Pochodna. Pochodna. Iloraz róŝnicowy

Transkrypt

1 Pocodn Pocodn Ilorz róŝnicow Nic dn będzi unkcj :D:R Wźm punkt tki,ŝ zwir się w dzidzini wrz z swoim otocznim Wźm trz dowoln nlŝąc do otoczni punktu : -ε, ε RóŜnicę nzwm przrostm rumntu od do i oznczm odpowidjącą mu róŝnicę nzwm przrostm wrtości i oznczm D Ilorz nzwm ilorzm róŝnicowm unkcji odpowidjącm przrostowi rumntu od do Przkłd 5 ; , Intrprtcj omtrczn B α A

2 Przz punkt A, i B, przcodzi prost b zwn siczną Z trójkąt ABC BC tα AC tα poniwŝ t α, więc, dzi współcznnik kirunkow prostj Ilorz róŝnicow jst równ współcznnikowi kirunkowmu sicznj PoniwŜ kŝdmu punktowi - ε, ε odpowid jdn ilorz róŝnicow moŝm mówić o unkcji D Funkcję : - ε,, ε R okrśloną wzorm : nzwm ilorzm róŝnicowm UWAGA: Przjmując D ε,, ε Pocodn unkcji w punkci Ilorz róŝnicow jst unkcją okrśloną w sąsidztwi punktu Punkt ni nlŝ do dzidzin ilorzu róŝnicowo, l jst punktm jj skupini MoŜn więc mówić o rnic ilorzu róŝnicowo w punkci D Grnicę ilorzu róŝnicowo unkcji w punkci nzwm pocodną unkcji w punkci O unkcji któr m pocodną w punkci mówim, Ŝ jst róŝniczkowln w punkci UWAGA: D

3 Przkłd Korzstjąc z dinicji oblicz dl, Intrprtcj omtrczn pocodnc Ilorz róŝnicow unkcji w punkci jst współcznnikim kirunkowm sicznj JŜli to siczn k, k, dąŝą do prostj k zwnj stczną Pocodn unkcji w punkci jst równ współcznnikowi kirunkowmu stcznj do wkrsu unkcji w tm punkci tα D Nic :D:R będzi unkcją okrśloną w pwnm otoczniu punktu, i róŝniczkowlną w punkci Prostą o równniu nzwm stczną do wkrsu unkcji w punkci P, UWAGA: Stczn do wkrsu unkcji w dnm punkci moŝ mić z tm wkrsm więcj niŝ jdn punkt wspóln

4 Przkłd Npisz równni stcznj do krzwj w punkci o odciętj Sporządź rsunk ; Pocodn jko unkcj D Nic :D:R Przz D oznczm zbiór tc lmntów w unkcji dl którc istnij pocodn Funkcję :D :R, któr kŝdj liczbi D przporządkowuj jj pocodną ; nzwm pocodną unkcji UWAGA: Pocodn unkcji w punkci jst liczbą pocodn unkcji jst unkcją Przkłd Wznczć pocodną :D:R dną wzorm ztm : punktu Tk jst dl kŝŝd Prz wznczniu pocodnc wodnij posłuiwć się twirdznimi

5 Tw Jśli :D:R i :D:R są róŝniczkowln w punkci swojj dzidzin, to w zbiorz D róŝniczkowln są tŝ unkcj k *,, -, *, / orz zcodzą wzor ] [ 5 ] 4[ ] [ ] [ ; ] [ R k k k Dowod ] [ ] [ ; ] [ n d c k k k k k k R k k k ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ c n d 4 * * [ n d c

6 5 ] [ [ ] [ n d c TW 6 JŜli unkcj jst róŝniczkowln to jst ciął Twirdzni to ni moŝn odwrócić TW 7 Funkcj stł i potęow są róŝniczkowln orz zcodzą wzor n R C C n 8 ; 7 WNIOSEK 9 n n n

