Instytut Mechaniki Budowli. Wydział Inżynierii Lądowej

Transkrypt

1 - - Politchnika Krakowka Wydział nżynirii ądowj ntytut Mchaniki Budowli Katdra Wytrzymałości Matriałów Podtawy torii wytężnia matriałów komórkowych w oparciu o nrgtyczn krytria tanów granicznych Piotr Kordzikowki Kraków 006

2 PAN PREZENTACJ - - Przdmiot badań Cl pracy Aktualn problmy dotycząc zatoowań, wytwarzania i modlowania właności mchanicznych matriałów komórkowych na podtawi litratury Podtawy torii prężytych tanów włanych i tanów granicznych matriałów anizotropowych Krytria nrgtyczn dla matriałów komórkowych Analiza rozkładu gętości nrgii tanów granicznych Porównani otrzymanych rzultatów z danymi przntowanymi w litraturz itratura

3 PRZEDMOT BADAŃ Matriały komórkow o zkilci rgularnym - - Komórka zścinna Komórka protopadłościnna

4 Komórka w potaci pryzmy Komórka w potaci pryzmy o podtawi trójkąta o podtawi zściokąta równoboczngo formngo - -

5 - 5 - CE PRACY Opracowani torii wytężnia matriałów komórkowych z uwzględninim paramtrów mikrotruktury zkiltu z zatoowanim torii prężytych tanów włanych i nrgtycznych warunków granicznych podanych przz J. Rychlwkigo [98]. Zatoowani do matriałów komórkowych propozycji, ż graniczn wartości gr gętości nrgii prężytych Φ p dla pozczgólnych tanów włanych można obliczać z mikrotrukturalngo modlu matriału (K. T. Nalpka, R. B. Pęchrki [00]). Wyprowadzono analityczn formuły dla prężytych modułów Klvina oraz granicznych nrgii prężytych z wykorzytanim programu do ymbolicznych obliczń Mathcad.

6 MATERAŁY KOMÓRKOWE RODZAJE, ZASTOSOWANE MODEOWANE OGÓNA CHARAKTERYSTYKA a b c a) pianka aluminiowa komórka otwarta, b) pianka aluminiowa komórka zamknięta c) truktura drwna - 6 -

7 Struktury komórkow polimrow lub cramiczn - 7 -

8 ZASTOSOWANE MATERAŁÓW KOMÓRKOWYCH a b c d f g h i j k l Wypłnini płyt trukturami komórkowymi - 8 -

9 - 9 - MODEOWANE MATERAŁÓW KOMÓRKOWYCH a b Rprzntatywny lmnt truktury komórkowj: a) modl tortyczny z ztywnym węzłm, b) zatoowani mtody lmntów kończonych do analizy węzła Badania doświadczaln

10 a b a) rprzntatywna komórka zścinna b) modl truktury kości gąbczatj przyjęty do obliczń numrycznych (P. Kowalczyk [00]) - 0 -

11 Przykłady truktur komórkowych analizowanych numryczni w pracy J. Aboudi, R. Gilat [005] - -

12 - - PODSTAWY TEOR SPRĘŻYSTYCH STANÓW WŁASNYCH STANÓW GRANCZNYCH MATERAŁÓW ANZOTROPOWYCH NOWA SPRĘŻYSTOŚĆ MATERAŁÓW ANZOTROPOWYCH σ S ε, ε C σ, S, C - tnory Hook a zagadnini włan S ω i i ω i, C ω i ω i rozkład pktralny (J. Rychlwki [98]) S S ω i ω i ω ω + + V ω V ω V Dla dowolngo prężytgo ciała z tnorami Hook a S, C itnij dokładni jdn ortogonalny rozkład prztrzni tnorów ymtrycznych drugigo rzędu na S podprztrzni P k : P P P < < < ρ taki, ż T, ρ 6 i ciąg modułów Klvina ρ S P + + P i ρ gdzi tnor P k jt projktorm ortogonalnym na podprztrzńp k. ρ

13 Dla tnora podatności rozkład pktralny ma potać - - C C ω i ω i ω ω + + ω V ω V V ρ ρ C P + + P Z rozkładu pktralngo tnorów Hook a S, C wynika wyrażni na nrgię prężytą ( ) ( ) ( ) Φ ( σ ) i i ( i i σ i C σ i C klmn σ kl σ mn σ ), i,..., p p 6 ( i ) gdzi: ( i ) ( σ ) - kwadrat rzutu tnora naprężnia na i-ty wktor włany tnora S, C ( i ) - i-ta wartość włana tnora S, C

14 Główny rozkład nrgii prężytj odpowiadający rozkładowi prztrzni T S na podprztrzni włan P k dla tnora C przyjmuj potać (J. Rychlwki [98]) ( σ ) φ ( σ ) ( ) ( ) ( ) σ ρ φ σ φ σ φ σ ρ σ σ Φ Obzar toowalności prawa Hook a okrśla kwadratowy warunk graniczny typu R. von Mi a [98] σ H σ Warunk graniczny typu Mi a przyjmuj potać σ σ σ σ H σ φ ( σ ) + φ ( σ ) + + φ ( σ ) h h h k k k ρ ρ ρ ρ σ ρ ρ gdzi: h α k α α jt graniczną wartością nrgii prężytj dla naprężnia σ α - Φ ( σ ) α α α α σ σ α α α h h k prztrzń P α jt prztrznią tanów bzpicznych jśli k α, warunk graniczny wiąż zatm w pwin poób właności prężyt ciała z jgo włanościami w tani granicznym,

