Mh n. 2 ε. h h/ n n. Ekstrapolacja Richardsona (szacowanie błędu) błąd. ekstrapolowana wartość całki I. kwadratury z adaptowanym krokiem

Transkrypt

1 Ekstrapolacja Rchardsoa (szacowae błędu) dla daej, ustaloej metody błąd Mh zakładając, że M jest w przyblżeu ezależe od h I I + Mh h h/ / I I + Mh ekstrapolowaa wartość całk I I e I h / + Ih / ( I h ) kwadratury z adaptowaym krokem zaczyamy z dużym krokem h dzelmy h --> h/ sprawdzając czy / h h/ h/ ε I ( I + I ) <

2 metoda Romberga połączee złożoej ormuły (p. trapezów) z ekstrapolacją Rchardsoa... KWADRATURA GAUSSA optymaly wybór puktów węzłowych Tw. Jeśl {x } b a ( x) dx C ( x ) wybrae są jako perwastk welomau P ależącego do welomaów ortogoalych {P k } określoych a [a,b], to powyższe przyblżee jest ścsłe dla (x) będącej welomaem stopa e wększego ż - ( NAWET -); przy czym C wyzaczoe są (jak zwykle) przez całk ze współczyków welomau terpolacyjego stopa - a tak określoych węzłach. d

3 dowód wyberzmy welomay ortogoale {P k } Legadre a a [-, ] z ukcją wagową w(x) ; perwastk welomau Legadre a P stopa X, X,..., X. są Rozważmy przyblżee do (x) a [-, ] a satce X,..., X za pomocą welomau terpolacyjego (w kostrukcj Lagrage a): ( x) dx C ( x ) C j, j ( x x j ) dx ( x x ) j Nech P będze welomaem stopa <, p. - ; dzeląc P przez P P( x) Q( x) P ( x) + R( x) gdze Q(x) jest stopa <, ( reszta R(x) też jest stopa co ajwyżej - ), zatem Q daje sę przedstawć (ścśle) jako Q( x) s P ( x) poeważ welomay Legadre a są z de. ortogoale a [a,b]

4 Q( x) P ( x) dx s P ( x) P ( x) dx a zatem P( x) dx R( x) dx C R( x ) a mocy aktu, że R(x) jest stopa co ajwyżej -. Poeważ jedak X ostatecze są perwastkam P zatem P( x ) R( x ) P( x) dx C P( x ) zamaa przedzałów całkowaa z [-, ] a [a, b] b a ( x) dx ( b a) t + b + a ( b a) dt...

5 CAŁKI WIELOWYMIAROWE trudośc: p. całka 3-wymarowa z ukcj wymagającej ~ 5 x wyzaczea wartośc w każdym wymarze; lość węzłów: ~ 5 obszar całkowaa w R N może e być wypukły Metoda Mote Carlo wyberając losowo ale jedorode N puktów X, X,..., X N - każdy pukt to N-ka w R N, w N-wymarowej objętośc V, przyblżamy całkę dv V < > ± V < > < N > gdze < > N N ( x ) szukając takego obszaru W, który pokrywa V, którego objętość daje sę łatwo oblczyć, oraz takego rozkładu puktów w W, który mmalzuje błąd

6 jeśl brzeg obszaru całkowaa e jest wybte skomplkoway, oraz jeśl ukcja podcałkowa jest dość gładka to stosujemy rozkład a welokrote całk -wymarowe algorytm. określamy dole góre grace dla każdej zmeej p. w 3 wymarach (X,Y,Z) : a) X oraz X b) dla każdego puktu satk w X (pomędzy X X ) określamy zakres Y, tj. Y (X) oraz Y (X) c) dolą górą gracę Z dla każdego Y X x I dxdydz ( x, y, z) dx dy dz ( x, y, z) x y ( x) y( x) z ( x, y) z( x, y). wykoae każdej z tych całek -wymarowych ( drugej trzecej - welokrote ) przykład w wymarach

7 uwaga satk w y dla różych x e musza być take same y ( x) G( x) ( x, y) dy y( x) I X X G( x) dx pętla po puktach satk X dla każdego X * pętla po puktach satk Y - oblczająca G(x ) jako całkę -wymarową w Y NUMERYCZNE RÓŻNICZKOWANIE trudejsze ż umerycze całkowae małe zaburzee daych może prowadzć do szybko rosących błędów przy oblczau wyższych pochodych przykład : ech Y(x) - różczkowala a [a, b]

8 zdeujmy g(x) Y(x) + ( / ) s [ (x-a) ] dowola lczba aturala dla dużych, Y(x) g(x) różą sę dowole mało dla x w [a, b] max Y(x) - g(x) < / a pochode: g / (x) Y / (x) + cos [ (x-a) ] max Y / (x) - g / (x) dla dużych ta różca jest duża przykład : przyblżmy (x) e x za pomocą szeregu Taylora w x o ( do II-go rzędu ) g(x) + x + x /

9 łatwo sprawdzć, że w [-.,.] max (x) - g(x) ~ * -4 max / (x) - g / (x) ~ 5 * -3 max // (x) - g // (x).5 max /// (x) - g /// (x) szybka utrata dokładośc przy wyzaczau wyższych pochodych w oparcu o wartośc przyblżoe ukcj ajprostsza ormuła / ( x ) ( x + h) ( x) h ze wzoru Taylora błąd h // ( ξ ) (szacując błąd popełamy wększy błąd ż przy przyblżau samej pochodej...)

10 dokładejsza jest ormuła lowa 3-węzłowa / ( x ) ( x + h) ( x h) h tu błąd jest rzędu h 6 /// ( ) ξ (rozwjając (x+h) (x-h) do 3-go rzędu) błąd trudy do określea - wymaga zajdowaa pochodej wyższego rzędu możemy zażądać wyzaczea pochodej e tylko w puktach węzłowych Formuły Lagrage a oblczae pochodej welomau, którym przyblżamy ukcję w daym przedzale / / / ( x) P ( x) ( x ) L ( x)

11 dla welomau stopa L / ( x) ( x x x ( k ) ( x x k ) x ) bez( ) dla tych 3 węzłów x x + h 3 h ( x ) ( x ) ( x) ( x ) 3 + ( ) h + ξ 3 / ( ) h ( x) ( x ) ( x ) 3 + ( ) h + ξ 6 / ( ) 3 h ( x ) ( x ) ( x) ( x ) 3 + ( ) h + ξ 3 / ( ) zobaczmy jak ekstrapolacja Rchardsoa poprawa przyblżee; kombując (x±h) wyzaczoe przez / (x) wyższe pochode z szeregu Taylora / ( x ) [ ] h ( x h) ( x h) a h a h to jest przyblżee φ(h) do pochodej ukcj (x) (pamętamy, że wyraz a pochodz z /// td..) zatem:

12 / 4 φ( h) ( x) a h a h... φ h / h h ( x) a a 4... elmując wyraz z a 4 4 / ( x) 4 h φ φ( h) a4h każde φ wyzaczoe jest za pomocą ormuły tego samego rzędu () ale dla kroków h h/ a błąd zaczya sę od wyrazów rzędu h 4, a e jak dla epoprawoej ormuły ~ h Pochode wyższych rzędów kombując jak poprzedo (x±h) ze wzoru Taylora mamy 4 ( x) [ ( x + h) ( x) + ( x h) ] h ( ξ ) h / / ( ) to jest dokłade rówe lorazow różcowemu w drugm rzędze