Przetwarzanie danych meteorologicznych

Transkrypt

1 Sps teśc I Rozważaa ogóle 5 Pzetwazae daych meteoologczych Notat z wyładu pokhamaa Wyoała: Alesada Kadaś I Iomacja odowae 5 I Poces pzetwazaa daych 5 I Aalza 6 I Syteza 7 I3 Edycja wzualzacja 7 I3 Dae meteoologcze 8 I3 Obsewacje meteoologcze 9 I4 Wyywae popawae błędów I4 Wyywae błędów I4 Metody oecj II Aalza daych meteoologczych II Sala II Pojęce sal II Oeślae sal 3 II Itepolacja, aposymacja 4 II Itepolacja pojęce cele 4 II Ogóly schemat podzał tepolacj 5 II3 Kytea doboc aposymacj 6 II4 Tech tepolacj 7 II5 Metody tepolacj z wyozystaem wedzy o polu metoda teacyja II3 Asymlacja 3 II4 Icjalzacja 4 II5 Fltacja 5 II5 Fltacja podczas pomau 5 II5 Ops matematyczy pocesu ltacj (opeato całowy) 6 II5 Flt jedoody 7 II53 Obcae szeegowe ozwęć 9 II54 Podobeństwo metod 9 III Metody statystycze pzetwazaa daych 3 III Pojęca podstawowe 3 III Pzestzeń zdazeń losowych 3 III Pawdopodobeństwo 3 III3 Zmea losowa 3 III4 Zmee losowe welowymaowe 34

2 III5 Rozłady wauowe bzegowe 35 III6 Hstogam, wygładzae gęstośc pawdopodobeństwa 37 III Uśedae, chaateysty ozładów 38 III Uśedae statystycze 38 III Chaateysty ozładów 38 III3 Uśedae momety zmeych welowymaowych, 4 III3 Regesja 4 III3 Pojęce egesj 4 III3 Regesja lowa dla dwóch zmeych 43 III33 Regesja dla zmeej welowymaowej 45 IV Elemety teo pocesów stochastyczych 47 IV Poces stochastyczy decje tepetacje 47 IV Chaateysty ozładów pawdopodobeństwa dla pocesów losowych 48 IV Uśedae 49 IV Fucja oelacyja 5 IV3 Fucje stutuale 5 IV3 Repezetacja pocesu losowego w postac szeegu 5 IV3 Rozwęce pocesu w szeeg 5 IV3 Rozwęce aocze 53 IV33 Posługwae sę ozwęcem 54 IV4 Szumy 55 IV5 Pocesy stacjoae jedoode 56 IV5 Poces stacjoay 56 IV5 Pocesy egodycze 57 IV53 Rozwęce oueowse jao atuale ozwęce pocesu stacjoaego 58 IV54 Aalza oueowsa pocesu stacjoaego 6 IV6 Pocesy estacjoae 6 IV7 Pola losowe 63 IV7 Pola losowe 63 IV7 Pola tubulecyje 64 V Aalza alowa atala 65 V Aalza alowa ( wavelet ) 65 V Zjawsa aalzowae metodą alową 65 V Fal 66 V3 Pzyłady ale 67 V4 Kostucja ale ówoległych 68 3 V Aalza atala 69 V Zjawsa aalzowae metodą atalą 69 V Wyma w sese Hausdoa, atale 69 V3 Wyma oelacyjy pudełowy 7 VI Uzupełea dygesje 74 VI Zmee losowe zespoloe 74 VI Watośc włase ucj oelacyjej 75 VI3 Itepolacja optymala 77 VI4 Ułady samouczące (sec euoowe) 79 Najpostsza seć eutoowa 79 VI5 Wybó póby z populacj 8 VI5 Wybó póby 8 VI5 Estymatoy 8 VI53 Ocea doboc hpotez 8 4

3 I Rozważaa ogóle I Iomacja odowae Iomacja pozwala odóżać obety jest pzeazywala ym osobom (obetom) Najpostszym ozóżeem (jedostą omacj) jest ozóżee mędzy dwoma obetam (bt omacj) Do pzeazywaa omacj potzebe jest azędze odowae Najpostszy pzypade, odpowadający jedemu btow, zapsać możemy odem baym (,, etc) Kod bay jest ajpostszy wszyste badzej somplowae ody moża a ego pzetłumaczyć W pzestze odów może steć jede szczególy, wymagający mmalej lczby btów do zapsaa omacj o daym obece Na ogół omacja zaodowaa jest węszą ż potzeba loścą btów Ta własość to edudacja Dzę edudacj moża p zabezpeczać omacje pzed pzełamaem Jao dae ozumemy wszele omacje, w ome zaodowaej (bae, szesastowo, esowo, oloystycze etc) I Poces pzetwazaa daych aalza syteza edycja wzualzacja Pzetwazae omacj to poces, w tóym e powstają owe dae Pzecwe omacje są tacoe Do zbou omacj moża ajwyżej dodać ops pocedu Achwzowae pzeoszee daych łączą sę z osztam Dlatego stosuje sę ozmate omy ompesj I Aalza Potecjale mamy do dyspozycj ogome lczby daych, Pzetwazae to a ogół educja zbou daych do lośc - ezbędej - tóą moża opeować Może to polegać a selecj oaz uogóleu (ezygacj z epotzebych ozóżeń) Następym oem jest pzetwazae polegające a zmae odów (p cąg daych moża pzetasomować do macezy lub omy gaczej) Zmaa odu może być zwązaa z selecją lub uogóleem Dae mogą być zaodowae a ośu wtedy pzetwazae obejmuje wymaę omacj mędzy ośam W czase pzetwazaa omacje mogą być guboe celowo lub echcący (to ostae astępuje zwłaszcza pzy zmae odów ośów, w pzypadu meteoolog często w wyu załóceń a lach teleomuacyjych) Elemetam pocesu aalzy daych muszą być taże detecja oecja błędów a poszczególych etapach Jeśl omacja jest zapsaa w odze edudatym, to jest szasa, że ocalały agmet odu zawea jej powtózee lub lość omacj wystaczającą do odtwozea baujących (pzy pewej zajomośc języa) Pzyład: żłw żółw 5 6

