II. RUCH DRGAJĄCY I FALOWY

Transkrypt

1 Część II. RUCH DRGAJĄCY I FALOWY Wkład 6 RUCH DRGAJĄCY Opowiem ci o wiedz. Uznać to, co znane, za znane, a to co nieznane, za nieznane, to jest wiedza. Konfucjusz (właściwie K ung Ch iu, p.n.e.) Dialogi, II/ Drgania harmoniczne 6.. Drgania tłumione 6.3. Drgania wmuszone 6.4. Drgania złożone 1

2 6.1. DRGANIA HARMONICZNE Pojęcia ogólne Część II. RUCH DRGAJĄCY Ruchem drgającm (drganiem lub osclacją) ruch ciała zachodząc wokół stałego położenia równowagi. Rozróżniam ruch drgające okresowe i nieokresowe. Drganie okresowe (periodczne) powtarzanie zachodzi zawsze po tm samm czasie, zwanm okresem. Oznaczm położenie punktu materialnego na osi w chwili t przez (t). Ruch jest okresow, jeżeli: dla dowolnego t: t ( t T) T (6.1)

3 6.1. DRGANIA HARMONICZNE Część II. RUCH DRGAJĄCY I FALOWY Wchlenie (t) punktu w ruchu periodcznm można zawsze wrazić za pomocą funkcji okresowch sinus lub cosinus (tzw. funkcji harmonicznch): t A t cos 0 (6.) gdzie: - A jest amplitudą drgań (maksmalną zmianą względem położenia równowagi); t 0 - to faza drgań (mierzona w radianach bądź stopniach); - to częstość kołowa (pulsacja) (w radianach na sekundę). T to faza początkowa; 3 0

4 Część II. RUCH DRGAJĄCY I FALOWY Drganie opisane równaniem (6.) nazwam drganiem harmonicznm. W ruchu harmonicznm: Położenie: t A t cos 0 d dt Prędkość: vt A t Przspieszenie: a dv dt sin 0 t A cos t ( t) 0 (6.3) (6.4) Wielkością charakterzującą ruch jest też częstotliwość drgań: T t Acos t 0 t A t Wkres zależności (t), v(t), a(t) dla prostego ruchu harmonicznego cos 0 f 1 T 1 (1Hz ) s (6.5) 4

5 Część II. RUCH DRGAJĄCY I FALOWY RÓWNANIE DRGAŃ HARMONICZNYCH F Po przekształceniach: d dt Rozważm drgania prostego osclatora harmonicznego ( masa m przczepion do sprężn o stałej sprężstości k ), pod działaniem sił sprężstości. Ruch drgającej mas jest ruchem harmonicznm prostm. Ruch harmoniczn to taki, dla którego siła jest proporcjonalna do wchlenia i przeciwnie do niego skierowana. Zgodnie z II zasadą dnamiki Newtona k m 0 Fs k d dt m d dt F s ma k, zatem: otrzmujem równanie różniczkowe drgań harmonicznch (swobodnch), gdzie: lub t Rozwiązaniem równania (6.8): t A t sin 0 t 0 (6.10) (6.6) (6.7) (6.8) k m (6.9) 5

6 Drgania harmoniczne - przkład Część II. RUCH DRGAJĄCY c.d. Wahadło matematczne: punkt materialn, zawieszon na nieważkiej i nierozciągliwej nici; Wznaczenie okresu drgań dla wahadła matematcznego Wahadło o długości l i masie m, odchlone o kąt ө 4 od pionu. (wprowadzenie zależności na tablic!) T l g (6.11) Wahadło fizczne: brła sztwna, która pod działaniem własnego ciężaru waha się dookoła osi poziomej, nie przechodzącej przez środek ciężkości ciała; Wznaczenie okresu drgań dla wahadła fizcznego: T I mgl (6.1) (wprowadzenie zależności na tablic!) 6

7 Część II. RUCH DRGAJĄCY c.d. Sprężna: F d dt k k m t T k m (6.13) Obwód LC: q di U C U L 0 L 0 C dt d q dt 1 q 0 LC I dq dt T LC (6.14) 7

8 Część II. RUCH DRGAJĄCY Energia ruchu harmonicznego prostego Przemieszczenie : t A t cos 0 Rs. Liniow osclator harmoniczn. Klocek porusza się bez tarcia po powierzchni. źródło: -Hallida,Resnick,Walker Fundamentals of Phsics =A Energia osclatora zmienia się z energii potencjalnej w kinetczną i z powrotem, jednak ich suma -energia mechaniczna E =const. Energią potencjalną sprężn obliczm korzstając z zależności (6.6) oraz z ogólnego wzoru na pracę wkonwaną przez siłę zmienną (siłę sprężstości). Mam: W Fd 0 ( k) d k 0 d 1 k (6.15) Zatem energia potencjalna sprężn k ka rozciągniętej o m =A wnosi: cos ( t ) E p (6.16) 8

