STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD października 2009
|
|
- Alina Kazimiera Romanowska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 26 października 2009
2 Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ (X µ) 2 { (x µ) 2 exp 1 ( ) } x µ 2 dx 2 σ
3 Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ (X µ) 2 { (x µ) 2 exp 1 ( ) } x µ 2 dx 2 σ S 2 = 1 n (X i X ) 2 n i=1 #
4 [W] Wykład Ozn: S 2 = 1 n n i=1 (X i X ) 2 S 2 0 = 1 n n i=1 (X i µ) 2 [JB] Jarosław Bartoszewicz: Wykłady ze statystyki matematycznej. PWN 1996 Ozn: S 2 = 1 n n i=1 (X i X ) 2, S0 2 = 1 n n 1 i=1 (X i X ) 2 [BŁ] Dobiesław Bobrowski, Krystyna Maćkowiak-Łybacka: Wybrane metody wnioskowania statystycznego. Wyd.Polit.Pozn., Poznań 2006 Ozn: S 2 = 1 n n i=1 (X i X ) 2, S 2 = 1 n n 1 i=1 (X i X ) 2, S2 2 = 1 n n i=1 (X i µ) 2 [GK] Lesław Gajek, Marek Kałuszka: Wnioskowanie statystyczne. Modele i metody. WNT 1996 Ozn: Ŝ2 n = 1 n n i=1 (X i θ) 2, S 2 n = 1 n n i=1 (X i X n) 2 [WK] Witold Klonecki: Statystyka dla inżynierów. PWN 1999 Ozn: S 2 = 1 n n 1 i=1 (X i X ) 2, S0 2 = 1 n n i=1 (X i µ) 2 [AP] Agnieszka Plucińska i Edmund Pluciński: Rachunek prawdopodobieństwa. Statystyka matematyczna. Procesy stochastyczne. WNT 2000 Ozn. Sn 2 = 1 n n i=1 (X i X ) 2, Snieob. 2 = 1 n n 1 i=1 (X i X ) 2, S0 2 = 1 n n i=1 (X i µ) 2 [MS] Mariusz Startek: Podstawy rachunku prawdopodobieństwa z elementami statystyki matematycznej. Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej 2005 Ozn: S 2 = 1 n n i=1 (X i ˆX ) 2, S 2 = 1 n n 1 i=1 (X i ˆX ) 2, Ŝ 2 = 1 n n i=1 (X i µ) 2 #
5 Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ. Estymacja przedziałowa Jeżeli X N(µ, σ), to n S 2 /σ 2 ma rozkład chi-kwadrat z (n 1) stopniami swobody, to P N(µ,σ) { χ n 1 (α) n S 2 σ 2 χ n 1 (1 β) } = γ, gdzie χ ν (α) jest kwantylem rzędu α rozkładu chi-kwadrat o ν stopniach swobody oraz α + β = 1 γ
6 Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ. Estymacja przedziałowa Jeżeli X N(µ, σ), to n S 2 /σ 2 ma rozkład chi-kwadrat z (n 1) stopniami swobody, to P N(µ,σ) { χ n 1 (α) n S 2 σ 2 χ n 1 (1 β) } = γ, gdzie χ ν (α) jest kwantylem rzędu α rozkładu chi-kwadrat o ν stopniach swobody oraz α + β = 1 γ Typowy wybór symetryczny : α = β = (1 γ)/2 #
7 Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ. Estymacja przedziałowa Przedział ufności dla wariancji σ 2 : P N(µ,σ) { n S 2 χ ν (1 β) σ2 n S 2 α = β = (1 γ)/2 χ ν (α) } = γ,
8 Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ. Estymacja przedziałowa Przedział ufności dla wariancji σ 2 : P N(µ,σ) { n S 2 χ ν (1 β) σ2 n S 2 α = β = (1 γ)/2 χ ν (α) } = γ, Przedział ufności dla odchylenia średniego σ: { } n S n S P N(µ,σ) σ = γ, χν (1 β) χν (α)
9 Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ. Estymacja przedziałowa Przedział ufności dla wariancji σ 2 : P N(µ,σ) { n S 2 χ ν (1 β) σ2 n S 2 α = β = (1 γ)/2 χ ν (α) } = γ, Przedział ufności dla odchylenia średniego σ: { } n S n S P N(µ,σ) σ = γ, χν (1 β) χν (α) Przedział symetryczny. Wybór optymalny : najkrótszy przedział ufności na danym poziomie ufności γ ( )