4 I Syteza Zacza część pzetwazaa może być wyoywaa pzez uządzea (ompute) Jeda a ońcu pocesu pojawa sę zawsze użytow, mogący opeować jedocześe ewelą lczbą omacj Dlatego pzetwazae mus ończyć sę sytezą daych, a węc pewą ch educją I3 Edycja wzualzacja Pzetwazae daych ończyć sę mus pzedstaweem ch w ome łatwej w odboze dla użytowa To właśe ozacza edycja wzualzacja omacj Edycja polega a decydowau, jae omacje w jam omace zostają udostępoe po pzejścu pzetwazaa Wzualzacja jest gaczą omą edycj (wyesem, hstogamem, pzeojem, mapą, pseudotójwymaowym obazem etc) Powa bać pod uwagę psychologę użytowa (zwłaszcza gdy użytow mus podjąć szybo subetywą decyzję a podstawe daych p meteoolog lotsowy) Ne ma estety jedozaczej ecepty a to, ja powa być pzepowadzoa I3 Dae meteoologcze Podstawowym źódłem daych meteoologczych są obsewacje Dae mogą meć chaate: - cągły być mezoe salam cągłym utzymywać cągłość pzestzeą czasową (pola tempeatuy, cśea, pędośc watu etc), - jaoścowy być opsywae dysete; p lczbam atualym, tóym pzypsao lasy (jest mgła e ma, deszcz: ba, słaby, umaoway, sly, etc) Jedoodoścą cągu daych azywamy ch poówywalość czasową pzestzeą (zgodość ze stadadam pomaów) Ba jedoodośc pzestzeej daych może być zwązay p z óżcam w stadadach służb meteoologczych óżych ajów Ba jedoodośc czasowej wyać może ze zmay metod, pzyządów, stadadów pomaowych Poówywalość daych moża póbować pzywócć pzy pomocy odpowedch popawe Pocesy zma w polach paametów meteoologczych mogą zachodzć w óżych salach Jeżel pomay mają dobze opsywać zjawsa w jaejś sal, puty pomaowe muszą być ta dobae, by zapewć ch epezetatywość (p by a watośc pól w tych mejscach decydującego wpływu e mały zjawsa loale) 7 8

5 I3 Obsewacje meteoologcze Obsewacje specjale (estadadowe) - obsewacje dooywae w celu zbadaa oetego zjawsa lub po postu plaowae aczej ż pomay stadadowe ogazowae pzez WMO e duże ogazacje Obsewacje estadadowe mogą być czasem stadayzowae Pomay stadadowe - wyoywae egulae, w stadadowy, opsay pzez WMO sposób Ze stadadowych obsewacj óżych obsewatoów w óżych czasach mejscach powstaje (dzę poówywalośc daych) obaz maozjaws atmoseyczych Obsewacje stadadowe dzel sę a: a) syoptycze, staowące put wyjśca dla pogoz pogody, wyoywae sychocze (o tych samych poach GMT w óżych mejscach), pozwalają a oeślee stau atmosey w daej chwl b) lmatycze, służące do oeślaa długotemowych zma w atmoseze, wyoywae esychocze o tych samych poach czasów loalych Bywają ta spowadzae do GMT Na ogół obsewacje azeme są sychocze a sateltae esychocze Dae obsewacyje zbeae a stacjach po weyacj popaweu udostępae są dla potzeb ogólych I4 Wyywae popawae błędów I4 Wyywae błędów Do wyywaa błędów w daych potzeba jest pzede wszystm wedza a temat mezoych welośc: Zajomość zaesu zmeośc paametu (watość odbegająca zacze od oczewaej może być błęda) Zajomość sal zmeośc pola pozwala a wyyce eeale dużych gadetów, mogących śwadczyć o błędze Zauważyć coś taego moża dzę edudacj zajomośc stutuy pola (watośc paametu w putach ch óżc) 3 Zajomość zależośc pomędzy óżym weloścam moża p szuać ozbeżośc pomędzy zmezoym polem cśea polem oczewaym a podstawe pomaów tempeatuy tp oaz ówaa hydostaty, tóa śwadczyć może o błędze Jeśl zmay pola paametów w puce zdają sę zachodzć aczej ż w otoczeu, może to wyać z zewaa jedoodośc daych, p zmay pzyządów lub zmay w otoczeu stacj I4 Metody oecj Najpostszą metodą oecj jest odzucee błędej omacj Może to estety spowodować odzucee omacj etypowej ale pawdzwej W mejsce usuętej daej ależy wtepolować watość polczoą a podstawe: - posadaych daych edudatych, - posadaych daych o otoczeu Dae lmatycze moża popawać, wyozystując dae achwale a temat oelacj tedecj zma paametów w sąsedch stacjach 9

6 II Aalza daych meteoologczych W pzypadu daych syoptyczych mamy do czyea z polam paametów, opsywaym daym z pojedyczych putów W celu pzedstawea obazu pól tzeba pzepowadzć tepolację asymlację Fltacja syteza ończą poces pzetwazaa daych, powadząc do edycj wzualzacj Icjalzacją azywamy pzygotowae daych do podaa modelow umeyczemu II Sala Oeślee sal pzez zdolość ozdzelczą e jest ajczęścej spotyae Pzyład: Weźmy pzebeg: L Tu salę oeślmy a podstawe odległośc estemów Pzy zastosowau ampltudy zmeośc, sala L służy do oeślaa ozmaów pocesu: II Pojęce sal Pojęce sal występuje w mowe potoczej ja w ozważaach auowych My ozpatujemy sale pzestzee czasowe L x max = L ( ) L= U L x Spóbujmy oeślć pojęce sal, wychodząc od zdolośc ozdzelczej epezetacj pola zyczego, tóą możemy opeować Zdolość ozdzelczą oeśla ajmejsza odległość mędzy dwoma ozóżalym putam sat (zwązaa z możlwoścam pzyządu sposobem pzetwazaa daych) Nech: L zdolość ozdzelcza, (x) pole zycze, ampltuda zmeośc pola Pocesy welosalowe (małosalowe) to te, tóych estema oddaloe są o odległośc oeślae pzez salę dużą (małą) Fltacja pzy pomocy sal pozwala wyodębć teesujące as zjawsa Sale wyozystuje sę do oceaa względych elacj człoów ówań ch zaczea Masymala welość pochodej to: max max = x L ( ) L staow wewętzą salę pzestzeą pola Sala taa może być zotopowa lub azotopowa

7 II Oeślae sal Pocedua pecyzyjego oeślea sal wymaga pzedstawea ucj w ozładze spetalym: = = ( x) ce ( ) x d ( x) =( ) e(, x) Rozładając epezetowaą ucję a sład, tóym pzypsujemy sale, a ogół ozystamy z jaejś bazy ucj otogoalych, jao że tae ucje mają chaate oscylacyjy Na pzyład: b = a δ e ( x) e ( x) dx -ucje zomalzowae a odcu Taa omalzacja wymaga zma zau ucj e ; ażda oleja ma węcej ze a odcu, m wyższy wsaź ucj tym mejsze sale może epezetować Dobym pzyładem tego odzaju ucj są ucje tygoometycze II Itepolacja, aposymacja II Itepolacja pojęce cele Dae, tóym dyspoujemy, pochodzą z dysetych putów, położoych eegulae (ja stacje meteoologcze) Tymczasem welośc, tóe as teesują, chcelbyśmy pzedstawć w postac cągłych pól Potzebujemy węc możlwośc oeślea watośc pól poza putam pomaowym Itepolację pzepowadzać moża w óżych celach: - wzualzacj pola w postac zol, - pzeesea watośc dysetych, pomaowych, a egulaą satę putów (taa postać ułatwa aalzy umeycze) Sposoby tepolacj w powyższych wypadach są eco óże Tadycyja tepolacja polegała a oeślau a oo zol pomędzy putam pomaowym Nazywało sę to aalzą subetywą obejmowało aoszee dodatowych omacj (stey opadów etc) Obece stosuje sę metody aalzy obetywej, czyl zalgoytmzowaej, wyoywaej automatycze pzez ompute, ezależej od człowea W lteatuze aglosasej aalzą obetywą azywa sę już tylo aalzę opatą a statystyce (dobó wag w ozładze spetalym zachodz w opacu o statystyę watośc pzybeaych pzez ucję) W wyu tepolacj uzysujemy coś, co eoecze jest zgode z zeczywstoścą Itepolacja powadz do umowej epezetacj pola 3 4

