COMPARISON OF ENERGY-BASED CRITERIA OF MATERIAL EFFORT FOR COUPLED AND DISJOINT ELASTIC EIGEN STATES ON THE EXAMPLE OF CERTAIN ANISOTROPIC MATERIALS

Transkrypt

1 POT KODZKOWSK YSZAD B. PĘCESK * POÓWNANE ENEGETYCZNYC KYTEÓW WYTĘŻENA DA SPZĘŻONYC OZŁĄCZNYC SPĘŻYSTYC STANÓW WŁASNYC NA PZYKŁADZE WYBANYC MATEAŁÓW ANZOTOPOWYC Wykorzytano wyniki badań dotęn w litraturz wraz z włanymi ymulacjami numrycznymi roców dformacji różnych truktur komórkowych do orównania dwóch nrgtycznych krytriów wytężnia. Zatoowano rzy tym analityczn wyrowadznia dla anicznych gętości nrgii rężytj odan w []. Pirwz z krytriów zaroonowan rzz J. ychlwkigo [, ] związan jt z rzężonymi rężytymi tanami włanymi. Drugi natomiat odan w racy [] formułowano dla rozłącznych rężytych tanów włanych. Przdtawiono aficzn rzntacj owirzchni anicznych, któr zotały otrzyman dla różnych truktur komórkowych z zatoowanim obu krytriów. COMPASON OF ENEGY-BASED CTEA OF MATEA EFFOT FO COUPED AND DSJONT EASTC EGEN STATES ON TE EXAMPE OF CETAN ANSOTOPC MATEAS Th xrimntal rult availabl in th litratur and own numrical imulation of dformation roc in cllular tructur of diffrnt ymmtry with u of th drivation of th limit nrgy dniti givn in [] ar alid to comar two nrgy-bad critria of matrial ffort. Th firt on rood by J. ychlwki [, ] i rlatd with th could latic tat. Th cond on introducd in [] i formulatd for dijoint latic tat. Th limit urfac for diffrnt cllular tructur with th alication of both critria ar rntd. * m inż. Piotr Kordzikowki, dr hab. inż. yzard B. Pęchrki rof. PK, Katdra Wytrzymałości Matriałów, ntytut Mchaniki Budowli, Wydział nżynirii ądowj, Politchnika Krakowka. - -

2 Wtę Zaroonowan rzz J. ychlwkigo nrgtyczn krytrium tanu aniczngo dla rzężonych tanów włanych dało odtawę do tworznia torii wytężnia matriałów, któr w ogólności wykazują anizotroię właności mchanicznych [,, 5, 6]. Nizalżni formułowano krytrium dla rozłącznych tanów włanych []. W krytriach nrgtycznych nalży okrślić aniczn nrgi dla ozczgólnych rężytych tanów włanych, których w ogólności moż być, co najwyżj zść. T aniczn nrgi można wyznaczyć doświadczalni lub obliczyć. Proozycję obliczania anicznych nrgii odano w [7] i dykutowano dokładnij w [8, 9]. Obliczni anicznych nrgii dla modlu fktywngo, rzy omocy, którgo można rzwidywać rężyt zachowani ię matriału na odtawi tortyczngo oiu jgo truktury dokładni rzdtawiono w racach [, 9-]. Clm racy jt orównani nrgtycznych krytriów wytężnia dla rzężonych i rozłącznych tanów włanych na rzykładzi wybranych matriałów anizotroowych z wykorzytanim wyników badań doświadczalnych i ymulacji numrycznj dformacji truktur komórkowych. Wyznaczon zotaną owirzchni aniczn odowiadając nrgtycznmu krytrium J. ychlwkigo [, ] dla rzężonych tanów włanych, na rzykładzi truktur o owtarzającym ię lmnci: rotoadłościanu (ry. ), która w zczgólnym wyadku odowiada lmntowi zścinnmu oraz ryzmy o odtawi zściokąta formngo (ry. ), która w zczgólnym wyadku odowiada ryzmi o odtawi trójkąta równoboczngo. Podtawą analizy dla rzyjętych truktur komórkowych o owtarzającym ię rgularnym układzi rętów ołączonych w ztywnym węźl jt raca [] w którj wyznaczono owirzchnię aniczną dla zściu rozłącznych tanów włanych matriału anizotroowgo na rzykładzi tktury. Naunęło to możliwość orównania owirzchni anicznych odowiadających nrgtycznmu krytrium J. ychlwkigo [, ] dla rzężonych tanów włanych oraz owirzchni odowiadających krytrium dla rozłącznych tanów włanych [], na rzykładzi truktur komórkowych o owtarzającym ię lmnci: rotoadłościanu i ryzmy o odtawi zściokąta formngo., y. Komórka rotoadłościnna, - wymiary lmntów blkowych (zkiltu), - ztywności lmntów blkowych na rozciągani n n, n56 τ τ, τ 56, - ztywności lmntów blkowych na zginani - -

