = t + a] I A= { t t = t + t, =,,,...,( t b) / t}, x = xt ( ), f = f( x, t ), (.3) 5) Twierdzeie to może być udowodioe w ogóliejszej postaci, jako twierdzeie Peao o istieiu rozwiązaia lub twierdzeie Picarda o istieiu i jedozaczości rozwiązaia zagadieia Cauchy ego. Twierdzeia te gwaratują jedyie istieie rozwiązań lokalych w tym sesie, że zakłada się ich istieie tylko w pewym być może bardzo małym otoczeiu waruku początkowego. W tym kotekście, lokalie regulare zachowaie rozwiązaia może być regulare w zbiorze tak małym, że jego średica jest miejsza iż używay w metodzie umeryczej krok całkowaia. Twierdzeie Peao o istieiu rozwiązaia: dla istieia różiczkowalego w sposób ciągły rozwiązaia zagadieia Cauchy ego w postaci rówaia x () t = f( x,) t wystarczy założyć, że jego prawa stroa jest ciągła w otoczeiu daych początkowych. m m Twierdzeie Peao o istieiu rozwiązaia (ie sformułowaie). Niech fukcja f( x, t): R + R będzie ciągła w zbiorze Q = {(x,t): x x ρ, t [t,b = t + a]}, przy czym sup xt f (x, t) =β., Q Wtedy zagadieie Cauchy ego x () t = f( x,) t, x( t) = x, ma rozwiązaie a przedziale [ t, t + γ ], γ < mi( a, ρβ / ). Dla rówań różiczkowych, w których prawa stroa jest jedyie ciągła, może istieć wiele rozwiązań tego samego zagadieia początkowego. Twierdzeie Picarda-Lidelöfa (o istieiu i jedozaczości rozwiązaia). Niech fukcja m f( x, t): R + R m będzie ciągła a zbiorze D= {( x, t) : x x ρ, t t a}, przy czym sup f( x, t) = β, oraz iech spełia waruek Lipschitza względem zmieej x w zbiorze D, tj. xt, D ( ) (, ) (, ), dla pewej stałej α. Wtedy zagadieie Cauchy ego x () t = f( x,) t, f x t f x t α x x x( t) x =, ma jedozacze rozwiązaie w przedziale t t γ, γ < mi( a, ρβ /, / α). 6) Przez obszar G rozumie się iepusty zbiór puktów G mający dwie własości: ) każdy pukt zbioru G jest puktem wewętrzym, tj. ależy do G wraz z pewym swoim otoczeiem; ) zbiór G jest spójy. 7) Wobec domkięcia przedziału [t,b = t + a] zakłada się, że a obu końcach przedziału istieją odpowiedie pochode jedostroe. 8) Waruek Lipschitza jest pośredi między warukami ciągłości a ciągłej różiczkowalości. ( )

18 8. Metody bezpośrediego całkowaia rówań różiczkowych zwyczajych gdzie różicę t =t + t azywa się długością kroku 9). Liiową k-krokową metodą różicową (wiążącą k + wyrazów ciągu {x }, {f }) azywa się metodę zdefiiowaą wzorem ) ) =. (.4) k ( α ix i tβ i i f = i Tutaj α i i β i są określoymi z dokładością do możika stałymi, takimi że α k + β k. Poadto, dla uikięcia iejedozaczości, przyjmuje się α =. W ogólości, rówaie (.4) jest ieliiowym rówaiem różicowym, tz. jeśli f = f (x,t ) jest ieliiową fukcją argumetu x. Numerycze rozwiązaie rówaia (.4) polega a sekwecyjym obliczeiu ciągu {x } a podstawie zajomości k wartości poprzedzających x k, x k +,...,x. Stąd, w metodach wielokrokowych (k >), rozwiązaie rówaia różicowego (.4), poza zajomością x, wymaga k dodatkowych waruków startowych. Zatem moża powiedzieć, że metody jedokrokowe (k =) charakteryzują się tym, że w celu wykoaia jedego kroku obliczeń wykorzystujemy tylko to przybliżeie, które zostało obliczoe w bezpośredio poprzedzającym kroku. Natomiast metody wielokrokowe charakteryzują się tym, że w celu wykoaia jedego kroku obliczeń wykorzystujemy przybliżeia obliczoe w kilku kolejych, bezpośredio poprzedzających krokach..3.. Jawe metody różicowe Metodę (.4) azywa się metodą typu jawego ), jeśli pierwsza stała β =. Metody jawe umożliwiają obliczeie poszukiwaej wartości x wprost z (.4), a podstawie k par wartości poprzedzających (x i, f i ), i =,,...,k. Stąd przy α = i β = otrzymuje się ).3.3. Niejawe metody różicowe k ( β i= i i x = t f αx i i ). (.5) Metoda jest typu iejawego 3), jeśli β. Przy przyjęciu α = wzór rekurecyjy (.4) ma postać k = β (, ) + ( β i i i i) i α =. (.6) częć iejawa część jawa x t f x t t f x ) 9 Długość kroku t = t + t przyjmuje się a ogół stałą, ale moża ją zmieiać, jeżeli dopuszcza to zastosowaa metoda i wymaga tego dokładość obliczeń. ) Do tej klasy ależy wiele zaych metod, w tym: metoda puktu środkowego, metoda Adamsa, metoda Eulera (dla k = ), metoda trapezów. ) Nazywaa także typu explicit, otwartego, bezpośrediego, ekstrapolacyjego. ) Należy zauważyć, że jawe schematy wielokrokowe k > ie są wcale w realizacji,,droższe od schematów jedokrokowych k =, bowiem w każdym kroku oblicza się tylko jedą wartość fukcji, a pozostałe (k ) wielkości ależy pamiętać z poprzedich kroków (co jedak obciąża pamięć komputerów). 3) Nazywaa także typu implicit, zamkiętego, pośrediego, iteracyjego.

19 .3. Metody różicowe, kocepcja 9 W przypadku gdy f = f (x, t) jest fukcją ieliiową 4) względem x, w metodzie iejawej poszukiwaie x przeprowadza się ajczęściej a drodze iteracyjej 5) Uwagi o iteracji prostej W metodzie iejawej (.6) poszukiwaie x przeprowadza się ajczęściej poprzez iterację prostą a podstawie wzoru ( i+ ) ( i) ( i) () x = β t f( x, t) + j = F( x ), x dowole, j = ( β t f x ). (.7) i i i α = i i Kocepcję iteracji prostej przedstawia się dla ieliiowego rówaia algebraiczego x = F (x). Niech zatem F (x) będzie fukcją ieliiową i iech {x (i) } będzie ciągiem fukcji takim, że x (i+) = F (x (i) ), i =,,,... dla x () - dowolego. Twierdzeie. (o zbieżości procesu iteracji prostej waruek wystarczający) Niech rówaie ieliiowe x = F (x) ma pierwiastek x i iech w przedziale istieje pochoda F x (x) = df(x)/dx spełiająca waruek Wtedy dla każdego () x I : x =, x jest jedyym pierwiastkiem rówaia x = F (x) leżącym w I. I = { x: x x ρ} (.8) k F ( x) β < (.9) x I ( i =,,,... ), () lim x i x i Jeżeli początkowe przybliżeie wybierze się dostateczie blisko pierwiastka rówaia, tz. z takiego przedziału I, w którym spełioy jest waruek F x (x) β <, to wtedy metoda jest zbieża lokalie. Jeżeli metoda jest zbieża iezależie od początkowego przybliżeia, to mówimy o zbieżości globalej. Wielkość ρ azywamy promieiem zbieżości. Twierdzeie.3 Niech fukcja ieliiowa F (x) spełia waruek Lipschitza F( x) F( x*) β x x* (.) dla dowolych x, x* oraz β <. Istieje wówczas jedozacze rozwiązaie x rówaia x = F (x) oraz lim x i = x. () i Z powyższego twierdzeia wyika, że iteracja jest zbieża do puktu stałego 6), jeśli 4) W przypadku gdy f = f (x, t) jest liiowe względem x, obliczeie x ie sprawia kłopotu. 5) Iteracja jest jedym z ajważiejszych arzędzi zarówo praktyczego, jak i teoretyczego badaia problemów liiowych i ieliiowych. Mówiąc ogólie, iteracja ozacza powtarzaie pewej wzorcowej czyości lub procesu. 6) Twierdzeie Baacha o pukcie stałym. Niech ( E, ρ) będzie przestrzeią metryczą zupełą, a F : E E odwzorowaiem zwężającym, to zaczy istieje taka stała λ <, że dla każdych uv, E, zachodzi ρ( F( u), F( v)) λρ( u, v ). Wtedy istieje dokładie jede pukt p* E taki, że: ) F(p*) = p*, ) p* = lim i pi, gdzie p jest dowolym puktem przestrzei E, a p = i+ F( p i) i λ dla i =,,,..., 3) poadto zachodzi ρ( p, p*) ρ( p, p ). i λ

20 . Metody bezpośrediego całkowaia rówań różiczkowych zwyczajych fukcja F z rówaia (.7) spełia waruek Lipschitza β, β <, (.) F( x ) F( x) x x gdzie β jest stałą Lipschitza względem x. Zatem, jeśli wyjściowa fukcja f spełia waruek Lipschitza (.) względem x ze stałą α, to przy założeiu α = otrzymuje się Stąd wyika, że F( x ) F( x ) = t β f( t, x ) f( t, x ) α t β x x. (.) β = α t β β < t α β < ( ), (.3) co jest warukiem określającym długość kroku całkowaia. W przypadku gdy α >>, waruek (.3) może dawać zbyt sile ograiczeie a długość kroku t, iemożliwe do zrealizowaia w praktyczych obliczeiach (tzw. zagadieie sztywe zob. p..7.4), i wtedy stosowaie iteracji prostej mija się z celem. W takich przypadkach moża zastosować metodę iteracyją Newtoa Uwagi o iteracji metodą Newtoa W metodzie Newtoa (rys..3) rówaie typu x = F (x) sprowadza się do charakterystyczej dla tej metody postaci F x = F ( x) = x F( x) =. (.4) ( ) Metoda Newtoa, podobie do iteracji prostej, geeruje ciąg wartości {x (i) }, i =,,,..., przy czym x () jest daym puktem startowym. Zakłada się, że pukt x () jest a tyle bliski rozwiązaia x, że spełia waruek zbieżości metody Newtoa. Koleje wyrazy ciągu {x (i) } otrzymuje się a podstawie rozwiązaia rówaia liiowego, defiiowaego przez ograiczeie do dwóch pierwszych wyrazów rozwiięcia w szereg Taylora 7) fukcji ( i ) ( x + F ) = w otoczeiu puktu x Rozwiązaie to ma postać () () ( ) () ( i ) ( i )( i + F x + F x x x i ) =, F F = ( x ) ( i+ ) ( i) ( i) ( i) x ( i ) x = x. (.5) x = x [ F ( x )] F ( x ). (.6) 7 ) Fukcję f(t) azywa się aalityczą w pukcie t, jeśli w otoczeiu tego puktu jest rówa ( i) i sumie swojego szeregu Taylora f () t = (!) i f ( t )( t t ) dla t t i= < ρ, gdzie ρ jest promieiem zbieżości szeregu Taylora.

21 .3. Metody różicowe, kocepcja Rys... Metoda Newtoa Z (.6) wyika, że w metodzie Newtoa zbieżość ciągu {x (i) } ie zależy od stałej Lipschitza α rozwiązywaego rówaia różiczkowego. Wpływ stałej α jest elimioway poprzez rozwiązaie rówaia (.6). Reasumując, zbieżość tej metody ie zależy od kroku czasowego t w taki sposób, jak w iteracji prostej. Twierdzeie.4 m Niech Da = { y R : y x < a}. Zakłada się, że dla dowolych uv, Da zachodzą ierówości: ) [ F ( u)] a, ) F ( u) F ( v) [ F ( u)] ( u v) a u v, gdzie F jest macierzą Jacobiego odwzorowaia F ( x) oraz a i a ozaczają pewe stałe dodatie. Niech b = mi[a, (a a ) ]. Wtedy dla dowolego x () D b metoda Newtoa () () ( ) () ( i ) ( i )( i + F x + F x x x i ) =, F F = (.7) ( x ) x ( i ) x = x jest zbieża kwadratowo do x rówaia F ( x), tz. istieje stała c, taka że x x c x x. (.8) ( i+ ) ( i) Metody iejawe, w stosuku do metod jawych, wymagają większej liczby działań algebraiczych ze względu a koieczość rozwiązaia rówaia (.7) lub (.6). Są oe jedak bardziej dokłade i charakteryzują się lepszą stabilością Uwagi o metodach predyktor-korektor Metoda predyktor-korektor jest sposobem realizacji iejawej metody dwufazowej. Pierwszą fazą obliczeń jest tzw. predykcja (metoda ekstrapolacyja), to zaczy obliczeie przybliżeia początkowego za pomocą metody jawej. Drugą fazą obliczeń jest, poprzedzoa operacją obliczeia prawej stroy, tzw. korekcja (metoda iterpolacyja), to zaczy dokoaie kilku iteracji za pomocą metody iejawej. Całą procedurę azywa się ekstrapolacyjo-iterpolacyją 8). Zgodie z ogólą kocepcją rozwiązaia krok po kroku, -ty 8) Obliczeie wartości fukcji w pewym pukcie η ieależącym do siatki azywamy iterpolacją, jeśli η it(η,η,...,η ), w przeciwym razie ekstrapolacją.

22 . Metody bezpośrediego całkowaia rówań różiczkowych zwyczajych krok aproksymacji startuje od rozwiązaia (x,t ) rówaia różiczkowego (.) i wiedzie ku zalezieiu (x,t ) w astępym kroku czasowym. Ta operacja w metodzie predyktor-korektor jest wykoywaa w dwóch fazach, które moża przedstawić symboliczie jako ( x, t ) ( x, t ) ( x, t ). (.9) predyktor korektor Formułę z fazy pierwszej azywa się wzorem wstępym (ag. predictor), a iejawy wzór podstawowy z fazy drugiej azywa się wzorem korygującym (ag. corrector). Należy wyraźie podkreślić, że w metodzie predyktor-korektor chodzi o zastosowaie metody iejawej, a metoda jawa gra rolę pomociczą i służy jedyie do zapoczątkowaia procesu iteracyjego, czyli jedyie dostarcza iformacji służących do wyzaczeia iteracji korektora, które prowadzą do rozwiązaia zagadieia. Tak więc, metoda predyktorkorektor jest metodą pośredią pomiędzy metodą jawą, użytą jako predyktor, i metodą iejawą użytą jako korektor. W obliczeiach możliwe jest dwojakie postępowaie, tj. kotyuowaie procesu iteracyjego aż do osiągięcia zbieżości lub wykoywaie a każdym kroku czasowym tylko założoej z góry liczby iteracji. Oba używae schematy wstępy i korygujący powiy być tego samego rzędu, bowiem o dokładości obliczeń decyduje składik o iższym rzędzie, a o koszcie metody składik o wyższym rzędzie. Podział pracy obliczeiowej prowadzącej do rozwiązaia skupia się w większości albo a części związaej z predyktorem (jeżeli obliczoe przybliżeie początkowe jest bliskie rozwiązaiu), albo a korektorze (gdy przybliżeie jest dalekie). Zwiększeie dokładości metody moża osiągąć, zwiększając dokładość korektora..4. Błędy schematu różicowego.4.. Źródła błędów Metody różicowe (.4) tworzą krok po kroku przybliżeia x, x, x 3,... do iezaych wartości dokładych x(t ),x(t ),x(t 3 ),.... W każdym kroku pojawiają się błędy związae z obcięciem lub zaokrągleiem. Dla schematów różicowych wprowadza się pojęcie lokalego i globalego błędu schematu..4.. Lokaly błąd schematu Jeśli x(t) jest teoretyczym rozwiązaiem zagadieia (.) -, to po wstawieiu za x do schematu różicowego (.4) ścisłych wartości x(t ) otrzymuje się resztę k r( t) = αi x( t i t) tβi f t i t, x( t i t), k, (.) i= ( ( )) azywaą lokalym błędem schematu lub błędem aproksymacji (dyskretyzacji, spełieia). Jego własości określa się a podstawie wyrażoej za pomocą (.) wartości ścisłej ( ) ( ) k = β ( ) i α i i + β + (.) = x( t ) t f t i t, x( t i t) x( t i t) t f t, x( t ) r ( t) i wartości k x = t i f t i t, x( t i t) ix( t i t) + t f( t, x ), (.) ( β ( ) α ) β i= obliczoej za pomocą schematu różicowego (.4) a podstawie dokładych wartości po-

23 .4. Błędy schematu różicowego 3 przedzających, tj. x(t) dla t < t. Tworząc różicę x( t ) x = tβ f( t, x( t )) f( t, x ) + r ( t) ( ) (.3) i zakładając, że pochoda f / x istieje, otrzymuje się f( t, x( t)) f( t, x ) r( t) = tβ ( x( t) x) = xt ( ) x (.4) f = β t ( t, ζ) ( x( t) x), x gdzie a podstawie twierdzeia o wartości średiej istieje liczba ζ ( x( t), x). Proporcjoalość (rówość w metodach jawych β = ) błędu i różicy x( t ) x ozacza, że r ( t) iformuje o tym, jaki błąd aproksymacji wosiłaby metoda w kroku t, gdyby błędy we wcześiejszych krokach ie były popełiae. Zatem, błąd aproksymacji r ( t) wyika tylko z różicy pomiędzy x(t ) a x Globaly błąd schematu Niech t [t, b = t + a] będzie ustaloe i rówe pewemu t, tak aby zachodziło t = t t = t t = cost. Rozważa się przejście graicze ( t ). Przez pojęcie globalego błędu schematu różicowego e w pukcie t rozumie się różicę e ( t) = x( t ) x ( t), ( t ), (.5) gdzie x(t ) jest dokładym rozwiązaiem zagadieia początkowego x(t, x ), zaś x = x ( t) jest jego przybliżeiem. Okazuje się, że szybkość zbieżości błędu e do zera zależy od rzędu schematu różicowego Właściwości błędów schematu Reasumując, błędem lokalym w pukcie t jest różica między obliczoą umeryczie wartością x a dokładą wartością obliczoą w tym samym pukcie a podstawie rówaia różiczkowego, ale z jego rozwiązaia przechodzącego przez pukt (x, t ). Iaczej mówiąc, przy określaiu błędu lokalego w kroku t zakłada się, że poprzedie kroki ie są obarczoe żadym błędem. Jeśli ie poczyi się tego założeia, to otrzymuje się błąd globaly lub skumuloway błąd dyskretyzacji. Błąd te zawiera wszystkie błędy popełioe w trakcie poprzedich kroków. Zasady przeoszeia się błędu dla rówań rzędu pierwszego wyikają z wyrażeń asymptotyczych dla błędów. Wyrażeia te wskazują, że dla błędu globalego wykładik przy podstawie t jest o jede miejszy iż dla błędu lokalego.

24 4. Metody bezpośrediego całkowaia rówań różiczkowych zwyczajych.5. Przykłady określaia współczyików i błędów schematów różicowych.5.. Metoda Eulera Jedą z możliwości określeia stałych α i, β i jest rozwiięcie w otoczeiu t w szereg Taylora fukcji x(t + t) dx dx dx xt ( + t) = xt ( ) + t+ ( t) + ( t) +...! dt! t 3! t t= t d d t= t t= t 3 ( t) ( t) = xt ( ) + txt ( ) + xt ( ) + xt ( ) +....! 3! (.6) Ograiczając do dwóch pierwszych wyrazów rozwiięcia i uwzględiając x () t = f( x,) t, otrzymuje się ( ) x( t + t) = xt ( ) + tf xt ( ), t ozaczeie dyskrete = + +. (.7) x x t f Popełiay a pojedyczym kroku lokaly błąd obcięcia jest rówy pozostałej części rozwiięcia 9) ( t) ( t) 3 x( t) + x( t) +... = O( ( t) ). (.8)! 3! Otrzymay powyżej wzór defiiuje liiową, jedokrokową ) metodę typu jawego azywaą metodą całkowaia wprzód Eulera ) (metoda sieczych). O schematach jedokrokowych mówi się, że są samostartujące, poieważ waruek początkowy dostarcza daych iezbędych do zaiicjowaia obliczeń. Wzorowi temu odpowiada rówaie różicowe ( x x)/ t = + f( x, t), (.9) wyikające z aproksymacji pochodej x = f w pukcie (t, x ) ilorazem różicowym (x + x ) / t. 9) Błąd te jest rówy zero dla fukcji f będącej wielomiaem względem t stopia ie wyższego iż jede. ) Przez metodę jedokrokową rozumiemy taką metodę, w której obliczając x + ( =,,...), korzysta się tylko z wartości poprzediej x. Do ajpopulariejszych metod jedokrokowych ależą, ie omawiae w pracy, wielopoziomowe ieliiowe schematy Rugego-Kutty, w których rezyguje się z liiowości, zachowując jedak jedokrokowy charakter algorytmu. Stałe w r-poziomowych schematach Rugego-Kutty wyzacza się żądając, aby wzory były zgode z rozwiięciem Taylora fukcji x(t) do maksymalie wysokiego rzędu. Formaly rząd schematu, rozumiay jako rząd ajwyższych uwzględioych wyrazów w rozwiięciu Taylora, ie może być większy iż liczba poziomów, a poczyając od schematów pięciopoziomowych jest o iższy od liczby poziomów. Ze względu a związek liczby poziomów z rzędem, ajczęściej stosuje się schematy 4-poziomowe, dla których relacja kosztu metody do osiągiętej dokładości jest ajlepsza. Należy dodać, że w przypadku iejawych (zamkiętych) schematów Rugego-Kutty występuje koieczość rozwiązaia układów ieliiowych rówań w każdym kroku obliczeń (tym więcej, im więcej poziomów ma schemat). ) Słabością metody Eulera jest koieczość stosowaia bardzo małej długości kroku t w celu uzyskaia sesowej dokładości rozwiązaia. Stąd metoda Eulera stosowaa jest często w połączeiu z ekstrapolacją iterowaą Richardsoa.

25 .5. Przykłady określaia współczyików i błędów schematów różicowych Metoda puktu środkowego Postępując aalogiczie do p..5., rozwijamy w otoczeiu t w szereg Taylora fukcję x(t + t) 3 ( t) ( t) xt ( + t) = xt ( ) + txt ( ) + xt ( ) + xt ( ) +..., (.3)! 3! oraz fukcję x(t t) 3 ( t) ( t) xt ( t) = xt ( ) txt ( ) + xt ( ) xt ( ) (.3)! 3! Odejmując stroami i pomijając wyższe składiki oraz uwzględiając x () t = f( x,) t, otrzymuje się ( ) x( t + t) x( t t) = tf x( t ), t ozaczeie dyskrete x = x +. (.3) + tf Otrzymay wzór defiiuje liiową, dwukrokową metodę typu jawego, azywaą metodą puktu środkowego lub metodą różic cetralych (ag. mid-poit rule), bowiem odpowiada jej symetryczy wzór różiczkowaia umeryczego xx ( ) = ( x x )/ t + błąd. (.33) + Lokaly błąd obcięcia popełiay a pojedyczym kroku, rówy pozostałej części rozwiięcia, wyosi 3 5 d x 3 d x ( t) + 5 ( t) +... = O( ( t) 3! d t t t 5! d ). (.34) t = t= t.5.3. Metoda trapezów Jedą z ajlepszych (ajdokładiejszych) liiowych, jedokrokowych metod różicowych typu iejawego jest metoda trapezów (ag. trapezoidal rule) opisaa wzorem t t x+ = x + ( f( t+, x+ ) + f( t, x) ) = x + ( f+ + f), (.35) któremu moża adać bardziej przydatą umeryczie postać t x+ = x + ( f+ + f) = x + t f + f+, f+ = f+ f. (.36) Jeśli f jest fukcją ieliiową względem x, to w każdym kroku wymagae jest iteracyje rozwiązaie układu ieliiowego i (, ) ( i+ ) ( ) x+ = t f t + x+ + x + t f, i =,,,..., (.37) lub w postaci bardziej przydatej umeryczie x x tf t f ( i+ ) ( i) + + z poprzediego kroku = + +, (, ) f = f t x f = f f, i =,,,.... (.38) () () ()

26 6. Metody bezpośrediego całkowaia rówań różiczkowych zwyczajych Lokaly błąd obcięcia (dyskretyzacji) popełiay w pojedyczym kroku otrzymuje się z różicy iezależego rozwiięcia w szereg Taylora lewej (ścisła) i prawej (przybliżoa) stroy zależości x( t + t) x t( f( t ) + t + f ) w otoczeiu t. Dla lewej stroy otrzymuje się 3 ( t) ( t) xt ( + t) x = txt ( ) + xt ( ) + xt ( ) +...! 3! (.39) t ( t) = t f + f + f +..., 6 odpowiedio dla stroy prawej t ( t) t( f ( t + t) + f) = t f + f + f +..., (.4) 4 stąd, odejmując stroami, otrzymuje się oszacowaie błędu metody ( t t( f( t t) f) ( x( t t) x) t ) = f +... = O( ( t) 3 ). (.4) Waruek zbieżości procesu iteracji prostej otrzymuje się a podstawie oszacowaia z waruku Lipschitza. Po uwzględieiu ozaczeń t x x f f F x i ( ) ( i + ) = + + =, x x ( f f ) F( x ) ( i+ ) ( ) ( ) + + t = + + =, (.4) różica powyższych fukcji ieliiowych ma astępującą wartość ( i+ ) t ( i) ( i) x+ x+ = ( f+ + f+ ) = F( x+ ) F( x+ ). (.43) Stąd waruek Lipschitza F(x) F(x*) β x x*, gdzie x, x* są dowole, a β <, przyjmuje postać t f+ + f+ β x+ x +. (.44) Na podstawie powyższego wyrażeia wyika, że proces iteracji prostej w metodach typu iejawego jest zbieży pod warukiem t f / x < β, β <, (.45) x= x+ i im miejsza jest lewa stroa, tym zbieżość jest szybsza. Dobre przybliżeie początkowe () x + otrzymuje się a drodze ekstrapolacji a podstawie poprzedich wartości (p..3.).

27 .5. Przykłady określaia współczyików i błędów schematów różicowych Metoda Simpsoa Iym sposobem określeia α i, β i jest metoda iterpolacji ). Np. iejawą dwukrokową metodę Simpsoa otrzymuje się, stosując lokalie w przedziale t t t + iterpolację hermitowską w puktach t, t, t + wielomiaem stopia czwartego w postaci i = 4 i 3 4 i= i 3 4 wt () = at = a + at + at + at + at. (.46) Stałe a i, i =,, 3, 4 oblicza się zgodie z kocepcją iterpolacji hermitowskiej z waruków pokrywaia się wartości wielomiau w(t) i jego pochodych z wartościami fukcji x(t) w puktach 3) t = t t, t, t + = t + t : wt ( ), + i = x+ wt ( + i) = f+ Po wyrugowaiu stałych a i otrzymuje się schemat Simpsoa, i =,, +. (.47) t x = x + ( f + 4f + f ) = x + t f + f , (.48) gdzie f + = f f + f +. Wzór te jest ścisły dla fukcji f będących wielomiaem względem t stopia ie wyższego iż trzy. Po uwzględieiu, że + t t x+ = x + f()d t t = x ( f 4f f ) błąd t , (.49) 3 dla f (t) = t 4, =, t = t =, przy czym f (t) = f ( t), błąd wyiesie (( ) 4 ( ) 4 + t t + + t ) t 4 dt = ( t) 5 ( t) 5 = 4 ( t) t t Stąd wyika ogóle oszacowaie asymptotycze błędu 4) ( t) 5 (V) x ( x) O ( t) t f x O t (IV) ( ) ( ) ( ) (( ) ) 5. (.5) 4 6 błąd = + = +. (.5) 5 4! 9 Poieważ metoda jest iejawa, jeśli f jest fukcją ieliiową względem x, to w każdym kroku wymagae jest iteracyje rozwiązaie układu ieliiowego. ) Zastosowaie iych przybliżeń iterpolacyjych (lub iekoieczie iterpolacyjych) może prowadzić do owych modeli wielokrokowych. 3) Do wyzaczeia a i, i =,, 3, 4, wygody jest wielomia iterpolacyjy w( η) = aη = a + aη + aη + aη + aη zapisay we współrzędych bezwymiarowych i = 4 i 3 4 i= i 3 4 η [, + ], η = ( t t)/ t, ( t = t + η t ). 4) 5 (IV) Ścisłe oszacowaie błędu wyosi ( t) f ( t), t [ t 9, t+ ]. Błąd te moża oszacować także a podstawie symetryczej formuły Stirliga x = x + t( f + f f + f + ) 4 6, stosowaej do całkowaia w przedziale [ t, + t], gdzie x = ft ( )dt.

28 8. Metody bezpośrediego całkowaia rówań różiczkowych zwyczajych.6. Zbieżość rozwiązaia rówaia różicowego.6.. Zbieżość jedostaja Jeśli dyspouje się wieloma metodami rozwiązań, to powstaje pytaie, którą z tych metod ależy stosować. Należy zatem określić odpowiedie kryteria ocey. Podstawową własością, jaką powiie posiadać praktyczie użyteczy schemat różicowy w ustaloym przedziale całkowaia [t, b = t + a], jest zbieżość rozwiązaia różicowego {x } do rozwiązaia teoretyczego x(t) wraz ze zmiejszaiem się długości kroku całkowaia t ( ). Schemat różicowy (.4) azywa się zbieżym (w pukcie x), jeśli przy zagęszczaiu przedziału całkowaia zachodzi lim x = xt ( ), (.5) t, t = t t = cost ) dla każdego ustaloego t = t + t [t, b = t + a], ) dla każdego rozwiązaia x(t), t [t, b = t + a], zagadieia Cauchy ego (.) - spełiającego założeia twierdzeia o istieiu i jedozaczości, 3) dla każdego rozwiązaia różicowego {x } k-krokowego schematu (.4) spełiającego zależe od t waruki startowe schematu x = x ( t ), x = x ( t),..., x k = x k ( t), takie, że lim x ( t) = x, i =,,..., k. (.53) i t Zbieżość ozacza tu zbieżość jedostają w przedziale [t, b = t + a], gdy t dla wszystkich fukcji f spełiających wymagae wcześiejsze założeia, a także żądaie, aby skutek zaburzeń wartości początkowych dążył do zera, gdy same zaburzeia dążą do zera. Wyika stąd, że zbieżość zależy jedyie od współczyików α i i β i określających metodę (.4), iezależie od zagadieia początkowego, do którego się ją stosuje. Bezpośredie bardzo trude sprawdzeie waruków zbieżości moża zastąpić zbadaiem rzędu schematu (zgodości 5) ) i stabilości schematu, tj. (zgodość stabilość) zbieżość. (.54) Ses praktyczy zbieżości jest astępujący: jeżeli dla t [a, b] wykres rozwiązaia dokładego x(t) otoczymy paskiem o szerokości ε, gdzie ε jest dowolie małą liczbą dodatią, to przybliżeia uzyskae dla dostateczie gęstych podziałów odcika [a, b] zawierają się w tym epsiloowym otoczeiu (rys..) (Krupowicz [986]). 5),,Zgodość ozacza zwykle, że rówaie różicowe jest zbieże formalie do rówaia różiczkowego, gdy t, atomiast,,zbieżość jest związaa z zachowaiem się rozwiązań rówań różicowych.