10 Rozkład N(µ, σ). Testowanie hipotezy H : σ =σ 0, K : σ >σ 0 (Np. zużywający się przyrząd pomiarowy) Jeżeli X N(µ, σ 0 ), to n S 2 /σ0 2 ma rozkład chi-kwadrat z (n 1) stopniami swobody: { } P N(µ,σ0 ) S 2 > σ2 0 n χ n 1(1 α) Ozn: χ ν (γ) - kwantyl rzędu gamma, = α
11 Rozkład N(µ, σ). Testowanie hipotezy H : σ =σ 0, K : σ >σ 0 (Np. zużywający się przyrząd pomiarowy) Jeżeli X N(µ, σ 0 ), to n S 2 /σ0 2 ma rozkład chi-kwadrat z (n 1) stopniami swobody: { } P N(µ,σ0 ) S 2 > σ2 0 n χ n 1(1 α) Ozn: χ ν (γ) - kwantyl rzędu gamma, Moc tego testu: β(σ) = P N(µ,σ) { S 2 = α σ 2 > σ2 0 n σ 2 χ n 1(1 α) } R: test-sigma-plus.r #
12 Rozkład N(µ, σ). Testowanie hipotezy H : σ =σ 0, K : σ <σ 0 (Np. nowy przyrząd pomiarowy) Jeżeli X N(µ, σ 0 ), to ns 2 /σ0 2 ma rozkład chi-kwadrat z (n 1) stopniami swobody: { } P N(µ,σ0 ) S 2 < σ2 0 n χ n 1(α) = α
13 Rozkład N(µ, σ). Testowanie hipotezy H : σ =σ 0, K : σ <σ 0 (Np. nowy przyrząd pomiarowy) Jeżeli X N(µ, σ 0 ), to ns 2 /σ0 2 ma rozkład chi-kwadrat z (n 1) stopniami swobody: { } P N(µ,σ0 ) S 2 < σ2 0 n χ n 1(α) = α Moc tego testu: β(σ) = P N(µ,σ) { S 2 σ 2 < σ2 0 n σ 2 χ (n 1)(α) } R: test-sigma-minus.r #
14 Rozkład t Studenta
15 Rozkład t Studenta (Rozkład Studenta,
16 Rozkład t Studenta (Rozkład Studenta, Rozkład t) Jeżeli zmienna losowa ξ ma rozkład normalny N(0, 1), zmienna losowa η ma rozkład chi-kwadrat o ν stopniach swobody i jeżeli te zmienne losowe są niezależne, to rozkład zmiennej losowej t = ξ η/ν nazywa się rozkładem t Studenta o ν stopniach swobody
17 Rozkład t Studenta Gęstość rozkładu t Studenta o ν stopniach swobody: g ν (x) = 1 Γ( ν+1 πν Γ( ν 2 ) 2 ) [ 1 + x 2 ν ] ν+1 2 E ν (t) = 0, Var ν (t) = ν ν 2, < t < + R: rozk-t.r
18 Rozkład t Studenta Rozkład N(µ, σ). Wnioskowanie o średniej µ, gdy σ nie jest znane Oznaczenia:. γ t ν ( 1+γ 2 ). q t ν (q)
19 ROZKŁAD t STUDENTA P µ {t ν t ν (q)} = q P µ t (1 + γ ) ν t ν 2 = q
20 PRZEDZIAŁY UFNOŚCI Przypominam: X N(µ, σ) = X µ σ/ N(0, 1) n { } } X µ P µ σ/ n z γ = γ, P µ {µ X σ z γ n = γ
21 PRZEDZIAŁY UFNOŚCI Przypominam: X N(µ, σ) = X µ σ/ N(0, 1) n { } } X µ P µ σ/ n z γ = γ, P µ {µ X σ z γ n = γ ξ N(0, 1), η χ ν, ξ i η niezależne t = t ν η/ν ξ
22 PRZEDZIAŁY UFNOŚCI Przypominam: X N(µ, σ) = X µ σ/ N(0, 1) n { } } X µ P µ σ/ n z γ = γ, P µ {µ X σ z γ n = γ ξ N(0, 1), η χ ν, ξ i η niezależne t = t ν η/ν ξ X N(µ, σ) X µ σ/ n N(0, 1), ns 2 χ σ 2 n 1, X i S 2 niezależne X µ σ = n (n 1) tn 1 ns 2 = X µ σ 2 /(n 1) S #
23 PRZEDZIAŁY UFNOŚCI. Przedział jednostronny { } X µ P N(µ,σ) (n 1) tn 1 (γ) = γ S
24 PRZEDZIAŁY UFNOŚCI. Przedział jednostronny P N(µ,σ) { } X µ P N(µ,σ) (n 1) tn 1 (γ) = γ S µ X t n 1 (γ) S (n 1) = γ
25 PRZEDZIAŁY UFNOŚCI. Przedział dwustronny P N(µ,σ) { X µ S ( )} 1 + γ (n 1) tn 1 = γ 2
26 PRZEDZIAŁY UFNOŚCI. Przedział dwustronny P N(µ,σ) { X µ S ( )} 1 + γ (n 1) tn 1 = γ 2 X tn 1 ( 1+γ 2 ) ( ) S 1+γ (n 1), S X +tn 1 2 (n 1)
