PŁYTY OPIS W UKŁADZIE KARTEZJAŃSKIM Charakterystyczne wielkości i równania

Transkrypt

1 Charakterystyczne wielkości i równania Mechanika materiałów i konstrukcji budowlanych, studia II stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko

2 Tematyka wykładu 1 Założenia dla teorii płyt cienkich 2 Hipotezy Kirchhoffa-Love a 3 Równania dla teorii płyt cienkich 4 Siły przekrojowe i warunki brzegowe

3 Definicja płyty Dźwigar powierzchniowy jest specyficznym ciałem odkształcalnym, w którym jeden wymiar (grubość) jest wyraźnie mniejszy od dwóch pozostałych. Płyta jest dźwigarem powierzchniowym, na który może działać obciążenie zgodne z kierunkiem prostopadłym do płaszczyzny środkowej P 0. Takie obciążenie wywołuje ugięcia. Rozkład naprężeń po grubości płyty jest liniowy. W. Kolendowicz. Mechanika budowli dla architektów. Arkady, Warszawa, 1993.

4 Teorie dla płyt zginanych W modelu obliczeniowym nakłada się różne więzy kinematyczne i statyczne na zachowanie się płyty w zależności od jej grubości. Więzy Kirchhoffa-Love a dla płyt cienkich, gdzie h L < Więzy Mindlina-Reissnera dla płyt umiarkowanie grubych. Dla obu przypadków obowiązują inne równania kinematyczne związki pomiędzy przemieszczeniami a odkształceniami. Kiedy stosuje się teorię cienkich dźwigarów powierzchniowych? płyty h L < 1 10 powłoki h R min <

5 Główne założenia dla liniowej teorii cienkich dźwigarów powierzchniowych A Obowiązuje zasada zesztywnienia, tzn. przemieszczenia są na tyle małe, że równania rownowagi można odnosić do nieodkształconego ustroju. Obowiązują liniowe związki geometryczne Cauchy ego między przemieszczeniami i odkształceniami. B Materiał jest liniowo sprężysty, tzn. obowiązuje uogólnione prawo Hooke a.

6 Założenia zawężające rozważania dla liniowej teorii cienkich dźwigarów powierzchniowych a Dźwigar jest jednorodny (w szczególności nieuwarstwiony) o stałej grubości h(ξ 1, ξ 2 ) = const., gdzie ξ 1 i ξ 2 są współrzędnymi powierzchniowymi. b Materiał jest izotropowy o stałych: E moduł Younga ν współczynnik Poissona α t - współczynnik rozszerzalności cieplnej c Rozpatrywane są zagadnienia przy obciążeniach przykładanych statycznie, tzn. będziemy pomijali siły bezwładności i energię kinetyczną.

7 Wielkości poszukiwane w modelu 3D płyty dla punktu P(x, y, z) z powierzchni równo oddalonej od środkowej Pole przemieszczeń: u(x, y, z) = {u, v, w} Pole odkształceń: ɛ(x, y, z) = {ε x, ε y, ε z, γ xy, γ xz, γ yz } Pole naprężeń: σ(x, y, z) = {σ x, σ y, σ z, τ xy, τ xz, τ yz } Rozkłady naprężeń w zginanych płytach h x y σ x (z) σ y (z) τyz (z) τ xz (z) τyx(z) τ xy (z) z

8 Hipotezy Kirchhoffa-Love a dla płyt Hipoteza kinematyczna Odcinek po deformacji pozostaje prosty: u(x, y, z) = ϑ x (x, y, 0) z, v(x, y, z) = ϑ y (x, y, 0) z, prostopadły do odkształconej powierzchni środkowej: ϑ x (x, y, 0) = w x, ϑ y (x, y, 0) = w y, γ xz = γ yz = 0 oraz niewydłużony: ε z (x, y, z) = 0. Płaszczyzna Oxz Płaszczyzna Oyz analogicznie

9 Hipotezy Kirchhoffa-Love a dla płyt Hipoteza statyczna Naprężenie σ z jest tak małe w porównaniu z pozostałymi składowymi tensora naprężeń, że dla wszystkich punktów płyty (powłoki) można przyjąć w związkach fizycznych: σ z (ξ 1, ξ 2, z) 0.