29 .6. Zbieżość rozwiązaia rówaia różicowego 9 t Rys... Zbieżość metody umeryczej t.6.. Zgodość (rząd) schematu różicowego Zgodość schematu określa się astępująco. Defiiuje się liiowy operator różicowy metody wielokrokowej, obowiązujący dla dowolej fukcji różiczkowalej x(t) k ( i i ( )) L [ x( t); t] = α x( t i t) tβ x t i t, x( t i t) i=, k, (.55) gdzie x () t = f( x,) t. Jedocześie, z defiicji lokalego błędu schematu (.) wyika, że r ( ) [ ( ); ] t = L x t t. (.56) Zakładając, że x(t) jest p + razy różiczkowale, a podstawie rozwiięcia w szereg Taylora w otoczeiu t dla fukcji x( t i t) oraz x ( t i t) = f( t i t) moża apisać m p+ ( i t) ( m) p+ xt ( i t) = x ( t) + O (( t) ), m= m! m p ( i t) ( m) p+ f( t i t) = f ( t) + O (( t) m ) = = m! (.57) m m p+ ( i t) ( m) p+ = x () t + O (( t) ). m= i t m! Podstawiając powyższe wyrażeia do operatora (.55), otrzymuje się gdzie ( ) p + m ( m ) p + m= m L [ xt ( ); t] = c ( t) x ( t) + O ( t), (.58) k c = α, c = β + ( β iα ), i= i i= i i c i i m! ( m )! k m k m k m m= ( ) α ( ),. i i + β = i= i (.59) Operator różicowy (.55) oraz stowarzyszoą z im metodę różicową (.4) azywa się rzędu p, jeśli w rozwiięciu (.58) zachodzi c = c =... = c p =, c p+. Wówczas lokaly błąd aproksymacji rozwiązaia x(t) zagadieia początkowego dla każdego t wyraża się wzorem p+ ( p+ ) p+ r ( t) = L [ x( t); t] = c ( t) x ( t ) + O(( t) ), (.6) p+

30 3. Metody bezpośrediego całkowaia rówań różiczkowych zwyczajych gdzie c p+ jest stałą błędu a c p+ ( t) p+ x (p+) (t ) jest częścią główą lokalego błędu aproksymacji. Liiową k-krokową metodę różicową (.4) azywa się zgodą, jeśli ma rząd co ajmiej jede (p ). Wyika stąd, że metoda różicowa jest zgoda wtedy i tylko wtedy, gdy k k c = αi =, c ( ) = β + β i iαi =. (.6) i=.6.3. Wielomiay charakterystycze Ze schematem (.4) związae są dwa wielomiay charakterystycze metody różicowej pierwszy ρ(λ) dla części jedorodej i drugi σ (µ) dla części iejedorodej określoe zależościami i= k k i i= i ρ( λ) = α λ, α =, k k i i= i σ ( µ ) = β µ. (.6) Jeśli schemat jest zgody, to zikaie współczyików (.6) moża zapisać w postaci k k c = αi = ρ() =, c = β + ( βi iαi) = σ() ρ () =. (.63) i= i= Stąd wyika, że pierwszy wielomia charakterystyczy metody zgodej ma zawsze pierwiastek +. Nazywa się go pierwiastkiem główym i ozacza symbolem λ. Pozostałe pierwiastki λ i, i =, 3, 4,...,k występują dla k >, tj. gdy rówaie różiczkowe rzędu pierwszego zastępuje się rówaiem różicowym wyższego rzędu Zero-stabilość Pojęcie zero-stabilości schematu różicowego odosi się do zbieżości metody w graicy, gdy t. Zero-stabilość metody jest zatem warukiem koieczym 6) do tego, aby rozwiązaia różicowe ie były rozbieże do ieskończoości przy t. Liiowa k-krokowa metoda różicowa (.4) jest zero-stabila (stabilość Dahlquista), jeśli wszystkie pierwiastki λ i, i =,, 3, 4,...,k pierwszego wielomiau charakterystyczego (.6) zajdują się w kole jedostkowym λ i a płaszczyźie zespoloej, zaś każdy pierwiastek leżący a okręgu, tj. o module rówym jede, λ i =, jest jedokroty 7). Wyika stąd waży wiosek praktyczy, że zgoda metoda jedokrokowa jest zawsze zerostabila. Poadto, dla każdego schematu zgodego (λ = +), który jest zero-stabily, wobec (.63) zachodzić musi σ (). Schemat (.4) jest silie stabily 8), jeśli jest zero-stabily i gdy jedyym pierwiastkiem wielomiau (.6) leżącym a okręgu λ i = jest +. 6) Zero-stabilość metody zapewia,,wygaszaie (,,wytłumiaie ) dla małych t tych rozwiązań {x } rówaia różicowego, które powstały w wyiku zastąpieia rówaia różiczkowego rzędu pierwszego rówaiem różicowym rzędu wyższego (tzw. rozwiązaia pasożyticze). 7) Sprawdzeie, czy metoda jest zero-stabila, sprowadza się zatem do zbadaia pierwiastków pierwszego wielomiau charakterystyczego schematu różicowego ρ(λ). Wiedząc, że dla schematu zgodego zawsze mamy λ = +, wystarczy zlokalizować pierwiastki wielomiau ρ(λ)/(λ ). W przypadku ogólym ie jest to zadaie łatwe, zaś w przypadkach kokretych może być dokoae a drodze umeryczej. 8) Brak siliej stabilości schematu może być powodem powstawaia pasożyticzych oscylacji, mimo prowadzeia obliczeń za pomocą metody zbieżej.

31 .6. Zbieżość rozwiązaia rówaia różicowego 3 Twierdzeie.5 Warukiem koieczym i dostateczym a to, aby liiowa metoda różicowa była zbieża, jest jej zgodość (p ) i zero-stabilość ( λ i ). Twierdzeie.6 Jeśli schemat (.4) jest zgody (p ) i zero-stabily ( λ i ), to jest zbieży, pod warukiem właściwego dobraia daych startowych. Twierdzeie.7 Zero-stabila ( λ i ) metoda k-krokowa ie może mieć rzędu p wyższego od: k + dla k ieparzystych, k + dla k parzystych. Przyjmując liczbę krokową k, poszukuje się zazwyczaj współczyików α i, β i, które defiiowałyby metodę różicową możliwie wysokiego rzędu 9). Waruek zgodości (p ) spełia się iejako automatyczie, występuje jedak istote ograiczeie w postaci waruku zero-stabilości ( λ i ) i duże kłopoty z jego spełieiem Stabilość absoluta Stabilość absoluta schematu różicowego wiąże się z zagadieiem asymptotyczego zachowaia się rozwiązań, gdy rośie liczba kroków całkowaia a długość kroku t jest ustaloa. Zagadieie to jest w zaczym stopiu pokrewe z problemem stabilości rówań różiczkowych. Obok trudości wyikających z atury metody umeryczej, pojawiają się problemy wyikające ze sposobu postawieia wyjściowego zagadieia różiczkowego. Pomoca jest tu jakościowa aaliza rozwiązań, w ramach której moża starać się zlokalizować obszary, gdzie rozwiązaia są regulare (tam moża stosować stadardowe metody umerycze), oraz obszary, gdzie rozwiązaia wykazują osobliwości (tam wymaga się specjalego postępowaia). Aaliza stabilości jest jedym ze sposobów jakościowego badaia rozwiązań rówań różiczkowych. Jej istotą jest próba odpowiedzi a pytaie: Jak zmieia się globaly przebieg rozwiązaia pod wpływem małych zaburzeń waruków początkowych lub prawej stroy rówaia? Częściowej odpowiedzi udzielają twierdzeia o ciągłej i gładkiej zależości rozwiązaia od daych początkowych i parametrów. Mają oe jedak charakter lokaly i ic ie mówią o zachowaiu się rozwiązań w długich przedziałach czasu. Wykorzystaie fukcji Lapuowa jest sposobem badaia stabilości rozwiązań bez koieczości ich jawego zajdywaia. Bowiem już z faktu istieia fukcji Lapuowa wyika stabilość rozwiązaia. 9) Jeśli rozwiązaie x(t) zadaia ie jest dostateczie gładkie, to ie ma sesu (ze względu a koszt) stosowaia schematów wysokiego rzędu. Rząd schematu powiie być dobray do regularości rozwiązaia. Także pukty startowe schematu x = x ( t),..., x k = x k ( t), muszą być obliczoe z odpowiedio wysokim rzędem dokładości.

32 3. Metody bezpośrediego całkowaia rówań różiczkowych zwyczajych t Rys..3. Stabilość w sesie Lapuowa t Niech x(t) będzie rozwiązaiem rówaia (.) spełiającym waruki początkowe i określoym a przedziale [t, ). Mówimy, że rozwiązaie to jest stabile, jeżeli dla każdego ε > istieje taka liczba dodatia δ = δ (ε ), że dla każdego iego rozwiązaia z(t) xt ( ) zt ( ) < δ xt ( ) zt ( ) < ε, (.64) dla wszystkich t t jedocześie (rys..3). Podae określeie stabilości określa się miaem stabilości w sesie Lapuowa 3) (rys..3). W badaiu stabilości absolutej celem jest śledzeie globalego błędu schematu różicowego e = x( t) x, t = t, (.65) w warukach, gdy t jest ustaloe, zaś. Właśie taka sytuacja ma miejsce w rzeczywistych obliczeiach, przy dużej liczbie kroków i przyroście t iedążącym do zera. Występujące w (.65) rozwiązaie teoretycze x(t) zagadieia początkowego (.) spełia związek k αixt ( i) tβif( t i, xt ( i) )) r( t) =, k, (.66) i= ( gdzie r ( t) jest lokalym błędem aproksymacji (.). Z drugiej stroy, przybliżeie x = x ( t) rozwiązaia x(t) z defiicji (.65) określoe jest odpowiedim wzorem metody różicowej k ( αix i tβif( t i, x i) ) =, k. (.67) i= Odejmując (.67) od (.66) oraz uwzględiając, przy założeiu istieia pochodej f / x, zależość f( t, ζ ) f ( t, x( t) ) f ( t, x) = ( x( t) x), (.68) x w której istieie liczby ζ ( x, xt ( )) zapewia twierdzeia o wartości średiej, otrzymuje się k f( t i, ζ i) α ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) i i xt i x i tβi xt i x i r t = = x, k. (.69) 3) Problem stabilości w sesie Lapuowa w kotekście stateczości kostrukcji poruszoo w pracy Waszczyszy, Cichoń, Radwańska [99].

33 .6. Zbieżość rozwiązaia rówaia różicowego 33 Teraz, zgodie z defiicją błędu całkowitego (.65), moża apisać k f( t i, ζ i) α ( ) i i β t i e i r t = x =, k. (.7) Otrzymae rówaie błędu jest iejedorodym rówaiem różicowym rzędu k o zmieych współczyikach. Badaie tego typu rówaia ie jest łatwe, dlatego są koiecze pewe upraszczające założeia. Najbardziej aturale wydaje się zastąpieie każdej pochodej f / x wartością stałą K, a lokalego błędu aproksymacji r ( t) stałą 3) E. Podstawiając do (.7) w miejsce odpowiedich wielkości stałe K i E, otrzymuje się rówaie uproszczoe k ( α ) i tkβi e i = E, k, (.7) i= które jest iejedorodym rówaiem różicowym rzędu k o stałych współczyikach. Uwzględiając (.6), wielomia charakterystyczy dla części jedorodej rówaia (.7) ma postać π ( ξ, tk) = ρξ ( ) tkσξ ( ) =. (.7) Fukcja (.7) osi azwę wielomiau stabilości absolutej metody różicowej określoej wielomiaami charakterystyczymi (.6). Zakładając, że schemat różicowy jest zerostabily ( λ i ) i zgody (tj. rzędu p ), oraz że pierwiastki ξ i wielomiau (.7) są pojedycze, rozwiązaie rówaia (.7) ma postać 3) (zob. p. Ralsto [975]) k k = ( ) /( i ξi β i i) i=, (.73) = e d E tk rozwiązaie: ogóle szczególe gdzie d i są dowolymi stałymi 33). W ramach rozwiązaia ogólego części jedorodej rówaia (.7), pozostaje zbadaie pierwiastków ξ i wielomiau stabilości absolutej (.7) w zależości od parametru tk. Moża wykazać, że pierwiastki ξ i ( tk), i =,, 3,..., k są fukcjami ciągłymi parametru tk. Na podstawie założeia, że k-krokowy schemat różicowy jest zgody i zerostabily, pierwiastki pierwszego wielomiau charakterystyczego (.6) spełiają waruek λ i, i =,, 3,..., k. Niech poadto dla m pierwszych pierwiastków zachodzi λ = λ =... = λ m =. Wówczas pozostałe pierwiastki i = m+, m+,..., k spełiają silą ierówość λ i <. Z budowy wielomiau (.7) wyika, że pierwiastki ξ i ( tk) dla tk= wyoszą 3) Stałe K i E moża wybrać p. tak, aby f (t,x)/ x < K, r < E, dla wszystkich. Moża rówież, dla każdego, lecz ustaloego, potraktować stałe K i E jako wartości charakterystycze lub średią pochodej f / x i średią błędu r ( t) w otoczeiu puktów, z jakich korzysta wzór różicowy. Poieważ w praktyce f / x i r ( t) przy zmiaie zmieiają się iezaczie, moża oczekiwać, że rozwiązaie uproszczoe zachowywać się będzie lokalie jak rówaie wyjściowe. 3) k Rozwiązaie szczególe uzyskao, wykorzystując waruek c = i= αi =. 33) Wartości stałych d i zależą od błędów wartości początkowych ( k,...,, ). Ozaczając rozwiązaie szczególe przez γ = E/( tk i= k k β i), rówaie błędu e = i= di( ξi) γ moża zapisać w postaci macierzowej i wyzaczyć stałe d i, stosując wzór Cramera. W przypadku rówaia jedorodego mamy γ = E =.

34 34. Metody bezpośrediego całkowaia rówań różiczkowych zwyczajych ξ i () = λ i, i =,, 3,...,k. Poadto, przy dostateczie małych tk, pierwiastki ξ i ( tk) o umerach i = m+, m+,..., k będą spełiać waruek ξ i ( tk) <, gdyż obowiązuje λ i <. Zatem, do dokładego zbadaia pozostają pierwiastki ξ i ( tk) tylko dla i =,, 3,...,m. Jeżeli pomiąć szczegóły przejścia, rozwiązaie ogóle części jedorodej uproszczoego rówaia błędu (.7) ma postać m ( ξ ) i= tk i tk ( ) ( λ η ) e ( tk) = d ( tk) i i m k = d e + O(( tk)) + d (( )) ( ), i i ie + O tk + d = i= i ξ (.74) m+ i λ= η= λ = λ3 = = λm = λ < ξ ( tk) < gdzie ηi = σ( λi)/( λiρ ( λi)) i ρ ( µ ) = d ρ ( µ )/dµ. Ostati składik w (.74) jest kombiacją liiową wyrażeń, związaych z pierwiastkami dla i > m, spełiających waruek ξ i ( tk) <. Wobec tego, czło te dąży do zera gdy, a więc ie będzie zaburzał rozwiązaia. Dyskusję pierwszego człou przeprowadza się dla 34) K > a przykładzie modelowego problemu początkowego x () t = Kx() t, x( t) = x. (.75) W przypadku K > rozwiązaie ścisłe (.75) w postaci x(t) = x exp(k(t t )) wzrasta wykładiczo. W tym i podobych zadaiach ie moża oczekiwać, że błąd rozwiązaia przybliżoego e ( tk) przy będzie ograiczoy, gdy rozwiązaie ścisłe ie jest ograiczoe. Trzeba jedak zagwaratować, aby błąd był mały w stosuku do rozwiązaia dokładego. W tym przykładzie rozwiązaie przybliżoe x ( tk) ma postać aalogiczą do części jedorodej rozwiązaia rówaia błędu (.74). Wobec domiacji człou exp( tk) = exp(t K), pierwszy składik (.74) aproksymuje rozwiązaie x(t) = x exp(k(t t )). Suma drugiego składika, przy Re(η i K) >, może być przyczyą zaburzeia procesu prawidłowych obliczeń, bowiem w tych warukach składik te będzie rósł wykładiczo wraz z. Powstałe zakłóceie pasożyticze, które pojawia się dlatego, że rząd rozwiązaia różicowego (k +) jest większy od rzędu rówaia różiczkowego, może całkowicie wypaczyć prawidłowy przebieg rozwiązaia przybliżoego. Zjawisko to jest związae z brakiem silej stabilości schematu. Liiową k-krokową metodę różicową (.4) azywa się absolutie stabilą dla daej wartości 35) tk Z, jeśli wszystkie pierwiastki ξ i wielomiau stabilości absolutej metody różicowej (.7) spełiają ierówość ξ i ( tk) <, i =,,...,k. Zbiór Ω Z w przestrzei zespoloej (dla tk R odpowiedi przedział ( r, r) R a osi rzeczywistej) azywa się obszarem (przedziałem) absolutej stabilości, jeśli metoda jest absolutie stabila dla wszystkich liczb zespoloych tk Ω Z (odpowiedio, tk ( r, r) R ). Jeśli metoda jest absolutie stabila dla wszystkich tk, to azywa się ją metodą bezwarukowo stabilą. W przypadku, gdy metoda ie spełia powyższej defiicji, azywa się ją absolutie iestabilą. Powyższa defiicja pozwala stwierdzić, czy wartość błędu (.65) rośie wraz ze wzro- 34) W aszym przypadku K reprezetuje wartość charakterystyczą (średią) pochodej f / x. 35) Ze względu a potrzebę późiejszego uogólieia defiicji, zakłada się, że tk Z jest liczbą zespoloą. i i

35 .6. Zbieżość rozwiązaia rówaia różicowego 35 stem, jedak ie umożliwia oa oszacowaia tej wartości 36). Twierdzeie.8 Zgoda (p ), zero-stabila ( λ i ), liiowa metoda różicowa jest absolutie iestabila dla małych dodatich wartości tk. Moża wykazać, że jeśli schemat (.4) jest absolutie stabily w pukcie tk, to rozwiązaie szczególe rówaia błędu postaci (.7) jest ograiczoe 37) Przykłady obszarów stabilości wybraych schematów całkowaia Schemat otwarty Eulera day jest wzorem (.7), a wielomia charakterystyczy ma postać π ( λ, tk) = ρλ ( ) tkσλ ( ) = λ tk. (.76) Istieje tylko jede pierwiastek z ( tk) = + tk wielomiau (.76). Obszarem stabilości Ω z waruku + tk jest tu koło o środku w pukcie i promieiu (rys..4). Rys..4. Obszar stabilości otwartego schematu Eulera Rys..5. Obszar stabilości zamkiętego schematu Eulera Schemat zamkięty Eulera. Wzór i wielomia charakterystyczy mają postać x = x + t f, π ( λ, tk) = ρλ ( ) tkσλ ( ) = λ tkλ = ( tk) λ. (.77) k+ k k+ 36) W przypadku istieia pierwiastków wielokrotych wielomiau stabilości absolutej metody różicowej, waruek ξ i < wystarcza, aby błąd (.65) zikał ze wzrostem. Należy zauważyć, że obszar Ω Z (przedział (r,r ) R) absolutej stabilości jest określoy wyłączie przez współczyiki metody różicowej α i i β i. Natomiast ajwiększa wartość t, dla której błąd (.65) ie będzie wzrastał ze wzrostem, zależy od ξ, czyli od postaci kokretego rozwiązywaego rówaia różiczkowego. 37) Wyika stąd, że jeśli tk leży w obszarze stabilości absolutej, to błąd e ( ) tk = tk m η d e + O tk ) ( i tk k k = ( (( ) ) + i= di λie + O(( tk) )) + i= m+ di( ξi) E/( tk i= βi) jest ograiczoy przez stałą iezależą od i t. Pozwala to prowadzić obliczeia z krokiem całkowaia t, który moża powiększać dopóty, dopóki tk jest w obszarze absolutej stabilości, bez obaw wykładiczego wzrostu błędu.

36 36. Metody bezpośrediego całkowaia rówań różiczkowych zwyczajych Jedyym pierwiastkiem wielomiau (.77) jest z ( tk) = ( tk). Obszar stabilości Ω wyzacza się z waruku + tk. Jest to dopełieie koła o promieiu i środku w (rys..5). Schemat zamkięty Eulera ma duży obszar stabilości absolutej. Jest o jedym z ajlepszych schematów z tego puktu widzeia. Wadą jedak obu schematów Eulera jest ich iski rząd. Schemat trapezów day jest wzorem (.35), a wielomia charakterystyczy ma postać π ( λ, tk) = ρλ ( ) tkσλ ( ) = λ tk( λ+ ) = ( tk) λ ( + tk). (.78) Rys..6. Obszar stabilości schematu trapezów Pierwiastek wielomiau (.78) wyosi z ( tk) = = (+ tk) ( tk). Dla zalezieia obszaru stabilości absolutej ozacza się tk= a + ib. Wtedy = ( + a) + b ( a) + b, a obszar z ( tk) ( ) ( ) stabilości Ω określa waruek z ( tk), gdy α = Re tk (rys..6). Schemat trapezów ma duży obszar stabilości absolutej, obejmujący całą półpłaszczyzę Re z <. Jest też schematem rzędu, a więc dokładiejszym od schematów Eulera..7. Układ liiowych rówań różiczkowych.7.. Układ rówań W przypadku koieczości rozwiązywaia układów rówań różiczkowych zwyczajych rzędu pierwszego, moża je zapisać w sygalizowaej w (.) postaci macierzowej ( t ) = x () t = f ( x,) t, x x, m+ x t R, (.79) (, ) m gdzie xf, R są jedokolumowymi macierzami (wektorami) o wymiarze m. Większość omówioych własości dotyczących rówaia skalarego przeosi się a przypadek (.79). Należy tylko moduły skalarów zastąpić ormami z odpowiedich wektorów 38). Układy rówań wyższych rzędów dają się przez pewe zabiegi sprowadzić do rzędu pierwszego, zatem moża rozważaia ogóle (jakościowe) ograiczyć do zaczie bardziej przejrzystych w dyskusji układów pierwszego rzędu. Natomiast uzyskae wioski obowiązywać będą w układach wyjściowych. 38) Jeśli schematy rozwiązaia moża zapisać w otacji macierzowej przez proste uogólieie rówaia skalarego, to mówi się, że schemat rozwiązaia stosuje się do układu. W przypadkach, kiedy ie daje się bezpośredio wprowadzić zapisu macierzowego do daego schematu skalarego, mówi się, że metoda stosuje się do układu po współrzędych.

37 .7. Układ liiowych rówań różiczkowych Układ rówań liiowych Weźmy rówaie różiczkowe postaci x () t = A() t x() t + b() t, x( t ) = x, (.8) gdzie t R +, A R m R m jest fukcją macierzową 4) wymiaru m m, x,b R m są m-wymiarowymi fukcjami wektorowymi 4). Poszukując rozwiązaia tak postawioego problemu różiczkowego, skorzystamy z astępującego twierdzeia: Twierdzeie.9 Jeśli fukcje A(t) i b(t) są ciągłe dla t (a,b), przez każdy pukt zbioru Q = (a,b) R m przechodzi dokładie jeda krzywa całkowa rówaia (.8). Maksymalym przedziałem istieia każdego rozwiązaia jest przedział (a,b). W przypadku rówaia jedorodego x () t = A() t x() t, (.8) którego rozwiązaiem jest x(t) i x(t ) = dla pewego t (a,b), to z (.8) wyika, że x(t) jest tożsamościowo rówe zeru. Twierdzeie.. Rozwiązaia rówaia jedorodego (.8) tworzą m-wymiarową przestrzeń liiową E m.. Jeśli x c (t) jest rozwiązaiem szczególym rówaia iejedorodego (.8), a wektory x c (t), i =,...,m, są bazą przestrzei E m, to rozwiązaie ogóle rówaia iejedorodego ma postać x(t) = x c (t)+c x (t)+...+c m x m (t), gdzie c i R. m Weźmy pewą bazę przestrzei E złożoej z rozwiązań rówaia (.8). Baza ta składa się z m fukcji: x(t),x (t),...,x m(t). Jeżeli zbudujemy z fukcji x i (t) macierz X(t), tak aby koleje wektory x i (t) tworzyły kolumy macierzy X(t), to macierz X(t) spełia rówaie aalogicze do (.8). t X() t = [ x (), t x (), t, x () ] X() t = A() t X(), gdzie t. (.) Jeżeli macierz X(t) spełia rówaie 8, to jej kolumy, potraktowae jako osobe wektory, spełiają rówaie (.8) Macierz fudametala Macierz kwadratowa X(t) o wymiarze m m, spełiająca rówaie 8, dla której detx(t) 4), azywa się macierzą fudametalą układu (.8). Wektory x (t),x (t),...,x m(t), będące kolumami macierzy fudametalej, azywają się fudametalym (główym) układem rozwiązań rówaia (.8). Wyzaczik detx(t) azywa się wtedy wyzaczikiem Wrońskiego układu fukcji x (t),x (t),...,x m(t). m 4) Fukcja macierzowa to macierz, której elemetami są fukcje. 4) Wektory traktuje się jako jedowymiarowe macierze kolumowe. 4) t Twierdzeie: Dla każdego t i t (a,b) zachodzi det X( t) = det X( t) exp tra ( τ ) dτ. t

38 38. Metody bezpośrediego całkowaia rówań różiczkowych zwyczajych Twierdzeie. Każde liiowe rówaie jedorode postaci (.8) ma układ fudametaly. Jeśli wyzaczik Wrońskiego układu fukcji jest róży od zera w pewym pukcie t, to fukcje te są w tym pukcie liiowo iezależe. Jeżeli pewie układ rozwiązań rówaia (.8) jest liiowo iezależy w jedym pukcie t (a,b), to jest liiowo iezależy dla każdego t (a,b). Wyika stąd łatwy sposób kostruowaia układu fudametalego (tw..). Twierdzeie. Niech będzie dae zagadieie początkowe dla rówaia iejedorodego (.8). Rozwiązaie tego zagadieia ma postać t t x() t = X() t X ( t ) x + X() t X ( τ ) b ( τ) dτ, (.) gdzie X(t) jest macierzą fudametalą układu (.8) Macierz fudametala w układach o stałych współczyikach Rozważa się układ jedorody x () t = Kx() t, x( t) = x, (.84) gdzie K R m R m jest stałą macierzą wymiaru m m. Rozwiązaiem zagadieia początkowego tak w przypadku rówaia skalarego, jak i macierzowego, jest wyrażeie x(t) = x exp(k(t t )). Macierzą fudametalą powyższego rówaia jest exp(kt). Problem wyzaczeia macierzy fudametalej układu sprowadza się do zalezieia pierwiastków wielomiau charakterystyczego (wartości własych) oraz odpowiadających im wektorów własych. Problem własy, podstawowe określeia 43). Wiele zagadień techiczych i fizyczych polega a określeiu, dla daej macierzy kwadratowej A ( ), liczby λ Z takiej, aby jedorody układ rówań liiowych ( A λi) v = (.85) miał rozwiązaie ietrywiale v. Liczbę λ Z azywa się wartością własą macierzy A, gdy istieje wektor v taki, że Av = λv. Każdy taki wektor v azywa się prawym wektorem własym macierzy A, odpowiadającym wartości własej λ. Widmo (spektrum) macierzy A jest to zbiór wszystkich jej wartości własych. Zbiór wektorów własych v dla określoej (jedej) liczby λ Z, spełiających (.85) tworzy w przestrzei Z podprzestrzeń liiową o wymiarze L( λ) = { v : ( A λi) v = }, (.86) ρ( λ) = rz( A λi ), (.87) 43) Problem własy ależy do podstawowych zagadień algebry liiowej i związaych z ią metod umeryczych.

39 .7. Układ liiowych rówań różiczkowych 39 gdzie rz(a λi) ozacza rząd macierzy 44) (A λi), a liczba λ Z jest wartością własą macierzy A wtedy i tylko wtedy, gdy L(λ), tz. gdy ρ(λ) > i (A λi) jest macierzą osobliwą, tj. det( A λi ) =. (.88) Powyższy wyzaczik p(µ) = det(a µi) jest wielomiaem stopia o astępującej postaci p( µ ) ( ) ( µ α µ... α) = + + +, (.89) zwaym wielomiaem charakterystyczym macierzy A. Jego pierwiastkami są wartości włase macierzy A (i tylko oe). Jeśli przez λ,...,λ k ozaczymy tylko róże pierwiastki wielomiau p( µ), to p moża przedstawić w postaci σ p( µ ) = ( ) ( µ λ ) ( µ λ )...( µ λ ) k. (.9) σ σ Liczba σ i =σ (λ i ), jest krotością parametru skalarego λ i jako pierwiastka wielomiau charakterystyczego. Wektory włase odpowiadające wartości własej λ ie są określoe jedozaczie. Wraz z wektorem zerowym wypełiają oe podprzestrzeń liiową L(λ) przestrzei Z. Zachodzi więc astępujące twierdzeie. Twierdzeie.3 Jeżeli x i y są wektorami własymi macierzy A, odpowiadającymi wartości własej λ, to każda kombiacja liiowa v = αx + βy jest także wektorem własym tej macierzy, odpowiadającym tej samej wartości własej λ. Dla określoej wartości własej λ, wymiar ρ(λ) = diml(λ) podaje maksymalą liczbę liiowo iezależych wektorów własych, odpowiadających wartości własej λ. Dlatego ρ(λ) azywamy krotością wartości własej λ (uwaga, ie musi być oa rówa σ (λ i ), tj. krotości pierwiastka wielomiau charakterystyczego). Twierdzeie.4 Niech p( µ) = γ + γ µ γ m µ m będzie dowolym wielomiaem, i iech macierz P(A) będzie zdefiiowaa wzorem m PA ( ) = γ I+ γ A γ m A, (.9) gdzie A jest macierzą kwadratową (wymiaru ). Wówczas v jest wektorem własym macierzy P(A) odpowiadającym wartości własej p(λ), gdy λ jest wartością własą macierzy A, a v odpowiadającym jej wektorem własym. W szczególości wartością własą macierzy (αa) jest liczba αλ, a macierzy (A + αi) liczba λ + α. Twierdzeie.5 Jeśli liczba λ jest wartością własą macierzy A, to jest oa także wartością własą macierzy A T. Pomiędzy odpowiadającymi wartości własej λ wektorami własymi zachodzą zależości: Av = λv, k T Ay= λy. (.9) 44) Rząd macierzy jest to ajwiększa liczba r taka, że co ajmiej jede wyzaczik stopia r, utworzoy z tej macierzy przez usuięcie z iej pewej liczby wierszy lub kolum, jest róży od zera.

40 4. Metody bezpośrediego całkowaia rówań różiczkowych zwyczajych Wektor y T azywa się lewym wektorem własym macierzy A, odpowiadającym wartości własej 45) λ; dla rzeczywistych macierzy symetryczych A T = A obowiązuje y T = v. Wszystkie ogóle techiki rozwiązaia problemu własego muszą być z atury metodami iteracyjymi. Wyika to z rówoważości rozwiązaia wyjściowego problemu własego z problemem obliczeia pierwiastków jego wielomiau charakterystyczego p(λ), którego rząd jest rówy rzędowi macierzy A. Fakt te rozstrzyga twierdzeie Abela mówiące, że zer wielomiaów stopia wyższego iż 4 ie moża zaleźć, wykoując skończoą liczbę operacji arytmetyczych. Mogą wystąpić astępujące przypadki w obliczaiu pierwiastków wielomiau charakterystyczego. Pierwiastki jedokrote i rzeczywiste. W takim przypadku istieje m pierwiastków λ, λ,..., λ m i m odpowiadających im wektorów własych v, v,..., v m. Wektory te są liiowo iezależe, więc fukcje λ t λ, t λm e v e v,..., e t v m = X( t) (.93) tworzą bazę przestrzei rozwiązań rówaia i wyzaczają macierz fudametalą. Pierwiastki jedokrote i zespoloe. Wielomia charakterystyczy ma współczyiki rzeczywiste, więc pierwiastki zespoloe występują parami jako sprzężoe. Niech λ = a + ib, λ = a ib będzie parą zespoloych wartości własych, a v = u + iw będzie wektorem własym, odpowiadającym wartości własej λ, gdzie u i w są wektorami rzeczywistymi. Wtedy wektorem własym, odpowiadającym wartości własej λ, jest wektor v = u iw. Zatem λt x() t = e v λt x() t = e v at z() t = ( x () t + x()) t =... = e ( ucosbt wsi bt), at z( t) = ( x ( t) x( t)) =... = e ( wcosbt+ usi bt), i (.94) są dwoma liiowo iezależymi rozwiązaiami rzeczywistymi badaego rówaia tworzącymi X(t). Pierwiastki wielokrote i rzeczywiste. Niech λ i będzie takim pierwiastkiem wielokrotym o krotości i. Zakłada się, że λ i odpowiada tylko r i < i iezależych liiowo wektorów własych. Z twierdzeń algebry liiowej wyika, że jeśli rówaie ma r i liiowo iezależych rozwiązań, to rówaie λ i ( K I) v = (.95) λ i = ( K I) v (.96) ma co ajmiej r i + iezależych rozwiązań. Dowiedzioo także, że wektory spełiające waruki ( K I) v, ( K I) v =, (.97) λ i λ i 45) H H Poieważ liczba λ jest wartością własą macierzy A, gdzie A jest macierzą hermitowską (tj. H H T A = A, a ij = a ji ), kreska ad symbolem ozacza sprzężeie zespoloe λ. Wobec rówości A = A, między lewym i prawym wektorem własym zachodzą zależości: Av = λv, H Az= λ z, z T = v.

