STABILNOŚĆ RUCHU (MOTION STABILITY)

Transkrypt

1 Boguslaw Radziszewski STABILNOŚĆ RUCHU (MOTION STABILITY) Wstęp.... Podstawowe defiicje teorii stabilości O stabilości metod i modeli Podstawowe defiicje stabilości.... Stabilość liiowych i zliearyzowaych rówań ruchu Rówaia liiowe o stałych współczyikach Idea D-podziału Rówaia liiowe o zmieych współczyikach Stabilość a podstawie liiowego przybliżeia Stabilość a podstawie liiowego przybliżeia przypadek krytyczy Redukcja liczby stopi swobody Eergia potecjala jako kryterium stabilości Rówaia Lagrage'a i Hamiltoa Twierdzeie Lagrage'a - Dirichleta Wpływ sił rozpraszających eergię a stabilość ruchu Wpływ sił giroskopowych a stabilość ruchu Nierówości całkowe w teorii stabilości Metoda bezpośredia Lapuowa Podstawowe twierdzeia metody bezpośrediej Stabilość względem części zmieych Stabilość przy stale działających zaburzeiach Przykłady kostrukcji fukcji Lapuowa Szacowaie obszaru stabilości Wykładik Lapuowa Metoda rówań graiczych Stabilość i ierówości całkowe Przykłady Stabilość ruchu z uderzeiami Ogóla charakterystyka układów z uderzeiami Ruch okresowy układu z uderzeiami Stabilość rozwiązań rówań rekurecyjych Stabilość Lapuowa ruchu okresowego z uderzeiami Stabilość orbitala ruchu okresowego z uderzeiami Stabilość rozwiązań rówań sumaryczo różicowych... 6

2 7. Stabilość ieizolowaych położeń rówowagi Przykłady Badaie stabilości rozmaitości rówań ruchu Metoda bezpośredia Lapuowa badaia zbiorów iezmieiczych Stabilość ruchu okresowo zmieego Stabilość ruchu z uderzeiami z rozmaitością puktów stałych Stabilość rozwiązań rówań o pochodych cząstkowych Stabilość rozwiązań rówań z przesuiętym argumetem Rówaia liiowe o stałych współczyikach i stałych opóźieiach Rówaia ieliiowe Stochastycza stabilość ruchu... 8 Literatura WSTĘP Stabilość (stateczość) to jedo z podstawowych pojęć używaych w wielu dziedziach auki techiki a także życia codzieego. Najogóliej ujmując określa oo odporość obiektów procesów itp. których sta z biegiem czasu może ulegać zmiaie a różego rodzaju zaburzeia wewętrze lub zewętrze. I chociaż ituicyjy ses tego pojęcia wydaje się bardzo czytely to jedak w różych obszarach zaiteresowań człowieka adawae są mu róże zaczeia. Te róże pojęcia stabilości żyją dalej własym życiem gdyż często ie ma łączości między różymi dziedziami działalości człowieka. Dotyczy to także całkiem bliskich sobie dziedzi auki i techiki. Problem pojawia się już w samej azwie. W języku polskim występują stateczość (pochodząca od łacińskiego stare - stać) i stabilość (pochodząca od łacińskiego stabilis - stały). W mechaice kostrukcji (wytrzymałości materiałów teorii sprężystości) ale też i w mechaice ogólej często używa się azwy stateczość podczas gdy w matematyce automatyce mechaice płyów elektroice eergetyce chemii biologii ekoomii itp. stosuje się a ogół azwę stabilość. W języku potoczym mówi się raczej o stabilej sytuacji ale jedocześie o stateczym człowieku. Oczywiście zdarzają się odstępstwa od tych reguł. Rozróżieie tych pojęć staje się zrozumiałe gdy przyjrzymy się procesom którym przypisywaa jest własość stabilości lub stateczości. W mechaice kostrukcji ajczęściej bada się waruki przy których obiekt (p. kostrukcja prętowa powłoka lub iy ustrój odkształcaly) pozostaje w staie rówowagi. Stąd stateczość jest kojarzoa zwykle z odporością położeia rówowagi a zaburzeia zewętrze. W iych dziedziach częściej badae są własości ruchu obiektu stąd przyjęło się stosować azwę

3 stabilość. A przecież moża rozważać zarówo dyamicze zmiay obiektów odkształcalych jak i przyjąć że położeie rówowagi jest szczególym przypadkiem ruchu. Własość stabilości (lub iestabilości) jest cechą kokretego ruchu ustaloego (położeia rówowagi) układu. Jeśli każdy ruch układu tj. ruch przy dowolych wartościach początkowych jest stabily to mówi się o stabilości układu. W układach liiowych których wszystkie ruchy są albo stabile albo iestabile stwierdzeie stabilości jedego wybraego ruchu tj. ruchu przy zadaych wartościach początkowych upoważia do azwaia układu stabilym. Podobe postępowaie w przypadku układów ieliiowych jest ie uprawioe i może prowadzić do błędej ocey układu. Ocea stabilości wybraego ruchu ie jest możliwa bez zbadaia przebiegu ruchów sąsiedich tj. ruchów z bliskimi wartościami początkowymi. Aby stwierdzić stabilość ruchu układu ależy zbadać czy po małym dowolym zaburzeiu ruch układu powraca z czasem do stau ustaloego (stabilość asymptotycza) pozostaje w iezaczej odległości od iego (stabilość) czy też całkowicie zmieia swój charakter (iestabilość). Powstaje jedak pytaie co to zaczy małe dowole zaburzeie. Może się zdarzyć że teoretyczie stabily ruch układu jest w rzeczywistości iestabily gdyż ruch ustaloy układu jest odpory jedyie a bardzo małe zaburzeia. W przypadku układów liiowych stabily ruch układu jest odpory a dowolie duże zaburzeia (stabilość globala) co ajczęściej ie ma miejsca w układach ieliiowych. W układach ieliiowych zachodzi potrzeba poszukiwaia obszarów stabilości ruchu (w przypadku stabilości asymptotyczej azywaych obszarami przyciągaia) to jest określeia jakim maksymalym zaburzeiom może podlegać wybray ruch układu aby spełioe zostały waruki stabilości ruchu. Małe dowole zaburzeie wiąże się w tym przypadku z dowolym zaburzeiem ależącym do pewego otoczeia wybraego ruchu. Stwierdzeie że ruch ustaloy układu jest w określoy sposób stabily oraz wyzaczeie jego obszaru stabilości też może w praktyce być iewystarczające. Na przykład jeśli awet wiemy że ruchy sąsiedie z czasem dążą do ruchu ustaloego to bez określeia szybkości powrotu układu do tego ruchu (szybkości zaiku procesów przejściowych) ie możemy powiedzieć że układ jest odpory a zaburzeia. Dopiero jeśli oceimy że powrót do ruchu ustaloego astępuje w wystarczająco krótkim czasie to możemy być pewi że układ jest w pełi stabily. 3

4 Dokłada graica obszaru stabilości jest zaa tylko w ieliczych przypadkach. Chodzi raczej o określeie gwaratowaego obszaru stabilości to jest oszacowaia obszaru stabilości od bezpieczej stroy. Mamy wtedy pewość że układ jest odpory a zaburzeia ie przekraczające graic gwaratowaego obszaru stabilości. Iym zagadieiem jest wyzaczeie obszaru stabilości w przestrzei parametrów układu i związay z tym problem bifurkacji. Tak rozumiay obszar stabilości ozacza zbiór tych parametrów geometryczych bezwładości sprężystości i tłumieia układu których wybray ruch lub cały układ jest w określoym sesie stabily. Bifurkacja jest rodzajem iestabilości: małe zmiay parametrów wywołują całkowitą zmiaę charakteru ruchu układu. Problemy te mieszczą się jedak raczej w ramach rozwijaej rówolegle z teorią stabilości - teorii chaosu. Ocea stabilości ruchu układów liiowych w których współczyiki rówaia wiążącego prędkości i przemieszczeia uogólioe układu ie zależą od czasu jest sprawą stosukowo prostą. Wygodym mierikiem stabilości takich układów są wartości włase macierzy współczyików rówaia. Ta łatwość ocey stabilości układów liiowych prowadzi czasem a maowce gdy metody ocey stabilości układów liiowych o stałych współczyikach próbuje się bez sprawdzeia odpowiedich założeń wykorzystać do badaia układów liiowych z macierzą zależą od czasu lub układów ieliiowych. Jedą z metod stosowaych do ocey stabilości układów ieliiowych jest metoda liearyzacji. Polega oa rozwiięciu fukcji występującej w rówaiu ruchu układu w szereg potęgowy w otoczeiu rozwiązaia odpowiadającego badaemu ruchowi i odrzuceiu wyrazów stopia wyższego iż jede. Jedakże aby a podstawie przybliżeia liiowego możliwe było wyciągaie wiosków dotyczących stabilości układu ieliiowego koiecze jest aby odrzucoe wyrazy ieliiowe wraz ze zbliżaiem się do ruchu ustaloego odpowiedio szybko zmierzały do zera. A o tym waruku czasem zapomia się. Podobie jak i o iej właściwości metody liearyzacji: a podstawie zaych dotychczas twierdzeń tej metody ie moża było dokoać ocey obszaru stabilości i szybkości zaikaia procesów przejściowych układu ieliiowego. Do ituicyjego wprowadzeia pojęcia stabilości pomoce jest pojęcie "stau" który iezależie od tego czy rozważay układ ma skończoą liczbę stopi swobody czy ieskończoą jest "puktem" w pewej przestrzei "stau". Użyliśmy tutaj cudzysłowu 4

5 aby adać ujętym w ie wyrazom zaczeia "uogólioego". W przypadku układów dyskretych pukt te wyzaczają aktuale położeie i prędkość które są skończoym ciągiem liczb - wektorem a w przypadku układu ciągłego - skończoym ciągiem fukcji. Pierwsze odbywa się w skończeie wymiarowej przestrzei euklidesowej a drugie w pewej przestrzei fukcyjej. Ograiczymy dalej rozważaia do przypadków gdy sta w każdej chwili czasu jest jedozaczie wyzaczoy przez waruki początkowe. Aby stwierdzić czy jakiś sta rozważaego obiektu wyzaczoy przez określoe waruki początkowe jest stabily czy ie ależy obserwować zachowaie się staów sąsiedich w rozszerzoej o czas przestrzei stau. Jeżeli wszystkie stay "sąsiedie" stau wyróżioego zajdujące się "blisko" iego w chwili początkowej pozostają w jego "bliskim" otoczeiu iezależie od tego ile czasu upłyęło od chwili początkowej to rozważay sta wyróżioy jest "stabily". Jeżeli poadto z biegiem czasu wszystkie stay sąsiedie zbliżają się do iego ieograiczeie to sta wyróżioy jest asymptotyczie stabily. Idąc dalej wprowadzając pojęcie trajektorii jako reprezetata jedej z realizacji ruchu puktu reprezetującego sta dochodzimy przy badaiu stabilości do rozważań o charakterze topologiczym o wzajemych relacjach między trajektoriami. Rozważań takich jedak ie będzie gdyż wymagałoby to rozwiięcia szeregu pojęć podstawowych. Zwróćmy jeszcze uwagę a jedą istotą różicę w badaiu stabilości układów ieliiowych których sta dyamiczy jest reprezetoway w skończeie wymiarowej przestrzei euklidesowej (układy mechaicze o skończoej liczbie stopi swobody) i przestrzei fukcyjej (układy ciągłe układy z przesuiętym argumetem). W pierwszym przypadku posługujemy się zwykłą miarą odległości dwóch puktów w przestrzei euklidesowej. Aby moża było posługiwać się tym aparatem rówież w przypadku gdy sta dyamiczy reprezetoway jest przez fukcję lub ciąg fukcji "przypisuje" się każdemu staowi takiego układu miarę liczbową w postaci odpowiediego fukcjoału. Rozdział te rozpoczya się od klasyczych defiicji i twierdzeń dotyczących stabilości ruchu układów mechaiczych opisywaych rówaiami różiczkowymi zwyczajymi ale tylko ajbardziej podstawowe zajdujące zastosowaie w aukach techiczych. Niezbęde oe są rówież po to aby pokazać jak te klasycze pojęcia i wyiki mogą być uogólioe a rówaia o pochodych cząstkowych oraz a ie coraz częściej spotykae modele matematycze rówań ruchu takie jak rówaia z 5

6 przesuiętym argumetem czy rówaia stochastycze. Dalej uwagę zwraca się także a stabilość ruchu z uderzeiami i ruchu układów ieholoomiczych. Najwięcej uwagi poświęcoo metodzie bezpośrediej Lapuowa badaia stabilości. W celu wyjaśieia skuteczości różych metod podao rówież podstawy badaia stabilości metodą ierówości całkowych. Zwrócoo także uwagę a metodę rówań graiczych.. PODSTAWOWE DEFINICJE TEORII STABILNOŚCI Ograiczmy się do przypadku kiedy modelem matematyczym układu jest rówaie różiczkowe zwyczaje pierwszego rzędu gdzie f : R R f ( t ) (.) a R jest pewym obszarem zawierającym początek układu współrzędych. W całym rozdziale wzór typu (.) traktuje się jako rówaie wektorowo macierzowe lub układ rówań (przy ). W przypadku układów mechaiczych każde rozwiązaie ( t t ) rówaia (.) odpowiada pewemu ruchowi układu o warukach początkowych ( t ) R. Założymy że ruch układu spełia waruki fizyczej ciągłości. W związku z tym przyjmiemy że fukcja f jest a tyle gładka że przez każdy pukt ( t ) R przechodzi jedo i tylko jedo rozwiązaie ( t t ) spełiające waruek ( t t ). Warukiem wystarczającym a to jest spełieie przez fukcję występującą po prawej stroie rówaia (.) waruku Lipschitza. W rozważaej skończeie wymiarowej przestrzei euklidesowej waruek Lipschitza ozacza że dla każdej pary puktów R istieje stała L taka że f ( t L. (.) ) f ( t ) O tym że waruek Lipschitza jest tylko warukiem dostateczym możemy przekoać się rozwiązując zadaie ( ) gdzie ( t) jest fukcją skalarą. Moża sprawdzić że rówaie to ma jedozaczie wyzaczale rozwiązaie że fukcja f ( t ) pomimo t ie spełia globalego waruku Lipschitza (.). Jedozaczość tak jak tutaj może być tylko przy wybraych wartościach początkowych. W dalszych rozważaiach zakłada się że fukcje występujące po prawej stroie rówaia zapewiają przedłużalość rozwiązań do ieskończoości. Zauważmy że ie wystarczy w 6

7 tym celu spełieie waruku Lipschitza. Rówaie (.) moża otrzymać a przykład wtedy gdy rozważamy ruch układu holoomiczego o eergii kietyczej T( q q) ( q A( q) q) potecjalej V V( q) i fukcji dysypacji Rayleigh a R( q q) ( q H( q) q) gdzie q R - wektor współrzędych uogólioych A( q) H( q) - symetrycze macierze bezwładości i tłumieia. W tym przypadku rówaia Lagrage a drugiego rodzaju przyjmują postać A( q) q F( t q q ) (.3) gdzie F [ F... F ] T q [ q... q ] T a q q i F ( i... m ) ozaczają odpowiedio współrzęde uogólioe prędkości uogólioe i siły uogólioe. W teorii stabilości a ogół rozważa się modele matematycze zapisae w postaci układu rówań różiczkowych pierwszego rzędu. Układ rówań (.3) moża sprowadzić do układu (.) wprowadzając owe zmiee q q i ozaczając. Wtedy układ m rówań drugiego rzędu (.3) moża zastąpić układem m rówań pierwszego rzędu (.) z fukcją f ( t ). (.4) A ( ) F( t ) Będziemy zakładać że fukcja f spełia waruek f ( t ) co ozacza że rówaie (.) ma rozwiązaie zerowe ( t t ). Z puktu widzeia aalizy stabilości waruek te ie ograicza ogólości rozważań gdyż może o ozaczać zarówo badaie stabilości położeia rówowagi jak i dowolego wybraego ruchu. Jeśli bowiem iteresuje as stabilość pewego ruchu ~ ( t t ) (zwaego ruchem iazaburzoym) układu mechaiczego opisaego rówaiem (.) z fukcją ~ f to ależy zbadać odchyleie dowolego ruchu zaburzoego ( t) od ruchu iezaburzoego ~ ( t ) a więc różicę y( t) ( t) ~ ( t ). Problem sprowadza się wtedy do aalizy rozwiązaia zerowego rówaia zaburzeń y f ( t y) (.5) ~ gdzie fukcja f ( t y) f ( t y ( t ) ~ ~ ( t )) f ( t ~ ( t )) spełia waruek f ( t ). Określeie modelu układu mechaiczego w postaci rówaia (.) ozacza 7

8 zdefiiowaie pola wektorowego w przestrzei fazowej rówaia (.) to jest w przestrzei przemieszczeń i prędkości. Ozacza to że ruchowi układu mechaiczego w przestrzei fizyczej odpowiada jedozaczie ruch puktu reprezetującego w przestrzei fazowej a rozwiązaiom rówaia (.) - trajektorie w przestrzei fazowej. Tego typu iterpretacja geometrycza jest szczególie przydata w przypadku układów o jedym stopiu swobody to jest gdy przestrzeń fazowa redukuje się do płaszczyzy fazowej. W potoczym rozumieiu tego słowa stabilość ruchu układu ozacza że przy małych zaburzeiach różica miedzy ruchem iezaburzoym i zaburzoym powia być mała lub z upływem czasu dążyć do zera. W przypadku rówaia (.) ozacza to że odległość dowolego rozwiązaia od rozwiązaia zerowego ie powia z czasem rosąć ieograiczeie lecz raczej maleć do zera... O STABILNOŚCI METOD I MODELI Przy formułowaiu wielu problemów wartości parametrów modelu są zwykle zae z pewym przybliżeiem. Metodę którą zastosujemy do badaia takiego modelu uważa się za efektywą jeśli jest oa w pewym sesie uiwersala a w szczególości daje dobre wyiki przy zmiaie (awet dostateczie małej) wartości parametrów. Tę właściwość metody moża azwać stabilością. Pojęcie stabilości jest tu rozumiae w szerokim sesie jako własość zachowaia wszystkich istotych cech modelu przy małych odchyleiach w sformułowaiu zagadieia. Często metody wykorzystują pewe specyficze zależości między parametrami modelu. W powyższym sesie mogą być oe wrażliwe a małe (awet ieskończeie małe) zmiay parametrów. Mogą oe zatem być iestabile. Rozpatrzmy teraz kilka przykładów. Pierwszy dotyczy zalezieia pierwiastków rówaia 4 6 (.6) które moża doprowadzić do rówaia 4 stopia o współczyikach całkowitych. Jak wiemy rówaie takie moża rozwiązać korzystając z rozkładu wyrazu wolego a czyiki. W rozważaym przypadku łatwo sprawdzić że są pierwiastkami rówaia (.6). W związku z tym wyzaczeie pozostałych pierwiastków sprowadza się do rozwiązaia rówaia kwadratowego. Metoda rozwiązaia tego rówaia ie jest 8