9 ENERGIA W RUCHU HARMONICZNYM Jeżeli puścim sprężnę to jej energia potencjalna będzie zamieniać się w energię kinetczną mas m. 1 mv Korzstając z wrażeń na (t) i v(t) uwzględniając, k m i zakładając, że nie ma tarcia ani innch sił oporu, zgodnie z zasadą zachowania energii suma energii kinetcznej i potencjalnej musi się równać energii całkowitej w dowolnej chwili ruchu otrzmujem: Ek (6.17) Rs. źródło: -Hallida, Resnick,Walker Fundamentals of Phsics. E E K E p A m Wnioski: Energia mechaniczna osclatora jest stała. Ze sprężstością związana jest energia potencjalna układu, a z bezwładnością jego energia kinetczna sin ( t ) 0 E ka 1 ka cos ( t ) (6.18) 0 9

10 OCYLATOR TŁUMIONY 6.. DRGANIA TŁUMIONE Jeżeli ruch osclatora (rs.) słabnie na skutek działania sił zewnętrznch, to taki osclator nazwam osclatorem tłumionm, a jego drgania tłumionmi. Do klocka przczepion jest pręt zakończon łopatką zanurzoną w ciecz. W przpadku drgań łopatki, ciecz oddziałuje na nią (a w konsekwencji na cał układ drgając) siłą hamującą (oporu). Z upłwem czasu energia mechaniczna układu klocek-sprężna malejeprzekształca się w energię termiczną ciecz i łopatki. współcznnik oporu b Rs. Prost osclator tłumion. źródło: -Hallida,Resnick,Walker Fundamentals of Phsics. Siła tłumiąca (oporu) ma zwrot przeciwn do prędkości i jest do niej wprost proporcjonalna : F op ~ v. F t b d dt gdzie: b- współcznnik oporu ośrodka. (6.19) 10

11 DRGANIA TŁUMIONE Uwzględniając siłę tłumiącą ośrodka i działającą na klocek siłę sprężstości sprężn. Zakładając, że siła ciężkości klocka jest znikomo mała w porównaniu z siłami F s i F o. współcznnik oporu b Wówczas II zasadę dnamiki Newtona dla składowej wzdłuż osi (F =ma ), zapisujem: Równanie różniczkowe drgań tłumionch d Po przekształceniach: 0 dt b m β d dt Rozwiązaniem równania jest funkcja: k m o. lub d ma kb dt d dt d dt t A 0 e cos( 1 t ) o (6.) (6.0) 0 (6.1) 11

12 Drgania tłumione c.d. gdzie: - wielkość tłumienia określa współcznnik tłumienia β =b/m, (6.3) - częstość (lub pulsacja) drgań tłumionch 1 (6.4) - częstość drgań nietłumionch czli częstość własna (6.5) Wnioski: 0 1) opór zmniejsza zarówno amplitudę z upłwem czasu: 0 1 A( t) 0 A e ) oraz częstość drgań, t (6.7) 0 3) zwiększa okres Logartmiczn dekrement tłumienia: Zależność przemieszczenia od czasu w ruchu harmonicznm tłumionm. Linie przerwane ilustrują wkładnicze tłumienie amplitud tego ruchu A( t) ln T A ( t T ) (6.8) 1

13 Drgania tłumione (gasnące) c.d. Oznaczm przez odstęp czasu, w ciągu którego amplituda drgań zmniejsz się e - krotnie. Wted: 1 lub 1 (6.9) czli: współcznnik tłumienia w ciągu którego amplituda zmniejsza się jest wielkością fizczną równą odwrotności odstępu czasu e -raz. Czas nazwam czasem relaksacji. Energia osclatora tłumionego nie jest stała i maleje z czasem: (6.30) Energia-podobnie jak amplituda- maleje wkładniczo z czasem. 13