8 II Ogóly schemat podzał tepolacj Mamy N putów pomaowych watośc obsewowaych O( x ) ( =,,, N) Wybeamy odzę ucj zależych od N paametów: u ( x, c,, ) c N 3 Watośc paametów wybeamy a podstawe watośc zmezoych = ~,, ~ 4 Otzymujemy ucję ztepolowaą: ( x) u( xc ) A, c N Rodzy ucj wybeać moża w óży sposób Najczęścej wybea sę bazę ucję zapsuje w ome ombacj lowej ucj bazowych: u ( xc,, cn) = ce( x), N = Fucje bazowe mogą być a pzyład ucjam ezeowym tylo a ewelch obszaach, ucjam lowym, welomaowym etc Fucję tepolowaą zapsać moża ogóle jao ombację lową watośc obsewowaych A N ( x) = O( x) ϖ ( x, x) ( ϖ ( x, x) - ucje wagowe) = Itepolacje moża podzelć a: a) loale watość ucj tepolowaej w puce x zależy od watośc zmezoych w pewym otoczeu x; ϖ (, x) tylo dla x x x b) globale watośc tepolowae uzależa sę od wszystch daych (, x) ϖ x II3 Kytea doboc aposymacj Kytea oloacyje Kytea oloacyje wymagają zgodośc watośc tepolowaych z putam pomaowym Pzyładem zgodośc oloacyjej jest tepolacja pzedzałam lowym Kytea waacyje Kytea waacyje mają chaate globaly żądają, by ucja tepolująca mmalzowała pewe ucjoał Dodatowym żądaem może być mmalzacja wadatów pochodych ucj aposymującej (wygładzae) Pzyładem może być yteum mmalzacj błędu wadatowego (suma wadatów odchyleń od postej lub zywej ma być ajmejsza) Uzgadae pól W meteoolog aalzujemy pola tempeatuy, cśea, wlgotośc etc, ecałem od sebe ezależe Może sę zdazyć, że po osobej aalze pól, wpowadzee ch do modelu ozacza wystatowae go z establym wauam początowym wyłożee Dlatego oecze jest uzgodee pól (cjalzacja patz dalej), aby e powodowały eozystych zjaws umeyczych Uzgodea doouje sę zwyle metodam waacyjym Kedyś p uzgadao pole cśea eu watu, aładając a e waue geostoczośc 5 6

9 II4 Tech tepolacj Po az olejy zapszmy ucję tepolowaą w postac sumy: A N ( x) = O( x) ( x, x) = ϖ Fucje wagowe ( wag a posteo ) mogą być wybeae w opacu o ytea oloacyje ( ϖ (, ) =, ϖ (, ) = ) albo e (ajczęścej x x x x l wymog statystycze czasu lmatyczego) Moża póbować uzależać ucje wagowe od watośc ucj Mamy wtedy epezetację elową, co staamy sę pomąć wząć ta ombację lową II4a Oeśloość zagadea Oeśloość zagadea zależy od lczby paametów do oeślea; - paametów mej ż daych adoeśloość, - paametów tyle samo co daych oeśloość, - paametów węcej ż daych edooeśloość Zauważmy, że bazy teoetycze obca sę a teoetycze dowolym wyaze Ta sę jeda e ob w patyce jeśl współczyów będze węcej ż daych, wy będze eps A właścwe go e będze Wybeając bazy do epezetacj spetalych ucj możemy apotać espodza Szczególe wtedy, gdy lczba paametów do wyzaczea jest blsa lub wyższa od lczby putów pomaowych Pzyład: Szuając welomau pątego zędu pzechodzącego pzez pęć putów pomaowych uzysujemy jaś wy, jeda może o być zupełe zwaoway ezgody z oczewaam Pzy pzedstaweu spetalym ucj o sal decydują sale ucj bazowych Oscylacje szybozmeych ucj oueowsch mogą załócć pzebeg ucj mędzy putam pomaowym II4b Metoda olejych pzyblżeń (teacyja) W metodze olejych pzyblżeń wychodz sę od jaejś bazowej aposymacj wybeaej a óże sposoby (może to być p śede pole lmatycze albo pole z pogozy wychodzącej z popzedch pomaów) Bazową aposymację oyguje sę: ( x) ( x) A = B, ( x) ( x) + [ ( x ) ( x )] ϖ( x x) A B O A, = Tę opeację moża powtózyć: [ ] ϖ ( x x) ( x) ( x) + ( x ) ( x ) A A O A, =, td Z putu wdzea lmatologczego aalzy oboe olejym pzyblżeam są lepsze ż e, dowodz tego spawdzalość w polach otolych ja w pogozach 7 8

10 II4c Metody sple Metody sple opeają sę a tagulacj smplesam, czyl podzale pzestze putów pomaowych a tój twozące tójąty Jao ucje aposymujące wybeamy welomay o lczbe zmeych zależej od lczby wymaów pzestze, po jedym welomae a smples Fucje muszą spełć wau: - cągłośc a putach pomaowych, - cągłośc pochodych odpowedego zędu, tóe pozwalają a ustalee paametów welomaów Moża zauważyć, że aposymacje lowe lub sple to szczególe pzypad ozładu spetalego; współczy pzy ucj opsującej agmet dzedzy jest ezeowy tylo w obębe tego agmetu Logcze jest, że wag ostuuje sę ta, by dla watośc ucj aalzowaej w puce x zaczee mały watośc pomaowe z putów sąsedch II4d Metoda ajmejszych wadatów Metoda ajmejszych wadatów to metoda waacyja Mmalzowaym ucjoałem jest wadatowa óżca ucj obsewowaej aposymowaej Jeśl: A( x) = c( x) h( x), P = to mmalzujemy: [ A( x) O( x) ] N = ϖ, gdze ϖ jest dodawaą czasem, a podstawe statystyczych ozważań o umejscoweu błędów, wagą a posteo Mamy węc: J = = N [ ( ) ( )] ( ) A x O x ϖ = ch O x cjhj O( x) = N M M cc h N M = = j= ( x) hj( x) ch( x) O( x) + O ( x) j = = j= = M ϖ = M ϖ Różczujemy ucjoał po dowolym, wybaym paametze c j : J c j c = h( x) hj( x) Ohj( x) ϖ, pzyówujemy do ozwązujemy Wymaga to odwócea macezy Gamma, czyl typu: h ( x ) h ( x ) Najlepej odwaca sę maceze j otogoale estety e ażą macez da sę zotogoalzować 9

