Metody numeryczne. Marek Lefik. Wykład 1 Studia doktoranckie

Transkrypt

1 Metody umerycze Marek Lefik Wykład 1 Studia doktorackie

2 Metody umerycze: wstęp ogóly

3 Czemu służą MN Rozwiązaia symbolicze zagadień brzegowych dla skomplikowaej geometrii ie jest możliwe Rozwiązaia symbolicze zagadień ieliiowych awet dla prostej geometrii ie jest możliwe Nawet jeśli rozwiązaie symbolicze jest możliwe, wymaga często idywidualego, twórczego podejścia. Nie jest wykoale dla osoby ie będącej matematykiem i ie mającej fatazji twórczej... MN są automatyczym sposobem uzyskiwaia rozwiązań przybliżoych skomplikowaych problemów. Przybliżeia te są bardzo dobre! 3

4

5 Róże metody umerycze Algorytmy związae z rachukiem macierzowym Algorytmy związae z aalizą spektralą Algorytmy związae z aproksymacją i iterpolacją...ie... Metody umerycze rozwiązywaia rówań różiczkowych zwyczajych Metody umerycze rozwiązywaia zagadień brzegowych: MES, MRS, MEB... Algorytmy stochastycze Sztucze sieci euroowe (CA, BBN, BPN) I bardzo wiele iych... 5

6 Czemu służy Model Numeryczy Zastępuje drogi eksperymet symulacją: ocea wpływu parametrów jest wartością pozawczą Pozwala aalizować wariaty aby wybrać ajlepszy Pozwala oceić zagrożeia Symulowaie procesów przemysłowych Aaliza daych eksperymetalych problem odwroty Aaliza a posteriori : ocea przyczy dla zaych skutków 6

7 strategie Komputer Wielkie, uiwersale kody aukowe, Wielkie, uiwersale kody komercyje Użytkowik i jego idywidualy problem 7

8 Strategie formułowaia i rozwiązywaia zadań umeryczych Komputer Wielkie, uiwersale kody aukowe, Wielkie, uiwersale kody komercyje Użytkowik i jego idywidualy problem komputer osobisty iteret otwarte środowiska programowaia Mogość dostępych algorytmów Kod osobisty użytkowika rozwiązujący jego problem 8

9 Dyskretyzacja Trzeba zastąpić układ rówań różiczkowych z iewiadomymi fukcjami określoymi a obszarze Ω będącym fragmetem kotiuum materialego- Problemem określoym a zbiorze puktów M z obszaru Ωprowadzącym do rozwiązaia układu rówań algebraiczych. Rozwiązaie tego układu rówań w powio być bliskie (w wybraym sesie) wartościom iewiadomych fukcji rozwiązań układu rówań różiczkowych w puktach zbioru M obszaru Ω. 9

10 Dyskretyzacja Niech będzie day problem F: f f zaleźć f ( x) : F p ( x), f ( x), ( x),.., ( x) = 0 x Ω gdzie Ω jest podzbiorem kotiuum materialego. Zaleźć takie zagadieie Ψ: { p} { f f f f } { x} ( ) 0 1 N Ψ,,,,..,, = 0 Określoe a zbiorze M zawierającym N wektorów Χ wybraych w Ω: { x} M gdzie jest wektorem małych parametrów, a wektor p oblicza się wg wzoru:, Że jego rozwiązaie: ma astępującą własość: i tol jest małym parametrem (toleracja). N { pi} = p ( xi ) N { } f = f0, f1, f,.., fn N { } ( ) N Χ = M 0, 1,,.., N { x x x x } max f x f tol (0) i i 10

11 Dyskretyzacja Jeśli zagadieie dyskrete Ψjest zależe od ciągu małych parametrów, { x} M to moża waruek (0) zastąpić astępującym: lim max f x f tol (0.1) x 0( ( ( ) ) i i i Zazwyczaj udaje się podać rówież sposób przybliżaia pochodych ( x),.., ( x) przy pomocy elemetów rozwiązaia Ψ, czyli wektora f = { f } 0, f1, f,.., fn f f 11

