PLASTYCZNOŚĆ W UJĘCIU KOMPUTEROWYM

Transkrypt

1 Budownictwo, studia I stopnia, semestr VII przedmiot fakultatywny rok akademicki 2013/2014 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Jerzy Pamin

2 Tematyka zajęć 1 Sprężystość przypomnienie 2 Teoria plastycznego płynięcia 3 Komputerowa plastyczność 4 Przykłady obliczeniowe Źródła: R. de Borst and L.J. Sluys. Computational methods in nonlinear solid mechanics. Lecture Notes, Delft University of Technology, Delft, DIANA Finite Element Analysis - User s manual, release 7.2. TNO Building and Construction Research, Delft, 1999.

3 Liniowa sprężystość Prawo Hooke a Notacja tensorowa: σ σ = D e : ɛ σ ij = D e ijkl ɛ kl E Notacja Voigt a σ = D e ɛ, σ = σ x σ y σ z τ xy τ yz τ zx, ɛ = ɛ x ɛ y ɛ z γ xy γ yz γ zx 1 ɛ Izotropia: D e = D e (E, ν)

4 Słaba forma równania równowagi Zasada prac wirtualnych: δɛ T σdv = V V δu TˆbdV + S t δu TˆtdS warunek brzegowy: u = û na S u gdzie: ɛ wektor uogólnionych odkształceń σ wektor uogólnionych naprężeń u wektor uogólnionych przemieszczeń ˆb wektor sił masowych ˆt wektor obciążeń brzegowych û wektor zadanych przemieszczeń brzegowych Założono małe przemieszczenia i odkształcenia.

5 Sprężysość a plastyczność

6 Próba rozciągania stali Wykres naprężenie-odkształcenie 1 granica proporcjonalności 2 granica sprężystości 3 granica plastyczności σ y (górna, dolna, umowna) wzmocnienie plastyczne A. Ganczarski i J. Skrzypek. Plastyczność materiałów inżynierskich. Podstawy, modele, metody i zastosowania komputerowe. Skrypt PK, Politechnika Krakowska, Kraków, 2009.

7 Próba rozciągania stali Wykres naprężenie-odkształcenie Postać wykresu σ ɛ może m.in. zależeć od: rodzaju materiału, prędkości procesu obciążenia, temperatury otoczenia. A. Ganczarski i J. Skrzypek. Plastyczność materiałów inżynierskich. Podstawy, modele, metody i zastosowania komputerowe. Skrypt PK, Politechnika Krakowska, Kraków, 2009.

8 Liniowe schematy dla materiałów sprężysto-plastycznych A. Ganczarski i J. Skrzypek. Plastyczność materiałów inżynierskich. Podstawy, modele, metody i zastosowania komputerowe. Skrypt PK, Politechnika Krakowska, Kraków, 2009.

9 Uplastycznienie materiału siła A B C P σ y - A σ y B σ y - - C przemieszczenie σ y σ y σ y zakres sprężysty pelne uplastycznienie zakres sprężysty pelne uplastycznienie

10 Teoria płynięcia plastycznego Nośność materiału nie jest nieskończona, a przy deformacji powstają odkształcenia trwałe. Pojęcia teorii plastyczności: Funkcja plastyczności f (σ) = 0 - określa granicę zachowania sprężystego. Prawo płynięcia plastycznego ɛ p = λm - określa prędkość odkształceń plastycznych. λ - mnożnik plastyczny m - kierunek płynięcia plastycznego (zazwyczaj stowarzyszony z funkcją płynięcia m T = n T = f σ ) Wzmocnienie plastyczne f (σ α, κ) 0 kinematyczne (κ = 0) lub izotropowe (α = 0) Warunki obciążenie-odciążenie: f 0, λ 0, λf = 0 (odciążenie jest sprężyste)

11 Teoria płynięcia plastycznego Deformacja materiału zależy od historii obciążenia, zatem związki konstytutywne są zapisywane w prędkościach. Płynięcie plastyczne gdy f = 0 i ḟ = 0 (warunek zgodności plastycznej) Dekompozycja addytywna ɛ = ɛ e + ɛ p Odwzorowanie bijekcyjne σ = D e ɛ e Wykorzystując prawo płynięcia σ = D e ( ɛ λm) Zgodność procesu plastycznego ḟ = f f σ σ + κ κ Moduł wzmocnienia f h = 1 λ κ κ Podstawiając σ do równ. zgodności n T σ h λ = 0 oblicza się mnożnik plastyczny λ = nt D e ɛ h+n T D e m Macierzowe równanie konstytutywne [ ] σ = D e De mn T D e ɛ h+n T D e m Operator styczny D ep = D e De mn T D e h+n T D e m Całkowanie po czasie jest niezbędne na poziomie punktu.