9 metodą uiwersalą. Wystarczy bowiem zmieić występujący w im wyraz woly z a p. i cała metoda "pada". Jest to przykład metody iestabilej. Przy rozwiązywaiu podobych zagadień zwykle o tym się ie mówi i wszyscy są przekoai że pozali uiwersalą metodę rozwiązywaia rówań czwartego stopia. Trudo awet stwierdzić w tym przypadku czego tu więcej korzyści z pozaia bardzo wyspecjalizowaej metody czy też straty wyikającej z przekoaia o jej uiwersalości. Drugi przykład dotyczy rówaia różiczkowego dy Ay (.7) dt w którym A jest macierzą kwadratową a y col ( y... y ). By wyzaczyć rozwiązaie ogóle tego rówaia ależy zaleźć wartości włase macierzy A (pierwiastki rówaia charakterystyczego) zbudować rozwiązaia szczególe i wziąć ich kombiację liiową. Wystarczy jedak zmieić "iezaczie" to rówaie p. dy Ay h( t y) (.8) dt w którym h( t y) może być pewą rodzią fukcji by okazało się że taka metoda jest już ieprzydata. Mamy tu do czyieia z metodą iestabilą. Nawet przy dostateczie małych zaburzeiach ie da się jej zastosować. Wyżej mówiliśmy o stabilości metod. W tym rozdziale będziemy zajmować się przede wszystkim stabilością modeli. Za model stabily uważa się taki model którego małe zmiay wartości parametrów ie powodują istotych zmia jakościowych jego własości. Stabilość jest zatem jedym z ważiejszych koieczych waruków adekwatości modelu matematyczego i rozpatrywaej rzeczywistości. Ale czy to ozacza że ie ma sesu rozpatrywaia metod iestabilych jako przypadków specjalych (zwyrodiałych krytyczych graiczych)? Oczywiście że ie ale pod warukiem że rozważaia takie ie kończą się a modelu szczególym. Okazuje się bowiem że aaliza przypadku szczególego zawiera często iformacje bardzo przydate przy rozpatrywaiu wszystkich przypadków z "otoczeia" tego szczególego. W szczególości rozwiązaie przypadku szczególego może być przyjęte jako pierwsze przybliżeie przy rozwiązywaiu modeli zaburzoych bardziej adekwatych rozpatrywaym obiektom rzeczywistym. 9

10 Wyiki zastosowaia iestabilych metod mogą mieć dużą wartość jeśli model matematyczy jest stabily. Zwróćmy przy okazji uwagę że każdą dowolie dużą klasę przypadków moża traktować jako przypadek szczególy szerszej klasy. W pewych przypadkach z aalizy zachowaia się obiektu w sytuacjach szczególych moża wioskować o zachowaiu się obiektu w sytuacjach "ormalych". Przykładem może być aaliza puktów rówowagi. Z jej wyików moża wioskować o zachowaiu się całych trajektorii (rozwiązań) przyajmiej w dostateczie małym ich otoczeiu. Rozważając model Eulera ściskaego pręta zakłada się że pręt jest jedorody i siła działa wzdłuż osi ieodkształcoego pręta. Model Eulera jest przypadkiem szczególym. Zwykle trudo mówić o jedorodości pręta i idealych warukach przyłożeia siły! Tym iemiej taki wyidealizoway model daje możliwość predykcji zachowaia się obiektów rzeczywistych w przypadku gdy "ieidealości" są małe. Podoba sytuacja ma miejsce rówież przy badaiu stabilości modeli. Zakłada się a przykład że w pewym otoczeiu człoy ieliiowe h( t ) moża oszacować w postaci lim g( ) h( t ) g( ) gdzie modelu matematyczego Jak zobaczymy m.i. po odrzuceiu tego typu małych "ieidealości" model wyidealizoway daje możliwość predykcji zachowaia się modeli rzeczywistych... PODSTAWOWE DEFINICJE STABILNOŚCI Matematyczym defiicjom pojęcia stabilości i związkom między imi poświęcoa jest bogata literatura. W ramach iiejszych rozważań zajmiemy się tylko wybraymi ajczęściej stosowaymi postaciami stabilości. Defiicja.. (stabilości w sesie Lagrage a - ograiczoość). Rozwiązaie ( t t ) rówaia (.) azywae jest ograiczoym (stabilym w sesie Lagrage a) jeśli istieje stała M taka że dla każdego i t ierówość ( t t ) M. t spełioa jest Defiicja.. (stabilości w sesie Lapuowa). Rozwiązaie zerowe rówaia (.) azywae jest stabilym w sesie Lapuowa jeśli dla każdego i t R istieje taka że dla każdego i t t spełioa jest ierówość

11 ( t t ). Z powyższej defiicji wyika że stabilość ozacza ciągłą zależość rozwiązaia od wartości początkowej i jedostajie ciągłą zależość względem czasu t t. Jeśli parametr w defiicji.. moża przyjąć iezależie od wyboru t to rozwiązaie azywae jest jedostajie stabilym. Defiicja..3 (iestabilości). Jeśli rozwiązaie zerowe rówaia (.) ie spełia waruków defiicji.. to jest azywae iestabilym. Defiicja..4 (przyciągaia). Rozwiązaie zerowe rówaia (.) azywae jest przyciągającym jeśli dla każdego t t istieje taka że dla każdego B mamy lim t ( t t ) =. Jeśli parametr moża wybrać iezależie od t a zbieżość rozwiązaia do zera jest jedostaja względem czasu to przyciągalość jest jedostaja. Rozważmy zbiór t P( t ) R lim ( t t ). (.9) Jeśli P( t ) R dla każdego t R to rozwiązaie zerowe jest globalie przyciągające. Defiicja..6 (stabilości asymptotyczej). Rozwiązaie zerowe rówaia (.) azywae jest asymptotyczie stabilym jeśli jest stabile w sesie Lapuowa i przyciągające (Lapuow 89). Jeśli rozwiązaie zerowe rówaia (.) jest jedostajie stabile i jedostajie przyciągające to jest jedostajie asymptotyczie stabile (Małki 954). Defiicja..7 (globalej stabilości asymptotyczej). Jeśli rozwiązaie zerowe rówaia (.) jest stabile i globalie przyciągające to jest globalie asymptotyczie stabile (Barbashi Krasowski 95). Defiicja..8 (stabilości wykładiczej). Rozwiązaie zerowe rówaia (.) azywae jest wykładiczo stabilym jeśli istieją > k i > takie że dla każdego t R B i t t spełioa jest ierówość ( t t ) k e ( tt ). (.) Większość powyższych defiicji została wybraa z moografii Rouche Habets Laloy (977 [5]).

12 Moża pokazać że w ogólym przypadku z przyciągalości ie wyika stabilość w sesie Lapuowa. Jeżeli prawa stroa rówaia (.) ie zależy od t lub jest fukcją okresową względem t to ze stabilości wyika stabilość jedostaja a z asymptotyczej stabilości - jedostaja asymptotycza stabilość (Yoshizawa 966). W przypadku ogólym ze stabilości wykładiczej wyika stabilość asymptotycza ze stabilości asymptotyczej ie zawsze wyika stabilość wykładicza stabilość wykładicza wyika atomiast z jedostajej stabilości asymptotyczej. Niech układ rówań ma postać gdzie f ( t ) g( t ). y f ( t y) g( t y) (.) Defiicja..9 (stabilości względem części współrzędych - Rumiacew 957). Rozwiązaie zerowe układu rówań (.) jest stabile względem zmieych jeżeli dla każdego i wszystkich t t i y. Rozważmy teraz rówaie (.) tj. t R istieje taka że t t ) dla ( y f ( t ) (.) i rówaie z zaburzeiami y f ( t y) g( t y) (.3) gdzie f ( t) a g( t y) jest zaburzeiem a ogół iezaym ale iezbyt dużym. Defiicja.. (stabilości przy stale działających zaburzeiach - Duboshi 957). Rozwiązaie zerowe układu rówań (.) jest stabile przy stale działających ograiczoych zaburzeiach jeśli dla każdej pary dowolych stałych i T istieją stałe i i fukcja ieujema (t) takie że jeżeli g( t y) ( t) przy y i tt ( s) ds t to wszystkie rozwiązaia y t t y ) rówaia (.3) spełiają ierówość ( y( t t y) dla wszystkich t t. W literaturze moża spotkać ie określeia stabilości mieszczące się w powyższym urcie takimi jak jedostaja ograiczoość ostatecza stabilość wspóla stabilość wspóla przyciągalość wspóla asymptotycza stabilość itp. Nieco wykraczającym

13 poza te ramy rodzajem stabilości jest pojęcie stabilości techiczej [636] szerzej omówioej w tomie tej serii.. STABILNOŚĆ LINIOWYCH I ZLINEARYZOWANYCH RÓWNAŃ RUCHU Jeżeli prawą stroę rówaia (.) da się przedstawić w postaci gdzie f ( t ) A( t) h( t ) (.) h( t ) przy (.) jedostajie względem t I to rówaie u A( t) u (.3) jest rówaiem zliearyzowaym rówaia (.). W szczególości rówaie zliearyzowae może mieć postać gdzie macierz A jest iezależa od czasu. u Au (.4) W przypadku liiowych rówań ruchu ze stabilości lub przyciągalości jedego rozwiązaia p. rozwiązaia trywialego wyika stabilość lub przyciągalość wszystkich rozwiązań. Tylko w tym przypadku jest zatem ses mówić o stabilości rówaia. Poza tym stabilość i przyciągalość rozwiązań takich rówań mają charakter globaly. Dla rówań liiowych o stałych współczyikach (to jest o stałej macierzy) ze stabilości asymptotyczej wyika stabilość wykładicza. Zauważmy jeszcze że dla rówań liiowych z przyciągalości wyika asymptotycza stabilość. Ostatia własość dla rówań ieliiowych może ie mieć miejsca... RÓWNANIA LINIOWE O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH Twierdzeie.. (o stabilości w sesie Lapuowa rówań o stałych współczyikach). Jeżeli wartości włase macierzy A mają iedodatie części rzeczywiste a wartościom własym o zerowych częściach rzeczywistych odpowiadają proste dzieliki elemetare to rozwiązaia rówaia (.4) są stabile. Stabilość jest tutaj oczywiście stabilością jedostają. Zauważmy poza tym zasadość zastrzeżeia o prostych dzielikach elemetarych tych wartości własych które mają 3

14 zerowe części rzeczywiste [4]. Przykład... Niech rówaie (.4) ma postać. (.5) Wartości włase macierzy A są tutaj rówe. Części rzeczywiste wartości własych są iedodatie. Rozwiązaie ma postać t. (.6) Jeżeli weźmiemy wartości początkowe spełiające waruek to jak łatwo zauważyć ( t t ). Moża sprawdzić że dzieliki elemetare w rozważaym przypadku ie są proste. Twierdzeie.. (o stabilości asymptotyczej rówań liiowych o stałych współczyikach). Jeżeli wartości włase macierzy A mają ujeme części rzeczywiste to rozwiązaia rówaia (.4) są asymptotyczie stabile. Zauważmy przy tym że stabilość asymptotycza w tym przypadku jest jedostaja i globala. Ma tutaj miejsce także stabilość wykładicza. Twierdzeie..3 (o iestabilości rówań liiowych o stałych współczyikach). Jeżeli przyajmiej jeda z wartości własych macierzy A ma część rzeczywistą dodatią to rozwiązaia rówaia (.4) są iestabile... IDEA D-PODZIAŁU W przypadku ogólym elemety macierzy A w rówaiu (.4) mogą zależeć od pewej liczby parametrów. Każdemu zbiorowi takich parametrów odpowiada określoa liczba wartości własych macierzy A z dodatimi częściami rzeczywistymi. Rozpatrzmy przestrzeń dopuszczalych dla daego układu parametrów. Ozaczmy przez D (k) ( k ) obszar tej przestrzei w którym każdemu puktowi odpowiada k wartości własych z dodatimi częściami rzeczywistymi (i k z ujemymi częściami rzeczywistymi). Wtedy oczywiście D () ozaczać będzie obszar stabilości asymptotyczej rozwiązań rówaia (.4) w przestrzei parametrów. Zauważmy że iektóre ze wspomiaych obszarów D ( k) k... mogą ie istieć. Jeśli a przykład D () jest zbiorem pustym to wtedy obszar stabilości w przestrzei parametrów ie istieje. Taki podział przestrzei parametrów a obszary w których jest ustaloa liczba wartości 4

15 własych z dodatią częścią rzeczywistą azywa się D -podziałem. Hiperpowierzchie rozdzielające obszary D (k) składają się z puktów w których jeda z wartości własych (lub większa ich liczba) ma część rzeczywistą rówą zeru. Wobec tego hiperpowierzchie te moża wyzaczyć podstawiając i do rówaia charakterystyczego zamiast wartości własej i zmieiając w przedziale ( ). Graicę D -podziału w przestrzei parametrów moża iterpretować zatem jako odwzorowaie osi urojoej płaszczyzy liczb zespoloych a której zajdują się wartości włase. Przypomijmy że w przypadku asymptotyczej stabilości wszystkie wartości włase macierzy A leżą a płaszczyźie liczb zespoloych z lewej stroy osi urojoej. Przy zamiaie wartości parametrów powodujących utratę stabilości przyajmiej jeda z wartości własych przechodzi a płaszczyźie liczb zespoloych a prawą stroę osi urojoej. Podobe przejście graicy D -podziału ma miejsce także w przestrzei parametrów. Stroy lewa i prawa graicy D -podziału moża łatwo ustalić śledząc kieruek poruszaia się po tej graicy przy zwiększaiu wartości parametru..3. RÓWNANIA LINIOWE O ZMIENNYCH WSPÓŁCZYNNIKACH Rozważmy teraz stabilość rozwiązań rówaia (.3) tj. A( t). W przypadku zależości macierzy A od czasu podae wyżej kryteria stabilości ie muszą obowiązywać. Przykład... Rozważmy rówaie si cos si cos 6t 6t 3 6t 6t 3si 6t cos 6t si 6t 3cos 6t. (.7) Moża łatwo sprawdzić że wartości włase występującej w tym rówaiu macierzy A( t) ie zależą od czasu i są rówe.. (.8) Jeda z wartości własych ma dodatią część rzeczywistą. Nie ozacza to jedak w tym przypadku iestabilości (patrz przykład 5.8.7). Przykład... Rozważmy jeszcze rówaie w postaci cos si 4t 4t si 4t cos 4t. (.9) Wartości włase występującej w tym rówaiu macierzy A( t) są rówe. Nie ozacza to jedak że rozwiązaia rówaia (.7) są asymptotyczie stabile. Rozwiązaia rówaia (.7) ie są awet stabile gdyż jak łatwo sprawdzić rówaie to 5

16 ma rozwiązaie t t e si t e cos t. Przed sformułowaiem kryterium stabilości rozwiązaia trywialego układu rówań o zmieych współczyikach wprowadźmy kilka pojęć pomociczych. Niech ( t ) będzie fukcją rzeczywistą określoą dla t. Liczbę (lub symbol lub ) s lim t l ( t ) azywa się wskaźikiem wzrostu wykładiczego fukcji ( t ). t Jeżeli p. ( t) ep( t) to s. Załóżmy że elemety macierzy A( t) są ciągłymi i ograiczoymi fukcjami czasu. Niech a przykład istieje dodatia stała c taka że A( t) c dla wszystkich t I. Wtedy moża pokazać że każde ietrywiale rozwiązaie układu rówań (.3) ma skończoy wskaźik wzrostu wykładiczego oraz ( c c ). Rozwiązaia rówaia (.3) moża oszacować w postaci t ( t) A( s) ( s) ds t a stąd a podstawie uogólioego lematu Bellmaa (patrz p.4 twierdzeie 4.) w postaci to Wobec tego jeśli t. ep( A( s) ds) ( t t ) ep( A( s) ds t a t lim t A s ds t ( ) a t ( a a ) ( c c) t lim t A s ds t ( ) t. Zbiór wszystkich wskaźików wzrostu wykładiczego rozwiązań rówaia (.3) azywa się jego widmem. Z liiowej iezależości rozwiązań rówaia liiowego z ograiczoą macierzą A( t) wyika że widmo takiego rówaia jest dyskrete. Dla rówaia ieliiowego widmo może być ciągłe i ieograiczoe. Z tego co do tej pory powiedzieliśmy wyika a c. Dokładiejsze oszacowaie widma moża uzyskać z twierdzeia Ważewskiego. Twierdzeie.. (Ważewskiego). Rozwiązaia rówaia (.3) dla wszystkich t spełiają ierówość t t t 6

17 t u ep( ( s) ds) u( t t u ) u ep( ( s) ds t gdzie ( t) ( t) ozaczają odpowiedio ajmiejszą i ajwiększą wartości włase macierzy [ A( t) A T ( t)]. Kres góry wszystkich wskaźików wzrostu wykładiczego rozwiązań azywa się ajwiększym wskaźikiem wzrostu. Twierdzeie.. (o asymptotyczej stabilości układu rówań o zmieych współczyikach). Rozwiązaie trywiale rówaia (.3) jest asymptotyczie stabile jeśli ajwiększy wskaźik wzrostu wykładiczego rozwiązań jest ujemy. W przypadku liiowych rówań ruchu mamy: ze stabilości (lub przyciągalości) jedego rozwiązaia p. rozwiązaia trywialego wyika stabilość (lub przyciągalość) wszystkich rozwiązań z przyciągalości wyika asymptotycza stabilość stabilość i przyciągalość rozwiązań mają charakter globaly. Poadto dla rówań liiowych o stałych współczyikach ze stabilości asymptotyczej wyika stabilość wykładicza..4. STABILNOŚĆ NA PODSTAWIE LINIOWEGO PRZYBLIŻENIA Rozważmy teraz rówaie (.) gdzie f ( t ) A h( t ) tj. t t A h( t ). (.) Twierdzeie.3. (o stabilości a podstawie liiowego przybliżeia). Jeżeli części rzeczywiste wartości własych macierzy A są ujeme i fukcja h spełia waruek ieliiowości (.) to rozwiązaie trywiale rówaia (.) jest jedostajie asymptotyczie stabile (Lapuow 89). Twierdzeie.3. (o iestabilości a podstawie liiowego przybliżeia). Jeżeli przyajmiej jeda z wartości własych macierzy A ma dodatią część rzeczywistą i jak poprzedio fukcja h spełia waruek ieliiowości (.) to rozwiązaie trywiale rówaia (.) jest iestabile (Lapuow 89). Twierdzeie.3.3 (o stabilości i iestabilości a podstawie liiowego przybliżeia). Jeżeli wartości włase macierzy A ie mają dodatich części rzeczywistych ale są wśród ich takie które mają zerowe części rzeczywiste to fukcję h spełiającą waruek ieliiowości (.) moża wybrać zarówo tak aby rozwiązaie trywiale rówaia (.) było stabile lub iestabile (Lapuow 89). 7

