Matematyka dyskretna. 10. Funkcja Möbiusa

Transkrypt

1 Matematyka dyskreta 10. Fukcja Möbusa Defcja 10.1 Nech (P, ) będze zborem uporządkowaym. Mówmy, że zbór uporządkoway P jest lokale skończoy, jeśl każdy podzał [a, b] P jest skończoy, a, b P Uwaga 10.1 Zbór lczb rzeczywstych zbór lczb wymerych e są zboram lokale skończoym. Natomast zbór lczb aturalych zbór lczb całkowtych są zboram lokale skończoym. Rozważmy, zbór A(P ) = f: P P R: a,b P (a b) f(a, b) = 0 Zauważmy, że w zborze A(P ) moża zdefować dodawae fukcj możee fukcj przez skalar (jako zwykłe operacje dodawaa fukcj możee fukcj przez skalar). Zdefujemy trzece dzałae: Defcja 10.2 Nech f, g A(P ). Fukcję f g: P P R określoą wzorem f g(a, b) = 0, gdy (a b) f g(a, b) = azywamy splotem Drchleta. f(a, c)g(c, b), gdy a b Uwaga 10.2 Każdej fukcj ze zboru A(P ) moża przyporządkować macerz reprezetującą tą fukcję. Wówczas dodawau fukcj odpowada dodawae macerzy. Możeu fukcj przez skalar odpowada możee macerzy przez skalar. Gdy zbór P jest zborem skończoym to splot Drchleta odpowada możeu macerzy odpowadającym fukcjom f g. Defcja 10.3 Zbór A(P ) wraz ze zdefowaym w m trzema dzałaam: dodawaem, możeem przez skalar splotem Drchleta azywamy algebrą cydecj zboru P. Uwaga 10.3 W defcj splotu Drchleta od zboru P oczekujemy, aby był lokale skończoy, gdyż w przecwym wypadku występująca w defcj suma mogłaby być eskończoa.

2 Twerdzee 10.1 Fukcja δ: P P R określoa wzorem { 0, gdy a b δ(a, b) = 1, gdy a = b jest elemetem eutralym splotu Drchleta. Nech f A(P ) ech a b. Wtedy: f δ(a, b) = f(a, c)δ(c, b) = f(a, b) gdyż δ(c, b) 0 tylko, gdy c = b. Dla δ f dowód jest aalogczy. Defcja 10.4 Fukcja ζ: P P R określoa wzorem: { 0, gdy (a b) ζ(a, b) = 1, gdy a b jest fukcją charakterystyczą relacj porządku w zborze P. Defcja 10.5 Fukcja µ A(P ), taka że ζ µ = µ ζ = δ jest azywaa fukcją Möbusa zboru P. Twerdzee 10.2 W zborze A(P ) steje dokłade jeda fukcja µ: P P R, taka że ζ µ = δ oraz µ ζ = δ Dowód (kostrukcja fukcj): µ(a, b) = 0, gdy (a b). Załóżmy, że a b. Zastosujemy dukcję względem [a, b] =. Jeśl = 1, to: ζ µ(a, a) = δ(a, a) = 1 oraz ζ µ(a, a) = c [a,a] ζ(a, a)µ(a, a) = µ(a, a) A węc µ(a, a) = 1. Załóżmy, że zaa jest wartość fukcj µ dla wszystkch a, b P, takch że [a, b] <. Nech węc [a, b] = > 1. Wtedy: oraz ζ µ(a, b) = = µ(a, b) + ζ µ(a, b) = δ(a, b) = 0 ζ(a, c)µ(c, b) = ζ(a, a)µ(a, b) + µ(c, b), gdyż a c ζ(a, c)µ(c, b) = ζ(a, c) = 1 Ostatecze otrzymujemy (przyrówując ostatą rówość do zera), że: µ(a, b) = µ(c, b) Poeważ [c, b] [a, b] oraz [c, b] < [a, b] = to wartość fukcj µ jest określoa a podstawe założea dukcyjego.