12 Teoria Hubera-Misesa-Hencky ego Najczęściej stosowana jest teoria Hubera-Misesa-Hencky ego (H-M-H), oparta na skalarnej mierze energii odkształcenia postaciowego. Funkcja płynięcia np. ze wzmocnieniem izotropowym f (σ, κ) = 3J σ 2 σ(κ) = 0 κ - miara odkształcenia plastycznego ( κ = 1 σ σt ɛ p = λ) Prawo płynięcia plastycznego ɛ p = λ f σ Prawo wzmocnienia izotropowego np. liniowe σ(κ) = σ y + hκ h - moduł wzmocnienia

13 Teoria plastycznego płynięcia Funkcje plastyczności dla metali: Coulomba-Tresci-Guesta i Hubera-Misesa-Hencky ego Funkcje plastyczności niezależne od ciśnienia

14 Plastyczność Burzyńskiego-Druckera-Pragera Funkcja plastyczności ze wzmocnieniem izotropowym f (σ, κ) = q + α p βc p (κ) = 0 q = 3J 2 - dewiatorowa miara naprężenia p = 1 3 I 1 - ciśnienie hydrostatyczne α = 6 sin ϕ 3 sin ϕ β = 6 cos ϕ 3 sin ϕ ϕ - kąt tarcia wewnętrznego c p (κ) - kohezja Potencjał plastyczny f p = q + α p α = 6 sin ψ 3 sin ψ ψ - kąt dylatacji Niestowarzyszone prawo płynięcia ɛ p = λm, m = f p σ Miara odkształceń plastycznych κ = η λ, η = ( α 2 ) 1 2 Moduł wzmocnienia kohezji h(κ) = ηβ cp κ

15 Plastyczność Burzyńskiego-Druckera-Pragera Dla sin ϕ = sin ψ = 0 otrzymuje się funkcję Hubera-Misesa-Hencky ego.

16 Teoria plastycznego płynięcia Funkcje plastyczności dla gruntów: Mohra-Coulomba i Burzyńskiego-Druckera-Pragera Funkcje plastyczności zależne od ciśnienia

17 Algorytm komputerowej plastyczności Zazwyczaj konieczne są iteracje na poziomie punktu, aby wyznaczyć σ t+ t i κ t+ t = κ t + κ i sprowadzić σ na powierzchnię plastyczności.

18 Algorytm komputerowej plastyczności Całkowanie σ = D ep ɛ po czasie algorytm powrotnego odwzorowania (return mapping) Dane: σ t, κ t, ɛ Wyznaczyć: σ = σ t+ t, κ = κ t+ t 1) Obliczyć sprężysty predyktor σ tr = σ t + D e ɛ 2) Sprawdzić, czy f (σ tr, κ t ) > 0? Jeśli nie, to stan sprężysty σ = σ tr Jeśli tak, wyznaczyć punkt σ c obliczyć λ = nt c De ɛ c h c +n T c De m c obliczyć plastyczny korektor σ = σ tr λd e m c zaktualizować κ = κ t + κ( λ) Algorytm Eulera wprzód jest stabilny tylko dla małych kroków czasowych.

19 Algorytm komputerowej plastyczności Algorytm powrotnego odwzorowania algorytm Eulera wstecz (bezwarunkowo stabilny) 1) Obliczyć sprężysty predyktor σ tr = σ t + D e ɛ 2) Sprawdzić, czy f (σ tr, κ t ) > 0? Jeśli nie, to stan sprężysty σ = σ tr Jeśli tak, to stan plastyczny, obliczyć plastyczny korektor σ = σ tr λd e m(σ) f (σ, κ) = 0 (układ 7 równań nieliniowych na σ, λ) Obliczyć κ = κ t + κ( λ) Iteracyjne poprawki także są konieczne, chyba, że powrót odbywa się po promieniu.

20 Rozciąganie próbki z otworem Wykresy siła-przemieszczenie Siła [N] plastyczność ze wzmocnieniem idealna plastyczność Przemieszczenie [mm]

21 Sprężystość przypomnienie Teoria plastycznego płynięcia Komputerowa plastyczność Przykłady obliczeniowe Rozciąganie próbki z otworem Deformacja i niezmiennik J2 Idealna plastyczność Plastyczność ze wzmocnieniem

22 Brazylijski test rozłupywania Idealna plastyczność H-M-H Końcowa deformacja i naprężenie σ yy

23 Brazylijski test rozłupywania Idealna plastyczność H-M-H Końcowe odkształcenie ɛ yy i niezmiennik J ɛ 2

24 Brazylijski test rozłupywania Wykresy siła-przemieszczenie Idealna plastyczność Plastyczność ze wzmocnieniem

25 Brazylijski test rozłupywania Idealna plastyczność H-M-H Dla elementu czterowęzłowego wykres siła-przemieszczenie wykazuje wzmocnienie na skutek blokady objętościowej, bo plastyczność H-M-H zawiera więz nieściśliwości plastycznej, którego nie potrafi odtworzyć poprawnie model MES. Element ośmiowęzłowy nie wykazuje blokady.

26 Symulacja niestateczności zbocza Gradientowa plastyczność Burzyńskiego-Druckera-Pragera Ewolucja miary odkształceń plastycznych