Pochodna. Pochodna. Iloraz róŝnicowy

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Pochodna. Pochodna. Iloraz róŝnicowy"

Transkrypt

1 Pocodn Pocodn Ilorz róŝnicow Nic dn będzi unkcj :D:R Wźm punkt tki,ŝ zwir się w dzidzini wrz z swoim otocznim Wźm trz dowoln nlŝąc do otoczni punktu : -ε, ε RóŜnicę nzwm przrostm rumntu od do i oznczm odpowidjącą mu róŝnicę nzwm przrostm wrtości i oznczm D Ilorz nzwm ilorzm róŝnicowm unkcji odpowidjącm przrostowi rumntu od do Przkłd 5 ; , Intrprtcj omtrczn B α A

2 Przz punkt A, i B, przcodzi prost b zwn siczną Z trójkąt ABC BC tα AC tα poniwŝ t α, więc, dzi współcznnik kirunkow prostj Ilorz róŝnicow jst równ współcznnikowi kirunkowmu sicznj PoniwŜ kŝdmu punktowi - ε, ε odpowid jdn ilorz róŝnicow moŝm mówić o unkcji D Funkcję : - ε,, ε R okrśloną wzorm : nzwm ilorzm róŝnicowm UWAGA: Przjmując D ε,, ε Pocodn unkcji w punkci Ilorz róŝnicow jst unkcją okrśloną w sąsidztwi punktu Punkt ni nlŝ do dzidzin ilorzu róŝnicowo, l jst punktm jj skupini MoŜn więc mówić o rnic ilorzu róŝnicowo w punkci D Grnicę ilorzu róŝnicowo unkcji w punkci nzwm pocodną unkcji w punkci O unkcji któr m pocodną w punkci mówim, Ŝ jst róŝniczkowln w punkci UWAGA: D

3 Przkłd Korzstjąc z dinicji oblicz dl, Intrprtcj omtrczn pocodnc Ilorz róŝnicow unkcji w punkci jst współcznnikim kirunkowm sicznj JŜli to siczn k, k, dąŝą do prostj k zwnj stczną Pocodn unkcji w punkci jst równ współcznnikowi kirunkowmu stcznj do wkrsu unkcji w tm punkci tα D Nic :D:R będzi unkcją okrśloną w pwnm otoczniu punktu, i róŝniczkowlną w punkci Prostą o równniu nzwm stczną do wkrsu unkcji w punkci P, UWAGA: Stczn do wkrsu unkcji w dnm punkci moŝ mić z tm wkrsm więcj niŝ jdn punkt wspóln

4 Przkłd Npisz równni stcznj do krzwj w punkci o odciętj Sporządź rsunk ; Pocodn jko unkcj D Nic :D:R Przz D oznczm zbiór tc lmntów w unkcji dl którc istnij pocodn Funkcję :D :R, któr kŝdj liczbi D przporządkowuj jj pocodną ; nzwm pocodną unkcji UWAGA: Pocodn unkcji w punkci jst liczbą pocodn unkcji jst unkcją Przkłd Wznczć pocodną :D:R dną wzorm ztm : punktu Tk jst dl kŝŝd Prz wznczniu pocodnc wodnij posłuiwć się twirdznimi

5 Tw Jśli :D:R i :D:R są róŝniczkowln w punkci swojj dzidzin, to w zbiorz D róŝniczkowln są tŝ unkcj k *,, -, *, / orz zcodzą wzor ] [ 5 ] 4[ ] [ ] [ ; ] [ R k k k Dowod ] [ ] [ ; ] [ n d c k k k k k k R k k k ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ c n d 4 * * [ n d c

6 5 ] [ [ ] [ n d c TW 6 JŜli unkcj jst róŝniczkowln to jst ciął Twirdzni to ni moŝn odwrócić TW 7 Funkcj stł i potęow są róŝniczkowln orz zcodzą wzor n R C C n 8 ; 7 WNIOSEK 9 n n n

7 Przkłd Oblicz pocodną unkcji, jśli :

8 Pocodn unkcji złoŝonj TW JŜli unkcj jst złoŝnim unkcji i, prz czm unkcj i są róŝniczkowln, to unkcj jst róŝniczkowln orz zcodzi wzór * Przkłd Oblicz pocodną unkcji : ; D R D 4 4 D * * : Pocodn unkcji odwrotnj TW JŜl unkcj jst ściśl monotoniczn i posid unkcję pocodną, to unkcj odwrotn do nij posid pocodną, prz czm D dl kŝŝd dzi

9 Zł, ściśl monotniczn i róŝniczkowln orz ciął Tz róŝniczkowln Dowód * *

10 ZuwŜm, Ŝ jśli, to * n d c Pocodn unkcji tronomtrcznc sin cos Dowód Korzstm z dinicji pocodnj unkcji w punkci sin cnd cos ciąią ztm jst unkcją cos * cos sin * cos * sin cos *sin cos *sin cos sin sin sin sin β α β α β α cos - sin

11 Dowód Korzstm z dinicji pocodnj wunkcji w punkci cos cnd sin * sin sin * sin * sin sin *sin sin *sin sin cos cos cos cos β α β α β α cos cos sin cos cos cos sin cos sin cos sin t Dowód cos t n d c jk dl t Anloiczni Dowód sin t Przkłd Oblicz 5 * 6 5 cos8 5 * 8 5 cos cos8 ] 5 [sin8

12 Pocodn unkcji cklomtrcznc TW Funkcj cklomtrczn są róŝniczkowln i zcodzą wzor rc sin Dowód Funkcj rc sin w przdzil -, jst odwrotn wzlędm unkcji sin Π Π w przdzil-, Korzstm z twirdzni o pocodnj unkcji odwrotnj: rc sin sin c n d cos sin rc cos Dowód nloiczn jk dl rc sin rc t Dowód Funkcj rc rc t cos c n d t t w przdzil -, Korzstm z twirdzni o pocodnj unkcji odwrotnj * cos * cos sin cos t cos jst odwrotn unkcji t rc ct Dowód nloiczn jk dl t Przkld [ rc sin * rc t ] rc sin *rc t rc sin * rc t - rc sin rc t rc t - rc sin - 4 -

13 Pocodn unkcji wkłdniczj TW Funkcj wkłdnicz jst róŝniczkowln i zcodzą wzor ln Dowód Wniosk Lmt n d c ln ln Przkłd lo * ln Pocodn unkcji lortmicznj TW Funkcj lortmiczn jst róŝniczkowln i zcodzą wzor ln Prost dowod pozostwim cztlnikowi lo lo ln lo