7 Przkłd Oblicz pocodną unkcji, jśli :

8 Pocodn unkcji złoŝonj TW JŜli unkcj jst złoŝnim unkcji i, prz czm unkcj i są róŝniczkowln, to unkcj jst róŝniczkowln orz zcodzi wzór * Przkłd Oblicz pocodną unkcji : ; D R D 4 4 D * * : Pocodn unkcji odwrotnj TW JŜl unkcj jst ściśl monotoniczn i posid unkcję pocodną, to unkcj odwrotn do nij posid pocodną, prz czm D dl kŝŝd dzi

9 Zł, ściśl monotniczn i róŝniczkowln orz ciął Tz róŝniczkowln Dowód * *

10 ZuwŜm, Ŝ jśli, to * n d c Pocodn unkcji tronomtrcznc sin cos Dowód Korzstm z dinicji pocodnj unkcji w punkci sin cnd cos ciąią ztm jst unkcją cos * cos sin * cos * sin cos *sin cos *sin cos sin sin sin sin β α β α β α cos - sin

11 Dowód Korzstm z dinicji pocodnj wunkcji w punkci cos cnd sin * sin sin * sin * sin sin *sin sin *sin sin cos cos cos cos β α β α β α cos cos sin cos cos cos sin cos sin cos sin t Dowód cos t n d c jk dl t Anloiczni Dowód sin t Przkłd Oblicz 5 * 6 5 cos8 5 * 8 5 cos cos8 ] 5 [sin8

12 Pocodn unkcji cklomtrcznc TW Funkcj cklomtrczn są róŝniczkowln i zcodzą wzor rc sin Dowód Funkcj rc sin w przdzil -, jst odwrotn wzlędm unkcji sin Π Π w przdzil-, Korzstm z twirdzni o pocodnj unkcji odwrotnj: rc sin sin c n d cos sin rc cos Dowód nloiczn jk dl rc sin rc t Dowód Funkcj rc rc t cos c n d t t w przdzil -, Korzstm z twirdzni o pocodnj unkcji odwrotnj * cos * cos sin cos t cos jst odwrotn unkcji t rc ct Dowód nloiczn jk dl t Przkld [ rc sin * rc t ] rc sin *rc t rc sin * rc t - rc sin rc t rc t - rc sin - 4 -

13 Pocodn unkcji wkłdniczj TW Funkcj wkłdnicz jst róŝniczkowln i zcodzą wzor ln Dowód Wniosk Lmt n d c ln ln Przkłd lo * ln Pocodn unkcji lortmicznj TW Funkcj lortmiczn jst róŝniczkowln i zcodzą wzor ln Prost dowod pozostwim cztlnikowi lo lo ln lo

14 Przkłd Oblicz: ln cos sin t cos cos lo9 ; < 9 lo Zdni Wznczć równni normlnj do krzwj punkci o odciędci w Korzstjąc z równni prostj o dnm wspócznniku kirunkowm przcodzącm przz P mm : - Odp Szukn normln m równni Wznczm równni normlnj z wrunku prostopdlości prostc - równni stcznj do krzwj

15 Zdni Dn jst unkcj R Korzstm z wzoru n stczną do wkrsu unkcji -, 6 Odp Szukn stczn m postć Npisz równi stcznj do wkrsu w punkci o odciętj 6 ; Dru pocodn D JŜli pocodn unkcji jst unkcją róŝniczkowlną w punkci to jj pocodną nzwm pocodną druio rzędu w punkci JŜli dru pocodn unkcji istnij w kŝdm punkci pwno zbioru D, to kŝdj liczbi nlŝącj do D moŝn przporządkowć dokłdni jdn liczbę Więc n zbiorz D moŝn okrślić nową unkcję zwną unkcją pocodną druio rzędu unkci Przkłd Oblicz druą pocodną unkcji, jśli 4 5 ; D R 4 " 5 ; D D ; D" D sin ; D R sin cos sin ; D R " cos ; D" R