11 II4e Itepolacje ucj wetoowych Czasam tzeba tepolować ucje odpowadające - zeczywstym wetoom (p pędośc watu), - zespołom paametów opsywaych łącze (wat, cśee, tempeatua) Wtedy może meć ses łącze mmalzowae ucjoału dla wszystch sładowych pola oaz azucee dodatowych wauów (ustalee dodatowego ucjoału, oeślającego wau zgodośc pomędzy paametam) Może meć ses możee sładów sumy w metodze ajmejszych wadatów pzez wag a po (oeślające ważość putów pomaowych, pewość pomaów) Pzyładowe ozszezee ucjoału, pzy tóym sala ucj aalzowaej e jest duża: N M A ch O( x) + γ = = x ϖ II5 Metody tepolacj z wyozystaem wedzy o polu metoda teacyja Metoda teacyja SCM (Subsequeced Coecto Method) posługuje sę omułą tepolacyją typu: A N ( x) = O( x) ( x) = ϖ Oczeujemy, że m blżej x leży x, tym stotejszy jest jego wpływ a watość ucj w x (odpowedo dobea sę wag) Ne mus być jeda ta, że ( x ) = ( x ) Fucje wagowe mają zwyle ształt A O L gaussopodoby, z masmum w puce x=, p ϖ ( x ) = e Ogóla postać metod SCM: Mamy dae O ( x) x ( x x ) Wybeamy zeową, początową postać pola A ( x), wyającą z aszej wedzy o polu (wy pogozy, dae lmatycze) 3 Wpowadzamy do tej postac popaw: A + A [ A O ] ϖ [ x x ] ϖ ( x) = ( x) + ( x ) ( x ) A ϖ ( x) = ( x) ϖ + ( ) ( ) A Zastosowae stau pogostyczego jao wyjścowego pozwala a obsewację pewej cągłośc modelu pogostyczego Modele umeycze e odzwecedlają atmosey ścśle, ale mają własą wewętzą logę Poste wstawee daych pomaowych w mejsce pogozowaych dopowadza do załócea log modelu jego wysypaa (ba wewętzej spójośc wauów początowych) Z tego względu jest zeczą sesową, żeby wau początowe uwzględały to, co dotychczas model wypoduował Pzyładem metody SCM jest algoytm Buesa zmejszający sale ucj wagowych z ou a o, co pozwala a wyodębae coaz mejszych pocesów A O

12 II3 Asymlacja Asymlacją azywamy tepolację, w tóej wyaźe odóża sę tepolację czasową pzestzeą oaz uwzględa omacje pzychodzące esychocze Model statuje od pewej chwl czasu (p czasu stadadowego pomau) Do czasu astępego pomau sychoczego pojawać sę mogą dae ego odzaju (z sateltów, z samolotów etc) Właśe pocedua wpowadzaa tych daych do modelu azywa sę asymlacją Polega oa a spowadzau daych do pozomu czasowego, z tóego atuale statuje model Najczęścej twozy sę ucjoał zależy od putu pzestze czasu a astępe mmalzuje sę go z dodatowym wauam Modele mają pewe establośc - wyające ze stutuy umeyczej, - zwązae z tym, że opsyway uład jest chaotyczy II4 Icjalzacja Icjalzacja to poces polegający a zgywau wauów początowych ta, by e zabuzały ówowag modelu Pewote póbowao uzgadać sytuację początową ta, by pole watu cśea twozyły pole geostocze Ne było to ozwązae śwete, ale pozwalało a uęce etóych poblemów Póbowao taże statować model a la godz a potem wacać do początu dostawało sę owe pole Atmosea waca do ówowag quasgeostoczej popzez geeację al austyczych, ozchodzących sę woół obszau zabuzea, tóych eega ulega dyssypacj (w zwązu z dzałaem sł lepośc etc) Podobe powót do ówowag quashydostatyczej zachodz pzy pomocy al gawtacyjych Podobe pocesy wpsae są w model e zależą oe od euu maszu modelu Pzejśce la azy w pzód w tył zgywa dae Jest węc tedecja do wzostu zabuzeń ( ozjeżdżaa sę ozwązań ) Zabuzea w atmoseze opsywae są jao ale (austycze, gawtacyje, Rossbego) W zeczywstośc jest pewe atualy ozład eeg mędzy alam Modele e zawsze mają odpowed mechazm adaptacj do pocesów alowych 3 4

13 II5 Fltacja Fltacja ozacza wydobywae z sygału tych daych pomaowych, tóe as teesują Najczęścej chodz o wyodębee sładowych o sal węszej ż stadadowa odległość mędzy putam pomaowym Służą do tego lty Najczęścej używamy ltacj, by usuąć z sygału zjawsa o eteesującej as sal: - małej (lt dolopzepustowy), - dużej (lt góopzepustowy) II5 Fltacja podczas pomau Już sam poma jego sposób staow pewe lt Np stała czasowa pzyządu to lt dolopzepustowy (e pzepuszcza lutuacj) Jeśl atomast uządzee zbea dae w sposób dysety, e moża wydobyć sal mejszej ż odstęp czasowy pomaów Pzyład: Temomet jao lt dolopzepustowy dt TO = dt τ τ T τ τ - stała czasowa temometu Gdyby tempeatua zmeała sę susodale: ejestowaa: A τ = A τ + 4π T, π T = ω T O Ae po dostatecze długm czase sygały są mało zeształcoe ωt =, to tempeatua Róweż w pzypadu sygałów pzestzeych zachodz ltacja Np w pzypadu pomaów sateltaych ogaczeem jest ozma psela Na Zem e możemy dostać sygału ze sal mejszej ż odległość stacj Poblem ltacj może sęgać dalej Sygał wstępe pzeltoway pzez uządzea może wymagać dalszej ltacj II5 Ops matematyczy pocesu ltacj (opeato całowy) Weźmy sygał ( x, t) = Opeację ltacj ozaczmy jao F: ( x, t) F( ( x, t) ) Opeacja F może być óża, awet elowa Najczęścej jeda jest lowa, co ma wele zalety opeacyje Opeacj lowych może być dużo Chcelbyśmy, aby ltacja mała óweż e, ułatwające własośc: ( x, t) = ( x, t) - oleje ltowae e zmea pzeltowaego sygału g ( x, t) ( x, t) = g( x, t) ( x, t) - w pzypadu loczyu sygału dugego sygału po ltacj, ltacja odpowada loczyow sygałów pzeltowaych Powyższe własośc speła opeacja uśedaa statystyczego Ogóla postać opeatoa ltacj: ( t) K( t τ) ( τ) =, dτ Ozacza to, że watośc sygału w óżych putach τ wchodzą do wyu ltacj z óżym wagam K ( t,τ) Pamętamy, że pochoda ucj pzeltowaej jest zędu stosuu ampltudy zmeośc ucj do sal czasowej: A t L t Jao że = ( ) K t τ dτ, jądo opeatoa ltacj oeśla salę W zależośc od sytuacj stosujemy óże jąda Pzepustowość ltu dotyczy częstotlwośc Zjawsa welosalowe mają zwyle małą częstotlwość zma a małosalowe dużą 5 6