18 Podobe kryteria są słusze rówież w przypadku macierzy A zależych od czasu. W szczególości ma to miejsce wtedy jeżeli występująca w rówaiu (.) macierz A jest macierzą okresową i ajwiększy wskaźik wzrostu wykładiczego rozwiązań rówaia zliearyzowaego jest ujemy. W zastosowaiach bardzo często są wykorzystywae kryteria stabilości a podstawie części liiowej. Mają jedak oe rówież pewą iedogodość w porówaiu z iymi kryteriami. Nie dają oe miaowicie żadych iformacji o obszarze przyciągaia. Aby moża było poza rozstrzygięciem kwestii stabilości lub iestabilości oszacować obszary przyciągaia ależy do tego zastosować ie metody a wśród ich między iymi. metodę bezpośredią Lapuowa..5. STABILNOŚĆ NA PODSTAWIE LINIOWEGO PRZYBLIŻENIA PRZYPADEK KRYTYCZNY W poprzedim pukcie sformułowao twierdzeie o stabilości rozwiązaia trywialego rówaia w przypadku gdy wszystkie wartości włase macierzy A mają części rzeczywiste ujeme. Jeśli założymy że występująca w rozpatrywaym rówaiu fukcja f ( t ) A h( t ) ie zależy od t i ma pochode cząstkowe względem w pewym otoczeiu puktu to moża rozważyć także przypadek gdy macierz A ma jedą wartość własą z zerową częścią rzeczywistą a pozostałe wartości włase mają ujeme części rzeczywiste [3]. W tym celu rozważmy rówaie Niech a H ( ) a A h() (.6) h... h a a h... h ozacza macierz Jacobiego prawej stroy rówaia (.6) Twierdzeie.4. (o stabilości a podstawie liiowego przybliżeia w przypadku krytyczym). Jeżeli istieje otoczeie puktu w którym wartości włase macierzy H () przy mają ujeme części rzeczywiste to rozwiązaie trywiale rówaia (.6) jest asymptotyczie stabile (Krasowski 959)..6. REDUKCJA LICZBY STOPNI SWOBODY Z zagadieiem redukcji stopi swobody spotykamy się gdy pewe parametry fizycze 8

19 rozważego układu są bardzo małe lub bardzo duże. Wtedy rówaia ruchu mogą być zapisae w postaci gdzie f ( y) y g( y) (.7) R y R m m m m f : R R R g: R R R. Jeśli to układ składa się z m rówań różiczkowych. Jeśli to układ (.7) sprowadza się do m rówań algebraiczych g( y) (.8) oraz rówaia różiczkowego f ( y). (.8) Iteresująca jest możliwość porówaia rozwiązań układu rówań (.7) i (.8). W tym celu załóżmy że w chwili początkowej t mają oe te same wartości początkowe p. i y. Niech ( t ) y( t ) i ( t) y( t) ozaczają takie rozwiązaia odpowiedio układu (.7) i (.8). Pytaie czy przy ruch układu opisay rówaiami (.7) zmierza do ruchu opisaego rówaiami zdegeerowaymi (.8) ma twierdzącą odpowiedź. Aby to wyjaśić załóżmy że w pewym otoczeiu D puktu pierwsze rówaie układu (.8) moża rozwiązać względem y i iech y ( ) będzie pierwiastkiem izolowaym tego rówaia. Niech wszystkie pierwiastki rówaia charakterystyczego g det[ ( ( )) ] E mają dla D ujeme części rzeczywiste. Wtedy lim ( t ) ( t ) lim y( t ) y( t ) dla t ( T) gdzie T ie zależy od (może zależeć od wyboru otoczeia D puktu początkowego ). m Jeśli układ rówań (.8) da się rozwiązać tz. istieje h: R R taka że y h( ) to ostateczie zamiast układu różiczkowych m rówań różiczkowych otrzymujemy układ rówań 9

20 f ( h( )). (.9) W przypadku gdy fukcje f i h są fukcjami liiowymi układ (.7) moża zapisać w postaci A y A A A y. W tym przypadku przy z drugiego rówaia mamy A A y. Jeśli A jest macierzą ieosobliwą to rówaie (.9) moża zatem apisać w postaci A gdzie A A A A A. (.) W mechaice macierz A jest kojarzoa ze zmieymi y które reprezetują tzw. ruch szybkozmiey a zmiee ( i macierz A) ruch wolozmiey. Niech teraz oraz A f ( ) y A f ( ) g( ) f ( ) y y A g ( ) y A f ( ) y y Twierdzeie.5. (o stabilości asymptotyczej). Jeśli macierze A i A mają wartości włase z ujemymi częściami rzeczywistymi to istieje takie że rozwiązaie y układu (.7) jest asymptotyczie stabile przy. Twierdzeie.5. (o iestabilości). Jeśli przyajmiej jeda z wartości własych macierzy A lub A ma wartość własą z dodatią częścią rzeczywistą to istieje takie że rozwiązaie y układu (.7) jest iestabile przy. Przykłady rówań ruchu które mają postać układu (.7) moża zaleźć w pracy (Neumark Fufajew 967 [4]). Podobe rozważaia umożliwiają aalizę poprawości upraszczaia modeli matematyczych. 3. ENERGIA POTENCJALNA JAKO KRYTERIUM STABILNOŚCI 3.. RÓWNANIA LAGRANGE'A I HAMILTONA W układzie holoomiczym o stopiach swobody ze współrzędymi uogólioymi.

21 q R i prędkościami uogólioymi q R ozaczmy przez T T T( t q q) q A( t q) q b( t q) q d( t q) eergię kietyczą gdzie T: I R R jest obszarem w R zawierającym początek układu współrzędych A- macierz kwadratowa b macierz i d jest fukcją skalarą. Będziemy zakładać że A b i d są klasy C. Przez ozaczymy eergię potecjalą. Założymy że :I R jest fukcją klasy C. Przez Q ozaczymy siły uogólioe Q: I R R. Wystarczy aby były oe ciągłe. Rówaie Lagrage'a ma postać d dt gdzie L T jest fukcją Lagrage'a. L L Q (3.) q q Jeżeli więzy krępujące swobodę rozważaego układu ie zależą od czasu to eergię kietyczą moża zapisać w prostszej postaci gdyż w tym przypadku b i d są tożsamościowo rówe zero a A zależy tylko od współrzędych uogólioych. Jeżeli przy tym macierz A jest dodatio określoa to z rówaia Lagrage'a (3.) moża uzyskać rówaie różiczkowe rozwikłae względem q. Przypomijmy że jeżeli Q T ( t q q) q dla wszystkich ( t q q) I R to Q azywa się siłami dysypatywymi. Jeżeli przy tym istieje fukcja a: R a( ) oraz Q T ( t q q) q a q R ciągła rosąca i taka że to mamy do czyieia z dysypacją zupełą. Jeżeli atomiast Q są liiowe względem q i Q T ( t q q) q tożsamościowo rówa się zero to Q azywa się siłami giroskopowymi. Jeżeli eergia kietycza jest formą kwadratową prędkości uogólioych i Q są siłami dysypatywymi to z (3.) wyika że położeia rówowagi moża wyzaczyć z rówaia q. Jeżeli eergia kietycza wyraża się wzorem T T T( q q) q A( q) q oraz p A( q) q q to rozwiązując powyższe rówaie względem q moża eergię kietyczą wyrazić w postaci

22 T T( p q) p B( q) p gdzie B( q) A ( q). Ozaczając przez H( p q) T( p q) ( q) fukcję Hamiltoa otrzymamy rówaia Hamiltoa w postaci H H p q q p. (3.) 3.. TWIERDZENIE LAGRANGE'A - DIRICHLETA Jeżeli eergia kietycza ie jest względem q formą kwadratową dodatio określoą to rówań otrzymywaych z rówaia Lagrage'a ie da się a ogół rozwiązać względem q. Ozacza to że ie moża w takich przypadkach sprowadzić badaia stabilości ruchu do badaia stabilości rozwiązań układu rówań różiczkowych pierwszego rzędu i ie moża to tego zastosować podaych w poprzedich puktach kryteriów stabilości. W tym przypadku ależy posługiwać się iymi metodami badaia stabilości ruchu które teraz pozamy. Rozpatrzmy ajpierw stabilość układów zachowawczych. Dirichlet pokazał że jeżeli eergia potecjala ( q) takich układów osiąga miimum dla q i ( q) to położeie rówowagi q q jest stabile względem q (tylko względem części współrzędych w rozumieiu współczesych defiicji stabilości rozwiązaia). Aby podać waruki stabilości położeia rówowagi rozważmy rówaia ruchu (3.) w postaci Hamiltoa i załóżmy że występująca tam macierz B( q) jest klasy C a macierz B( ) jest dodatio określoa. Niech eergia potecjala też będzie fukcją klasy C ( ) oraz q ( ). i iech Twierdzeie 3.. (o stabilości położeia rówowagi). Jeżeli spełia wyżej podae założeia i ( q) dla q to położeie rówowagi q p jest stabile. Przykład 3... Rozważmy układ o jedym stopiu swobody w którym / q ( q) e cos q i ( ). q Moża pokazać że dla takiego układu q p jest położeiem stabilym. W tym przykładzie położeie rówowagi q p ie jest puktem izolowaym tworzą oe

23 ciąg zmierzający do zera. Położeie rówowagi może być stabile awet wtedy gdy w pewym jego otoczeiu eergia potecjala przyjmuje wartości ujeme. Twierdzeie 3.. (o stabilości położeia rówowagi). Jeżeli dla każdego > w otoczeiu B istieje otwarty zbiór R taki że wszystkich q to położeie rówowagi q p jest stabile. B i ( q) dla Z twierdzeia tego wyika że położeie rówowagi q p może pozostawać stabilym awet wtedy gdy eergia potecjala przyjmuje wartości ujeme w sektorze o wierzchołku w położeiu rówowagi. Świadczy o tym astępujący przykład. Niech gdzie q p p ( ) ( ) q q q p p q q ( q) ep( / q ) cos ep( / q )(cos q ) q q dla q i ( ). Stąd widać że ( q) dla q q. Tym iemiej położeie rówowagi p q jest stabile. Aby zauważyć przepaść jaka istieje między warukami stabilości położeia rówowagi i warukami iestabilości podamy teraz kilka twierdzeń o iestabilości położeń rówowagi. Zauważmy ajpierw że twierdzeie 3.. w przypadku układu o jedym stopiu podaje waruek koieczy i dostateczy stabilości położeia rówowagi rozpatrywaej tutaj klasy układów mechaiczych. Twierdzeie 3..3 (o iestabilości położeia rówowagi). Jeżeli (q) ozacza eergię potecjalą układu o jedym stopiu swobody i B()> oraz istieje > [] takie że (q) dla każdego q[] to położeie rówowagi q= p= jest iestabile. Niestety twierdzeie to jest ieprawdziwe w przypadku układów o większej liczbie stopi swobody. Twierdzeie 3..4 (o iestabilości położeia rówowagi). Jeżeli istieje > takie że zbiór ={qb (q)<} ie jest zbiorem pustym gdzie B i iloczy skalary ( ) q iestabile. T q dla wszystkich q to położeie rówowagi q= p= jest 3

24 Szczególym przypadkiem tego twierdzeia jest twierdzeie Lapuowa o iestabilości a podstawie pierwszego przybliżeia. Jeżeli tak jak i poprzedio założymy że B( ) jest macierzą dodatio określoą a eergię potecjalą moża przedstawić w postaci ( q) ( q) R( q) gdzie lim q R / q i jest formą kwadratową ujemie określoą to położeie rówowagi p q jest iestabile. W twierdzeiu 3..4 o iestabilości badaie zaku występującego tam iloczyu skalarego moża w przypadku gdy eergia potecjala jest fukcją aalityczą zastąpić warukiem: ( ) jest macierzą q ieujemie określoą z jedą wartością własą rówą zero WPŁYW SIŁ ROZPRASZAJĄCYCH ENERGIĘ NA STABILNOŚĆ RUCHU Rozważmy teraz stabilość układów mechaiczych opisywaych rówaiami w postaci Lagrage'a (3.) przy założeiu że a układ działają siły dysypatywe Q( q q). Założymy że fukcja Q jest klasy C. Twierdzeie 3.3. (o stabilości asymptotyczej i iestabilości). Jeżeli eergia potecjala ( q ) ma miimum przy q położeie rówowagi q q jest położeiem izolowaym i dysypacja eergii jest zupeła (istieje fukcja a klasy K taka że iloczy skalary Q T ( q q) q a( q ) to położeie rówowagi q q jest asymptotyczie stabile. Jeżeli założeie tego twierdzeia o miimum zastąpimy założeiem że eergia potecjala ( q ) ie ma miimum przy q to położeie rówowagi q q jest iestabile WPŁYW SIŁ GIROSKOPOWYCH NA STABILNOŚĆ RUCHU Rozpatrzmy poowie układ zachowawczy którego eergię kietyczą moża przedstawić w postaci T T q A q q ( ) gdzie A( q) jest fukcją klasy C i A( ) jest macierzą dodatio określoą. O eergii potecjalej założymy że jest fukcją rówież klasy C i ( ) oraz q ( ). Wtedy rówaia moża otrzymać z rówań Lagrage a 4

25 d dt gdzie przez Q( q q ) ozaczoo siły uogólioe. T T ( ) Q( q q ) (3.3) dq q q Z wyżej przeprowadzoych rozważań wyika że jeżeli eergia potecjala ie ma miimum przy q to położeie rówowagi q q może być iestabile. W tym pukcie rozpatrzymy wpływ a stabilość położeia rówowagi odpowiedio dobraych sił uogólioych. Rozpatrzmy ajpierw przypadek gdy mają oe postać Q( q q) Gq P( q q) (3.4) T gdzie część liiowa Gq sił uogólioych staowi siły giroskopowe (tj. q Gq ) a P( q q) ( q q) przy ( q q). Założymy poza tym że eergię potecjalą moża przedstawić w postaci T R/ q ( q) q Cq R( q) gdzie q przy q a C jest macierzą symetryczą o stałych elemetach. Ozacza to że R (q) reprezetuje składiki stopia wyższego iż dwa. Przy uczyioych wyżej założeiach z rówaia (3.4) otrzymamy A( ) q Gq Cq F( q q) (3.5) gdzie przez F( q q ) ozaczoo wszystkie wyrazy stopia wyższego iż jede względem q F( q q ) i q. Wtedy ( q q ) przy ( q q ). Wobec tego rówaie charakterystycze rówaia zliearyzowaego ma postać det( A( ) G C). (3.6) Twierdzeie 3.4. (o iestabilości położeia rówowagi). Jeżeli macierz C ie ma zerowych wartości własych i ma ieparzystą liczbę ujemych wartości własych to położeie rówowagi q q rówaia (3.5) jest iestabile. Liczba ujemych wartości własych macierzy C azywa się w rozważaym przypadku stopiem iestabilości. W związku z tym podae wyżej twierdzeie moża sformułować w iej postaci. Twierdzeie 3.4. (o iemożliwości stabilizacji położeia rówowagi). Jeżeli w 5

26 powyższych rozważaiach macierz C ie ma zerowych wartości własych i stopień iestabilości jest ieparzysty to położeia rówowagi ie da się ustabilizować przez dodaie do układu sił w postaci (3.4). Twierdzeie (o giroskopowej stabilizacji położeia rówowagi). Jeżeli macierz C ma parzystą liczbę ujemych wartości własych a pozostałe wartości włase macierzy C są dodatie wtedy istieje skośie symetrycza macierz G taka że wszystkie pierwiastki rówaia charakterystyczego (3.6) są urojoe (z iezerowymi częściami urojoymi). Jeżeli poadto rówaie ruchu jest liiowe to zawsze istieje taka macierz G która stabilizuje iestabile położeie rówowagi. Powyższe twierdzeie może być ieprawdziwe w przypadku ieliiowym w którym stabilość położeia rówowagi przybliżeia liiowego może być iewystarczająca do stabilości położeia rówowagi układu ieliiowego. Co więcej prawdziwe jest iżej podae twierdzeie. Twierdzeie (o iestabilości układu ieliiowego). Jeżeli G jest taką macierzą że przybliżeie liiowe rówaia (3.3) jest stabile to zawsze moża tak dobrać siły uogólioe R( q) aby położeie rówowagi było iestabile. Pytaie atomiast czy zawsze moża przy zadaych macierzach A C i siłach R( q) dobrać macierz G taką aby położeie rówowagi stało się położeiem stabilym pozostaje jak dotąd bez odpowiedzi. 4. NIERÓWNOŚCI CAŁKOWE W TEORII STABILNOŚCI Nierówościom wykorzystywaym w teorii stabilości poświęcoa jest obszera literatura. Należy tutaj wspomieć o ajwcześiejszych ierówościach całkowych Growalla - Bellmaa [4] Bihariego [33] i o ierówości różiczkowej Ważewskiego [57]. Te ierówości w zasadzie wystarczą do zrozumieia poruszaych w tym opracowaiu zagadień. Zaiteresowaych tematyką ierówości różiczkowych i całkowych moża odesłać do bardziej wyspecjalizowaych opracowań a te temat [ 6]. Twierdzeie 4. (Growall 99). Niech a b c ozaczają stałe rzeczywiste. Jeżeli fukcja u t t u( t) ciągła i ieujema spełia ierówość u( t) a [ b cu( s)] ds dla t t 6

27 to dla t t. b u( t) [ e c c( tt ) c( tt ) ] ae Twierdzeie 4. (Bellma 943). Niech a ozacza stałą rzeczywistą. Jeżeli fukcje q q(t) i u u( t) ciągłe i ieujeme spełiają ierówość to t t u( t) a q( s) u( s) ds dla t t t q( s) ds t u( t) ae dla t t. W wielu sytuacjach p. po przekształceiu wyjściowego modelu w postaci rówaia różiczkowego do rówaia całkowego lub rówaia różiczkowo całkowego a także badaia modeli z pamięcią pomoca może być ia ierówość [5]. Twierdzeie 4.3. Niech a b c i d ozaczają stałe rzeczywiste. Jeżeli fukcja u u( t) spełia ierówość d ( ts) u( t) au( t) b c e u( s) ds dla t t (4.) t t to u( t) {[ u( t ) b] e db ( + [ ( e a dla t t gdzie ( a )( tt) a)( tt) [ b u( t ) ( e a )] e ( a)( tt) ( a)( tt) )] } (4.) [ a d ( d a) 4c. Zarówo w metodzie bezpośrediej Lapuowa jak i w iych metodach badaia stabilości podstawową rolę odgrywają ierówości różiczkowe i całkowe. Umożliwiają oe kostrukcję tzw. rówań porówawczych ajczęściej stosowaych w postaci jedego liiowego rówaia pierwszego rzędu lub rówaia ieliiowego a także w postaci układu rówań (a przykład w przypadku wektorowej fukcji Lapuowa). Powstają oe z ierówości przez zastąpieie zaku ierówości zakiem rówości. Zapropoowaa tutaj ierówość prowadzi do różiczkowo całkowego rówaia 7

28 porówawczego którego szczególym przypadkiem jest a przykład rówaie różiczkowe porówawcze w postaci dv dt av. Rozważmy teraz astępujące rówaie gdzie y R y A( t) y f ( t y) p( t) (4.3) A( t) jest macierzą kwadratową określoą i ciągłą dla wszystkich t I I [ t: t t ] f ( t y) - fukcja wektorowa określoa i ciągła dla t I i y p( t) - fukcja wektorowa określoa i ciągła dla t I. Pomijając w rówaiu (4.3) wyraz f ( t y) otrzymamy A( t) p( t). (4.4) Aby oszacować różicę y( t) ( t) rozwiązań y( t) rówaia (4.3) i ( t) rówaia (4.4) wykorzystamy astępujące twierdzeie [5]. Twierdzeie 4.4. Niech fukcja r( t) - określoa ciągła i ieujema dla t I spełia ierówość b( ts) r( t) c a e g( r( s)) ds dla t I t t gdzie abc - stałe dodatie. Jeżeli istieje rozwiązaia u u rówaia ag(( u) c) bcu takie że ag(( u) c) bcu dla u u ) to r( t) ( u ) c dla t I. Poza tymi ierówościami w wielu pracach wykorzystuje się ierówości z fukcjami wektorowymi. Dotyczy to w szczególości badaia stabilości z wektorową fukcją Lapuowa [35]. Przykład zastosowaia takiej fukcji podao w pukcie METODA BEZPOŚREDNIA LAPUNOWA Dalej będziemy rozpatrywać stabilość rozwiązań rówań sprowadzalych do postaci f ( t ). (5.) Zakładać przy tym będziemy że f jest fukcją ciągłą i f : I R I [ t ) gdzie jest obszarem w R zawierającym początek układu współrzędych. Niech poza tym f ( t ) i iech f będzie fukcją a tyle gładką aby przez każdy 8