12 Metody umerycze: MRS Metoda Różic Skończoych 1

13 MRS Metoda Różic Skończoych Jak przejść od zapisu zagadieia zdefiiowaego z użyciem pochodych, określoego a zbiorze będącym kotiuum materialym -do zapisu operującego wartościami dyskretymi zdefiiowaymi a skończoym zbiorze puktów wybraych z kotiuum materialego (a siatce puktów)? Jak wybrać właściwe operatory różicowe? Jak sformułować waruki brzegowe? Numerical Solutio of Partial Differetial Equatios: Fiite Differece Methods AutorG. D. Smith W Polsce specjalista w dziedziie MRSjest Prof. J. Orkisz 13

14 Przykład rówaie Laplace a f f y + = 0 f(x,y) jest fukcją skalarą określoą w Ω, zadae są wartości brzegowe a brzegu Ω f x 1 f f + f dx f y i 1, j i, j i+ 1, j 1 f f + f dy dy i, j 1 i, j i, j+ 1 = dx = j y y Schemat siatki a fragmecie Ω f f 1 + f i, j 1 + fi, j+ 1 + fi 1, j + fi+ 1, j f i, j y x 1 fi, j 1 + fi, j+ 1 + fi 1, j + fi+ 1, j fi, j = 0 f = f + f + f + f ( + + ) ( ) i, j i, j 1 i, j 1 i 1, j i 1, j 1

15 Przykład rówaie Laplace a Schemat moża przedstawić symboliczie : (a) Aproksymacja drugiego rzędu, Realizacja umerycza aproksymacji drugiego rzędu, bazująca a wzorze ()(str.0) zajduje się w pliku EXCELL: laplace.xlsx (b) Aproksymacja czwartego rzędu Przemyśleć podoby przykład z aproksymacją czwartego rzędu

16 Wyelimiowaie operatorów różiczkowaia przez zastąpieie ich operatorami różicowymi. Operator różiczkowaia działa a iezaą fukcję f(x). Rówaie różiczkowe zwyczaje moża zapisać przy pomocy formuły (gdzie p(x) jest daą fukcją): f f zaleźć f ( x) : F p ( x), f ( x), ( x),.., ( x) = 0 x x Na przykład, F()=0 może wyglądać astępująco: f p ( x) ( ) + ( ) = x EJ p ( x ) λ 0 f x x (Jest to rówaie belki Wiklera, używae w przykładzie rachukowym, k to współczyik sztywości podłoża: reakcja_podłoża(x)=k*ugięcie(x) ) λ = k EJ Iy zapis tego samego rówaia... EJ λ ( x) = 1 f f 16

17 Wyelimiowaie operatorów różiczkowaia przez zastąpieie ich operatorami różicowymi. Operator różicowy ϕ działa a ciąg wartości fukcji wziętych w bliskich sobie puktach: f ( ) ( ) x0 = ϕ f ( x0 ), f ( x1 ),.., f ( x ), x1, x,.., x + bl. zastąpieia xi = xi xi 1 x1 = x0 + x0 x = x 1 + x 1 Zakładamy, że błąd zastąpieia jest mały, rzędu potęgi x: f ( x ) ϕ ( f ( x ), f ( x ),.., f ( x ), x, x,.., x ) Na przykład, iloraz różicowy pozwalający a przybliżeie pierwszej pochodej wygląda (oczywiście) astępująco: f ( x ) ϕ ( f ( x ), f ( x ),.., f ( x ), x, x,.., x ) = ( f ( x ), f ( x ), x ) = ϕ = f ( x ) f ( x ) 1 0 x1 17