14 DRGANIA 6.3. DRGANIA WYMUSZONE (osclatora harmonicznego) W ruchu harmonicznm tłumionm amplituda, a co za tm idzie i energia drgań maleje z czasem do zera. Jeżeli chcem podtrzmać drgania to musim działać odpowiednią siłą zewnętrzną F(t) przłożoną do osclatora. Siłę taką nazwam siłą wmuszającą. W przpadku drgań harmonicznch zewnętrzna siła wmuszająca jest siłą okresowo zmienną postaci: (6.31) Równanie ruchu uwzględniające zarówno siłę wmuszającą, jak i tłumiącą drgania zapisujem w postaci: (6.31) (6.3) Fot. J. H. Fragonard: "Huśtawka" ( Les hasards heureu de l escarpolette, 1767) 14

15 Część II. RUCH DRGAJĄCY I FALOWY Rozwiązanie równania dla drgań wmuszonch: (6.33) WNIOSKI: Układ drga z częstością sił wmuszającej, a nie z częstością własną i jest ruchem nietłumionm (amplituda nie maleje z upłwem czasu). Amplituda drgań zależ zarówno od współcznnika tłumienia, jak i od różnic pomiędz częstością drgań własnch układu i częstością sił wmuszającej. 15

16 REZONANS KONSEKWENCJE DRGAŃ WYMUSZONYCH Można dobrać taką częstość sił wmuszającej, ab amplituda drgań tego ciała bła maksmalna., zjawisko to nazwam rezonansem. Ab amplituda drgań ciała bła maksmalna. (6.34) (6.35) Kied brak jest tłumienia, a częstość rezonansowa równa jest częstości drgań własnch Układu, amplituda dąż do nieskończoności! WARUNEK REZONANSU: 0 w (6.36) Krzwe zależności amplitud drgań od częstości sił wmuszającej dla kilku wartości współcznników tłumienia β (β0<β1<β<β3<β4). 16

17 KONSEKWENCJE DRGAŃ WYMUSZONYCH Fot. Most Tacoma Narrows USA Most Tacoma Narrows- 7 listopada 1940 r., wiatr wiejąc z prędkością dochodzącą do 67 km/h wprawił konstrukcję w jej ostatni taniec. Konstrukcja pomostu wpadła w ruch skręcając z wchleniem 8.5 m, prz skręcaniu dochodzącm do 45 stopni! Pół godzin później zaczęł się odrwać pierwsze element pomostu, a po godzinie zawalił się cał pokład. Ta katastrofa dała wiele do mślenia architektom. Od tamtej por pomost usztwnia się kratownicami i nie projektuje się tak wąskich konstrukcji. 17

18 Część II. RUCH DRGAJĄCY I FALOWY 7. Ruch falow 7.1. Cząstka i fala 7.. Rodzaje fal 7.3. Rozchodzenie się fal w przestrzeni 7.4. Prędkość rozchodzenia się fal. Równanie falowe 7.5. Przenoszenie energii przez fale 7.6. Interferencja fal, fale stojące 18

19 Część II. RUCH DRGAJĄCY I FALOWY 7.1. Cząstka i fala Często zdarza się, że fala ucieka z miejsca powstania, podczas gd woda pozostaje, podobnie jest z falami, jakie wiatr wwołuje na polu zboża-widzim fale biegnące przez pole, podczas gd zboże pozostaje w miejscu. Leonardo da Vinci Mam dwa sposob kontaktowania się z przjacielem w innm mieście: możem napisać list (sposób polega na wkorzstaniu jakichś cząstek- obiektów materialnch); skorzstać z telefonu (drugi sposób polega na wkorzstaniu fal). Cząstka oznacza malutkie skupienie materii zdolne do przenoszenia energii. Fala oznacza coś wręcz przeciwnego, tj. rozchodzące się w ośrodku zaburzenie. 19

20 RUCH FALOWY 7.. Rodzaje fal ( trz główne rodzaje) 1. Fale mechaniczne, tpowe przkład to fale na wodzie, fale dźwiękowe lub sejsmiczne). Wszstkie te fale podlegają zasadom Newtona i mogą istnieć włącznie w ośrodku materialnm sprężstm ( gaz, ciała stałe, ciecze).. Fale elektromagnetczne. Zaliczam do nich światło widzialne i nadfioletowe, fale radiowe i telewizjne, mikrofale, promieniowanie X. Fale te nie potrzebują żadnego ośrodka materialnego. Np. fale świetlne emitowane przez gwiazd docierają do nas przez próżnię kosmiczną. Wszstkie fale poruszają się w próżni z tą sama prędkością światła c równą c = m/s. 3. Fale materii. Są wkorzstwane we współczesnej technice, są to fale związane z elektronami, protonami i innmi cząstkami elementarnmi, a nawet z atomami i cząstkami. Ponieważ te obiekt uważam za składniki materii, nazwam je falami materii. 0