14 Przkłd Oblicz: ln cos sin t cos cos lo9 ; < 9 lo Zdni Wznczć równni normlnj do krzwj punkci o odciędci w Korzstjąc z równni prostj o dnm wspócznniku kirunkowm przcodzącm przz P mm : - Odp Szukn normln m równni Wznczm równni normlnj z wrunku prostopdlości prostc - równni stcznj do krzwj

15 Zdni Dn jst unkcj R Korzstm z wzoru n stczną do wkrsu unkcji -, 6 Odp Szukn stczn m postć Npisz równi stcznj do wkrsu w punkci o odciętj 6 ; Dru pocodn D JŜli pocodn unkcji jst unkcją róŝniczkowlną w punkci to jj pocodną nzwm pocodną druio rzędu w punkci JŜli dru pocodn unkcji istnij w kŝdm punkci pwno zbioru D, to kŝdj liczbi nlŝącj do D moŝn przporządkowć dokłdni jdn liczbę Więc n zbiorz D moŝn okrślić nową unkcję zwną unkcją pocodną druio rzędu unkci Przkłd Oblicz druą pocodną unkcji, jśli 4 5 ; D R 4 " 5 ; D D ; D" D sin ; D R sin cos sin ; D R " cos ; D" R

16 Pocodn wŝszc rzędów D Pocodn n-to rzędu w punkci okrślm nstępująco n [ n ] Przkłd Wznczć " Wniosk : n n! n n - tą pocodną unkcji n, D R \ {} Mtod pocodnj lortmicznj D Pocodną lortmiczną unkcji nzwm pocodną jj lortmu nturlno [ln ] nikid łtwij jst obliczć pocodną lortmiczną niŝ pocodną Obliczm ztm ln

17 Przkłd Oblicz pocodną ln ln ln ln ln ln ; D R ln lo lo ln ; D ln ln lo ln :,, ln ln ln ln lnln ln ln ln Twirdzni d Hospitl TW Jśli unkcj i są okrślon i róŝniczkowln w sąsidztwi punktu orz i orz zcodzi jdn z nstępujcc wrunków lub ± i istnij rnic UWAGA: m, to istnij rnic, czli Ruł t obowiązuj równiŝ dl rnic jdnostronnc, rnic w niskończoności i w przpdku rnic niwłściwj rozptrwnc ilorzów Twirdzni odwrotn ni jst prwdziw

18 JŜli ponowni Przkłd przdstwi sobą nioznczoność,, itd to twirdzni d Hospitl stosujm Zstosowni pocodnc w izc Pocodn mją równiŝ zstosowni w izc Wkorzstn w zdniu ułtwiją jo rozwiązni Zdni Ciło porusz się zodni z równnim t t V " t V t t Wzncz V i dl t 5s t t 4t 8[ m / s] t 4t t 4 6[ m / s ]

19 Twirdzni o wrtości śrdnij Twirdzni Roll JŜli unkcj jst ciął n przdzil <, b> i rózniczkowln w przdzil, b i b, to istnij tki punkt c tki, Ŝ c Twirdzni o wrtości śrdnij Lrn Jśli unkcj jst ciął n przdzil <, b > i róŝniczkowln n przdzil, b, to istnij tki punkt c nlŝąc do, b, Ŝ b b c Przkłd Wznczc śrdnią wrtość unkcji w podnm przdzil <-, 5 > c b b c Monotoniczność unkcji róŝniczkowlnj TW JŜli pocodn unkcji jst w kŝdm punkci przdziłu, b równ, to unkcj jst stł Dowód Korzstm z twirdzni Lrn,,, n d c b c b b b b, to b - b b więc c złoŝni z TW JŜli unkcj jst róŝniczkowln n przdzil, b i w kŝdm punkci to przdziłu m pocodną dodtnią ujmną, to unkcj jst n tm przdzil rosnąc mljąc UWAGA: Twirdzni odwrotn ni jst prwdziw

20 Przkłd Y X > < -rosnąc, w ni m pocodnj TW JŜli unkcj jst róŝniczkowln i rosnąc mljąc n przdzil, b, to jj pocodn jst w kŝdm punkci to przdzil niujmn nidodtni Połączni obu twirdzn pozwl bdć monotoniczność unkcji prz pomoc pocodnj Przkłd Zbdj monotoniczność unkcji ; ni zcodzi ; D R Dl kŝdo >, ztm unkcj jst rosnąc w clj swojj dzidzini X

21 Ekstrm unkcji D Mówim, Ŝ unkcj :DR m w punkci mksimum, jsli istnij sąsidztwo s punktu tki, Ŝ dl kŝdo s < Piszm Y m m D Mówim, Ŝ unkcj :DR m w punkci minimum, jśli istnij sąsidztwo s punktu tki, Ŝ dl kŝdo s > Piszm Y min min mksim i minim unkcji nzwm kstrmmi, TW Frmt wrunk koniczn istnini kstrmum JŜli unkcj :DR jst róŝniczkowln i m kstrmum w punkci, to Dowód ZłoŜni Funkcj jst róŝniczkowln i w punkci m kstrmum Tz Przjmujm, Ŝ unkcj osią w punkci mksimum Wźm dowoln, tki Ŝ nlŝ do s Wtd > - < > - < - Ztm cnd < - > -

22 UWAGA: Twirdzni Frmt dotcz włączni unkcji róŝniczkowlnc Ekstrmum unkcji poszukujm w tc punktc, w którc unkcj ni m pocodnj lub w tc w którc unkcj m pocodną równą Wrunk koniczn istnini kstrmum nijst wrunkim wstrczjącm Twirdzni wrunk wstrczjąc JŜli unkcj :DRjst róŝniczkowln w pwnm otoczniu U punktu prz czm > < < > dl dl to unkcj m w punkci mksimum JŜli unkcj :DRjst róŝniczkowln w pwnm otoczniu U punktu prz czm > > < < dl dl to unkcj m w punkci minimum Przkłd Wzncz kstrm unkcji 4 : ; D X Odp W punkci /4 unkcj osi minimum /4-/4

23 II Wrunk wstrczjąc kstrmum JŜli unkcj :DR jst podwójni róŝniczkowln w pwnm otoczniu U punktu, jj dru pocodn jst ciąłą w tm otoczniu, i < tow punkci unkcj m mksimum JŜli unkcj :DR jst podwójni róŝniczkowln w pwnm otoczniu U punktu, jj dru pocodn jst ciąłą w tm otoczniu, i > tow punkci unkcj m minimum Przkłd Wznczć przdził monotoniczności i kstrm unkcji ln ln ln ln ln - Wznczm druą pocodną " ln ln ln " ln " ln ; D : > > ztm unkcj osią w tm punkci minimu równ - Njwiększ i njmnijsz wrtość unkcji w przdzil domkniętm Prz wznczniu wrtości njwiększj i njmnijszj unkcji w przdzil domkniętm korzstm z twirdzń: Funkcj róŝniczkowln jst ciąłą Funkcj ciął w przdzil domknięt osią wrtość njmnijszą i njwiększą