18 Wyelimiowaie operatorów różiczkowaia przez zastąpieie ich operatorami różicowymi. f ( x ) ϕ ( f ( x ), f ( x ),.., f ( x ), x, x,.., x ) f 0 ( 0), ( 1),.., ( ), 1,,.., ( x ) ϕ ( f x f x f x x x x ) f ( x0 ) ϕ ( f ( x0 ), f ( x1 ),.., f ( x ), x1, x,.., x ) = x f f F0 p( x0 ), f ( x0 ), ( x0 ),.., ( x0 ) 0 ( ϕ ( ) ϕ ( ) ϕ ( )) F f.. f, x.. x, f.. f, x.. x,.., f.. f, x.. x ( ) Ψ0 p0, f0, f1, f,.., f, x0.. x 1 = 0 f x f ( ) i 18 i

19 Wyelimiowaie operatorów różiczkowaia przez zastąpieie ich operatorami różicowymi. Układ rówań zawierających iewiadome wartości f i powstaie po zapisaiu F i we wszystkich wybraych puktach obszaru Ω f f Fi p ( xi ), f ( xi ), ( xi ),.., ( xi ) 0 = ( p f f f f x x ) Ψ p, f, f, f,.., f, x.. x = 0 i i ( ) Ψ p, f, f, f,.., f, x.. x = ( ) Ψ1 p1, f0, f1, f,.., f, x0.. x 1 = 0 ( ) Ψ p, f, f, f,.., f, x.. x =

20 Wyelimiowaie operatorów różiczkowaia przez zastąpieie ich operatorami różicowymi. Dla obliczeia ϕ i zapiszmy układ rówań wyikający z rozwiięcia iezaego rozwiązaia f(x) rówaia różiczkowego zwyczajego F(p(x),f(x),f (x),..,f(x))=0 w szereg Taylora w otoczeiu o promieiu N x puktu x 0 we wętrzu odcika, dla którego apisao rówaie F: f : = f ( x ) 0 0 f x f x f 1 : ( 0 ) ( 0) ( ) ( ) ( ) ( ) f = f x + x = f x + x x + x + + x + Ο x!! ( x) ( x) + 1 ( ) f f f f : = f ( x0 + x) = f ( x0 ) + x ( x0 ) + ( x0 ) x0 + Ο x!! ( ) ( ) ( N x) ( N x) f f f 0 0 ( 0 ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) fn : = f ( x + N x) = f ( x ) + N x x + x x + Ο N x!! 0

21 Wyelimiowaie operatorów różiczkowaia -> zastąpieie operatorami różicowymi: Dla obliczeia ϕ i zapiszmy układ rówań wyikający z rozwiięcia iezaego rozwiązaia f(x) rówaia różiczkowego zwyczajego F(p(x),f(x),f (x),..,f(x))=0 w szereg Taylora w otoczeiu o promieiu N x puktu x 0 we wętrzu odcika, dla którego apisao rówaie F: x x x.. f ( x0 )!! f1 f 0 ( x) ( x) f f f 0 x.. ( x 0 ) =!! x :.... : fn f 0 ( N x) ( N x) f N x.. ( x0 )!! (1) 1

22 Wyelimiowaie operatorów różiczkowaia -> zastąpieie operatorami różicowymi: Wartości pochodych w pukcie x 0, jeśli =N, oblicza się z układu rówań: f x x ( x0 ) x..!! f1 f0 f ( ) ( x) ( x) x 0.. f f x 0 = iverse!! : :.... f N f0 f ( x ) ( N x) ( N x) 0 N x..!!