15 - 5 - KRYTERA ENERGETYCZNE DA MATERAŁÓW KOMÓRKOWYCH nrgtyczn krytrium wytężnia formułowan przz J. Rychlwkigo [98] (krytrium dla przężonych tanów włanych) gdy tnory C, S i H ą wpółoiow ( σ ) Φ ( σ ) p Φ + +, p 6 Φ Φ gr gr p σ σ + σ σ p - rozkład tnora naprężnia na p tanów włanych Φ gr p - graniczna wartość gętości nrgii prężytj w tani włanym p, którą nalży obliczyć krytrium dla rozłącznych tanów włanych (S. C. Cowin t al.,995) ( σ ) Φ Φ ( σ ) gr Φ Φ gr p p p 6

16 - 6 - SPRĘŻYSTE STANY WŁASNE GĘSTOŚC ENERG GRANCZNYCH Komórka zścinna ymtria kubiczna OZNACZENA - wymiar lmntów blkowych (zkiltu) n - ztywność lmntów blkowych na rozciągani τ - ztywność lmntów blkowych na zginani MODUŁY KEVNA MACERZY S n 5 n 6 τ

17 GRANCZNE SŁY SPRĘŻYSTE DA EEMENTÓW BEKOWYCH ścikani (rozciągani): gr F A R ścinani (zginani): F gr R h DEFNCJA NAPRĘŻENA dla kwiwalntngo kontinuum (S. Nmat-Nar, M. Hori [999]) gdzi: σ σ V S V S dv V objętość rprzntatywnj komórki V S objętość zkiltu τ - 7 -

18 - 8 - OBCZONE GĘSTOŚC ENERG GRANCZNYCH DA STANÓW WŁASNYCH σ σ A R 0 0 A R 0 0 A R 0 0 A R 0 0 A R σ σ, 0 0 A R 0 0 σ σ R R 0 h h R R 0, 5, 6 h h R R 0 h h gr A R Φ A R Φ gr gr 6 h Φ 6 R - granica platyczności, h - makymalna odlgłość włókin górnych lub dolnych lmntu blkowgo, A - pol przkroju lmntu blkowgo, - momnt bzwładności lmntu blkowgo R

19 - 9 - Komórka protopadłościnna - ortotropia OZNACZENA H,, - wymiary lmntów blkowych (zkiltu) 6 n5 n n,, - ztywności lmntów blkowych na rozciągani 6 5 τ τ τ,, - ztywności lmntów blkowych na zginani MODUŁY KEVNA H n H n 6 n5 H H H H V + τ τ τ τ H H H H V + τ τ τ τ H 6 V + τ τ τ τ

20 - 0 - OBCZONE GĘSTOŚC ENERG GRANCZNYCH DA STANÓW WŁASNYCH A R 0 0 H σ σ σ σ σ σ A R 0 0 H A R 0 0 Φ Φ Φ gr gr gr A R A R H H A R

21 σ σ V σ σ V R 0 0 H R 0 H 0 R 0 0 H R H 0 0 Φ 8 R gr V V h H Φ 8 R gr V V h H - -

22 R 0 0 H R σ V σ H Φ 8 R gr V V h H - -

23 - - Komórka w potaci pryzmy o podtawi trójkąta równoboczngo ymtria tranwralni izotropowa OZNACZENA, H - wymiary lmntów blkowych (zkiltu) n, nh - ztywności lmntów blkowych na rozciągani τ, τ H - ztywności lmntów blkowych na zginani MODUŁY KEVNA n 6 H V H nh H ( ( n n τ + τ H τ + τ ) H H τ τ H ) H

24 - - OBCZONE GĘSTOŚC ENERG GRANCZNYCH DA STANÓW WŁASNYCH σ σ A R 0 0 H A R H 0 0 σ σ A R A R gr H Φ 6 A R gr 7 Φ

25 A R ( ) A R 0 H ( + h A ) H ( + h A ) A R A R ( ) σ σ, 0 H ( + h A ) H ( + h A ) A R (6 8 ) gr 9 H ( + h A ) Φ σ σ V R h H 0 0 R h H 5,6 9 R R 0 9 h H 9 h H 6 R gr V 7 V H h Φ - 5 -

26 - 6 - Komórka w potaci pryzmy o podtawi zściokąta formngo ymtria tranwralni izotropowa OZNACZENA, H - wymiary lmntów blkowych (zkiltu) n, nh - ztywności lmntów blkowych na rozciągani τ, τ H - ztywności lmntów blkowych na zginani MODUŁY KEVNA n H V 6 5 H nh ( n + τ H τ H + τ H H ) τ τ H

27 - 7 - OBCZONE GĘSTOŚC ENERG GRANCZNYCH DA STANÓW WŁASNYCH σ σ A R 0 0 H A R H 0 0 σ σ A R 0 0 H gr H Φ 6 A R A R gr H Φ

28 A R ( n + τ ) A R ( n + ) τ 0 H ( n + τ h A ) H ( n + τ h A ) σ A R ( n + τ ) A R ( n + τ ) σ, 0 H ( n + τ h A ) H ( n + τ h A ) Φ ( n + ) gr τ R A 0 H ( n + τ h A ) σ σ V R 0 0 h H R h H 5, R R 0 h H h H 6 R gr V V H h Φ - 8 -