14 II5 Flt jedoody Flt jedoody jest ltem stosowaym ajczęścej Chaateyzuje sę tym, że postać jąda e zależy od obszau dzedzy Ma postać ta zwaej śedej begącej: ( t) K( t τ) ( τ) = dτ Na ogół wymaga sę, by wag były uomowae (dla zachowaa ombacj lowych współczy muszą tasomować sę a sebe A węc: K mus być socetowae a jamś odcu dążyć szybo do w esończooścach, aby jego cała była sończoa Wygładzae czasowe Najpostszym opeatoem tego typu jest aytmetycza śeda beżąca : Nestety aytmetycza śeda beżąca w ogólośc e speła żądaych pzez as wcześej wauów Jeda jeśl sygał słada sę z dwóch sle ozsepaowaych gup sal, to wau spełae są w pzyblżeu:, ( x, t) ( x, t) g ( x, t) ( x, t) g( x, t) ( x, t) Tego odzaju opeacje są stosowae w polach hydodyamczych do ozdzelaa sygału główego tubulecj Często stosuje sę e ształty ucj K gaussows, wyładczy Wygładzae pzestzee W pzypadu wygładzaa pzestzeego stosujemy zaps podoby ja w pzypadu czasowego: K ( t τ) = T T T τ t, t+ T T τ, t t+, 3 =, d ξ ( x) K( x ξ) ( ξ) Fucja K zowu mus być taa, żeby jej cała była sończoa Jeśl K jest seycze symetycze, to lt jest zotopowy (watość K zależy tylo od odległośc ξ od x ) Pzyjzawszy sę temu wdzmy, że to po postu oblczae śedej a odcu (z putem odesea t a śodu pzedzału), a węc: T T t+ ( t) = ( ) T t τ dτ Taa opeacja ma oczywśc dzałae wygładzające tłum ampltudy szybozmee (o oesach mejszych ż T) sygałów Jeśl K jest zdecydowae asymetycze, lt zwemy azotopowym Atmosea jest z atuy azotopowa tzeba stosować w jej opse odpowede sale Oczywśce wygładzae to lt dolopzepustowy Opeacją góopzepustową byłoby a pzyład odjęce od sygału sygału wygładzoego Jeśl musmy uśedać a beżąco, e zając pzyszłośc, możemy ustawć t a ońcu pzedzału T, a e po śodu 7 8

15 II53 Obcae szeegowe ozwęć Obcae szeegowe ozwęć to duga gupa opeacj ltowaa Pole (t) pzedstawamy w postac szeegu: = = ( t) e ( ) α, t a astępe wyzucamy z sumy eteesujące as człoy (p te dotyczące małej sal) Jest to atuale podejśce, gdy opeujemy pojęcem sal jao umeu człou ozwęca Fltacja pzez obcęce szeegu ma tę właścwość, że jej teacja e zmea wyu ltowaa [ ( x, t) ( x, t) ], estety zazwyczaj za to: g, ( x, t) ( x, t) g( x, t) ( x t) Zależy to od bazy III Metody statystycze pzetwazaa daych III Pojęca podstawowe III Pzestzeń zdazeń losowych Zdazea elemetae twozą zboy esończoe ale pzelczale Pzestzeń zdazeń losowych jest zboem boelowsm, tz są a ej oeśloe opeacje możea oaz dodawaa zboów a wy pzepowadzaa tych opeacj a elemetach pzestze ależą do ej III Pawdopodobeństwo Pojęce pawdopodobeństwa występuje w co ajmej tzech zaczeach: ) Pawdopodobeństwo jao pojęce matematycze II54 Podobeństwo metod Zauważmy, że oba odzaje ltacj (opeato całowy obcęce szeegu) w pewych sytuacjach ozaczają to samo: ( x) K( x ξ) ( ξ) =, dξ ~ 443 = = K( x, ξ) ( x) = ce( x) = ( ξ) e( ξ) dξe( x) = e( x) e( ξ) ( ξ) dξ = W ogólośc jeda metody są óże Rachue pawdopodobeństwa zawea zespół asjomatów a temat zdazeń elemetaych ch pzestze Asjomatya spowadza sę do typowych dla teo ma tzech asjomatów ( ( A) [,] pawdopodobeństwo): * P ( ) = (U cała pzestzeń), * P ( ) = ( - zbó pusty), A A A = * P A = P( A) = = P - (A esończoy cąg zboów paam ozłączych) 9 3

16 ) Statystyczy ses pawdopodobeństwa Pawdopodobeństwo dotyczy częstotlwośc pojawaa sę pewej cechy w obębe populacj Populacja to a ogół zbó sończoy (N elemetów) Jeśl m elemetów ma pewą cechę to: ( m) P = m N Moża poazać, że pawdopodobeństwo ta zdeowae speła wau pawdopodobeństwa opsywaego w teo ma Moża węc stosować do ego w wym teoę Na ogół e mamy do dyspozycj daych o całym zboze a tylo o pewej jego póbe Powstaje wtedy poblem uogólea daych a populację geealą (patz: Uzupełea dygesje) 3) Pawdopodobeństwo psychologcze To zaczee zlustować moża pzyładem: Juto z pawdopodobeństwem 3% wystąp deszcz to zdae odos sę do jedostowej sytuacj, ozumemy, że statystya taych pogoz wyoaych tą metodą wyazuje 3% błąd III3 Zmea losowa Zmeą losową azywamy ucję zeczywstą oeśloą a zboze zdazeń elemetaych, jest to lczbowa chaateystya zdazeń (pzypoządowae zdazeom lczb) Zmea losowa może być dwojaego typu: - cągłego (pzebega wszyste watośc oeśloego pzedzału) - dysetego (pzebega watośc ze zbou dysetego) W patyce mamy a ogół tylo zmee dysete, gdyż e umemy eetywe opeować zmeym cągłym Często zdaza sę, że watość ucj pzypsaa jest do zdazea w sposób atualy p wystąpee tempeatuy w oeśloym mejscu opsujemy watoścą tempeatuy Stutuę pobablstyczą oeśloej gupy zjaws opsać moża ozładem pawdopodobeństwa dla wystąpea zmeej Dystybuata (F(x)), zwaa pawdopodobeństwem umulacyjym to zmea chaateyzująca zachowae zmeej ξ, oeśla pawdopodobeństwo zdazea, że ξ x: F ( x) P( x) = ξ Z tej decj właścwośc pawdopodobeństwa wya, że: ( ) = F, ( ) = F 3 3

