x+h=10 zatem h=10-x gdzie x>0 i h>0

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "x+h=10 zatem h=10-x gdzie x>0 i h>0"

Jadwiga Kowal
7 lat temu
Przeglądów:

1 Zadania optymalizacyjne. Jaka jest największa możliwa wartość iloczynu dwóch liczb, których suma jest równa 60? Rozwiązanie: KROK USTALENIE WZORU Liczby oznaczamy przez a i b więc x+y=60 Następnie wyznaczamy jedną niewiadomą np. y zatem y=60 x Iloczyn tych liczb oznaczmy jako I I(x,y)=x*y, podstawiamy y i powstaje nam funkcja I(x)=x(60-x)= x + 60x Dziedzina tej funkcji xεr KROK WYZNACZENIE NAJWIĘKSZEJ WARTOŚCI Wykres funkcji I(x) jest parabolą o ramionach skierowanych w dół, zatem największa wartość iloczynu to q. obliczamy p = b a = 60 =30 obliczamy q=i(p)=i(30)= = = 900 Odpowiedź: Najwieksza wartość iloczynu jest równa Dla jakich liczb x, y ich iloczyn przyjmuje wartość najmniejszą, jeżeli różnica x-y jest równa? 3. Przedstaw liczbę 6 w postaci dwóch składników, których suma kwadratów jest najmniejsza. Rozwiązanie: Oznaczmy szukane składniki jako x i y x+y = 6 więc y=6-x Niech S będzie funkcją opisującą sumę kwadratów tych składników S(x,y)= x + y S(x) = x + (6 x) = x + 6 3x + x = x 3x + 56 Dziedzina xεr Jest to funkcja kwadratowa a jej wykresem jest parabola mająca ramiona skierowane w doł, zatem największą wartość funkcja przyjmuje w wierzchołku dla p= 3 = 8. Wynosi ona q=s(8)=8. Odpowiedź: Szukanymi liczbami są x=8 i y=8. Mamy 0 metrów bieżących siatki ogrodzeniowej. Chcemy ogrodzić prostokątny ogródek o jak największej powierzchni. Jakie wymiary powinien mieć ogródek. 5. Jakie wymiary powinien mieć prostokąt o obwodzie 6m, aby jego pole było największe? 6. Jak liczba dodana do swego kwadratu utworzy najmniejszą sumę? 7. Suma długości boku trójkąta i wysokości opuszczonej na ten bok wynosi 0 cm. Jaką długość powinien mieć bok a jaką wysokość, aby pole było największe? Oblicz maksymalne pole tego trójkąta? x+h=0 zatem h=0-x gdzie x>0 i h>0 P= xh P(x)= x(0 x) = x + 5x pole trójkąta zależy od długości boku x możemy zatem powiedzieć, że pole to jest funkcją kwadratową zmiennej x. Parabola ma ramiona w doł więc największa wartość jest równa q

2 Dziedzina x (0,0) Obliczamy p i q: p=5ε(0,0) q=p(5)=,5 czyli maksymalne pole wynosi,5 dla x=5 i h=0-5=5. Zadanie prowadzące do równań kwadratowych zastosowania funkcji kwadratowej.. Mamy ogrodzić prostokątną działkę, której jeden bok jest o 0 m dłuższy od drugiego, pole zaś wynosi 00 m. Jakie wymiary ma ta działka? a- Pierwszy bok b- Drugi bok Założenie: a>0 i b>0 b=a+0 a(a+0)=00 a +0a-00=0 = = 900 a=30 a=-0 nie spełnia założeń, (bo długość boku nie może mieć ujemnej wartości) Obliczamy b= 30+0 Odpowiedź: Działka ma wymiary 30m x 0 m Zadania zamknięte na pracę klasową:. Największa wartość funkcji f 3( x ) 5, to: 3 5. Miejscami zerowymi funkcji f ( x )( x 6) są liczby: i 6 6 i i 6 6 i 3. Wierzchołkiem paraboli o równaniu f ( x 3) jest punkt: W (3, ) W ( 3, ) W ( 3, ) W (3, ). Dana jest funkcja f x x 3. Zbiorem wartości tej funkcji jest:, ), ) (, (, 5. Wykres funkcji f x przesunięto wzdłuż osi OX o 3 jednostki w prawo i wzdłuż osi OY o jednostki w dół. Otrzymano w ten sposób funkcję g(x) o wzorze: g ( x 3) g ( x 3) g ( x ) 3 g ( x ) 3