21 7..1. Ruch falow Foto. Źródło: Do rozchodzenia się fal mechanicznch ( dźwiękowch cz na wodzie) niezbędn jest ośrodek materialn (sprężst). Ruchem falowm (falą) nazwam proces rozprzestrzeniania się drgań (zaburzenia ) w ośrodku sprężstm, okresow w czasie i przestrzeni. 1

22 Ruch falow jest związan z transportem energii przez ośrodek. kierunek fali ki kierunek drgań kierunek fali kierunek drgań Podczas rozchodzenia się fali, cząsteczki ośrodka nie przesuwają się wraz z falą, a jednie drgają wokół swoich położeń równowagi. Energia fal, to energia kinetczna i potencjalna cząstek ośrodka. Podstawową własnością wszstkich fal, niezależnie od ich natur, jest transport energii bez przenoszenia materii. Ze względu na kierunek drgań cząstek ośrodka względem kierunku rozchodzenia się fale dzielim na fale podłużne i fale poprzeczne.

23 7... Rodzaje fal mechanicznch A. Fala podłużna Fala jest podłużna gd kierunek drgań cząstek ośrodka jest równoległ do kierunku rozchodzenia się fali i zarazem kierunku transportu energii. Przkładem są tu fale dźwiękowe w powietrzu cz też drgania naprzemiennie ściskanej i rozciąganej sprężn. Kierunek drgań cząstek ośrodka jest prostopadł do kierunku rozchodzenia się fali i zarazem kierunku transportu energii. Przkład. Drgania naprężonego sznura, którego końcem poruszam cklicznie w górę i w dół. B. Fala poprzeczna 3

24 Część II. RUCH DRGAJĄCY I FALOWY Podział fal ze względu na rodzaj zaburzenia: Impuls falow powstaje gd źródłem jest jednorazowe zaburzenie w ośrodku: np. gd wrzucim kamień do wod lub gd jednorazowo odchlim koniec napiętej lin (rs.1). Rs.1. Impuls falow Fala harmoniczna powstaje gd źródło wkonuje drgania harmoniczne: np. cklicznie wchlam koniec napiętej lin (rs. ) Rs.. Fala harmoniczna Zasada Hugensa: Promień fali Czoło fali Każd punkt ośrodka, do którego dociera fala, Staje się środkiem wtórnej fali kulistej. Obwiednia tch fal określa położenie frontu fali W chwili następnej. 4

25 Część II. RUCH DRGAJĄCY I FALOWY Podział ze względu na kształt powierzchni falowej możem wróżnić fale płaskie i fale kuliste. Rs.1. Powierzchnie falowe (płaszczzn) i promienie fali płaskiej Rs.. Fala kulista rozchodząca się ze źródła Z; wcinki powłok sfercznch przedstawiają powierzchnie falowe 5

26 Część II. RUCH DRGAJĄCY I FALOWY 7.3. Rozchodzenie się fal w przestrzeni. Równanie poprzecznej fali harmonicznej (funkcją czasu oraz położenia) : przemieszczenie amplituda faza, t Acoskt (7.1) liczba falowa położenie czas częstość kołowa Wielkości opisujące falę: -λ -długość fali, to najmniejsza odległość międz punktami o tej samej fazie drgań [m] (7.) Funkcję, t ( vt) gdzie: v f T nazwa się ( jednowmiarową ) funkcją falową. 6

27 Część II. RUCH DRGAJĄCY I FALOWY Czas, w którm fala przebiega odległość równą λ nazwam okresem T: (7.3) Równanie fali harmonicznej (7.3) wraża się poprzez dwie inne wielkości: liczbę falową k (radian/m) i częstość kołową ω ( zaś częstotliwość f ), zdefiniowane jako: (7.4) Inna postać k: k f f v (7.5) fala w t=δt fala w t=0 s Rs. Dwa ujęcia fali w t=0 s. i t=δt. Fala porusza się z prędkością v. Punkt odpowiadając maksimum podróżuje razem z falą ale element lin porusza się tlko w górę i w dół. 7

28 Część II. RUCH DRGAJĄCY I FALOWY Równanie fali harmonicznej płaskiej :, t Acos t k (7.6) Łatwo zauważć, fala jest okresowa w przestrzeni i czasie: - w danej chwili t taka sama faza jest w punktach, + λ, + λ, itd., - w danm miejscu faza powtarza się w chwilach t, t + T, t + T, itd. Równanie fali harmonicznej płaskiej (7.6), poruszającej się w ujemnm kierunku osi, otrzmam zmieniając znak prz wielkości. Mam wówczas:, t Acos kt Acos( kt) (7.7) Zapamiętaj Jeżeli funkcja falowa ma postać: lub to nazwam ją harmoniczną., t Acosk vt, t Asink vt (7.8) 8