17 F(x) jest ucja emalejącą: Dystybuata dla zmeej cągłej ma chaate ucj gładej Dla zmeej dysetej jest schodowa Czasem wygodej jest opsywać ucję dysetą pzyblżeem cągłym, dystybuata ma wtedy postać badzo sch schodów wygode ja aposymować lą cągłą Aposymacja dystybuaty empyczej do ładej postac (p Gaussa) to codzey poblem pzetwazaa daych W pzypadu dystybuat cągłych wygodejszym ż dystybuata pojęcem jest gęstość pawdopodobeństwa: F x ( x) = ( ξ ) dξ ( (ξ) gęstość pawdopodobeństwa) III4 Zmee losowe welowymaowe W pobablstyce występuje badzo waże pojęce zdazeń ezależych ( P ( AB) = P( A) P( B) ) Wpowadzee go w pzypadu opeowae ozładam dystybuatam wymaga zdeowaa zmeych losowych welowymaowych, czyl wetoów losowych sończoych Tzeba odóżć weto od cągu zmeych losowych Wetoow losowemu pzypsywae jest pawdopodobeństwo oeśloe jao pawdopodobeństwo zdazea, że wszyste zmee jedozacze spełają jaś waue: F ( x x ) = P( ξ x,, ξ x ),, Dla cągu zmeych waue dla ażdej jest osoby Zmee ezależe to tae, że: F ( x x ) F( x ) F ( x ),, = Jeśl wszyste wetoy są cągłe dystybuata óżczowala, to gęstość: = x x ( x,, x ) F Ops zmeych losowych cągłych dysetych moża ujedolć z pomocą delt Daca 33 34

18 III5 Rozłady wauowe bzegowe Zdeujmy odpowed pobablstyczego pawdopodobeństwa P P = P wauowego, czyl ( A B) F x, x,, x = P = 4 43 ustaloe ( ξ x, ξ = x,, ξ x ) ( AB) ( B), jest to ozład wauowy: Jeśl weźmemy zmee cetowae ( X, Y), to ozład wauowy dla X = X będze ozładem putów a postej X X = (będze omował, jae jest pawdopodobeństwo wystąpea poszczególych watośc Y pzy ustaloym X = X ) Dugą ategoą ozładów zwązaą ze zmeym welowymaowym są ozłady bzegowe: F ( x ) = P( ξ x, ξ +,, ξ +), + Jeśl weźmemy zmee cetowae ( X, Y) zobazujemy ozład pawdopodobeństwa jao gęstość putów w uładze współzędych, to ozłady bzegowe będze moża ozumeć: - dla X jao ozład putów zzutowaych a oś X, - dla Y jao ozład putów zzutowaych a oś Y Jao że zmee są cetowae, ch śede wyoszą zeo, węc chmua putów mus być mej węcej symetycza względem os W pzypadu ozładów tego odzaju dystybuata staje sę de acto dystybuatą jedowymaowej zmeej losowej pzybea jej watośc P P ( A B) ( B A) Pawdopodobeństwo wauowe speła astępujący zwąze: P = P P = P ( AB) ( B) ( AB) ( A) P ( A B) P = ( B A) P( B) P ( A) 35 36

19 III6 Hstogam, wygładzae gęstośc pawdopodobeństwa Oczywśce zamaa postac schodowej a cągłą może być pzepowadzaa e tylo dla dystybuat ale dla gęstośc pawdopodobeństwa, jeda może to być tudejsze Hstogam powstaje gdy podzelmy zbó watośc zmeej a pzedzały, tóym pzypoządujemy częstośc wystąpeń (dae empycze) Wyeślamy go w postac słupowej a astępe pzepowadzamy aposymację zywej Pawdopodobeństwo statystycze moża uzysać, posługując sę wystaczająco dużą póbą Jeśl daych empyczych jest mało, aposymacja a podstawe hstogamu jest epewa, co jest badzo łopotlwe techcze III Uśedae, chaateysty ozładów III Uśedae statystycze Uśedaem azywamy bae śedej statystyczej (zwaej też adzeją matematyczą ): ξ = xdf( x) = x ( x) dx ( ( x) dx= ) { gest pawd Ogóle zecz boąc dla ucj od zmeej losowej ξ: ( ) g( x) ( x) g ξ = dx W pzypadu pawdopodobeństwa ozumaego statystycze, śeda watość ucj losowej to po postu śeda aytmetycza III Chaateysty ozładów W zagadeach patyczych metody pobablstycze mają dwe typowe gupy zastosowań: - zamy omacje o wszystch elemetach populacj, - zamy omacje o pewej lczbe elemetów populacj a ch podstawe chcemy wosować o ogóle Uogólae omacj a puty, o tóych e mamy daych to osoby poblem statystyczy Jaą watość może meć uogólee? Jae jest pawdopodobeństwo tego, że póba jest epezetatywa? Pełą omację o zmeej mamy, zając ucję jej ozładu Uzysae tej omacj z daych e zawsze sę udaje, zwłaszcza gdy posługujemy sę póbam to być może eepezetatywym Poza tym cała ucja ozładu zaweać może móstwo daych a dużym loścam daych tudo jest opeować Dlatego też wpowadza sę uposzczoe chaateysty ozładów, tóym opeować łatwej Najczęścej są to momety statystycze watyle 37 38

20 Momety Momety olejych zędów () ucj zmeej losowej (X), to śede watośc jej olejych potęg ( X ) Zając esończee wele mometów możemy ścśle oeślć ucję Zwyle jeda używamy ch tylo lu, bowem już oe pozwalają a zalezee pewych właścwośc ozładu Najstotejszy jest pewszy momet, czyl watość śeda:x Pzy jego pomocy ostuujemy momety cetale: ( X X) Często zajmujemy sę zmeym będącym odchyleam od watośc śedej Ich śeda wyos zeo (są cetowae ), węc ch momet cetaly wygląda dużo poścej Waacja to dug momet cetaly: ( X X) Jej pewaste ( X X) azywamy dyspesją Duża dyspesja ozacza ozmyce pawdopodobeństwa a mała socetowae Często spotya sę óweż momety tzec czwaty, obazujące stutuę ucj ozładu Np wadomo, że dla ucj symetyczej względem śedej, momety epazyste zeują sę Kwatyle Kwatyl podaje, pożej jaej zmeej losowej meśc sę jaś pocet pzypadów Np watyl,5 to medaa (lczba, pożej tóej meśc sę połowa pzypadów) III3 Uśedae momety zmeych welowymaowych, Uśedae zmeych welowymaowych Gdy mamy welowymaową ucję gęstośc pawdopodobeństwa: ( x,, x ), to śeda watość jaejś ucj welowymaowej G ( x,, x ) wyos oczywśce:,, = dx dx ( x x ) G( x,, x ) ( x,, x ) G Jeśl ucja G ( x,, x ) ta apawdę zależy tylo od etóych x, to zaczy, że tylo la z szeegu całe dotyczy loczyu ( x,, x) ( x x ) (pozostałe są typu ( x ) dx = ) Fatycze mamy G,, węc uśedae po ozładze bzegowym Opeacja uśedaa ombacj lowej zmeych losowych (oczywśce po odpowedm ozładze bzegowym) jest opeacją lową: λ x + + µ µ x = λx x Momety zmeych welowymaowych Jeśl mamy weto: X,, X, to mometem azywamy: X α α X, a mometem cetalym: ( X X ) ( ) α X X, atomast zędem mometu: α = α + α + + α α 39 4