29 pukt ( t ) I przechodziło jedo rozwiązaie przedłużale do ieskończoości. Przez B ozaczać będziemy kulę w R o promieiu i środku w początku układu współrzędych tj. B { R : }. 5.. PODSTAWOWE TWIERDZENIA METODY BEZPOŚREDNIEJ W całym rozdziale będziemy posługiwać się fukcjami pomociczymi: fukcją Lapuowa V: I R i fukcją a klasy K (Haha) a: R R ciągłą rosącą i taką że a( ). W dalszym ciągu iteresować as będą fukcje V( t ) takie że V( t ) V( t ) a( ) dla wszystkich ( t ) I. Mówi się o takiej fukcji że jest oa fukcją dodatio określoą a. W dalszym ciągu będziemy używać ozaczeia dv ( ) lub V a graicę: dt lim t [ ( ( ; ) ( )] t V t t V którą azywa się pochodą fukcji V w pukcie wzdłuż rozwiązaia ( t; t ). Twierdzeie 5.. (Lapuow o stabilości 89). Jeżeli istieje fukcja V: I R posiadająca ciągłe pierwsze pochode względem t i oraz fukcja a klasy K takie że dla wszystkich ( t ) ) V( t ) a( ) V( t ) ) V ( t ) I spełioe są waruki to rozwiązaie trywiale rówaia (5.) jest stabile. Twierdzeie 5.. (Persidsky o jedostajej stabilości 933). Jeżeli są spełioe założeia twierdzeia o stabilości i istieje fukcja b klasy K taka że V( t ) b( ) dla wszystkich ( t ) I to rozwiązaie trywiale rówaia (5.) jest jedostajie stabile. Przykład 5... Rozważmy rówaie ruchu puktu materialego o jedym stopiu swobody g( ) (5.) gdzie g() i g( ) przy i g( ). Rówaie to moża zapisać w postaci układu rówań pierwszego rzędu w postaci 9

30 Niech gdzie G( ) g( u) du y y g( ). V y G( ) będzie fukcją pomociczą. Przy poczyioych wyżej założeiach jest oa dodatio określoa. Pochoda tej fukcji względem czasu a rozwiązaiach badaego rówaia wyraża się wzorem V yy g( ) czyli V =. Stąd wyika że rozwiązaie trywiale rówaia (5.) jest stabile. Twierdzeie 5..3 (Czetajew o iestabilości 934). Jeżeli istieją t I > takie że kula B zbiór otwarty B oraz fukcja V odwzorowująca I B w R takie że a I spełioe są waruki: ) V( t ) k dla pewego k ) V ( t ) a( V( t )) dla a K oraz jeśli 3) początek układu współrzędych 4) V( t ) a I ( B ) to rozwiązaie rówaia (5.) jest iestabile. Podae wyżej klasycze wyiki cząstkowe moża odaleźć w twierdzeiu Krasowskiego - Maraczkowa podsumowującym dotychczasowe rozważaia a temat stabilości rozwiązań rówaia (5.). Niech a i ozacza fukcję klasy K i iech fukcja V:[ ) [ ) spełia lokaly waruek Lipschitza względem. Twierdzeie 5..4 (Krasowski Maraczkow). ) Jeżeli a( ) V( t ) i V( t ) oraz V ( t ) to rozwiązaie rówaia (5.) jest stabile. ) Jeżeli a ( ) V( t ) a ( ) i V ( t ) to rozwiązaie (5.) jest jedostajie stabile. rówaia 3

31 3) Jeżeli a( ) V( t ) i V ( t ) a ( ) oraz V( t ) i f ( t ) M dla to rozwiązaie rówaia (5.) jest asymptotyczie stabile. 4) Jeżeli a ( ) V( t ) a ( ) i V ( t ) a3 ( ) to rozwiązaie rówaia (5.) jest jedostajie asymptotyczie stabile. Waruek 3 sformułował Maraczkow. Moża wykazać że twierdzeie takie jest ieprawdziwe jeśli zostaie opuszczoe założeie o ograiczoości f ( t ). 5.. STABILNOŚĆ WZGLĘDEM CZĘŚCI ZMIENNYCH W zastosowaiach praktyczych czasami iteresuje as stabilość tylko względem części wybraych współrzędych. W takim przypadku baday układ rówań zapisujemy w postaci gdzie y R i f ( t ) y f ( t y) g( t y) g( t ). (5.3) Twierdzeie 5.. (Rumiacew o stabilości względem części współrzędych m 957). Jeżeli istieje fukcja V: I R R posiadająca ciągłe pierwsze pochode względem t y i fukcja a klasy K takie że dla wszystkich ( t y) I R m spełioe są waruki ) V( t y) a( ) ) V ( t y) V( t ) to rozwiązaie trywiale układu rówań (5.3) jest stabile ze względu a. Twierdzeie 5.. (Rumiacew o jedostajej stabilości względem części współrzędych 957). Jeżeli są spełioe założeia twierdzeia o stabilości względem części współrzędych i istieje fukcja b klasy K taka że V( t ) b( y ) dla wszystkich ( t y) I R m to rozwiązaie trywiale układu rówań (5.3) jest jedostajie stabile względem STABILNOŚĆ PRZY STALE DZIAŁAJĄCYCH ZABURZENIACH Rozważmy teraz rówaie (5.) tj. 3

32 i rówaie z zaburzeiami f ( t ) (5.4) y f ( t y) g( t y) (5.5) gdzie f ( t ) a g( t y) jest zaburzeiem a ogół iezaym ale iezbyt dużym. Twierdzeie 5.3. (o stabilości przy stale działających zaburzeiach). Jeżeli rozwiązaie rówaia (5.4) jest jedostajie asymptotyczie stabile to ma miejsce stabilość przy stale działających zaburzeiach. Rozważmy teraz astępujące rówaie gdzie y R y A( t) y f ( t y) p( t) (5.6) A( t) jest macierzą kwadratową określoą i ciągłą dla wszystkich t I I [ t: t t ] f ( t y) - fukcja wektorowa określoa i ciągła dla t I i y p( t) - fukcja wektorowa określoa i ciągła dla t I. Pomijając w rówaiu (5.6) wyraz f ( t y) otrzymamy A( t) p( t). (5.7) Aby oszacować różicę y( t) ( t) rozwiązań y( t) rówaia (5.6) i ( t) rówaia (5.7) uczyimy astępujące założeia:. Macierz rozwiązująca X( t) X ( s) rówaia z A( t) z spełia ierówość X( t) X ( s) ae b t s ( ) dla t s t. Wszystkie rozwiązaia rówaia (5.7) z wartościami początkowymi ( t ) R spełiają ierówość ( t) c dla t I gdzie c=cost> 3. Fukcja wektorowa f ( t y) spełia ierówość f ( t y) g( y ) dla wszystkich t I i y gdzie g(u) jest fukcją określoą ciągłą ieujemą i iemalejącą dla u oraz g( ). Korzystając z powyższych założeń i twierdzeia o ierówości moża podać oszacowaie rozwiązań rówaia (5.6). Twierdzeie (o ograiczoości). Jeżeli spełioe są założeia - 3 i istieje 3

33 rozwiązaie u u rówaia ag(( u) c) bcu takie że ag(( u) c) bcu dla u u ) to wszystkie rozwiązaia rówaia (5.) spełiają ierówość y( t) ( u ) c dla t I. Twierdzeie (o oszacowaiu różicy rozwiązań). Jeżeli są spełioe założeia twierdzeia i y to y ( t ) a ( t ) b g(( u ) c) dla t I. Występujące w tych twierdzeiach stałe i fukcje mają między iymi astępujące własości: jeżeli a b to u o ( ) jeżeli lim a lim c u. W szczególości jeśli to u b a o z g( z) i z ( ) przy c. a to b W literaturze moża spotkać licze modyfikacje podaych wyżej twierdzeń w których zmieia się założeia o fukcjach pomociczych V lub o fukcji f z rówaia (5.). W pierwszym przypadku jeśli a przykład przyjmiemy że jest jedostajie stabile i spełioe są waruki asymptotyczej stabilości to jest wspólie asymptotyczie stabile. W pracy [5] wykazao asymptotyczą stabilość zakładając że V( t ) c( W( t )) zamiast V ( t ) c( ). Założeia o fukcji V moża osłabić jeśli rozpatruje się rówaie autoomicze f ( ) gdzie f ( ). (5.8) Na przykład założeia i twierdzeia Czetajewa 5..3 o iestabilości moża zapisać w postaci: ) V ( ) a ) V a. W pracy [3] LaSalle osłabił założeia o fukcji V pociągające przyciągalość rozwiązaia rówaia autoomiczego. Twierdzeie (Krasowski LaSalle). Jeżeli fukcja V odwzorowująca w R spełia lokaly waruek Lipschitza oraz że jej pochoda a rozwiązaiach rówaia (5.8) jest ieujema i rówa się zero tylko a zbiorze M w którym jedyym rozwiązaiem całkowicie w im leżącym jest rozwiązaie to jest oo asymptotyczie stabile. 33

34 Zauważmy że podae w tym rozdziale kryteria stabilości zaczyają się zwykle od - jeśli istieje fukcja V.... W astępym pukcie zwrócoo uwagę a metody kostrukcji fukcji Lapuowa PRZYKŁADY KONSTRUKCJI FUNKCJI LAPUNOWA Metoda Zubowa (96). W tej metodzie poszukuje się fukcji Lapuowa V dla rówaia f ( ) f ( ) w postaci rozwiązaia rówaia o pochodych cząstkowych f grad V ( ) ( ) gdzie ( ) jest odpowiedio dobraą fukcją dodatio określoą. Zaim przystąpimy do kostrukcji fukcji V zauważmy że jeżeli przybliżeie liiowe rozważaego rówaia jest asymptotyczie stabile to ) każda fukcja ( ) wyzacza jedozaczie ciąg ieprzeciających się powierzchi V ( ) c otaczających początek układu współrzędych gdzie c ; dla różych fukcji ( ) powierzchie te mają pukty wspóle tylko przy c i c i jeżeli c c to powierzchia V ( ) c leży wewątrz powierzchi V ( ) c. ) obszar stabilości asymptotyczej SA wyzacza ierówość V( ) 3) jeżeli graica ciągu puktów { } ależących do SA leży a brzegu obszaru SA to V ( ) przy 4) jeżeli w charakterze pierwszego przybliżeia fukcji V( ) weźmiemy formę kwadratową rozwiązaiem rówaia T B gdzie symetrycza dodatio określoa macierz B jest T A B BA C T to A będzie przybliżeiem liiowym rozważaego rówaia f ( ) a C będzie pierwszym przybliżeiem fukcji( ) 5) jeśli SA to V ( ) ( ( t )) dt 34

35 6) jeśli SA to V ( ( t )) V ( ) ( ( s )) ds t * 7) jeśli wprowadzimy fukcję Lapuowa w postaci V ep( V ( )) to V * ma być rozwiązaiem rówaia o pochodych cząstkowych w postaci ' * * f grad V ( )( V ( )) a brzeg obszaru asymptotyczej stabilości wyzacza rówaie V * ( ). Jeżeli fukcji V( ) (lub V * ( ) ) ie da się wyzaczyć w postaci zamkiętej to i brzegu obszaru SA stabilości asymptotyczej ie da się wyzaczyć dokładie. Często w takich przypadkach kostruuje się fukcję Lapuowa w postaci szeregu potęgowego (przyjmując fukcję ( ) w postaci takiego szeregu). Wtedy otrzymujemy brzeg obszaru stabilości z pewym przybliżeiem. Byłaby to skutecza metoda wyzaczaia obszaru stabilości asymptotyczej gdyby tego rodzaju postępowaie wyzaczające oszacowaie obszaru stabilości było jedostajie zbieże do dokładego obszaru stabilości. Tak jedak w ogólości ie jest i wobec tego metoda Zubowa ie jest aż tak atrakcyja jak a to wygląda. Przykład 5.4. Rozważmy układ rówań y y y. W tym przypadku poszukujemy fukcji V w postaci rozwiązaia rówaia cząstkowego Moża łatwo sprawdzić że V V ( y ) ( y) ( y )( V ). y y V ( y) ep( ( y) ) jest rozwiązaiem powyższego rówaia. Z postaci tej fukcji widać że krzywa y jest brzegiem obszaru stabilości asymptotyczej rozważaego układu. Metoda Krasowskiego (957). Niech jak i poprzedio f ( ) f ( ). W metodzie tej fukcję Lapuowa przyjmuje się w postaci T V ( ) f Bf 35

36 gdzie symetrycza dodatio określoa macierz B jest rozwiązaiem rówaia A T ( ) B BA( ) C( ) w którym A( ) f ( ) a C( ) jest macierzą dodatio określoą. Jeżeli A jest przybliżeiem liiowym rozważaego układu asymptotyczie stabilym to fukcja Lapuowa ma postać T V ( ) f Bf gdzie jak i poprzedio B jest rozwiązaiem odpowiediego rówaia macierzowego. Jeszcze ie propozycje kostrukcji fukcji Lapuowa a tym Łuriego Srivastava i Musa moża zaleźć między iymi. w pracach [ 35 56] zawierających rówież wiele przykładów rówań dla których kostruowae są fukcje Lapuowa SZACOWANIE OBSZARU STABILNOŚCI Niech ruch układu mechaiczego o wielu stopiach swobody opisay jest rówaiem różiczkowym zwyczajym (5.) gdzie jest puktem reprezetującym sta układu w - wymiarowej przestrzei fazowej w chwili t i f ( t) dla wszystkich t. Iymi słowy założymy że badaemu ruchowi ustaloemu układu odpowiada początek układu współrzędych a rozważae rówaie jest rówaiem odchyleń od wybraego ruchu ustaloego. Zgodie ze zaymi twierdzeiami pierwszym warukiem jaki powia spełiać fukcja Lapuowa jest jej dodatia (zako) określoość. Jedą z fukcji spełiających te waruek jest fukcja typu pierwiastek z formy kwadratowej V( ) ( S) / gdzie S jest dowolą macierzą kwadratową symetryczą dodatio-określoą a awias (..) ozacza iloczy skalary wektorów. Początek układu jest asymptotyczie stabily jeśli w jego otoczeiu pochoda fukcji Lapuowa a rozwiązaiach rówaia jest ujemie określoa. W praktyce sprowadza się to do zbadaia w tym otoczeiu zaku ilorazu ( Sf ( t )). ( S) Jeśli w otoczeiu początku układu iloraz jest ujemy to wymagay waruek asymptotyczej stabilości jest spełioy. Co więcej jeśli iloraz jest ujemy w pewej kuli otwartej B S : ( ) / a kres góry ilorazu w kuli B to kula ta jest gwaratowaym obszarem przyciągaia 36

37 Sf t S sup sup ( ( )) ( S) t B jest wskaźikiem szacującym szybkość zaiku procesów przejściowych powstałych w wyiku zaburzeń ie przekraczających graicy B. Pozostaje więc tylko wyzaczeie macierzy S i promieia kuli B takich żeby S. Metoda bezpośredia Lapuowa może być zastosowaa między iymi. do badaia stabilości szacowaia obszarów stabilości i szybkości procesów przejściowych. Jeśli iteresuje as jedyie sam fakt asymptotyczej stabilości to wystarczy zaleźć dowolą symetryczą dodatio-określoą macierz S i promień takie aby był spełioy waruek S. Wtedy jakby przy okazji otrzymujemy gwaratoway obszar stabilości w postaci kuli B i wskaźik szybkości zaiku procesów przejściowych S. Jeśli dąży się do otrzymaia ajwiększego gwaratowaego obszaru stabilości asymptotyczej to ależy tak dobrać macierz S żeby kula B odpowiadająca zerowej wartości wskaźika S obejmowała ajwiększy obszar. Jeśli waże jest aby w możliwie ajwiększym obszarze maksymalie szybko zaikały procesy przejściowe to musimy dążyć do takiego doboru S i żeby ujemy wskaźik S był możliwie ajmiejszy dla jak ajwiększej kuli B. Dwa ostatie zagadieia ozaczają poszukiwaie ajlepszej fukcji Lapuowa. Problem te był rozpatryway m.i. w pracy [49] gdzie ajlepszą fukcją Lapuowa azwao taką fukcję która prowadzi do ajlepszego oszacowaia obszaru przyciągaia. Jak twierdzą iektórzy autorzy wybór dobrej fukcji Lapuowa jest sztuką. Ii wychodząc z założeia że ie wszyscy mogą być artystami w tej dziedziie uikają metody Lapuowa. Problemem porówaia skuteczości metod badaia stabilości rozwiązań metod w których pojęcie fukcji pomociczej typu Lapuowa ie występuje oraz metodę Lapuowa z fukcją w postaci uogólioej ormy euklidesowej zajmowao się w pracach [46-48]. Podstawowe wyiki a te temat moża zaleźć w pracy [5]. 37

38 5.6. WYKŁADNIK LAPUNOWA Układem dyamiczym może być model matematyczy zjawiska fizyczego lub procesu techiczego którego ewolucję wyzacza jedozaczie sta początkowy. Zwykle ma o postać wektorowego rówaia różiczkowego w postaci (.) gdzie fukcja f jest zależa tylko od tj. W rówaiu tym f : R a f (). (5.9) R jest pewym obszarem zawierającym początek układu współrzędych. W przypadku układów mechaiczych każdemu rozwiązaiu ( t t ) rówaia (5.9) odpowiada pewie ruch układu o warukach początkowych ( t ) R. Jak i poprzedio przyjmiemy że zaa fukcja f jest a tyle gładka że przez każdy pukt ( t ) R przechodzi jedo i tylko jedo rozwiązaie ( t t ) spełiające waruek ( t t ). Rozwiązaie t t ) rówaia (5.9) moża traktować jako zapis parametryczy ( krzywej w przestrzei fazowej R azywaej trajektorią. Trajektoria jest wobec tego krzywą będąca zbiorem puktów w przestrzei fazowej w jakich zajdował się bądź zajdzie się pukt reprezetujący ewolucję stau początkowego opisaą rówaiem (5.9). Jak pokazao wcześiej wiele problemów dotyczących zachowaia się zjawisk fizyczych lub procesów techiczych może też być opisaa rówież rówaiami z czasem ie zmieiającym się w sposób ciągły tak jak w rówaiu (5.9) ale arastającym w sposób skokowy (patrz p.6 Stabilość ruchu z uderzeiami). W tym pukcie Rys. 5. Odległość dwóch trajektorii ograiczymy się jedak tylko do modeli w postaci (5.9) W poprzedich puktach tego rozdziału badaliśmy główie stabilość rozwiązań rówań 38