24 Procdur wznczni wrtości njmnijszj i njwiększj Sprwdzm, cz dn przdził zwir się w dzidzini Obliczm wrtości unkcji n końcc przdziłu, b Wznczm kstrm unkcji w przdzil o il istnij 4 Spośród liczb, b, Ymin, Ym wbirm njwiększą i njmnijszą Ekstrm unkcji - zdni tkstow Któr z prostokątów o obwodzi 8 m njwiększ pol,bdluości boków prostokąt, P - pol prostokąt, b 4-, <,4> Z trści zdni widomo, Ŝ: b8 b4 b4- podstwim do równni P*b4-,b*b Funkcj jko wilomin jst ciął, ztm n moc twirdzni Wirstrss w przdzil <,4> osią wrtość njwiększą ZuwŜm, Ŝ 4 Wznczm kstrm -4 4 jst mksimum Ym 4 Wznczm dłuość druio boku prostokąt b 4 Odp Z wszstkic prostokątów njwiększ pol m kwdrt o boku

25 Wznczć njwiększą wrtość pol prostokąt, któro dw wirzcołki lŝą n prboli 9, pozostł n osi OX Y C B b - D A X Okrśłm współrzędn wirzcołków prostokąt A, B, - 9 C-, - 9 D-, AD bab- 9; <,> P*b to,b * b to - i jst mksimum Ym Odp Njwiększ pol prostokąt wnosi jdnostk kwdrtowc

26 Wklęsłość i wpukłość krzwj Punkt przięci D Krzw jst wklęsł w przdzil, b wtd i tlko wtd d krzw t jst połoŝon pod stczną poprowdzoną do nij w dowolnm punkci odciętj z przdziłu, b D Krzw jst wpukł w przdzil otwrtm, b wówczs d jst połoŝon nd stczną poprowdzoną do nij w dowolnm punkci o odciętj z przdziłu, b TW JŜli < dl, b to krzw jst wklęsł TW JŜli wkrs, któr m druą pocodn ciął w przdzil, b, jst wklęsł w tm przdzil, to dl kŝdo, b TW JŜli dl kŝdo, b >, to krzw o równniu jst wpukł w tm przdzil TW JŜli wkrs, któr m druą pocodn ciął w przdzil, b, jst wupukł w tm przdzil, to dl kŝdo, b D Punkt P, jst punktm przięci krzwj wówczs d krzw t jst wklęsł w sąsidztwi lwostronnm punktu i wpukł w sąsidztwi prwostronnm punktu

27 TW Wrunkim konicznm n to, b punkt P, bł punktm przięci krzwj o równniu jst TW Wrunkim wstrczjącm n to, b punkt P, bł punktm przięci krzwj o " < równniu jst jst " > dl < dl > " > lub " < dl < dl > Przkłd Wznczć przdził w którc unkcj jst wpukł orz przdził w którc unkcj jst wklęsł Znjdź punkt przięci 6 " 6 6 " 6 ; dl -, " < ztm unkcj jst wklęsł dl,, " > ztm unkcj jst wpukł jst punktm przięci P, d Asmptot wkrsu unkcji D Prost c jst smptotą pionową lwostronną krzwj o równniu wtd i tlko wtd c c

28 D Prost c jst smptotą pionową obustronną krzwj o równniu wtd i tlko wtd d prost c jst smptotą lwostronną i prwostronną tj krzwj D Prost b jst smptotą ukośną pocłą lwostronną krzwj wtd i tlko d: [ b] TW JŜli prost b jst smptotą ukośną lwostronną krzwj, to i b [ ] D Prost b jst smptotą ukośną pocłą obustronną krzwj wtd i tlko wtd d prost b jst smptotą ukośną pocłą lwostronną i prwostronną tj krzwj

29 Przkłd Wzncz smptot unkcji ; D R \ {,4} Asmptot pocł b Asmptot pionow - jst smptotą pionową 4 4 jst smptotą pionową 4 Odp Funkcj m smptot pionow - i 4 orz smptotę poziomą Bdni przbiu zminności unkcji Scmt bdni unkcji: Wznczm dzidzinę unkcji Wznczm rnic n końcc przdziłów okrśloności unkcji Wznczm punkt przcięci wkrsu unkcji z osimi ukłdu współrzędnc 4 Wznczm pocł i pionow smptot unckji 5 Bdm inn szczóln włsności unkcji przstość i okrsowość 6 Przprowdzm nlizę pirwszj pocodnj: wznczm kstrm unkcji b wznczm przdził monotoniczności 7 Przprowdzm nlizę druij pocodnj wznczm przdził wklęsłościi wpukłości unkcji b wznczm punkt przięć

30 Zdni Zbdj przbi zminności unkcji ZuwŜm, Ŝ po lwj stroni równni mm szr omtrcz n o Ab szr tn bł zbiŝn musi zcodzić wrunk Wznczm sumę szru S czli Ztm nsz unkcj m postć : ln ln Wznczm dzidzinę > ln ln > ln ln < ln czli D : R; -,, Wznczm rnic n końcc przdziłó w orślonośc i ln ln ln ln Wznczm punkt przcięci wkrsu unkcji z osimi ukłdu współrzęd nc OX : ln - q 4 Wznczm smptot unkcji Asmptot - Amptot - ln pionowc pocł, ln brk unkcji OY : z Wznczm rnic n końcc przdziłó w okrślonoś ci ln, ln ln < osią OY unkcji ni przcin się i q b, czli unkcj m smptot pocłą

31 5 Anliz pirwszj pocodnj ln ln ln jst zwsz większ od zr Funkcj jst rosnąc w cłj ln swojj dzidzini, ni m kstrmów 6 Anliz druij pocodnj z przczn tcnicznc ni przprowdzm - Y X -

ZASTOSOWANIA POCHODNEJ

ZASTOSOWANIA POCHODNEJ ZASTOSOWANIA POCODNEJ Ruła d l'ospitala. Nich, - różniczkowa w pwnym sąsidztwi punktu oraz lub istnij skończona lub niwłaściwa ranica wtdy Uwaa. Powyższ twirdzni jst równiż prawdziw dla ranic jdnostronnych

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna 1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,

Bardziej szczegółowo

CAŁKA NIEOZNACZONA f - funkcja określona w przedziale E. Funkcją pierwotną funkcji f w przedziale E nazywamy funkcję F taką, że