41 .7. Układ liiowych rówań różiczkowych 4 są liiowo iezależe od wektorów, które spełiają rówość (.95). Przeosząc tę własość a wyższe potęgi, możemy zaleźć wystarczającą liczbę liiowo iezależych rozwiązań rówaia (.84). Pierwiastki wielokrote i zespoloe. W tym przypadku łączy się metody stosowae dla pojedyczych pierwiastków zespoloych z metodami dla pierwiastków wielokrotych rzeczywistych Efektywe obliczaie macierzy fudametalej Jeżeli macierz K jest macierzą diagoalą (zawierającą wartości włase a główej K m przekątej), to exp( K t) e t = diag e λ t, e λ t,..., e λ t. Jeżeli macierz K ie ma postaci diagoalej, w celu wyzaczeia układu fudametalego ależy wykorzystać pewe fakty zae z algebry liiowej. Macierz podoba jest podstawą ważego przekształceia przez podobieństwo przy sprowadzaiu macierzy do prostszej postaci. Niech (λ,v) będzie parą własą 46) macierzy A ( ). Jeśli T jest dowolą kwadratową macierzą ieosobliwą ( ), a y = T v, to zachodzi λ T ATy = T Av = T v = y, Z (.98) wyika, że y jest wektorem własym macierzy przekształcoej λ y. (.98) Y T AT, (.99) odpowiadającym tej samej wartości własej λ. Przekształceia takie azywamy podobieństwami, a macierz Y azywamy macierzą podobą do A, co ozacza się relacją A Y. Twierdzeie.6 Każde przekształceie T AT macierzy A przez podobieństwo (T ieosobliwa) ie zmieia jej wartości własych. Twierdzeie.7 Jeśli wszystkie wartości włase macierzy A są róże λ i λ j, i j, to istieje takie przekształceie przez podobieństwo, że W T AT, gdzie W = diag[λ,...,λ ] jest macierzą diagoalą, której elemetami są te wartości włase. Macierze podobe mają takie same wartości włase i taki sam wielomia charakterystyczy. Poadto, przekształceie podobieństwa zachowuje wartości P(λ) i σ(λ), co wyika z iezmieiczości wielomiau. Dzięki temu, przekształceie podobieństwa pozwala sprowadzić macierz do prostszej postaci, dla której wyzaczeie wartości własych jest łatwiejsze. Jeżeli macierz A przekształcoa przez podobieństwo za pomocą wektora v daje macierz przekątiową (diagoalą), to mówimy, że A jest diagoalizowala. Jeżeli wszystkie wartości włase są róże, tj. λ i λ j dla i j, to wektory włase są zawsze liiowo iezależe 47). 46) Parą własą macierzy azywamy wartość własą tej macierzy i odpowiadający jej wektor własy. 47) Istieją atomiast macierze z wielokrotymi wartościami własymi, których ie moża dia- goalizować. Najprostszym przykładem takiej macierzy jest A =.

42 4. Metody bezpośrediego całkowaia rówań różiczkowych zwyczajych Twierdzeie.8 Jeżeli macierz A jest symetrycza i rzeczywista, to jej wszystkie wartości włase i wektory włase są rzeczywiste. Poadto, wektory włase v i, v j odpowiadające różym wartościom własym λ i λ j są ortogoale, v T i v j = dla i j, a prawy wektor własy jest jedocześie lewym wektorem własym. Jeżeli występują wielokrote wartości włase, to zawsze moża tak wybrać wektory włase odpowiadające wielokrotej wartości własej, aby były oe ortogoale 48). Iaczej mówiąc, każdej wartości własej przyporządkować moża pewą przestrzeń własą o wymiarze rówym jej krotości. Przestrzeie włase są określoe jedozaczie i są wzajemie do siebie ortogoale. Wobec tego dla każdej macierzy symetryczej A istieje macierz ortogoala V (tj. V T V = I), dla której otrzymuje się postać diagoalą 49) W = V T AV = diag[λ,...,λ ] T T T oraz A VWV v v. Postać A= VWV azywa się rozkładem spektralym = = = (widmowym) macierzy A. λ i i i i Twierdzeie.9 (Jordaa) Niech macierz A będzie dowolą ( ) macierzą, a λ,...,λ k jej różymi wartościami własymi o krotościach ρ(λ i ) i σ(λ i ), i =,..., k. Dla każdej wartości własej λ i, i =,..., k, istieje wówczas ρ(λ i ) liczb aturalych v, j =,..., ρ(λ i ), takich że σ( λ i ) = v + v + + v ρ ( λi ), oraz ( ) macierz ieosobliwa T, taka że J T AT, ma postać J = C ()( λ ) v C () ( λ ) λ vρ( λ ) λ, gdzie C ν ( λ) =. (.) C ( k )( λk ) v λ C ( k ) ( λ v k ) ρ( λk ) () Liczby v i j, j =,..., ρ( λ i ), a więc i macierz J, są wyzaczoe jedozaczie z dokładością do kolejości. Macierz J azywa się postacią kaoiczą Jordaa macierzy A. j 48) Np. każdy wektor jest wektorem własym macierzy jedostkowej, odpowiadającym wartości własej. 49) Aalogiczie jest dla macierzy zespoloych hermitowskich. Każda macierz hermitowska A ma wartości włase rzeczywiste i istieje macierz uitara U, która diagoalizuje A za pomocą przekształceia przez podobieństwo W = U H AU. Mówimy, że macierz P jest: uitara, gdy P H P = PP H = I, tj. P H = P, P = I; ormala, gdy P H P = PP H ; ortogoala, gdy P T = P. Twierdzeie: Macierz P jest ormala wtedy i tylko wtedy, gdy istieje uitara macierz U, taka że λ H U PU= U PU=. Wszystkie macierze ormale są diagoalizowale. λ

43 .7. Układ liiowych rówań różiczkowych 43 Na mocy twierdzeia Jordaa, awet w ogóliejszym przypadku zespoloej macierzy K, istieje takie ieosobliwe odwzorowaie liowe Q : Z m Z m, że Q KQ J, gdzie J jest macierzą w kaoiczej postaci klatkowej Jordaa Q KQ J = diag [ J ]. (.) i=,,..., j W (.), każda z klatek J i jest klatką diagoalą J i = λ i (q q) albo klatką postaci 5) J i = λ i (q q) + B (q q). Tu macierz B składa się z zer i jedyek występujących tylko a pierwszej podprzekątej, poadto B jest macierzą ilpotetą 5). Zatem przestrzeń Z m rozpada m q q q j j q się a sumę prostą Z = Z Z... Z j, m = i= qi, przestrzei o własości, że Z i q q każda jest przestrzeią iezmieiczą dla J, mającej w Z wektor własy v odpowiadający wartości własej λ i. Poadto, obowiązuje własość K = QJ Q, którą moża udowodić idukcyjie. Zatem otrzymuje się exp(kt) = Qexp(Jt)Q, skąd moża zaleźć macierz fudametalą exp(kt). Załóżmy, że macierz K moża sprowadzić do postaci Jordaa, tj. istieje macierz ieosobliwa Q, taka że K= Q( K+ B) Q, gdzie K jest diagoala, zaś B jest macierzą ilpotetą komutującą z K, co zaczy, że i i Z i B s = dla pewego s m oraz KB = BK. Doko- ując zamiay zmieych y() t = Q x() t, otrzymuje się układ i y () t = Ky() t + By() t. (.) Rozprzężeie układu. Z rozważań dotyczących układów liiowych rówań różiczkowych pierwszego rzędu wiadomo, że o zachowaiu się rozwiązań dla dużych t decyduje macierz K. Na tej podstawie moża więc pomiąć macierz ilpotetą B. Przy badaiu jakościowym układu, otrzymuje się wtedy m iezależych rówań skalarych y () t = λ y () t, i =,,, m, (.3) i i i 5) J diag [ i ] J J =, i=,,..., j J j λi λi λ i λ i Ji= λi = λi + = λi( q q) +B ( q q). λ i λ ( q q) i ( q q) ( q q) 5) Macierzą ilpotetą azywa się macierz, której pewa potęga staje się macierzą zerową. Np. w przypadku B (q q) zawierającej jedyki a pierwszej podprzekątej, druga potęga (B (q q) ) = B (q q) B (q q) zawiera już jedyki tylko a drugiej podprzekątej. Koleje potęgi B (q q) przesuwają jedyki a dalsze podprzekątiowe, w końcu (B (q q) ) q =.

44 44. Metody bezpośrediego całkowaia rówań różiczkowych zwyczajych gdzie λ i są liczbami zespoloymi z diagoalej macierzy K, a yi () t są składowymi wektora y(t). Rówaia te mają taką samą postać, jak dyskutowae wcześiej modelowe rówaie skalare x () t =λ x() t, x( t) = x. (.4) Wyika stąd wiosek, że dla układu (.) obszar stabilości absolutej Ω C powiie zawierać wszystkie liczby tλ i Ω, i =,,...,m. Zatem, defiicja absolutej stabilości podaa dla rówaia skalarego pozostaje w mocy dla układu rówań, z tą różicą, że w przypadku układu rówań parametrowi skalaremu λ odpowiadają wartości włase λ i, i =,,...,m, Jakobiau K = x f = f/ x. Stąd waruek ałożoy a tλ musi być spełioy dla wszystkich λ i, i =,,...,m. Poieważ w ogólym przypadku Jakobia x f ie jest macierzą symetryczą, odpowiadający wartościom własym λ i parametr tλ może być liczbą zespoloą..8. Układ ieliiowych rówań różiczkowych.8.. Liearyzacja układu W przypadku gdy prawa stroa f(x,t) rówaia (.79) jest ieliiową fukcją swoich argumetów, badaia własości schematów umeryczego rozwiązaia wymagają formalej liearyzacji. Jeśli f(x,t) jest dwukrotie różiczkowala względem t i x w otoczeiu m+ pewego puktu ( x, t ) R, to układ te moża zapisać w postaci fx (, t) fx (, t) x = f x + x x + + x x x t () t (, t ) ( ) ( t t ) O(( ),( t t )) ( x, t ) ( x, t ) (, t ) x (, t ) ( ) t (, t )( t t ) O(( ),( t t ) ). = fx + fx x x + fx + x x Wydzielając w (.5) część liiową względem zmieej x, uzyskuje się formę gdzie (.5) x () t = f( x, t ) x() t + g( x,) t, (.6) gx fx fx x fx x x z wyrazów liiowo iezależych od x i wyrazów rzędu x (, t) = (, t ) x (, t ) + t (, t )( t t ) + O(( ),( t t ) ) O(( x x),( t t ) ) składa się. Dla x bliskich x, wyrażeie gx (, t) w badaiu własości schematów rozwiązaia moża uzać za miej waże..8.. Lokale własości układu Zatem, pomijając w (.6) składik gx (, t), otrzymuje się lokaly w pukcie ( x, t ) układ jedorodych rówań liiowych x () t = f( x, t ) x() t = K( x, t ) x() t, (.7) x poieważ m m wymiarowa macierz Jacobiego K x f( x, t ) jest macierzą stałą. Badaie K dostarcza iformacji o lokalych własościach układu ieliiowego.

45 .9. Sztywość i stabilość układu Sztywość i stabilość układu.9.. Sztywość układu Układ m rówań różiczkowych liiowych x () t = A() t x() t ze stałą macierzą A azywa się układem sztywym 5), jeśli wartości włase λ j (A), j =,,...,m macierzy A mają ujeme części rzeczywiste Reλ j <, j =,,..., m. (.8) Liczba max i=,,..., m λi s =, s, (.9) mi λ i=,,..., m i azywaa jest współczyikiem sztywości. O takim układzie mówimy, że jest bardzo sztywy lub mało sztywy, w zależości od tego, jaką wartość przyjmuje jego współczyik sztywości 53) s. Pojęcie sztywości moża odieść także do układu ogólego (.8). Przyjmując te same założeia dotyczące fukcji f(x,t), jak przy rozważaiu pojęcia stabilości absolutej, stosuje się metodę lokalej liearyzacji (.5) w pewym otoczeiu puktu m+ ( x, t ) R. Po wyodrębieiu części liiowej, układ przyjmuje postać (.6) ze stałą macierzą Jacobiego K x f( x, t ). Wówczas pojęcie sztywości traktuje się lokalie i oblicza się a podstawie wartości własych λ j ( x, t ) macierzy Jacobiego K x f( x, t ). Zatem określa się, że układ (.6) jest sztywy w pukcie ( x, t ), odosząc do tego puktu współczyik sztywości s( x, t )..9.. Stabilość układu Do całkowaia rówań zagadień o dużej sztywości adają się schematy o obszarach stabilości absolutej, obejmujących zaczą część półpłaszczyzy Re tλ <. Schematem A-stabilym azywa się taki schemat różicowy, którego obszar stabilości absolutej zawiera półpłaszczyzę Re tλ <. Stosowaie A-stabilych schematów do układów sztywych usuwa trudości związae z długością kroku całkowaia. Niezależie bowiem od wielkości max i=,,...,m λ i, ie ma tu żadych ograiczeń długości kroku t. Waruek A-stabilości jest atomiast bardzo ograiczający. Do schematów A-stabilych ależą schemat zamkięty Eulera (rzędu ) i schemat trapezów (rzędu ). Twierdzeie. Żade liiowy schemat wielokrokowy otwarty ie jest A-stabily. Rząd zamkiętego schematu wielokrokowego A-stabilego ie może być większy iż. Wśród schematów A-stabilych, iejawą, liiową metodą różicową rzędu z ajmiejszą stałą błędu jest metoda trapezów. 5) Jeśli w układach rówań różiczkowych zmiea iezależa zmieia się według różych skal, wpływając a wartość zmieej zależej, to takie układy rówań azywamy układami sztywymi, Awrejcewicz [996]. 53) W przypadku zagadień bardzo sztywych s 6.

46 46. Metody bezpośrediego całkowaia rówań różiczkowych zwyczajych Warukiem stabilości spełiaym przez szerszą klasę schematów, a jedocześie gwaratującym możliwość całkowaia układów sztywych, jest A(α)-stabilość. Schematem A(α)-stabilym azywa się taki schemat różicowy, którego obszar stabilości absolutej zawiera ieskończoy kli π α < arg tλ < < π + α, gdzie α π / (rys..7). Pojęcie A(α)-stabilości jest o wiele słabsze iż pojęcie A- stabilości (zwłaszcza w przypadku schematów wielokrokowych), ale dla wielu układów sztywych całkowicie wystarcza. Rys..7. Obszar stabilości absolutej schematu A(α)-stabilego Należy tu bardzo wyraźie zazaczyć, że awet schematy A-stabile ie muszą gwaratować dobrego zachowaia się rozwiązań umeryczych dla układów sztywych Pukty krytycze układów autoomiczych Rozwiązaia rówań różiczkowych moża potraktować jako trajektorie w odpowiediej przestrzei topologiczej. W takim przypadku porówywaie rozwiązań będzie poszukiwaiem przekształceń, które przeprowadzają jede zbiór trajektorii w drugi. Rozważa się rówaie autoomicze x () t = f( x), (.) gdzie f jest fukcją klasy C w pewym zbiorze otwartym Q R m. Zatem rówaie to, uzupełioe warukiem początkowym x() = p, p Q, ma jedozacze rozwiązaie w pewym przedziale. Niech M będzie przestrzeią fazową rówaia (.) i iech fukcja f będzie fukcją klasy C a M. Przestrzeń fazowa M może być otwartym podzbiorem R m, jedak o takiej własości, że krzywe całkowe zaczyające się w M pozostaą w tym zbiorze. Defiicja Potokiem azywa się parę ( M, g t ), gdzie M jest przestrzeią fazową, a gt ( p) = x( t, p) jest parametryzowaą przez t rodzią dyfeomorfizmów M, spełiającą waruki: ) g t : M M, ) g t oraz (g t ) g t są różiczkowalymi przekształceiami M w M, 3) g t+s = g t g s.

47 .9. Sztywość i stabilość układu 47 Defiicja Trajektorią albo orbitą puktu p w potoku azywamy zbiór wartości odwzorowaia g t (p), t (, ) 54). Defiicja Pukt p o własości f(p) = azywa się puktem krytyczym albo puktem osobliwym potoku wyzaczoego przez rówaie (.) (pukt taki azywa się także położeiem rówowagi). Łatwo zauważyć, że jeśli pukt p jest krytyczy, to jego orbita jest stała (g t (p) = p). Stąd pukty takie często azywa się puktami stacjoarymi. Z topologiczego puktu widzeia, w klasyfikacji orbit układu autoomiczego wyróżia się tylko trzy kategorie: ) orbity otwarte (dyfeomorficze z prostą), ) orbity zamkięte, 3) pukty krytycze. Defiicja Pukt krytyczy układu autoomiczego (.) azywa się prostym, jeśli otrzymay po liearyzacji 55) układ x = Ax jest prosty (tj. det A ). Pukt krytyczy azywa się hiperboliczym, jeśli otrzymay po liearyzacji układ geeruje potok hiperboliczy 56). Twierdzeie. (Grobmaa-Hartmaa) Jeśli x = jest puktem hiperboliczym układu x = Ax+ g( x), (.) g( x) gdzie g(x) jest klasy C w otoczeiu zera, g ( )= oraz lim = to portret fazowy x x układu (.) jest w otoczeiu puktu x = topologiczie rówoważy 57) portretowi fazowemu układu zliearyzowaego x = Ax. Klasyfikacja puktów krytyczych układu dyamiczego jest zadaiem skomplikowaym. W pracy ograiczoo się do przedstawieia ich krótkiej charakterystyki w przypadku układów dwuwymiarowych liiowych o stałych współczyikach. Dyskusja ta rozszerzoa będzie a układy ieliiowe poddae liearyzacji w trakcie ewolucji rozwiązaia ieliiowego. Własości puktów krytyczych układu dyamiczego zależą od wartości wyrażeia = (tr A) 4det( A), (.) 54) Twierdzeie: Przez każdy pukt przestrzei fazowej M przechodzi dokładie jeda orbita. Dwie róże orbity ie przeciają się. Jeśli dwie orbity mają chociaż jede pukt wspóly, to są idetycze. 55) Liearyzacją układu (.) w otoczeiu puktu x = (zob. p..8.) azywa się układ liiowy o stałych współczyikach x = Ax, taki że układ (.) moża zapisać w postaci x = Ax+g( x), gdzie g( x) jest fukcją ciągłą spełiającą waruek lim g( x) x =. 56) Mówimy, że potok te jest hiperboliczy, jeśli wszystkie wartości włase macierzy A mają iezerowe części rzeczywiste. 57) Defiicja: Niech będą dae dwa potoki (M,g t ) i (M,q t ) z tą sama przestrzeią fazową M. Mówi się, że potoki te są topologiczie rówoważe, jeśli istieje taki homeomorfizm przestrzei fazowej h : M M, że h g = q h dla każdego t (, ). t t x

48 48. Metody bezpośrediego całkowaia rówań różiczkowych zwyczajych czyli pierwiastków wielomiau charakterystyczego macierzy A oraz jej wartości własych. W przypadku dwuwymiarowym, dla >, macierz A ma dwie róże wartości włase, a odpowiadające im wektory włase są liiowo iezależe i tworzą bazę kaoiczą w przestrzei R. Własości puktów krytyczych układu dyamiczego dla > > λ, λ < węzeł stabily λ > λ > węzeł iestabily λ < < λ siodło Tablica. Gdy =, macierz A ma jede podwójy pierwiastek wielomiau charakterystyczego λ. Jeżeli tej wartości własej odpowiadają dwa liiowo iezależe wektory włase, to mówi się o węźle gwiaździstym. Jeżeli jest tylko jede wektor własy, pukt krytyczy azywa się węzłem zdegeerowaym. Własości puktów krytyczych układu dyamiczego dla = =, dwa wektory włase λ < węzeł gwiaździsty stabily λ > węzeł gwiaździsty iestabily =, jede wektor własy λ < węzeł zdegeeroway stabily λ > węzeł zdegeeroway iestabily Tablica. Jeżeli <, istieją dwa pierwiastki zespoloe sprzężoe wielomiau. Wtedy portret fazowy przedstawia spirale zwijające się do środka układu lub a zewątrz, w zależości od zaku współczyików α a główej przekątej postaci kaoiczej A α β A =, β > β α. (.3) A zatem, mogą pojawić się ogiska stabile, iestabile lub środek, w którym orbity są kocetryczymi okręgami. Środek jest puktem stabilym. Nie jest o jedak stabily asymptotyczie, jak to było obserwowae w poprzedich przypadkach stabilości.

49 .. Rówaia różiczkowe w dyamice kostrukcji 49 Własości puktów krytyczych układu dyamiczego dla < < α < ogisko stabile α > ogisko iestabile α = środek Tablica.3 W przypadku układów ieliiowych, pukty krytycze klasyfikuje się aalogiczie do układów liiowych. Defiicja (Klasyfikacja puktów krytyczych dla zagadieia dwuwymiarowego). Niech pukt x = będzie puktem krytyczym układu ieliiowego (.) w R. ) Jeśli dla t + każde iezerowe rozwiązaie x(t) dąży do puktu x i ma a płaszczyźie wektor styczy w pukcie x, to pukt te azywa się węzłem stabilym. ) Jeśli dla t + każde iezerowe rozwiązaie x(t) dąży do puktu x, ale ie ma wektora styczego w tym pukcie, to pukt te azywa się ogiskiem stabilym. 3) Węzeł iestabily i ogisko iestabile defiiuje się przez aalogicze zachowaie rozwiązań dla t. 4) Jeśli wśród rozwiązań x(t) istieją takie, które są zbieże do puktu x, gdy t +, oraz takie, które są zbieże do tego puktu, gdy t, to pukt x azywa się siodłem. 5) Jeśli wszystkie trajektorie w dostateczie małym otoczeiu puktu x są zamkiętymi krzywymi otaczającymi te pukt, to azywa się go środkiem. Separatrysy, czyli orbity, które dla t dochodzą do puktu krytyczego, mają w pukcie krytyczym idetycze stycze dla układu ieliiowego i układu zliearyzowaego... Rówaia różiczkowe w dyamice kostrukcji... Zagadieia dyamiki kostrukcji Przez pojęcie zagadień dyamiki kostrukcji rozumie się problemy, w których zachowaie aalizowaych układów zależeć będzie od iewielkiej liczby postaci drgań o,,iskiej częstotliwości. Tutaj jako,,iskie częstotliwości traktuje się drgaia, którym odpowiadające długości fali są zaczie większe od charakterystyczych długości fal akustyczych 58). Okazuje się, że w problemach dyamiki kostrukcji bardziej przydate są metody typu iejawego (implicit), podczas gdy metody typu jawego (explicit) (p..3) w zagadieiach propagacji fal. Pierwszoplaowym zadaiem aalizy w ramach,,dyamiki kostrukcji jest zalezieie przemieszczeń jako historii (ewolucji) w czasie, kostrukcji 58) W przeciwym przypadku mówi się o problemie propagacji fali.

50 5. Metody bezpośrediego całkowaia rówań różiczkowych zwyczajych poddaej działaiu zależego od czasu obciążeia. Wyrażeia matematycze defiiujące historię przemieszczeń azywa się rówaiami ruchu kostrukcji 59).... Rówaia dyamiki kostrukcji Klasycze przemieszczeiowe rówaie ruchu ciała dyskretyzowaego (zob. Kleiber [995]) w przypadku małych deformacji sprężystych ma postać Mq () t + Cq () t + Kq() t = p() t, t [ t, b = t+ a], (.4) gdzie p(t) jest wektorem obciążeń zewętrzych, macierze M, C, K odpowiadają masie, tłumieiu i sztywości, a q () t, q () t, q () t są wektorami przemieszczeń, prędkości i przyspieszeń w układzie po dyskretyzacji. Powyższe rówaie macierzowe (.4) jest układem N rówań różiczkowych zwyczajych rzędu II o stałych, ajczęściej, współczyikach, które może być zamieioe a układ rówań rzędu pierwszego przez zastosowaie astępujących przekształceń: q q x =, x =, q q * M M =, I Uwzględiając (.5), wzór (.4) przyjmuje formę 6) * C K K = I, * p p =. (.5) * * * Mx + Kx= p, (.6) staowiącą układ N rówań różiczkowych zwyczajych rzędu pierwszego. Wskazuje to, że prowadzoe wcześiej rozważaia i wioski ogóle dotyczące rozwiązywaia umeryczego rówań pierwszego rzędu są adal waże. Ze względu a zaczeie rówań drugiego rzędu, opracowao wiele metod przezaczoych specjalie do bezpośrediego ich rozwiązaia. Metody te umożliwiają w wielu przypadkach praktyczych dokoaie efektywego całkowaia układu postaci (.4). W pracy rozważa się tylko metody typu,,bezpośredie całkowaie, jedak w wielu przypadkach wystarczająca okazuje się przybliżoa aaliza kostrukcji zredukowaej do układu zastępczego o iewielkiej liczbie stopi swobody (zob. p. Wieczorek i Szymczyk [] w kotekście obciążeń krytyczych), czyli tzw. aaliza modala. Zagadieia te i metody redukcji bazy w przestrzei rozwiązań ie będą dyskutowae w moografii. W dyamice kostrukcji, podobie jak w teorii metod umeryczych, podstawowymi problemami związaymi ze schematami całkowaia względem czasu są stabilość i dokładość rozwiązaia. W przypadku ieliiowych układów dyamiczych, główym problemem jest zapewieie stabilości algorytmów. Okazuje się, że algorytmy bezwarukowo stabile w zagadieiach liiowych często tracą stabilość w zadaiach ieliiowych. W ieliiowej dyamice kostrukcji, za waruek koieczy przyjmowae jest kryterium 59) Sformułowaie rówań ruchu układu dyamiczego ależy do ajważiejszej (i ajczęściej ajtrudiejszej) fazy aalizy. Najczęściej stosowae są trzy róże metody formułowaia tych rówań: (a) bezpośredie rówoważeie sił przy użyciu zasady d Alemberta, (b) a podstawie zasady przemieszczeń wirtualych, (c) a podstawie zasady Hamiltoa. 6) Należy zazaczyć, że rozszerzoa macierz mas M * jest symetrycza, podczas gdy rozszerzoa macierz sztywości K * ie jest symetrycza.

51 .. Rówaia różiczkowe w dyamice kostrukcji 5 zachowaia lub zaikaia całkowitej eergii a kroku czasowym. Z uwagi a to badaia schematów całkowaia rówań rozwijają się w trzech zasadiczych kierukach (p. Crisfield [99], Kuhl i Crisfield [999]). Obok metod z umeryczą dyssypacją eergii i algorytmów, które zachowaie eergii układu wymuszają poprzez dodatkowe ograiczeia, pojawiają się tzw. schematy eergetyczo-pędowe. Pierwsza grupa to dobrze zae algorytmy z kotrolą umeryczej dyssypacji eergii związaej z wysokimi częstościami drgań układów liiowych. Są oe tworzoe przez odpowiedie zaprojektowaie schematu całkowaia. Możliwość dyssypacji eergii związaej z wysokimi częstościami jest bardzo istotą cechą w aalizie dyamiczej rzeczywistych kostrukcji iżyierskich, gdyż takie układy z praktyki iżyierskiej charakteryzują się dużą liczbą stopi swobody, a stąd dużym zakresem częstości drgań. Już w pracy Newmark [959] użyto kocepcji umeryczej dyssypacji ajwyższych postaci w celu umożliwieia zastosowaia do tego typu problemów stosukowo dużego kroku całkowaia. Pierwotą ujemą stroę tego podejścia występującą w ramach schematów Newmarka, tj. utratę dokładości drugiego rzędu, po raz pierwszy usuięto w pracy Hilber, Hughes i Taylor [977]; podejście to zastosowao p. w pracy Quadrelli i Atluri [998]. Tzw. metoda α-hilbera (zob. Chug i Hulbert [993]) jest kombiacją bezwarukowo stabilego schematu o dokładości drugiego rzędu i dyssypacji umeryczej. W zastosowaiach do zagadień ieliiowych okazuje się, że podejście to ie gwaratuje dyssypacji eergii dla wszystkich parametrów, które w zakresie liiowym odpowiadały za stabilość procesu rozwiązaia (zob. Kuhl i Crisfield [999]). Zatem w grupie tych metod pozostaje bez odpowiedzi pytaie: jak dla układów ieliiowych dobrać parametry całkowaia tak, aby rozwiązaie było stabile w czasie? Drugą grupę algorytmów wymuszających zachowaie eergii otwiera praca Hughes, Caughey i Liu [978]. Kocepcja algorytmów tego rodzaju polega a rozszerzeiu schematu podstawowego o waruek zachowaia eergii, wprowadzoy przez możiki Lagrage a. Wadą tego podejścia jest brak zbieżości procesu iteracyjego Newtoa-Raphsoa, pomimo zachowaia eergii. Te iekorzysty efekt ujawia się w momecie całkowaia, w którym w algorytmie podstawowym (w którym ie wprowadzao ograiczeń) obserwowae jest arastaie eergii (zob. Kuhl i Ramm [996], [996] ). Trzecia grupa, algorytmy z założeia spełiające waruek zachowaia eergii, to aktualie ajbardziej populare i skutecze metody, tzw. metody eergetyczo-pędowe. Dają oe stabilość całkowaia po czasie przez algorytmicze zachowaie eergii w sposób zapropooway w pracach Simo i Tarow [99]. Metody te kostruuje się przez prostą modyfikację klasyczej reguły puktu cetralego. Kocepcja tego podejścia polega a zastąpieiu drugiego tesora aprężeń Pioli-Kirchhoffa z kofiguracji odpowiadającej puktowi środkowemu, tesorem obliczoym jako uśredioy z wartości aprężeń w kofiguracji a początku i końcu kroku. Podejście takie gwaratuje algorytmicze zachowaie całkowitej eergii oraz pęd i momet pędu. Metodę tę, sformułowaą dla ośrodka ciągłego, z powodzeiem zastosowao także do dyamiki: ciała sztywego Simo i Wog [99], Briseghella, Majoraa i Pellegrio [999], prętów kratowych Crisfield i Shi [994], Kuhl i Crisfield [999], prętów (belek) Crisfield, Galvaetto i Jeleić [997], Simo i Tarow, Doblare [995], Galvaetto, Crisfield [996], powłok Simo, Rifai i Fox [99], Simo i Tarow [994], Kuhl i Ramm [996], Brak, Briseghella, Toello i Damjaić [998], mechaizmów Stader i Stei [996], a także do zagadień kotaktu w dyamice wielu ciał sprężystych (p. Armero i Petocz [996], [998], Taylor, Che [997]).

52 Rozdział Equatio Sectio FORMALNY OPIS OBROTÓW.. Pojęcie obrotu... Obrót skończoy, grupa obrotów Każde ortogoale przekształceie liiowe x=qx (.) trójwymiarowej euklidesowej ) przestrzei wektorowej E 3 a siebie zachowuje długość każdego wektora i kąty między imi (zob. p. Kor i Kor [983]). Takie przekształceie azywa się obrotem właściwym (tesorem obrotu) wtedy i tylko wtedy, gdy det(q) =, to jest gdy zachowuje względą orietację dowolych trzech wektorów bazy i, co za tym idzie, skrętość układu oraz iloczyy skalare, wektorowe i mieszae, między iymi: QaiQ b = aib, ( Qa Qb) Qc= ( a b) c, 3 abc,, E (.) Obroty właściwe są ograiczoe i ieosobliwe oraz tworzą trójwymiarową grupę SO(3). Grupa obrotów ie jest grupą przemieą. Przemieość wykazują jedyie obroty wokół dowolej ustaloej osi (obroty dwuwymiarowe), staowiące podgrupę grupy SO(3). Moża zatem zdefiiować grupę obrotów jako 3 3 T T SO (3) = { Q: E E Q Q = QQ =, det( Q ) = }. (.3) Twierdzeie. (Eulera o obrotach) Każdy obrót wokół puktu jest rówoważy pewemu obrotowi wokół osi. Na mocy tego twierdzeia każde odwzorowaie (.) jest wyzaczoe przez wektor e, określający oś obrotu, i kąt obrotu ϕ. Obroty mające taki sam bezwzględy kąt obrotu ϕ ależą do tej samej klasy elemetów sprzężoych. Każdą współrzędą tesora obrotu moża iterpretować geometryczie jako cosius c jk kąta między odpowiedim wektorem bazy stałej e i i wektorem bazy obrócoej tk Qek c jke j. 3 = = = j ) Przestrzeń liiowa R, gdzie R jest ciałem liczb rzeczywistych, azywa się przestrzeią euklidesową E, jeżeli jest w iej określoa biara operacja azywaa iloczyem skalarym, który dla x,y,z E, λ C spełia astępujące waruki: a) x y = y x, b) (λx y) = λ(x y), c) (x + y) z = = x z + y z, d) x x, e) x x = fi x =.