29 wg hipotzy wytężnia W. Burzyńkigo κ + σ rd σ x + σ y + σ z σ x σ y σ x σ z σ y σ z + ( τ xy + τ yz + τ zx ) + κ c r R -wytrzymałość na ścikani, κ + ( σ x + σ y + σ z ) R -wytrzymałość na rozciągani R κ R - otrzymujmy wzór wynikły z hipotzy nrgii odkztałcnia potaciowgo c r Komórka zścinna ymtria kubiczna OZNACZENA - wymiar lmntów blkowych (zkiltu) n - ztywność lmntów blkowych na rozciągani τ - ztywność lmntów blkowych na zginani

30 - 0 - OBCZONE GĘSTOŚC ENERG GRANCZNYCH DA STANÓW WŁASNYCH r A κ R 0 0 ( + κ ) r A κ R σ σ 0 0 ( + κ ) r A κ R 0 0 ( + κ ) r A κ R 0 0 ( + κ ) r A κ R σ σ, 0 0 ( + κ ) r A κ R 0 0 ( + κ ) r r κ R κ R 0 ( + κ ) h ( + κ ) h r r κ R κ R σ σ, 5, 6 0 ( + κ ) h ( + κ ) h r r κ R κ R 0 ( + κ ) h ( + κ ) h 6 κ A gr ( r R ) ( ) + κ Φ Φ ( ) κ R ( + κ ) gr r A κ gr ( r R ) ( ) 6 + κ h Φ r c R R

31 - - PRZEDSTAWENE ENERGETYCZNEGO KRYTERUM J. RYCHEWSKEGO DA SPRĘŻYSTYCH STANÓW WŁASNYCH PRZY JEDNOOSOWYM ROZCĄGANU WZDŁUŻ KERUNKU n σ 0 co ( α ) co( α )in( α ) σ ( ξ, η ) ( x, y ) σ 0 0 σ co( α )in( α ) in ( α ) top Cu-%Ni, E 7 GPa, G 5 GPa, R (D.. McDowll t al., [005])

32 - - [ ] σ [ ] σ V [ ] σ [ ] σ [ ] σ [ ] σ Komórka zścinna Komórka protopadłościnna 000 µ m, d 50 µ m 000 µ m, 000 µ m, H 000 µ m, d 0 µ m

33 [ ] σ [ ] σ [ ] σ [ ] σ - - Komórka w potaci pryzmy o podtawi trójkąta równoboczngo 000 µ m H 000 µ m d 60 µ m Komórka w potaci pryzmy o podtawi zściokąta formngo 000 µ m H 000 µ m d 87 µ m

34 NUMERYCZNA ANAZA DEFORMACJ STRUKTUR KOMÓRKOWYCH - - Komórka zścinna Wartość naprężnia graniczngo w płazczyźni podtawy (x, y) przdtawia zalżność: σ gr A R ± in α + in α h A in α h A 7 in α Przyjmując gdzi α jt dowolnym kirunkim obciążnia. gr σ i π α (rozciągnięci wzdłuż oi y) dla dowolngo matriału (wzór jt uniwralny) w żadnym pręci truktury ni jt przkroczona granica platyczności R lmntu blkowgo, dla tali E 05 GPa, G 80.8 GPa, R 5, σ z programu Robot 0 błąd ocny naprężnia graniczngo otrzymango z nrgtyczngo krytrium J. Rychlwkigo jt równy: R σ z programu Robot R 00% 6.5%

35 Komórka protopadłościnna Wartość naprężnia graniczngo w płazczyźni podtawy (x, y) przdtawia zalżność: gr σ ± [( 8 in α + in α + in α + A + in α h A in α h A ) R ]/[ + / R 8 in α in α in α in α h A + + in α h A ] Przyjmując gdzi α jt dowolnym kirunkim obciążnia. π gr σ i α (rozciągnięci wzdłuż oi y) dla dowolngo matriału (wzór jt uniwralny) w żadnym pręci truktury ni jt przkroczona granica platyczności R lmntu blkowgo, dla tali E 05 GPa, G 80.8 GPa, R 5, σ z programu Robot 0.8 błąd ocny naprężnia graniczngo otrzymango z nrgtyczngo krytrium J. Rychlwkigo jt równy: R σ z programu Robot R 00%.9%

36 Komórka w potaci pryzmy o podtawi trójkąta równoboczngo Wartość naprężnia graniczngo w płazczyźni podtawy (x, y) przdtawia zalżność: gr σ ± [(( h A + 98 h A h A + R h A A + h A + H / 788 )(657 8 )) ]/[ h A + h A + h A ] gr Przyjmując σ (rozciągnięci wzdłuż oi x) dla dowolngo matriału (wzór jt uniwralny) w żadnym pręci truktury ni jt przkroczona granica platyczności R lmntu blkowgo, dla tali E 05 GPa, G 80.8 GPa, R 5, σ z programu Robot 9. błąd ocny naprężnia graniczngo otrzymango z nrgtyczngo krytrium J. Rychlwkigo jt z programu Robot R σ równy: 00%.% R