CAŁKA NIEOZNACZONA f - funkcja określona w przedziale E. Funkcją pierwotną funkcji f w przedziale E nazywamy funkcję F taką, że MATEMATYKA II - Lucjn Kowlski CAŁKA NIEOZNACZONA - unkcj okrślon w przdzil E. Funkcją pirwotną unkcji w przdzil E nzwm unkcję F tką, ż F Np. unkcją pirwotną unkcji + R jst unkcj F + o F +, Zuwżm, ż unkcj

Bardziej szczegółowo

± - małe odchylenie od osi. ± - duże odchylenie od osi

± - małe odchylenie od osi. ± - duże odchylenie od osi TYGONOMETRYCZNE Przjmujm, ż znn są dfinicj i podstwow włsności funkcji trgonomtrcznch. Zprzntujm poniżj kilk prktcznch sposobów szbkigo, prktczngo obliczni wrtości funkcji trgonomtrcznch, rozwiązwni równń

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Pochodna funkcji zastosowania do badania przebiegu zmienności funkcji

Wykład 7: Pochodna funkcji zastosowania do badania przebiegu zmienności funkcji Wkłd 7: Pochodn funkcji zstosowni do bdni przebiegu zmienności funkcji dr Mriusz Grządziel semestr zimow, rok kdemicki 2013/2014 Funkcj logistczn Rozwżm funkcję logistczną = f 0 (t) = 1+5e 0,5t f(t) 0

Bardziej szczegółowo

Temat: Pochodna funkcji. Zastosowania

Temat: Pochodna funkcji. Zastosowania Tmat: Pochodna funkcji. Zastosowania A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i Kody kolorów: Ŝółty now pojęci pomarańczowy uwaga A n n a R a j f u r a, M a t m a

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 1. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 1. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań MTMTYK Przed próbną mturą. Sprwdzin. (poziom podstwow) Rozwiązni zdń Zdnie. ( pkt) 0,() < P.. Uczeń przedstwi liczb rzeczwiste w różnch postcich. Odpowiedź:., czli < Zdnie. ( pkt) P.. Uczeń rozwiązuje

Bardziej szczegółowo

( ) Lista 2 / Granica i ciągłość funkcji ( z przykładowymi rozwiązaniami)

( ) Lista 2 / Granica i ciągłość funkcji ( z przykładowymi rozwiązaniami) List / Grnic i ciągłość funkcji ( z przykłdowymi rozwiąznimi) Korzystjąc z definicji grnicy (ciągowej) funkcji uzsdnić podne równości: sin ) ( + ) ; b) ; c) + 5 Obliczyć grnice funkcji przy orz : + ) f

Bardziej szczegółowo

I POCHODNA - INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA

I POCHODNA - INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA I ROK GOSPODARKA PRZESTRZENNA semestr I POCHODNA - INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA Przpomnijm definicję ilorzu róŝnicowego : Definicj (ilorzu róŝnicowego) : Ilorzem róŝnicowm funkcji f : (,b) R odpowidjącm

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie matematyki w ekonomii

Zastosowanie matematyki w ekonomii Jrosł Kokoszk Zstosoni mtmtki konomii Copright b Colorul Mdi Kopioni, ksroni, umiszczni ormi lktronicznj Intrnci bz konsultcji z łścicilm pr zbronion! Spis trści kliknij n intrsując Cię tmt. Podsto idomości.....

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM ROZSZERZONY Etapy rozwiązania zadania , 3 5, 7

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM ROZSZERZONY Etapy rozwiązania zadania , 3 5, 7 Próbn egzmin mturln z mtemtki Numer zdni ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM ROZSZERZONY Etp rozwiązni zdni Liczb punktów Podnie wrtości b: b = Sporządzenie wkresu funkcji g Uwgi dl egzmintorów 4 Krzw

Bardziej szczegółowo

Przykład 2.5. Figura z dwiema osiami symetrii

Przykład 2.5. Figura z dwiema osiami symetrii Przkłd 5 Figur z dwiem osimi smetrii Polecenie: Wznczć główne centrlne moment bezwłdności orz kierunki główne dl poniższej figur korzstjąc z metod nlitcznej i grficznej (konstrukcj koł Mohr) 5 5 5 5 Dl

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Funkcja logarytmiczna. Definicja logarytmu: Własności logarytmu: Logarytm naturalny: Funkcje trygonometryczne

Wykład 2. Funkcja logarytmiczna. Definicja logarytmu: Własności logarytmu: Logarytm naturalny: Funkcje trygonometryczne Wykłd 2 Funkcj rytmiczn, Deinicj rytmu: Włsności rytmu: 2 u 2 u b c c b 2 2 Lorytm nturlny: Funkcje tryonometryczne Funkcje tryonometryczne kąt ostreo: b c sin cos t ct b c b c b Mir łukow kąt wyrż się

Bardziej szczegółowo

Arkusz 1 - karta pracy Całka oznaczona i jej zastosowania. Całka niewłaściwa

Arkusz 1 - karta pracy Całka oznaczona i jej zastosowania. Całka niewłaściwa Arkusz - krt prcy Cłk oznczon i jj zstosowni. Cłk niwłściw Zdni : Obliczyć nstępując cłki oznczon 5 d 5 d + 5 + 7 d Zuwżmy, ż d, Stąd d, + 5 + 7 d + ] 7 + + ln d cos sin d d ]. d + d 5, d + 5 + 7 7 7 d

Bardziej szczegółowo

Równania róniczkowe liniowe. = 2. dx x. dy dy. dx y. y dx. dy y. dy 2

Równania róniczkowe liniowe. = 2. dx x. dy dy. dx y. y dx. dy y. dy 2 Równni róniczkow liniow Równni róniczkow, kór mon zpis w posci + p( q(, gdzi p ( i q ( s funkcjmi cigłmi, nzwm równnim liniowm pirwszgo rzdu Jli q (, o równni nzwm liniowm nijdnorodnm W przciwnm przpdku

Bardziej szczegółowo

dr inż. Zbigniew Szklarski

dr inż. Zbigniew Szklarski Wkłd 3: Kinemtk dr inż. Zbigniew Szklrski szkl@gh.edu.pl http://ler.uci.gh.edu.pl/z.szklrski/ Wstęp Opis ruchu KINEMATYKA Dlczego tki ruch? Przczn ruchu DYNAMIKA MECHANIKA Podstwowe pojęci dl ruchu prostoliniowego

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji - Lucjan Kowalski GRANICA FUNKCJI

Granica funkcji - Lucjan Kowalski GRANICA FUNKCJI GRANICA FUNKCJI Granica uncji. - dowolna liczba rzczywista. O, = - ; + - otoczni liczby puntu o prominiu, S, = - ;, + - sąsidztwo liczby puntu o prominiu, Nich uncja będzi orślona w sąsidztwi puntu, g