53 .. Pojęcie obrotu 53 Rys... Ilustracja twierdzeia Eulera... Nieskończeie mały obrót, przestrzeń stycza do grupy obrotów Geometryczie grupę obrotów moża iterpretować jako zakrzywioą powierzchię, której pukty reprezetują pewe kofiguracje (skończoe obroty). Okazuje się, że przestrzeią styczą do grupy obrotów w pukcie Q = SO(3) (elemet eutraly) jest przestrzeń wektorowa tesorów skośie symetryczych so(3). Każdy elemet so(3), jako przestrzei styczej do grupy obrotów SO(3), iterpretuje się jako mały (ifiitezymaly) obrót. so(3)~ TQ SO(3) so(3) θ Q SO(3) Rys... Geometrycza iterpretacja grupy obrotów

54 54. Formaly opis obrotów Jedoparametrowa rodzia małych obrotów jest zatem iterpretowaa jako prosta stycza do SO(3) w pukcie Q =. Formalie so(3) defiiuje się astępująco so 3 T (3) = { L( E ) = } Θ Θ Θ. (.4) Przestrzeń so(3) z komutatorem [ ΘΦ, ]= ΘΦ ΦΘ, ΘΦ, so(3) jako awiasem Liego jest algebrą Liego (so(3),[.,.]), która jest izomorficza z algebrą Liego (E 3, ), z iloczyem wektorowym pełiącym rolę awiasu Liego. Izomorfizm w postaci odwzorowaia E so przez θ Θ = ad( θ ), (.5) 3 ad : (3) zdefiioway jest przez Θa = θ a dla każdego a E 3. Wektor θ= ad (Θ) E 3 azywa się wektorem osiowym tesora skośie symetryczego Θ so(3). Formalie skośie symetryczy tesor Θ = adθ reprezetuje ieskończeie mały (zliearyzoway) obrót wokół wektora własego sprzężoego z pojedyczą zerową wartością własą ) Reprezetacje Θ,θ w ustaloej bazie przyjmują formę (ad ) =. (.6) θ 3 θ [ Θ ij ] = θ3 θ θ θ, [ θ i ] θ = θ θ [ θi] [ Θij] = ad([ θ i ]). (.7).. Parametryzacja grupy obrotów... Współrzęde lokale tesora obrotu Ze względu a ortogoalość Q, tesor obrotu moża lokalie przedstawić w postaci Q = Q ( q, q, q ), (.8) 3 ) Problem własy Tv = λv dla tesora T GL(3) polega a wyzaczeiu par własych (λ,v) spełiających rówaie (T λi)v =. Tutaj λ jest pierwiastkiem rówaia charakterystyczego det(t λi) = f (λ) = fi f (λ) = λ 3 + I T λ II T λ + III T =. Występujące w f (λ) współczyiki są iezmieikami główymi tesora T: IT trt= Ti I, IIT [( IT) I ] = [(tr T) tr T ] = [( TiI) T T it ], T IIIT det T= ( TiI) ( TiI)( T it + T T T i T. 3 T T 6 3 T Dla tesora skośie symetryczego Θ= Θ, Θ so(3), problem własy ( Θ λiv ) = upraszcza się, bowiem iezmieiki główe wyoszą: I = III = Θ Θ, II Θ = Θ Θ = Θ =θ, gdzie T i tr θ θ, a rówaie charakterystycze redukuje się do postaci f( λ) = λ 3 II λ = 3 λ + θ λ =. Stąd pierwiastki wyoszą λ, = ± iθ oraz λ 3 =. Sprzężoym z λ 3 = wektorem własym spełiającym ( Θ Iv ) = jest wektor osiowy v θ = Θ. v3 3 3 ad Θ

55 .. Parametryzacja grupy obrotów 55 co wyika z faktu, że SO(3) jest trójwymiarową grupą Liego. Trójkę liczb rzeczywistych (q i ) azywa się współrzędymi (parametrami) lokalymi Q. Parametryzacja to ic iego jak projekcja SO(3) a pewą styczą do SO(3) przestrzeń wektorową. Formalie, parametryzacja obrotów jest więc odwzorowaiem grupy N obrotów SO(3) w przestrzeń liczb rzeczywistych R : N SO(3) R, Q=Q( ), (.9) gdzie N liczb rzeczywistych (q i ) azywa się parametrami obrotu, zaś N-wymiarem parametryzacji. Grupę obrotów moża parametryzować wewętrzie lub zewętrzie. Parametryzacja zewętrza wymaga zdefiiowaia układu współrzędych, zaś parametryzacja wewętrza ie. Moża stosować parametryzację lokalą lub globalą. Na mocy twierdzeia Hopfa (zob. p. Stuelpagel [964], Kordos, Skwarczyński i Zawadowski [993]) do jedozaczego opisu ależy użyć miimum pięciu parametrów. Nie istieje zatem wola od osobliwości parametryzacja trójwymiarowa grupy SO(3). W kolejych puktach omawia się parametryzacje wykorzystae w pracy. Z wielu możliwych, ajbardziej aturalymi są tzw. współrzęde kaoicze.... Fukcja wykładicza, parametryzacja kaoicza Współrzęde kaoicze defiiuje się wykorzystując fukcję wykładiczą exp:e 3 E 3, daą absolutie zbieżym szeregiem potęgowym: 3 exp T= (!) T = + T+ T +..., T L( E ). (.) = W szczególym przypadku, kiedy przyjmuje się T Θ so(3) L(E 3 ), zawsze expθ SO(3) jest elemetem grupy obrotów. Pozwala to każdy tesor obrotu z otoczeia tesora Q SO(3) zapisać a jede z dwóch sposobów: ) poprzez lewą trasformację tesora obrotu (expθ)q, tzw. obrót w reprezetacji przestrzeej; ) poprzez prawą trasformację tesora obrotu Q(exp ), tzw. obrót w reprezetacji materialej, gdzie Θ, so(3) są małymi obrotami. Niech, zgodie z twierdzeiem Eulera, e będzie wektorem jedostkowym wzdłuż osi obrotu, a ϕ kątem obrotu. Wykorzystując (.5), tesor obrotu Q moża zapisać przez fukcję wykładiczą Q = exp( ϕ ad e). (.) Wykorzystując twierdzeie Cayleya-Hamiltoa, moża wykazać, że szereg (.) ma w przypadku (.) skończoą postać (parametryzacja kaoicza) Q q i = + si ϕ(ad e) + ( cos ϕ)(ad e). (.) Zależości odwrote wyrażające e i ϕ przez Q moża wyzaczyć, rozwiązując układ rówań

56 56. Formaly opis obrotów si ϕ (ad ) = T e Q Q, cos ϕ = (tr Q ), (.3) ϕ e ϕ ϕ Q Q. siϕ ad = [( + cos ) ( + cos ) + ] Ostatia zależość wyika także z defiicji fukcji logarytmiczej, która ma astępującą ogólą postać + ( T ) l T= l( + ( T )) = ( ), (.4) = która dla tesora ortogoalego T Q SO(3), (l Q) so(3) daje a podstawie rówaia Lagrage'a-Sylvestera postać (.3) 3 (porówaj p. Sedov [966])...3. Parametryzacje przez wektor obrotu skończoego Rozpatrując mootoiczie rosąca fukcję ψ = ψ(ϕ), która przyjmuje wartość zerową w pukcie ϕ =, moża zdefiiować tak zway wektor obrotu skończoego. Uwzględiając wyrażeie (.), otrzymuje się ψ = ψϕ ( ) e, Ψ = ad ϕ = ψϕ ( )(ad e). (.5) Q = + αψ + βψ, siϕ cosϕ α, β. (.6) ψϕ ( ) ψ ( ϕ) Z istieia ϕ = ϕ(ψ) wyika, że tesor obrotu Q moża wyrazić przez wektor ψ...4. Parametryzacja Cayleya-Kleia, pseudowektor Rodriguesa Jedym z kryteriów doboru parametryzacji może być opis obrotu bez pośredictwa fukcji trygoometryczych. Istieje dokładie jede wektor obrotu skończoego, określoy z dokładością do stałego możika, który spełia te waruek a parametryzacja ta osi azwę Cayleya-Kleia. Zdefiioway wzorem ϕ ψ = ta e, (.7) wektor obrotu skończoego osi azwę pseudowektora Rodriguesa, gdzie e = ϕ/ϕ. Odpowiadający mu tesor skośie symetryczy ma postać ϕ Ψ = adψ = ta ad e. (.8) Wykorzystując klasycze tożsamości trygoometrycze, łatwo przekształcić (.) do postaci Q = QΨ ( ) = + λ( Ψ + Ψ ), λ = ( + ) ψ, (.9)

57 .. Parametryzacja grupy obrotów 57 która wyraża się przez wektor Rodriguesa 3) Q( ψ) = [( ψ iψ) + ψ ψ + ad ψ ]. (.) + ψ iψ Tutaj ψ = ψ iψ ozacza ormę Euklidesową wektora obrotu (.7). Wykorzystując zależość (.3), otrzymamy długość wektora Rodriguesa 3 trq ψ = ta ϕ = + trq. (.) Po wyzaczeiu Q Q T, otrzymamy poszukiway przepis a parametry obrotu + trq T Ψ = ( Q Q ). (.) Z (.) wyika, że parametryzacja Cayleya-Kleia wyrażoa przez pseudowektor Rodriguesa jest osobliwa w przypadku, gdy trq = (co ozacza, że ψ = ) a także, co wyika bezpośredio z własości zastosowaej fukcji trygoometryczej, w pukcie ϕ =π...5. Kąty Eulera Parametryzacja poprzez kąty Eulera ależy do grupy parametryzacji zewętrzych i wymaga, w związku z tym, wprowadzeia układu współrzędych. Niech zatem e, e, e 3 będzie ustaloą w przestrzei bazą. Następujące macierze reprezetują obroty o kąt ϕ wokół dodatich półosi e, e i e 3 siϕ cosϕ Q ( ϕ) cosϕ siϕ, Spełiają oe waruek cosϕ siϕ cosϕ siϕ Q ( ϕ), Q 3( ϕ) siϕ cosϕ. (.3) siϕ cosϕ Q ( ϕ) = Q ( ϕ), i =,, 3. (.4) i i Każdy tesor Q [c ik ], reprezetujący w trójwymiarowej przestrzei euklidesowej obrót właściwy, moża w róży sposób wyrazić jako iloczy trzech macierzy (.3), a w szczególości jako cosϕ siϕ cosϑ siϑ cosψ siψ Q Q3( ϕ) Q( ϑ) Q3( ψ) = siϕ cosϕ siψ cosψ siϑcosϑ cosψ cosϑ cosϕ siψsi ϕ siψcosϑ cosϕ+ cosψsi ϕ siϑ cosϕ = (cosψcosϑsi ϕ+ siψcos ϕ) siψ cosϑ siϕ cosψcos ϕ siϑ si ϕ +. cosψsiϑ siψsi ϑ cosϑ (.5) 3) 3 Uwzględioo prawo rozwiięcia a (b c) = (a c)b (a b)c = [bƒa (a b)]c, abc,, E.

58 58. Formaly opis obrotów Trzy kąty Eulera precesja ψ, utacja ϑ i obrót właściwy ϕ (rys..3) z zależości (.5) jedozaczie defiiują obrót w przedziale zmieości π < ψ π, ϑ π, π < ϕ π. t 3 ϑ utacja e 3 liia węzłów t e precesja ψ ϕ t e t w obrót właściwy Rys..3. Kąty Eulera (precesja, utacja, obrót właściwy) Ią popularą parametryzacją zewętrzą są tzw. kąty Bryata Q Q ( ψ) Q ( ϑ) Q ( ϕ) = 3 cosϑcos ψ siϕsiϑ cosψ + cosϕsi ψ cosϕsiϑ cosψ + siϕsiψ cosϑsi ψ siϕsiϑ siψ cosϕcos ψ cosϕsiϑ siψ siϕcosψ. (.6) = + + siϑ siϕcosϑ cosϕcosϑ Kąty Bryata są często używae do opisu położeia samolotu lub pojazdu przestrzeego poprzez przechyleie ϕ, achyleie ϑ i odchyleie kierukowe ψ, mierzoe wzdłuż osi przechodzących przez środek kadłuba i skierowaych kolejo do przodu, do prawego skrzydła i do dołu samolotu. Pokazay zapis kątów Eulera (.5) i kątów Bryata (.6) dotyczy tzw. iterpretacji aktywej (trasformacja bazy). Ze względu a występowaie osobliwości, opisy te wykorzystywae są tylko do reprezetacji obrotów o zaych ograiczeiach. Możliwe są przejścia z jedej parametryzacji do drugiej, ależy jedak pamiętać o charakterystyczych dla każdej parametryzacji puktach osobliwych..3. Akumulacja obrotów.3.. Bazy układów współrzędych Niech Q = Q(t) SO(3) będzie tesorem obrotu, który odwzorowuje ustaloą w czasie ortoormalą bazę {e i, i =,, 3} w ortoormalą bazę {t i (t), t [,+ ), i =,, 3} ti() t = Q() t e i, Q = Q() t = ti() t e i. (.7)

59 .3. Akumulacja obrotów 59 Dalej, o ile ie zajdzie potrzeba, pomija się parametr (argumet) czasu. Rozważa się pewie przyrost obrotu, przeprowadzający bazę aktualą {t i, i =,, 3} do pewej uaktualioej bazy {t i, i =,, 3}. Istieją tu dwie poiższe drogi opisu tego przyrostu..3.. Lewa i prawa trasformacja, przyrost obrotu W reprezetacji przestrzeej całkowity obrót bazy początkowej {e i } do uaktualioej {t i } jest określoy przez lewostroe ałożeie przyrostu tesora obrotu Q L SO(3) a aktualy tesor obrotu Q: L L L Q = Q Q, ti = Q ti = Q Qei. (.8) W tym przypadku przyrost obrotu jest traktoway jak rotacja bazy aktualej {t i }. Jeżeli całkowity obrót bazy początkowej {e i } do uaktualioej {t i } jest określoy przez prawostroe ałożeie przyrostu tesora obrotu Q P SO(3) a aktualy tesor obrotu Q P P Q = Q Q, ti = Q Q e i, (.9) to przyrost obrotu jest traktoway jak rotacja bazy początkowej {e i } i jest reprezetacją materialą Składaie obrotów Iaczej składaie obrotów moża zdefiiować wykorzystując parametryzację poprzez pseudowektor obrotu Rodriguesa (.). Niech α = ta Q = Q ( ) (.3) α ozacza całkowity pseudowektor obrotu (.7) odpowiadający złożeiu obrotów (.8) i (.9). Tesor Q może być obliczoy bezpośredio w termiach pseudowektorów obrotów Q( ) i Q L ( ) lub φ Q P ( φ) zgodie z relacjami: = ( + + ), + L = ( + φ + φ). (.3) + φ P Całkowite wektory obrotów lewy L (przestrzey) i prawy P (materialy) są sobie rówe, L = P, gdyż Q = exp(ad ) = exp( L ) = exp( P ). Symbole te wyróżioo jedyie w celu pokazaia, że formuły te rówież mają zastosowaie w przypadku składaia dwóch przyrostów obrotu, kiedy Q exp(ad ). Rówość obydwu wektorów moża wykazać, opisując pełe obrót bazy od {e i } do {t i } a podstawie zależości (.3) 4 L = Q P = P = P, gdzie Q = jest tesorem jedostkowym Powiązaie przyrostów wektorów obrotu Załóżmy, że θ jest wektorem obrotu w reprezetacji przestrzeej odpowiadającym przyrostowi tesora Q L zdefiiowaego rówież w reprezetacji przestrzeej, a ϕ jest odpowiedim wektorem obrotu w reprezetacji materialej, który odpowiada przyrostowi

60 6. Formaly opis obrotów tesora materialego Q P. Tak opisae przyrosty tesorów w obydwu reprezetacjach moża wyrazić wykorzystując fukcję wykładiczą: L P Q = exp(ad θ), Q = exp(ad φ). (.3) Korzystając z poprzedich rozważań ((.8) i (.9) ), a podstawie zależości (.3) moża zauważyć zależość między wektorami obrotu wyrażoymi w reprezetacji przestrzeej i materialej. Q = exp(ad θ) Q = Qexp(ad φ) adθq = Qadφ ad (ad ) T θ = Q φ Q = Qφ θ. (.3).4. Operatory dotyczące obrotów.4.. Pochode kierukowe obrotu Do wyzaczeia zliearyzowaego przyrostu obrotu ależy wykorzystać pochodą kierukową (Frecheta) tesora obrotu Q (por. p. Cardoa i Geradi [988]). Rozważao krzywą w postaci R η Q ( η) SO(3), zdefiiowaą a grupie obrotów. Taka krzywa, parametryzowaa przez η i przechodząca przez pukt regulary Q = Q(), ma dwie reprezetacje w postaci Q ( η) = [exp(ad η )] = [exp(ad η )] Q Q. (.34) reprezetacja przestrzea reprezetacja materiala Co za tym idzie, wyzaczeie pochodej kierukowej Q(η) prowadzi do przestrzeej i materialej postaci zliearyzowaych przyrostów 4) obrotu d QQ [ ;ad ] = [exp(ad η )] Q η = = (ad ) Q, dη d QQ [ ;ad ] = Q[exp(ad η )] η = = Q(ad ) dη (.35) Wielkości te odpowiadają lewo lub prawostroemu ałożeiu tesorów skośie symetryczych (adθ), (adϕ) so(3) a tesor Q opisujący obrót aktualy. Tesory skośie symetrycze reprezetują zliearyzowae, odpowiedio przestrzee lub materiale, przyrosty obrotów wokół wektora własego odpowiadającego pojedyczej zerowej wartości własej (ad ) =, (ad ) =. (.36) 4) W obliczeiach pochodej kierukowej d [exp( )] d η η = η= wykorzystuje się własość fukcji wykładiczej, omawiaą przy parametryzacji kaoiczej exp( η ) = ( η ) = =! η = = + η + +.! η... =!

61 .4. Operatory dotyczące obrotów Wariacje tesora obrotu W termiach składowych przestrzeych lub materialych wariacji wektora obrotu wariacja tesora Q przyjmuje postać T δ Q (ad δ ) Q Q(ad δ ) ad( δ ) δqq, ad( δ ) T Q δ Q. (.37) Z (.37) wyikają powiązaia ad( δ ) = Q ad( δ ) Q T T, ad( δ ) = Q ad( δ ) Q, δ = Qδ, δ T = Q δ. (.38).4.3. Prędkości kątowe Weźmy i Ω symbolizujące przestrzey i materialy tesor skośie symetryczy opisujący prędkość kątową, która może być wyrażoa jako prędkość zmiay tesora obrotu dq T Q Q QΩ ad T QQ, Ω adω QQ. (.39) dt Wyika z tego, że wektory osiowe i ω tesorów i Ω są odpowiedio przestrzeą i materialą prędkością kątową. Z (.39) wyika, że związki między tak opisaymi wielkościami wyrażoymi w obydwu reprezetacjach, mają postać T = QΩQ, = Qω, T Ω = Q Q T, ω = Q. (.4) Podobie, jak w poprzedich rozważaiach, z obliczeia pochodej kierukowej 5), moża otrzymać zliearyzoway tesor przestrzeej prędkości kątowej T d T d T d T = [ ;ad ] = ( Q ) η = = + Q Q QQ Q Q = QQ + Q Q T dη dη dη ( ) η = η = = Q+ Q Q QQ = + T T (ad ) (ad ) (ad ) ad (ad ) (ad ) = ad [ (ad ) (ad ) ] = ad [,ad ] oraz odpowiadający mu wektor zliearyzowaej przestrzeej prędkości kątowej (.4) = ad ( ) = [ Q; ] =. (.4) Liearyzacja kolejych tesorów skośie symetryczych i ich wektorów osiowych prowadzi do astępujących wyrażeń 6) 5) d d W obliczeiach uwzględioo Q = ( Q[ Q;ad ] ) = ((ad ) Q) = (ad ) Q+ (ad ) Q oraz dt dt T T Q [ Q; η ] = Q (ad ). Poadto, w wyrażeiu pojawia się awias Liego [(.), (.)]. d d Q = Q[ Q;ad φ] = Q(ad φ) = Q (ad φ) + Q(ad φ) dt dt oraz Q T [ Q;ad φ] = 6) Uwzględioo ( ) ( ) T = (ad φ) Q.

62 6. Formaly opis obrotów d = Q = Q Q = Q Q + Q T Q dη = ad φ + [ Ω(ad φ) (ad φ) Ω] = ad φ + [ Ω,ad φ], ω = φ + ω φ, T T Ω Ω[ ;ad φ] ( ) η = (.43) T T T = [ Q;ad φ] = ( QQ ) η = = QQ + Q Q ( T T φ φ ) φ ( φ) T = Q(ad ) + Q(ad ) Q Q(ad ) Q = Q ad Q, (.44) = Qφ, T d dη d T T T Ω = Ω[ Q;ad ] = ( Q Q ) η = = Q Q + Q Q dη T T T = Q (ad ) Q + Q (ad ) Q+ (ad ) Q = Q (ad ) Q, (.45) ω = Q. ( ) Aalogiczie do (.4) i (.43) (.45) określa się wariacje prędkości kątowej w przestrzeej i materialej reprezetacji δ = δ δ = Qδ φ, δ = δ + δ = Q δ. (.46) T ω φ ω φ.4.4. Przyspieszeia kątowe Skośie symetrycze tesory przestrzee i materiale przyspieszeia kątowego defiiuje się przez różiczkowaie po czasie odpowiedich prędkości kątowych 7) d T T T T T T T A = ada ( QQ ) = QQ + QQ = QQ + QQ QQ = QQ, (.47) dt d ( ) dt T T T T T T T A = ada Ω QQ = QQ+ QQ= QQ+ QQQQ= QQ ΩΩ. (.48) Z defiicji (.47) i (.48) wyikają zależości wiążące przestrzee i materiale tesory i wektory przyspieszeń kątowych A= T A, = Q Q T T a Qa, A = Q AQ, a = Qa. (.49) 7) T T Wykorzystuje się także defiicje i zależości = = T T QQ QQ i Ω = QQ = QQ.

63 .4. Operatory dotyczące obrotów 63 Zliearyzowae wielkości przestrzee i materiale przyspieszeia kątowego oblicza się zgodie z procedurą zastosowaą do prędkości 8) : d T T T T T AQ [ ;ad ] = [ Q;ad ] = ( QQ + QQ ) = QQ + Q Q + QQ + Q Q dη η = T T = ((ad ) Q+ (ad ) Q + (ad ) Q ) Q QQ (ad ) T T T + ((ad ) Q+ (ad ) Q ) Q Q ( Q (ad ) + Q (ad )) T T T = ad [ (ad ) QQ + QQ (ad ) (ad )( QQ )] T T T T [( QQ + QQ )(ad ) (ad )( QQ + QQ )] = ad [,(ad )] [(ad a),(ad )], a = a, gdzie A= ad a, T (.5) d A Q = Q = Q Q + Q Q = + + dη a = φ + ω φ + a φ, gdzie A = ad a, T T [ ;ad φ] Ω[ ;ad φ] ( ) η = ad φ [ Ω,(ad φ)] [(ad ),(ad φ)], a (.5) d T T T AQ [ ;ad φ] = [ Q;ad φ] = ( QQ + QQ ) η = = Q{ad φ + [ Ω,ad φ ]} Q, dη a = Q( φ + ω φ ) = Qφ + Qφ, gdzie A= ad a, (.5) d T T T A[ Q;ad ] = Ω [ Q;ad ] = ( QQ + QQ ) η = = Q{ad [,(ad )]} Q, dη T T T a = Q ( ) = Q ω Q, gdzie A = ad a. Odpowiedie do (.5) (.53) wyraża się wariacje przyspieszeń kątowych δa = δ δ a δ = Q( δφ + ω δ φ ) = Qδφ + Qδφ,. T T T δ a = δφ + ω δφ + a δφ= Q ( δ δ ) = Q δ ω Q δ (.53) (.54) Otrzymae zależości wyrażające wariacje przyrostów leżą w przestrzei styczej T Q SO(3) do grupy obrotów SO(3) w pukcie odpowiadającym obrotowi aktualemu Q. Relacje te są iezależe od użytej parametryzacji tesora obrotu Q. Wyboru parametryzacji grupy obrotów dokoujemy poprzez projekcję wariacji a przestrzeń zmieych parametryzujących SO(3). 8) d d Uwzględia się Q = ( Q [ Q;ad ] ) = ((ad ) Q+ (ad ) Q ) = (ad ) Q+ (ad ) Q + (ad ) Q dt dt d d Q = Q [ Q;ad φ] = Q (ad φ) + Q(ad φ ) = Q (ad φ) + Q (ad φ ) + Q(ad φ ). dt dt oraz ( ) ( )

64 64. Formaly opis obrotów.5. Relacje między obiektami z różych przestrzei styczych.5.. Przestrzeie stycze W obliczeiach umeryczych silie eksploatowaym pojęciem jest pojęcie przestrzei styczej do SO(3) w pukcie Q TSO(3) {(ad ) (ad ) so(3)} = { (ad φ) (ad φ) so(3)}, (.55) Q Q Q reprezetacja przestrzea reprezetacja materiala która, zgodie z p..., jest izomorficza ie tylko z so(3), ale także z E 3 TSO(3) so(3) E Q 3. (.56) Na podstawie obowiązujących izomorfizmów (.56), mówiąc o zliearyzowaych obrotach, moża rówoważie traktować wektory osiowe θ,ϕ E 3, tesory skośie symetrycze adθ, adϕ so(3) lub (adθ)q, Q(adϕ) T Q SO(3). Ze względu a koieczość wykoywaia operacji a tych obiektach, bardzo istote jest rozróżieie ich przyależości do odpowiediej przestrzei styczej. W opisie relacji wyprowadzaych w tej sekcji, aby ie możyć kolejych symboli, używa się otacji wykorzystywaej bezpośredio w algorytmach iteracyjych (rozdział 5). Zatem ozaczeia te mają głębokie uzasadieie. Etykieta dola wskazuje a kofigurację odiesieia względem której zapisay jest obiekt, zaś góry wskaźik w awiasach jest liczikiem iteracji i podkreśla, że obiekt te jest aktualie poszukiway (iezay). Oczywiście otrzymae relacje mają charakter ogóly i obowiązują iezależie od tego, czy rozważay jest proces iteracyjy, czy ie..5.. Relacje między przyrostami, reprezetacja przestrzea Niech Q (), Q i SO (3) + będą tesorami obrotów, tak zlokalizowaymi, że wiąże je astępująca relacja w reprezetacji przestrzeej Q = θ Q + θ exp(ad ), (ad ) Q T Q SO(3). (.57) Lokalie gładka krzywa ( ) Q + η, η R, Q () + = Q+ w reprezetacji przestrzeej ma postać Q+ ( η) = exp(ad η θ + ) Q+, (a d θ ) Q T ( i ) SO(3). (.58) + + Q+ Tutaj wektor osiowy θ + przyależy do przestrzei styczej w pukcie Q +. Ta sama krzywa zapisaa w termiach zliearyzowaych przyrostów z przestrzei styczej w pukcie Q ma formę Q + η = ( θ ( ) exp ad ( η) ) Q, ( ad θ ( η) ) Q T Q SO(3), (.59) gdzie θ ( η) = θ + η. (.6) θ

65 .5. Relacje między obiektami z różych przestrzei styczych 65 () Tutaj θ i jest zliearyzowaym obrotem z T S O(3). Wszystkie wektory w (.6) ależą do tej samej przestrzei styczej określoa. Q T SO(3), zatem operacja dodawaia (+) jest dobrze Q Q exp(ad ) Q + ( i ) exp(ad + ) exp(ad ) Q + exp(ad ) + Q ( i+ ) + Rys..4. Schemat powiązaia (aktualizacji) tesora obrotu w reprezetacji przestrzeej () Poszukiwaą zależość pomiędzy zliearyzowaymi obrotami θ + i θ i, przyależymi do różych przestrzei styczych T S O(3) i T SO(3), otrzymuje się a podstawie relacji Q Q ( i ) + ( Q ) ( η) exp(ad η θ ) exp(ad θ ) exp(ad θ i ( η) ) Q. (.6) () + + Możąc (.6) prawostroie przez (.6), mamy Q T T (exp(ad θ ) Q) = Q exp( ad θ ) i i i i i ( η θ+ ) = ( θ η ) θ = ( θ + η θ ) i uwzględiając () () () () () exp ad exp ad ( ) exp( ad ) exp ad( ) exp( ad ) Pseudowektory obrotu (parametry Rodriguesa) θ (.6) θ η θ η θ ( ) ta, η = η θ+ θ θ θ θ + η θ θ + η θ ta, ( ) ta, = θ () η = i θ θ + η θ (.63) pozwalają a podstawie (.) zapisać zależość (.6) w łatwej do przekształceń formie ( η) θ+ ( η) = ( θ ( η) θ + θ ( η) ) + θ iθ Policzoe pochode kierukowe lewej stroy (.64) ( ) () () () ( ) [ i ; i i + Q+ + ] = θ. (.64) δ θ η θ θ + (.65)

66 66. Formaly opis obrotów oraz prawej stroy (.64), dwuetapowe jak dla fukcji złożoej poprzez 9) ( θ ( η) θ + θ θ ( η) ) = [ + ad θ ] θ + θ θ + θ ( η) i ( η ) η= ( θ ) δ ( η) [ Q ; θ ] = θ si θ = cos ( ) + ad, ( i) θ θ θ i θ θ θ θ i θ θ θ = + cos ( /) ( ) ta( /)( ) ta( /) θ θ θ θ θ ta( θ /) = ( e e ) + e e ( i) θ θ cos ( θ /), θ (.66) (.67) () dają poszukiwaą relację między θ + i i () θ, gdzie i () / i e θ θ, e =. Ostateczie przyjmuje oa formę zależości liiowej gdzie () θ = ϒ ( θ + ) θ i, ϒ : T ( i) SO(3) T ( i) SO(3), (.68) Q Q+ si θ si θ si( θ / ) = + e e + θ θ θ θ / ϒ( θ ) ad Porówując (.69) z (.) zapisaym dla przyrostu θ exp( θ ) = + si θ (ad e ) + ( cos θ )(ad e ) = cosθ + si θ (ad ) + ( cos θ ), e e e moża wykazać, że obowiązuje astępująca tożsamość T exp( θ ) ϒ ( θ ) = ϒ( θ ). (.69) (.7). (.7) Puktem wyjścia do wyzaczeia relacji odwrotej w stosuku do (.68), tak jak poprzedio jest krzywa Q ( ) + η. Możąc (.6) prawostroie przez Q T i uwzględiając (.6), otrzymuje się i i i i ( θ η ) = ( θ + η θ ) ( η θ + ) () () () () exp ad ( ) exp ad( ) exp ad exp(ad ) θ. (.7) Następie postępując aalogiczie, wyraża się zależość (.7) przez parametry Rodriguesa θ ( η) i oblicza się stroami pochode kierukowe. Tym razem lewa stroa rówa 9) Wykorzystując (ad ) i tożsamości trygoometrycze = ( cos α). θ θ = α cosα ta =, si α si α =

67 .5. Relacje między obiektami z różych przestrzei styczych 67 () (.67) wymaga w celu wyzaczeia θ i obliczeia tesora odwrotego ), który ma postać θ θ θ = + cos ( /) () () δ( ( ))[ ; ] i θ i e e θ η Q θ. (.73) ta( θ /) ta( θ /) Końcowa forma poszukiwaej relacji, wobec ( ) + η = η +, wyrażoa jest zależością ) θ / θ / () () i i θ = + e e adθ θ +. (.74) ta( θ /) ta( θ / ) Iaczej pisząc () () () θ i = ( θ i ) θ i, ϒ : T SO(3) T SO(3), (.75) gdzie ϒ + Q ( i) ( i) + Q ( i) θ / θ / ( i) ( i) ( i) ϒ ( θ ) = + ad e e θ. (.76) ta( θ /) ta( θ /) Porówując (.76) z (.7), moża wykazać, że obowiązuje zależość ( ) T T exp( θ ) ϒ ( θ ) = ϒ ( θ ) ϒ ( θ ). (.77) Wyrażeie (.76) moża uzyskać, odwracając bezpośredio ) tesor (.69) zapisay ) Ozaczając ta( θ /) ta( /) a =, b θ = θ cos ( θ/) θ, wykorzystuje się własości tesora T = a+be e, dla którego tesor odwroty ma postać T = α+βe e. Wobec tego, że TT = = (a+be e) (α+βe e) aα = bα + aβ + bβ = α = a, β = b(a(a+b)), θ θ α =, β = + cos ( θ/). ta( θ /) ta( θ /) ) Uwzględia się ( )(ad ) = ( )( ) = ( i( )) = ( i( )) e e e θ e e e θ e e θ e θ e e e=. ) Niech ϒ = a+be e + cade, a tesor odwroty ma postać ϒ = α+βe e + γade. Z waruku ϒϒ = (a+be e + cade)(α+βe e + γade) = oblicza się stałe α, β i γ. Po uwzględieiu zależości (ade)(ade)θ = (ade)(e θ) = e (e θ) = (e θ)e (e e)θ = (e e )θ, waruek ϒϒ = przyjmuje postać (aα cγ)+(bα+aβ+bβ+cγ)e e + (cα+aγ)ade =, z której otrzymuje się trzy waruki skalare: aα cγ =, bα+aβ+bβ+cγ =, cα+aγ =. Waruki te tworzą układ rówań a c α a c pozwalający wyzaczyć poszukiwae stałe b a b c + β =, det b a b c + = ( a+ b)( a + c ), c a γ c a c det a b c + = a( a+ b) a a det b a b + = c( a+ b) c a a + c α = c =. a + c γ a c, det b c = c ab c a c ab β = ( a b)( a c + + ),