37 Komórka w potaci pryzmy o podtawi zściokąta formngo Wartość naprężnia graniczngo w płazczyźni podtawy (x, y) przdtawia zalżność: σ gr ( Φ + Φ ) Φ Φ gr gr gr gr Φ + Φ gr gr gr Przyjmując σ (rozciągnięci wzdłuż oi y) dla dowolngo matriału (wzór jt uniwralny) naprężnia w prętach truktury ą w przybliżniu równ granicy platyczności R lmntu blkowgo, dla tali E 05 GPa, G 80.8 GPa, R 5, σ z programu Robot 0.90 błąd ocny naprężnia graniczngo otrzymango z nrgtyczngo krytrium J. Rychlwkigo jt równy: R σ z programu Robot R 00% 7.% Minu oznacza, ż krytrium J. Rychlwkigo w tym przypadku zawyża wartość naprężnia graniczngo

38 - 8 - POWERZCHNA GRANCZNA DA SZEŚCU ROZŁĄCZNYCH STANÓW WŁASNYCH MATERAŁU ANZOTROPOWEGO NA PRZYKŁADZE TEKTURY Wykorzytani obliczonych gętości granicznych nrgii prężytych do nrgtyczngo krytrium dla rozłącznych tanów włanych. Omówini ralizacji na przykładzi : Y. A. Arramon t al., [000] gętości granicznych nrgii Φ ( σ ) ( A ) ( A ) A T T Φ ( σ ) ( A ) ( A ) A C C potulowan krytrium: w prztrzni tanów włanych w prztrzni naprężń głównych σ A σ A A A T σ σ C ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 gdzi: ( ) ( ) ( ) ( ) σ A A max, A A T σ σ C σ min, A,... K koljny tan włany σ P σ P P P T σ σ C ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 gdzi: ( P ) ( P ) ( P ) ( P σ ) T σ max σ C σ min,, σ σ, σ σ, σ σ ( ) ( ) ( )

39 Wykorzytując dan doświadczaln dla matriału anizotropowgo E 50, E 50, E 690, ν 0.5, ν 0.5, ν 0., G 700, G 700 G 500 Tnor ztywności Wartości włan S Wktory włan ω ω ω 0 0 0,, , ω, ω 5, ω 6 pominięto - 9 -

40 Powirzchni graniczn dla rozłącznych tanów włanych opiują zalżności; ( )( ) 0 σ σ σ σ σ σ (0.595 σ σ 0.5 σ 8.)(0.595 σ σ 0.5 σ + 0.) 0 (0.707 σ σ.6)(0.707 σ σ + 9.9) 0 Powirzchni graniczn na podtawi krytriów: Granicznych nrgii dla przężonych tanów włanych σ [ ] σ [ ] [ ] σ [ ] σ σ [ ] [ ] σ - 0 -

41 Granicznych nrgii dla rozłącznych tanów włanych - - σ [ ] σ [ ] [ ] σ [ ] σ [ ] σ σ [ ] Granicznych naprężń głównych 6, 8, 0.5,, 56, 0 σ σ σ σ σ σ r r r σ [ ] σ [ ] [ ] σ [ ] σ [ ] σ σ [ ]

42 Powirzchnia graniczna powtała w wyniku złożnia ww. krytriów σ [ ] σ [ ] [ ] σ [ ] σ [ ] σ σ [ ] - -

43 - - PORÓWNANE POWERZCHN GRANCZNYCH W PRZESTRZEN STANÓW WŁASNYCH [ ] σ [ ] σ [ ] σ [ ] σ V [ ] σ [ ] σ Komórka zścinna Komórka protopadłościnna 000 µ m, d 50 µ m 000 µ m, 000 µ m, H 000 µ m, d 0 µ m

44 .5.5 [ ] σ σ [ ] x [ ] σ x 0. [ ] σ - - Komórka w potaci pryzmy o podtawi trójkąta równoboczngo 000 µ m H 000 µ m d 60 µ m Komórka w potaci pryzmy o podtawi zściokąta formngo 000 µ m H 000 µ m d 87 µ m

45 σ [ ] PORÓWNANE POWERZCHN GRANCZNYCH W PRZESTRZEN NAPRĘŻEŃ GŁÓWNYCH [ ] σ σ σ [ ] [ ] σ σ [ ] [ ] σ σ σ [ ] σ [ ] σ σ [ ] Komórka zścinna Komórka protopadłościnna 000 µ m, d 50 µ m 000 µ m, 000 µ m, H 000 µ m, d 0 µ m

46 σ [ ] [ ] σ [ ] σ [ ] σ [ ] σ σ [ ] Komórka w potaci pryzmy o podtawi trójkąta równoboczngo 000 µ m, H 000 µ m, d 60 µ m - 6 -

47 σ [ ] [ ] σ σ σ [ [ ] ] [ ] σ [ ] σ σ [ σ [ ] ] σ [ ] [ ] σ Komórka w potaci pryzmy o podtawi zściokąta formngo 000 µ m, H 000 µ m, d 87 µ m