39 typu (5.9) a w szczególości stabilość wykładiczą. Przypomijmy że rozwiązaie a przykład trywiale rówaia (5.9) jest wykładiczo stabile jeśli istieją k i takie że dla każdego t R B i t t spełioa jest ierówość ( t t ) k e ( tt). (5.) Rozważmy teraz w przestrzei fazowej dwa pukty X i X (rys. 5.) Niech t) f ( X ) t) ( X t) f ( X ) (5.) ( ( ozaczają odpowiedio trajektorie rówaia (5.9) rozpoczyające się w puktach X i X. Wrażliwość trajektorii a zmiaę waruków początkowych moża przedstawić w postaci o t ( X t) e (5.) gdzie współczyik jest wartością średią odległości rozważaych trajektorii azyway wykładikiem Lapuowa. Zaczyając od małych wartości moża próbować oszacować wartość a podstawie zależości (5.). Problemem może być jedak fakt że z biegiem czasu odległość ( X t) może przyjmować coraz to miejsze wartości. Ale jest to tylko jeda z możliwości gdy do jej oszacowaia stosujemy szeregi czasowe. Dyspoując rówaiem ruchu moża oszacować wykładik Lapuowa w iy sposób []. Wartość średia względej odległości przez wykładik Lapuowa ( X t) ( X t) lim t l. t Poieważ dla ieskończeie małych z rówaia (5.) mamy X t) J ( X t) ( X ) ( t gdzie J ( X t) jest macierzą Jacobiego to sąsiedich trajektorii (5.) jest daa lim t J( X l t t) Ozaczając przez ( X t) ajwiększą wartość własą macierzy T J ( X t) J ( X t) moża wyzaczyć wykładik Lapuowa w postaci 39

40 ( X ) lim t l ( X t). t Zagadieie sprowadza się wobec tego do wyzaczeia dla daego rówaia ruchu macierzy Jacobiego. Moża to stosukowo łatwo uzyskać gdy zauważymy że macierz Jacobiego jest rozwiązaiem zliearyzowaego rówaia (5.9) to zaczy d f ( ) J( t) J( t) dt z warukiem J ( t ) E gdzie E jest macierzą jedostkową. W przypadku mamy do czyieia z asymptotyczie stabilym atraktorem (puktem osobliwym lub cyklem graiczym). Im miejsza jest wartość wykładika Lapuowa tym szybciej zaikają w układzie procesy przejściowe tym większy jest tak zway zapas stabilości. Z puktu widzeia eergetyczego w takim układzie dyamiczym zachodzi rozpraszaie eergii. Przykłady atraktorów (w szczególości początku układu współrzędych reprezetującego rozwiązaie trywiale) pokazae są a rysuku 5.. Rys.5.. Atraktory regulare Jeśli to mamy do czyieia z puktem osobliwym typu cetrum charakterystyczym dla układów zachowawczych. Taka wartość wykładika Lapuowa może wskazywać a to że układ dyamiczy zajduje się w staie ustaloym. W takim przypadku mamy zwykle do czyieia ze zwykłą stabilością (ie asymptotyczą). Jeśli atomiast wykładik Lapuowa to cykle graicze są iestabile i ruch może być chaotyczy. Pukty początkowe trajektorii blisko położoe w przestrzei fazowej iezależie od tego jak blisko geerują rozbiegające się trajektorie zupełie do siebie ie podobe wypełiające pewe obszary w tej przestrzei. Przestrzeń fazowa w tym przypadku może wyglądać jakby była usłaa splątaymi liiami typu spaghetti (rys. 5.). Wielkość wykładika Lapuowa może być miarą chaosu a miaowicie: im większa jest wartość dodatia tego wykładika tym ruch jest bardziej chaotyczy. 4

41 5.7. METODA RÓWNAŃ GRANICZNYCH Badaie stabilości modeli zależych od czasu sprawia ajwięcej problemów. W ostatich latach opublikowao prace dotyczących badaia takich modeli wykorzystujących ideę Poicare i Lapuowa. Po wprowadzeiu zbioru rówań graiczych dla modelu iestacjoarego pojawiła się możliwość wyjaśieia jego stabilości a podstawie określoych własości rówań graiczych [34]. Rówaia graicze są zwykle prostsze i wobec tego badaie stabilości modeli iestacjoarych metodą rówań graiczych może być łatwiejsze. Wobec tego w tym pukcie ograiczymy się do zaprezetowaia tej metody w wersji uproszczoej dla rówaia w postaci (.) tj. f ( t ). (5.3) Niech W ozacza zbiór otwarty w R. O fukcji f założymy że f C( R W R ) gdzie C ozacza zbiór wszystkich fukcji ciągłych a R W a R [ ). Poadto założymy że fukcja f zapewia istieie i jedozaczość rozwiązaia przechodzącego przez pukt t ) R W przy t [ t ) oraz dla każdego ciągu { t k } w R takiego ( że przy t przy k z ciągu { f ( t t )} moża wybrać jedostajie zbieży podciąg k k. k Ozaczmy przez ( f ) zbiór wszystkich fukcji graiczych g takich że ciąg { f ( t t )} jest jedostajie zbieży dla pewego ciągu t przy k. k Defiicja 5.7. (rówaia graiczego). Jeżeli g ( f ) to rówaie jest rówaiem graiczym dla rówaia (5.3). k g( t ) (5.4) Przykład Rówaie d dt si t ma zbiór rówań graiczych w postaci d c gdzie stała c [ ]. dt Jedą z możliwości upraszczających zastosowaie metody bezpośrediej Lapuowa do badaia stabilości rozwiązań rówaia f ( t ) r( t ) (5.5) jest wykorzystaie zaej fukcji V ( t ) Lapuowa dla rówaia (5.3). W większości 4

42 rozważań przyjmuje się tylko takie rówaie uproszczoe (5.3) którego rozwiązaie trywiale jest asymptotyczie stabile. Trudości pojawiają się wtedy gdy rozwiązaie trywiale tego rówaia ie jest asymptotyczie stabile (jest a przykład tylko stabile). W takim przypadku a własości rozwiązań rówaia (5.4) istoty wpływ ma fukcja r ( t ). W zależości od jej struktury rozwiązaie trywiale rówaia (5.5) może stabile asymptotyczie stabile lub iestabile. Podamy teraz waruki dostatecze asymptotyczej stabilości i iestabilości rozwiązaia trywialego rówaia (5.5) korzystając przy tym z rówaia graiczego g( t ) (5.6) zamiast rówaia uproszczoego (5.3) gdzie g jest taką fukcją że lim t f ( t ) g( t ) (5.7) jedostajie względem dla każdego ( h]. W tym przypadku rówaie B graicze (5.6) może być rówaiem miej skomplikowaym od rówaia (5.3). W dalszym ciągu o rówaiach (5.5) i (5.6) uczyimy astępujące założeia i ozaczeia: ) rozwiązaie rówaia (5.6) jest stabile jedostajie względem t ( ) zae jest rozwiązaie ogóle t) ( t t ) rówaie (5.6) przy ( t ) D i t t gdzie D {( t ) : t } 3) f ( t) r( t) dla wszystkich t I [ ) 4) fukcja g ( t ) spełia waruek Lipschitza względem ze stałą L. V 5) V T ( grad V ) g( t ) t 6) ( grad V) r( t ) T o t T ( T t ( t ( t t 7) t ) )) dt Twierdzeie 5.7. (o jedostajej asymptotyczej stabilości). Jeżeli ( istieje fukcja V t ) C ( D ) i fukcje a b K takie że a( ) V( t ) b( ) V ( t ) 4

43 grad V( t ) cost fukcja C ( ) r( t ) M d grad N gdzie r d r M N - ozaczają stałe dodatie dla każdego ( t ) D spełioy jest jede z waruków: istieje fukcja c K taka że V ( t ) ( t ) c( ) lub ( T t ) T d przy T l to rozwiązaie trywiale rówaia (5.4) jest jedostajie asymptotyczie stabile Korzystając z podobych sformułowań moża sformułować astępujące twierdzeie o iestateczości rozwiązaia trywialego rówaia (5.5) Twierdzeie 5.7. (o iestabilości). Jeżeli dla pewego I w obszarze [ ) zachodzi: fukcja V( t ) dla dowolie małych ma obszar w którym V jest ograiczoa i grad V( t ) cost fukcja C ( ) r( t ) M d grad N gdzie r d r M N - ozaczają stałe dodatie istieją stałe dodatie l i fukcja c K takie że dla wszystkich ( t ) [ ) spełiających waruekv ( t ) spełioa jest jeda z ierówości: lub V ( t ) ( t ) c( V ( t )) ( T t ) T d przy T l to rozwiązaie trywiale rówaia (5.5) jest iestabile Przykład Rozważmy ruch wahadła matematyczego o zmieej długości l (t) 43

44 gdzie l(t) jest fukcją ograiczoą różiczkowalą i taką że lim l( t) l g lim t l ( t). Niech ruch te będzie hamoway siłą oporu ośrodka t 3 kv gdzie v jest prędkością ruchu k. Przyjmując że masa m rówaie ruchu takiego wahadła przyjmie postać ( ) l t g si kl( t) l( t) l( t) 3. Rówaie to moża zapisać w postaci astępującego układu rówań l ( t) g 3 si kl( t) l( t) l( t) (5.8) W charakterze układu uproszczoego przyjmiemy układ zliearyzoway w otoczeiu czyli l ( t) g l( t) l( t) Dla tego układu rówań ie jest łatwo zaleźć fukcję Lapuowa a podstawie której moglibyśmy zbadać stabilość położeia rówowagi układu rówań (5.8). W związku z tym posłużymy się układem graiczym który w rozważaym przypadku przyjmuje postać g l Te układ graiczy ma rozwiązaie ogóle w postaci (5.9) ( t t ) ( t t ) g A cos( ( t t ) ) l Ag g si( ( t t ) ) l l gdzie l A g l si Ag cos. A Dla układu graiczego (5.7) fukcję Lapuowa moża przyjąć w postaci V g l ( Pochoda względem czasu tej fukcji a rozwiązaiach układu graiczego przyjmuje ) 44

45 postać V g g. Fukcja przyjmuje postać gl 4 (si ) kll( t). l( t) Moża sprawdzić że 3 A gl 8 l. W związku z tym spełioe są wszystkie założeia twierdzeia 5.7. i wobec tego położeie rówowagi rozważaego wahadła jest jedostajie asymptotyczie stabile 5.8. STABILNOŚĆ I NIERÓWNOŚCI CAŁKOWE Moża pokazać że rówaie (5.) rówoważe jest rówaiu całkowemu:. Normę lewej stroy tego rówaia moża oszacować przez sumę orm składików stroy prawej:. Załóżmy teraz że istieje kula B taka że w (t) = <. (5.) Wtedy w B spełioa jest ierówość: która implikuje oszacowaie f ( t ) w( t) t ( t t ) + w( t) ( s t ) ds. to Fukcje występujące w powyższej ierówości spełiają założeia lematu Growalla- Bellmaa. W związku z tym w kuli B prawdziwe jest oszacowaie ep( Stąd wyikają astępujące twierdzeia. t t w ( t)ds). Twierdzeie 5.8. (o stabilości). Jeżeli f ma własość (5.) i sup t tt ep( w( s) ds) t to trywiale rozwiązaie rówaia (5.) jest stabile. Twierdzeie 5.8. (o stabilości asymptotyczej). Jeżeli f ma własość (5.) i 45

46 lim t t t t t w( s) ds asymptotyczie stabile. to trywiale rozwiązaie rówaia (5.) jest Twierdzeie (o stabilości wykładiczej). Jeżeli f ma własość (5.) i supt t w( t) to trywiale rozwiązaie rówaia (5.) jest wykładiczo asymptotyczie stabile PRZYKŁADY Przykład Rozpatrzmy ruch wahadła matematyczego z liiowym tłumieiem. Rówaie ruchu ma w tym przypadku postać si. Ituicja podpowiada że położeie rówowagi takiego wahadła jest asymptotyczie stabile. Wydawać by się mogło że taki wyik moża uzyskać biorąc w tym przypadku fukcję Lapuowa w postaci eergii całkowitej którą moża zapisać w postaci V ( cos ). Taki wybór fukcji Lapuowa ie jest ajszczęśliwszy gdyż jej pochoda a rozwiązaiach badaego rówaia ie jest fukcją ujemie określoą. Na podstawie tej fukcji moglibyśmy stwierdzić tylko stabilość położeia rówowagi. Wybór odpowiediej fukcji Lapuowa ie jest zatem sprawą prostą. Pochoda p. fukcji V ( ) 4( cos ) która spełia iezbęde waruki wstępe by być fukcją Lapuowa a rozwiązaiach badaego rówaia ma postać V ( si ) i jest ujemie określoa w otoczeiu dolego położeia rówowagi. Świadczy to o jedostajej asymptotyczej stabilości położeia rówowagi. Ale tak wybraa fukcja ie ma prostej iterpretacji fizyczej. W jedym z poprzedich puktów podaliśmy kilka ogólych metod kostrukcji fukcji Lapuowa. Nie ma jedak wśród ich takiej która doprowadziłaby as do wyżej podaej fukcji V. 46

47 Pytaie zatem o skuteczą metodę kostrukcji fukcji Lapuowa pozostaje otwarte. W dalszych przykładach pokazao jak zagadieie to moża rozwiązać w przypadku ograiczeia się do poszukiwaia fukcji w postaci uogólioej ormy euklidesowej. Przykład Rozważmy rówaie A gdzie A jest macierzą kwadratową i A A T. W tym przypadku ajlepszą fukcją Lapuowa jest fukcja V ( ). Jej pochodą a rozwiązaiach badaego rówaia moża oszacować w postaci V ma ( A) V. i... i Przykład Jeśli macierz A z przykładu 5.9. jest ormala tj. AA T T A A to ajlepszą fukcją Lapuowa jest rówież fukcja V ( ). Jej pochodą a rozwiązaiach badaego rówaia moża rówież oszacować w postaci V ma Re ( A) V. i... i Przykład W przypadku rówaia A gdzie macierz A jest macierzą dowolą propouje się w wielu pracach przyjęcie fukcji Lapuowa w postaci V ( S) gdzie S jest macierzą kwadratową symetryczą i dodatio określoą. Macierz S ajczęściej zajduje się jako rozwiązaie rówaia Lapuowa T SA A S P gdzie P jest macierzą daą często przyjmowaą jako macierz jedostkowa tj. P E. W tym przypadku otrzymuje się astępujące oszacowaie pochodej fukcji Lapuowa V V ( P) / ( S)). ( mi ma Przykład Rozważmy poowie rówaie z przykładu poprzediego i weźmy fukcję jak i poprzedio w postaci V ( S). Niech ( S ) ozacza ajmiejszą wartość własą macierzy B( S) ( S AS S A T S ). Wtedy pochodą fukcji Lapuowa moża oszacować w postaci V ( S) V. Przykład Niech teraz A a gdzie a. Niech jak i poprzedio V ( S). Wtedy ajlepsze oszacowaie pochodej fukcji Lapuowa otrzymamy przy S a a dla a i S a a a dla a. Dla a moża przyjąć 47

48 S gdzie jest dowolą stałą dodatią. W tym przypadku oszacowaie pochodej fukcji Lapuowa ma postać a a a dla a a a. Przykład V V gdzie jest rówe odpowiedio Rozważmy poowie rówaie liiowe o okresowo zmieych współczyikach (.7) w postaci A( t) gdzie si 6t cos6t 3si 6t cos6t A( t) 3si 6t cos6t si 6t cos6t. Macierz A jest macierzą symetryczą i jeśli weźmiemy fukcję Lapuowa podobie jak w przykładzie 5.6. w postaci V ( ) to otrzymamy V ( ) V i o stabilości rozwiązaia trywialego tego rówaia ic ie jesteśmy w staie powiedzieć. Spróbujmy zatem zbadać fukcję Lapuowa w postaci V ( S( t) ) gdzie T S( t) U ( t) SU ( t) 5 6 S 6 8 cos3t si 3t U ( t) si 3t cos3t. Moża łatwo sprawdzić że taka fukcja V może być przyjęta w charakterze fukcji Lapuowa gdyż 3 53 ( ) 3 ( S( t) ) 53 ( ) co świadczy o tym że jest oa ograiczoa i dodatio określoa. Pochoda tej fukcji względem czasu a rozwiązaiach badaego rówaia moża oszacować V ( B( t S) ) V gdzie B t S S t A t S t S t A T ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( t) S ( t) S ( t) S( t) S ( t)]. Moża łatwo sprawdzić że ajmiejsza wartość własa tej macierzy rówa się i wobec tego pochodą fukcji Lapuowa moża oszacować w postaci V V. Zauważmy że rozpatrywae tutaj rówaie po zmiaie układu współrzędych y U( t) sprowadza się do rówaia o stałych współczyikach. Ie przykłady badaia stabilości rówań o zmieych współczyikach moża zaleźć w pracach [37446]. Przykład Niech teraz e t y si t e ysi t ( t 3 y ( y y 3 )si )si t t. 48

49 Weźmy fukcję Lapuowa w postaci formy kwadratowej dodatio określoej p. w postaci V A By Cy gdzie A B AC. Pochoda tej fukcji a rozwiązaiach badaego rówaia ma postać t V ( e ( y ) si t) V ( B ( A C) y By ) si t. Niestety pochoda ta jest dla pewych t dodatia i wobec tego ie jesteśmy w staie ic powiedzieć o stabilości rozwiązaia trywialego badaego układu rówań. Jeśli weźmiemy fukcję V [ V V ] T w postaci to otrzymamy V [( y) ( y) ] t V e t si t V. e si t Łatwo moża sprawdzić że układy porówawcze t t u ( e si t) u u ( e si t) u mają początek układu współrzędych jedostajie stabily co świadczy o stabilości rozwiązaia trywialego badaego układu rówań. Przykład Zbadajmy stabilość położeia rówowagi oscylatora ieliiowego którego ruch opisuje rówaie z z z a( t) z gdzie a( t) i istieje a sup a( t). Rówaie to moża zapisać gdzie y Pu u z u z tt y Ay c( t y) By (5.) 3 P 3 A B 3 oraz c( t y) 4 a( t) y. Zastosujmy do tego rówaia metodę bezpośredią Lapuowa. 3 Moża pokazać że położeie rówowagi rówaia (5.) jest wykładiczo stabile gdy 49

50 y B i 9 3 6a. Zarówo metoda twierdzeń odwrotych do twierdzeń Lapuowa jak i metoda rówoważych rówań całkowych prowadzą do gorszego oszacowaia obszaru przyciągaia. Przykład Rozważmy rówaie typu Duffig a z az z f ( z) gdzie a f ( ) f ( z) z dla z oraz f ( z) z f ( s) ds które moża zapisać w postaci A g( ) gdzie z A a z z g ( ) f ( ). Moża pokazać że V av a stąd ( t t ) e S S a( tt ) Przykład Rozważmy teraz rówaie f ( ) R dla wszystkich t t. i weźmy fukcję Lapuowa w postaci V ( S) gdzie jak i poprzedio S jest macierzą kwadratową symetryczą i dodatio określoą. Pochoda tej fukcji a rozwiązaiach badaego rówaia ma postać V ( Sf ( )) g( ; S) V gdzie ( Sf ( )) g( ; S). (5.3) ( S) Aby wyzaczyć oszacowaie pochodej fukcji Lapuowa mamy przyajmiej trzy drogi postępowaia: o. Macierz S moża przyjąć w sposób arbitraly. Na przykład często zakłada się że macierz S jest macierzą jedostkową. Wtedy w przypadku układu autoomiczego zagadieie sprowadza się do wyzaczeia ekstremum (5.3) fukcji zmieych gdzie jest wymiarem przestrzei fazowej. Wyzaczeie wspomiaego ekstremum ie jest sprawą trywialą gdyż awet w przypadku iezależości od czasu występująca tutaj fukcja może mieć ekstrema lokale ze względu a Metoda ta obarczoa powyższymi trudościami obliczeiowymi może dawać całkiem przypadkowe wyiki ze względu a arbitraly wybór macierzy S. Zły dobór macierzy S może ie prowadzić do uzyskaia jakiejkolwiek iformacji o stabilości. 5