16 Pocodn wŝszc rzędów D Pocodn n-to rzędu w punkci okrślm nstępująco n [ n ] Przkłd Wznczć " Wniosk : n n! n n - tą pocodną unkcji n, D R \ {} Mtod pocodnj lortmicznj D Pocodną lortmiczną unkcji nzwm pocodną jj lortmu nturlno [ln ] nikid łtwij jst obliczć pocodną lortmiczną niŝ pocodną Obliczm ztm ln

17 Przkłd Oblicz pocodną ln ln ln ln ln ln ; D R ln lo lo ln ; D ln ln lo ln :,, ln ln ln ln lnln ln ln ln Twirdzni d Hospitl TW Jśli unkcj i są okrślon i róŝniczkowln w sąsidztwi punktu orz i orz zcodzi jdn z nstępujcc wrunków lub ± i istnij rnic UWAGA: m, to istnij rnic, czli Ruł t obowiązuj równiŝ dl rnic jdnostronnc, rnic w niskończoności i w przpdku rnic niwłściwj rozptrwnc ilorzów Twirdzni odwrotn ni jst prwdziw

18 JŜli ponowni Przkłd przdstwi sobą nioznczoność,, itd to twirdzni d Hospitl stosujm Zstosowni pocodnc w izc Pocodn mją równiŝ zstosowni w izc Wkorzstn w zdniu ułtwiją jo rozwiązni Zdni Ciło porusz się zodni z równnim t t V " t V t t Wzncz V i dl t 5s t t 4t 8[ m / s] t 4t t 4 6[ m / s ]

19 Twirdzni o wrtości śrdnij Twirdzni Roll JŜli unkcj jst ciął n przdzil <, b> i rózniczkowln w przdzil, b i b, to istnij tki punkt c tki, Ŝ c Twirdzni o wrtości śrdnij Lrn Jśli unkcj jst ciął n przdzil <, b > i róŝniczkowln n przdzil, b, to istnij tki punkt c nlŝąc do, b, Ŝ b b c Przkłd Wznczc śrdnią wrtość unkcji w podnm przdzil <-, 5 > c b b c Monotoniczność unkcji róŝniczkowlnj TW JŜli pocodn unkcji jst w kŝdm punkci przdziłu, b równ, to unkcj jst stł Dowód Korzstm z twirdzni Lrn,,, n d c b c b b b b, to b - b b więc c złoŝni z TW JŜli unkcj jst róŝniczkowln n przdzil, b i w kŝdm punkci to przdziłu m pocodną dodtnią ujmną, to unkcj jst n tm przdzil rosnąc mljąc UWAGA: Twirdzni odwrotn ni jst prwdziw

20 Przkłd Y X > < -rosnąc, w ni m pocodnj TW JŜli unkcj jst róŝniczkowln i rosnąc mljąc n przdzil, b, to jj pocodn jst w kŝdm punkci to przdzil niujmn nidodtni Połączni obu twirdzn pozwl bdć monotoniczność unkcji prz pomoc pocodnj Przkłd Zbdj monotoniczność unkcji ; ni zcodzi ; D R Dl kŝdo >, ztm unkcj jst rosnąc w clj swojj dzidzini X

21 Ekstrm unkcji D Mówim, Ŝ unkcj :DR m w punkci mksimum, jsli istnij sąsidztwo s punktu tki, Ŝ dl kŝdo s < Piszm Y m m D Mówim, Ŝ unkcj :DR m w punkci minimum, jśli istnij sąsidztwo s punktu tki, Ŝ dl kŝdo s > Piszm Y min min mksim i minim unkcji nzwm kstrmmi, TW Frmt wrunk koniczn istnini kstrmum JŜli unkcj :DR jst róŝniczkowln i m kstrmum w punkci, to Dowód ZłoŜni Funkcj jst róŝniczkowln i w punkci m kstrmum Tz Przjmujm, Ŝ unkcj osią w punkci mksimum Wźm dowoln, tki Ŝ nlŝ do s Wtd > - < > - < - Ztm cnd < - > -