3 y. Komórka w otaci ryzmy o odtawi zściokąta formngo, - wymiary lmntów blkowych (zkiltu) n, n - ztywności lmntów blkowych na rozciągani τ, τ - ztywności lmntów blkowych na zginani Krytria nrgtyczn dla truktur komórkowych J. ychlwki, wrowadzając konccję rężytych tanów włanych, nrgtyczni ortogonalnych oraz nrgtyczngo iloczynu kalarngo [, ], udowodnił, ż dla ciała linioworężytgo o dowolnj anizotroii nrgię rężytą można rozłożyć jdnoznaczni, na co najwyżj zść rozłącznych części. Krytrium J. ychlwkigo będąc krytrium dla rzężonych tanów włanych można zaiać w otaci ( σ ) ( σ ) + +, 6 () σ σ + σ + + σ - rozkład tnora narężnia na tanów włanych... - aniczna wartość gętości nrgii rężytj w tani włanym Natomiat formułowan w racy [] krytrium dla rozłącznych tanów włanych rzdtawia zalżność ( σ ) ( σ ) () 6 σ σ + σ + + σ - rozkład tnora narężnia na tanów włanych... - aniczna wartość gętości nrgii rężytj w tani włanym Graniczną wartość gętości nrgii rężytj - - nalży wyznaczyć krymntalni lub tż, jak zaroonowano w [7, 8], obliczyć z tortyczngo modlu uwzględniającgo trukturę matriału. Proozycję tę zatoowano w [9] w odniiniu do iank mtalicznych oraz w racach [, 0] w

4 - - odniiniu do matriałów komórkowych. Przz tan aniczny dla matriałów komórkowych, rozumimy oiągnięci anicy liniowj rężytości. Gętości nrgii anicznych w koljnych tanach włanych Wartości anicznych nrgii rężytych otrzymujmy w wyniku ralizacji womnianych tanów włanych dla koljnych truktur komórkowych. Dokładny oób wyznacznia tych zalżności dla truktur o owtarzającym ię lmnci: zścianu, rotoadłościanu, ryzmy o odtawi trójkąta równoboczngo i zściokąta formngo odano w racach [, 0]. Poniżj rzdtawion zotaną końcow zalżności analityczn wyrażając gętość nrgii anicznych dla wybranych lmntarnych komórk. - Komórka rotoadłościnna (ry. ) A A A V V h 8 () V V h 8 V V h 8 gdzi; - anica latyczności lmntu blkowgo,, i j - długość lmntu blkowgo, h - makymalna odlgłość włókin górnych lub dolnych lmntu blkowgo, A - ol rzkroju lmntu blkowgo, - momnt bzwładności lmntu blkowgo, - wartość włana tnora ztywności nazywana modułm Klvina. - Komórka w otaci ryzmy o odtawi zściokąta formngo (ry. ) A 6 A n n A ) h ( A ) ( 0 τ τ + + () V V h 6 Powirzchni aniczn dla rzężonych tanów włanych []