10 Komplet równań dla punktu P(x, y, z) z powierzchni równo oddalonej od środkowej Równania kinematyczne ε (z) x ε (z) z = u(z) x = x, ε(z) y = u(z) y y, γ(z) xy = u(z) x y w (z) z = 0, γ (z) xz = 0, γ (z) yz = 0 Równania równowagi σ x x τ xy x τ xz x + τyx y + σy y + τyz y + τzx z + ˆb x = 0, + τzy z + ˆb y = 0, + σz z + ˆb z = 0 Równania fizyczne ( σ x (z) = E 1 ν ε (z) 2 x + νε (z) y ), σ (z) y = E σ (z) z = 0, τ (z) xz = 0, τ (z) yz = 0 ( 1 ν ε (z) 2 y + u(z) y x, ) + νε (z) x, τ xy (z) = E 2(1+ν) γ(z) xy

11 Wielkości poszukiwane w modelu 2D płyty dla punktu P 0 (x, y, 0) z powierzchni środkowej Pole przemieszczeń uogólnionych: u m (x, y, 0) = {w} Pole odkształceń uogólnionych: e m (x, y, 0) = {κ x, κ y, χ xy }, e t (x, y, 0) = {0, 0} Pole naprężeń uogólnionych: momenty zginające s m (x, y, 0) = {m x, m y, m xy } siły poprzeczne s t (x, y, 0) = {t x, t y } z y m y t y m yx m xy t x m x x Dane jest pole obciążeń powierzchniowych: ˆp = {ˆp z }.

12 Komplet równań dla punktu P 0 (x, y, 0) z powierzchni środkowej Równania kinematyczne κ x = 2 w x 2, κ y = 2 w y 2, χ xy = 2 2 w x y Równania równowagi t x x + ty y + ˆp z = 0, m x x + mxy y t x = 0, m xy x + my y t y = 0 Równania fizyczne m x = D m (κ x + νκ y ), m y = D m (κ y + νκ x ), m xy = D m (1 ν) 2 χ xy gdzie: D m = Eh3 12(1 ν 2 ) sztywność płytowa

13 Komplet równań dla punktu P 0 (x, y, 0) z powierzchni środkowej zapis macierzowy Równania kinematyczne e m = [3 1] [3 1] Lm [1 1] um, gdzie: Lm = [3 1] Równania równowagi (L m ) [1 3] T s m [3 1] = ˆp [1 1] 2 / x 2 2 / y / x y Równania fizyczne s m = [3 1] [3 3] Dm e m [3 1], gdzie: Dm = [3 3] Dm 1 ν 0 ν ν 0 0 2

14 Relacje sformułowań 3D i 2D P P 0 h x y σx(z) σy(z) τyz(z) τxz(z) τyx(z) τxy(z) z my y ty mxy myx tx mx x z Powrót z powierzchni środkowej na równo oddaloną P P 0 ε (z) x = κ x z, ε (z) y = κ y z, γ (z) xy = κ xy z, σ x = 12mx h z, σ 3 y = 12my h z, τ 3 xy = 12mxy h z 3 Przejście na powierzchnię środkową P 0 m x = t x = +h/2 h/2 σ x z dz, m y = +h/2 h/2 τ xz dz, t y = +h/2 h/2 +h/2 h/2 P σ y z dz, m xy = τ yz dz +h/2 h/2 τ xy z dz,

15 Zastępcza siła poprzeczna i siła narożna Zastępcza siła poprzeczna t n = t n + mns s Siła narożna A = m ns + m + ns

16 Warunki brzegowe Warunki kinematyczne, statyczne lub mieszane dla podstawowych typów brzegów płyty x y z brzeg swobodny nieobciążony: t n = 0, m n = 0 s w n ϑn brzeg zamocowany (utwierdzony): brzeg przegubowo podparty (zawiasowo): w = 0, ϑ n = 0 w = 0, m n = 0 naroże K K podparte: w = 0 swobodne: A = 0

17 Momenty główne Główne momenty zginające: m I,II = 1 2 (m x + m y ) ± 1 2 (m x m y ) 2 + 4m 2 xy Kierunki główne: tg(2α) = 2mxy m x m y

18 Literatura M. Radwańska. Ustroje powierzchniowe. Podstawy teoretyczne oraz rozwiązania analityczne i numeryczne. Skrypt PK, Kraków, A. Borkowski, Cz. Cichoń, M. Radwańska, A. Sawczuk, Z. Waszczyszyn. Mechanika budowli. Ujęcie komputerowe. T.3, rozdz.9, Arkady, Warszwa, W. Starosolski. Konstrukcje żelbetowe. T. 1,2 i 3, wyd. XII, PWN, Warszawa, 2008.