27 OZNACZENIA S =? t ν (γ) =? #
28 S =? t ν (γ) =? [WK s. 186-] Przykład Dokonano n = 10 pomiarów wytrzymałości (w 10 5 N/m 2 ) pewnego materiału budowlanego i obliczono średnią x = 20.2 oraz wariancję s 2 = Przyjmijmy, że zaobserwowane wyniki pomiarów możemy traktować jako próbę prostą z rozkładu normalnego o nieznanej wartości średniej µ oraz nieznanej wariancji σ 2. Podać 90-procentowy przedział ufności dla średniej µ. S. 181: S 2 = 1 n n 1 (X i X ) 2. S. 184: t n 1;α/2 - kwantyl rzędu i=1 1 α/2 dla rozkładu Studenta z ν = n 1 stopniami swobody. Przedział ufności [ X t n 1;α/2 S n, X + t n 1;α/2 S n ]
29 S =? t ν (γ) =? [BŁ s. 64] Przykład Na podstawie danych z przykładu 2.19 wyznaczymy przedział ufności dla wartości oczekiwanej siły uplastyczniającej, przyjmując poziom ufności Ocena punktowa x parametru µ wyznaczona na podstawie próby była równa 37799N, a odchylenie standardowe z próby s = N. Przedział ufności: ( X n + t α 2 S n 1, X n + t 1 α 2 ) S n 1
30 DŁUGOŚĆ PRZEDZIAŁU UFNOŚCI Długość przedziału ufności Studenta: ( ( 1+γ ) S X t n 1 2 (n 1), X +tn 1 ( 1+γ 2 ( 1+γ ) S 2 t n 1 2 (n 1) ) ) S (n 1) R: Pufn-Stud-Sym.R
31 PRZEDZIAŁU UFNOŚCI O ZADANEJ DŁUGOŚCI 2d DWUETAPOWA PROCEDURA STEINA: Na podstawie obserwacji X 1, X 2,...,, dla dowolnie wybranej liczby n 1 2 obliczam Sn 2 1 = 1 n 1 (X i n X n1 ) 2 1 i=1
32 PRZEDZIAŁU UFNOŚCI O ZADANEJ DŁUGOŚCI 2d DWUETAPOWA PROCEDURA STEINA: Na podstawie obserwacji X 1, X 2,...,, dla dowolnie wybranej liczby n 1 2 obliczam Sn 2 1 = 1 n 1 (X i n X n1 ) 2 1 Na podstawie założonego poziomu ufności γ oraz dowolnie dobranej liczby d > 0 obliczam n 2 = n ( ( 1 1+γ ) ) 2 Sn1 t n 1 n d i=1
33 PRZEDZIAŁU UFNOŚCI O ZADANEJ DŁUGOŚCI 2d DWUETAPOWA PROCEDURA STEINA: Na podstawie obserwacji X 1, X 2,...,, dla dowolnie wybranej liczby n 1 2 obliczam Sn 2 1 = 1 n 1 (X i n X n1 ) 2 1 Na podstawie założonego poziomu ufności γ oraz dowolnie dobranej liczby d > 0 obliczam n 2 = n ( ( 1 1+γ ) ) 2 Sn1 t n 1 n d i=1 Wyznaczam n = max{n 1, n 2 } i obliczam X n.
34 PRZEDZIAŁU UFNOŚCI O ZADANEJ DŁUGOŚCI 2d DWUETAPOWA PROCEDURA STEINA: Na podstawie obserwacji X 1, X 2,...,, dla dowolnie wybranej liczby n 1 2 obliczam Sn 2 1 = 1 n 1 (X i n X n1 ) 2 1 Na podstawie założonego poziomu ufności γ oraz dowolnie dobranej liczby d > 0 obliczam n 2 = n ( ( 1 1+γ ) ) 2 Sn1 t n 1 n d i=1 Wyznaczam n = max{n 1, n 2 } i obliczam X n. Wtedy ( X n d, X n + d) jest przedziałem ufności dla µ na poziomie ufności γ
35 PRZEDZIAŁU UFNOŚCI O ZADANEJ DŁUGOŚCI 2d Dwuetapowa procedura Steina. Uzasadnienie (szkic): n 1 S 2 n 1 σ 2 χ 2 n 1 1, X n2 µ n2 N(0, 1) σ ( X n2 µ) (n 1 1)n 2 S n1 n1 t n1 1
36 PRZEDZIAŁU UFNOŚCI O ZADANEJ DŁUGOŚCI 2d Dwuetapowa procedura Steina. Uzasadnienie (szkic): n 1 S 2 n 1 σ 2 χ 2 n 1 1, X n2 µ n2 N(0, 1) σ ( X n2 µ) (n 1 1)n 2 S n1 n1 t n1 1 Granice przedziału ufności na poziomie ufności γ: X n2 ± n ( 1 1+γ ) t n 1 S n1 (n 1 1)n 2 2 (./.)