Bardziej szczegółowo

BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Wkład z matematki inżnierskiej BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI IMiF UTP 06 przed wkonaniem wkresu... BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Wkonujem wkres funkcji wznaczaja c wcześniej: 1 dziedzinȩ

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Rachunek różniczkow funkcji jednej zmiennej wkład z MATEMATYKI Budownictwo, studia niestacjonarne sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematki Wdział Informatki Politechnika Białostocka 1 Iloraz różnicow

Bardziej szczegółowo

sin b) Wyznaczyć taką funkcję pierwotną do funkcji sin ( =, która przechodzi przez punkt (0,0)

sin b) Wyznaczyć taką funkcję pierwotną do funkcji sin ( =, która przechodzi przez punkt (0,0) Kolokwium z mmki 7.. Tm A godz.. Imię i nzwisko Nr indksu Zdni Wznczć cłkę d cos sin Wznczć ką unkcję pirwoną do unkcji cos sin kór przchodzi przz punk Odp. c cos cos F Zdni Nrsowć wrswic unkcji ln odpowidjąc

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim

Analiza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim Anliz mtemtyczn v..6 egzmin mgr inf niestcj Oznczeni: f, g, h : J R funkcje rzeczywiste określone n J R J przedził, b),, b], [, b), [, b], półprost, b),, b],, ), [, ) lub prost R α, β [min{α, β}, m{α,

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Pochodna funkcji jednej zmiennej 4.1. Pojęcie ilorazu różnicowego

Rozdział 4. Pochodna funkcji jednej zmiennej 4.1. Pojęcie ilorazu różnicowego Rozdział 4 Pocodna unkcji jdnj zminnj 4 Pojęci ilorazu różnicowo W rozdzial przdstawiono sytuację Boba i sposób przwidywania jo dołka inansowo W rozdzial 4 zostani szczółowo omówiony matmatyczny aparat

Bardziej szczegółowo

1 Definicja całki oznaczonej

1 Definicja całki oznaczonej Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj y = g(x) ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podzielimy n n podprzedziłów punktmi = x < x < x

Bardziej szczegółowo

lim lim 4) lim lim lim lim lim x 3 e e lim lim x lim lim 2 lim lim lim Zadanie 1 Wyznacz dziedziny następujących funkcji: log x x 6x

lim lim 4) lim lim lim lim lim x 3 e e lim lim x lim lim 2 lim lim lim Zadanie 1 Wyznacz dziedziny następujących funkcji: log x x 6x Tmat : Funkcj jdnj zminnj Zadani Wyznacz dzidziny następujących funkcji: ) f ) f 5) log 6 ) f ) f 7 Zadani Oblicz granic funkcji: log f 5 6) f 7 8 ) ) ) 8 7 ) 5) 6) 7) 8) 9) 5 5 7 7 7 6 0) 6 ) ) 9) 0)

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte

Rozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte Rozwiązni mj 2017r. Zdni zmknięte Zd 1. 5 16 5 2 5 2 Zd 2. 5 2 27 2 23 2 2 2 2 Zd 3. 2log 3 2log 5log 3 log 5 log 9 log 25log Zd. 120% 8910 1,2 8910 2,2 8910 $%, 050 Zd 5. Njłtwiej jest zuwżyć że dl 1

Bardziej szczegółowo

4) lim. lim. lim. lim. lim. x 3. e e. lim. lim x. lim. lim. lim. lim 2. lim. lim. lim. Zadanie 1 Wyznacz dziedziny następujących funkcji: log x.

4) lim. lim. lim. lim. lim. x 3. e e. lim. lim x. lim. lim. lim. lim 2. lim. lim. lim. Zadanie 1 Wyznacz dziedziny następujących funkcji: log x. Zastosowania matmatyki w konomii Tmat : Funkcj jdnj zminnj Zadani Wyznacz dzidziny następujących funkcji: ) f ) f 5) log 6 ) f ) f 7 Zadani Oblicz granic funkcji: log f 5 6) f 7 8 ) ) ) 8 7 ) 5) 6) 7)

Bardziej szczegółowo

e) Kwadrat dowolnej liczby b) Idź na dwór! całkowitej jest liczbą naturalna. c) Lubisz szpinak? f) 12 jest liczbą pierwszą. d) 3 2 =10.

e) Kwadrat dowolnej liczby b) Idź na dwór! całkowitej jest liczbą naturalna. c) Lubisz szpinak? f) 12 jest liczbą pierwszą. d) 3 2 =10. Zdnie. Cz poniższe wrżeni są zdnimi logicznmi: ) wczorj pdł deszcz. e) Kwdrt dowolnej liczb b) Idź n dwór! cłkowitej jest liczbą nturln. c) Lubisz szpink? f) jest liczbą pierwszą. d) =0. Zdni. Podj zprzeczeni

Bardziej szczegółowo

dr inż. Zbigniew Szklarski

dr inż. Zbigniew Szklarski Wkłd 3: Kinemtk dr inż. Zbigniew Szklrski szkl@gh.edu.pl http://ler.uci.gh.edu.pl/z.szklrski/ Wstęp Opis ruchu KINEMATYKA Dlczego tki ruch? Przczn ruchu DYNAMIKA MECHANIKA Podstwowe pojęci dl ruchu prostoliniowego

Bardziej szczegółowo

Wymagania kl. 2. Uczeń:

Wymagania kl. 2. Uczeń: Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski Nottki z Anlizy Mtemtycznej 4 Jcek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 7 Cłk Riemnn 1. Cłk nieoznczon Definicj 7.1. Niech f : (, b) R będzie dowolną funkcją. Jeżeli dl pewnej funkcji F : (, b) R spełnion jest równość

Bardziej szczegółowo

Całka oznaczona i całka niewłaściwa Zastosowania rachunku całkowego w geometrii

Całka oznaczona i całka niewłaściwa Zastosowania rachunku całkowego w geometrii Wydził Mtemtyki Stosownej Zestw zdń nr 6 Akdemi Górniczo-Hutnicz w Krkowie WFiIS, informtyk stosown, I rok Elżbiet Admus 9 listopd 8r. Cłk oznczon i cłk niewłściw Zstosowni rchunku cłkowego w geometrii

Bardziej szczegółowo

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję:

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję: YZNACZNIKI Do opisu pewnh oiektów nie wstrz użć liz. ie n przkłd, że do opisni sił nleż użć wektor. Sił to przeież nie tlko wielkość le i jej punkt przłożeni, zwrot orz kierunek dziłni. Zte jedną lizą

Bardziej szczegółowo

Całkowanie. dx d) x 3 x+ 4 x. + x4 big)dx g) e x 4 3 x +a x b x. dx k) 2x ; x 0. 2x 2 ; x 1. (x 2 +3) 6 j) 6x 2. x 3 +3 dx k) xe x2 dx l) 6 1 x dx

