f f x f, f, f / / / METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH niech N = 2 (2 równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-rz.) lub jedno II-rzędu

Transkrypt

1 METODA RÓŻIC SKOŃCZOYCH (omówee a przykładze rówań lowych) ech ( rówaa różczkowe zwyczaje lowe I-rz.) lub jedo II-rzędu f / / p( x) f / + q( x) f + r( x) a x b, f ( a) α, f ( b) β dea: a satce argumetu X X,,,..., dyskretyzujemy rówae wyrażając / / / f, f, f f f x przez ( ) ; obcając odpowedo rozwęce Taylora f ( x + ) f ( x )

2 albo wyrażając pochode przez odpowede różce skończoe f h f [ f ] / + oraz f + h [ f f f ] / / + otrzymujemy dla każdego f f f + + h + f f p( x) + q( x) f r( x) h albo aczej ( * ) h h p f ( h q ) f p f + h r dla,..., -, czyl - rówań a ewadomych pozostałe rówaa to f f ( a) α, f f ( b) β

3 wstawając wartośc f α, f β do ( * ) otrzymamy układ - lowych rówań algebraczych a - ewadomych f,,..., - Af b ( ** ) który możemy rozwązać zaym już metodam postać A jest trójdagoala dla >> mamy ( - ) x rówań (! ) do rozwązaa bardzo dużych ( ale prawe pustych ) rówań trzeba stosować specjale techk - - metody relaksacyje ( p. teracyja metoda Jocobego )

4 Af b rozwązae przebega teracyje począwszy od przyblżoego rozwązaa ( k ) ( k ) f Tf + c f ( o) aż do osągęca zbeżośc; Rozkładając A a: a a.. a a a.. a a a.. a a a a a.. a a a a.. a, , ( D L U) f b f D ( L + U) f + D b ( k ) ( k ) f Tf + c

5 jako f ( o) może służyć p. przyblżoe rozwązae aaltycze (dla uproszczoych rówań) RÓWAIA RÓŻICZKOWE CZĄSTKOWE Rówaa - elptycze, p. rówae Possoa x f ( x, y) + y f ( x, y) g( x, y) w fzyce opsuje p.: - rozkład pola grawtacyjego w obecośc źródeł (g) - rozkład pola (potecjału) elektryczego w obecośc ładuków prawo Gaussa (3D) ϕ 4πρ - rozkład pola prędkośc ceczy wypływającej ze źródeł lub Laplace a g( x, y) 0

6 p. rówae Schroedgera (bez czasu) m E Ψ ( x, y, z) 0 waruk brzegowe Drchleta: f ( x, y) B( x, y) dla wszystkch x, y a brzegu S obszaru R - parabolcze p. α t f ( x, t) x f ( x, t) 0 rówae przewodctwa ceplego (w jedowymarowym pręce); rówae Schrödgera zależe od czasu w D;... waruk brzegowe:

7 . w t 0 zaday rozkład f ( x, t) B( x). dla każdego t, f speła war. a brzegu przedzału f ( 0, t) f0, f ( l, t) f l - hperbolcze p. klasycze rówae falowe (drgaa w D) t α f ( x, t ) x f ( x, t). Rozważmy rówae parabolcze metoda satek α t f ( x, t) x f ( x, t) dyskretyzując czas t położee x 0 w przedzałach p. 0 < t < T, 0 < x < L dostajemy prostokątą satkę:

8 w chwl t 0 zamy wartośc f dla wszystkch x j -> t j azywamy warstwą z rozwęca względem t przyblżamy f ( x, t) w szereg Taylora t f x t f (, j + ) f (, j) (, j ) k a z rozwęca f ( x, t) względem x x f x t f ( +, j) f (, j) + f (, j) (, j ) h

9 f f j f x t ozaczając j (, ) (, j ) rówae daje zapsać sę jako f k k α f + α ( f + f ) h h, j + j +, j, j dodatkowo dochodzą rówaa brzegowe f ( 0, t) f0, f ( l, t) f l zatem, dla wszystkch ( w jedej warstwe j+ ) wartośc f, j+ mogą być zalezoe ze zajomośc wartośc f, j w warstwe poprzedej

10 f ( j + ) ( j) Af gdze A jest trójdagoala Elemety modelowaa teor aproksymacj Metoda ajmejszych kwadratów zakładamy stee ( x, y ), gdze puktów pomarowych - x - wartośc zmeej ezależej - y - wyk pomarów pewej welkośc zależej od x

11 e zamy rzeczywstej zależośc modelujemy tę zależość za pomocą fukcj y(x) M - parametrowej y( x) y( x; a, a,..., a ) M szukamy takch wartośc parametrów a które mmalzują rozbeżość pomędzy y wartoścam pomarowym y( x a oblczoym ) problem MIIMAX szukae takch parametrów, które mmalzują max{ y y( x) } mmalzacja odchylea bezwzględego y y( x )

12 a j y y( x ) 0, j,.. M zakładając, że każdy pomar wykoay jest z błędem y, oraz, że rozkład (rozrzut) merzoych wartośc y wokół prawdzwych y( x ) jest Gaussowsk (ormaly) tz. gdybyśmy wykoywal wele pomarów dla ustaloego x to prawdopodobeństwo uzyskaa wartośc y ( x ) w wyku pomarów jest: P exp y σ ( ) y x y jako loczy prawdopodobeństw,

13 gdze σ - odchylee stadardowe rozkładu ( loczy - loczy prawdopodobeństw dla poszczególych puktów pomaru ) maksymalzacja P - maksymalzacja log P lub mmalzacja -log P [ y y( x )] σ log y

14 σ y stałe, sprowadza do mmalzacj [ y y( x )], tz. a j [ y y x ] (, a ) 0, j,...m puktów pomarowych jest zwykle > M dopasowae do prostej (regresja lowa)

15 0 [ y + ] ( ) ( ax b) y ax b ( x) a 0 [ y + ] ( ) ( ax b) y ax b ( ) b w rezultace a ( x ) ( x ) ( ) ( )( ) x y x y b ( x ) ( x ) ( x )( y ) ( x )( x y ) ( x ) ( x ) zauważmy, że maowk sprowadza sę do ( x x) waracj rozkładu σ

16 dopasowae do welomau P ( x) k 0 a x k k [ y P( x )] różczkujemy po a k w rezultace ( + ) rówań a ( + ) ewadomych a k 0 a x + a x a x y x a x + a x a x y x a x + a x a x y x 0 rozwązae układu lowych rówań algebraczych

17 a przykładze prostej wdać, że puktów pomarowych e może być mej ż parametrów dopasowaa dopasowae ch-kwadrat ( χ ) pomar y dla x x może być welokrote powtarzay - każdy pukt ( x, y ) może posadać włase odchylee stadardowe σ wówczas mmalzujemy welkość χ y y x (, a) σ oszacowae edopasowaa (regresja lowa) σ a j σ a y j pochode łatwo polczyć z ostateczych wzorów a a b