37 PRZEDZIAŁU UFNOŚCI O ZADANEJ DŁUGOŚCI 2d Dwuetapowa procedura Steina. Uzasadnienie (szkic) c.d: Postulat n ( 1 1+γ ) t n 1 S n1 d (n 1 1)n 2 2
38 PRZEDZIAŁU UFNOŚCI O ZADANEJ DŁUGOŚCI 2d Dwuetapowa procedura Steina. Uzasadnienie (szkic) c.d: Postulat n ( 1 1+γ ) t n 1 S n1 d (n 1 1)n 2 2 Warunek dla n 2 : n 2 n ( ( 1 1+γ t n 1 n ) Sn1 d ) 2 ( )
39 PRZEDZIAŁU UFNOŚCI O ZADANEJ DŁUGOŚCI 2d Dwuetapowa procedura Steina. Uzasadnienie (szkic) c.d: Postulat n ( 1 1+γ ) t n 1 S n1 d (n 1 1)n 2 2 Warunek dla n 2 : n 2 n ( ( 1 1+γ t n 1 n ) Sn1 d ) 2 ( ) Problem: sumaryczna wielkość próby w dwuetapowej procedurze Steina ( ) Tu koniec wykładu 4 (26.X.2009) #
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5. 2 listopada 2009
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5 2 listopada 2009 Poprzedni wykład: przedział ufności dla µ, σ nieznane Rozkład N(µ, σ). Wnioskowanie o średniej µ, gdy σ nie jest znane Testowanie H : µ = µ 0, K : µ
Bardziej szczegółowoZALICZENIA. W celu uzyskania zaliczenia należy wybrać jeden z trzech poniższych wariantów I, II lub III
ZALICZENIA W celu uzyskania zaliczenia należy wybrać jeden z trzech poniższych wariantów I, II lub III 1 Wariant I. PROBLEM WŁASNY Sformułować własne zadanie statystyczne związane z własną pracą badawczą
Bardziej szczegółowoWykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn
Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa
Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności
Bardziej szczegółowoEstymacja parametrów rozkładu cechy
Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymujemy parametr θ rozkładu cechy X Próba: X 1, X 2,..., X n Estymator punktowy jest funkcją próby ˆθ = ˆθX 1, X 2,..., X n przybliżającą wartość parametru θ Przedział
Bardziej szczegółowo1.1 Wstęp Literatura... 1
Spis treści Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Wstęp................................ 1 1.2 Literatura.............................. 1 2 Elementy rachunku prawdopodobieństwa 2 2.1 Podstawy..............................
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Statystyka Wykład 10 Wrocław, 22 grudnia 2011 Testowanie hipotez statystycznych Definicja. Hipotezą statystyczną nazywamy stwierdzenie dotyczące parametrów populacji. Definicja. Dwie komplementarne w problemie
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014
Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 3 - model statystyczny, podstawowe zadania statystyki matematycznej
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 3 - model statystyczny, podstawowe zadania statystyki matematycznej Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 3 1 / 8 ZADANIE z rachunku
Bardziej szczegółowo1 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa
1 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową X wartości mniejszej od x, tzn. F (x) = P [X < x]. 1. dla zmiennej losowej
Bardziej szczegółowo1 Estymacja przedziałowa
1 Estymacja przedziałowa 1. PRZEDZIAŁY UFNOŚCI DLA ŚREDNIEJ (a) MODEL I Badana cecha ma rozkład normalny N(µ, σ) o nieznanym parametrze µ i znanym σ. Przedział ufności: [ ( µ x u 1 α ) ( σn ; x + u 1 α
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 7 i 8 1 / 9 EFEKTYWNOŚĆ ESTYMATORÓW, próba
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Bioinformatyka Wykład 4 Wrocław, 17 października 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących wartości oczekiwanej w dwóch populacjach o rozkładach normalnych. Model 3. Porównanie średnich
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r
Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów
Bardziej szczegółowoPRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA FRAKCJI. Ryszard Zieliński. XXXVIII Konferencja Zastosowań Matematyki Zakopane Kościelisko 8-15 września 2009
Ryszard Zieliński XXXVIII Ogólnopolska Konferencja Zastosowań Matematyki Zakopane Kościelisko 8-15 września 2009 ESTYMACJA FRAKCJI W populacji składającej się z N elementów jest nieznana liczba M elementów
Bardziej szczegółowoZmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015
Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20
Bardziej szczegółowoBADANIE POWTARZALNOŚCI PRZYRZĄDU POMIAROWEGO
Zakład Metrologii i Systemów Pomiarowych P o l i t e c h n i k a P o z n ańska ul. Jana Pawła II 24 60-965 POZNAŃ (budynek Centrum Mechatroniki, Biomechaniki i Nanoinżynierii) www.zmisp.mt.put.poznan.pl
Bardziej szczegółowoTablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki
Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład IV. Weryfikacja hipotez statystycznych
Statystyka matematyczna. Wykład IV. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 2 3 Definicja 1 Hipoteza statystyczna jest to przypuszczenie dotyczące rozkładu (wielkości parametru lub rodzaju) zmiennej
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM Populacja Generalna (PG) 2. Próba (P n ) 3. Kryterium 3σ 4. Błąd Średniej Arytmetycznej 5. Estymatory 6. Teoria Estymacji (cz.