48 ANAZA ROZKŁADU GĘSTOŚC ENERG GRANCZNYCH DA SPRĘŻYSTYCH STANÓW WŁASNYCH Z PUNKTU WDZENA ZMANY SZTYWNŚC STRUKTURY KOMÓRKOWEJ KOMÓRKA SZEŚCENNA - SYMETRA KUBCZNA 0,0007 0,0006 0,0005 0,000 0,000 0,000 0,000 0 pol kołowgo przkroju poprzczngo [0-6 m ] STAN WŁASNY STAN WŁASNY STAN WŁASNY KOMÓRKA SZEŚCENNA - SYMETRA KUBCZNA 0,8 0,7 0,6 0,5 0, 0, 0, 0, 0 pol kołowgo przkroju poprzczngo / max. pol kołowgo przkroju poprzczngo gętość nrgii granicznych [] gętość nrgii granicznj / max. gętość nrgii granicznych STAN WŁASNY STAN WŁASNY STAN WŁASNY top Cu-%Ni, E 7 GPa, G 5 GPa, R, 000 µ m d 9.76 µ m, d.5 µ m, d. µ m, d 50 µ m, gr Φ 800 gr gr gr Φ + Φ + Φ k k ν gr Φ 00 gr gr gr Φ + Φ + Φ k k ν ( + k + k ν ) gr Φ 5 gr gr gr Φ + Φ + Φ 75 + k + k d k 0.65; d max ν - wpółczynnik Poiona dla lmntu blkowgo ν

49 KOMÓRKA PROSTOPADŁOŚCENNA - ORTOTROPA 0,0007 0,0006 0,0005 0,000 0,000 0,000 0,000 0 pol kołowgo przkroju poprzczngo [0-6 m ] STAN WŁASNY STAN WŁASNY STAN WŁASNY V STAN WŁASNY V STAN WŁASNY V STAN WŁASNY gr gr gr gr Φ Φ, Φ V Φ V KOMÓRKA PROSTOPADŁOŚCENNA - ORTOTROPA 0,6 0,5 0, 0, 0, 0, 0 pol kołowgo przkroju poprzczngo / max. pol kołowgo przkroju poprzczngo gętość nrgii granicznych [] gętość nrgii granicznj / max. gętość nrgii granicznych STAN WŁASNY STAN WŁASNY STAN WŁASNY V STAN WŁASNY V STAN WŁASNY V STAN WŁASNY top Cu-%Ni, E 7 GPa, G 5 GPa, R, 000 µ m, 000 µ m, H 000 µ m d 08 µ m, d µ m, d µ m, d 0 µ m

50 KOMÓRKA W POSTAC PRYZMY O PODSTAWE TRÓJKĄTA RÓWNOBOCZNEGO - SYMETRA TRANSWERSANE ZOTROPOWA 0,0009 0,0008 0,0007 0,0006 0,0005 0,000 0,000 0,000 0,000 0 pol kołowgo przkroju poprzczngo [0-6 m ] STAN WŁASNY STAN WŁASNY STAN WŁASNY V STAN WŁASNY KOMÓRKA W POSTAC PRYZMY O PODSTAWE TRÓJKĄTA RÓWNOBOCZNEGO - SYMETRA TRANSWERSANE ZOTROPOWA 0,6 0,5 0, 0, 0, 0, 0 pol kołowgo przkroju poprzczngo / max. pol kołowgo przkroju poprzczngo STAN WŁASNY STAN WŁASNY STAN WŁASNY V STAN WŁASNY top Cu-%Ni, E 7 GPa, G 5 GPa, R, 000 µ m, H 000 µ m d µ m, d 0.5 µ m, d 7 µ m, d 60 µ m gętość nrgii granicznych [] gętość nrgii granicznj / max. gętość nrgii granicznych

51 KOMÓRKA W POSTAC PRYZMY O PODSTAWE SZEŚCOKĄTA FOREMNEGO - SYMETRA TRANSWERSANE ZOTROPOWA 0,000 0,0005 0,000 0,0005 0,000 0, pol kołowgo przkroju poprzczngo [0-6 m ] STAN WŁASNY STAN WŁASNY STAN WŁASNY V STAN WŁASNY KOMÓRKA W POSTAC PRYZMY O PODSTAWE SZEŚCOKĄTA FOREMNEGO - SYMETRA TRANSWERSANE ZOTROPOWA 0,6 0,5 0, 0, 0, 0, 0 pol kołowgo przkroju poprzczngo / max. pol kołowgo przkroju poprzczngo STAN WŁASNY STAN WŁASNY STAN WŁASNY V STAN WŁASNY top Cu-%Ni, E 7 GPa, G 5 GPa, R, 000 µ m, H 000 µ m d 78. µ m, d 80.7 µ m, d 8.8 µ m, d 87 µ m gętość nrgii granicznych [] gętość nrgii granicznj / max. gętość nrgii granicznych

52 PORÓWNANE OTRZYMANYCH REZUTATÓW Z DANYM PREZENTOWANYM W TERATURZE PORÓWNANE NA POZOME MODEU BEKOWEGO Pianka węglowa Rozwiązani analityczn wg S. Choi i B. V. Sankar [005]: * * * gr E.6 GPa, G.86 GPa, σ σ Wyniki doświadczaln wg S. Choi i B. V. Sankar [005]: * * gr E GPa, σ σ Rozwiązania analityczn wg obliczń włanych: * * * E.6 GPa, G.99 GPa, σ σ gr c.8 0 m h m E.6 GPa G.0 GPa ν 0.7 σ R 69.5 Błąd ocny naprężnia graniczngo otrzymango z nrgtyczngo krytrium J. Rychlwkigo porównując z wynikami doświadczalnymi jt równy: %.6% Błąd ocny naprężnia graniczngo otrzymango z rozwiązania podango w pracy S. Choi i B. V. Sankar [005] porównując z wynikami doświadczalnymi jt równy: % 0.5%.5805.