5 ozkład gętości nrgii w ozczgólnych tanach włanych rzy jdnooiowym rozciąganiu wzdłuż kirunku n rzdtawiono w rztrzni tanów włanych dla łakigo tanu narężnia. Przyjęto matriał: to Cu %Ni [], E 7[ GPa], G 5[ GPa], [ MPa]. Długość lmntów blkowych dla truktury: 0 rdnica ( 00)[ µ m]. W łakim tani narężnia nrgia rężyta kumuluj ię w trzch tanach włanych dla ortotroowj ymtrii matriału o lmntarnj komórc rotoadłościnnj {tan,, V} (ry. ). W tym rzyadku nrgtyczn krytrium rzdtawia lioida będąca owirzchnią aniczną, odobni jt dla matriału o lmntarnj komórc zścinnj. Kirunki rotych zawartych wwnątrz lioidy odowiadają ozczgólnym kirunkom zadango narężnia. Wartość narężnia dla dango kirunku utożamiana jt z długością rotj dla dango kirunku. Dla matriału o lmntarnj komórc w otaci ryzmy o odtawi zściokąta formngo w łakim tani narężnia nrgia rężyta kumuluj ię w dwóch tanach włanych {tan, } (ry. ). W tym rzyadku nrgtyczn krytrium rzdtawia lia będąca krzywą aniczną, odobni jt dla matriału o lmntarnj komórc w otaci ryzmy o odtawi trójkąta równoboczngo. Wartość narężnia dla każdgo kirunku w łazczyźni odtawy jt tak ama i utożamiana jt z długością rotj. y. Powirzchnia aniczna dla komórki rotoadłościnnj 000 µ, 000 µ, 000 µ, d 0 m ) m m m ( µ y. Powirzchnia aniczna dla komórki w otaci ryzmy o odtawi zściokąta formngo ( 000 m, 000 m, d 87 m ) µ µ µ - 5 -

6 Powirzchnia aniczna dla zściu rozłącznych tanów włanych matriału anizotroowgo na rzykładzi tktury [] Uwzględniając roozycję odaną w racy [] ( ) ( ) ( ) ( ) A ( σ A ), A ( σ A ) (5) A T T A C C ( A) ( A) ( A) ( A) ( σ σ T ) ( σ σ C ) 0 ( P) ( P) ( P) ( P) ( σ σ T ) ( σ σ C ) 0 gdzi: narężni rozciągając σ narężni ścikając σ σ, ( A) ( A) T max σ, ( A) ( A) C min A,... K - koljny tan włany, A - wartość włana tnora ztywności, ( A) - aniczna wartość gętości nrgii rężytj w tani włanym A, T, C narężni główn rozciągając narężni główn ścikając σ σ σ, ( P) ( P) T max σ, ( P) ( P) C min ( ) ( ) ( ) P,, - narężnia główn, σ T, σ T, σ T oraz rzyjmując dan doświadczaln dla tktury o ymtrii ttragonalnj za racą [] E 50 MPa, E 50 MPa, E 690 MPa, ν 0.5, ν 0.5, ν 0., G 700 MPa, G 700 MPa G 500 MPa tnor ztywności rzyjmuj otać S MPa dla którgo wartości włan ą równ MPa którym odowiadają natęując wktory włan N, N, N, N, N5, N 6 ominięto Powirzchni aniczn dla ozczgólnych tanów włanych oiują zalżności (6)

7 (0.8T + 0.8T + 0.8T 7.)(0.8 T + 0.8T + 0.8T + 6.8) 0 (0.595T T 0.5T 8.)(0.595 T T 0.5T + 0.) 0 (0.707T 0.707T.6)(0.707T 0.707T + 9.9) 0 Uwzględniając dan doświadczaln otrzymujmy owirzchnię aniczną (ry. 8), owtałą w wyniku złożnia owirzchni anicznych na odtawi krytriów:. Granicznych nrgii w rzężonych tanach włanych (owirzchnia w rztrzni tanów włanych) (ry. 5). Powirzchnia owtaj w wyniku wycyfikowania nrgtyczngo krytrium J. ychlwkigo dla matriału o różnj wytrzymałości na rozciągani i ścikani. Granicznych nrgii dla ozczgólnych tanów włanych (owirzchnia w rztrzni tanów włanych) (ry. 6). Granicznych narężń głównych (owirzchnia w rztrzni narężń głównych) (ry. 7) T 6 MPa, T 8 MPa, T 0.5 MPa, T MPa, T 56 MPa, r r r T 0 MPa (7) y. 5 Powirzchnia aniczna dla rzężonych tanów włanych y. 6 Powirzchnia aniczna dla ozczgólnych tanów włanych - 7 -