68 68. Formaly opis obrotów w postaci gdzie ϒ( θ ) = a+ be e + cade () () (), (.78) a = θ si θ, b= a, Zajomość kształtu tesora odwrotego do θ c = = ϒ = α+ βe e + γade ( i) ( i) si ( / ) cos θ θ ( i) ( i) ( i) θ. (.79) (.8) pozwala z waruku ϒϒ = wyzaczyć współczyiki występujące w (.8), które po uwzględieiu, że a + b = (a + b)(a + c ) = (a + c ) i uwzględieiu wielkości pomociczej wyoszą: i ( θ ) () cos ( i) si ( θ /) c () θ θ a + c = = =, (.8) i ( θ /) θ θ θ α = = = =, a c c ta( /) a / / a () + cos( ) / si( θ ) θ i ( θ ) c γ = = a + c θ, (.8) c ab c a a c a a a θ β = = = = = =, (.83) ( a+ b)( a + c ) a + c a + c a + c ta( /) ( ) + / α ( i) θ co potwierdza poprawość poprzediego wyprowadzeia. Operator (.69) dla θ dąży 3) do ϒ( θ ) ( i ). Niech teraz zliearyzowae θ () obroty θ i i + θ będą iterpretowae jako wariacje kątów obrotu θ+ δθ+ δθ () i i θ δθ δθ lub iech będą wyrażoe przez odpowiedie prędkości θ i θ tθ tθ + = tω + tω, gdzie oba pojęcia są z przestrzei styczych w puktach Q+ i Q odpowiedio powiązaych przy tym zapisie relacją Q + = exp(adθ )Q. Wykorzystując te iterpretacje, a podstawie (.68) obowiązują zależości δ θ = ϒ ( θ ) δ θ, ω = ϒ( θ ) θ, (.84) używae w przyrostowo-iteracyjych algorytmach obliczeń. 3) () () () Uwzględia się e =, gdzie e i = θ i / θ i oraz z regułą de l Hospitala. siα cosα lim = lim = zgodie α α α

69 .5. Relacje między obiektami z różych przestrzei styczych Relacje między przyspieszeiami kątowymi, reprezetacja przestrzea Przestrzee przyspieszeie kątowe obliczae jest przez różiczkowaie po czasie (.84) wyrażeia a przestrzeą prędkość kątową a = ω = ϒ ( θ ) θ + ϒ( θ ) θ, (.85) gdzie operator ϒ day jest zależością (.69) lub (.78)-(.79), którą a teraźiejsze potrzeby zapisuje się w postaci ϒ( θ ) = a+ be e + cade, si θ a =, b= a, θ cos θ c =, θ e = θ θ. (.86) Do obliczeia pochodej ϒ względem czasu wygodie jest wykorzystać pochodą kierukową δϒ[ θ ; θ] = ϒ( θ + η θ = ϒ( η d dη d η= dη η= ( a η ) ( b η ) ( c η ) = ( ) + ( ) e e + ( ) ade + d d d dη η= dη η= dη η= d dη ( dη η ) d ( e η e η ) c ( e η ) + b ( ) ( ) + ad ( ), η= = (.87) która wymaga wyzaczeia pochodych poszczególych składików zależości (.86) d si θ ei θ ( a( θ + η θ ) cos η = d η = θ θ θ, (.88) d ( θ + θ = d ( θ + θ = cos θ si θ e i θ, (.89) ( b η ) ( a η ) η= η= dη d η θ θ d cos θ ei θ ( c( θ + η θ ) = si η = θ, (.9) d η θ θ d θ + η θ = θ ( e i θ) e ), (.9) ( e ( ) ( d η = η θ d ei θ ( e( θ+ η θ e( + η ) = ( e+ e ) e η= d η θ θ θ θ θ θ e, (.9) d oraz ( ad( ) d η η θ + η θ = ad θ, gdzie oczywiście θ i = θ ależą do przestrzei stycz-

70 7. Formaly opis obrotów ej w pukcie Q. Zatem pochoda 4) ϒ względem czasu ( θ tθ ) po uproszczeiu i pogrupowaiu składików wyosi θ cos θ si θ 3si cos ( ) = ( e ) θ θ θ θ ϒ θ θ + ( e e e ) θ θ θ θ si θ + cos θ θ si θ + +, T ((ad e) e) θ ( ) ( ) e θ + e θ θ θ si( θ / ) + ad θ. θ / Przejście graicze dla θ daje ϒ ( θ ) = adθ. θ (.93).5.4. Relacje między przyrostami, reprezetacja materiala Tutaj postępowaie jest aalogicze jak w przypadku reprezetacji przestrzeej (p..5.). Q exp(ad ) Q + ( i ) exp(ad + ) exp(ad ) Q + exp(ad ) + Q ( i+ ) + Rys..5. Schemat aktualizacji tesora obrotu w reprezetacji materialej 4) si θ ei θ si θ ei θ cos θ ei θ δϒ [ θ; θ] = cos θ + cos θ + e e+ si θ ad e θ θ θ θ θ θ si θ ei θ cos θ + [ θ e+ e θ] e e + ad [ θ ( ei θ) e] θ θ θ θ θ θ cos θ si θ 3si θ θ θ cos θ = ( e) ( ) θ+ e e e θ θ θ, θ si θ + cos θ θ + ( (ad si θ e ) T cos ) ( ) ( ) θ e θ+ e θ+ e θ + ad θ. θ θ θ

71 .5. Relacje między obiektami z różych przestrzei styczych 7 Tym razem tesory zależość Q, Q + są tak zlokalizowae, że w reprezetacji materialej wiąże je Q = Q () exp(ad φ i + ), Q(ad φ ) T Q SO(3), (.94) a krzywej ( ) (3) Q+ η SO, η R, Q () + = Q+, tak jak poprzedio, adaje się dwie postaci Q+ ( η) = Q+ exp(ad η φ + ), Q (ad φ ) T ( i ) SO(3), (.95) ( Q+ ( η) = Qexp ad φ ( η) ), ( η ) + + Q + Q ad φ ( ) T Q SO(3), φ ( η) = φ + η φ. (.96) () gdzie φ i jest zliearyzowaym obrotem. Oba składiki z (.96) 3 ależą do tej samej przestrzei styczej, w której operacja dodawaia (+) jest dobrze określoa. () Do zalezieia relacji, tym razem pomiędzy φ + i φ i, wykorzystuje się defiicję i ( ) Q ( η) Q exp(ad φ ) exp(ad η φ ) Q exp ad φ ( η), (.97) () + + prowadzącą, aalogiczie jak w p..5., do zależości ( η + ) = ( ) ( η ) exp ad φ exp adφ exp ad φ ( ). (.98) Wprowadzając odpowiedie pseudowektory obrotu (parametry Rodriguesa) φ η φ η φ ( ) ta, η = η φ+ φ φ φ φ + η φ φ + η φ ta, ( ) ta, = φ () η = i φ φ + η φ (.99) zależości (.6) adaje się postać () () φ i i + ( η) = ( φ ( η) φ φ φ ( η) ) + φ ( η) iφ φ = Y φ + φ ( ), : T ( i) SO(3) T ( i) SO(3), (.) Y Q Q+. (.) Porówaie (.) z (.64) wskazuje tylko a różice w zaku ostatiego składika. Zatem śledząc wyprowadzeie (.69), bez trudu moża apisać relację gdzie si φ si φ φ φ si( φ /) = + φ φ φ φ φ φ / Y( φ ) ad. (.) Używając tych samych argumetów, co przy wypisaiu (.), śledząc obie wersje (.7)-(.8) wyprowadzeia (.74), prawie atychmiast moża podać zależość odwrotą do (.): φ = Y ( φ ) φ, Y : T ( i) SO(3) T ( i) SO(3), (.3) gdzie + Q+ Q

72 7. Formaly opis obrotów Y φ / φ / φ φ ( i) ( φ ) = + ad + φ ta( φ /) ta( φ /) φ φ. (.4) () Także tutaj operator Y dla φ i dąży do Y ( φ ) ( i ). Aalogicza iterpretacja jak w (.8), φ δφ δφ i + + φ φ δφ δφ i φ tφ tφ, pozwala a podstawie (.) wypisać obowiązujące zależości bardzo użytecze w obliczeiach. lub φ + tω + = tω δ φ= ϒ( φ ) δ φ, ω = ϒ( φ ) φ, (.5).5.5. Relacje między przyspieszeiami kątowymi, reprezetacja materiala Kątowe przyspieszeie w reprezetacji materialej obliczae jest przez różiczkowaie po czasie wyrażeia a prędkość kątową w reprezetacji materialej (.5) a = ω = Y ( φ ) φ + Y( φ ) φ Y( φ) = a+ be e+ cade, si φ cos φ a =, b= a, c =, φ φ, (.6) gdzie operator (.) dla lepszego porówaia z odpowiedikiem (.86) zapisuje się w postaci e = φ. (.7) φ Poieważ różica dotyczy tylko zaku współczyika c, moża przez aalogię do (.93) podać φ cos φ si φ Y ( φ) = ( e ) φ φ 3si φ φ φ cos φ + ( e e e ) φ φ φ si φ + cos φ (ad ) φ ( e e ) φ φ + +, si T [( e ) φ ( e ) φ φ φ si( φ / ) ] ad φ. φ / (.8) W tym przypadku przejście graicze dla daje Y ( φ ) = adφ. φ φ

73 Rozdział 3 MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ 3.. Wybrae pojęcia i prawa mechaiki ośrodków ciągłych 3... Czasoprzestrzeń Pojęcie czasoprzestrzei leży u podstaw mechaiki (zob. p. Woźiak [985], Rymarz [993]). Nie wikając w iuase związae z jej defiicją, rozważa się czasoprzestrzeń w sesie Newtoa z ustaloym układem odiesieia w postaci iloczyu kartezjańskiego E 3 T. W te sposób od razu utożsamia się przestrzeń fizyczą (przestrzeń puktową) z trójwymiarową Euklidesową przestrzeią wektorową E 3, x E 3, zaś jedowymiarowa przestrzeń wektorowa T, t T, reprezetuje czas t. Każde zdarzeie ((x,t) elemet czasoprzestrzei) jest jedozaczie wyróżioe ciągiem czterech liczb rzeczywistych (x, x, x 3, t), z których trzy pierwsze iterpretowae są jako miejsce, a czwarta jako współrzęda czasowa (chwila). Spośród wszystkich zmia układów odiesieia czasoprzestrzeń Newtoa wyróżia się te, które zachowują odległości oraz odstępy czasowe. Wyika stąd, że odwzorowaia izometrycze są ajogóliejszymi o tych własościach. Zbiór tych szczególych odwzorowań tworzy grupę Galileusza. Prawa mechaiki klasyczej, zgodie z zasadą względości Galileusza, mają tę samą postać we wszystkich iercjalych układach odiesieia. Układu odiesieia ie ależy mylić z układem współrzędych (zob. p. Arold [98]) Ośrodek ciągły Przedmiotem badań mechaiki ośrodków ciągłych są ciała materiale. Ciału przypisuje się strukturę ciągłą, zaiedbując rzeczywisty charakter materii. Ciało materiale jest kotiuum cząsteczek (puktów), które w każdej chwili t wypełiają w sposób ciągły pewie obszar B(t) przestrzei fizyczej ) o przypisaych własościach fizyczych, charakterystyczych dla daej klasy problemów. Obszar B(t) azywa się chwilową (t) kofiguracją ciała. Pukt y(t) B(t) jest miejscem zajmowaym przez cząstkę materialą x w chwili t. Przyjmuje się, że B(t) jest obszarem regularym z brzegiem B(t) kawałkami gładkim Opis ruchu Przez ruch ciała rozumie się jedoparametrową rodzię {B(t)}, będącą sekwecją kofiguracji w przestrzei fizyczej. Istieje wiele sposobów opisu ruchu ). W pracy wykorzystuje się opis ruchu względem ustaloej iezależej od czasu kofiguracji odiesieia B ) Ciało materiale może być rówież zdefiiowae jako trójwymiarowa rozmaitość różiczkowala, którą w każdej chwili moża zaurzyć w sposób wzajemie jedozaczy i w obie stroy różiczkowaly (dyfeomorficzy) w przestrzei fizyczej. ) Np. opis: materialy, przestrzey, kowekcyjy, odiesieia, względy.

74 74 3. Mechaika bryły sztywej (p. początkowej B B()). Kofiguracja odiesieia B służy do idetyfikacji cząstek ciała x B. Ruch względem B jest opisay astępująco: 3 y : B T E, ( x, t) y = y( x, t). (3.) Zakłada się, że odwzorowaie (3.) jest wzajemie jedozacze oraz odpowiedio regulare, tj. y(x,t) jest różiczkowale dla prawie wszystkich x B i prawie wszystkich t T. Pole prędkości ciała defiiuje się jako pochodą y(x,t) względem czasu przy ustaloym x d d dy ds vx (, t) = yx (, t) yx (, t) = y( s( t) = cost ) = = vt, (3.) x dt dt ds dt gdzie s jest parametrem łuku (długością) toru puktu x, v = v = viv a t = v v jest jedostkowym wektorem styczym do toru. Do opisu własości prędkości wygodie posłużyć się wprowadzoym przez R. Hamiltoa pojęciem hodografu. Defiicja Hodografem wektora będącego fukcją ciągłą skalara azywa się krzywą 3) ciągłą zataczaą przez koiec tego wektora odkładaego od ustaloego puktu w przestrzei. Pochoda wektora względem skalara jest wektorem styczym do hodografu. Aalogiczie do (3.) defiiuje się pole przyspieszeń d d ax (,) t = vx (,) t vx (,) t = (,) t (,) t x= cost cost dt yx yx. (3.3) x dt = Niech R ozacza promień krzywizy toru y(x,t) x=cost, a wektor ormalej główej 4). Wykorzystując pierwszy wzór Freeta 5), moża przyspieszeie rozłożyć a składową styczą i ormalą do toru d d dv d dv d ds dv v = = ( v ) = + v t t a v t t = t+ v = t+ = at + a. (3.4) dt dt dt dt dt ds dt dt R Z (3.4) wyika, że wektor przyspieszeia leży zawsze w płaszczyźie ściśle styczej do toru i w ogólym przypadku ie jest do iego styczy Opis ruchu względego dwóch układów Powiązaie kiematyki dwóch różych układów odiesieia poruszających się względem siebie ależy do ajważiejszych problemów mechaiki 6). Istieją dwa podstawowe rodzaje uogólioych przemieszczeń: przesuięcia (traslacje) oraz obroty (rotacje). Traslacje tworzą grupę abelową (przemieą), czego ie moża stwierdzić o obrotach. 3) Hodograf iezależie od wyboru układu odiesieia jest zawsze krzywą ograiczoą. 4) Wektor ormalej główej leży w płaszczyźie ściśle styczej do krzywej i jest skieroway ku środkowi krzywizy. 5) dt/ds = /R. 6) Określeie położeia chwilowego w dowolie ustaloym momecie oraz związek między prędkościami i przyspieszeiami mierzoymi w obu układach odiesieia.

75 3.. Wybrae pojęcia i prawa mechaiki ośrodków ciągłych 75 t () t t () t x e traslacja y t 3 () t obrót Q złożeie y Q t () z e 3 e x x 3 t () z z 3 t 3 () układ stały układ ( ieruchomy) ruchomy Rys. 3.. Uogólioe przemieszczeia Zgodie z twierdzeiem Eulera (rozdz. ) dowoly obrót będzie całkowicie scharakteryzoway, jeśli podamy kieruek osi obrotu i wartość kąta obrotu (trzy wielkości rzeczywiste: dwie składowe wersora osi obrotu i kąt obrotu). Twierdzeie 3. (Chaslesa, 83 r.) Najogóliejsze przemieszczeie, które pozwala a pokrycie ze sobą dwóch układów, moża uzyskać przez obrót wokół pewej osi i traslację wykoaą w kieruku rówoległym do tej osi (przemieszczeie śrubowe). Kolejość tych dwóch przemieszczeń jest dowola. Z twierdzeia tego wyika, że grupa uogólioych przemieszczeń jest grupą sześcioparametrową (trzy składowe wektora traslacji i trzy wektora obrotu). Trasformacje kartezjańskich układów odiesieia moża rozpatrywać w ujęciu pasywym 7) lub aktywym 8). Z puktu widzeia pierwszego ujęcia, daa trasformacja w drugim ujęciu jest dokładie trasformacją odwrotą (rozdz. ). Użycie jedego z powyższych ujęć jest całkowicie obojęte. W pracy używa się ujęcia aktywego. Niech S ozacza układ stały, o ustaloym reperze ortoormalym {o; e i, i =,, 3} w przestrzei fizyczej E 3 T. Niech R będzie układem ruchomym zdefiiowaym astępująco {o( t); t ( t) t t () e, i =,,3; t T}. Ruch w układzie ruchomym z(t) R wzglę- i i i i dem układu stałego x(t) S da się jedozaczie przedstawić jako złożeie obrotu Q(t) i przesuięcia y(t) x() t = Qt z() t + y() t, SO(3) Qt Q( t) = ti( t) ti = t i( t) ei, y () t = o() t o. (3.5) Nazwy,,ruchomy i,,ieruchomy układ odiesieia są pojęciami umowymi i mogą ulegać zmiaie (zamiaie) Składaie prędkości Czas, z założeia, w obu układach S i R płyie jedakowo. Na potrzeby tego i astępego podrozdziału pochode po czasie w obu układach ozacza się astępująco 7) Podejście pasywe rozważa się ustaloy pukt, w dwóch różych układach powstałych w wyiku przekształceia. 8) Podejście aktywe przestrzeń porusza się bez zmiay układu odiesieia.

76 76 3. Mechaika bryły sztywej d x( t) d d xi ( t) x () t = = ( xi() t ei) = ei dt dt dt w S, d() z t d d zi ( t) z () t = = ( zi() t ti( τ )) = ti() t τ = t dt dt dt w R. (3.6) Prędkość absolutą v x S wyraża się przez ruch względy z() t i ruch układu współrzędych R. Różiczkując (3.5) względem czasu, otrzymuje się dx v() t = = Q tz() t + y () t + Qtz () t = vu rot() t + vu tra() t + vw() t = u() t + w() dt v v t, (3.7) gdzie v w prędkość względa, v u sumarycza prędkość uoszeia układu ruchomego R, v u tra postępowa prędkość uoszeia układu ruchomego, v u rot obrotowa prędkość uoszeia układu ruchomego. Dokoując podstawieia z = Q tt ( x y), obrotową prędkość uoszeia układu ruchomego zapisuje się w postaci v = QQ T ( x y ) = Ω ( x y ) = ω ( x y ), (3.8) urot t t t t gdzie ω t = ad Ωt = ad QQ T t t jest wektorem chwilowej prędkości kątowej w reprezetacji przestrzeej. Zatem prędkość absolutą (3.7) moża zapisać jako ( ) v() t = v () t + v () t + ω x() t y() t. (3.9) w u tra t Różiczkując wektory bazy t i (t) układu ruchomego R względem czasu w układzie ieruchomym S, otrzymuje się wzory Poissoa d dt d ti() = Qt i = Qt i = QQ t t ti() t = Ωtti() t = ωt t i() t, (3.) dt T ( t ) ( e ) e które pozwalają dla dowolego wektora z(t) = z i (t)t i (t) z układu ruchomego R zapisać w układzie S d d dz i ( t) ( z() t ) = ( z() i t ti() t ) = ti() t + z() i t t i() t = z () t + ωt z() t. (3.) dt dt dt Prędkość absolutą odiesioą do układu ruchomego R otrzymuje się a podstawie trasformacji v= Q x = Q ( Q z+ Qz + y ) = Q Q z+ Q Qz + Q y = Ω z+ z + Q v = ω z+ z + Q v T T T T T T T t t t t t t t t t t t utra t t utra 9), (3.) T gdzie ωt = ad Ωt = ad QQ t t materialej. jest wektorem chwilowej prędkości kątowej w reprezetacji 9) Wektory chwilowej prędkości kątowej, jako elemety przestrzei liiowej, mogą być dodawae i rozkładae a składowe, tak jak wszystkie wektory.

77 3.. Wybrae pojęcia i prawa mechaiki ośrodków ciągłych Składaie przyspieszeń Przyspieszeie absolute a= v = x S oblicza się, różiczkując wektor prędkości (3.7) względem czasu. Uwzględiając zależości tt T z = Q ( x y) i z = Qt vw, otrzymuje się dv d T a() t = = ( Q tz+ Qtz + y ) = Q tz+ Q tz + Q tz + y= QQ t t ( x y) + Q tz + Qtz + y dt dt = ( Ω + ΩΩ)( x y) + Ωv + a + a = Ω ( x y) + ΩΩ( x y) + Ω v + a + a t t t t w w utra t t t t w w utra Ostateczie otrzymujemy wzór Coriolisa gdzie ( ) (3.3). a() t = ω t ( x y) + ωt ωt ( x y) + ωt vw + au tra + aw = ad + a w, (3.4) ( ) ad = y + ω t ( x y) + ωt ωt ( x y) + ωt vw = a + a + a + a = a + a u tra u rot t u rot C u C (3.5) jest dodatkowym przyspieszeiem, jakie trzeba dodać do przyspieszeia względego obliczoego względem układu ruchomego a = v = Q z S, z R, (3.6) w w t aby otrzymać przyspieszeie względem układu stałego S. Tutaj a u = a u tra + a u rot t + a u rot sumarycze przyspieszeie uoszeia układu ruchomego R, a = y utra postępowe przyspieszeie uoszeia układu R, a = ω ( x y składowa stycza przyspieszeia uo- urott t ) szeia wyikająca z ruchu obrotowego układu R, a u rot = ω t (ω t (x y)) składowa ormala przyspieszeie uoszeia wyikająca z ruchu obrotowego układu R, a C = ω t v w przyspieszeie Coriolisa (odśrodkowe, dewiacyje). Przyspieszeie absolute w układzie ruchomym R otrzymuje się a podstawie trasformacji ( ) a = Q x= Q QQ ( x y) + Q z + Qz + y = QQQ ( x y) + QQ z + QQz + Q y T T T T T T T T t t t t t t t t t t t t t t = Ω + ΩΩ z+ Ωz + z + Q a = Ω z+ ΩΩz+ Ωz + z + Q a T T ( t t t ) t t u tra t t t t t u tra = ω z+ ω ω z + ω z + z + Q a T t t ( t ) t t utra. (3.7) Uiwersale prawa mechaiki ośrodków ciągłych W mechaice ośrodków ciągłych ciało jest traktowae jako układ dyamiczy. Wymaga to, poza podaiem cech geometryczo-kiematyczych, określeia jego cech dyamiczych. W rozważaiach czysto mechaiczych wystarczy założyć, że ciało ma masę oraz jest zdole do przeoszeia oddziaływań mechaiczych (sił). Mechaika klasycza wymaga spełieia trzech uiwersalych praw: a) zasady zachowaia masy, b) zasady zachowaia pędu, c) zasady zachowaia krętu. Są to tak zwae prawa bilasu mechaiki, które tworzą jej formalą bazę. Wszystkie wielkości występujące w prawach bilasu ) są ) Masa, pęd, kręt, siły masowe i siły kotaktowe.

78 78 3. Mechaika bryły sztywej wielkościami pierwotymi, tz. ie są defiiowae przez ie wielkości. Zakłada się, że wielkości te są zgode z ituicją fizyczą. Na potrzeby teorii szczególych, p. w mechaice klasyczej, jako kokrete postaci pędu i krętu przyjmuje się pewie rodzaj zależości traktowaych jako kietycze prawa kostytutywe, sprzęgające fukcje dyamicze ze zmieymi kofiguracyjymi i kiematyczymi Masa Doświadczeie podpowiada, że ależy przypisać każdemu ciału pewą liczbę m zwaą masą bezwładą ciała. Masa m jest własością substacji, opisuje zawartą w iej ilość materii, zależy od struktury wewętrzej materiału i jest dodatim skalarem (m > ). Uwzględiając fakt, że masa jest fukcją absolutie ciągłą względem miary objętości, moża wprowadzić gęstość masy ρ (x), mierzoą a jedostkę objętości kofiguracji odiesieia B. Zatem możemy określić masę części podciała P B jako całkę gdzie ρ dv = dm. P, (3.8) P m ( P, t ) = ρ d v = d m Siła Rozróżia się dwa rodzaje sił działających a ciało. Pierwszy rodzaj to siły zewętrze lub masowe (objętościowe); są oe ajczęściej proporcjoale do masy ciała (p. siła grawitacji). Gęstości sił masowych a jedostkę objętości B ozacza się przez f(x,t). Drugi rodzaj to siły wewętrze pochodzące od oddziaływań krótkiego zasięgu między cząstkami ciała, uwzględiae w postaci aprężeń wewętrzych. Gęstości sił kotaktowych a jedostkę powierzchi ciała B opisaej przez wektor ormaly ozacza się przez t (x,t). Zakłada się, że a części B f brzegu ciała B dae są siły t * (x,t), mają oe charakter sił kotaktowych. Na tej podstawie całkowita siła f i całkowity momet m () działające a podciało P zdefiiowae a kofiguracji odiesieia ) B mają postać: m 3... Pęd i kręt f( P, t) = fdv+ t da+ t d a, ( ) P P\ B f P Bf ( P, t) = y fdv+ y t da+ y t d a. P P\ B f P Bf (3.9) Na tej samej podstawie co dla masy określa się gęstości pędu i krętu. W mechaice klasyczej gęstość pędu wyraża się przez iloczy gęstości masy ρ (x) i prędkości v(x,t) ciała w przestrzei fizyczej, zaś kręt ciała wyraża się jako momet pędu. Stąd pęd p i kręt k () dla każdego podciała P mają postać ( P, t ) = ρ vd v = vd m, k ( P, t ) = ρ y v d v = y v d m. (3.) p P P ( ) P P ) Poieważ pojęcia pierwote występujące w prawach mechaiki odoszą się do ciała i jego części, a ie do obszarów w przestrzei fizyczej, moża je wyrazić poprzez wielkości zdefiiowae a dowolej kofiguracji, w tym i a B(t).

79 3.. Wybrae pojęcia i prawa mechaiki ośrodków ciągłych 79 Pęd i kręt są podstawowymi miarami ruchu ciała. Doświadczeie podpowiada, że pęd i kręt (momet pędu) są wielkościami, które w układzie odosobioym ) są zachowae Prawa mechaiki klasyczych ośrodków ciągłych Zakłada się, że prawa bilasu mechaiki obowiązują ie tylko dla całego ciała B(t), ale także dla dowolego podciała P(t) B(t) oraz dla każdego przedziału czasowego [t,t ]. W przypadku klasyczych ośrodków ciągłych, prawa mechaiki kofiguracji odiesieia B przyjmują postać całkową zasad zachowaia 3) : zasada zachowaia masy (, ) t m P t =, (3.) zasada zachowaia pędu [ ] t [ ] zasada zachowaia krętu (mometu pędu) t P P t P gdzie [ f(, t) ] f(, t ) f(, t ). t t p( P, t) = ( P, )d, (3.) t f t t t t t k ( P, t) ( P, t)dt. (3.3) ( = ) t m ( ) t Zasada zachowaia masy (3.) mówi, że masa ciała jest stała i iezmieicza ze względu a ruch ciała. Jedak lepiej postrzegać ją ie jako prawo fizycze, ale raczej jako zasadę defiiującą ciało jako zamkięty układ mechaiczy. Prawa zachowaia pędu (3.) i krętu (3.3) azywae są eulerowskimi prawami mechaiki i obowiązują w iercjalych układach odiesieia. W układach tych zmiaa pędu p i krętu ciała k () w trakcie jego ruchu w przedziale czasowym [t,t ] są rówe odpowiedio całkowitemu impulsowi siły f oraz całkowitemu impulsowi mometu m (), działających a ciało w przedziale [t,t ]. Zatem moża uzupełić określeie siły, stwierdzając, że w przypadku ciał pozostających w pewym dyamiczym związku z otoczeiem (układ ie jest układem odosobioym), przyczyę zmia pędu azywamy siłą. ) Układ odosobioy jest to system fizyczy doskoale odizoloway od jakichkolwiek wpływów zewętrzych, tz. bez wymiay materii (układ zamkięty) i oddziaływań zewętrzych (p. przyciągaia, odpychaia). 3) Zasada zachowaia wielkości fizyczej f: przez pojęcie to rozumie się prawo przyrody stwierdzające, że w dwu dowolych chwilach t i t wielkość f ma tę samą wartość dla rozważaego układu odosobioego. Szczególe zaczeie praw zachowaia wielkości mechaiczych polega a tym, że są to prawa bezwarukowe i mają głębokie zaczeie pozawcze. Ich bezwzględość łączy się z własościami symetrii układów fizyczych pogrążoych w czasoprzestrzei. Rola zasad zachowaia w mechaice (fizyce) polega także a tym, że pozwalają a przewidywaie, w pewej mierze, przebiegu procesów mechaiczych (fizyczych), co zaczie upraszcza aalizę zjawisk.

80 8 3. Mechaika bryły sztywej 3.. Kocepcja ciała sztywego 3... Opis ciała sztywego W mechaice ośrodków ciągłych, wielkości kiematycze i dyamicze ciał materialych reprezetowae są przez pola (skalare, wektorowe i tesorowe) określoe w kofiguracjach ciała B(t), tj. w pewych obszarach trójwymiarowej przestrzei Euklidesowej E 3. Zatem są oe fukcjami trzech zmieych przestrzeych y i czasu t. Przez pojęcie bryły sztywej rozumie się ciało materiale, a które ałożoo więzy uiemożliwiające jego deformację, tzw. więzy sztywe. Więzy sztywe redukują model przestrzey do puktu i w te sposób wszystkie zmiee zależą już tylko od czasu. Ciało sztywe jest geometryczie reprezetowae przez wyróżioy pukt M, azyway puktem podstawowym, wyposażoy w odpowiedie własości kiematycze i dyamicze odzwierciedlające domiujące cechy modelowaego ciała materialego. Zatem pojęcia: ciało materiale z ałożoymi więzami sztywymi i pukt podstawowy są bazą kocepcji. Na początku rozważań bada się ogólą strukturę sformułowaia bez odwoływaia się więzów sztywych. Podejście takie wybrao, ze względu a jego użyteczość, do wyprowadzeia rówań teorii powłok Ciało sztywe i kotur ciała sztywego Rozważa się dowolą kofigurację odiesieia B wyjściowego ciała materialego podlegającego więzom sztywym. Zakłada się, że B jest obszarem 4) regularym o brzegu B, który jest powierzchią kawałkami gładką. Koturem K obszaru B azywa się ajmiejszy obszar wypukły spełiający waruek B K, zatem brzeg koturu K może być powierzchią kawałkami gładką, ale spóją Pukt podstawowy Obszar B zajmoway przez wyjściowe ciało iedeformowale jest zbiorem puktów x B. Wybierzmy za pukt podstawowy M dowole miejsce w obszarze K, określoe wektorem x. Wektor wodzący x typowego puktu ciała w kofiguracji odiesieia B moża zapisać w postaci x = x + z. (3.4) Ruch puktu podstawowego opisuje odwzorowaie 3 y :T E, ( x, t) y = y( x, t) = y( t). (3.5) Przestrzeń kofiguracyja Zbiór wszystkich możliwych położeń, które rozpatryway układ może przyjmować, azywamy przestrzeią kofiguracyją. Przestrzeń kofiguracyja opisuje stopie swobody daego układu. 4) Ciało sztywe może także być traktowae jako zbiór pewej liczby dyskretych puktów materialych.