Całkowanie. dx d) x 3 x+ 4 x. + x4 big)dx g) e x 4 3 x +a x b x. dx k) 2x ; x 0. 2x 2 ; x 1. (x 2 +3) 6 j) 6x 2. x 3 +3 dx k) xe x2 dx l) 6 1 x dx Wydził Mtemtyki Stosownej Zestw zdń nr 5 Akdemi Górniczo-Hutnicz w Krkowie WFiIS, informtyk stosown, I rok Elżbiet Admus 3 listopd 6r. Cłk nieoznczon Cłkownie. Podstwowe metody cłkowni Zdnie. Oblicz cłki:

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:

Bardziej szczegółowo

Zastosowania całki oznaczonej

Zastosowania całki oznaczonej Przkłd 9 Nie kd funkcj okrelon i ogrniczon n [, b] jes cłkowln n [, b], np funkcj Dirichle nie jes cłkowln n przedzile [, ], gd f ( ), gd liczb wmiern odcink [,] liczb niewmiern odcink [,] Gdbm dl kdego

Bardziej szczegółowo

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA JEDNOMIAN II STOPNIA. Definicja. Jednomianem II -go stopnia nazywamy funkcję f(x) R R daną wzorem. f(x) = ax 2.

FUNKCJA KWADRATOWA JEDNOMIAN II STOPNIA. Definicja. Jednomianem II -go stopnia nazywamy funkcję f(x) R R daną wzorem. f(x) = ax 2. JEDNOMIAN II STOPNIA FUNKCJA KWADRATOWA Definicj. Jednominem II -go stopni nzwm funkcję f() R R dną wzorem f(),gdzie i R np. f() f() - f() > A< np. f() Np. f() - X - - - - X - - - - Y 9 Y -9 - - - - 5-5

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A

Bardziej szczegółowo

Wyznacznik macierzy. - wyznacznik macierzy A

Wyznacznik macierzy. - wyznacznik macierzy A Wzncznik mcierz Uwg Wzncznik definiujem tlko dl mcierz kwdrtowch:,,,,,, =,,,,,, n n n n nn n,,, det = n,,, n n nn - mcierz - wzncznik mcierz Wzncznik mcierz to wzncznik n wektorów, które stnowią kolumn

Bardziej szczegółowo

Zapis wskaźnikowy i umowa sumacyjna

Zapis wskaźnikowy i umowa sumacyjna Zpis wskźnikow i mow smcjn Pokzć, że e ikm e ikm Pokzć, że e e δ ikm jkm Dn jest mcierzow reprezentcj tensor 7 7 7 ), ), c) 7 7 Podć dziewięć skłdowch d zdefiniownch związkiem: Wrnki nierozdzielności możn

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc

Bardziej szczegółowo

A. Zaborski, Rozciąganie proste. Rozciąganie

A. Zaborski, Rozciąganie proste. Rozciąganie . Zborski, Rozciągnie proste Rozciągnie rzkłd Zprojektowć pręt i tk, b przemieszczenie węzł nie przekroczło dopuszczlnej wrtości mm. Dne: R = 50 M, E = 0 G. 5 m m 4 m 80 k Rozwiąznie: równni sttki: sin

Bardziej szczegółowo

2009 ZARZĄDZANIE. LUTY 2009

2009 ZARZĄDZANIE. LUTY 2009 Wybran zstawy gzaminacyjn kursu Matmatyka na Wydzial ZF Uniwrsyttu Ekonomiczngo w Wrocławiu w latach 009 06 Zstawy dotyczą trybu stacjonarngo Niktór zstawy zawirają kompltn rozwiązania Zakrs matriału w

Bardziej szczegółowo

Wektory. P. F. Góra. rok akademicki

Wektory. P. F. Góra. rok akademicki Wektor P. F. Góra rok akademicki 009-0 Wektor zwiazan. Wektorem zwiazanm nazwam parę punktów. Jeżeli parę tę stanowią punkt,, wektor przez nie utworzon oznaczm. Graficznie koniec wektora oznaczam strzałką.

Bardziej szczegółowo

Całki oznaczone. wykład z MATEMATYKI

Całki oznaczone. wykład z MATEMATYKI Cłki oznzone wkłd z MATEMATYKI Budownitwo, studi niestjonrne sem. I, rok k. 28/29 Ktedr Mtemtki Wdził Informtki Politehnik Biłostok 1 Podstwowe pojęi 1.1 Podził P przedziłu, Nieh f ędzie funkją ogrnizoną

Bardziej szczegółowo

(rachunek różniczkowy dot. funkcji ciągłych)

(rachunek różniczkowy dot. funkcji ciągłych) Podstaw matematczne (rachunek różniczkow dot. unkcji ciągłch) 1) Pochodna unkcji 1 zmiennej () de. () d ( ) d d d lim h ( h) h ( ) (h) () h UWAGA: () tg(α) tangens kąta nachlenia stcznej Warunki e k s

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Funkcja nieciągła. Typy nieciągłości funkcji. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska

Funkcja nieciągła. Typy nieciągłości funkcji. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska Funkcja niciągła. Typy niciągłości funkcji Autorzy: Anna Barbaszwska-Wiśniowska 2018 Funkcja niciągła. Typy niciągłości funkcji Autor: Anna Barbaszwska-Wiśniowska DEFINICJA Dfinicja 1: Funkcja niciągła

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna.

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Rchunek rwdoodobieństw i sttystyk mtemtyczn. Zd 8. {(, : i } Zleżność tą możn rzedstwić w ostci nstęującej interretcji grficznej: Arkdiusz Kwosk Rfł Kukliński Informtyk sem.4 gr. Srwdźmy, czy odne zmienne

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P) Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna (część II)

Analiza Matematyczna (część II) Anliz Mtemtyczn (część II) Krzysztof Trts Witold Bołt n podstwie wykłdów dr. Piotr Brtłomiejczyk 25 kwietni 24 roku 1 Rchunek cłkowy jednej zmiennej. 1.1 Cłk nieoznczon. Definicj 1.1.1 (funkcj pierwotn)

Bardziej szczegółowo

Przykład 2.6. Przekrój złożony z trzech kształtowników walcowanych.

Przykład 2.6. Przekrój złożony z trzech kształtowników walcowanych. Przkłd 6 Przkrój złożon z trzh ksztłtowników wlownh Polni: Wznzć główn ntrln momnt bzwłdnośi orz kirunki główn dl poniższgo przkroju złożongo z trzh ksztłtowników wlownh 0800 0 80800 Dn dotzą ksztłtowników

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk Pln wynikowy Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI DRUGIEGO STOPNIA.