53 Pianka aluminiowa Wymiary i charaktrytyki matriałow lmntów rprzntatywnj komórki (Y. W. Kwon, R. E. Cook, C. Park [00]): E 70 GPa, σ R 0, ν 0., ρ.70 g cc. Porównano pianki aluminiow o trzch gętościach względnych: * ρ 0.06 ρ, * ρ ρ, * ρ ρ METACZNA PANKA AUMNOWA,65,5,5,05 0,85 0,65 0,5 0,5 GĘSTOŚĆ WZGĘDNA [GĘSTOŚĆ PANK / GĘSTOŚĆ SZKEETU] WEDŁUG Y. W. KWON ET A. DANE Z EKSPERYMENTU WEDŁUG. J. GBSON ET A. WEDŁUG OBCZEŃ WŁASNYCH WZGĘDNA SŁA ŚCSKAJĄC Aggggg [SŁA ŚCSKAJĄCA PANKĘ / SŁA SCSKAJĄCA SZKEET]

54 PORÓWNANE MODEU BEKOWEGO Z NNYM MODEAM Porównano rozwiązania otrzyman dla rprzntatywnj komórki zścinnj w płakim tani naprężnia dla natępujących danych dotyczących matriału zkiltu: aluminium, E 55 GPa, ν 0., objętość względna V f 0.6 G, ( ν ) E +. σ [ ] [ ] σ Modl zścinnj truktury komórkowj wg pracy J. Aboudi, R. Gilat [005] [ ] σ σ [ ] Porównani powirzchni granicznych wg obliczń włanych z wartościami przntowanymi w pracy J. Aboudi, R. Gilat [005].

55 PORÓWNANE OBCZEŃ ANATYCZNYCH Z DOŚWADCZENEM σ [ ] σ [ ] [ ] σ [ ] σ σ [ ] σ [ ] [ ] σ [ ] σ Porównani obliczń analitycznych z danymi z kprymntu na przykładzi tktury J. C. Suhling t al. [985] i M. W. Biglr t al. [995] Porównani obliczń analitycznych z danymi z kprymntu na przykładzi tktury

56 ZASTOSOWANE MODEU BEKOWEGO DA MATERAŁÓW O STRUKTURZE PASTRA MODU Modl wg pracy A. J. Wang, D.. McDowll [00] dla platra miodu o podtawi protokąta (dla kwadratu a b l, t t t ): τ [ ] [ ] σ [ ] σ [ ] σ Równani powirzchni granicznj wg A. J. Wang, D.. McDowll [00]: b σ τ ( t ) a σ τ ( t ) max [ ( ) + ],[ ( ) + ] 0 a σ y σ y a b b σ y σ y a b Powirzchni graniczn dla topu Cu %Ni E 7 GPa, G 5 GPa, R, 000 µ m, d 50 µ m, pamo o zrokości H 000 µ m. σ [ ] σ [ ]

57 Porównując wartość naprężnia graniczngo otrzymango z kprymntu (A. M. Hay t al. [00]) dla topu 8Ni(50) otrzymujmy: Rozwiązani analityczn wg A. J. Wang, D.. McDowll [005]: * gr σ σ 00 Wyniki doświadczaln wg A. M. Hay t al. [00]: * gr σ σ 68 Rozwiązania analityczn wg obliczń włanych: * gr σ σ

58 Modl wg A. J. Wang, D.. McDowll [00] dla platra miodu o podtawi protokąta: τ σ V [ ] Równani powirzchni granicznj wg A. J. Wang, D.. McDowll [00]: σ σ [ ] b σ τ ( t ) a σ τ ( t ) max [ ( ) + ],[ ( ) + ] 0 a σ y σ y a b b σ y σ y a b Powirzchni graniczn dla topu Cu % E 7 GPa, G 5 GPa, R, 000 µ m, 000 µ m, d 0 µ m, pamo o zrokości H 000 µ m. σ σ [ ]

59 Modl wg A. J. Wang, D.. McDowll [00] dla platra miodu o podtawi zściokąta formngo: τ [ ] [ ] σ [ ] σ [ ] σ σ σ [ ] [ ] Równani powirzchni granicznj wg A. J. Wang, D.. McDowll [00]: (( σ + τ ) + σ ) σ ( σ + τ ) t ( σ ) τ t max [ + ],[ + ] 0 6( σ y ) σ y l ( σ y ) σ y l Powirzchni graniczn dla topu Cu % E 7 GPa, G 5 GPa, R, 000 µ m, d 60 µ m, pamo o zrokości H 000 µ m.

60 Modl wg A. J. Wang, D.. McDowll [00] dla platra miodu o podtawi trójkąta równoboczngo: τ [ ] [ ] σ [ ] σ [ ] σ Równani powirzchni granicznj A. J. Wang, D.. McDowll [00]: σ τ t σ τ t σ σ t max [ ],[ + ],[ ] 0 σ y σ y l σ y σ y l σ y σ y l Do naryowania powirzchni granicznych wykorzytano charaktrytyki matriałow topu Cu %Ni E 7 GPa, G 5 GPa, R, 000 µ m, d 87 µ m, pamo o zrokości H 000 µ m. σ [ ] σ [ ]