81 3.4. Rówaie pracy wirtualej 8 Twierdzeie 3. Przestrzeią kofiguracyją swobodego ciała sztywego jest sześciowymiarowa rozmaitość postaci E 3 SO(3), tz. iloczy prosty przestrzei E 3 i grupy obrotów w tej przestrzei SO(3). kofiguracja początkowa B t () B z z t () z 3 t 3 (). y e 3 x x e e u( t) x( t) x 3 x kofiguracja aktuala z t () t y( t) układ stały ( ieruchomy) Rys. 3.. Kofiguracje ciała sztywego. B( t) Q z() t B( t) t 3 () t t () t układ ruchomy 3.3. Prawa mechaiki ciała sztywego Podstawa formułowaia praw mechaiki ciała sztywego Wychodząc z ogólej kocepcji redukcji opisu problemu, prawa mechaiki dla ciała sztywego formułuje się jako implikację praw trójwymiarowych. Wyik redukcji ozacza, że każdej wielkości dyamiczej iedeformowalego ciała trójwymiarowego odpowiada jedozaczie dyamicza wielkość w modelu ciała sztywego. Wielkości te muszą być liczbowo sobie rówe. Różica polega a tym, że wielkości trójwymiarowe są zdefiiowae w obszarze ciała B, atomiast wielkości sprowadzoe są zdefiiowae w pukcie M, wyposażoym w dodatkową strukturę Masa, pęd i kręt ciała sztywego W opisie względem kofiguracji odiesieia 5), całkowita masa ciała B wyraża się przez gęstość masy ρ (x) i daa jest wzorem (3.8). Dla ciała sztywego masę m w pukcie M defiiuje się aalogiczie B. (3.6) B m d d ρ v = m 5) Np. kofiguracji początkowej B = B(t) t=.

82 8 3. Mechaika bryły sztywej Gęstość masy, zgodie z założeiem mechaiki ośrodków ciągłych, musi być dodatia ρ (x) > i zdefiiowaa prawie wszędzie dla x B. Zatem z (3.6) wyika, że masa ciała sztywego jest zawsze m >. W klasyczej mechaice ośrodków ciągłych pęd i kręt (momet pędu) ciała B są zdefiiowae przez (3.),. Poieważ jeszcze brakuje pojęcia prędkości ciała sztywego, defiiuje się pęd p(t) i kręt k () (t) ciała jako p v dm, k( ) = k( y) + y p y vdm. (3.7) B Ogólie wyrażeia pędu p i krętu k (y) powiy być określoe przez kietycze relacje kostytutywe, sprzęgające te fukcje dyamicze ze zmieymi kofiguracyjymi i kiematyczymi ciała sztywego. Takie relacje azywa się kietyczymi rówaiami kostytutywymi Wypadkowa siła i wypadkowy momet Siły masowe (objętościowe) f(x,t) w B oraz siły kotaktowe t * (x,t) działające a powierzchiach 6) B f brzegu ciała B są zwykle daymi obciążeiami zewętrzymi. Mogą więc być oe wspólie zapisae w wyrażeiu wektora sił f(t) i wektora mometów m () (t) dla ciała sztywego f fdv+ t da, m( ) = m( ) + y fdv+ y t da y y f, (3.8) B B f B B B f gdzie y(x,t) B(t). Powyższe wielkości staowią pierwszy etap a drodze do sformułowaia kompletego układu rówań ciała sztywego Całkowe prawa mechaiki ciała sztywego Bazując a defiicjach mechaiki ośrodków ciągłych i wykorzystując wyrażeia (3.6) (3.8) sprowadzaych do puktu podstawowego M wielkości dyamiczych, uzyskujemy poiższą postać praw mechaiki przypisaych ciału sztywemu. Zasada zachowaia masy. Ciało sztywe posiada masę m, iezmieiczą względem ruchu t [ ] t m =. (3.9) Zasada zachowaia pędu. Istieje układ odiesieia, względem którego zmiaa pędu p(t) ciała sztywego, w trakcie jego ruchu w przedziale czasowym [t,t ], jest rówa wypadkowemu impulsowi siły f(t) działającej a ciało sztywe w rozważaym przedziale czasowym: t t [ p] = dt t f. (3.3) t Zasada zachowaia mometu pędu. Istieje układ odiesieia, względem którego zmiaa wypadkowego momet pędu (krętu) k () (t) ciała sztywego, w trakcie jego ruchu w przedziale czasowym [t,t ], jest rówa wypadkowemu impulsowi mometu m () (t) działającego a ciało sztywe w rozważaym przedziale czasowym 6) B f B d = B, B f B d =, B f obszar przyłożeia sił (obciążeń), B d obszar określoych przemieszczeń.

83 3.4. Rówaie pracy wirtualej 83 t t d ( ) t ( ) t k = m t. (3.3) Są to prawa mechaiki ciała sztywego. Formalie, poza dziedzią, prawa te mają taką samą postać jak odpowiedie prawa trójwymiarowe. Istota problemu sprowadza się do wykazaia, że wszystkie wielkości występujące w powyższych zależościach moża wyrazić poprzez wielkości zdefiiowae w pukcie. Wyłaia się tutaj kocepcja ciała sztywego jako puktu wyposażoego w cechy układu dyamiczego, którego ruchem w przestrzei fizyczej rządzą prawa mechaiki (3.9) (3.3). Zakładając, że kofiguracja odiesieia M (B) jest kofiguracją początkową M = M() (B = B()), ruch puktu podstawowego M wyrażoy w fukcji wektora pozycyjego ma postać y() t = x+ u () t, (3.3) gdzie u(t) jest fukcją przemieszczeń puktu podstawowego. Jeśli (3.3) jest różiczkowale względem czasu, to fukcja prędkości puktu podstawowego bryły sztywej jest zdefiiowaa jako υ() t = y () t = u () t. (3.33) Różiczkowe prawa dyamiki W opisie materialym (tutaj rozumiaym jako związaym z bryłą) prawo zachowaia masy jest spełioe tożsamościowo, poieważ masa m ie zależy od czasu. Zakładając jedak, że masa bryły sztywej m jest fukcją różiczkowalą względem czasu, prawo t t zachowaia masy [ m ] = moża zapisać w postaci Wyik powyższego przekształceia d dt t t [ ] t m = m dt = { m } dt = m t t t =. (3.34) m = (3.35) jest spełioy z założeia, poieważ masa ie zależy od czasu. Jeśli lewe stroy w globalych prawach zachowaia pędu (3.3) i krętu (3.3) są fukcjami różiczkowalymi względem czasu, to oba te prawa moża zapisać astępująco t d f p dt = t dt, t d m( ) + [ ( ) + ] d t = t dt y y f k y y p, (3.36) p = f, k ( ) + y y p= m( y ). (3.37) stąd 7) Jeśli atomiast p(t) i k (y) (t)+y(t) p(t) ie są różiczkowale w pewych dyskretych chwilach czasowych, to z globalych praw zachowaia pędu (3.3) i krętu (3.3) otrzymuje się waruki dla impulsów w tych chwilach. 7) d ( k( ) + ) = ( ) + + = ( ) + y y p k y y p y p k y y p+ y f dt

84 84 3. Mechaika bryły sztywej 3.4. Rówaie pracy wirtualej Kiematyka i waruki rówowagi dyamiczej Własości fizycze ciała sztywego, wyikające z globalych praw mechaiki, określoe są przez masę m, pęd p i kręt k (y) oraz siłę f i momet m (y). Wielkości te całkowicie charakteryzują ciało sztywe z dyamiczego puktu widzeia. Prawa ruchu, wyikające z globalych praw mechaiki, staowią komplety układ dyamiczych rówań. Jedyą wielkością kiematyczą, która pojawiła się dotychczas, jest pojęcie ruchu puktu podstawowego y : T E 3. Ruch te jest defiioway jako krzywa geometryczie reprezetowaa w każdej chwili t przez pukt M(t) w przestrzei fizyczej. Wyika stąd, że kiematyka bryły sztywej określoa przez kiematykę puktu podstawowego pozwala opisać jej własości dyamicze. Otrzymae waruki rówowagi dyamiczej (3.37), które moża zapisać w postaci f f p =, m m( ) ( ( ) + y k y y p ) =, (3.38) staowią układ sześciu iezależych rówań. W zapisie metody elemetów skończoych wykorzystuje się otację macierzowooperatorową grupując pewe wielkości: w = v, w v =, u a = a, f p = m, p b = k + y p. (3.39) Kostrukcja tożsamości Niech v(t) i w(t) ozaczają dwie dowole fukcje wektorowe w pukcie M(t). Rozważmy astępujące wyrażeie T G( u, t; w) w ( b p) = f iv+ m iw = [ f i v+ m i w] [ p iv+ ( k + y p) iw], (3.4) ( y) ( y) gdzie u symbolizuje uogólioe przemieszczeia 8) puktu podstawowego ciała sztywego w kofiguracji aktualej M(t). Na mocy (3.38) i defiicji (3.4), dla każdego przedziału czasowego [t,t ] obowiązuje t t { } G( u, t; w ) dt =. (3.4) Aby a razie ie wikać w ses fizyczy wyrażeia (3.4), dalsze rozważaia traktuje się jako formale przekształceia, ie adając fukcjom wektorowym v i w iterpretacji fizyczej. 8) Określeiu uogólioych przemieszczeń u poświęcoy będzie astępy podrozdział.

85 3.4. Rówaie pracy wirtualej Rówaie pracy wirtualej Zakładając, że fukcje v(t) i w(t) są różiczkowale względem czasu, obowiązuje astępujące przekształceie: d p iv+ ( k ( ) + ) = ( + ( ) ) + ( ) y y p i w piv k y i w y p i w piv k( ) w y i dt d = ( piv+ k( ) i ) [ i( + ) + y w p v w y k( y) i w]. dt Wykorzystując (3.4) i całkując (3.4) względem czasu w przedziale [t,t ], otrzymuje się t { u w } t t t t ( y ) y t ( ) ( ) t y t (3.4) G (,; t )d t = piv+ k iw + [ pi( v+ w y) + k iw] dt + [ fiv+ m iw ]d t.(3.43) Po wprowadzeiu ozaczeń G d ( u, t ; w) = pi( v + w y ) + k( y) i w, Ge ( u, t ; w) = f iv + m( y) i w, (3.44) a podstawie (3.43) i (3.4), moża zapisać t t Gd u t w G t e u t w t i ( y) i t [ (, ; ) + (, ; )]d p v+ k w =. (3.45) Rezultat przekształceń moża wyrazić słowie w formie twierdzeia jeśli spełioe są rówaia rówowagi dyamiczej (3.38), to rówaie (3.45) jest spełioe tożsamościowo dla każdych dwóch fukcji wektorowych v(t) i w(t) czyiących zadość założoym warukom regularości. Twierdzeie odwrote jest rówież prawdziwe, łatwo je wykazać, powtarzając postępowaie w odwrotej kolejości. Rówaie (3.45) otrzymao, wprowadzając dwie dowole fukcje wektorowe, którym ie przypisao żadego sesu fizyczego. Stąd rówaiu (3.45) rówież ie przypisuje się zaczeia fizyczego, jedak wyraża oo zasadę pracy wirtualej dla ogólego przypadku dyamiki ciała sztywego. Istotą zaletą zasady prac wirtualych (3.45) jest to, że wyraża oa za pomocą jedego rówaia oba waruki rówowagi dyamiczej ciała sztywego Symetrie czasoprzestrzei i prawa zachowaia Związek pomiędzy zasadą prac wirtualych oraz prawami zachowaia pędu i krętu moża wykazać rówież a iej, czysto formalej, drodze. Rozważa się dwa szczególe przypadki uogólioych przemieszczeń wirtualych ( a) w = c, ( b) w = y c, (3.46) c gdzie c jest dowolym stałym wektorem, y(t) wektorem wodzącym puktu podstawowego ciała sztywego M(t) w kofiguracji aktualej. W przypadku (a) dla przemieszczeń wirtualych (3.46), z (3.44) otrzymuje się G ( u, t ; c, ) =. (3.47) d W kosekwecji rówaie pracy wirtualej (3.45) przyjmuje postać uproszczoą

86 86 3. Mechaika bryły sztywej t t { t t } fd t [ p] i c =. (3.48) W przypadku (b) dla przemieszczeń wirtualych (3.46), wobec v = y c i w =, wykorzystując wyik przekształceia v + w y = y c+ c y =, z (3.44) otrzymuje się Gd ( u, t ; y c, c ) =, Ge ( u, t ; y c, c) = f i( y c) + m( y) ic = ( y f + m( y) ) i c.(3.49) Ostati składik w rówaiu pracy wirtualej (3.44) moża zapisać w postaci pi( y c) + k ic = ( y p + k ) ic. (3.5) ( y) ( y) Ostateczie, rówaie pracy wirtualej (3.44) w przypadku (b) szczególych uogólioych przemieszczeń wirtualych (3.46) przyjmuje postać t { t t ( y f + m( ))dt y y p + k( y) i c =. (3.5) t Poieważ c jest stałym i dowolym wektorem, rówaia (3.48) i (3.5) będą spełioe wtedy i tylko wtedy, gdy zerują się wyrażeia w awiasach klamrowych, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy spełioe są zasady zachowaia pędu oraz krętu. Ses fizyczy powyższych rozważań jest astępujący: prawa zachowaia pędu i mometu pędu są spełioe, jeśli rówaie prac wirtualych (3.45) jest iezmieicze względem przesuięć (3.46) i obrotów (3.46) przestrzei fizyczej. } 3.5. Kiematyka ciała sztywego Prędkości rzeczywiste ciała sztywego Sformułowaa zasada prac wirtualych ie jest iezależym postulatem mechaiki ciała sztywego, lecz kosekwecją praw bilasu pędu i krętu. Zgodie z założeiami, rówaie pracy wirtualej musi obowiązywać dla każdych dwu fukcji wektorowych v(t) i w(t) spełiających wymagae waruki regularości. W szczególym przypadku musi być spełioe w rzeczywistym ruchu ciała. Zatem utożsamia się dowolą fukcję wektorową v(t) z rzeczywistą prędkością (t) puktu podstawowego i fukcję wektorową w(t) z rzeczywistą prędkością obrotową ω(t). Po dokoaiu formalego podstawieia v() t = () t, w() t = ω () t, (3.5) odpowiedik wyrażeia (3.4) przyjmuje postać Poieważ skalary poieważ f () t f i υ m () t t t ( f iυ + m iω )dt =. (3.53) ma fizyczy wymiar siły, a (t) ma fizyczy wymiar prędkości, iloczy ma fizyczy wymiar mocy (prędkości wykoywaia pracy). Podobie, ma fizyczy wymiar iloczyu siły i długości, a iloczy skalary m i ω musi mieć fizyczy wymiar mocy, to wektor ω(t) musi rzeczywiście mieć fizyczy wymiar prędkości kątowej.

87 3.5. Kiematyka ciała sztywego 87 W ruchu rzeczywistym bryły sztywej rówaie pracy wirtualej (3.5) ma postać t { } t [ p i ( υ + ω y ) + k i ( ) ] + [ i + i ( ) ] dt i + i y ω f υ m y ω p υ k( y) ω =. (3.54) t t Chwilowe kofiguracje bryły sztywej Nie czyiąc założeń, moża teraz zadać pytaie jak wygląda struktura kiematycza opisująca bryłę sztywą jako pukt? Struktura ta powia być wyikiem aalizy i musi być zgoda eergetyczie ze strukturą dyamiczą jedozaczie określoą przez prawa bilasu. Z waruku (3.54) wyika, że chwilowa kofiguracja bryły sztywej jest całkowicie określoa poprzez chwilową kofigurację y(t) puktu podstawowego łączie z dwoma iezależymi fukcjami wektorowymi υ(t) i ω(t). Fukcje υ(t) i ω(t) są zdefiiowae i różiczkowale prawie dla wszystkich chwil czasowych t. Wyika to ze sposobu kostrukcji tożsamości prowadzącej do rówaia pracy wirtualej i gwaratuje eergetyczą zgodość kiematyki bryły sztywej z prawami mechaiki wyrażoymi w postaci całkowoimpulsowej 9) Rzeczywisty ruch bryły sztywej Fukcja υ(t) jest prędkością puktu podstawowego. Ruch puktu podstawowego jest opisay wektorem wodzącym y(t). Zatem prędkość υ(t) jest zdefiiowaa przez pochodą y(t) względem czasu d y() t = υ() t. (3.55) dt Tak więc, υ(t) w każdej chwili t jest wektorem styczym do trajektorii ruchu puktu podstawowego w przestrzei fizyczej, który w chwili początkowej zajmował miejsce x. Zakładając, że ie wektor wodzący y(t), lecz fukcja prędkości υ(t) jest zaa, ależy zaleźć odwzorowaie y : T E 3 spełiające rówaie różiczkowe (3.55). Rozwiązaie rówaia (3.55) ma postać t y() t = υ( τ)dτ + υ, (3.56) gdzie υ = υ() jest prędkością w przyjętej chwili początkowej (p. t = ). Aalogiczie do (3.56), mając day wektor prędkości obrotowej ω(t), czy tesor Ω(t) = adω(t), ależy zaleźć takie odwzorowaie T : T E 3 E 3, które spełia rówaie różiczkowe d T () t = Ω () t. (3.57) dt Jest to rówaie różiczkowe zwyczaje pierwszego rzędu. Jego ogólym rozwiązaiem jest ieosobliwy tesor T(t) o reprezetacji T() t = Q() t T, (3.58) 9) Przyjmuje się, że rozważaia i wyikające z ich wioski odoszą się do chwil czasowych t, dla których obie fukcje υ(t) i ω(t) są zdefiiowae i różiczkowale.

88 88 3. Mechaika bryły sztywej gdzie Q(t) jest tesorem obrotu, a T pewym ieosobliwym tesorem iezależym od czasu. Uwzględiając, że Q jest tesorem ortogoalym oraz = T QT i T = T Q T, otrzymuje się = T TT QQ = Ω. (3.59) Poieważ υ(t) i ω(t) są jedyymi fukcjami eergetyczie sprzężoymi ze ścisłymi rówaiami dyamiczymi, zatem y(t) i T(t) całkowicie opisują ruch bryły sztywej. Poadto wyika stąd, że modelem kiematyczym bryły sztywej, eergetyczie zgodym z rówaiami dyamiczymi, jest pukt dodatkowo wyposażoy w mikrostrukturę. Iymi słowy, w każdej chwili t T przestrzea kofiguracja bryły sztywej jest całkowicie określoa przez pukt y(t) oraz ieosobliwy tesor T(t) zdefiioway w tym pukcie. Przy czym pukt x i ieosobliwy tesor T (iezależe od czasu) całkowicie określają kofigurację odiesieia bryły sztywej Uogólioe przemieszczeia, wektory kierukowe Z dotychczasowych rozważań wyika, że do opisu ruchu bryły sztywej potrzeba dwóch odwzorowań daych przez wektor przemieszczeia u(t) puktu podstawowego oraz tesor obrotu Q(t). Odwzorowaia te moża zapisać w postaci y() t = x+ u () t, T() t = Q() t T, (3.6) zaś wprowadzoe w (3.39) uogólioe przemieszczeia puktu podstawowego mają formę ( ) u() t = u(), t Q () t. (3.6) Poieważ T jest tesorem ieosobliwym, moża go przedstawić przez trójkę {t i }, i =,, 3, liiowo iezależych wektorów T [ t, t, t ], (3.6) 3 azywaych wektorami kierukowymi (direktorami). Aalogiczie, tesor T(t) moża przedstawić poprzez trójkę liiowo iezależych wektorów {t i (t)}, i =,, 3, związaych z puktem podstawowym y(t) w kofiguracji aktualej. W celu uproszczeia rozważań przyjmuje się, że trójki wektorów {t i } i {t i (t)} są ortoormale, tj. ti() t i t j() t = δij, t i t = δ, i, j =,, 3. (3.63) i j ij Wyrażoy przez bazy ruch obrotowy bryły sztywej przedstawia się astępująco ti() t = Q() t t i. (3.64) Z ortogoalości tesora Q(t) wyika, że wektory t i (t) zachowują swoją pierwotą długość oraz wzajeme kąty w czasie ruchu bryły sztywej. Różiczkując (3.64) względem czasu oraz uwzględiając (3.59), otrzymuje się t = Qt = ΩQt = Ωt = ω t. (3.65) i i i i Tesor obrotu Q(t) moża przedstawić w postaci i Q() t = ti() t t i, (3.66)

89 3.5. Kiematyka ciała sztywego 89 która pozwala tesor Ω(t) i wektor ω(t) prędkości kątowej wyrazić przez wektory kierukowe ) Ω = QQ = ( t t )( t t ) = t t = ( t t i ) T i i i i i i i ω= ad Ω= ad ( t i ti) = t i ti (3.67) Reprezetacja materiala Pojawieie się tesora obrotu Q(t), jako iezależej zmieej kiematyczej ma szereg kosekwecji dla metod rozwiązywaia. Poieważ Q(t) jest tesorem ortogoalym, spełia więc waruki T T Q() t Q() t = Q() t Q () t =. (3.68) Różiczkując (3.68) względem czasu z uwzględieiem (3.59), pochodą tesora Q(t) moża zapisać w jedej z dwóch postaci Q () t = Ω () t Q () t = Q () t Ω() t, (3.69) gdzie Ω i Ω są tesorami skośie symetryczymi. Ozaczając przez ω i ω wektory osiowe tesorów Ω i Ω (odpowiedio w reprezetacji przestrzeej i materialej) otrzymuje się Z (3.69) wyikają astępujące zależości T T Ω = QQ =adω, Ω = QQ=adω. (3.7) T Ω = QΩQ, = ω ω Q. (3.7) Pochode wektorów kierukowych względem czasu możemy teraz zapisać w postaci t = Qt = QΩt = Q( ω t ). (3.7) i i i i Tesor T i wektory kierukowe t i w kofiguracji odiesieia bryły sztywej moża wybrać a wiele sposobów, a przykład t = T e, i =,, 3, (3.73) i i gdzie {e i } jest ustaloą bazą ortoormalą w przestrzei fizyczej. W ogólości baza {t i } ie musi być bazą ortoormalaą, poieważ T jest dowolym tesorem ieosobliwym, iekoieczie tesorem ortogoalym. W przypadku (3.73) baza w kofiguracji aktualej daa jest przez ti() t = Q() t ti = Q() t Tei = T() t ei. (3.74) ) Wykorzystaliśmy własość ad (a b) = a b, a,b E 3.

90 9 3. Mechaika bryły sztywej 3.6. Kietycze rówaia kostytutywe dla ciała sztywego Uwagi ogóle Rówaia rówowagi i zależości kiematycze ie zależą ai od materiału, ai od szczególej deformacji; są to wyiki ogóle. Nie staowią oe jedak układu zamkiętego. Występujące w ich zmiee muszą spełiać lokale rówaia ruchu (3.37) i waruki początkowe w chwili t = y = y x, T = T, y u = υ, T TT QQ = Ω. (3.75) Wszystkie zmiee z (3.37) i (3.75) grupuje się zależie od roli jaką oe pełią. W typowych zagadieiach aalizy zakłada się, że zmiee są daymi rozważaego problemu, atomiast pozostałe ( m, f, m, y, υ, T, Ω ), (3.76) ( uq,, pk, ), (3.77) muszą być wyzaczoe jako jego rozwiązaia. Porówaie (3.37) i (3.77) wskazuje, że liczba rówań jest miejsza iż liczba iezależych wielkości występujących w tych rówaiach. Brakującym składikiem są zależości kostytutywe. Od stroy formalej zamykają oe układ rówań, zaś od stroy mechaiczej mają oe jasą iterpretację fizyczą. W klasyczej mechaice ciał trójwymiarowych kietycze rówaia kostytutywe przyjmuje się zgodie z prawami Newtoa. W przypadku zredukowaych modeli ośrodka ciągłego, takich jak ciało sztywe, pręt, płyta, powłoka, relacje kostytutywe mogą być bezpośredio postulowae a poziomie modelu zredukowaego lub wyprowadzoe poprzez redukcję ich odpowiedików z trójwymiarowego ośrodka wyjściowego. Ogóla teoria rówań kostytutywych opiera się a założeiu ), że dla daego materiału i daego typu deformacji wielkości dyamicze muszą być określoe poprzez zmiee kiematycze. Okazuje się, że pęd i kręt ie są wielkościami obiektywymi, dlatego przestrzee rówaia kostytutywe ie mogą być iezmieicze względem wyboru obserwatora. ) Rówaia kostytutywe muszą odzwierciedlać zachowaie się rzeczywistego materiału. Ich kostrukcja poza warukami formalymi musi spełiać pewe postulaty fizycze. Najważiejsze ograiczeia kostytutywe wyikają z astępujących aksjomatów Nolla: - zasada determiizmu (ozaczoości; zachowaie pewej cząstki ciała jest określoe przez historię ruchu tego ciała), - zasada lokalego działaia (pomięcie wpływ ruchu cząstek położoych w skończoej odległości a daą cząstkę), - zasada materialej obiektywości (iezmieiczość rówań za względu a zmiaę układu odiesieia obserwatora, parametryzację czasoprzestrzei (układu współrzędych), zmiaę jedostek pomiarowych). Należy zazaczyć, że ogóle rówaia kostytutywe, ale ie kietycze rówaia kostytutywe, muszą spełiać zasadę obiektywości materiałowej.

91 3.6. Kietycze rówaia kostytutywe dla ciała sztywego Więzy sztywe Fukcje dyamicze pędu p(t) i krętu k (y) (t) występujące w rówaiach problemu wymagają określeia relacji sprzęgających je ze zmieymi kiematyczymi. Jeżeli przyjąć podejście sprowadzające ośrodek trójwymiarowy B do modelu ciała sztywego M, puktem wyjścia są więzy sztywe zapewiające, że odległości puktów ciała w trakcie ruchu pozostają stałe ). Niech x i x ozaczają dwa dowolie ustaloe pukty w kofiguracji odiesieia B. Sztywy ruch odcika x x ciała B, zgodie z kiematyką bryły sztywej, opisay jest przez przestrzeie stały tesor obrotu Q(B,t) Q(t) zależością yx (, t) y( x, t) = Q ( t)( x x). (3.78) Obierając pukt x jako pukt podstawowy M bryły sztywej, tj. x x, y y, i wiążąc z ciałem sztywym układ ruchomy 3) R, wektor wodzący dowolego puktu x ciała B w układzie R wyraża się z = x x, (3.79) odpowiedio w stałym układzie S obowiązuje z( x, t) = y( x, t) y ( t). (3.8) Stąd a podstawie (3.78) otrzymuje się zależości rządzące ruchem odcika i puktu bryły sztywej z = Q z, yx (, t) = y( t) + Q( B, t) z ( x). (3.8) Dokoując formalych obliczeń, otrzymuje się zależości dla prędkość y y Q z y QQ z y Ωz y ω z y ω y y v ω x y ) (3.8) T = + = + = + = + = + ( ) = utra + t ( i przyspieszeia puktów ciała w ruchu sztywym y= y + ω z + ω ω z = y+ ω ( y y) + ω ω ( y y). (3.83) = a + ω ( x y) + ω ω ( x y) utra t t t Obie zależości (3.8) i (3.83) moża bezpośredio otrzymać z uproszczeia ogólych wzorów (3.9) i (3.4) wykorzystując fakt, że żade pukt bryły sztywej ie może się poruszać względem układu ruchomego ( R z, z = ). Zależości (3.8) i (3.83) w układzie ruchomym R związaym sztywo z bryłą moża otrzymać bezpośredio a drodze trasformacji ) Są to więzy holoomicze. Więzy są to pewe ograiczeia, które powodują, że przestrzeią kofiguracyją układu staje się pewa hiperpowierzchia w przestrzei kofiguracyjej układu swobodego. Rówaia więzów jest to aalitycze wyrażeie ograiczeń w postaci układu rówań (więzy dwustroe) lub układu ierówości (więzy jedostroe). Jeśli w rówaiach więzów występują tylko współrzęde i czas, a ie występuje prędkość, to tego rodzaju więzy azywa się więzami holoomiczymi. 3) Przywołuje się relacje i ozaczeia opisu ruchu względego dwóch układów (p ). W przypadku bryły sztywej wzory ogóle ulegają uproszczeiu, gdyż z defiicji żade pukt bryły ie może się poruszać względem układu ruchomego R ( R z = cost R z, z = ).

92 9 3. Mechaika bryły sztywej ( ( )) z, ( ( )) v = Q v= Q v + ω x y = Q v + ω T T T t t utra t t utra t a = Q a= Q a + ω ( x y) + ω ω ( x y) = Q a + ω z + ω ( ω z). T T T t t utra t t t t utra t t t [ yx (, t) y ( )]d B C t m= (3.84) Chwilowa oś obrotu jest miejscem geometryczym puktów pozostających w daej chwili w spoczyku. Miejsce geometrycze chwilowych osi obrotu w przestrzei w stałym układzie odiesieia jest aksoidą stałą (stożkiem stałym). Miejsce geometrycze chwilowych osi obrotu w poruszającym się ciele jest aksoidą ruchomą (stożkiem ruchomym). Ruch kulisty jest ruchem ciała sztywego, podczas którego jede jego pukt pozostaje ieruchomy. W ruchu kolistym aksoida ruchoma toczy się po aksoidzie stałej. Gdy oba stożki są stożkami kołowymi, ruch osi azwę precesji. Ruch płaski to ruch, w którym także chwilowy środek prędkości przemieszcza się, ma więc własą prędkość. Tor chwilowych środków obrotu w płaszczyźie a stałe związaej z poruszającą się figurą płaską azywamy cetroidą ruchomą (poloidą ruchomą), tor w płaszczyźie ieruchomej osi azwę cetroidy ieruchomej (poloidy stałej) Środek masy, mimośród Położeie środka masy defiiuje się z waruku () t yx (,)d t m y C m, B C m x x dm. (3.85) W polu grawitacyjym środek masy pokrywa się ze środkiem ciężkości. Porusza się o tak, jakby to w im właśie była skupioa masa układu i jakby a iego działała suma wszystkich sił zewętrzych działających a ciało. Jeżeli a bryłę sztywą ie działają siły zewętrze lub ich wypadkowa jest rówa zeru, to środek masy pozostaje w spoczyku lub porusza się ruchem jedostajym po liii prostej. Z powyższego stwierdzeia wyika, że moża wprowadzić taki iercjaly układ odiesieia, w którym środek masy rozważaego ciała spoczywa (ciało może obracać się wokół swego środka masy). Zatem wykorzystując (3.85), wektory wodzące (3.79) i (3.8) moża przedstawić w postaci z = x x ( x x) + ( x x ) = e + ζ, z = y y ( y y) + ( y y ) = e+ ζ, (3.86) C C gdzie R e = x C x, S e = y C y są mimośrodami środka masy względem puktu podstawowego, a R ζ = x x C, S ζ = y y C wektorami wodzącymi dowolego puktu ciała względem środka masy w odpowiedich układach R i S. Oczywiście wielkości te a podstawie (3.8) powiązae są zależościami C e() t = Q() t e, ζ ( x, t) = Q ( t) ζ( x). (3.87) Jeżeli uwzględić (3.8) (3.83), prędkość i przyspieszeie środka masy y C oraz prędkość mimośrodu e wyoszą odpowiedio y C = y + ω ( yc y) = y + ω e e = y C y = ω e, y = y+ ω e + ω ω e. (3.88) C Wobec tego prędkość i przyspieszeie dowolego puktu y ciała B oraz prędkość wektora wodzącego ζ w odiesieiu do środka masy y C mają postać y = y C + ω ( y yc) = y C + ω ζ, ζ = y y C = ω ζ. (3.89) C B

93 3.6. Kietycze rówaia kostytutywe dla ciała sztywego Pęd ciała sztywego Różiczkując względem czasu zależość (3.85) z uwzględieiem prawa zachowaia masy ( m = ), otrzymuje się m y C () t = yx (,)d t m. (3.9) Porówaie prawej stroy zależości (3.9) z prawą stroą wyrażeia, określającego pęd ciała sztywego (3.7), pozwala zapisać kietycze prawo kostytutywe dla pędu ciała sztywego p() t = m y () t. (3.9) Kręt ciała sztywego Uwzględiając, w wyrażeiu opisującym kręt (3.7), opis ruchu (3.8) i prędkości (3.8) puktów bryły, otrzymuje się 4) k( ) y vd m= ( y+ z) ( y + ω z)dm B B B = y m y + y ( ω z)d m+ ( zd m) y + ( [( ziz) z z]d m) ω. B B B C (3.9) Uwzględieie w (3.9) zależości (3.86) oraz wykorzystaie waruku (3.85) jako tożsamości daje kietycze prawo kostytutywe krętu ciała sztywego gdzie k( ) = y my + y ( ω me) + m e y + k ( y), k( y) = J( y) ω, (3.93) J = m [( eie) e e] + [( ζiζ) ζ ζ]dm. (3.94) ( y) Tutaj k (y) i J (y) są krętem i tesorem bezwładości bryły względem puktu podstawowego y Tesor bezwładości Wielkością, która odgrywa zasadiczą rolę podczas aalizy ruchu obrotowego dowolego ciała sztywego jest tesor bezwładości ciała. Ze względu a jego zaczeie przedyskutowae zostaą jego pewe własości 5). Zdefiioway przez (3.94) tesor bezwładości J (y) day jest w postaci wzoru Steiera, w którym pierwszy składik pochodzi od,,mimośrodu e = y C y środka masy y C względem puktu podstawowego y a drugi jest cetralym tesorem bezwładości wyrażoym względem środka masy y C poprzez ζ = y y C. Tesor bezwładości J (y), zarówo ze względu a e, jak i a ζ, jest zależy od czasu t. Wykorzystując zasady trasformacji (3.87) oraz własość tesora ortogoalego, tesor bezwładości J (y) moża przekształcić do postaci B 4) Uwzględioo tożsamości a (b c) = (a c)b (a b)c = [(a c) aƒc]b, a,b,c E 3. 5) Wyczerpujące omówieie zagadień dotyczących ciała sztywego moża zaleźć między iymi w moografiach Białkowski [975], Igarde i Jamiołkowski [98], Osiński [994].