3 Uwaga 10.4 Prawdzwe są astępujące rówośc: 1 2 µ(a, c) = δ(a, b), µ(c, b) = δ(a, b), 3 µ(a, b) = 4 µ(a, b) = c [a,b) gdy a b gdy a b µ(c, b) µ(a, c) Twerdzee 10.3 Nech (P, ) będze zborem uporządkowaym lowo. Wówczas: 1, gdy a = b µ(a, b) = 1, gdy [a, b] = 2 0, gdy [a, b] > 2 Twerdzee 10.4 Nech X będze zborem skończoym ech P = P (X) będze rodzą wszystkch podzborów zboru X. Wówczas: µ(ø, X) = ( 1) X Idukcja względem X =. Jeśl = 0, to X = Ø, a węc µ(ø, Ø) = 1 = ( 1) 0. Jeśl = 1, to X = {x} µ(ø, X) = 1 = ( 1) 1. Załóżmy, że wzór jest prawdzwy dla Y <. Nech X =. Wtedy: µ(ø, X) = Y [Ø,X) 1 µ(ø, Y ) = =0 ) 1 µ(ø, Y ) = Y P (X) =0( 1) ( = ( 1 ) ( ) ( )) = =0( 1) ( + ( 1) ( 1) = ( ) ( )) = =0( 1) ( ( 1) = ((1 1) ( 1) ) = ( 1) = ( 1) X Uwaga 10.5 Jeśl A, B P (X) oraz A B, to µ(a, B) = ( 1) B A Nech Y [A, B]. Zborow Y przyporządkujemy zbór Y \A [Ø, B\A]. A Y B. Odwrote, jeśl Z [Ø, B\A], to zborow Z przyporządkujemy zbór Z A [A, B]. A węc przedzały [A, B] [Ø, B \ A] są zomorfcze, węc zachoway jest porządek, zatem fukcja ζ ma take same wartośc w obu przedzały, węc także fukcja µ ma take same wartośc w obu przedzałach. Stąd: µ(a, B) = µ(ø, B \ A) = ( 1) B\A = ( 1) B A, gdyż A B

4 Uwaga 10.6 Rozpatrzmy zbór uporządkoway lokale skończoy (N, ). Nech a, b N. Wtedy 1 gdy a = b µ(a, b) = ( 1) s gdy a b a/b rozkłada sę a s różych lczb perwszych 0 w pozostałych przypadkach Defcja 10.6 Nech (P, ) będze zborem uporządkowaym, lokale skończoym. Mówmy, że fukcja F : P R jest sumowala w dół, jeśl zbór supp F (, x] jest skończoy dla każdego x P, gdze supp F = {x P : F (x) 0}. Zbór supp F azywamy ośkem fukcj F. Lemat 10.1 Jeśl F : P R jest sumowala w dół, to fukcja G: P R zdefowaa wzorem: G(x) = F (y) jest dobrze określoa dla każdego x P (dla każdego x suma jest skończoa) sumowala w dół. Fukcja G jest dobrze określoa bo fukcja F jest dobrze określoa (co wyka z defcj fukcj F ). Należy pokazać, że G jest sumowala w dół. Załóżmy, że y supp G (, x]. Zauważmy, że supp F (, x] = {y 1,..., y }, bo zbór te jest skończoy, G(y) 0, bo y supp G oraz y x. Węc 0 G(y) = F (z) z (, y] (, x] = {y 1,..., y } F (z) 0 Nech węc z = y dla pewego {1,..., }. Mamy: y y x. Zatem y =1 [y, x] suma ta jest zborem skończoym. Ostatecze wobec dowolośc wyboru y y supp G (, x] =1 [y, x] co pozwala woskować, że supp G (, x] jest zborem skończoym, zatem fukcja G jest sumowala w dół.

5 Twerdzee 10.5 (twerdzee wersyje Möbusa) Nech (P, ) będze zborem uporządkowaym, lokale skończoym, ech F = : P R będze fukcją sumowalą w dół. Nech F : P R będze fukcją określoą astępująco: F (x) = F = (y) Wtedy F = (x) = F (y)µ(y, x) = F (y)µ(y, x) ( F = (z) Poeważ z y x, moża zmeć zakresy sumowaa: = z (,x] y [z,x] = F = (x) + F = (z)µ(y, x) = z (,x) z (,x] F = (z) y [z,x] ) F = (z) y [z,x] µ(y, x) = µ(y, x) = F = (x) µ(y, x) = gdyż ostata suma jest a mocy uwag 10.4 jest rówa 0, gdy z x. Defcja 10.7 Nech (P, ) będze zb. uporządkowaym, lokale skończoym. Mówmy, że fukcja F : P R jest sumowala w górę, jeśl zbór supp F [x, ) jest skończoy dla każdego x P. Lemat 10.2 Jeśl F : P R jest sumowala w górę, to fukcja G: P R, taka że: G(x) = F (y) jest dobrze określoa dla każdego x P sumowala w górę. Twerdzee 10.6 (twerdzee wersyje Möbusa II) Nech (P, ) będze zb. uporządkowaym, lokale skończoym, F = : P R będze fukcją sumowalą w dół oraz F : P R będze fukcją, taką że: F (x) = F = (y) Wtedy F = (x) = F (y)µ(x, y) Copyrght c Grzegorz Gerlasńsk