29 Część II. RUCH DRGAJĄCY I FALOWY Jeśli zamiast liczb falowej k wprowadzim wektor falow k, to możem uogólnić wzór (7.6) na przpadek fali poruszającej się w przestrzeni w dowolnm kierunku: ( r, t) Acos k r t (7.9) gdzie: r jest wektorem wodzącm punktu w przestrzeni PRĘDKOŚĆ ROZCHODZENIA SIĘ FAL. RÓWNANIE FALOWE. Jeżeli chcem zmierzć prędkość fali v, to śledzim z jaką prędkością przemieszcza się w czasie wbrana część fali, tj. argument harmonicznej funkcji falowej, czli faza fali. Dla wbranej faz fali:, t Acos vt faza vt ( kt Pochodna faz względem czasu daje częstość kołową fali: a względem położenia- liczbę falową: d k d (7.1) d dt (7.10) (7.11) 9

30 Prędkość fazowa c.d. Ich stosunek: czli prędkość fazowa fali d d dt d v f d dt k k lub T v f k T v (7.13) (7.14) Prędkość fali, którą wprowadziliśm na samm początku, bła prędkością z jaką przemieszczała się określona faza fali (w układzie poruszającm się z prędkością v faza w danm punkcie jest stała) Prędkość v nazwam prędkością fazową, bo jest to prędkość przemieszczania się faz. W przpadku gd zaburzenie falowe jest złożeniem fal o różnch częstotliwościach to prędkość przenoszenia energii (prędkość fali modulowanej) może bć inna niż prędkości fal składowch. Taką prędkość nazwa się prędkością grupową. NAKŁADANIE SIĘ FAL - PACZKA FAL Nakładam na siebie dwie fale harmoniczne o jednakowej amplitudzie i zbliżonch częstotliwościach 1 i : t A cos t A t 1 cos (7.13) 30

31 Część II. RUCH DRGAJĄCY I FALOWY Jako falę wpadkową otrzmujem: t Acos t cos t gdzie:, zaś 1 Acos t [zakładam, że częstości różnią się nieznacznie] 1 - to funkcja modulująca (obwiednia) (7.14) (7.15) 31

32 PRĘDKOŚĆ PACZKI FAL PRĘDKOŚĆ GRUPOWA Nakładam na siebie dwie rozchodzące się w przestrzeni fale harmoniczne o jednakowej 1 k1, t Acos t k A t k 1 1 cos (7.16) amplitudzie i zbliżonch częstotliwościach i oraz zbliżonch liczbach falowch, : Fala wpadkowa : t Acos d t dkcos t k k (7.17) gdzie: d 1 1 dk Funkcja modulująca jest równa: Acos d ma ona maksimum dla: dt dk 0 d dk k k 1 k t dk Różniczkując to równanie względem czasu: 0, otrzmujem: d dt (7.19) k 1 k wrażenie na prędkość grupową v g d dk (7.18) (7.0) (7.1) d dt 3

33 Podsumowanie: Część II. RUCH DRGAJĄCY I FALOWY Prędkość grupowa v g prędkość rozchodzenia się paczki fal sinusoidalnch o zbliżonch częstościach (prędkość grzbietu obwiedni): Prędkość fazowa v f - prędkość rozchodzenia się stałej faz (każdej fali składowej osobno); Równanie fali kulistej v g v f d dk i k i (7.) (7.3) Jeżeli fala rozchodzi się w ośrodku jednorodnm i izotropowm, a źródło fali jest punktowe, to rozchodząca się fala jest falą kulistą. A (7.4) 33

34 Część II. RUCH DRGAJĄCY I FALOWY RÓWNANIE FALOWE Równanie ruchu harmonicznego otrzmaliśm rozwiązując równanie różniczkowe wrażające II zasadę dnamiki Newtona: Jaka jest postać równania, którego rozwiązaniem jest równanie fali płaskiej?, t Acos t k (7.5) Ab znaleźć równanie falowe, obliczm drugie pochodne cząstkowe po współrzędnej i po czasie : (7.6) (7.7) 34