94 94 3. Mechaika bryły sztywej gdzie J () t = m [( QeiQe) Qe Qe] + [( QζiQζ) Qζ Qζ]dm ( y) { m i ζζ i ζ ζ m} = Q + = B T T [( ee ) e e] [( ) ]d Q Q( t) J( ) ( ), B x Q t J( x) = m [( eie) e e] + [( ζζ i ) ζ ζ]dm B (3.95) (3.96) jest iezależym od czasu tesorem bezwładości bryły sztywej względem puktu podstawowego x w kofiguracji odiesieia B. Niech będzie dowolą prostą o wektorze jedostkowym przechodzącą przez pukt podstawowy x. Dekompozycja a składowe rówoległe i ortogoale do wektorów wodzących z (3.96) ma postać e= e + e, e = ( ei), e = e ( ei), e e e e e = i = i = e cos (, ), e e e e e e, ), e = i = e ( i ) = ( ) i( ) = e si ( (3.97) ζ = ζ + ζ ζ = ( ζi ), ζ = ζ iζ = ζi= ζ cos ( ζ, ),, (3.98) ζ = ζ ( ζi ), ζ ζ ζ. = ζ iζ = ( ζi ) = ( ζ ) i( ζ ) = si ( ζ, ) Mometem bezwładości ciała sztywego względem osi o kieruku, przechodzącej przez pukt podstawowy x, azywa się wielkość ( x) ( x) Wyik te pozwala zapisać ( m ζζ ζ ζ]dm) J J i = i [( ee i ) e e] + [( i ) = m e e + B [ ( i )] [ ζ ( ζi )]d B = m e + ζ dm= m e + J B J e ije = ρ( ζ + ζ )d V, J = J e ije = ρζ ζ d V, J e ije = ρ( ζ + ζ )d V, J = J e ije = ρζ ζ d V, J e ije = ρ( ζ + ζ )d V, J = J e ije = ρζ ζ d V. J, m. (3.99) Twierdzeie 3.3 (Steiera) Między dwiema liczbami J (x) i J określającymi momety bezwładości ciała sztywego względem dwu osi o tym samym kieruku, z których jeda przechodzi przez dowoly pukt x, druga zaś przez środek masy ciała, zachodzi związek J m ( x) = e + gdzie e ozacza wzajemą odległość tych osi (mimośród). (3.) Wobec (3.) dalej, dla uproszczeia dyskusji, przyjmuje się, że (x C ; e x,e y,e z ) jest reperem w R o początku w środku masy ciała (e = ). Wówczas sześć iezależych składowych J ij, i, j = x, y, z, symetryczego tesora bezwładości J = J ij e i e j ma z defiicji tesora postać xx x x V y z yz zy z y V y z yy y y V x z xz zx x z V x z zz z z V x y xy yx x y V x y (3.)

95 3.6. Kietycze rówaia kostytutywe dla ciała sztywego 95 Mometami bezwładości J ii względem osi azywa się całki z sumy iloczyów masy elemetarej przez kwadraty jej odległości od odpowiedich osi. Mometami dewiacyjymi (odśrodkowymi, zboczeia, mieszaymi) J ij, gdzie i j, azywa się całki z iloczyów masy elemetarej przez ich odległości od dwu odpowiedich płaszczyz. Tak jak tesor bezwładości, także momety bezwładości względem osi i momety dewiacyje w układzie ruchomym R, w którym ciało spoczywa, są stałe podczas ruchu ciała. Nie są jedak stałe w układzie S, w którym ciało się porusza. Tesor bezwładości, jak każdy tesor symetryczy drugiego rzędu, moża przez odpowiedi dobór bazy sprowadzić do postaci diagoalej. Ortogoale kieruki wyzaczoe przez wektory bazy, w której tesor bezwładości jest diagoaly, azywa się osiami główymi tesora bezwładości, odpowiadające im wartości diagoale J, J, J 3 oszą azwę główych mometów bezwładości. Jeśli ie wszystkie spośród wartości główych są róże, to osie główe ie są określoe jedozaczie. Ciało sztywe o trzech różych główych mometach bezwładości (J J J 3 ) azywa się bąkiem iesymetryczym. Jeśli dwa z ich są sobie rówe (p. J = J J 3 ), to mówi się o bąku symetryczym, a jeśli wszystkie są sobie rówe (J = J = J 3 ), to jest przypadek bąka kulistego. Badaie wartości, jakie przyjmują momety bezwładości względem pęku prostych o kieruku przez pukt obrotu ciała (p. tutaj y C x C ), prowadzi do pojęcia elipsoidy bezwładości. Niech = e + e + e z, =, x x y y z x x =±, J y y =±, J z z =±. (3.) J Na podstawie (3.99), wobec dodatiej określoości J, otrzymuje 6) się rówaie (powierzchi) elipsoidy J ij J = [ ( ) ]dm = Jxxx + Jyyy + Jzzz (Jxyxy+ Jxzxz+ Jyzyz) J ζ ζi =. (3.3) B W (3.) x, y, z ozaczają cosiusy kierukowe w układzie (x C ; e x,e y,e z ). Elipsoida bezwładości ciała dla daego puktu jest miejscem geometryczym końców odcików odwrotie proporcjoalych do ramio bezwładości ciała względem prostych przechodzących przez te pukt. Elipsoida ma trzy osie wzajemie prostopadłe do siebie. Są to trzy sprzężoe średice, które są główymi osiami bezwładości ciała dla daego puktu. Rówaie (3.3) dla osi główych przekształca się do postaci Jx + J y + Jz = J = J + J + J. (3.4) 3 x y 3 z Najdłuższej osi bezwładości odpowiada ajmiejsza, ajkrótszej zaś ajwiększa wartość spośród wszystkich mometów bezwładości ciała. Zatem jeśli ciało ma kształt wydłużoy względem pewej osi, to momet bezwładości względem tej osi będzie mały i w kosekwecji elipsoida bezwładości także będzie wyciągięta wzdłuż tej osi. 6) ζ = ζ + ζ + ζ ζ + ζ + ζ = ζ + ζ + ζ+ ζ + ζ+ ζ ζ ζ ζζ ζζ ( ζi) x y z ( xx yy z z) ( y z) x ( z x) y ( x y)z y zyz x zxz x yxy

96 96 3. Mechaika bryły sztywej. p ciało sztywe elipsoida bezwładości Rys.3.3 Elipsoida bezwładości Kieruki osi główych elipsoidy względem daego puktu są kierukami główymi tesora mometu bezwładości względem tego puktu. W szczególości, gdy elipsoida jest figurą obrotową, wówczas kierukiem główym tesora jest kieruek osi symetrii elipsoidy oraz każdy kieruek do iej prostopadły. Jeżeli elipsoida jest kulą, wówczas wszystkie kieruki są kierukami główymi tesora bezwładości. Elipsoida bezwładości, tak jak tesor bezwładości, całkowicie określa własości obrotowe ciała sztywego. Przy jedakowych warukach początkowych, bryły o takich samych tesorach bezwładości będą się poruszały w te sam sposób Przemieszczeiowe rówaia dyamiki ciała sztywego Zaczeie rówań przemieszczeiowych Kietycze relacje kostytutywe pozwalają wyelimiować z rówań dyamiczych pęd i kręt oraz wyrazić je tylko przez uogólioe przemieszczeia. Zapisae w przemieszczeiach rówaia staowią układ zamkięty stwarzając możliwość ich rozwiązaia. Prawo zachowaia pędu (3.37), po wykorzystaiu relacji dla pędu (3.9), przyjmuje postać m y () t = f. (3.5) C Podobie, różiczkując względem czasu relację (3.93) dla krętu i uwzględiając (3.88), d k ( ) = ( my y + my ( ω e) + m e y + J( y) ω) otrzymuje się 7) dt = y m y + ( y y) m y+ J ω + J ω C C ( y) ( y). (3.6) Teraz, biorąc pod uwagę wyrażeie a całkowity momet (3.8) i uwzględiając prawo (3.5), zasadę zachowaia całkowitego krętu względem początku o układu S m = k ( ) ( ) ( y) C ( y) ( y) (3.7) sprowadza się do postaci 8) m = ( y y) m y+ J ω + J ω, (3.8) gdzie zarówo momet m (y) jak i tesor bezwładości J (y) obliczae są względem puktu podstawowego y. 7) 8) i i i ( ) ( ( )) ( ) y ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) k = m y y + m y ω e + m e y + k ( ) ( ) = m y y + m y ω e + y ω e + y ω e + m e y+ e y + k ( y) ( ) = m y y + m y ( ω e) + y ( ω e) + y ( ω ω e) + m ( ω e) y + e y + k ( ) ( ) ( ) = m y y+ ω e + ω ω e + m e y+ k = y m y + ( y y) m y+ k. ( y) C C ( y) m + y f = y m y + ( y y) m y+ k. ( y) C C ( y) ( y)

97 3.7. Przemieszczeiowe rówaia dyamiki ciała sztywego Rówaia Eulera W przypadku obraia środka masy y y C jako puktu podstawowego, zasada zachowaia krętu (3.8) przyjmuje postać m = J ω + J ω, (3.9) ( yc ) ( yc) ( yc ) gdzie momet i tesor bezwładości J obliczae są względem środka masy yc. m ( y C ) ( y C ) Różiczkując względem czasu tesor bezwładości z wykorzystaiem (3.89), występujący w (3.9) iloczy 9), ) 3 przyjmuje postać ( B m) ( i m) d J ( y ) ω= [( ζiζ) ζ ζ]d ω= ( )( ) dm C dt ζiω ω ζ B = ω [( ζ ζ) ζ ζ]d ω= ω J ω. B ( yc ) (3.) Ostateczie zasada zachowaia krętu (3.9) w odiesieiu do środka masy y C ma formę m = J ω + ω J ω. (3.) ( yc ) ( yc) ( yc ) Uwzględiając w (3.) trasformacje (3.7) i (3.95) do reprezetacji materialej, otrzymuje się QJ Q ( Qω) + Qω QJ Q Qω m = T. T ( xc ) ( xc ) ( yc ) = QJ Q ( Q ω+ Qω ) + Q( ω J ω) m = T ( xc ) ( xc ) ( yc ) = QJ Q Q ω+ QJ Q Qω + Q( ω J Q Qω) m T T T ( xc ) ( xc) ( xc ) ( yc ) T ( J( ) adωω ( ) ω x J x ω J( x ) ω Q m( y )) = Q ( ) + +. C C C C Daje to postać zasady zachowaia krętu (3.) w reprezetacji materialej 3) T gdzie = Qm. m( y C ) ( y C) = (3.) m = J ω + ω J ω, (3.3) ( yc ) ( xc ) ( xc ) 9) Z prawa rozwiięcia mamy: ( ζω i )( ω ζ) = [ ω i( ω ζ)] ζ ( ζ iω )( ω ζ) = ω [ ζ ( ω ζ )] = a b b a a c c b c = ω [( ζiζ) ζ ζ] ω. 3) d ( ) = ( [( ) ]d m) ( [( ) ]dm C ) dt = B y i i B ( i m) B B = i ζ m= ( i m) = y J ω ζ ζ ζ ζ ω ζ ζ ζ ζ ζ ζ ω = [( ζ ( ω ζ)) ( ω ζ) ζ ζ ( ω ζ)]d ω= [( ω ζ)( ζiω) + ζ{( ω ζ) iω}]dm B ( ζω)( ω )d ω [( ζζ) ζ ζ]d ω ω J ω. 3) Korzysta się z zależości (ad ωω ) =. B = ( C )

98 98 3. Mechaika bryły sztywej W układzie główych cetralych osi bezwładości, związaym z ciałem, rówaie (3.3) przyjmuje postać trzech rówań 3 3 = m = J ω + ω ω (J J ), które oszą azwę rówań Eulera Zasada przemieszczeń wirtualych m J ω ω ω (J J ), m3 = J3ω 3 + ωω (J J ), (3.4) Rówaie pracy wirtualej (3.4), ze środkiem masy jako puktem podstawowym y y C = x C + u, po uwzględieiu (3.5) i (3.), moża zapisać w postaci zasady przemieszczeń wirtualych wygodej do dalszej dyskusji t { } Gb[ u, t; w] Ge[ u, t; w ] dt =, u = ( uq, ), w = (, vw ), t [, + ). (3.5) t Wyrażeie Gb[ u, t; w] = m vu i + wi( J y ω+ ω J y ω) ( C ) ( C ) (3.6) jest pracą wirtualą sił bezwładości w chwili t, zaś Ge[ u, t ; w] = vi f + wi m y ( C ) (3.7) reprezetuje pracę wirtualą obciążeń zewętrzych w chwili t. Zasada przemieszczeń wirtualych jest ajbardziej ogólym ze słabych (wariacyjych) sformułowań problemu brzegowego dającym już podstawę do uzyskaia rozwiązań Eergia kietycza Z kształtu kietyczych rówań kostytutywych (3.9) i (3.93) wyika, że istieje taka postać eergii kietyczej 3) K( υc, ω) = dm m C C C y iy υ + B i υ ω i J( y ) ω, (3.8) że kietycze rówaia kostytutywe dae są związkami K( υc, ω) p = υ C, k( yc ) 3) Uwzględiając y = yc + ζ y = y C + ω ζ, łatwo wykazać, że K( υc, ω) = d ( ) ( )d y iy m B y C+ ω ζ i y C+ ω ζ m B = [ C C ( ) C ( ) ( )]dm y iy + ω ζ iy + ω ζ i ω ζ B = ( y Ciy C) d m+ ( C ) d m+ ( [( ) ]d ) y ω B ζ ωi B ζiζ ζ ζ m ω B = m υciυc + ωij( yc ) ω = K( υc, ω) =. (3.9) ω

99 3.7. Przemieszczeiowe rówaia dyamiki ciała sztywego Liearyzacja zasady przemieszczeń wirtualych Rozwiązaie problemów ieliiowych wymaga zastosowaia procedur iteracyjych (zob. rozdz. ). Procedury te polegają a sukcesywej aproksymacji problemów ieliiowych przez ciąg problemów zliearyzowaych. Tok wyprowadzeia zliearyzowaej postaci zasady przemieszczeń wirtualych (3.5) w otoczeiu u = (u,q) i ustaloego t przedstawia się astępująco. Niech u(η) = (u(η),q(η)), η R, u() = u, będzie jedoparametrową rodzią deformacji iterpretowaą jako ruch rzeczywisty, której w reprezetacji przestrzeej adaje się postać u( η) = u+ η v, Q( η) = exp( η Θ) Q. (3.) Tutaj w = ( ( v,θ) jest wektorem styczym do krzywej u(η) w pukcie u, zaś Θ = ad(θ). Pochoda kierukowa fukcjoału (3.5) w pukcie u i w kieruku w dla ustaloego t jest zdefiiowaa przez d δg[,; u t w, w] = G[ u( η),; t w] η = = δgb[,; u t w, w] δge[,; u t w, w ]. (3.) dη Praca wirtuala sił bezwładości w reprezetacji przestrzeej podlegająca liearyzacji, po pomiięciu w ozaczeiach etykiety (.)( y C ), ma postać G [ u( η), t; w] = m viu ( η) + wi[ J( η) a( η) + ω( η) J( η) ω( η )], (3.) b gdzie a =. Pochoda kierukowa (3.) jest obliczaa w dwóch etapach. W pierwszym etapie, prędkość i przyspieszeie traktuje się jako zmiee iezależe. Prowadzi to do 33) wyrażeia δg [ u, t; a, v, w, w] = m vi v + wij a + θi[ JΩ ad( Jω)] ω+ b + wi[ Jada ad( Ja) + ΩJΩ Ωad( Jω)] θ, (3.3) które ma dobrą iterpretację fizyczą w zależości od pochodej kierukowej prędkości kątowej i przyspieszeia kątowego z reprezetacji przestrzeej. Aalogicze rozważaia przeprowadza się dla reprezetacji materialej. Tutaj Q( η) = Q exp( η Φ), (3.4) gdzie w = ( ( v,φ), Φ = ad(φ). Praca wirtuala sił bezwładości w reprezetacji materialej podlegająca liearyzacji, po uwzględieiu (3.3) oraz v = Q T v i φ = Q T θ, ma postać 33) Niech w tym miejscu (.) symbolizuje operację pochodej kierukowej, wówczas oblicza się (Ja + ω Jω) = (Ja) + ω Jω + ω (Jω) = Ja + J a + ω Jω + ω Jω + ω J ω = = Ja + ω Jω + [J a + ω Jω + ω J ω]. Część w awiasach kwadratowych wyika z liearyzacji przyspieszeia kątowego a i prędkości kątowej ω J a + ω Jω + ω J ω = = J a (Jω) ω + ω J ω = J a + [ ad(jω)+adωj] ω. Liearyzacja tesora bezwładości daje J= (QJQ T ) = QJQ T + QJ Q T = (ad θ)qjq T + QJQ T (ad θ) T = (ad θ)j J(ad θ), a część z ią związaa przyjmuje postać Ja + ω Jω = [(adθ)j J(adθ)]a + ω [(adθ)j J(ada)]ω = = (adθ)ja J(adθ)a + ω (adθ)jω ω J(adθ)ω = θ Ja J(θ a) + ω (θ Jω) ω J(θ ω) = = Ja θ + J (a θ) ω (Jω θ) + ω J(ω θ) = [ ad(ja) + J(ada) ad(ω)(adjω) + (adω)j(adω)]θ.

100 3. Mechaika bryły sztywej G [ u( η), t; w] = m vu i ( η) + wi[ Ja( η) + ω( η) Jω( η )], (3.5) b gdzie u = Q T u, a = ω. Pierwszy etap obliczeia pochodej kierukowej (3.5) 34) z prędkościami i przyspieszeiami jako zmieymi iezależymi daje δ G [ u, t; a, v, w, w] = m vi v+ wij a + wi[ Jadω ad( Jω)] ω (3.6) b Zależości (3.3) i (3.6) w otacji symboliczo-macierzowej mają postać δ G [, ;,,, ] [ ] b u t a v w w = wi mρ a+ cρ v+ kρ w, (3.7) gdzie w reprezetacji przestrzeej m mρ = J, cρ = ad( ) JΩ Jω, kρ = ad ad( ) + ad( ) J a Ja ΩJΩ Ω Jω, (3.8) zaś odpowiediki w reprezetacji materialej wyoszą m mρ =, c ρ = J ad( ), JΩ Jω k =. (3.9) ρ Niestety występujące w (3.3) pochode kierukowe, ze względu a reprezetację przestrzeą (opis względem rotującego układu), ie są iezmieicze względem zmiay obserwatora (ie są obiektywe 35) ). Obiektywość wielkości w reprezetacji przestrzeej defiiuje się, wykorzystując kocepcję pochodej Liego (zob. p. Marsde i Hughes [983]). Stąd liearyzacja wyrażeia G b [u(η),t;w] względem wielkości obiektywych ma postać δg[ u, t;d a,d v,d ww, ] = mvi v + d wi[ Ja+ ω Jω] + wid[ Ja+ ω Jω] b = m vi v ( θ w) i( Ja+ ω Jω) + wi[ Jda+ dω Jω+ ω Jd ω] = m vi v wiad( Ja+ ω Jω) θ + wja i d + wi[(ad ω) J ad( Jω)]d ω], której moża adać astępującą formę macierzową Gb t ρ ρ ρ (3.3) δ [ u, ;d a,d v,d w, w] = wi [ m da+ c dv+ k d w], (3.3) gdzie m ρ i c ρ są takie same jak (3.8), zaś kρ = ad( + ) Ja ω Jω. (3.3) 34) ( Ja+ ω Jω) = J a+ ω Jω+ ω J ω= J a ( Jω) ω+ ω J ω= J a+ [ ad( Jω) + (ad ω) J] ω 35) Wielkości (pochode) obiektywe dowolej fukcji wektorowej v(u,q), tesorowej T(u,Q) d T w reprezetacji przestrzeej defiiuje się astępująco d v Q{ [ Q ( η) v ( η )] η } η = d T i d T Q{ [ Q ( η) T( η) Q( η )] d η } η = Q T w sposób odpowiadający obliczaiu pochodej Liego. Tutaj krzywe w reprezetacji przestrzeej mają postać, dla wektora v(η) = v i (η)t i (η) = = (v i + η v i + (η v i) +...)(exp(adη θ))t i = v + η[dv + (ad θ)v]+η [...]+..., aalogicze dla tesora T(η) = T ij (η)t i (η)ƒt j (η) = T+η[dT+(ad θ)t T(ad θ)]+η [...]+..., gdzie dv = v i t i, dt = T ij t i ƒt j. d

101 3.7. Przemieszczeiowe rówaia dyamiki ciała sztywego W drugim etapie, w stosuku do (3.7) uwzględia się, że wielkości ω i a są wirtualymi zmiaami prędkości kątowej i przyspieszeia kątowego, które wyrażoe przez pochode czasowe przyrostu kąta obrotu w reprezetacji przestrzeej mają postać ω= δω[ u( η), t; w] = θ ω θ, a = δa[ u( η), t; w] = θ ω θ a θ. (3.33) Odpowiedio w reprezetacji materialej obowiązuje ω = δω[ u( η), t; w] = φ + ω φ, a = δa[ u( η), t; w] = φ + ω φ + a φ. (3.34) Podstawieie (3.33) lub (3.34) do (3.3) lub odpowiedio do (3.6) daje gdzie w reprezetacji przestrzeej 36) δ G [ ( ), ;, ] [ ] b u η t w w = wi mρ w + cρ w + kρ w, (3.35) cρ = ad( ) ΩJ JΩ Jω, kρ = ad( + ) Ja J, (3.36) zaś odpowiediki w reprezetacji materialej mają postać 37) cρ = + ad( ), ΩJ JΩ Jω kρ = (ad ) ad( ) +. (3.37) J a JωΩ ΩΩ J Macierze (3.8), (3.9) i (3.36), (3.37) reprezetują dyamicze charakterystyki ciała sztywego i oszą azwy, odpowiedio, macierzy mas, macierzy żyroskopowej 38) i macierzy sztywości odśrodkowej (cyrkulacyjej). Cechą charakterystyczą tych macierzy w reprezetacji przestrzeej jest ich zależość, poprzez tesor bezwładości, od aktualego obrotu. Poadto, tylko macierz m ρ jest symetrycza. Macierz c ρ zależy liiowo od 36) Część J a + ω Jω + ω J ω, wyikająca z liearyzacji przyśpieszeia kątowego a i prędkości kątowej ω, wyosi J a+ ω Jω+ ω J ω = J( θ ω θ a θ) + ( θ ω θ) Jω+ ω J( θ ω θ) = Jθ J ( ω θ ) Ja ( θ) + θ Jω ( ω θ) Jω+ ω Jθ ω J( ω θ) = Jθ J (ad ωθ ) J(ad a) w (ad Jωθ ) + (ad Jω)(ad ω) θ+ (ad ω) Jθ (ad ω) J (ad ωθ ) = Jθ + [(ad ω) J J(ad ω) ad( Jω)] θ [ J(ad a) (ad Jω)(ad ω) + (ad ω) J (ad ω)] θ. Sumując z częścią [ ad(ja) + J(ada) (adω)(adjω) + (adω)j(adω)]θ, powiązaą z liearyzacją tesora bezwładości i wykorzystując defiicję komutatora jako awiasu Liego ad(a b) = = (ada)(adb) (adb)(ada) = [(ada),(adb)], otrzymuje się (Ja + ω Jω) = = Jθ + [(ad ω) J J(ad ω) ad( Jω)] θ [ad( Ja) + (ad )(ad J ) (ad Jω)(ad ω)] θ = Jθ + [(ad ω) J J(ad ω) ad( Jω)] θ ad( Ja + J ) θ. 37) J a + [ ad( Jω) ω+ (ad ω) J] ω = J( φ + ω φ + a φ) + [ ad( Jω) ω+ (ad ω) J]( φ + ω φ) = = J( φ + (ad ω) φ + (ad a) φ) + [ ad( Jω) ω+ (ad ω) J]( φ + (ad ω) φ) = = Jφ + [(ad ω) J+ J(ad ω) ad( Jω)] φ + [ J(ad a) ad( Jω)(ad ω) + (adω) J (ad ω)]φ. 38) Powiązae z atysymetryczą macierzą żyroskopową c ρ siły żyroskopowe powodują rozpraszaia eergii. cρ w ie

102 3. Mechaika bryły sztywej prędkości kątowej, zaś macierz k ρ zależy liiowo od przyspieszeia kątowego i kwadratowo od prędkości kątowej. Fukcjoał zewętrzej pracy wirtualej podlegający liearyzacji w (3.) ma postać G [ ( ), ; ] ( ) e u η t w = wi p η. (3.38) Przyjmując, że obciążeie zewętrze działające a ciało sztywe może zależeć od przemieszczeń (położeia w przestrzei), ozacza się przez Fu ( ) = u pu ( ), (3.39) ich pochode względem u. Stąd zliearyzowaa zewętrza praca wirtuala (pochoda kierukowa (3.38)) może być formalie zapisaa w postaci δ G [, ;, ] ( ) e u t w w = wi F w. (3.4) Jawa postać G e musi być wyprowadzoa dla każdego szczególego typu zależości obciążeia od u = (u,q). Ostateczie zliearyzowaą w otoczeiu u i kieruku poszukiwaego w, zasadę przemieszczeń wirtualych moża zapisać w postaci G[ u, t; w] + δ G[ u, t; w, w ] =. (3.4)

103 Rozdział 4Equatio Sectio 4 ZAGADNIENIE POCZĄTKOWO-BRZEGOWE SZEŚCIOPARAMETROWEJ NIELINIOWEJ TEORII POWŁOK 4.. Opis podstawowych rówań problemu 4... Uwagi wstępe Z puktu widzeia mechaiki ośrodków ciągłych, powłoka jest ciałem trójwymiarowym, w którym da się wyróżić pewą powierzchię M i w każdym jej pukcie określić różą od zera grubość h (zob. p. Chróścielewski [996] lub Chróścielewski, Makowski i Pietraszkiewicz [4]). Takie ciało B azywa się ciałem typu powłoka, a powierzchię M azywa się powierzchią podstawową (zob. p. Woźiak [966]). Celem teorii powłok jest zastąpieie trójwymiarowego ciała B typu powłoka dwuwymiarowym modelem powierzchi M, wyposażoym w odpowiedią strukturę wewętrzą i własości mechaicze ujmujące główe cechy opisywaego ciała. Podstawą opracowaia i budowy algorytmu całkowaia dyamiczych ieliiowych rówań powłok jest wersja statycza sześcioparametrowej ieliiowej teorii powłok zapropoowaa w pracach Simmods [984], Chróścielewski, Makowski i Stumpf [99], Chróścielewski [996] lub Chróścielewski, Makowski i Pietraszkiewicz [4]. Opracowae tam a potrzeby ieliiowej aalizy statyczej powłokowe elemety skończoe, algorytmy obliczeiowe oraz kody programów staowią bazę i pukt wyjścia do rozszerzeia tego sformułowaia a zagadieie dyamiki powłok poruszae w iiejszej pracy. W kolejych puktach rozdziału zestawia się tylko podstawowe wyiki teorii powłok, uzupełiając je owo opracowaymi człoami dyamiczymi. Propoowae podejście od stroy teorii charakteryzuje się astępującymi cechami. Teoria powłok jest wyikiem redukcji trójwymiarowych praw mechaiki ośrodka ciągłego B do powierzchi M bez założeń upraszczających (w obszarze regularym płatów). Powłokowe rówaia rówowagi i aprężeiowe waruki brzegowe wyrażoo w termiach sił przekrojowych ( β,m β ). Są oe ścisłe w sesie defiicji. Obszar połączeia wielu płatów (krawędź Γ ) opisuje się poprzez powłokowe siły przekrojowe ( β,m β ). Waruki skoku w połączeiu wyprowadza się z dwuwymiarowych zasad zachowaia. W tym sesie opis obszaru połączeia wielogałęziowego jest przybliżoy. Model kiematyczy powłoki ie jest postuloway, lecz wypływa ze sprzężeia eergetyczego w ramach zasady pracy wirtualej jako tożsamości całkowej. Modelem kiematyczym powłoki jest powierzchia typu Cosseratów z aturalymi miarami odkształceń (ε β,κ β). Niezależymi zmieymi kiematyczymi są pole traslacji u powierzchi podstawowej powłoki M i pole właściwych tesorów ortogoalych Q a M. Rówaia kostytutywe są miejscem, w którym kocetrują się wszelkie założeia (upraszczające) szczególych teorii powłok. Pojawieie się w modelu kiematyczym powłoki pola tesorów obrotu Q jako ieza- zmieej kiematyczej, tak jak w przypadku ciała sztywego, ma szereg kose- leżej kwecji dla metod rozwiązywaia. Tutaj przestrzeń kofiguracyja ie posiada struktury przestrzei liiowej. Od stroy aproksymacji względem czasu występują zagadieia

104 4 4. Zagadieie początkowo-brzegowe... wspóle z metodami rozwiązywaia problemów ciała sztywego, zaś od stroy aproksymacji przestrzeej pojawia się koieczość iestadardowego podejścia metodą elemetów skończoych, w szczególości zaś opracowaia metodologii iterpolacji a grupie obrotów SO(3). Pod uwagę bierze się przemieszczeiowe elemety skończoe 4-, 9- i 6- węzłowe typu Lagrage'a. Elemety są sformułowae w fukcji wielkości przekrojowych i zawierają szósty obrotowy stopień swobody (owiięcie) jako implikację teorii powłok. Szósty stopień swobody umożliwia użycie elemetów w aalizie zarówo powłok gładkich, jak i ieregularych złożoych z wielu płatów kostrukcji powierzchiowych Kofiguracja odiesieia oraz opis kiematyki powłoki W ramach rozważaej teorii powłok, kofiguracja odiesieia jest całkowicie określoa przez powierzchię podstawową M oraz pole ieosobliwych tesorów T a M. Opis kofiguracji odiesieia wymaga określeia dwóch pól x = x ( m), T = T ( x ), m M. (4.) Tesor T (x) w obliczeiach, tak jak w przypadku ciała sztywego (p ), będzie repre- zetoway przez trójkę liiowo iezależych (ortoormalych) wektorów kierukowych {t i (x)} związaych z każdym puktem m powierzchi M. Pola (4.) muszą spełiać pewe waruki regularości, tj. waruki ciągłości i różiczkowalości (prawie wszędzie). Waruki te są elemetem daych problemu i pozwalają wyzaczyć geometrię powierzchi M, geometrię brzegu M oraz geometrię krawędzi Γ, wzdłuż których M ie jest powierzchią gładką. M () M () x. x e 3 x e e x T x M Rys. 4.. Kofiguracja odiesieia powłoki Względem kofiguracji odiesieia (4.) ruch ieregularej struktury powłokowej (y(x, t), T(x, t)) opisują pole traslacji powierzchi podstawowej u: M T E 3 i pole właściwych tesorów obrotu Q: M T SO(3). Ruch powłoki ma postać yx (, t) = x+ ux (, t), T( x, t) = Q( x, t) T ( x ), (4.) gdzie u(x, t) i Q(x, t) są podstawowymi zmieymi kiematyczymi. Aalogiczy opis dotyczący ruchu ciała sztywego przedstawia rówaie (3.6). Odwzorowaie (4.) przedstawia ruch wektorów kierukowych ti( x, t) = Q( x, t) ti ( x ). (4.3)

105 4.. Opis podstawowych rówań problemu 5 y ( x, t) y( x, t), Q ( x, t) = Q( x, t). (4.4) Γ Γ = Γ Γ Γ Γ Tutaj przestrzea krzywa x Γ Γ M reprezetuje wspóle części brzegów regularych płatów składających się a powierzchię podstawową powłoki. Rys. 4.. Opis ruchu powłoki Pochode (4.) względem czasu dają pola prędkości powłoki υ( x, t) = y ( x, t) = u ( x, t), = = (,) t (,) t (,) t T Ω x T x T x Q( x,) t Q( x,) t = ad ω( x,) t, (4.5) Wzdłuż krawędzi Γ (ieregularości geometryczej) zakłada się, że pola (4.) są ciągłe w trakcie ruchu spełiając waruki gdzie υ(x, t) jest polem wektora prędkości traslacyjej, a ω(x, t) polem wektora prędko- ści kątowej. Przyjęcie odpowiedich założeń o regularości (4.) pozwala wyzaczyć wszystkie wielkości, które są koiecze do opisu deformacji i odkształceń. Wektory odkształceń ε β (x, t) i krzywiz κ β (x, t) powierzchi podstawowej w reprezetacji przestrzeej dae są przez astępujące związki kiematycze εβ( x,) t = y( x,), t β Q( x,) t x, β = y( x,), t β tβ( x,) t,.. κ (,) ad ( (,), T β x t = Q x t β Q ( x,) t ).(4.6) Tutaj (.), β = (.) / ξ β ozacza pochodą cząstkową względem dowolie wybraego układu współrzędych powierzchiowych {ξ β, β =, }, parametryzujących lokalie, w otoczeiu puktów regularych, powierzchię podstawową M, tj. x = x(ξ β ). Odkształceia wirtuale w reprezetacji przestrzeej dae są przez astępujące zależości kiematycze: δ ε ( x, t) = v, + y, w = v, + ( t + ε ) w, δ κ ( x, t) = w,, (4.7) β β β β β β gdzie v(x, t) i w(x, t) są polami kiematyczie dopuszczal ych wirtualych traslacji i wirtualych obrotów (spełiających odpowiedie założeia o regularości). β β

106 6 4. Zagadieie początkowo-brzegowe Rówaia rówowagi ogóle rówaia pola, waruki ubocze Podstawowymi rówaiami w ramach mechaiki powłok są lokale rówaia ruchu (por. (3.38)) β + f = p β β,, β m β + y β + m = k + y p. (4.8) Tutaj p(x, t) i k(x, t) są powierzchiowymi polami pędu i krętu (mometu pędu), f (x, t) i m(x, t) są obciążeiami powierzchiowymi sił i mometów rówoważymi statyczie zewętrzym siłom działającym w objętości B i a powierzchi B f ciała typu powłoka, zaś β (x, t) i m β (x, t) są siłami przekrojowymi. Rys Składowe przekrojowych wektorów sił β i mometów m β Pomijając dyskusję wyprowadzeia rówań (4.8) (zob. p. Chróścielewski, Makowski, Pietraszkiewicz []), są oe kosekwecją globalych praw zachowaia pędu i krętu. Rówaia (4.8) wyrażają w postaci różiczkowej dyamicze waruki rówowagi w puktach regularych x M\Γ powierzchi podstawowej M. W (4.8) symbol (.) β ozacza α α pochodą kowariatą w kieruku bazy aturalej a = x,, a ia = δ, α,β =, w metryce a αβ α β a = a a a = a a a, a α β αβ αβ α β β β = a ia, a αβ = a α ia β, a = det( aα ia β ) > (4.9) 3 α a powierzchi podstawowej M. Dodatkowo ), jedostkowy wektor zewętrzie ormaly αβ αβ do M zdefiioway jest jako a = a a, gdzie jest powierzchiowym symbolem permutacji αλ = δ α, = = a. Wykorzystując własość metryki a a M, βλ β rówaiom (4.8) moża adać formę iezawierającą pochodych kowariatych β β ( a ), + β a f = a p, ( a β β m ), β + y, β a + a m = a k + y a p. (4.) β β ) Komplet przejrzystych wyprowadzeń klasyczych zależości związaych z teorią powłok moża odaleźć w pracy Pietraszkiewicz [977].