LABORATORIUM 4 1. Populacja Generalna (PG) 2. Próba (P n ) 3. Kryterium 3σ 4. Błąd Średniej Arytmetycznej 5. Estymatory 6. Teoria Estymacji (cz. I) WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE (STATISTICAL INFERENCE) Populacja
Bardziej szczegółowoWykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału
Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.02.2017r Zasady oceniania Ćwiczenia 2 kolokwia (20 punktów każde) 05.04.2017 oraz 31.05.2017 2 kartkówki
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 9 i 10 1 / 30 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH
Bardziej szczegółowoBłędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH
WYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Było: Estymacja parametrów rozkładu teoretycznego punktowa przedziałowa Przykład. Cecha X masa owocu pewnej odmiany. ZałoŜenie: cecha X ma w populacji rozkład
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne Teoria estymacji Jędrzej Potoniec Bibliografia Bibliografia Próba losowa (x 1, x 2,..., x n ) Próba losowa (x 1, x 2,..., x n ) (X 1, X 2,..., X n ) Próba losowa (x 1, x 2,...,
Bardziej szczegółowoEstymacja punktowa i przedziałowa
Temat: Estymacja punktowa i przedziałowa Kody znaków: żółte wyróżnienie nowe pojęcie czerwony uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia 1. Statystyczny opis próby. Idea estymacji punktowej pojęcie estymatora
Bardziej szczegółowoNa podstawie dokonanych obserwacji:
PODSTAWOWE PROBLEMY STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ Niech mamy próbkę X 1,..., X n oraz przestrzeń prób X n, i niech {X i } to niezależne zmienne losowe o tym samym rozkładzie P θ P. Na podstawie obserwacji chcemy
Bardziej szczegółowo... i statystyka testowa przyjmuje wartość..., zatem ODRZUCAMY /NIE MA POD- STAW DO ODRZUCENIA HIPOTEZY H 0 (właściwe podkreślić).
Egzamin ze Statystyki Matematycznej, WNE UW, wrzesień 016, zestaw B Odpowiedzi i szkice rozwiązań 1. Zbadano koszt 7 noclegów dla 4-osobowej rodziny (kwatery) nad morzem w sezonie letnim 014 i 015. Wylosowano
Bardziej szczegółowoTemat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1
Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, Ŝe 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II
WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II Teoria estymacji (wyznaczanie przedziałów ufności, błąd badania statystycznego, poziom ufności, minimalna liczba pomiarów). PRÓBA Próba powinna być reprezentacyjna tj. jak
Bardziej szczegółowoESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW
ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI Szkic wykładu Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 2 3 4 Przypomnienie dotychczasowych rozważań Przedziałem ufności nazywamy przedział losowy, o którym przypuszczamy
Bardziej szczegółowoBADANIE POWTARZALNOŚCI PRZYRZĄDU POMIAROWEGO
Zakład Metrologii i Systemów Pomiarowych P o l i t e c h n i k a P o z n ańska ul Jana Pawła II 24 60-965 POZNAŃ budynek Centrum Mechatroniki, iomechaniki i Nanoinżynierii) wwwzmispmtputpoznanpl tel +48
Bardziej szczegółowoWykład 7 Testowanie zgodności z rozkładem normalnym
Wykład 7 Testowanie zgodności z rozkładem normalnym Wrocław, 05 kwietnia 2017 Rozkład normalny Niech X = (X 1, X 2,..., X n ) będzie próbą z populacji o rozkładzie normalnym określonym przez dystrybuantę
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej
Bardziej szczegółowoTemat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1
Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, że 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.