61 itratura [] J. Aboudi, R. Gilat: Micromchanical analyi of lattic block, ntrnational Journal of Solid and Structur, 005, 7-9 [] Y. A. Arramon, M. M. Mhrabadi, D. W. Martin, S. C. Cowin: A multidimnional aniotropic trngth critrion bad on Klvin mod, ntrational Journal of Solid and Struktur, 7, 000, [] M. W. Biglr, M. M. Mhrabadi: An nrgy-bad contitutiv modl for aniotropic olid ubjct to damag, Mchanic of Matrial, 9, 995, 5-6 []. J. Gibon, M. F. Ahby: Clluar olid: Structur and proprti, Cambrig Univrity Pr 997 [5] A. M. Hay, A. Wang, B. M. Dmpy, D.. McDowll: Mchanic of linar cllular alloy, Mchanic of Matrial 6, 00, 69-7 [6] M. Janu-Michalka, R. B. Pęchrki: Macrocopic proprti of opn-cll foam bad on micromchanical modlling, Tchnich Mchanik, 00,, - [7] M. M. Mhrabadi, S. C. Cowin: Eigntnor of linar aniotropic latic matrial, Mch. appl. Math. 990 Vol, 5- [8] K. T Nalpka, R. B. Pęchrki: Enrgtyczn krytria wytężnia. Propozycja obliczania granicznych nrgii z pirwzych zaad, Rudy Mtal, 00, r. 8, 5 56 [9] S. Nmat-Nar, M. Hori: Micromchanic; ovrall proprti of htrognou matrial, Scond Rvid Edition, N H, 999 [0] J. Otrowka-Macijwka, K. Kowalczyk-Gajwka: Matmatyczn podtawy anizotropii prężytj z przykładami, Wykłady w Katdrz Wytrzymałości Matriałów, MB PK, 0 00 [] J. Rychlwki: CENOSSSTTUV, Maтмaтичcкaя cтpyктypa yпpyгих тел, Препринт N 7, Москва 98 []J. Rychlwki: О законе Гука, ПММ, 8,, 0-, 98(a) [] J. Rychlwki: Pазложения упругой энегии и критерии предельности, Успехи Механики Advanc in Mchanic, 98(b), t.7, [] J. Rychlwki: Unconvntional approach to linar laticity,arch. Mch., 7, 9 7, 995 [5] A. J. Wang, D.. McDowll: n-plan Stiffn nd Yild Strngth of Priodic Mtal Honycomb, Journal of Enginring Matrial and Tchnology, 00 [6] A. J. Wang, D.. McDowll: Yild urfac of variou priodic mtal honycomb at intrmdiat rlativ dnity, ntrnational af of Platicity,

62 - 6 - BEZWYMAROWE ZAEŻNOŚC OKREŚAJĄCE ROZKŁAD GĘSTOŚC ENERG STANÓW GRANCZNYCH Φ.5 0 Φ + Φ + Φ + Φ + Φ + Φ + + gr gr gr gr gr gr gr 9 9 V V V k.50 0 k ν Φ.08 0 Φ + Φ + Φ + Φ + Φ + Φ + + gr gr gr gr gr gr gr 9 9 V V V k.50 0 k ν Φ.06 0 Φ + Φ + Φ + Φ + Φ + Φ + + gr gr gr gr gr gr gr 9 9 V V V k.50 0 k ν Φ 0.66( k +. 0 k ν ) 9 9 Φ + Φ + Φ + Φ + Φ + Φ k k ν gr V gr gr gr gr gr gr V V V 9 9 Φ ( k k ν ) 9 9 Φ + Φ + Φ + Φ + Φ + Φ k k ν gr V gr gr gr gr gr gr V V V Φ.99( k k ν ) 9 9 Φ + Φ + Φ + Φ + Φ + Φ k k ν gr V gr gr gr gr gr gr V V V

63 gr Φ Φ + Φ + Φ + Φ gr gr gr gr V (.( k 0) ( k k )) / (6. 0 k.86 0 k.8 0 k. 0 k ν k ν k ν k ν k k ν + + ν + ν + ν k.78 0 k.78 0 k k.78 0 k ) Φ Φ + Φ + Φ + Φ gr gr gr gr gr V (60.( k 0) ( k k )) / ( ν k + k + k + k k ν k ν k ν k k ν ν + ν + ν k.78 0 k.78 0 k k.78 0 k ) Φ Φ + Φ + Φ + Φ gr gr gr gr gr V (( k + 6 k ν ) ( k k ν )) / + + (6. 0 k.86 0 k.8 0 k. 0 k ν k ν k ν k ν k k ν k ν.78 0 k ν.78 0 k ν k.78 0 k ) Φ Φ + Φ + Φ + Φ gr V gr gr gr gr V ( k.87 0 k ν )) / (.87 0 ( k + 0) ( k k ν ) (.86 0 k 6. 0 k 6. 0 k ν.05 0 k ν. 0 k ν k k ν k ν k ν k ν ν k k.78 0 k k ) ν ν - 6 -