107 4.. Opis podstawowych rówań problemu 7 Waruki ubocze obejmują dyamicze (aprężeiowe) waruki brzegowe β * β * ( x, t) ν ( x) = ( x, t), m ( x, t) ν ( x) = m ( x, t) wzdłuż β β x M f (4.) oraz kiematycze waruki brzegowe * * ux (, t) = u( x, t), Qx (, t ) = Q( x, t) wzdłuż x M d, (4.) gdzie M d i M f są komplemetarymi częściami brzegu M = M d M f, M d M f =. W (4.) v = v β a β, jest leżącym w płaszczyźie styczej zewętrzie wektorem jedostkowym ormalym do odcikowo gładkiego brzegu M powierzchi podstawowej powłoki M. Waruki brzegowe (4.) i (4.) muszą być spełioe dla wszystkich chwil t T. Do waruków uboczych ależą rówież waruki początkowe dla t T ux (, t) = u( x), Qx (, t) = Q( x), ux (, t) = υ( x), Qx (, t ) = Q ( x) a x M M, (4.3) W (4.) i (4.), pola wyróżioe gwiazdką, tak jak w (4.3) pola wyróżioe etykietą zero, są daymi problemu. Całkowa postać praw mechaiki powłok dopuszcza występowaie ieciągłości. Wyikiem ich a poziomie lokalym jest pojawieie się statyczych waruków skoku, które moża zapisać w postaci β β f ( x, t) [ ( x, t) ν ( x )] =, m ( x, t) [ m ( x, t) ν ( x] ) = wzdłuż x Γ, (4.4) Γ β Γ tutaj f Γ i m Γ są daymi obciążeiami liiowymi sił i mometów wzdłuż krawędzi Γ. Skok uogólioych wektorów sił i uogólioych wektorów mometów a krawędzi Γ defiiuje się jako β β β β [ ν β ]= ν β, [ m ν β ]= m ν β, (4.5) i gdzie i =,,... przebiega do wartości rówej liczbie płatów spotykających się w daym pukcie krawędzi Γ Relacje kostytutywe szczególe rówaia pola, powłoki hipersprężyste Dalsze rozważaia ograicza się do pewego szczególego typu powłok, tzw. powłok hipersprężystych. Przez pojęcie to, przez aalogię od materiałów hipersprężystych, rozumie się powłokę, dla której istieje dwuwymiarowa fukcja eergii sprężystej U (ε β,κ β ;x), β =,, mierzoa a jedostkę powierzchi M, będąca aalityczą fukcją wektorów odkształceń ε β i krzywiz κ β (4.6). Zatem ogóle relacje kostytutywe powłoki hipersprężystej mają postać β U =, β U m =, (4.6) ε κ β gdzie β (x, t) i m β (x, t) są odpowiedio polami wektorów przekrojowych sił i mometów. Istieie eergii sprężystej, przy jedoczesym istieiu potecjałów dla obciążeń zewętrz- β β i

108 8 4. Zagadieie początkowo-brzegowe... ych, umożliwia sformułowaie zagadień początkowo-brzegowych w postaci wariacyjej. Jest to istote z puktu widzeia aalizy takich zagadień metodami przybliżoymi. W ramach ogólej teorii powłok, rówaia kostytutywe (4.6) muszą być uzupełioe kiematyczymi rówaiami kostytutywymi dla pól gęstości wektorów pędu i krętu. Dalsze rozważaia ograicza się do ajprostszych z możliwych tego typu relacji w postaci px (, t) = m ( xυ ) ( x, t), k( x, t) = J ( x) ω( x, t), (4.7) gdzie m gęstość masy i J skalary współczyik bezwładości przekroju poprzeczego powłoki, są mierzoe a jedostkę powierzchi podstawowej powłoki w kofiguracji odiesieia, υ(x, t) jest polem wektora prędkości traslacyjej, atomiast ω(x, t) jest polem wektora prędkości kątowej w reprezetacji przestrzeej (porówaj rówaia (3.9) i (3.93) ). Postać (4.7) ma ses przy założeiu ierozciągliwości włókie powłoki i małych odkształceiach. Moża ją otrzymać, defiiując powierzchię podstawową powłoki ie jako powierzchię materialą, lecz jako powierzchię geometryczą uśredioą po grubości powłoki (zob. Simmods [984]). Rówaia kostytutywe (4.6) i (4.7), łączie z rówaiami ruchu (4.8) oraz odpowiedimi zależościami kiematyczymi pomiędzy uogólioymi odkształceiami a przemieszczeiami i obrotami, takimi jak (4.6), staowią komplety układ rówań. Rówaia te łączie z warukami brzegowymi, warukami początkowymi oraz warukami ciągłości staowią formale sformułowaie zagadieia początkowo-brzegowego. W przypadku (4.7) rówaia ruchu (4.8) przyjmują dobrze zaą z literatury postać β + f = β m υ, β β m β + y, β + m = J ω. (4.8) 4.. Zasada przemieszczeń wirtualych 4... Symbolicza otacja macierzowo-operatorowa Nawiązując do wprowadzoej częściowo w rozdziale 3 otacji, wprowadźmy astępujące ozaczeia * v u f f Γ * p w=, v =, a =, p =, pγ =, s =, b =. (4.9) * w a m mγ m k+ y p Wektory te reprezetują w sesie uogólioym: wirtuale przemieszczeia, prędkości, przyspieszeia, powierzchiowe obciążeia zewętrze, liiowe obciążeia zewętrze a Γ, obciążeia brzegowe, siły bezwładości. Wykorzystując (4.9), gęstości pracy wirtualej obciążeń zapisuje się w postaci T wp = vif + wim a M, T Γ Γ = vγifγ + wγimγ Γ T * * * = vi + wim w p ws wzdłuż, wzdłuż M, f (4.) zaś gęstość pracy wirtualej sił bezwładości w formie T wb= vip + wi( k + y p) a M. (4.)

109 4.. Zasada przemieszczeń wirtualych 9 Uogólioe odkształceia i aprężeia defiiuje się jako uporządkowae czwórki składowych w formie & =, s =. (4.) m m Zgodie z (4.) relacje odkształceia-przemieszczeia oraz wirtuale odkształceia mają postać u, + ( Q) t v, δ v, + ( t+ ) w u, + ( Q) t δ, ( ), v + t + w v &u ˆ( ) =, T δ& ( u) = =, δd = w,. (4.3) ad ( Q, Q ) δ w, w, T ad (, ) Q Q δ, w w Odpowiedio do defiicji (4.3), 3 zapisuje się relacje gdzie operatory macierzowe mają postać δ &( u) = B( u) w, δ d = Dw, (4.4) (.), ( t+ ) (.) (.), ( ) (.) ( ) t + Bu =, (.), (.), (.), (.), D. (4.5) = (.), (.), Na podstawie (4.) (4.5), gęstość wewętrzej pracy wirtualej w reprezetacji przestrzeej, mierzoa a jedostkę powierzchi podstawowej M, będzie miała postać δ T = T T = δ β + δ β = β + + β & s w B s i im i β β (, v y β, w β ) m iw,. (4.6) β Relacja aprężeia-odkształceia, dla rozważaych tu powłok hipersprężystych (4.6), ma formę U/ ε U/ ε s& ˆ( ) =. (4.7) U/ κ U/ κ Uwzględiając kietycze rówaia kostytutywe pędu i krętu (4.7) oraz wiedząc, że k = Jω + ω Jω, wektor powierzchiowych sił bezwładości (4.9) 7 przyjmuje postać b m m u, (4.8) J + J Ja = =

110 4. Zagadieie początkowo-brzegowe... gdzie ux ( ) i ax (, t) są polami przyspieszeń traslacyjych i przyspieszeń kątowych, które zdefiiowae są przez różiczkowaie względem czasu odpowiedich prędkości (4.5) Pola kiematyczie dopuszczale Niech teraz u i w (zob. (4.9)) będą kiematyczie dopuszczalymi polami uogólioych przemieszczeń i uogólioych przemieszczeń wirtualych. Ozacza to, że u musi spełiać kiematycze waruki brzegowe u = u * wzdłuż M d, a w musi spełiać jedorode kiematycze waruki brzegowe w = wzdłuż M d. Także od u i w wymaga się, aby oba pola spełiały założoe wcześiej i arzucoe przekształceiami waruki regularości. Poadto, zgodie z założeiem (4.4), przez u Γ i w Γ ozacza się ograiczeie pól u i w do krzywej Γ Zasada przemieszczeń wirtualych Dla powłok hipersprężystych, przy & = & ˆ( u ), tj. relacji odkształceia-przemieszczeia w (4.3), wraz z s= s ˆ( &), tj. rówaiem kostytutywym (4.7) jako warukiem uboczym i z kiematyczie dopuszczalymi polami u i w, defiiuje się fukcjoał gdzie G[ u, t; w] G [ u, t; w] + G [ u, t; w] G [ u, t; w], (4.9) G t A T b[ u, ; w] = w bd, M \ Γ b i e G t ˆ A T i [ u, ; w] = ( B( u) w) s (&)d, M \ Γ T T T e[ u, ; w] = wpd + w d d, M \ Γ Γ ΓpΓ + ws * M f G t A S S (4.3) reprezetują, odpowiedio, wirtualą pracę sił bezwładości, wirtualą pracę wewętrzą oraz pracę wirtualą obciążeń zewętrzych. Moża wykazać, że kiematyczie dopuszczale pole uogólioych przemieszczeń u jest słabym rozwiązaiem powłokowego problemu początkowo-brzegowego, wtedy i tylko wtedy, gdy G[ u, t; w] G [ u, t; w] + G [ u, t; w] G [ u, t; w ] =, (4.3) b i e dla wszystkich kiematyczie dopuszczalych pól uogólioych przemieszczeń wirtualych w i t [,+ ). Wyrażeie wariacyje (4.3) jest zasadą przemieszczeń wirtualych, wyrażającą słabą postać zasad zachowaia pędu i krętu. Dostarczą oe całkowej (wariacyjej, słabej) reprezetacji problemu, zamiast reprezetacji różiczkowej (silej, klasyczej). Zasada przemieszczeń wirtualych jest ajbardziej ogólym ze słabych sformułowań problemu początkowo-brzegowego, dającym już podstawę do uzyskaia rozwiązań Liearyzacja zasady przemieszczeń wirtualych Rozwiązaie problemów ieliiowych ajczęściej opiera się a metodach wymagających liearyzacji. Aalogiczie do przekształceń przeprowadzoych dla bryły sztywej, liearyzację zasady przemieszczeń wirtualych (4.3) w otoczeiu rozwiązaia u przeprowadza się, wykorzystując jedoparametrową rodzię deformacji

111 4.. Zasada przemieszczeń wirtualych u( η) = ( u( η), Q ( η)), η R, u() = u u( η) = u+ η v, Q( η) = exp( η Θ) Q.(4.3) Wektor styczy w (gdzie w = ( v,θ) i Θ = ad(θ)) podobie jak w (gdzie w = (v,w)) ozaczają kiematyczie dopuszczale pole przemieszczeń wirtualych. Do liearyzacji wykorzystujemy pochodą kierukową G w pukcie u i w kieruku w d δg[ u, t; w, w] = G[ u( η), t; w] dη η = = δg [ u, t; w, w] + δg[ u, t; w, w] δg [ u, t; w, w]. b i e (4.33) Część wewętrza pracy wirtualej w (4.33) ma postać G t A T i [ u( η), ; w ] = δ& ( η) s( η)d M \ Γ β β = [ ( η) i( v, + ( y, + η v, ) θ) + m ( η) iθ, ]d A. M \ Γ β β β β (4.34) Tutaj aprężeia poprzez rówaia materiałowe i relacje kiematycze są fukcjami przemieszczeń s(η) = s(u(η)). Pochoda z wyrażeia (4.34) wyosi [, ;, ] [ β (,, ) β (, ) β δg u t w w = δ i v + y θ + i v θ + δm iθ, ]d A. (4.35) i M \ Γ β β β β Wirtuale zmiay sił δ β i mometów δ m β przekrojowych w reprezetacji przestrzeej dae są przez zależości β d β β β β d β β β δ ( η) η = = + θ, δm m ( η) η = = m + θ m, (4.36) dη dη Przyrosty β i m β, jako relacje kostytutywe, wyrażają się przez zliearyzowae odkształceia uogólioe α αβ αβ α αβ αβ = C β + C β, m = C3 β + C4. (4.37) Tutaj C p αβ = C p αβ (ε γ, κ γ ), (p =,, 3, 4) są tesorami sprężystości w reprezetacji przestrzeej zdefiiowaymi w przypadku powłok hipersprężystych przez C αβ U =, αβ U C =, αβ U C3 =, αβ U C4 =, (4.38) α β α β α β β α β gdzie = v, + y, θ, = θ,. (4.39) β β β β β Podstawieie (4.36) (4.39) do (4.35) daje δg [, ;, ] d i u t w w gi A, (4.4) gdzie g i = g M + g G. Cześć materiala g M i geometrycza g G przyjmują postaci = M \ Γ

112 4. Zagadieie początkowo-brzegowe... α α α g = i(, v + y, w) + m iw, = δ i + δ i m M α α α α α = δ i( C + C ) + δ i( C + C ), αβ αβ αβ αβ α β β α 3 β 4 = ( Bw) s = ( Bw) C & = ( Bw) C B w, T T T k k β α (4.4) g G = θ i v + y w + i v w + θ m iw β β ( ) (,, ) (, ) ( β β β β ), β β β = v, i( θ) w, i( m θ) β β β β + wi( v, ) + ( wi )( y, iθ) ( i y, )( wiθ) ( ) = w B ( u) s, w= ( Dw) GD w. T T T u β β β β (4.4) Opierając się a powyższych rozważaiach moża wyrazić zliearyzowaą wewętrzą pracę wirtualą (4.4) w postaci astępującego wyrażeia symboliczo-macierzowego M \ Γ T T ( k ) δg[ u, t; w, w] = ( Bw) C ( B w) + ( Dw) G( D w ) da, (4.43) i gdzie C k ozacza styczą macierz materiałową zdefiiowaą przez αβ αβ C C C k (&) = αβ αβ, (4.44) C3 C4 a B i D są operatorami macierzowymi (4.5), zaś G ujmuje uogólioe aprężeia początkowe (.) (.) Gu ( ) = m (.). (4.45) m (.) β β (.) (.) ( β+ β ) ( ( β+ β )) t i t Zależości z (4.45) są fukcjami uogólioych przemieszczeń poprzez rówaie kostytutywe i kiematycze relacje odkształceia-przemieszczeia. Aalogiczie przebiega liearyzacja pracy wirtualej sił bezwładości z (4.33) G T [ u ( η), t ; w ] = w b ( η)d A = [ vi( m u ( η)) + wi( J a( η))]da. (4.46) b M\ Γ M\ Γ Tak jak w przypadku ciała sztywego, pochodą kierukową z (4.46) oblicza się w dwóch etapach, traktując ajpierw pola prędkości i przyspieszeń jako zmiee iezależe δg T b [ u ( η ), t ; a, v, w, w ] = ( vi m u + wi J a)d A = w m a da, (4.47) ρ gdzie M\ Γ M\ Γ m m ρ = J, (.) a astępie przyjmując wielkość a jako wirtualą zmiaę prędkości kątowej i przyspieszeia kątowego

113 4.3. Aproksymacja, przemieszczeiowe powłokowe elemety skończoe 3 Na tej podstawie otrzymuje się wyrażeie a = δa[ u( η), t; w] = θ θ a θ. (4.49) δg η t ρ ρ ρ A, (4.5) gdzie (porówaj pukt 3.7.5) T b [ u( ), ; w, w] = w { m w+ c w+ k w}d M \ Γ cρ = J ad, kρ = J ad a. (4.5) ρ Macierze (4.48) i (4.5) są odpowiedikami macierzy mas, macierzy żyroskopowej ) i macierzy sztywości odśrodkowej bryły sztywej. Macierz m ρ jest diagoala, atomiast macierze c (zależa liiowo od prędkości kątowej) i k (zależa liiowo od przyspieszeia) są skośie symetrycze. W dyamice powłok reprezetują oe dyamicze charakterystyki włóka powłoki. Poadto, w tym przypadku, fukcjoał G b wyrażający pracę wirtualą sił bezwładości moża astępująco wyrazić przez macierz m ρ G [ u, t; w] T d T = wb A = wmada. (4.5) b ρ M\ Γ M\ Γ Podobie, liearyzacji podlega fukcjoał zewętrzej pracy wirtualej, jedak ze względu fakt, że przeprowadzoe rozważaia dotyczą obciążeń koserwatywych, gdzie G e [u,t;w] =, proces te ie będzie omawiay. Szczegóły opisaych powyżej zagadień moża zaleźć w pracy Chróścielewski [996] lub Chróścielewski, Makowski i Pietraszkiewicz [4]. ρ 4.3. Aproksymacja, przemieszczeiowe powłokowe elemety skończoe Istota aproksymacji skończeie elemetowej Ogólym zadaiem aproksymacji skończeie wymiarowej jest zastąpieie ciągłego układu ieskończeie wymiarowego odpowiedim układem dyskretym, charakteryzującym się skończoą liczbą stopi swobody. Do jedej z ajbardziej popularych i efektywych metod aproksymacji skończeie wymiarowej stosowaych do zagadień iżyierskich ależy metoda elemetów skończoych (MES). Ogólie, od stroy formalej, MES ozacza zastosowaie metody wariacyjej Rayleigha-Ritza z bazami elemetów skończoych w postaci wielomiaowych fukcji zlokalizowaych (Kleiber [985]). Fukcje te określoe są jedyie miejscowo, wewątrz pewych iepokrywających się podobszarów dziedziy, czyli elemetów skończoych, i zikają poza imi. Zbiór elemetów skończoych powstaje przez podział dziedziy zadaia powiązay z jedoczesym doborem puktów tzw. węzłów. Węzły rozłożoe są w części lub całkowicie a brzegach elemetów i w wierzchołkach podziału. Zbiory elemetów i węzłów tworzą siatkę dyskretyzacyją. Podstawowa idea MES opiera się a kocepcji iterpolacji i pewej liczby charaktery- ) Powiązae z atysymetryczą macierzą żyroskopową c ρ siły żyroskopowe cρ w ie powodują rozpraszaia eergii (jak w rozdz. 3).

114 4 4. Zagadieie początkowo-brzegowe... styczych dla MES kroków. W MES, tak jak w metodzie Rayleigha-Ritza, występują dwa podstawowe zadaia. Pierwsze, to sformułowaie typu wariacyjego problemu brzegowego p. w postaci użytej w pracy zasady przemieszczeń wirtualych. Drugie zadaie, to wybór przestrzei fukcji aproksymacyjych, co w MES sprowadza się do określeia liczby węzłów, liczby zmieych węzłowych i fukcji kształtu. Podstawy MES są iezależe od rozważaego problemu szczególego. Stosowae w pracy elemety powłokowe wykorzystują kocepcje używae p. przy formułowaiu trójwymiarowych elemetów bryłowych. Cechą wyróżiającą formułowae elemety powłokowe od elemetów klasyczych jest iy typ przestrzei kofiguracyjej, ie mający struktury przestrzei liiowej. Jest to związae z występowaiem w jej defiicji grupy obrotów SO(3). Z puktu widzeia aproksymacji MES ajistotiejszą cechą rozważaej teorii powłok, wyikającą z rzędu pochodych fukcji podcałkowych występujących w fukcjoale (4.3), tj. w zasadzie przemieszczeń wirtualych, jest to, że sformułowaie elemetu skończoego wymaga dla iezależych zmieych kiematyczych (u, Q) tylko ciągłości klasy C, a dla uogólioych sił przekrojowych β, m β i uogólioych odkształceń ε β, κ β wzdłuż brzegów elemetu tylko ciągłości klasy C (odcikowej). Własość ta pozwala stosować aproksymację fukcjami o klasie ciągłości C. Elemety skończoe o takich fukcjach aproksymacyjych azywa się elemetami klasy C. Pod tym względem rozważaa teoria powłok ma te same własości, które występują w sformułowaiu elemetów zdegeerowaych lub bazujących a hipotezie Reissera. Poadto, jeśli przyjęty schemat iterpolacji MES zapewia spełieie wymagaych przez teorię waruków ciągłości wzdłuż brzegów międzyelemetowych, to wszystkie fukcjoały zdefiiowae a całej dziedziie (typu (4.3) czy (4.33) ) moża zapisać jako sumę fukcjoałów po obszarach elemetów. W te sposób dalsze rozważaia moża prowadzić, ograiczając się do pojedyczego typowego elemetu skończoego Współrzęde fizycze, składowe fizycze W przypadku zupełie dowolie wybraej parametryzacji powierzchi M x = x(ξ β ), β =,, wektory bazy powierzchiowej, a przez to składowe zmieych statyczych i kiematyczych, mogą ie mieć sesu fizyczego 3). Te fakt bez zaczeia w rozważaiach ogólych zapisu absolutego staje się waży przy rozwiązaiu kokretych zadań, w tym przy tworzeiu elemetów skończoych. Składowe fizycze moża otrzymać a drodze czysto formalej w ramach rachuku tesorowego lub, jak to zrobioo w pracy, przez użycie ortoormalej bazy i w efekcie parametryzację M poprzez współrzęde łukowe (s, s ). 3) Występujące w otacji absolutej wektory i tesory reprezetują pewe wielkości fizycze, a zatem mają określoy fizyczy wymiar. Np. wektor sił przekrojowych β ma w układzie jedostek SI wymiar N / m. Te sam wymiar fizyczy muszą mieć wszystkie jego trzy składowe.

115 4.3. Aproksymacja, przemieszczeiowe powłokowe elemety skończoe 5 t = t 3 t s t = t t = t t t q q m M s s m m m m m M s Rys Siły przekrojowe Zgodie z (4.), geometria powierzchi odiesieia powłoki jest określaa przez wektor pozycyjy x i tesor T = T (x). Przyjęcie tesora T [ t, t, t ], jako daego 3 w każdym pukcie regularym powierzchi x M \ Γ poprzez ortoormalą trójkę {t i }, pozwala określić ortogoalą parametryzację łukową ξ β s β z waruku a i t i i traktować wektor pozycyjy jako fukcję x = x(s β ). Zatem formalie trójkę {t i } określa właściwa trasformacja ortogoala t ( x) = T ( x) e, i =,, 3. (4.53) i W tym sposobie parametryzacji M, x = x(s β ), wszystkie wielkości kiematycze i statycze oraz wiążące je relacje mają wymiary fizycze i mogą być używae bezpośredio w budowie elemetów skończoych bez potrzeby dodatkowych trasformacji Dziedzia problemu, typowy elemet skończoy Zgodie z procedurą elemetów skończoych, powierzchia odiesieia powłoki M jest reprezetowaa jako suma M = e NM ( e) iepokrywających się elemetów skończoych M (e). e i Rys Dyskretyzacja powierzchi odiesieia W przypadku użytych w pracy izoparametryczych elemetów czworoboczych typowy elemet skończoy jest defiioway jako gładkie odwzorowaie kwadratowego elemetu wzorcowego ξ ( ξ, ξ ) [, + ] [, + ] R (4.54)

116 6 4. Zagadieie początkowo-brzegowe... odiesioego do współrzędych aturalych (ξ, ξ ). W te sposób -węzłowy elemet stadardowy określoy jest przez wartości współrzędych aturalych ξ, ξ,..., ξi,..., ξ, ξ a = ( ξ a, ξa) [, + ] [, + ], a =,,,. (4.55) Typowy elemet skończoy jest całkowicie określoy przez pary (x,t ) a, a =,,...,. Wektor pozycyjy x(ξ) i tesor obrotu T (ξ) w dowolym pukcie wewątrz elemetu skończoego otrzymuje się a podstawie iterpolacji wielkości węzłowych. Rys Aproksymacja powierzchi odiesieia i ajeżeia Iterpolacja geometrii, fukcje kształtu Wektor pozycyjy x w dowolym pukcie elemetu skończoego oblicza się zgodie ze stadardową formułą iterpolacyją x( ξ) = = La( ξ) a x a, (4.56) gdzie L a (ξ) są fukcjami kształtu. Dla użytych w pracy 4-, 9- i 6-węzłowych elemetów skończoych a bazie stadardowego elemetu kwadratowego (4.54), dwuwymiarowe fukcje kształtu L a (ξ) przyjęto w postaci odpowiediej kombiacji dla każdego węzła a =,,..., iloczyów jedowymiarowych, m-węzłowych, Lagrage owskich wielomiaów iterpolacyjych L m ( ξ ) i ξ ξ L ( ) L (, ) L ( ) L ( ), L ( ), a i, j m m m m k a ξ = a ξ ξ i ξ j ξ i ξ = k i ξi ξk k = m =, ξ [, + ]. (4.57) m Oczywiście fukcje kształtu L a (ξ), jak wielomiay iterpolacyje i jak L ( ξ ), muszą mieć własość L a (ξ b ) = δ ab, a,b =,,...,. 4-węzłowy 9-węzłowy 6-węzłowy i Rys Użyte w pracy Lagrage owskie elemety skończoe

117 4.3. Aproksymacja, przemieszczeiowe powłokowe elemety skończoe Iterpolacja tesora obrotu Poieważ grupa obrotów ie posiada struktury przestrzei liiowej, bezpośredia iterpolacja składowych tesora obrotu typu (4.56) wyprowadza tak iterpoloway obiekt z grupy. Problem te rozwiązao pośredio przez iterpolację parametryzacji grupy obrotów z dodatkowym przeciągięciem fukcji T (ξ) w otoczeie elemetu eutralego SO(3), gdzie ajwoliej arasta błąd iterpolacji (por. Chróścielewski [996]). Wykorzystuje się tutaj fakt, że tesor T jest (lokalie) reprezetoway przez trzy parametry obrotu ϑ = (ϑ,ϑ,ϑ 3 ) (rozdz. ). Procedura iterpolacji składa się z astępujących kroków. Ustala się typowego reprezetata R zbioru tesorów węzłowych elemetu {(T ) a, a =,,...,}. Przeciąga się tesory ( T ) = R T a ( T ), a =,,..., w otoczeie SO(3). Dla każdego a ( T ) a oblicza się wartości węzłowe ϑ (parametry obrotu). W dowolym pukcie parametry obrotu ϑ ( ξ) a iterpoluje się a podstawie zbioru { ϑ a }, przy użyciu wzoru aalogiczego do (4.56). Na podstawie ϑ ( ξ) i R oblicza się tesor obrotu T( ξ) = RT ( ϑ ( ξ)). Procedurę iterpolacji tesora obrotu sumują wzory {( T ) } R, R ( T ) ϑ, a a a a= T a a a { ϑ } ϑ( ξ) = L ( ξ) ϑ, ϑ( ξ) T ( ξ) = RT( ϑ( ξ)). (4.58) Obliczaie pochodych, reguła trasformacyja Typowy elemet skończoy parametryzują współrzęde aturale (ξ, ξ ), zaś rówaia powłokowe zawierają pochode po współrzędych powierzchiowych (s, s ). Potrzeba jest zależość wyrażająca pochode po współrzędych powierzchiowych (s, s ) poprzez pochode po współrzędych aturalych (ξ, ξ ). Zgodie z założeiami p i regułą zamiay zmieych, da się zapisać układ dwóch rówań x( ξ ( s )) x ξ t a, (4.59) α β α β β = = α = sβ ξα sβ zaś z iloczyu skalarego, uwzględiając t3 = t t, oblicza się występujące w (4.59) współczyiki ξα x( ) x ( ) = itβ ( ) = it ( ) eβ, α, β =,. (4.6) s ξ ξ β α α Obliczoe z (4.6) współczyiki pozwalają, z zastosowaiem reguły zamiay zmieych, obliczać pochode po (s, s ). Różiczkowy elemet powierzchiowy, wykorzystyway przy umeryczym obliczaiu całek, jest określoy przez współrzęde aturale i ma postać s β da= ds d s = α( ξ )dξ dξ, α( ξ) = det. (4.6) ξα

118 8 4. Zagadieie początkowo-brzegowe Stopie swobody, iterpolacja zmieych kiematyczych Poszukiwaymi zmieymi w zliearyzowaej zasadzie przemieszczeń wirtualych (4.58) jest pole wektorowe w. Wykorzystując doświadczeia uzyskae w badaiach statyczych, w pracy wybrao parametryzację grupy obrotów poprzez wektor obrotu skończoego w, o jaso określoej przez (4.3) iterpretacji geometryczej. W tym przypadku ze struktury w i przyjętej iterpolacji wielomiaami Lagrage a wyika, że w każdym węźle a typowego -węzłowego elemetu skończoego będzie występować sześć parametrów q ua u( ξa) q qa =, a =,,..., q( e) =. (4.6) θa θ( ξa) q Wektory q a i q (e) w kotekście (4.3) składają się z sekwecji fizyczych składowych wektorów przyrostu traslacji u a i wektorów przyrostu wektora obrotu θ a zapisaych jako macierze jedokolumowe. Na podstawie (4.6) iewiadome problemu (4.58) są iterpolowae poprzez ich wartości węzłowe według reguły gdzie u( ξ) w( ξ) = = L( ξ) q θ( ξ) L( ξ) = [ L ( ξ) L ( ξ) L ( ξ)], ( e), (4.63) La ( ξ) La ( ξ) = La ( ) ξ (4.64) jest macierzą kształtu złożoą z fukcji iterpolacyjych L a ( ) (fukcji kształtu (4.57)). Wyikowy elemet skończoy w każdym węźle a ma wszystkie sześć stopi swobody, trzy traslacje i trzy obroty. Rys Powłokowy elemet skończoy: węzłowe stopie swobody