8 y. 7 Powirzchnia aniczna dla narężń głównych y. 8 Powirzchnia aniczna owtała w wyniku złożnia owirzchni okazanych na ryunkach 5-7 Porównani owirzchni anicznych Porównani owirzchni anicznych dla rzężonych tanów włanych oraz dla rozłącznych tanów włanych możliw jt w rztrzni tanów włanych uwzględniając łaki tan narężnia. W rztrzni tanów włanych nrgtyczn krytrium J. ychlwkigo można rzdtawić w otaci lioidy będącj owirzchnią aniczną dla matriału o lmntarnj komórc rotoadłościnnj oraz zścinnj. Natomiat nrgtyczn krytrium dla rozłącznych tanów włanych można rzdtawić w otaci owirzchni łakich odowiadających koljnym wartościom nrgii anicznych (ry. 9). W rzyadku matriału o lmntarnj komórc w otaci ryzmy o odtawi zściokąta formngo oraz trójkąta równoboczngo nrgtyczn krytrium J. ychlwkigo w łakim tani narężnia można rzdtawić w otaci liy a nrgtyczn krytrium dla rozłącznych tanów włanych można rzdtawić w otaci rotych odowiadających koljnym wartościom nrgii anicznych (ry. 0)

9 y. 9 Porównani owirzchni anicznych w rztrzni tanów włanych dla komórki rotoadłościnnj y. 0 Porównani owirzchni anicznych w rztrzni tanów włanych dla komórki w otaci ryzmy o odtawi zściokąta formngo Numryczna analiza dformacji truktur komórkowych W clu wryfikacji otrzymanych tortycznych wartości narężń anicznych dla omawianych lmntarnych komórk zotała rzrowadzona w roami obot Millnnium v. 7.0 numryczna analiza dformacji truktur komórkowych. ozważania zotały rzrowadzon ralizując łaki tan narężnia orzz rozciągani oiow w łazczyźni odtawy lmntarnj komórki. Poniważ wzory analityczn narężń anicznych ą uniwraln jako matriał rodzimy rzyjęto tal. Dla komórki rotoadłościnnj (ry. ) wartość narężnia aniczngo w łazczyźni odtawy (x,y) rzdtawia zalżność: σ ± [( 8 in α + in α + in α + A + in α h A in α h A ) ]/[ + / 8 in α in α in α in α h A + + in α h A ] gdzi α jt dowolnym kirunkim obciążnia (8)

10 π Przyjmując σ i α (rozciągnięci wzdłuż oi y) dla dowolngo matriału (wzór jt uniwralny) w żadnym ręci truktury ni jt rzkroczona anica latyczności lmntu z roamu obot blkowgo, dla tali E 05 GPa, G 80.8 GPa, 5 MPa, σ 0.8MPa. Błąd rozwiązania jt równy.9 %. Podobną zalżność wyrażającą wartość narężnia aniczngo w łazczyźni odtawy (x,y) wyrowadzono dla komórki zścinnj: σ ± A in α + in α h A in α h A 7 in α (9) gdzi α jt dowolnym kirunkim obciążnia. π Przyjmując σ i α (rozciągnięci wzdłuż oi y) dla dowolngo matriału (wzór jt uniwralny) w żadnym ręci truktury ni jt rzkroczona anica latyczności lmntu z roamu obot blkowgo, dla tali E 05 GPa, G 80.8 GPa, 5 MPa, σ 0MPa. Błąd rozwiązania jt równy 6.9 %. Dla komórki w otaci ryzmy o odtawi zściokąta formngo (ry. ) wartość narężnia aniczngo w łazczyźni odtawy (x,y) rzdtawia zalżność: σ ( + ) + Przyjmując σ (rozciągnięci wzdłuż oi y) dla dowolngo matriału (wzór jt uniwralny) narężnia w rętach truktury ą w rzybliżniu równ anicy latyczności lmntu z roamu obot blkowgo, dla tali E 05 GPa, G 80.8 GPa, 5 MPa, σ 0.90 MPa. Błąd rozwiązania jt równy 7. % na nikorzyść matriału. Podobni dla komórki w otaci ryzmy o odtawi trójkąta równoboczngo wartość narężnia aniczngo w łazczyźni odtawy (x,y) rzdtawia zalżność: (0) σ ± [(( h A + 98 h A h A + h A A + h A + / 788 )(657 8 )) ]/[ h A + h A + h A ] Przyjmując σ (rozciągnięci wzdłuż oi x) dla dowolngo matriału (wzór jt uniwralny) w żadnym ręci truktury ni jt rzkroczona anica latyczności lmntu blkowgo, z roamu obot dla tali E 05 GPa, G 80.8 GPa, 5 MPa, σ 9.MPa. Błąd rozwiązania jt równy %. () Podumowani W clu okrślnia, któr z dwóch omawianych nrgtycznych krytriów daj orawn rozwiązani, rzrowadzono tt numryczny olgający na zadaniu jdnooiowgo obciążnia 0 0 od kątm od 0 do 90 w łazczyźni odtawy lmntarnj komórki