21 Koelacja, pzestzeń pseudohlbetowsa Szczególą olę gają momety cetale zędu dugego, czyl oelacje: ( X X )( X X ) Macez, =,, to macez oelacyja Omawając właścwośc oelacj załadać będzemy, że momety są cetowae (watośc śede wyoszą ) Jeśl weźmemy zbó zmeych losowych X,, X,, możemy stwozyć z ch pzestzeń pseudohlbetowsą, wpowadzając loczy salay w postac oelacj ( X X = XX( X, X) dxdx ) oaz omę w postac X (waacj) lub X (dyspesj) Pzestzeń taa e speła wszystch wauów pzestze Hlbeta, ale am to pzeszadzać e będze Jeśl zmee X,X są ezależe, to ch oelacja wyos zeo (pamętamy, że zmee są z założea scetowae): ( X, X ) dx dx = X X = XX = XX Odpowada to otogoalośc wetoów pzestze Hlbeta Na odwót ta być e mus! Welośc esoelowae e muszą być ezależe! Jeda dla często używaych ucj Gaussa podoba własość występuje III3 Regesja III3 Pojęce egesj Wyobaźmy sobe, że mamy cąg zmeych losowych: X X,, X, możemy twozyć ch ombacje Wyóżjmy jedą ze zmeych: X Ma oa pewą watość waacj Pojawa sę pytae, czy wedza a temat lu zmeych daje omacje o ych Pzypuszczamy, że steje jaś zwąze typu: = ϕ ( X,, X ) R, [ X ϕ ( X,, X )] = R X + ϕ ( X,, ) - ucja detemstycza, X R - dodate losowy (waacja esztowa) Jeśl R <, to wyozystae taego zwązu zmejsza waację X wyjścowej zmeej X Tae zmejszae waacj azywa sę zwyle egesją Na ogół ucj ϕ poszuuje sę w jachś odzach ucj elemetaych, tóe mogą sę do tego adawać Często są to ucje lowe Mówmy wtedy o egesj lowej W tam pzypadu: ϕ ( X) = λx poblem egesj polega a zalezeu tach by waacja esztowa R była ajmejsza λ, Dla zmeych ecetowaych: X X = X X 4 4

22 III3 Regesja lowa dla dwóch zmeych Jeśl mamy zbó watośc pomaowych ( X, Y) chcemy móc wyzaczać Y w zależośc od X z doładoścą do błędu R, to załadamy, że: Y = ax + b+ R mmalzujemy: R [ Y b ax ] = Możemy pzesuąć zależość (scetować) szuać tylo paametu a : [ Y ax] = Y ayx + a X Różczujemy po a (poszuwae estemum): a [ Y ax] = YX + ax pzyówujemy do : YX + ax = YX a= X Zauważmy, że podstawee taego a ozacza: co moża pzeształcć astępująco: R YX = Y XY + X X YX R = Y X, ( YX) ( YX) ( YX) X = Y = Y = Y ( ) X X Y 3 - współczy oelacj lowej, jest maą mocy zwązu lowego ( = ozacza zwąze detemstyczy) Możemy go taże zdeować jao: R = (współczy oelacj welootej) Y Geometycze moża postzegać go jao cosus mędzy ( X, Y) ozumaym jao wetoy X, Powyższa ówość jest, ścśle zecz boąc, pobablstycza, jeda w patyce jest to tożsamość Jeśl pzedstawmy sytuację gacze, w uładze zmeych ( X, Y) aosząc puty obazujące pawdopodobeństwa, gęstość egesja lowa ozaczać będze wybó postej ajlepej aposymującej chmuę putów Uważajmy, by e mylć egesj z ozładem wauowym! O postej e decyduje ozład putów leżących a ej, ale ozład wszystch putów! Zauważmy, że optymala zależość ozacza: XR =, co jest zozumałe, gdy wząć pod uwagę, że put postej, położoy ajblżej putu spoza ej, leży a pzecęcu postej postej do ej postopadłej, pzechodzącej pzez put z zewątz Podobe waacja esztowa ma być otogoala do zmeej 43 44

23 III33 Regesja dla zmeej welowymaowej W pzypadu zmeej welowymaowej: [ X, X,, ], moża wyóżć X zapsać: X = λ X + R = Dobeamy odpowede λ otzymujemy: R X ( ) = W wypadu optymalym R jest esoelowae z dowolym (weto łączący put X z ajblższym mu putem a powezch jest X X zmeych a ch ombacje) W uładze zmeych otogoalych [ Z,, Z ] możemy zapsać: X = X Z Z + R = Czasam wato jest zomalzować watośc ucj pzez watość waacj Powstaje wtedy odpowed wesoa: z ma waację ówą X X z = Zmea ( X X) Czasem pzepowadzamy opeację zmay zmeych p zmaę sal a logaytmczą, tóa upaszcza zagadee (p oazuje sę, że w jaejś sal moża pzepowadzć aposymację lową) postopadły do powezch): X λ X X =, =,,, = Stąd moża zaleźć λ : X Xλ = X X, λ - elemet macezy owaacyjej, X X - owaacja (oelacja pzy bau uomowaa do ) R Rozwązując powyższy uład ówań otzymujemy powezchę ajlepej aposymującą zbó Jest o szczególe posty pzy bau oelacj zmeych jest day wzoem: X X λ = X X - wtedy macez oelacyja jest dagoala λ Ne zawsze dostajemy zmee losowe esoelowae Zdaza sę jeda, że moża wato pzepowadzć ch otogoalzację 3 (zamaę 3 Otogoalzacja Hlbeta Schmdta: Bezemy weto v Bezemy weto v Szuamy ombacj v v, otogoalej do v 3 Bezemy weto v 3 etc 45 46