3 6. Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej f są liczby - i 6. Wobec tego osią symetrii wykresu funkcji f jest prosta o równaniu: y x 0 x x 3 7. Do paraboli f x x 3 należy punkt: A (, ) A (, ) A (, ) A (, ) 8. Zbiorem rozwiązań nierówności ( x 3)( x) 0 jest zbiór: (3, ) 9. Równanie ( x ) 6 (, 3), 3,, 3, nie ma rozwiązania ma dwa rozwiązania ma jedno rozwiązanie ma cztery rozwiązania 0. Jeżeli funkcja a f ax x ma dokładnie jedno miejsce zerowe, to: a a. Funkcją kwadratową rosnąca w przedziale (, 3 jest funkcja określona wzorem: a f ( x 3) f ( x 3) f 3( x 3) f 3( x 3). Liczba jest miejscem zerowym funkcji: g ( x ) g (x ) g 5(0x 5) g 8(8x ) 3. Funkcja f 5( x 5)( x 5) dla argumentu x 5 przyjmuje wartość: Która z podanych liczb jest miejscem zerowym funkcji f ( x 3)? Miejscami zerowymi funkcji g x( x ) są liczby: i 0 i i 0 i 6. Parabola o równaniu y 3( x 3) 3 przecina oś OY w punkcie: A ( 0, 30) A ( 0, ) A (0, 6) A (0, ) 7. Początek układu współrzędnych nie jest wierzchołkiem paraboli y x y 0,5x y x x y 7x

4 8. Wierzchołkiem paraboli o równaniu y 6x 6 jest punkt: W ( 6, 6) W ( 0, 6) W (6,0) W (0, 6) 9. Suma odległości wierzchołka paraboli o równaniu y ( x 5) 3 od osi układu współrzędnych jest równa: Funkcja f x 9 najmniejszą wartość przyjmuje dla argumentu: f x 5 największą wartość przyjmuje dla argumentu:. Funkcja Najmniejsza wartość funkcji f x 6 jest równa: W przedziale ( 0; ) zawiera się zbiór wartości funkcji: f 3x x f f 5x 6 f 7x 8. Największą liczbą całkowitą nie należącą do zbioru wartości funkcji h ( x 7) 8 jest: Jeżeli zbiorem wartości funkcji f ax 6x jest przedział ( ; 0, to: a 9 a, 5 a a 0 6. Funkcja f x jest malejąca w przedziale: (, ) ( ; (, 0 (, f x 3 jest rosnąca w przedziale: 7. Funkcja 3; ) ( ; (, 3 ; ) 8. Funkcja kwadratowa g dla argumentów i przyjmuje tę samą wartość. Wobec tego osią symetrii wykresu funkcji g jest prosta o równaniu: x 0 x x 5 x 7 9. Miejscami zerowymi funkcji f x bx c są liczby 3 i. Wskaż postać iloczynową funkcji f. f ( x 3)( x ) f ( x 3)( x ) f ( x 3)( x ) f ( x 3)( x ) 30. Punkty A (0, 6), B (, 0), C (, 0) należą do wykresu funkcji kwadratowej f. Wobec tego funkcja f określona jest wzorem:

5 f ( x )( x 6) f 3( x )( x ) f ( x )( x ) f 3( x )( x ) 3. Funkcja f 8( x 7)( x 6) przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów: x ( ; 7) x ( ; 6) x ( 7; 6) (6; 7) 3. Pierwiastkami równania ( 8x )(0x ) 0 są liczby: i 0,5 i 0, 0,5 i 0, i 33. Największą liczbą spełniającą równanie x x 6 0 jest: Jeżeli od większego rozwiązania równania rozwiązanie, to otrzymamy liczbę: x 8 0 odejmiemy jego mniejsze Wskaż równanie, którego rozwiązania są liczbami przeciwnymi. ( x )( x ) 0 ( x )( x ) 0 ( x )(x ) 0 ( x )(x ) Równanie x 8x c 0 ma dokładnie jedno rozwiązanie, więc: c 0 c 37. Rozwiązaniem nierówności ( x 5) 0 nie jest liczba: c c Zbiorem rozwiązań nierówności x 9x jest przedział: (, 9) ( 0; 9) (, 0) (9; ) ( 3; 3) 39. Wskaż nierówność, której zbiorem rozwiązań jest przedział ; ( x )( x ) 0 ( x )( x) 0 ( x )( x) 0 ( x )( x ) 0 Zrodlo: internet Zadania maturalne z funkcji kwadratowej można znaleźć na stronie: dla zainteresowanych : tegoroczna matura:

Podobne dokumenty

1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)

1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 1) Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w początku układu współrzędnych i przechodząca przez punkt. Wobec tego funkcja f określona wzorem 2) Punkt należy do paraboli o równaniu. Wobec