22 UWAGA: Twirdzni Frmt dotcz włączni unkcji róŝniczkowlnc Ekstrmum unkcji poszukujm w tc punktc, w którc unkcj ni m pocodnj lub w tc w którc unkcj m pocodną równą Wrunk koniczn istnini kstrmum nijst wrunkim wstrczjącm Twirdzni wrunk wstrczjąc JŜli unkcj :DRjst róŝniczkowln w pwnm otoczniu U punktu prz czm > < < > dl dl to unkcj m w punkci mksimum JŜli unkcj :DRjst róŝniczkowln w pwnm otoczniu U punktu prz czm > > < < dl dl to unkcj m w punkci minimum Przkłd Wzncz kstrm unkcji 4 : ; D X Odp W punkci /4 unkcj osi minimum /4-/4

23 II Wrunk wstrczjąc kstrmum JŜli unkcj :DR jst podwójni róŝniczkowln w pwnm otoczniu U punktu, jj dru pocodn jst ciąłą w tm otoczniu, i < tow punkci unkcj m mksimum JŜli unkcj :DR jst podwójni róŝniczkowln w pwnm otoczniu U punktu, jj dru pocodn jst ciąłą w tm otoczniu, i > tow punkci unkcj m minimum Przkłd Wznczć przdził monotoniczności i kstrm unkcji ln ln ln ln ln - Wznczm druą pocodną " ln ln ln " ln " ln ; D : > > ztm unkcj osią w tm punkci minimu równ - Njwiększ i njmnijsz wrtość unkcji w przdzil domkniętm Prz wznczniu wrtości njwiększj i njmnijszj unkcji w przdzil domkniętm korzstm z twirdzń: Funkcj róŝniczkowln jst ciąłą Funkcj ciął w przdzil domknięt osią wrtość njmnijszą i njwiększą

24 Procdur wznczni wrtości njmnijszj i njwiększj Sprwdzm, cz dn przdził zwir się w dzidzini Obliczm wrtości unkcji n końcc przdziłu, b Wznczm kstrm unkcji w przdzil o il istnij 4 Spośród liczb, b, Ymin, Ym wbirm njwiększą i njmnijszą Ekstrm unkcji - zdni tkstow Któr z prostokątów o obwodzi 8 m njwiększ pol,bdluości boków prostokąt, P - pol prostokąt, b 4-, <,4> Z trści zdni widomo, Ŝ: b8 b4 b4- podstwim do równni P*b4-,b*b Funkcj jko wilomin jst ciął, ztm n moc twirdzni Wirstrss w przdzil <,4> osią wrtość njwiększą ZuwŜm, Ŝ 4 Wznczm kstrm -4 4 jst mksimum Ym 4 Wznczm dłuość druio boku prostokąt b 4 Odp Z wszstkic prostokątów njwiększ pol m kwdrt o boku

25 Wznczć njwiększą wrtość pol prostokąt, któro dw wirzcołki lŝą n prboli 9, pozostł n osi OX Y C B b - D A X Okrśłm współrzędn wirzcołków prostokąt A, B, - 9 C-, - 9 D-, AD bab- 9; <,> P*b to,b * b to - i jst mksimum Ym Odp Njwiększ pol prostokąt wnosi jdnostk kwdrtowc