51 Tesi i ii [58] zapropoowali procedurę wyzaczaia ekstremum w przypadku gdy fukcja ma jedyie ekstrema globale ale metoda ta dotyczy tylko prawych stro rówań ruchu w postaci wielomiaowej. Wyzaczeie optymalego oszacowaia wymaga zastosowaia tej procedury dla wszystkich dodatio-określoych macierzy S i zsumowaia uzyskaych wyików. Czyość tę moża wykoać tylko skończoą liczbę razy i wobec tego uzyskaa iformacja o obszarze stabilości także może być przypadkowa. o. Poszukiwaie elemetów macierzy S moża włączyć do wyzaczeia miimaksu fukcji ( 3 ) / zmieych. W przypadku układu autoomiczego mamy wtedy zagadieie optymalizacyje ~ ( Sf ( )) if sup. S ( S) B Metoda ta prowadzi do ajlepszych oszacowań (por. [5]) ale problem komplikuje się z kwadratem wymiaru przestrzei fazowej. 3 o. Dla układu ieliiowego moża wykorzystać macierz S odpowiadającą optymalej fukcji Lapuowa dla przybliżeia liiowego. Wtedy optymala macierz S dla iezależego od czasu układu liiowego A gdzie A jest dowolą stałą macierzą * kwadratową ma postać S X X gdzie X ozacza macierz wektorów własych macierzy A. Zagadieie wyzaczeia tej macierzy podobie jak problem wartości własych jest klasyczym zadaiem metod umeryczych algebry liiowej. Jeśli dokoamy liearyzacji układu ieliiowego w otoczeiu początku układu i weźmiemy macierz S optymalą dla przybliżeia liiowego to powstaje problem zalezieia ekstremum fukcji g( ; S) w przestrzei zmieych ze zaą macierzą S. Metoda ta zapewia otrzymaie gwaratowaego obszaru stabilości zawsze wtedy gdy początek układu jest asymptotyczie stabily. Jedocześie dla każdej kuli B zawierającej się w tym obszarze otrzymujemy iformację o prędkości zaikaia procesów przejściowych biorących początek w B. Takie postępowaie daje stosukowo dużo iformacji przy akładzie obliczeń umeryczych zbliżoym do puktu o. 6. STABILNOŚĆ RUCHU Z UDERZENIAMI Szeroką klasą układów mechaiczych w których występuje działaie sił impulsowych 5

52 jest klasa układów z uderzeiami. W parach kiematyczych takiego układu występują uderzeia bądź elemetów układu o siebie bądź o ograicziki. Efekt uderzeia moża traktować jako impuls chwilowo działającej siły. 6.. OGÓLNA CHARAKTERYSTYKA UKŁADÓW Z UDERZENIAMI Układy mechaicze z uderzeiami są istotie ieliiowe. Nie moża bowiem ich modeli zliearyzować ie rezygując z impulsowego charakteru ruchu. Istota ieliiowość układów z uderzeiami wyraża się w skokowych przyrostach prędkości ie zaś w tym że rówaia ruchu w przedziałach między działaiem sił impulsowych są ieliiowe. Moża zatem zakładać liiowość rówań w przedziałach między działaiem sił impulsowych skoro moża przyjąć że ie ieliiowości wyikłe p. z ieliiowych charakterystyk sprężysto-tłumieiowych są ieistote w porówaiu z ieliiowością spowodowaą impulsowym charakterem ruchu. W literaturze dotyczącej układów pod działaiem sił impulsowych w zadaych chwilach czasu w zagadieiu pełego rozwiązaia problemu ruchu układu stosuje się metodę fukcji uogólioych [7]. Metoda ta polega a uwzględieiu w rówaiach ruchu układu wszystkich działających sił. Siły impulsowe są uwzględiae poprzez wprowadzeie do rówań ruchu fukcji uogólioych. W przypadku układów z uderzeiami moża postąpić podobie tylko wtedy gdy poszukujemy wybraego rozwiązaia okresowego o zadaych własościach. Należy zazaczyć że problemu stabilości tak wyzaczoego ruchu okresowego ie moża rozwiązać tą metodą bowiem poza przypadkiem wybraego ruchu okresowego rówaia ruchu z wprowadzoymi fukcjami uogólioymi ie obowiązują. 6.. RUCH OKRESOWY UKŁADU Z UDERZENIAMI Aalizie modeli układów pod działaiem sił impulsowych w zadaych chwilach czasu poświęcoo szereg prac [779 7]. Zakłada się w ich że proces ewolucyjy pod działaiem chwilowych impulsów jest zaday poprzez astępujące rówaia. - Rówaia ruchu w przedziałach między impulsami: f ( t ). (6.8) - Rówaia rodziy hiperpowierzchi { S i } i N w rozszerzoej przestrzei fazowej: S : t t ( ) (6.9) i i przy czym t( ) t ( )... oraz ti ( ) przy i zmierzającym do. W prostszym 5

53 przypadku hiperpowierzchie S i są hiperpłaszczyzami: S {( t ) I : t t }. i - Rówaia które poprzez rodzię odwzorowań przestrzei R m w siebie { I i } i N określają skokowy przyrost rozwiązaia w chwilach t i : i t t ( ) ( ) I ( ). (6.) t t i i Wcześiej zae były waruki dostatecze istieia rozwiązań zagadieia (6.8-6.) w przypadku gdy hiperpowierzchie S i są hiperpłaszczyzami. W pracy [7] podao w zamkiętej formie rozwiązaie zagadieia (6.8-6.) w przypadku liiowym: f ( t ) A( t) gdzie A( t) dla każdego t I jest macierzą kwadratową m I ( ) ( P E) i i m oraz: gdzie P i dla każdego i N jest macierzą ieosobliwą m m zaś E ozacza macierz jedostkową m m. Rozwiązaie zagadieia ruchu ze skokowo-ciągłymi zmiaami zmieych stau polega a sklejeiu rozwiązań różiczkowych rówań ruchu (6.8) w przedziałach między impulsami z uwzględieiem skokowych przyrostów zmieych stau. W przypadku układów mechaiczych z uderzeiami odstępy czasu między skokowymi przyrostami zmieych stau ie są z góry określoe. Jeśli dla pewych wartości początkowych w układzie z uderzeiami może wystąpić ruch okresowy to skokowy przyrost zmieych stau zachodzi w określoych okresowo powtarzających się chwilach czasu. Jeśli zatem poszukujemy pewego wybraego rozwiązaia okresowego zagadieia ruchu z uderzeiami to możemy postąpić podobie jak w przypadku poszukiwaia rozwiązaia zagadieia ruchu okresowego układu pod działaiem sił impulsowych w zadaych z góry chwilach czasu. Badaie stabilości takich układów sprowadza się do badaia stabilości rówań rekurecyjych STABILNOŚĆ ROZWIĄZAŃ RÓWNAŃ REKURENCYJNYCH Rozważymy rówaie rekurecyje w astępującej postaci: z ( z z ). (6.) Zakładamy że istieje rozwiązaie zerowe z dla N powyższego rówaia 53

54 oraz że jest to izolowae rozwiązaie ustaloe. Poadto zakładamy że ciąg jest ciągiem odwzorowań iloczyu w R m przy czym R m i jest obszarem zawierającym zero. Zakładamy że ciąg zapewia istieie rozwiązaia zagadieia początkowego: z ( z z ) z dla każdego dla każdego N. Defiicja 6.3. (o stabilości rówaia rekurecyjego). Rozwiązaie zerowe rówaia (6.) jest stabile jeśli dla dowolych i N istieje takie że wszystkie rozwiązaia takie że z spełiają ierówość z dla każdego. Defiicja 6.3. (o asymptotyczej stabilości dla rówaia rekurecyjego). Rozwiązaie zerowe rówaia (6.) jest asymptotyczie stabile jeśli jest oo stabile oraz dla dowolego N istieje taka że wszystkie rozwiązaia takie że z spełiają waruek lim z przy zmierzającym do. Przypomijmy ajpierw podstawowe twierdzeie o stabilości liiowego rówaia rekurecyjego w postaci z Az (6.) gdzie A jest macierzą kwadratową m m. Twierdzeie 6.3. (o stabilości liiowego rówaia rekurecyjego). Rozwiązaie zerowe rówaia (6.) jest stabile wtedy i tyko wtedy gdy ajwiększy moduł wartości własych włase macierzy A jest ie większy iż i wszystkim wartościom własym k z k odpowiadają proste dzieliki elemetare. Twierdzeie 6.3. (o asymptotyczej stabilości liiowego rówaia rekurecyjego). Rozwiązaie zerowe rówaia (6.) jest asymptotyczie stabile wtedy i tyko wtedy gdy ajwiększy moduł wartości własych macierzy A jest miejszy od. Twierdzeie (o iestabilości liiowego rówaia rekurecyjego). Rozwiązaie zerowe rówaia (6.) jest iestabile wtedy i tyko wtedy gdy istieje 54

55 przyjajmiej jeda wartość własa macierzy A której moduł jest większy od. Rozważmy jeszcze przypadek rówaia rekurecyjego o okresowo zmieych współczyikach w postaci z A z. (6.3) Zakładamy że istieje k takie że A k A dla wszystkich N. Twierdzeie (o asymptotyczej stabilości liiowego rówaia rekurecyjego z okresowo zmieymi współczyikami). Rozwiązaie zerowe rówaia (6.3) jest asymptotyczie stabile wtedy i tyko wtedy gdy ajwiększy moduł wartości własych macierzy jest miejszy od. K A A... A k k Aby zbadać stabilość takiego układu ależy zatem wyzaczyć wartości włase i macierzy K i wyzaczyć tzw. promień spektraly ( K) ma ( K) i i. Zauważmy że dla wszystkich i mamy i K. Wobec tego ( K) K. Poza tym jeśli jest wartością własą macierzy K to / ( K ) K a stąd ( K) K jest wartością własą macierzy K. Wobec tego dla wszystkich N. Jeżeli zatem istieje takie N że K to macierz K spełia założeia twierdzeia Powyższe rozważaia mogą być podstawą algorytmu badaia stabilości asymptotyczej rówaia rekurecyjego o okresowo zmieych współczyikach wyikającego z astępującego ciągu ierówości K / / K ( K K ) 4 4 / 4 / K K itd. Jeśli zatem l dla pewego l Szybkość zbieżości moża oceić ze wzoru m to oczywiście. / K ( K) o( l ). Jeśli atomiast l dla pewego l to moża wykorzystać ierówość 55

56 ( K) (( K l trace ) / m) / l do wykazaia że ( K). Jeśli powyższe postępowaie ie daje oczekiwaego wyiku to ie pozostaje ic iego jak policzyć wartości włase macierzy K STABILNOŚĆ LAPUNOWA RUCHU OKRESOWEGO Z UDERZENIAMI Do ocey stabilości ruchu z uderzeiami moża posługiwać się częścią liiową rekurecyjych rówań ewolucji i poprzestać a ituicyjym związku między stabilością rozwiązaia zerowego części liiowej rówań ewolucji zaburzeń a stabilością ruchu z uderzeiami. Poieważ uiemożliwia to ilościowe badaie wpływu wartości zaburzeń początkowych a stabilość wybraego ruchu ustaloego i może prowadzić do jakościowo fałszywych wiosków dotyczących stabilości ruchu to ależy uściślić defiicje stabilości ruchu okresowego z uderzeiami. Rozwiązaie ustaloe pewego procesu ewolucyjego jest stabile w sesie Lapuowa jeśli pukty krzywych całkowych takich które w chwili początkowej zajdują się w otoczeiu puktu początkowego krzywej całkowej rozwiązaia ustaloego pozostają w otoczeiu puktów tej krzywej całkowej odpowiadających tym samym chwilom czasu. Rekurecyje rówaia stabilości Lapuowa awet w ajprostszym przypadku układu o jedym stopiu swobody są uwikłae. Przykład Rozważymy ruch puktu materialego uderzającego o poruszający się ruchem harmoiczym ograiczik. Niech ruch puktu w przedziałach między uderzeiami będzie opisay rówaiem: a ruch ograiczika zaday wzorem: g (6.4) y( t) si( t ) / si. Czas liczymy od pierwszego uderzeia w chwili t. Rozpatrzymy przypadek ruchu okresowego o okresie z jedym uderzeiem a okres. Rówaia uderzeia po uwzględieiu waruku okresowości mają postać: ( ) ( ) (6.5) ( ) (6.6) ( ) R( v() ( )) v(). (6.7) Wtedy ( t) gt( t ) jest rozwiązaiem rówaia (6.4) i spełia waruki (6.5 56

57 57-6.6). Aby spełiało oo waruek (6.7) musi zachodzić rówaie fazy ctg g R R ( ) ( ). Rówaie to wyzacza opóźieie fazowe przy którym możliwy jest ruch o żądaych własościach. Jeśli w ruchu zaburzoym uderzeia zachodzą w chwilach to ruch te w przedziale między i -tym uderzeiem opisuje fukcja t gt t v t ( ) ( ) określoa dla t [ ]. Rówaia uderzeia uwzględiające waruek uderzeia mają wtedy postać: ). ( si ) / cos( ) ( ) ( si ) / si( ) ( si ) / si( ) ( R R Stąd otrzymamy ostateczie astępujące rekurecyje rówaia ewolucji zaburzeń początkowych:. ) ( ] si ) / cos( )[ ( si ) / si( ) ( si ) / si( ) ( ) ( g R g R v R v v g v g (6.8) Moża sprawdzić że układ rówań (6.8) ma izolowae rozwiązaie ustaloe v którego stabilość decyduje o stabilości w sesie Lapuowa ruchu okresowego. Łatwo moża sprawdzić że układ rówań (6.8) jest rówoważy astępującym układom rówań w postaci: ) ) /( ( ) ( ) ( v v g v v v F v v v F (6.9) lub ) / si cos( v g g v g v v (6.) gdzie odwzorowaie F F F ( ) jest określoe w pewym obszarze zawierającym zero w R 4. Rekurecyje rówaia ewolucji zaburzeń w tej formie ie zapewiają jedozaczości

58 rozwiązań w całym obszarze określoości awet wtedy gdy w tym obszarze moża jedozaczie rozwikłać odwzorowaie F ale poieważ rozwiązaia układu (6.) ie mają sesu fizyczego to moża ograiczyć się do układu (6.9). Układ (6.9) ma izolowae rozwiązaie ustaloe v. Poieważ przy rozwiązywaiu rówań (6.9) moża ograiczyć się do obszaru w którym da się je jedozaczie rozwikłać to o stabilości zerowego rozwiązaia ustaloego moża wosić a podstawie liiowego przybliżeia rówaia (6.9) w tym obszarze a co za tym idzie o stabilości ruchu okresowego z uderzeiami. Poieważ jeśli zachodzi ierówość: ( R ) R g (6.) to rówaie przybliżeia liiowego jest asymptotyczie stabile i z twierdzeia o stabilości Lapuowa ruchu z uderzeiami wyika że ruch okresowy z uderzeiami jest stabily w sesie Lapuowa dla parametrów i wartości początkowych spełiających ostatią ierówość. Poadto istieje ciąg liczb ieujemych zbieży do zera i taki że oraz ( ) [ ] lim ma ti ( t) X( t) gdzie X( t) ozacza ruch okresowy zaś I przedział [ ] STABILNOŚĆ ORBITALNA RUCHU OKRESOWEGO Z UDERZENIAMI Rozwiązaie ustaloe pewego procesu ewolucyjego jest stabile orbitalie jeśli krzywe fazowe rozwiązań zaburzoych które w chwili początkowej zajdują się w otoczeiu puktu początkowego trajektorii rozwiązaia ustaloego pozostają w jej otoczeiu dla każdej chwili astępej. Niech L ozacza trajektorię rozwiązaia T -okresowego Z zagadieia (6.8-6.) tz. m L { Z( t) R : t T}. Przez ( z L ) rozumiemy odległość puktu z R m od zbioru L R m tz. ( z L) if z y y L. Rekurecyje rówaia stabilości orbitalej awet w ajprostszym przypadku układu o jedym stopiu swobody są uwikłae. Mogą zatem ie mieć jedozaczych rozwiązań w całym obszarze określoości. Jeśli ie ma jedozaczości to ocea stabilości ruchu a 58

59 podstawie części liiowej rówań ewolucji może prowadzić do fałszywych wiosków. Przykład Poowie rozważymy stabilość ruchu okresowego puktu materialego uderzającego o ograiczik poruszający się ruchem harmoiczym. Ruch puktu o okresie rówym okresowi drgań płaszczyzy opisuje fukcja określoa w przedziałach czasu między uderzeiami [ ( ) ] N wzorem X ( t) g( t ( ))( t ) przy czym ozacza położeie puktu w którym astępują okresowo powtarzające się uderzeia o ograiczik. Rozważamy bowiem przypadek gdy zachodzi jedo uderzeie w czasie jedego okresu ruchu ograiczika. Aby wioskować o stabilości orbitalej rozwiązaia X ależy rozważyć ewolucję zaburzeń poprzez porówaie położeia i prędkości w chwilach odpowiadających uderzeiom w ruchu zaburzoym z położeiem i prędkością w chwilach odpowiadających uderzeiom w ruchu okresowym. Niech w ruchu zaburzoym w chwili bezpośredio po uderzeiu położeie i prędkość puktu materialego mają wartości odpowiedio i v v gdzie v to prędkość po uderzeiu w ruchu okresowym X. Niech przedział czasu od ( ) do -tego uderzeia w ruchu zaburzoym wyosi. Wtedy zgodie z tymi ozaczeiami ruch zaburzoy w tym przedziale opisuje fukcja X ( t) gt( t ) vt określoa dla t [ ] dla każdego N. Ruch ograiczika w tym przedziale opisuje fukcja Y ( t) si( t ) / si. Rekurecyje rówaia ewolucji zaburzeń mają zatem postać: gdzie g( v S( ) ) v ( ) g( ) v S( ) Rv ( R) C( ) Rg( ) g( R) S( ) si( ) / si (6.) C ( ) cos( ) / si. Moża sprawdzić że rozwiązaie zerowe układu rówań (6.) jest izolowaym rozwiązaiem ustaloym. Wprawdzie odwzorowaia występujące w rówaiach (6.) ie zapewiają 59