FUNKCJA KWADRATOWA. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI DRUGIEGO STOPNIA. Oprownie: Elżiet Mlnowsk FUNKCJA KWADRATOWA. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI DRUGIEGO STOPNIA. Określeni podstwowe: Jeżeli kżdej lizie x z pewnego zioru lizowego X przporządkown jest dokłdnie jedn liz, to mówim,

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I.

RACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I. RACHUNEK CAŁKOWY Funkcj F jest funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I R, jeżeli F (x) = f (x), dl kżdego x I. Przykłd. Niech f (x) = 2x dl x (, ). Wtedy funkcje F (x) = x 2 + 5, F (x) = x 2 + 5, F (x)

Bardziej szczegółowo

VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona

VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona VI. Rchunek cłkowy. Cłk nieoznczon Niech F : I R i f : I R będą funkcjmi określonymi n pewnym przedzile I R. Definicj. Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I, gdy F (x) = f(x) dl x

Bardziej szczegółowo

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą 50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej

Bardziej szczegółowo

4. RACHUNEK WEKTOROWY

4. RACHUNEK WEKTOROWY 4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie

Bardziej szczegółowo

G i m n a z j a l i s t ó w

G i m n a z j a l i s t ó w Ko³o Mtemtyzne G i m n z j l i s t ó w 1. Lizy,, spełniją wrunki: (1) ++ = 0, 1 () + + 1 + + 1 + = 1 4. Olizyć wrtość wyrżeni w = + + Rozwiąznie Stowrzyszenie n rzez Edukji Mtemtyznej Zestw 7 szkie rozwizń

Bardziej szczegółowo

LISTA02: Projektowanie układów drugiego rzędu Przygotowanie: 1. Jakie własności ma równanie 2-ego rzędu & x &+ bx&

LISTA02: Projektowanie układów drugiego rzędu Przygotowanie: 1. Jakie własności ma równanie 2-ego rzędu & x &+ bx& LISTA: Projektownie ukłdów drugiego rzędu Przygotownie: 1. Jkie włsności m równnie -ego rzędu & &+ b + c u jeśli: ) c>; b) c; c) c< Określ położenie biegunów, stbilność, oscylcje Zdni 1: Wyzncz bieguny.

Bardziej szczegółowo

f(g(x))g (x)dx = 6) x 2 1

f(g(x))g (x)dx = 6) x 2 1 Mtemtyk -. rok Trnsport, stcjonrne. stopie«przykªdowe zdni n kolokwium nr.cªki nieoznczone - cªkownie przez cz ±ci, cªkownie przez podstwienie Denicj F () = f(), f()d = F () + C Cªkownie przez cz ±ci:

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6, Zdnie PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD 04 Zbiorem wszystkich rozwiązń nierówności x 6 6 jest: A, 4 0, B 4,0 C,0 4, D 0,4 Odpowiedź: C Rozwiąznie Sposób I Nierówność A 6 jest równowżn lterntywie

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Mteriły dydktyczne n zjęci wyrównwcze z mtemtyki dl studentów pierwszego roku kierunku zmwinego Biotechnologi w rmch projektu Er inżynier pewn lokt n przyszłość Projekt Er inżynier pewn lokt n przyszłość

Bardziej szczegółowo

2.3.1. Iloczyn skalarny

2.3.1. Iloczyn skalarny 2.3.1. Ilon sklrn Ilonem sklrnm (sklrowm) dwóh wektorów i nwm sklr równ ilonowi modułów ou wektorów pre kosinus kąt wrtego międ nimi. α O Rs. 2.8. Ilustrj do definiji ilonu sklrnego Jeżeli kąt międ wektormi

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM Kls drug A, B, C, D, E, G, H zkres podstwowy 1. FUNKCJA LINIOWA rozpoznje funkcję liniową n podstwie wzoru lub wykresu rysuje

Bardziej szczegółowo

Przykład 6.2. Płaski stan naprężenia. Płaski stan odkształcenia.

Przykład 6.2. Płaski stan naprężenia. Płaski stan odkształcenia. Przkłd 6.. Płski stn nprężeni. Płski stn odksztłeni. ZADANIE. Dl dnego płskiego stnu nprężeni [MP] znleźć skłdowe stnu nprężeni w ukłdzie osi oróonh względem osi o kąt α0 orz nprężeni i kierunki główne.

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzyszto KOŁOWROCKI Przyjmijmy, że y (, D, jest unkcją określoną w zbiorze D R oraz niec D Deinicja

Bardziej szczegółowo

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z GEOMETRII RÓŻNICZKOWEJ NA PIERWSZE KOLOKWIUM

ZADANIA Z GEOMETRII RÓŻNICZKOWEJ NA PIERWSZE KOLOKWIUM ZADANIA Z GEOMETRII RÓŻNICZKOWEJ NA PIERWSZE KOLOKWIUM. Koło o promieniu n płszczyźnie Oxy oczy się bez poślizgu wzdłuż osi Ox. Miejsce geomeryczne opisne przez punk M leżący n obwodzie ego koł jes cykloidą.

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki oznaczone. lim δ n = 0. σ n = f(ξ i ) x i. (1)

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki oznaczone. lim δ n = 0. σ n = f(ξ i ) x i. (1) Mciej Grzesik Instytut Mtemtyki Politechniki Poznńskiej Cłki oznczone. Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj f ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podziey n n podprzedziłów punktmi = x < x

Bardziej szczegółowo

Ć W I C Z E N I E N R E-14

Ć W I C Z E N I E N R E-14 INSTYTUT FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PRODUKCJI I TECHNOLOGII MATERIAŁÓW POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA PRACOWNIA ELEKTRYCZNOŚCI I MAGNETYZMU Ć W I C Z E N I E N R E-14 WYZNACZANIE SZYBKOŚCI WYJŚCIOWEJ ELEKTRONÓW

Bardziej szczegółowo

Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne

Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne Modelownie i obliczeni techniczne Metody numeryczne w modelowniu: Różniczkownie i cłkownie numeryczne Pochodn unkcji Pochodn unkcji w punkcie jest deiniown jko grnic ilorzu różnicowego (jeżeli istnieje):

Bardziej szczegółowo

Ekstrema funkcji dwóch zmiennych

Ekstrema funkcji dwóch zmiennych Wkład z matematki inżnierskiej Ekstrema funkcji dwóch zmiennch JJ, IMiF UTP 18 JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 1 / 47 Ekstrema lokalne DEFINICJA. Załóżm, że funkcja f (, ) jest określona w pewnm otoczeniu

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka. Poziom rozszerzony. Listopad Wskazówki do rozwiązania zadania =