35 Część II. RUCH DRGAJĄCY I FALOWY Przrównując lewe stron równań ( 7.6), (7.7 ) do siebie, uzskujem RÓWNANIE FALOWE: (7.8) Po uwzględnieniu zależności: k 1 v (7.9) RÓWNANIE FALOWE (równanie różniczkowe ruchu falowego) przbiera postać: v 1 t (7.30) Wnioski: Równanie to spełnia każda funkcja f( - vt) jak również f( + vt). Prędkość v rozchodzenia się fali jest niezależna od amplitud i częstotliwości, natomiast w przpadku fal mechanicznch zależ od sprężstości ośrodka i jego bezwładności. 35

36 7.4 Przenoszenie energii przez fale Część II. RUCH DRGAJĄCY I FALOWY Fale przenoszą dostarczoną ze źródła energię poprzez ośrodek dzięki przesuwaniu się zaburzenia w ośrodku. Na przkład wprawiając koniec strun w drgania poprzeczne (rsunek) źródło wkonuje pracę, która objawia się w postaci energii kinetcznej i potencjalnej punktów strun (ośrodka). Siła F jaka działa na koniec strun porusza struną w górę i w dół wprawiając jej koniec w drgania w kierunku. Do wznaczenia szbkości przenoszenia energii przez falę posłużm się wrażeniem na moc: (7.31) Z rsunku prędkość poprzeczna jest równa: (7.3) a składowa sił F w kierunku wnosi (7.33) Podstawiając otrzmujem: (7.34) 36

37 Część II. RUCH DRGAJĄCY I FALOWY Dla małch kątów θ możem przjąć sinθ = / (znak minus wnika z ujemnego nachlenia strun). Stąd: (7.35) Obliczam teraz pochodne równania fali harmonicznej: d dt A cos( kt) oraz i podstawiam do wrażenia na moc: d d, t Asinkt Ak cos( kt) (7.36) (7.37) (7.38) Korzstając z zależności (,48) oraz z zalezności na prędkość fali harmonicznej rozchodzącej się wzdłuż naprężonego sznura (strun): ; μ- masa przpadającej na jednostkę długości sznura. otrzmujem ostatecznie: Podsumowanie: Moc czli szbkość przepłwu energii oscluje w czasie. Ponadto, szbkość przepłwu energii jest proporcjonalna do kwadratu amplitud i kwadratu częstotliwości. Ta zależność jest prawdziwa dla wszstkich tpów fal. (7.39) 37

38 7.5. INTERFERENCJA FAL Część II. RUCH DRGAJĄCY I FALOWY INTERFERENCJĄ FAL nazwam zjawisko fizczne polegające na nakładaniu się dwóch lub więcej fal, prowadzące do zwiększenia lub zmniejszenia amplitud fali wpadkowej. Rs. Animation Dr. Dan Russell, Kettering Universit; Warunkiem interferencji fal jest ich spójność (koherencja), czli korelacja faz, amplitud i częstotliwości. 38

39 Część II. RUCH DRGAJĄCY I FALOWY Interferencja fal o jednakowej amplitudzie i długości Rozważm w przestrzeni przemieszczające się dwie fale o równch częstotliwościach i amplitudach, ale o fazach różniącch się o φ. Jeżeli te fale rozchodzą się w kierunku, z jednakowmi prędkościami, to możem je opisać równaniami: (a) Interferencja konstruktwna (7.40) (b) Interferencja destrukcjna W wniku nałożenia się fal (zasada superpozcji) powstaje fala wpadkowa: 1 w efekcie, po przekształceniach.(tab.), otrzmujem: Animation Dr. Dan Russell, Kettering Universit; (7.41) 39

40 INTERFERENCJA FAL Równanie powstałej fali : A'sin( kt ) (7.41) cznnik jest amplitudą fali wpadkowej. Amplituda ta zależ tlko od przesunięcia fazowego φ. WNIOSKI: Wnik nakładania się fal (interferencji) zależ włącznie od przesunięcia fazoweg φ (różnic faz ). Jeżeli nie ma przesunięcia fazowego φ = 0, to A =A. Następuje maksmalne wzmocnienie (amplituda A osiąga maksimum)- interferencja konstruktwna. Jeżeli przesunięcie fazowe wnosi φ = 180 (fale są przeciwne w fazie), to amplituda A = 0 i następuje wgaszenie fali interferencja destruktwna. Dla pozostałch wartości φ otrzmujem pośrednie wniki nakładania się fal. 40

41 7.5.. FALE STOJĄCE Są szczególnm przpadkiem nakładania się na siebie dwóch fal. ozn.: w- tzw. węzł fali stojącej; s- tzw. strzałki fali stojącej. Powstaną wówczas, gd interferują ze sobą dwie fale spójne przemieszczające się w jednm kierunku, ale w przeciwne stron. Ma to miejsce, gd np. fala odbija się bez strat energii od przeszkod i następuje interferencja fali padającej i odbitej. W równaniach takich fal znaki + i - określają kierunek propagacji fali. Fale nazwam spójnmi, jeżeli mają taką samą długość ( i częstotliwość) oraz stałą w czasie różnicę faz. 41