60 jedozaczości rozwiązań w całym obszarze określoości rówaia to jedak poieważ z przesłaek fizyczych wyika że moża ograiczyć te rówaia do obszaru gdzie da się je jedozaczie rozwikłać to o stabilości rozwiązaia zerowego moża wosić a podstawie stabilości przybliżeia liiowego tych rówań w tym obszarze a co za tym idzie o stabilości ruchu okresowego z uderzeiami. Jeśli zachodzi ierówość: ( R ) R g (6.3) to część liiowa rekurecyjego rówaia ewolucji zaburzeń jest asymptotyczie stabila. Zatem a podstawie twierdzeia o asymptotyczej orbitalej stabilości ruchu z uderzeiami ruch okresowy X jest orbitalie asymptotyczie stabily jeśli tylko parametry układu i wartości początkowe zmieych stau spełiają ierówość (6.3). Jak łatwo zauważyć waruek stabilości orbitalej opisay ierówością (6.3) jest idetyczy z warukiem stabilości Lapuowa opisaym ierówością (6.). Prowadziło to do fałszywych wiosków o rówoważości różych metod doboru chwil porówywaia ruchów zaburzoego i okresowego dla celów badaia stabilości. Poiższy przykład obala tezę o rówoważości tych metod. Rozważay w im ruch jest asymptotyczie orbitalie stabily ale ie jest asymptotyczie stabily w sesie Lapuowa ze względu a to że rekurecyje rówaia ewolucji zaburzeń w tym drugim przypadku mają rozmaitość puktów stałych (por. pukt 7.4). Przykład Rozważymy stabilość ruchu okresowego puktu materialego uderzającego o ograiczik który w chwili uderzeia jest ieruchomy. Załóżmy że ograiczik w chwilach uderzeń przyjmuje położeia opisae rówaiami y ih gdzie h jest stałą zaś i to umer kolejego uderzeia. Niech ruch puktu w przedziałach między uderzeiami opisuje rówaie g g cost. Rozpatrzymy przypadek ruchu okresowego z jedym uderzeiem w ciągu okresu T. Rówaia uderzeia uwzględiające waruek okresowości i waruek uderzeia mają postać: () ( T) h ( ) R ( T ). (6.4) Tak opisay ruch może być traktoway jako pierwsze przybliżeie opisu ruchu kulki spadającej po schodach (z uwzględieiem tylko składowej pioowej ruchu spadającej kulki). Niech T i ozaczają chwile uderzeń w ruchu okresowym a D i - chwile uderzeń w ruchu zaburzoym. Ozaczmy przez u i różicę prędkości po uderzeiu w ruchu zaburzoym i 6

61 ruchu okresowym czyli Moża pokazać że u i D ) ( T ). ( i i ui Rui Rg( Di Di ) gtr. Niech c T ( D D ) gdzie T jest okresem ruchu okresowego. Wtedy i i i Moża pokazać że u Ru Rgc. i i i g c gt c u R u T i i( i ) i. Badaie stabilości orbitalej ruchu zadaego warukami (6.4) prowadzi zatem do astępujących rekurecyjych rówań ewolucji zaburzeń: u Ru Rgc gt gc c ( u ) Tu R c d d (6.5) gdzie u ozacza różicę między prędkością w ruchu zaburzoym i okresowym w chwilach bezpośredio po uderzeiu zaś d D T gdzie D N ozaczają chwile uderzeń. Rówaia (6.5) ie zapewiają jedozaczości rozwiązań w całym obszarze określoości ale jedo z rozwiązań rówaia (6.5) może być wyelimiowae. Nie ma oo bowiem sesu fizyczego poieważ dla tego rozwiązaia T c. Stąd moża otrzymać rówaie w postaci rozwikłaej co po elimiacji zmieej c prowadzi do astępującego rówaia: R u ( gt u ( R) grtu ( R) ( gt) ). (6.6) R Rozwiązaie zerowe rówaia (6.6) jest izolowaym rozwiązaiem ustaloym. Poieważ rówaie (6.6) spełia założeia twierdzeia o asymptotyczej stabilości a podstawie liiowego przybliżeia to a podstawie ostatiego twierdzeia 6.5. możemy twierdzić że rozważay ruch okresowy z uderzeiami jest asymptotyczie orbitalie stabily STABILNOŚĆ ROZWIĄZAŃ RÓWNAŃ SUMARYCZNO RÓŻNICOWYCH Jak już wspomieliśmy badaie ewolucji zaburzeń ruch okresowego z uderzeiami moża sprowadzić w ajprostszym przypadku do badaia stabilości rówań różicowych. 6

62 W przypadku ogólym moża otrzymać układ rówań sumaryczo różicowych w postaci y f ( y ) g( k yk ) (6.7) k gdzie y jest macierzą jedokolumową m elemetową - liczbą aturalą f i g - jedokolumowe macierze fukcyje. W rówaiu tym y może być iterpretowae jako sta pewego procesu w chwili. Jak widać w przypadku ogólym sta te może być zależy od wszystkich staów poprzedich - sta te pamięta wszystkie stay poprzedie. Zaim zajmiemy się badaiem własości rozwiązań rówaia (6.7) podamy twierdzeia o zachowaiu się wyrazów pewego ciągu. Twierdzeie Niech b( k) b( k) R dla wszystkich k N. Niech u ozacza -ty wyraz ieskończoego ciągu o wyrazach ieujemych spełiających ierówość u u b( i) ui dla każdego i to k u u [ b k l k ( )] (6.8) l dla wszystkich gdzie u u( ). Wiosek Jeśli są spełioe założeia twierdzeia 6.6. i to u k k l b( k l) M ( m ) u dla wszystkich Twierdzeie Niech u ozacza -ty wyraz ieskończoego ciągu o wyrazach ieujemych spełiających ierówość u c ru p i k i u i dla każdego gdzie p r i k ozaczają stałe ieujeme a c dowoly ciąg. Wtedy wyrazy ciągu u spełiają ierówość 6

63 u k u[ k ck [ k dla każdego k k k k ] ] gdzie i są pierwiastkami rówaia ( p r k) rk. Twierdzeie Niech u ozacza -ty wyraz ieskończoego ciągu o wyrazach ieujemych spełiających ierówość i u q ru p k ui dla każdego i gdzie q r p i k ozaczają stałe ieujeme takie że p r k. Wtedy wyrazy tego ciągu spełiają ierówość u q( k) ( p r k) u dla każdego. (6.9) ( p r k) Nierówość tę moża zastosować bezpośredio do wyzaczeia oszacowaia rozwiązań rówaia (6.7) Twierdzeie Jeżeli istieją stałe ieujeme q r p i k takie że j p r k i f ( y ) q r y g( j y ) pk y j j to y q( k) ( p r k) y ( p r k) dla wszystkich. Stąd widać że przy uczyioych w tym twierdzeiu założeiach wszystkie rozwiązaia rówaia (6.7) są ograiczoe. Rozważmy teraz przypadek szczególy rówaia (6.7) w postaci y Ay f ( y ) (6.3) gdzie A jest macierzą kwadratową i porówajmy rozwiązaia tego rówaia z rozwiązaiami rówaia A g (6.3) gdzie g jest zaym ciągiem. Ozaczmy przez Z macierz fudametalą rozwiązań części jedorodej rówaia (6.3). 63

64 Załóżmy że istieją stałe ieujeme p i k ( k ) oraz fukcja h takie że Z( i) pk i f ( y ) g h( y ) dla wszystkich i gdzie h( ) i jest fukcją ciągłą i iemalejącą. Niech poza tym y. Twierdzeie Ozaczmy przez T odwzorowaie zbioru liczb dodatich w siebie określoe wzorem T( ) q( k) k kph( ). (6.3) Załóżmy że odwzorowaie to ma pukt stały. Wtedy jeśli y to y dla wszystkich. Ze wzoru (6.3) wyika że pukt stały odwzorowaia T istieje dla dostateczie małych wartości k. Stąd wyika że jeżeli rozwiązaia rówaia jedorodego rówaia (6.3) są dostateczie szybko zbieże do rozwiązaia trywialego to istieje rozwiązaie rówaia q( k) k kph( ) a rozwiązaia rówaia (6.3) spełiają ierówość y dla wszystkich przy założeiu że orma stau początkowego czyli y jest dostateczie mała. 7. STABILNOŚĆ NIEIZOLOWANYCH POŁOŻEŃ RÓWNOWAGI Przypomijmy że puktem stałym rówaia f ( t ) gdzie f jest fukcją ciągłą f : I R I [ t ) i jest obszarem w R azywamy taki pukt dla którego f ( t ) dla wszystkich t I. Często pukty stałe typowych rówań ruchu są izolowae. Jest jedak wiele zagadień w których rówaie ruchu może mieć więcej puktów stałych i to iekoieczie izolowaych tworzących w przestrzei stau R 7.. PRZYKŁADY pewą hiperpowierzchię azywaą rozmaitością puktów stałych. Przykład 7... Rozważmy ruch roweru którego oś kierowicy jest skierowaa pioowo przechodzi przez środek przediego koła i pokrywa się z osią główej cetralej 64

65 elipsoidy bezwładości przediej części roweru. Przy założeiu że koła mają kształt doskoale sztywych tarcz moża przy ograiczeiu się do małych odchyleń od ruchu prostoliiowego uzyskać astępujące rówaia d d b A R ds ds d d d a. ds ds ds W rówaiach tych A B a b ozaczają pewe bezwymiarowe współczyiki reprezetujące parametry kostrukcyje i ozaczają współrzęde uogólioe achyleia ramy i kąt obrotu kierowicy. Zauważmy że te układ rówań ma jedowymiarową rozmaitość położeń rówowagi b B w czterowymiarowej przestrzei fazowej. Przykład 7... W charakterze astępego przykładu rozważymy wirowaie wahadła płaskiego. Niech ozacza kąt odchyleia wahadła od piou a kąt obrotu względem osi pioowej. Uwzględiając tarcie w przegubie przy odchyleiu wahadła od piou i zaiedbując tarcie w łożysku pioowym rówaia ruchu moża apisać w postaci d d si cos si d d d [ ( cos )]. d Ruch ustaloy określa rówaie ( cos ) si. Stąd wyika że ma o jedowymiarową rozmaitość składającą się z trzech gałęzi: i cos. Przykład Rozważmy w końcu zagadieie stabilości ruchu prostoliiowego samochodu. Niech porusza się o w płaszczyźie Oy wzdłuż osi Oy. Niech karoseria samochodu będzie sztywo połączoa z osią tylych kół a przedie zawieszeie iech będzie iezależe. Jeżeli ograiczymy się do ruchu płaskiego to przy małych odchyleiach od ruchu wzdłuż osi Oy ze stałą prędkością moża dojść do astępującego układu rówań 65

66 mu avu b a b J e f g g fvu i I j k K l L p q r s t rvu. W układzie tym u ozacza składową prędkości środka masy w kieruku prostopadłym do kieruku ruchu - kąt obrotu samochodu wokół osi pioowej - kąt skręceia przedich kół względem osi podłużej samochodu - kąt obrotu przediej osi wokół osi podłużej samochodu. Przestrzeń fazowa jest w tym przypadku siedmiowymiarowa ( u ) i ruch samochodu może być reprezetoway przez ruch puktu w tej przestrzei. W ruchu ustaloym mamy vu. 7.. BADANIE STABILNOŚCI ROZMAITOŚCI RÓWNAŃ RUCHU Niech ruch układu z fukcją Lagrage'a L L( q... q q... q ) i siłami uogólioymi Q Q( q... q q... q ) j... będzie skrępoway więzami ieholoomiczymi których rówaia mają postać: i w (( q... q ) q ) (7.) ij j... j... m. Wtedy rówaia Lagrage'a I-go rodzaju mają postać: d dt L q j L Q j i wij. (7.) q j Układ rówań (7.) i (7.) wyzacza przy daych wartościach początkowych wielkości q... q... m jako fukcje czasu. W położeiu rówowagi (przy zerowych wartościach prędkości uogólioych) mamy rówaia: w których występuje L q j Q w j i ij m zmieych. Ozacza to że m z tych zmieych może być dowolych. Są to zatem rówaia rozmaitości położeń rówowagi które w przestrzei fazowej są odpowiedio wymiarowymi hiperpowierzchiami O m. Jeżeli jest to układ rówań iezależych to m jest wymiarem tej rozmaitości. W związku z tym rozmaitość ma wymiar w przypadku ogólym ie miejszy od m (od liczby rówań więzów ieholoomiczych). Charakterystyczą cechą układów z więzami ieholoomiczymi jest to że mają oe 66

67 rozmaitość położeń rówowagi a ie izolowae położeia rówowagi. Zatem badaie stabilości ma dotyczyć rozmaitości położeń rówowagi. W pracach J. I. Nejmarka i N. A. Fufajewa [4] wykazao w przypadku liiowych rówań ruchu że występujące w takich przypadkach pierwiastki zerowe rówaia charakterystyczego ie muszą dotyczyć sytuacji krytyczej chyba że ich liczba jest większa od liczby rówań więzów ieholoomiczych. O stabilości decydują te pierwiastki rówaia charakterystyczego które pozostaą po odrzuceiu tylu pierwiastków zerowych ile jest rówań więzów ieholoomiczych. Do otrzymaego w te sposób owego rówaia charakterystyczego może być zastosowae kryterium Routha-Hurwitza D-podziału lub ie. Te zae kryteria stabilości wyzaczają a rozmaitościach obszary stabilości oraz umożliwiają badaie wpływu parametrów fizyczych a położeie tych obszarów. Zliearyzowae rówaia ruchu umożliwiają badaie stabilości rozmaitości pukt po pukcie. Gorzej z oceą stabilości puktów zajdujących się w otoczeiu rozmaitości czyli z oceą obszarów stabilości w przestrzei fazowej. Wiadomo tylko tyle że jeżeli rozmaitość jest stabila to istieje małe jej otoczeie z którego startujące rozwiązaia pozostają stabile. Jedą z metod która pozwala a ilościowe szacowaie obszarów stabilości w przestrzei fazowej jest metoda bezpośredia Lapuowa której podstawowe twierdzeia podamy w astępym pukcie METODA BEZPOŚREDNIA LAPUNOWA BADANIA ZBIORÓW NIEZMIENNICZYCH Niech rówaie ruchu ma postać gdzie R zaś f ( t) odwzorowuje R R w R. f ( t) (7.3) Przypomijmy że zbiór M azywa się zbiorem iezmieiczym rówaia (7.3) jeżeli z faktu że M wyika że rozwiązaie ( t; t ) pozostaje w zbiorze M dla wszystkich t t. W szczególości jeżeli f ( t) to rozwiązaie trywiale jest jedoelemetowym zbiorem iezmieiczym rówaia (7.3). Wszędzie dalej przez ( M ) ozaczać będziemy odległość puktu R od zbioru M R. Defiicja 7.3. (stabilości zbioru iezmieiczego). Domkięty w R zbiór 67

68 iezmieiczy M azywa się stabilym według Lapuowa jeżeli dla każdego moża wskazać takie że jeżeli ( M) to ( ( t; t ) M) dla wszystkich t t. Jeżeli poadto lim ( ( t; t ) M) przy t dążącym do to mówimy że zbiór iezmieiczy M jest asymptotyczie stabily. Zauważmy że jeżeli układ rówań f ( ) ma rozwiązaie okresowe ( t; ) okresie T to będzie oo stabile jeżeli dla każdego moża wskazać o takie że jeżeli if t[ T) ( t; ) to if [ ) ( t; ) ( ; ) dla wszystkich t. Defiicja 7.3. (iestabilości zbioru iezmieiczego). Domkięty w R N zbiór iezmieiczy jest iestabily wg Lapuowa jeżeli istieje takie że dla każdego moża wskazać chociażby jedo takie że ( M) i ( ( t; t ) M) dla wszystkich t. Defiicja (asymptotyczej stabilości zbioru iezmieiczego). Jeżeli domkięty w R N zbiór M jest asymptotyczie stabily to zbiór A wszystkich wartości początkowych R i M spełiających waruek lim t ( ( t; t ) M) azywa się zbiorem asymptotyczej stabilości zbioru iezmieiczego M. Twierdzeie 7.3. (o stabilości zbioru iezmieiczego). Zbiór iezmieiczy M jest stabily według Lapuowa wtedy i tylko wtedy gdy istieje fukcja V określoa w otoczeiu S( M r) zbioru M spełiająca astępujące waruki: - dla każdego dostateczie małego c moża wskazać c takie aby ierówość V ( ) c była spełioa dla S( M r) i ( M) c - dla każdego dostateczie małego istieje takie aby ierówośćv ( ) była spełioa przy ( M) - fukcja V ( ( t; t )) jest ierosąca przy t t tak długo jak długo ( t; t ) S( M r). Twierdzeie 7.3. (o asymptotyczej stabilości zbioru iezmieiczego). Na to 68

69 aby zbiór iezmieiczy M był asymptotyczie stabily według Lapuowa potrzeba i wystarcza aby istiała w pewym otoczeiu S( M r) r fukcja V o podaych w twierdzeiu o stabilości własościach a poza tym lim t V ( ( t; t )). Twierdzeie (o iestabilości zbioru iezmieiczego). Zbiór iezmieiczy M jest iestabily wtedy i tylko wtedy gdy istieje w otoczeiu S( M r) zbioru M fukcja V( ) spełiająca astępujące waruki: - jest ograiczoa w S( M r) - w każdym otoczeiu zbioru M moża zaleźć co ajmiej jede taki elemet że V ( ) - dla każdego elemetu S( M r) zachodzi rówość: dv dt V w gdzie a w jest fukcją dodatio określoą. Wyżej podae twierdzeia metody bezpośrediej Lapuowa staowią podstawę do badaia stabilości układów mechaiczych z więzami ieholoomiczymi bez uciekaia się do liearyzacji. Metoda Lapuowa jest bardzo silym arzędziem pod warukiem że potrafimy do badaego problemu dobrze wybrać fukcję Lapuowa. Nie jest to łatwe kostrukcja dobrej fukcji jest bowiem - jak to podkreślaliśmy - sztuką STABILNOŚĆ RUCHU OKRESOWO ZMIENNEGO Rozpatrzmy ruch określoy rówaiem gdzie f odwzorowuje obszar zawierający w R m y f ( y) (7.4) w siebie. Niech ( t) będzie rozwiązaiem T - okresowym tego układu a T okresem ruchu. Niech wreszcie L ozacza trajektorię rozwiązaia w przestrzei fazowej tz. m L { ( t) R : t T}. Przez ( z L ) rozumiemy tak jak poprzedio odległość puktu z R m od zbioru L R m. Defiicja 7.4. (orbitalej stabilości ruchu okresowego). Rozwiązaie jest stabile orbitalie jeśli dla dowolych i t istieje takie że 69