Bardziej szczegółowoZad. 4 Należy określić rodzaj testu (jedno czy dwustronny) oraz wartości krytyczne z lub t dla określonych hipotez i ich poziomów istotności:
Zadania ze statystyki cz. 7. Zad.1 Z populacji wyłoniono próbę wielkości 64 jednostek. Średnia arytmetyczna wartość cechy wyniosła 110, zaś odchylenie standardowe 16. Należy wyznaczyć przedział ufności
Bardziej szczegółowoWykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 18 października 2017r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby
Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny
Bardziej szczegółowoWykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną war
Wykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną wariancją Wrocław, 25 października 2017r Statystyki próbkowe - Przypomnienie Niech X = (X 1, X 2,... X n ) będzie n elementowym wektorem losowym.
Bardziej szczegółowoWykład 3 Testowanie hipotez statystycznych o wartości średniej. średniej i wariancji z populacji o rozkładzie normalnym
Wykład 3 Testowanie hipotez statystycznych o wartości średniej i wariancji z populacji o rozkładzie normalnym Wrocław, 08.03.2017r Model 1 Testowanie hipotez dla średniej w rozkładzie normalnym ze znaną
Bardziej szczegółowoWykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 19 października 2016r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ELEKTRONIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim STATYSTYKA MATEMATYCZNA Nazwa w języku angielskim Mathematical Statistics Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Bardziej szczegółowo2.1 Przykład wstępny Określenie i konstrukcja Model dwupunktowy Model gaussowski... 7
Spis treści Spis treści 1 Przedziały ufności 1 1.1 Przykład wstępny.......................... 1 1.2 Określenie i konstrukcja...................... 3 1.3 Model dwupunktowy........................ 5 1.4
Bardziej szczegółowoHipotezy statystyczne
Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o którego prawdziwości lub fałszywości wnioskuje się na podstawie pobranej
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych
round Testowanie hipotez statystycznych Wyk lad 9 Natalia Nehrebecka Stanis law Cichocki 13 grudnia 2014 Plan zajeć 1 Rozk lad estymatora b Rozk lad sumy kwadratów reszt 2 Hipotezy proste - test t Badanie
Bardziej szczegółowoSpis treści 3 SPIS TREŚCI
Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych
Testowanie hipotez statystycznych Wyk lad 8 Natalia Nehrebecka Stanis law Cichocki 29 listopada 2015 Plan zajeć 1 Rozk lad estymatora b Rozk lad sumy kwadratów reszt 2 Hipotezy proste - test t Badanie
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych
Temat Testowanie hipotez statystycznych Kody znaków: Ŝółte wyróŝnienie nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia omawiane na zajęciach 1. Idea i pojęcia teorii testowania hipotez
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
31 marca 2014 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Bardziej szczegółowoDefinicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego
Rozdział 1 Statystyki Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego X = (X 1,..., X n ). Uwaga 1 Statystyka jako funkcja wektora zmiennych losowych jest zmienną losową
Bardziej szczegółowoO ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ I MEDIANIE
Ryszard Zieliński, IMPAN Warszawa O ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ I MEDIANIE XXXIX Ogólnopolska Konferencja Zastosowań Matematyki Zakopane-Kościelisko 7-14 września 2010 r Model statystyczny pomiaru: wynik pomiaru
Bardziej szczegółowoHipotezy statystyczne
Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o którego prawdziwości lub fałszywości wnioskuje się na podstawie pobranej próbki losowej. Hipotezy
Bardziej szczegółowoStatystyka. Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez. Wykład III ( )
Statystyka Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez Wykład III (04.01.2016) Rozkład t-studenta Rozkład T jest rozkładem pomocniczym we wnioskowaniu statystycznym; stosuje się go wyznaczenia przedziału
Bardziej szczegółowoWnioskowanie statystyczne. Statystyka w 5
Wnioskowanie statystyczne tatystyka w 5 Rozkłady statystyk z próby Próba losowa pobrana z populacji stanowi realizacje zmiennej losowej jak ciąg zmiennych losowych (X, X,... X ) niezależnych i mających
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa. Przedział ufności
Estymacja przedziałowa Przedział ufności Estymacja przedziałowa jest to szacowanie wartości danego parametru populacji, ρ za pomocą tak zwanego przedziału ufności. Przedziałem ufności nazywamy taki przedział
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 13 i 14 - Statystyka bayesowska
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 13 i 14 - Statystyka bayesowska Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 13 i 14 1 / 15 MODEL BAYESOWSKI, przykład wstępny Statystyka
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład V. Parametryczne testy istotności