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka. Poziom rozszerzony. Listopad Wskazówki do rozwiązania zadania = Vdemecum GIELDAMATURALNA.PL ODBIERZ KOD DOSTĘPU* Mtemtyk - Twój indywidulny klucz do wiedzy! *Kod n końcu klucz odpowiedzi KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Prón Mtur z OPERONEM Operon 00% MATURA 07 VA D EMECUM

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:

Bardziej szczegółowo

1. Określ monotoniczność podanych funkcji, miejsce zerowe oraz punkt przecięcia się jej wykresu z osią OY

1. Określ monotoniczność podanych funkcji, miejsce zerowe oraz punkt przecięcia się jej wykresu z osią OY . Określ ootoiczość podch fukcji, iejsce zerowe orz pukt przecięci się jej wkresu z osią OY ) 8 ) 8 c) Określjąc ootoiczość fukcji liiowej = + korzst z stępującej włsości: Jeżeli > to fukcj liiow jest

Bardziej szczegółowo

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH ZADANIA ZAMKNIĘTE Zadanie. ( pkt) 0 90 Liczba 9 jest równa 0 B. 00 C. 0 9 D. 700 7 Zadanie. 8 ( pkt) Liczba 9 jest równa B. 9 C. D. 5 Zadanie. ( pkt) Liczba

Bardziej szczegółowo

1 Rachunek zdań 3. 2 Funkcje liczbowe 6

1 Rachunek zdań 3. 2 Funkcje liczbowe 6 Spis treści 1 Rchunek zdń 3 2 Funkcje liczbowe 6 3 Ciągi liczbowe 9 3.1 Grnic włściw ciągu 10 3.2 Grnic niewłściw ciągu 11 3.3 Grnice pewnych ciągów 12 4 Grnice funkcji 13 4.1 Podstwowe definicje 13 4.2

Bardziej szczegółowo

LISTA ZADAŃ Z MECHANIKI OGÓLNEJ

LISTA ZADAŃ Z MECHANIKI OGÓLNEJ . RCHUNEK WEKTOROWY LIST ZDŃ Z MECHNIKI OGÓLNEJ Zd. 1 Dne są wektor: = i + 3j + 5k ; b = i j + k. Oblicz sumę wektorów e = + b orz kosinus kątów, jkie tworz wektor e z osimi ukłdu ( kosinus kierunkowe

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Moduł - dział -temat Lp. Zakres treści. z.p. z.r Funkcja kwadratowa - powtórzenie PLANIMETRIA 1

FUNKCJA KWADRATOWA. Moduł - dział -temat Lp. Zakres treści. z.p. z.r Funkcja kwadratowa - powtórzenie PLANIMETRIA 1 FUNKCJA KWADRATOWA Moduł - dził -temt Funkcj kwdrtow - powtórzenie Lp Lp z.p. z.r. 1 1 Równni kwdrtowe 2 Postć iloczynow funkcji kwdrtowej 3 Równni sprowdzlne do równń kwdrtowych Nierówności kwdrtowe 5

Bardziej szczegółowo

Projekt 3 3. APROKSYMACJA FUNKCJI

Projekt 3 3. APROKSYMACJA FUNKCJI Projekt 3 3. APROKSYMACJA FUNKCJI 3. Krter proksmcj. Złóżm że () jest ukcją cągłą w przedzle [ b ]. Zlezee przblże (proksmcj) poleg wzczeu współczków pewego welomu P() któr będze dobrze przblżł w tm przedzle

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbn Mtur z OPERONEM Mtemtyk Poziom podstwowy Mrzec 7 Zdni zmknięte Z kżdą poprwną odpowiedź zdjący otrzymuje punkt. Poprwn odpowiedź Wskzówki do rozwiązni. B 5 5 6 5 = =

Bardziej szczegółowo

R + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10

R + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10 Zdnie. Zkłd ubezpieczeń n życie plnuje zbudownie portfel ubezpieczeniowego przy nstępujących złożenich: ozwiąznie. Przez P k będę oznczł wrtość portfel n koniec k-tego roku. Szukm P 0 tkie by spełnił:

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 4 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 4 grudnia 08r. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Obliczanie pochodnej

Bardziej szczegółowo

Reguła de L Hospitala. Reguła de L Hospitala - odpowiedzi. Różniczka funkcji. Różniczka funkcji - odpowiedzi. Styczna i normalna

Reguła de L Hospitala. Reguła de L Hospitala - odpowiedzi. Różniczka funkcji. Różniczka funkcji - odpowiedzi. Styczna i normalna REGUŁA DE L HOSPITALA Rguła d L Hospitala Oblicz granicę: a lim b lim + f lim ln+ k lim l lim p u lim z lim + ln ln c lim g lim ln h lim ln sin q lim + v lim lim arc ctg π ln sin lnln sin d lim lim i lim

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW SZKÓŁ GIMNAZJALNYCH

KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW SZKÓŁ GIMNAZJALNYCH pieczątk WKK Kod uczni - - Dzień Miesiąc Rok DATA URODZENIA UCZNIA KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW SZKÓŁ GIMNAZJALNYCH ETAP WOJEWÓDZKI Drogi Uczniu, witj n III etpie konkursu mtemtycznego. Przeczytj uwżnie

Bardziej szczegółowo

Funkcje materiały pomocnicze dla studentów I roku farmacji i analityki medycznej Opracował: dr Krzysztof Kłaczkow F U N K C J E

Funkcje materiały pomocnicze dla studentów I roku farmacji i analityki medycznej Opracował: dr Krzysztof Kłaczkow F U N K C J E - - F U N K C J E Mterił pomocnicze dl studentów I roku frmcji i nlitki medcznej Oprcowł: dr Krzsztof Kłczkow - - Drogi Cztelniku! W Prcowni Mtemtcznej oprcowne zostł mterił które mogą Ci pomóc w powtórzeniu

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Mteriły dydktyczne n zjęci wyrównwcze z mtemtyki dl studentów pierwszego roku kierunku zmwinego Inżynieri Środowisk w rmch projektu Er inżynier pewn lokt n przyszłość Projekt Er inżynier pewn lokt n przyszłość

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH

RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI WÓCH ZMIENNYCH einicja całki podwójnej po prostokącie einicja Podziałem prostokąta R ={ : a b c d} inaczej: R = [a b] [c d] nazwam zbiór Pn złożon z prostokątów R R... Rn które

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu. ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.

Bardziej szczegółowo

Ekonometryczne modele nieliniowe

Ekonometryczne modele nieliniowe Ekonomrczn mod niiniow Wkłd Włsności smorów i s . dodk do wkłdu Słb zbiżność convrgnc in disribuion { X } Ciąg zminnch osowch x - dsrbun X FX Isnij dsrbun F X x, k ż im FX x FX x w kżdm punkci x, F X w

Bardziej szczegółowo