70 wszystkie ruchy zaburzoe z które spełiają waruek ( t ) z( t ) spełiają rówież ierówość ( z( t) L) dla wszystkich t t. Defiicja 7.4. (asymptotyczej orbitalej stabilości ruchu okresowego). Rozwiązaie jest asymptotyczie orbitalie stabile jeśli jest oo stabile orbitalie oraz dla dowolego t istieje takie że wszystkie ruchy zaburzoe które spełiają ierówość ( t ) z( t ) spełiają rówież waruek lim t ( z( t) L). Zauważmy że stabilość orbitala jest własością słabszą iż stabilość w sesie Lapuowa. O stabilości orbitalej ruchu okresowego moża wosić a podstawie stabilości rozwiązań ustaloych pewych rówań rekurecyjych a przykład w postaci f ( ) (7.5) gdzie m R f odwzorowują obszar w siebie R m f ( ) dla wszystkich N. Stabilość ruchu okresowego zadaego rówaiem (7.4) moża sprowadzić do badaia stabilości rówaia rekurecyjego: G( t t ) i S( ( t )) (7.6) gdzie t ozaczają chwile odpowiadające przejściu trajektorii ruchu zaburzoego przez zadaą hiperpowierzchię S w przestrzei fazowej układu a G ozacza operator rezolwety rówaia różiczkowego (7.4). Niech rozwiązaie: t T (7.7) rówaia (7.6) reprezetuje ruch okresowy. Zagadieie stabilości rozwiązaia (7.7) moża w zwykły sposób sprowadzić do zagadieia stabilości rozwiązaia zerowego. Twierdzeie 7.4. (o stabilości ruchu okresowego). Jeśli rozwiązaie (7.7) jest stabile to rozwiązaie okresowe rówaia (7.4) jest orbitalie stabile. Twierdzeie 7.4. (o asymptotyczej stabilości ruchu okresowego). Jeśli rozwiązaie (7.7) jest stabile asymptotyczie to rozwiązaie okresowe rówaia (7.4) jest asymptotyczie orbitalie stabile. Powyższe twierdzeia dotyczą przypadku gdy rozwiązaie (7.7) jest izolowaym rozwiązaiem ustaloym rówaia (7.6). Wtedy problem stabilości ruchu okresowego sprowadza się do badaia stabilości izolowaego puktu stałego autoomiczego 7

71 rówaia rekurecyjego. Jeśli rozwiązaie (7.7) rówaia (7.6) ależy do rozmaitości puktów stałych to problem stabilości ruchu okresowego sprowadza się do badaia stabilości zbioru iezmieiczego autoomiczego rówaia rekurecyjego. Zastosowae tu metody awiązują do metod badaia stabilości ruchu układów ieholoomiczych rozwiiętych w poprzedim podpukcie. Rozważmy rówaie rekurecyje gdzie f ( ) (7.8) m R f odwzorowują obszar w siebie R m. Załóżmy że istieje zbiór M domkięty oraz taki że jeżeli M ( ) M dla wszystkich gdzie ( ) jest rozwiązaiem rówaia (7.8) spełiającym waruek ( ). Defiicje stabilości zbioru iezmieiczego w tym przypadku są aalogicze do defiicji m Niech S( M ) { p R : ( p M ) } ozacza -otoczeie zbioru M a fukcję odwzorowującą R w R ciągłą i rosącą oraz taką że ( ) czyli fukcję klasy K. Twierdzeie (o stabilości zbioru iezmieiczego rówaia rekurecyjego). Domkięty zbiór iezmieiczy M rówaia (7.8) jest stabily jeśli istieją fukcje ciągłe K i V odwzorowująca w R i r takie że dla każdego y S( M r) zachodzi ) V( y) ( ( y M)) ) V ( f ( y)) V ( y) oraz V ( y) ym. Twierdzeie (o asymptotyczej stabilości zbioru iezmieiczego rówaia rekurecyjego). Domkięty zbiór iezmieiczy M rówaia (7.8) jest asymptotyczie stabily jeśli istieją fukcje ciągłe K i V odwzorowująca w R i r takie że dla każdego y S( M r) zachodzi ) V( y) ( ( y M)) ) V( f ( y)) V( y) ( ( y M)) oraz V ( y) ym. 7

72 Twierdzeie (o iestabilości zbioru iezmieiczego rówaia rekurecyjego). Jeśli istieje fukcja V odwzorowująca w R taka że ) V ( ) S( M ) M ) V( f ( )) V( ) S( M ) to zbiór iezmieiczy M jest iestabily. Sformułowae powyżej podstawowe defiicje i twierdzeia umożliwiają badaie stabilości ruchu okresowego w przypadku istieia rozmaitości puktów stałych autoomiczych rekurecyjych rówań ewolucji zaburzeń. Należy zazaczyć że dla rówań ieautoomiczych uczyioe w twierdzeiach o stabilości i asymptotyczej stabilości założeia o fukcji V są w przypadku odpowiadającego tej fukcji ciągu fukcji V warukami wystarczającymi stabilości i asymptotyczej stabilości zbioru iezmieiczego. W przypadku występowaia ograiczoego zbioru iezmieiczego dla rówań autoomiczych uczyioe założeia o fukcji V moża osłabić żądając tylko by: lub ) V ( ) dla S( M r) ) V( f ( )) V( ) dla S( M r) * ) V( f ( )) V( ) dla S( M r). Należy zazaczyć że w przypadku istieia rozmaitości puktów stałych ie moża posłużyć się częścią liiową rówań (7.6) do ocey stabilości rozwiązaia okresowego rówaia (7.4). Stąd wyika koieczość posługiwaia się fukcjami Lapuowa oraz twierdzeiami o stabilości zbioru iezmieiczego STABILNOŚĆ RUCHU Z UDERZENIAMI Z ROZMAITOŚCIĄ PUNKTÓW STAŁYCH Przykład Jeszcze raz rozważymy stabilość ruchu okresowego "spadającego po schodach" puktu materialego. Przypomiamy że w celu uproszczeia zagadieia uwzględiamy tylko składowe pioowe przemieszczeia i prędkości. Ruch puktu w przedziałach czasu między uderzeiami opisay jest rówaiem g g cost. Jak poprzedio rozważymy przypadek ruchu okresowego o okresie T z jedym uderzeiem w ciągu okresu. Rówaia uderzeia po uwzględieiu waruków uderzeia i 7

73 okresowości mają postać ( ) ( T) h ( ) R( T ) gdzie R ozacza współczyik restytucji zaś h wysokość "schodka". Ewolucję zaburzeń ruchu okresowego moża rozważać porówując ruch okresowy i zaburzoy w chwilach odpowiadających uderzeiom w ruchu okresowym czyli dla t T 3... Pozwala to wioskować o stabilości Lapuowa ruchu z uderzeiami. Zagadieie badaia stabilości w sesie Lapuowa rozważaego ruchu okresowego prowadzi do astępujących rówań rekurecyjych opisujących ewolucję zaburzeń początkowych i ruchu okresowego: ( R) RT ( R) g / ( R) ( R) g ( R) g / [ gt ( R) ] T( R) ( R) gdzie ozaczają zaburzeia przemieszczeia zaburzeia fazy ruchu. (7.9) zaburzeia prędkości zaś Powyższy układ rówań ma rozmaitość puktów stałych wyzaczoą przez rówaia ( R) RT ( R) g g. / Ze względu a iterpretację fizyczą jedo z rozwiązań trzeciego rówaia układu (7.9) moża wyelimiować. Wtedy z układu (7.9) otrzymamy rówaia rozwikłae: z o( z ) ( R) z / T o( z ) gdzie z ( R) / ( g) RT ( R). Aby zbadać stabilość rozmaitości puktów stałych rówaia (7.9) w wyborze fukcji Lapuowa wzorujemy się a metodzie wprowadzoej dla rówań różiczkowych w [48]. Fukcję Lapuowa weźmiemy w postaci V ( ) z gdzie z ( R) / ( g) RT ( R). Wtedy dla R spełioe są założeia twierdzeia o asymptotyczej stabilości zbioru iezmieiczego i rozważaa rozmaitość jest asymptotyczie stabila tz. dla każdego istieje takie że jeśli ( L) to ( L) dla wszystkich N oraz lim ( L) przy dążącym do. Tutaj L ozacza rozmaitość puktów stałych rówaia (7.) zaś ( ). 73

74 * * Dla rówań (7.) moża dodatkowo wykazać że lim( ) ( ) przy L zmierzającym do tak że dla każdego istieje takie że jeśli i to * i * co a podstawie twierdzeia o stabilości ruchu okresowego prowadzi do wiosku o stabilości w sesie Lapuowa rozważaego ruchu okresowego z uderzeiami. Powyższy przykład wskazuje tak jak i poprzedi że badaie stabilości Lapuowa ruchu okresowego z uderzeiami może prowadzić do zagadieia stabilości rozmaitości puktów stałych. [5]. 8. STABILNOŚĆ ROZWIĄZAŃ RÓWNAŃ O POCHODNYCH CZĄSTKOWYCH Jak już podkreśloo we wstępie przestrzeń stau procesów zachodzących w układach ciągłych ie jest przestrzeią euklidesową a jest przestrzeią fukcyją (elemetem tej przestrzei może być skończoy ciąg fukcji a ie liczb). Ocey zachowaia się rozwiązań przeprowadza się tutaj a podstawie iformacji o zachowaiu się fukcjoału (odległości) a badaym rozwiązaiu przy t. Często w tym celu korzysta się z ormy w przestrzei fukcji całkowalych z kwadratem. Zauważmy przy tym że wybór ormy ie jest w tym przypadku sprawą bagatelą. W przestrzeiach fukcyjych w przeciwieństwie do przestrzei euklidesowej ie wszystkie ormy są rówoważe. Stąd wyika dodatkowa trudość badaia stabilości układów ciągłych wyikająca z koieczości doboru właściwej ormy (a dokładiej właściwej przestrzei fukcyjej). W przypadku badaia stabilości modeli matematyczych w postaci rówań różiczkowych o pochodych cząstkowych opisujących układy ciągłe w warukach początkowych występują fukcje i wobec tego stabilość czy iestabilość zależy ie tylko od regularości występujących w rówaiu i w warukach brzegowych fukcji lecz rówież od regularości fukcji występujących w warukach początkowych. W tym pukcie ograiczymy się do sformułowaia podstawowego twierdzeia o stabilości asymptotyczej. Pod względem formalym jest oo bardzo podobe do odpowiedich twierdzeń w przypadku skończoej liczby stopi swobody. Twierdzeie 8. (Lapuowa - Mowczaa o stabilości ruchu iezaburzoego układu ciągłego - opisywaego rówaiami różiczkowymi o pochodych 74

75 cząstkowych). Na to aby jakieś rozwiązaie iezaburzoe y układu ciągłego było stabile względem dwóch odległości i dla t aby istiał fukcjoał V spełiający waruki: ) V jest dodatio określoy względem odległości ) V jest ciągły względem odległości początkowej dla t t 3) V jest ierosący a każdym iym rozwiązaiu zaburzoym przy. t potrzeba i wystarcza Jeżeli są spełioe założeia powyższego twierdzeia i V przy t to rozwiązaie iezaburzoe jest stabile asymptotyczie. W wielu przypadkach fukcjoał Lapuowa przyjmuje się w postaci odległości ( t ) i ( t ). Upraszcza to zaczie badaie stabilości. Przykład 8.. Rozważmy drgaia poprzecze struy w ośrodku sprężystym y T m y y ey t t gdzie m e t stałe dodatie lub y y a b y cy t t po wprowadzeiu owych stałych. Przyjmijmy dla rozważaego zagadieia waruki brzegowe w postaci y( t) y( l t) dla wszystkich t fukcjoał w postaci l y y V (( c b ) y ( by a d t ) ( ) ). Przy c b (jeśli waruek te ie jest spełioy to moża przyjąć ią postać fukcjoału) forma kwadratowa pod całką jest dodatio określoa i wobec tego spełia p. l ( ) ierówość V c gdzie ( ( y y t ( t ) ( ) ) d ) t Obliczmy pochodą względem czasu fukcjoału V. Po przekształceiach otrzymamy dv y b b y y y bcy bay a y y a y l y dt [ ( ) ] t t t t t t d a stąd po wykoaiu odpowiedich całkowań przez części i uwzględieiu waruków brzegowych otrzymamy dv dt bv lub V V ( t ) ep[ b( t t )].. 75

76 Wybray wyżej fukcjoał moża potraktować jako odległość. Wobec tego stwierdzamy asymptotyczą stabilość położeia rówowagi struy. Z powyższych rozważań wyika że przy badaiu stabilości układów ciągłych pewe fukcjoały pełią taką samą rolę jak fukcje Lapuowa przy badaiu stabilości omawiaych wcześiej układów o skończoej liczbie stopi swobody. Z podobą sytuacją spotkamy się rówież w astępym pukcie przy badaiu stabilości układów z przesuiętym argumetem. Ograiczoo się tutaj jedyie do bardzo wstępych iformacje o stabilości rozwiązań rówań o pochodych cząstkowych. Do badaia ich stabilości używa się zaawasowaych teorii matematyczych typu aalizy fukcjoalej (a w szczególości teorii operatorów) których w tym opracowaiu staraliśmy się uikać. Należy jedak pamiętać przy tym że metody aalizy fukcjoalej są takim arzędziem które pozwala w jedolity sposób badać większość poruszaych w tym opracowaiu problemów. Zaiteresowaych tą problematyką odsyłamy p. do prac [6 8 33]. 9. STABILNOŚĆ ROZWIĄZAŃ RÓWNAŃ Z PRZESUNIĘTYM ARGUMENTEM Rówaie azywa się rówaiem z przesuiętym argumetem jeżeli występujące w im fukcje iewiadome i ich pochode zależą od różych chwil czasu. Ze względu a charakter tej zależości wyróżia się rówaia z opóźioym argumetem rówaia typu eutralego rówaia różiczkowo-różicowe itp. W tym pukcie ograiczymy się do rówań z argumetem opóźioym i rówań typu eutralego. Jeśli ajwyższa pochoda iewiadomej fukcji w chwili t zależy od wartości przyajmiej jedej fukcji lub jej iższych pochodych w chwili wcześiejszej t to rówaie azywa się rówaiem z opóźioym argumetem. Jeżeli ajwyższa pochoda fukcji iewiadomej w chwili t zależy rówież od wartości tej pochodej w chwilach poprzedich t to rówaie jest typu eutralego. Do rówań tego typu dochodzimy przy próbie dokładiejszego opisu układów dyskreto - ciągłych układów z regulacją automatyczą aerosprężystości itp. Podstawy stabilości takich rówań stworzyli Krasowski Bellma Myszkis Elsgoltz i ii. W tym pukcie ograiczając się do kilku podstawowych elemetów tej teorii rozpatrzymy stabilość rozwiązań rówaia fukcyjego w postaci ( t) f ( t ) (9.) 76

77 które a pierwszy rzut oka jest bardzo podobe do rówaia (5.). Tutaj jedak będziemy zakładać m.i. że f :[ ) B R i f jest fukcją ciągłą gdzie B { M } jest kulą w przestrzei Baacha fukcji ciągłych :[ h ] R z ormą sup hs ( s) a. jest dowolą ormą w R. Jeżeli :[ h M] R jest ciągła i h to dla t fukcja t M jest określoa przez t ( s) ( t s). Rozwiązaie rówaia (9.) będziemy ozaczać przez ( t t ). Przyjmiemy założeie że f jest fukcją dostateczie gładką zapewiającą istieie i jedozaczość rozwiązań. W tym celu wystarczy a przykład aby fukcja f spełiała względem drugiego argumetu waruek Lipschitza. Bez zawężaia ogólości rozważań przyjmiemy w tym pukcie że f ( t ). Defiicje stabilości rozwiązaia trywialego rówaia (9.) ie różią się pod względem formalym od odpowiedich defiicji dla modeli opisywaych zwyczajymi rówaiami różiczkowymi. W związku z tym ograiczymy się tutaj do podaia tylko defiicji stabilości. Defiicja 9. (stabilości rozwiązaia rówaia z opóźioym argumetem). Rozwiązaie trywiale rówaia (9.) jest stabile jeśli dla każdego istieje taka t t ) dla wszystkich t t i wszystkich B. ( Podobie moża przeieść a rozważay tutaj typ rówań defiicje stabilości jedostajej asymptotyczej wykładiczej itp. Występująca w defiicjach fukcja początkowa jest dowolą fukcją z przestrzei M. Przy badaiu kokretych zagadień często klasa fukcji początkowych jest węższa. Może się zdarzyć że iestabile rozwiązaie w myśl wyżej podaej defiicji może być stabile przy fukcjach początkowych ależących do węższej klasy fukcji iż M. Fakt te zmusza do większej uwagi przy wyprowadzaiu kryteriów iestabilości. Zauważmy poadto że dla rozważaej klasy modeli z faktu że rozwiązaie jest stabile przy wartościach początkowych w chwili t ie wyika stabilość przy zaburzeiach początkowych w chwili t t. Poza tym dla tej klasy modeli może być istote badaie stabilości przy zaburzeiach ie tylko wartości początkowych stale działających zaburzeń ale i zaburzeń a przykład opóźieia. Może się bowiem zdarzyć że 77

78 rozwiązaia są stabile przy jedej wartości opóźieia a przy iej są iestabile. W tym pukcie ie będziemy jedak tym zagadieiem zajmować się dokładiej. 9.. RÓWNANIA LINIOWE O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH I STAŁYCH OPÓŹNIENIACH W literaturze te typ rówań zapisuje się w postaci m ( t) A( t) B ( t ) (9.) i i gdzie A i B i macierze kwadratowe i` stałe opóźieia i... m. Podstawiając do tego rówaia ( t) ep( t) otrzymamy po uproszczeiach rówaie charakterystycze w postaci m det( A Bi ep( i) E). (9.3) i Pomimo tego że rówaie to może mieć ieskończoą liczbę pierwiastków pozostają w sile kryteria stabilości i asymptotyczej stabilości podae w rozdziale dotyczącym stabilości rówań różiczkowych zwyczajych. Jedyą różicą jest tylko fakt że dla rozpatrywaej klasy rówań o stałych współczyikach. z asymptotyczej stabilości ie wyika stabilość wykładicza. Wiąże się to z tym że rówaie charakterystycze (9.3) może mieć ieskończoą liczbę pierwiastków o ujemych częściach rzeczywistych których kres góry może być rówy zero. Pokażemy teraz a przykładzie liiowego rówaia różiczkowego pierwszego rzędu z opóźioym argumetem jak wpływa opóźioy argumet a stabilość rozwiązań. Niech ( t) a( t) b( t ). Wobec tego z rówaia charakterystyczego (9.3) w rozważaym przypadku otrzymamy a be. Aby wyzaczyć a płaszczyźie parametrów ( a b) obszar stabilości rozwiązań tego rówaia moża posłużyć się metodę D-podziału (pukt.). Jedą z liii D-podziału otrzymamy kładąc w rówaiu charakterystyczym. Wtedy a płaszczyźie parametrów mamy rówaie prostej a b. Drugą liię wyzaczającą graicę stabilości otrzymamy podstawiając zamiast. Otrzymamy wtedy i a b(cos isi ) i ( i ) do rówaia charakterystyczego 78

79 Przyrówując do zera części rzeczywistą i urojoą lewej stroy tego rówaia otrzymamy rówaie poszukiwaej krzywej w postaci parametryczej b si cos a si gdzie. Wyzaczoy w te sposób obszar stabilości dla badaego rówaia z Rys. 9.. Obszar stabilości rówaia z opóźioym argumetem opóźioym argumetem przy pokazao a rysuku 9. Jeżeli zaiedbamy opóźieie (przyjmiemy ) to otrzymamy rówaie różiczkowe zwyczaje dla którego waruek stabilości ma postać a b. Obszar stabilości w tym przypadku pokazao a rysuku 9. Rys. 9.. Obszar stabilości rówaia z opóźioym argumetem Rozważaia dotyczące stabilości rówań o stałych współczyikach zakończymy zwróceiem uwagi a kosekwecje zaiedbywaia małych opóźień w przypadku rówań eutralych. W tym celu rozważmy rówaie 79