26 Wklęsłość i wpukłość krzwj Punkt przięci D Krzw jst wklęsł w przdzil, b wtd i tlko wtd d krzw t jst połoŝon pod stczną poprowdzoną do nij w dowolnm punkci odciętj z przdziłu, b D Krzw jst wpukł w przdzil otwrtm, b wówczs d jst połoŝon nd stczną poprowdzoną do nij w dowolnm punkci o odciętj z przdziłu, b TW JŜli < dl, b to krzw jst wklęsł TW JŜli wkrs, któr m druą pocodn ciął w przdzil, b, jst wklęsł w tm przdzil, to dl kŝdo, b TW JŜli dl kŝdo, b >, to krzw o równniu jst wpukł w tm przdzil TW JŜli wkrs, któr m druą pocodn ciął w przdzil, b, jst wupukł w tm przdzil, to dl kŝdo, b D Punkt P, jst punktm przięci krzwj wówczs d krzw t jst wklęsł w sąsidztwi lwostronnm punktu i wpukł w sąsidztwi prwostronnm punktu

27 TW Wrunkim konicznm n to, b punkt P, bł punktm przięci krzwj o równniu jst TW Wrunkim wstrczjącm n to, b punkt P, bł punktm przięci krzwj o " < równniu jst jst " > dl < dl > " > lub " < dl < dl > Przkłd Wznczć przdził w którc unkcj jst wpukł orz przdził w którc unkcj jst wklęsł Znjdź punkt przięci 6 " 6 6 " 6 ; dl -, " < ztm unkcj jst wklęsł dl,, " > ztm unkcj jst wpukł jst punktm przięci P, d Asmptot wkrsu unkcji D Prost c jst smptotą pionową lwostronną krzwj o równniu wtd i tlko wtd c c

28 D Prost c jst smptotą pionową obustronną krzwj o równniu wtd i tlko wtd d prost c jst smptotą lwostronną i prwostronną tj krzwj D Prost b jst smptotą ukośną pocłą lwostronną krzwj wtd i tlko d: [ b] TW JŜli prost b jst smptotą ukośną lwostronną krzwj, to i b [ ] D Prost b jst smptotą ukośną pocłą obustronną krzwj wtd i tlko wtd d prost b jst smptotą ukośną pocłą lwostronną i prwostronną tj krzwj

29 Przkłd Wzncz smptot unkcji ; D R \ {,4} Asmptot pocł b Asmptot pionow - jst smptotą pionową 4 4 jst smptotą pionową 4 Odp Funkcj m smptot pionow - i 4 orz smptotę poziomą Bdni przbiu zminności unkcji Scmt bdni unkcji: Wznczm dzidzinę unkcji Wznczm rnic n końcc przdziłów okrśloności unkcji Wznczm punkt przcięci wkrsu unkcji z osimi ukłdu współrzędnc 4 Wznczm pocł i pionow smptot unckji 5 Bdm inn szczóln włsności unkcji przstość i okrsowość 6 Przprowdzm nlizę pirwszj pocodnj: wznczm kstrm unkcji b wznczm przdził monotoniczności 7 Przprowdzm nlizę druij pocodnj wznczm przdził wklęsłościi wpukłości unkcji b wznczm punkt przięć

30 Zdni Zbdj przbi zminności unkcji ZuwŜm, Ŝ po lwj stroni równni mm szr omtrcz n o Ab szr tn bł zbiŝn musi zcodzić wrunk Wznczm sumę szru S czli Ztm nsz unkcj m postć : ln ln Wznczm dzidzinę > ln ln > ln ln < ln czli D : R; -,, Wznczm rnic n końcc przdziłó w orślonośc i ln ln ln ln Wznczm punkt przcięci wkrsu unkcji z osimi ukłdu współrzęd nc OX : ln - q 4 Wznczm smptot unkcji Asmptot - Amptot - ln pionowc pocł, ln brk unkcji OY : z Wznczm rnic n końcc przdziłó w okrślonoś ci ln, ln ln < osią OY unkcji ni przcin się i q b, czli unkcj m smptot pocłą

31 5 Anliz pirwszj pocodnj ln ln ln jst zwsz większ od zr Funkcj jst rosnąc w cłj ln swojj dzidzini, ni m kstrmów 6 Anliz druij pocodnj z przczn tcnicznc ni przprowdzm - Y X -