Statystyka matematyczna. Wykład V. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 Weryfikacja hipotezy o równości wartości średnich w dwóch populacjach 2 3 Weryfikacja hipotezy o równości wartości średnich
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. Testowanie hipotez Estymacja parametrów
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 Testowanie hipotez Estymacja parametrów WSTĘP 1. Testowanie hipotez Błędy związane z testowaniem hipotez Etapy testowana hipotez Testowanie wielokrotne 2. Estymacja parametrów
Bardziej szczegółowoWykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotn. istotności, p-wartość i moc testu
Wykład 2 Hipoteza statystyczna, test statystyczny, poziom istotności, p-wartość i moc testu Wrocław, 01.03.2017r Przykład 2.1 Właściciel firmy produkującej telefony komórkowe twierdzi, że wśród jego produktów
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI
LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych
Bardziej szczegółowoO ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ
Od średniej w modelu gaussowskim do kwantyli w podstawowym modelu nieparametrycznym IMPAN 1.X.2009 Rozszerzona wersja wykładu: O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ Ryszard Zieliński XII Międzynarodowe Warsztaty dla
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
29 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Bardziej szczegółowoVI WYKŁAD STATYSTYKA. 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15
VI WYKŁAD STATYSTYKA 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 6 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI Weryfikacja hipotez ( błędy I i II rodzaju, poziom istotności, zasady
Bardziej szczegółowoWykład 5 Problem dwóch prób - testowanie hipotez dla równości średnich
Wykład 5 Problem dwóch prób - testowanie hipotez dla równości średnich Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.03.2017r Problem Behrensa Fishera Niech X = (X 1, X 2,..., X n ) oznacza próbę z rozkładu normalnego
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Przykład (wstępny). Producent twierdzi, że wadliwość produkcji wynosi 5%. My podejrzewamy, że rzeczywista wadliwość produkcji wynosi 15%. Pobieramy próbę stuelementową
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM 6 ESTYMACJA cz. 2
LABORATORIUM 6 ESTYMACJA cz. 2 TEORIA ESTYMACJI I 1. ODRZUCANIE WYNIKÓW WĄTPLIWYCH PRÓBA P (m) (m-elementowa) Obliczenie: ; s bez wyników wątpliwych Odrzucenie wyników z poza przedziału: 3s PRÓBA LOSOWA
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych.
Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde
Bardziej szczegółowoWykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji
Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji Wrocław, 23 maja 2018 Współczynnik korelacji Niech będą dane dwie próby danych X = (X 1, X 2,..., X n ) oraz Y = (Y 1, Y 2,..., Y n ). Współczynnikiem
Bardziej szczegółowoInżynieria Środowiska. II stopień ogólnoakademicki. przedmiot podstawowy obowiązkowy polski drugi. semestr zimowy
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr../12 z dnia.... 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2017/2018 STATYSTYKA
Bardziej szczegółowoWstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 4. Statystyki i estymacja parametrów
Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 4. Statystyki i estymacja parametrów dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh, Katedra Elektroniki, WIET AGH Wstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 4
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wykład 2. Krzysztof Topolski. Wrocław, 11 października 2012
Wykład 2 Wrocław, 11 października 2012 Próba losowa Definicja. Zmienne losowe X 1, X 2,..., X n nazywamy próba losową rozmiaru n z rozkładu o gęstości f (x) (o dystrybuancie F (x)) jeśli X 1, X 2,...,
Bardziej szczegółowoKolokwium ze statystyki matematycznej
Kolokwium ze statystyki matematycznej 28.05.2011 Zadanie 1 Niech X będzie zmienną losową z rozkładu o gęstości dla, gdzie 0 jest nieznanym parametrem. Na podstawie pojedynczej obserwacji weryfikujemy hipotezę
Bardziej szczegółowoOpis przedmiotu. Karta przedmiotu - Probabilistyka I Katalog ECTS Politechniki Warszawskiej
Kod przedmiotu TR.NIK304 Nazwa przedmiotu Probabilistyka I Wersja przedmiotu 2015/16 A. Usytuowanie przedmiotu w systemie studiów Poziom kształcenia Studia I stopnia Forma i tryb prowadzenia studiów Niestacjonarne
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA LISTA 10 1.Dokonano 8 pomiarów pewnej odległości (w m) i otrzymano: 201, 195, 207, 203, 191, 208, 198, 210. Wiedząc,że błąd pomiaru ma rozkład normalny
Bardziej szczegółowoWykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji
Wykład 12 Testowanie hipotez dla współczynnika korelacji Wrocław, 24 maja 2017 Współczynnik korelacji Niech będą dane dwie próby danych X = (X 1, X 2,..., X n ) oraz Y = (Y 1, Y 2,..., Y n ). Współczynnikiem
Bardziej szczegółowoOpis przedmiotu: Probabilistyka I
Opis : Probabilistyka I Kod Nazwa Wersja TR.SIK303 Probabilistyka I 2012/13 A. Usytuowanie w systemie studiów Poziom Kształcenia Stopień Rodzaj Kierunek studiów Profil studiów Specjalność Jednostka prowadząca