11 Analizując owirzchni aniczn odowiadając omawianym krytriom nrgtycznym widać, ż ą on zbiżn w koljnych tanach włanych. Z wtęni wykonanych obliczń dla matriału o lmntarnj komórc zścinnj można zauważyć, ż dla zadango obciążnia od kątm od do 90 w łazczyźni odtawy tj komórki krytria t dają odobn rozwiązania. Przyjmując π w wzorz (9) kąt α oraz tal o aramtrach E 05 GPa, G 80.8 GPa, 5 MPa, jako matriał lmntu blkowgo wartość narężnia w matrial komórkowym uwzględniając, z roamu obot krytrium J. ychlwkigo jt równa σ 9.05 MPa, natomiat wartość narężnia w matrial komórkowym uwzględniając krytrium dla rozłącznych tanów włanych jt równa z roamu obot σ 9.76 MPa. Więkz różnic wytąią w złożonych tanach narężnia, dla których nalży wykonać odowidni oblicznia numryczn. i t r a t u r a. Kordzikowki P., Janu-Michalka M., Pęchrki. B.: Scification of nrgy-bad critrion of latic limit tat for cllular matrial, Archiv of Mtallurgy and Matrial, raca w druku /05.. ychlwki J.: Elatic nrgy dcomoition and limit critria, Ukhi Mkh. -Advanc in Mch., 98, t. 7, (o royjku).. ychlwki J.: Unconvntional aroach to linar laticity, Arch. Mch., 995, t. 7, Arramon Y. A., Mhrabadi M. M., Martin D. W., Cowin S. C.: A multidimnional aniotroic trngth critrion bad on Klvin mod, ntrational Journal of Solid and Struktur, 000, t. 7, Kowalczyk K., Otrowka-Macijwka J., Pęchrki.B.: An-nrgy bad yild critrion for olid of cubic laticity and orthotroic limit tat, Arch. Mch., 00, t. 55, 00, Kowalczyk-Gajwka K, Otrowka-Macijwka J.: Enrgy-bad limit critria for aniotroic latic matrial with contraint, Arch. Mch., 005, t Nalka K., Pęchrki. B.: Fizyczn odtawy nrgtyczngo krytrium wytężnia monokryztałów,. 6, XXX Szkoła nżynirii Matriałowj, Kraków-Utroń- Jazowic, -, X 00, (d. J. Pacyno), AG, Kraków, Nalka K., Pęchrki. B.: Enrgtyczn krytria wytężnia. Proozycja obliczania anicznych nrgii z irwzych zaad, udy Mtal, 00, r. 8, Janu-Michalka M., Pęchrki.B.: Macrocoic rorti of on-cll foam bad on micromchanical modlling, Tchnich Mchanik, 00, t., Kordzikowki P., Janu-Michalka M., Pęchrki. B.: Analiza wływu wytrzymałości rętów zścinnj truktury komórkowj na rozkład anicznych nrgii, udy i Mtal Niżlazn, 00, 9, Nr, Janu-Michalka M., Kordzikowki P., Pęchrki. B.: Enrgy-bad aroach to limit tat critria of cllular matrial, ntrnational Symoium on Dvlomnt in Platiity and Fractur-Cntnary of M. T. ubr Critrion, - Augut 00, Kraków otr rzntowany na wyżj wyminionj konfrncji raca w rzygotowaniu do ublikacji.. Janu-Michalka M.: Effctiv modl dcribing latic bhaviour of cllular matrial, Archiv of Mtallurgy and Matrial, raca w druku /05.. Wang A. J., McDowll D..: Yild urfac of variou riodic mtal honycomb at intrmdiat rlativ dnity, ntrnational Journal of Platicity, 005, t.,