23 Wyelimiowaie operatorów różiczkowaia -> rówoważy (w przybliżeiu) układ rówań zwyczajych Rozwiazaieukł. rówa(1) dla =N=: f 1 f f 3 f f 0 A x 0 x 1 x x 3 x B gwiazda dla I poch. w przód : -5/1-3 /3-1/ gwiazda dla II poch. w przód : : gwiazda dla III poch. w przód : : gwiazda dla IV poch. w przód : j: 35/1-5/ 1-5/ /6-1/3 11/ / 6-1 3

24 Wyelimiowaie operatorów różiczkowaia -> rówoważy (w przybliżeiu) układ rówań zwyczajych Rozwiazaieukł. rówaaalogiczego do (1), ale zapisaego dla różic cetralych dla =N=: f 0-1 f 0 f 1 f f 0- A x - x -1 x 0 x 1 x B gwiazda dla I poch. cetralej: 1/1 -/3 0 /3-1/1 gwiazda dla II poch. cetralej: -1/1 /3-5/ /3-1/1 gwiazda dla III poch. cetralej: -1/ / gwiazda dla IV poch. cetralej:

25 Globaly układ rówań (w przód w tym przypadku) tworzy się astępująco: ( ) p x EJ λ ( x) = 1 i-te rówaie ma postać: -5/1-3 /3-1/ f 35/1-5/6-57/6-1/3 11/1 f -5/ / x fi f i 1 p ( x) + λ 1 = 1 fi+ EJ dx f Przykład realizacji umeryczej takiego układu dla aproksymacji drugiego rzędu różicami cetralymi w pliku EXCELL: belka_rozice_cetrale_uklad_rownan_wikler.xlsx i+ 3 fi+ 5

26 f f f ( x ) = f 0 A = f 0 A Waruki brzegowe dla puktu A Rozważmy astępujące waruki a krańcu przedziału, w p. A (żółte = dae): 3 f f ( x ) = f 0 A ( x ) 3 0 A ( x ) 0 = = f f IV A f A dx f dx A f dx A IV f A dx 3 = f 0 A -5/1 35/1-5/ 1 f 1-5/6 9 - f f 3 f x 0 x 1 x x 3 x -3 /3-1/ -57/6-1/3 11/ / 6-1 B f A f 1 f f 3 f 6

27 Waruki brzegowe dla puktu A Poiższy układ rówań wystarczy w jakikolwiek sposób dołączyć do globalego układu, ajprościej odwracając, i wpisując obliczoe f 1, f, f 3, f jako wiadome do układu globalego Proszę opisać szczegółowo jak zrobioo to w pliku EXCELL: belka_rozice_cet rale_uklad_row NAN_wikler.xlsx f A dx f dx A f dx A IV f A dx 3 = f 0 A f 1 f f 3 f x 0 x 1 x x 3 x -5/1 35/1-5/ 1-5/ /3-1/ -57/6-1/3 11/ / 6-1 B f A f 1 f f 3 f 7

28 Iy sposób a otrzymaie rówań Metody Różic Skończoych Rozważmy astępujący algorytm: przyjąć fukcję wielomiaową potrzebego stopia o iewiadomych współczyikach zapisać wartości tego wielomiau f 0, f 1,..f i,.. f, w pukcie x 0 i w sąsiedich puktach: x 0 +i*dx, i=1.. Wyrazić współczyiki wielomiau przy pomocy f 0, f 1,..f i,.. f Obliczyć potrzebe pochode tego wielomiau, które są teraz fukcjami f 0, f 1,..f i,.. f Przykład realizacji tego algorytmu w otacji MAPLE a: a0,a1,a 8

29 Iy sposób a otrzymaie rówań Metody Różic Skończoych przyjąć fukcję wielomiaową potrzebego stopia o iewiadomych współczyikach i spełiająca potrzebe waruki brzegowe w pukcie x 0, który ależy do brzegu Dalej jak poprzedio... Tego sposobu moża użyć do łatwego defiiowaia waruków brzegowych W te sposób łatwo też zdefiiować operatory różicowe metody różic skończoych dla fukcji f(x,y) a siatce iej iż prostokąta (a przykład regulara trójkąta) Proszę rozwiąć te myśli w ramach zaliczeia i w miarę zaiteresowaia zagadieiem...