Bardziej szczegółowodr Jerzy Pusz, st. wykładowca, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej B. Ogólna charakterystyka przedmiotu
Kod przedmiotu TR.SIK303 Nazwa przedmiotu Probabilistyka I Wersja przedmiotu 2015/16 A. Usytuowanie przedmiotu w systemie studiów Poziom kształcenia Studia I stopnia Forma i tryb prowadzenia studiów Stacjonarne
Bardziej szczegółowoNa A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n)
MODELE STATYSTYCZNE Punktem wyjścia w rozumowaniu statystycznym jest zmienna losowa (cecha) X i jej obserwacje opisujące wyniki doświadczeń bądź pomiarów. Zbiór wartości zmiennej losowej X (zbiór wartości
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych
Testowanie hipotez statystycznych Wyk lad 9 Natalia Nehrebecka Stanis law Cichocki 28 listopada 2018 Plan zaj eć 1 Rozk lad estymatora b 2 3 dla parametrów 4 Hipotezy l aczne - test F 5 Dodatkowe za lożenie
Bardziej szczegółowoVII WYKŁAD STATYSTYKA. 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15
VII WYKŁAD STATYSTYKA 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 7 (c.d) WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI Weryfikacja hipotez ( błędy I i II rodzaju, poziom istotności,
Bardziej szczegółowoTESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH
TETOWANIE HIPOTEZ TATYTYCZNYCH HIPOTEZA TATYTYCZNA przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Prawdziwość tego przypuszczenia jest oceniana na
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna i ekonometria
Statystyka matematyczna i ekonometria Wykład 5 dr inż. Anna Skowrońska-Szmer zima 2017/2018 Hipotezy 2 Hipoteza zerowa (H 0 )- hipoteza o wartości jednego (lub wielu) parametru populacji. Traktujemy ją
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X.
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X. Wysuwamy hipotezy: zerową (podstawową H ( θ = θ i alternatywną H, która ma jedną z
Bardziej szczegółowoProblem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych. Wrocław, 23 marca 2015
Problem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych. Wrocław, 23 marca 2015 Problem dwóch prób X = (X 1, X 2,..., X n ) - próba z rozkładu normalnego N (µ, σ 2 X ),
Bardziej szczegółowoWykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium 30
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ CHEMICZNY KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim Wstęp do statystyki praktycznej Nazwa w języku angielskim Intriduction to the Practice of Statistics Kierunek studiów (jeśli dotyczy):
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ELEKTRONIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim STATYSTYKA MATEMATYCZNA (EiT stopień) Nazwa w języku angielskim Mathematical Statistics Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD grudnia 2009
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 10 14 grudnia 2009 PARAMETRY POŁOŻENIA Przypomnienie: Model statystyczny pomiaru: wynik pomiaru X = µ + ε 1. ε jest zmienną losową 2. E(ε) = 0 pomiar nieobciążony, pomiar
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.
Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji
Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI
WYDZIAŁ GEOINŻYNIERII, GÓRNICTWA I GEOLOGII KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: Statystyka matematyczna Nazwa w języku angielskim: Mathematical Statistics Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Górnictwo
Bardziej szczegółowoStatystyka w przykładach
w przykładach Tomasz Mostowski Zajęcia 10.04.2008 Plan Estymatory 1 Estymatory 2 Plan Estymatory 1 Estymatory 2 Własności estymatorów Zazwyczaj w badaniach potrzebujemy oszacować pewne parametry na podstawie
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 4 1 / 23 ZAGADNIENIE ESTYMACJI Zagadnienie
Bardziej szczegółowoWłasności statystyczne regresji liniowej. Wykład 4
Własności statystyczne regresji liniowej Wykład 4 Plan Własności zmiennych losowych Normalna regresja liniowa Własności regresji liniowej Literatura B. Hansen (2017+) Econometrics, Rozdział 5 Własności
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana w geomatyce Nazwa modułu w języku angielskim Applied Mathematics in Geomatics Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013
0,KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Matematyka stosowana w geomatyce Nazwa modułu w języku angielskim Applied Mathematics in Geomatics Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 A.
Bardziej szczegółowoWykład 6 Estymatory efektywne. Własności asymptotyczne estym. estymatorów
Wykład 6 Estymatory efektywne. Własności asymptotyczne estymatorów Wrocław, 30 listopada 2016r Powtórzenie z rachunku prawdopodobieństwa Zbieżność Definicja 6.1 Niech ciąg {X } n ma rozkład o dystrybuancie
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych. KG (CC) Statystyka 26 V / 1
Weryfikacja hipotez statystycznych KG (CC) Statystyka 26 V 2009 1 / 1 Sformułowanie problemu Weryfikacja hipotez statystycznych jest drugą (po estymacji) metodą uogólniania wyników uzyskanych w próbie
Bardziej szczegółowo