42 Równanie wpadkowej fali stojącej (7.46) W wniku interferencji dwóch fal stojącch: 1 Asin[ ( t )] v Asin[ ( t ) ] v (7.45) 1 Uwzględniając zależność sin sin sin cos otrzmujem: Acos( v )sin( t ) (7.46) 4

43 Amplituda wpadkowej fali stojącej : A' nie zależ od czasu, ale od położenia. Acos( v ) (7.47) Cech charakterstczne:, powstaje strzałka fali stojącej., powstaje węzeł fali stojącej. (7.48) pamiętając: k v Zauważm, że nie ma propagacji drgań; położenia węzłów i strzałek fali stojącej nie ulegają zmianie. 43

44 FALE STOJĄCE I REZONANS Przkład częstości rezonansowe strun. Pierwsza harmoniczna Druga harmoniczna Trzecia harmoniczna W strunie o długości L (rs.), prz pewnch częstościach w wniku interferencji powstaje fala stojąca o dużej amplitudzie. Fala stojąca powstała w wniku rezonansu, o strunie zaś mówim, iż rezonuje prz pewnch częstościach, zwanch częstościami rezonansowmi (lub częstościami własnmi). Gd struna drga z inną częstością, fala stojąca się nie pojawia. Znajdziem wzór na częstości rezonansowe strun, gd końce są umocowane ( rs.) W miejscach zamocowania muszą powstać węzł. Narzuca to warunek na długość fali stojącej w strunie, mianowicie w długości strun musi mieścić się całkowita liczba połówek długości fali. Rs. Struna zamocowana międz dwoma końcami i wprawiona w drgania. 44

45 CZĘSTOŚCI REZONANSOWE STRUNY c.d. Ab fale utworzł falę stojącą, zauważm, że : Pierwsza harmoniczna L (7.49) Druga fala stojąca powstała (rs. b) z warunkiem, b na końcach znajdował się węzł, musi mieć długość: Druga harmoniczna L (7.50) Trzeci z kolei schemat (rs. c): L 3 (7.51) Trzecia harmoniczna Ogólnie, fala stojąca w strunie o długości L (rs): gdzie n=1..3, L n (7.5) 45

46 Jeżeli teraz uwzględnim: vt v f (7.53) Częstości rezonansowe odpowiadające tm długościom fali, zgodnie ze wzorem (7.5), wnoszą : gdzie v jest prędkością fali biegnącej w strunie. v f n n l (7.54) Z wrażenia (7.54) wnika, że częstości rezonansowe są całkowitmi wielokrotnościami najniższej częstości rezonansowej (n=1): f 1 v l Drganie własne o najniższej częstości rezonansowej nazwam drganiem (modem) podstawowm lub pierwszą harmoniczną. Zbiór wszstkich możliwch drgań własnch nazwam szeregiem harmonicznm, a liczbę n liczbą harmoniczną dla n-tej harmonicznej. 46

47 7.6. DRGANIA ZŁOŻONE Składanie drgań równoległch Dodatek: zasada superpozcji Zasada superpozcji: Jeżeli ciało podlega jednocześnie dwóm drganiom, to jego wchlenie jest sumą wchleń, wnikającch z każdego ruchu. Rozpatrzm ruch punktu materialnego wnikając ze złożenia dwóch drgań harmonicznch równoległch (zachodzącch wzdłuż jednej prostej), z jednakową częstością, ale są przesunięte w fazie o Δφ. 1 A1 cos t 1 (6.35) w 1 Aw cost w (7.55) A cos t gdzie: - amplituda A A A A cos A w faza Wpadkowa jest drganiem z tą samą częstością! tg w A1 sin 1 A A cos A 1 1 sin cos (7.56) Złożenie dwu drgań harmonicznch równoległch o jednakowch częstościach 47

48 SKŁADANIE DRGAŃ HARMONICZNYCH C.D. Amplituda drgania wpadkowego zależ tlko od różnic początkowch faz 1 drgań składowch. Jeśli różnica faz dwóch drgań nie zależ od czasu, to takie drgania nazwam spójnmi ( lub koherentnmi). Przpadki szczególne: 1) Różnica faz drgań składowch równa się zeru albo całkowitej wielokrotności : drgań 1 k k 0,1,,... Maksmalna amplituda drgań jest sumą amplitud drgań składowch. ) Różnica faz drgań składowch równa się nieparzstej wielokrotności : 1 k 1 k 0,1,,... Maksmalna amplituda drgań jest różnicą amplitud drgań składowch. 48