64 gr Φ Φ + Φ + Φ + Φ gr gr gr gr V (.6 0 ( k.67 0 k ν k ) ) / ( ν ν k + k + k + k + k k ν k k k k ν k ν k ν k ν k ν k ν ) Φ Φ + Φ + Φ + Φ gr gr gr gr gr V k ) ) / ( ( k k + (.79 0 k k ν k.65 0 k k ν ν k k k k k ν k ν k ν k ν k ν k ν ) Φ ((5 +. k +. k ν ) Φ + Φ + Φ + Φ gr gr gr gr gr V ( k.67 0 k )) / + + (.79 0 k k ν k.65 0 k k ν ν k k.05 0 ν k k k ν k ν k ν k ν k ν k ν ) Φ Φ + Φ + Φ + Φ gr V gr gr gr gr V (( k.6 0 k ) ( k.67 0 k k ) ) / (.79 0 k k ν k.65 0 k k ν ν ν k + k + k + k ν + ν + ν + ν + ν + ν k.05 0 k.59 0 k.0 0 k k k ) ν ν - 6 -

65 TENSORY S, C H NE SĄ WSPÓŁOSOWE Twirdzni dotycząc nrgtycznj intrprtacji warunku graniczngo jt formułowan dla dowolnych tnorów S, C i H daj to możliwość rozpatrywania różnych typów ymtrii matriału w tani prężytym i w tani granicznym.. K. Kowalczyk, J. Otrowka-Macijwka, R. B. Pęchrki; An nrgy-bad yild critrion for olid of cubic laticity and orthotropic limit tat, Arch. Mch., 00, t. 55,. 8. J. Otrowka-Macijwka, R. B. Pęchrki,: Anizotropia prężyta i wytężni cinkich wartw i powłok, MiM PAN PPT PAN, Kraków 006

66 Ad gdzi: h α Warunk graniczny typu Mi a przyjmuj potać k α σ σ σ σ H σ φ ( σ ) φ ( σ ) φ ( σ ) h h h k k k α ρ ρ ρ ρ jt graniczną wartością nrgii prężytj dla naprężnia σ α - prztrzń P α jt prztrznią tanów bzpicznych jśli k α. Φ ( σ ) α α α α σ σ α α α h h k, Dla tnora podatności rozkład pktralny ma potać ρ C P + + P ρ gdzi tnor P k jt projktorm ortogonalnym dla tnora C, w tani prężytym matriał poiada ymtrię kubiczną: k,,

67 gdzi: + S S S S P ( ) P K 5 6 S P ( S K ) C S S C, S + + K m m m m m m m m m m m m m m m - kirunki lmntrngo zścianu, Graniczną wartością nrgii prężytj ma potać Φ ( σ ) σ C σ Φ ( σ ) + Φ ( σ ) + Φ ( σ ) tr + tr + tr 6 ( σ ) [ σ K σ ( σ ) ] [ σ σ K σ ]

68 Dla tnora graniczngo rozkład pktralny ma potać K K H Γ + + Γ gdzi tnor Γ,..., Γ 6 jt projktorm ortogonalnym dla tnorah, w tani granicznym matriał wykazuję ortotropię Γ χ χ,..., Γ 6 χ 6 χ 6 χ, χ co ϕ a + in ϕ a, χ in ϕ a + co ϕ a χ ( m χ ) m m ( ), 5 + χ 6 ( m ) χ + m m gdzi: 6 6 χ m χ + m m a ( ) m m + m m, a ( ) 6 m m + m m m m ϕ kąt obrotu tnorów S, C i H

69 Uwzględniając Γ P, + Γ Γ P, Γ + Γ 5 + Γ 6 P Rozkład pktralny tnora podatności ma potać C Γ + ( Γ + Γ ) + ( Γ + Γ 5 + Γ 6 ) Wartość h wyznaczamy z zalżności h h K K, h K, h 5, K 5, dt( H C ) 0 : h K h h 6 K Warunk graniczny ma potać σ H σ φ ( σ ) + φ ( σ ) + φ ( σ ) + φ ( σ ) + φ ( σ ) K K K K K ( ) ( ) φ φ + φ σ σ, φ φ ( σ ) + φ ( σ ) + φ ( σ ) 5 5

70 Ad Aby podać warunk graniczny dla płakich tanów, który ma charaktr nrgtyczny wykorzytan jt twirdzni dotycząc nrgtycznj intrprtacji warunku graniczngo. Rozpatrywany matriał jt ymtryczny zarówno w tani prężytym jak równiż w tani granicznym. Dla tanów płakich matriał poiada wówcza co najmnij ymtrię protokąta jt matriałm ortotropowym. Założono, ż matriał jt ortotropowy w tani prężytym i granicznym o różnych oiach ymtrii i różnych dytrybutorach. W tani prężytym oiami ymtrii ą kirunki i na płazczyźni fizycznj. W tani granicznym oiami ymtrii ą kirunki h i h obrócon względm i o kątϕ h ϕ h ϕ h co ϕ + in ϕ h in ϕ + co ϕ

71 W prztrzni trójwymiarowj S rozpatrywan ą cztry ortonormaln bazy a, a, a, ω, ω, ω, b, b, b, η, η, η, gdzi ω K i η ą tanami włanymi tnorów ch rozkłady pktraln mają potać: Stany włan p C i p H. p C ω ω + ω ω + ω ω, p H η χ η + η χ η + η χ η. p H η K rozłożono w bazi tanów włanych a ω S p C ω K b η ω η a a ρ ω b δ η b - 7 -

72 W pracy dykutowan jt krytrium J. Rychlwkigo dla różnych ymtrii ). ϕ 0 - przypadk, gdy oi ymtrii w tani prężytym i granicznym pokrywają ię ( i h i ) a b η ω a b δ ρ ω η a b ). ). π ρ ϕ 0 π δ ϕ 0 ). ρ δ ϕ 0