49 Część II. RUCH DRGAJĄCY I FALOWY 3) SKŁADANIE DRGAŃ RÓWNOLEGŁYCH - DUDNIENIA:, drgania którch częstości różnią się nieznacznie i odbwają się w tm samm kierunku i są opisane równaniami : 1 Acos t Acos t w Acos t Acos t Acos t cos t (7.57) 49

50 Jeśli różnica faz t Część II. RUCH DRGAJĄCY I FALOWY t 1 drgań składowch zmienia się z upłwem czasu w sposób dowoln, to amplituda drgań wpadkowch zmienia się z upłwem czasu i nie ma sensu w ogóle mówić o składaniu amplitud, jest to tzw. niekoherentne składanie drgań. Drgania tpu: t At t t cos nazwam modulowanmi. 1) modulowana faza (częstość) FM: A const ) modulowana amplituda AM: const ; ; t da dt A ma ANALIZA HARMONICZNA Analiza harmoniczna to sposób na przedstawienie złożonch drgań modulowanch w postaci szeregu prostch drgań harmonicznch. 50

51 Część II. RUCH DRGAJĄCY I FALOWY G. Fourier: dowolne drganie złożone można przedstawić jako sumę prostch drgań harmonicznch o wielokrotnościach pewnej podstawowej częstości kątowej : N t An cosn t n n0 (7.58) W ogólnm przpadku, liczba wrazów w szeregu Fouriera jest nieskończona (możem wted przejść do całek zamiast sum), ale istnieją takie drgania, dla którch szeregi Fouriera nie zawierają pewnch wrazów SKŁADANIE DRGAŃ PROSTOPADŁYCH-KRZYWE LISSAJOUS: Rozpatrzm teraz złożenie dwóch drgań harmonicznch odbwającch się z jednakowmi częstościami, zachodzącch w płaszczźnie wzdłuż kierunków prostopadłch względem siebie: t A cos t t A t cos (7.59) (7.60) 51

52 z ) z 1) t A cos t cos t Ponieważ cos( ) cos równaniu możem zapisać: KRZYWE LISSAJOUS: t A cos t cos t A A cos sin cos Po uporządkowaniu znajdujem równanie toru: A A, czli sin( t) 1 A, to stosując odpowiednie podstawienia w drugim cos( ) sin( ) 1 A A A A A cos( ) sin ( ) (7.61) Jest to równanie elips nachlonej pod kątem do osi układu odniesienia. Mówim, że punkt materialn wkonując oba te drgania jednocześnie, zakreśla na płaszczźnie pewną krzwą. 5

53 PRZYPADKI SZCZEGÓLNE ELIPSY: 1) Początkowe faz obu drgań są jednakowe: Można tak ustawić odczt czasu, żeb różnica faz bła równa zeru: 0 A Dzieląc stronami: A - linia prosta (6.44) Będą to również drgania harmoniczne, : a ruch wpadkow będzie odbwał się wzdłuż prostej. ) Początkowa różnica faz obu drgań jest równa Wted: A A - linia prosta (6.45) 53

54 Składanie drgań c.d. 3) Początkowa różnica faz obu drgań jest równa Wted: t A cos t i t A sin t (7.6) i ostatecznie: 1 A A (7.63) Punkt porusza się po tej elipsie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara; 4) Początkowa różnica faz obu drgań jest równa 3 również elipsa, ale o obiegu zgodnm z ruchem wskazówek zegara; Elipsa 54

55 Część II. RUCH DRGAJĄCY I FALOWY FIGURY LISSAJOUS przpadek ogóln Podana relacja pomiędz ruchem harmonicznm i ruchem po okręgu jest jednak tlko przpadkiem szczególnm składania harmonicznch drgań prostopadłch. Kied częstości drgań w obu kierunkach różnią się, to tor punktu tworz skomplikowane figur zwane figurami Lissajous. Figur te mieszczą się w prostokącie o wmiarach, i. Przkład figur Lissajous: Rs. 1a. Złożenie drgań prostopadłch o jednakowch częstościach Rs. 1a. Złożenie drgań prostopadłch o różnch częstościach i jednakowch amplitudach. Stosunek liczb punktów stcznch do obu boków prostokąta wznacza stosunek częstości obu ruchów składowch: 55

56 Dziękuję za uwagę! 56