24 IV Elemety teo pocesów stochastyczych IV Poces stochastyczy decje tepetacje Poces stochastyczy (losowy) (ucja stochastycza od jedej zmeej) może być deoway óże Natuala tepetacja: Poces stochastyczy to odza ucj zależych od zmeej (często czasu -t) paametu losowego (C): ϕ ( t,c) Jeśl chodz o t, będą as teesowały dwa pzypad: - ucja oeśloa a pzedzale: a t b, - ucja oeśloa a całej os C ależy ozumeć jao zmeą losową o pewej oeśloej dystybuace Każda ealzacja (ucja z odzy ϕ ( t,c) ) odpowada oetej watośc C Pzyład: Pzebeg zma tempeatuy w styczu ad jamś putem w cągu 3 lat Mamy 3 pzebegów ażdy z ch może być uważay za jedą z ealzacj Ne musmy meć wyażea aaltyczego oeślającego ϕ ( t,c) ; zajomość wszystch pzebegów wystacza Możemy ją tatować jao omplet daych lub póbę Duga decja polega a uogóleu pojęca wetoa losowego (cągu watośc o wspólym ozładze pawdopodobeństwa) Mówmy, że poces stochastyczy ϕ ( t,c) to ta, że dla dowolego, dowole lczego cągu putów t [ t,,t ], dla dowolego wetoa [ ϕ ( t ),, ϕ( t )] zamy ozład pawdopodobeństwa ( szeeg czasowy ) Poces losowy e jest zmeą losową zależą od czasu! Weźmy dwa pzebeg ozpatzmy poces losowy pzez e lustoway Nech ażdy pzebeg zachodz z pewym pawdopodobeństwem Może steć óweż zmea losowa, pzyjmująca watośc poazywae pzez pzebeg Możemy jeda ozpatywać óweż poces losowy opsyway astępującym dwoma pzebegam: Odpowadająca mu zmea losowa jest detycza ja w popzedm wypadu Poces losowy twozy zmeą losową zależą od czasu e odwote! Poces losowy cągły to uogólee a wetoy o współzędych twozących cotuum W patyce zawsze mamy sończoy cąg daych a węc weto losowy dysety Pocesy losowe są a ogół egulae możemy wyoywać a ch opeacje óżczowaa etc Poces geeuje odzę ucjoałów W szczególośc możemy b a ozpatywać cał: ( t,c) ϕ dt IV Chaateysty ozładów pawdopodobeństwa dla pocesów losowych 47 48

25 IV Uśedae Poeważ poces zależy od paametu losowego C (o zaym ozładze), możemy wpowadzć uśedae ϕ ( t) - śeda po ealzacjach (p śed pzebeg tempeatuy w styczu), oczywśce e jest już ucją losową W patyce możemy meć poblem z ustaleem ozładu pawdopodobeństwa (p w pzypadu 3 mesęczych pzebegów tudo jest ażdemu pzypsać jaeś pawdopodobeństwo) Moża atomast wząć śedą aytmetyczą Zamast węc posługwać sę pełym ozładem, zwacamy sę u paametom, tóe łatwej uzysać (p mometom) Wpowadźmy ułatwee ech poces będze cetoway: ( t) ϕ( t) ψ( t), ( t) = ϕ = ψ Poza śedą moża ozpatywać momet dug waację IV Fucja oelacyja Podobe ja dla welowymaowej zmeej losowej, dla pocesu losowego ozpatujemy momety wążące watośc pocesu w óżych putach czasowych W szczególośc teesujący jest momet dugego zędu a węc ucja (auto)oelacyja: α α ϕ ( t ) ϕ( t ) = K( t ), (ogóle: ( t ) ϕ ( t ) = K( t,, ),t ϕ t ) tóa epezetuje owaację mędzy ϕ ( t ) ϕ ( t ), jest symetycza ze względu a t t oaz dodato oeśloa jao jądo opeatoa całowego Fucja oelacyja zomalzowaa ma postać: ( t, t ) ϕ( t) ϕ( t) ( t ) ϕ( t ) R = = ϕ K K( t, t) ( t, t ) K( t, t ) Fucja oelacyja obazuje zwąze pomędzy dwoma olejym putam Jeśl współczy oelacj wyos, to zwąze jest lowy Jeśl, stosując odpowede podstawee lowe, zamemy uład współzędych a otogoaly, macez oelacyja będze dagoala Zaweać będze tylo welośc dodate (waacja), węc będze dodato oeśloa Dodato oeśloa będze taże opsywaa pzez ą oma wadatowa ( K( t, t) ψ ( t) ψ( t) dtdt ) b b a a Ta węc macez oelacyja jest dodato oeśloa jao jądo opeatoa całowego: ( t t ) ( t ) b a K, ψ dt Fucje oelacyje są chaateystyam często używaym w patyce Pojawa sę poblem aposymacj pomaów pzy pomocy jachś postych ucj Tzeba pamętać, by ucja aposymująca była dodato oeśloa 49 5

26 IV3 Fucje stutuale Iym chaateystyam opatym o momety dugego zędu są ucje stutuale Ich postać ogóla to: ( t t ) [ ϕ ( t ) ( t )] S, ϕ = Najpostsza ucja stutuala to: [ ϕ( t ) ϕ( )] - waacja óżcy t ucj w óżych chwlach Fucja stutuala dugego zędu daje sę wyazć pzez ucje oelacyje Nosą tyle samo omacj, węc odzaj chaateysty moża wybać 5 IV3 Repezetacja pocesu losowego w postac szeegu IV3 Rozwęce pocesu w szeeg Możemy w opse pocesu losowego posługwać sę bazą w pzestze ucj oeśloych a odcu w jamś sese aposymować ucje oaz szuać pzedstawea pocesu w postac szeegu ucj bazowych: ϕ ( t) λe ( ) 5 = = t λ - zmee losowe, e ( t) - zwyłe ucje od czasu Teoetycze możlwe jest taże postępowae odwote pzyjęce λ jao lczb oaz e ( t) jao pocesów stochastyczych, my sę tym jeda e będzemy zajmować Szuać ajlepszego ozwęca moża, stosując ozmate ytea Moża a pzyład dooać astępującego podzału: ϕ ( t) = λ e( t) + Rt ( ) = λ e( t) - sończoy szeeg, = R( t) - eszta, szuać taego ozładu, aby śeda waacj dla wszystch czasów b była mmala: ( t R ) dt = R ( t) a b m dt Pzypade, w tóym współczy ( λλ λ δ = ) jest szczególy Moża wtedy apsać: ( t) = λe( t) λ λ ϕ( t) = λ λe( t) ϕ // = w te sposób moża dostać λ a = λ są paam esoelowae ( t) = λe( t) λ λ e( t) λ ϕ = Zwyle jeda dostajemy ozład w jaejś baze do ej dobeać musmy współczy =

27 IV3 Rozwęce aocze Aby λ były paam esoelowae tzeba odpowedo dobać ucje bazy Odpoweda baza e zapewa jeda od azu bau oelacj Czy moża dla wybaego pocesu z góy wybać dobą bazę? Taą ozystą sytuację ba oelacj paowej współczyów otogoalość ucj bazowych melbyśmy w pzypadu ozwęca aoczego Załóżmy, że ucje bazowe są otogoale: = e( t) e( t) b δ dt a Weźmy waację pocesu uśedoą po pzedzale: b ( t t) dt = ϕ ( t ) b K, dt = λ a a ϕ ( t) - śeda po ealzacjach, b a ϕ ( t) dt - śeda po czase Śeda waacja jest, ja wdać, sumą waacj sładowych atualego ozładu (aoczego) Zwyle umeujemy λ ta, aby λ > > λ λ Fucja autooelacyja: K( t, t ) = λ e( t ) e( t ) = λ e( t) e( t) λ Tego odzaju ozwęce uzysuje sę z ucj własych opeatoa całowego z jądem K (to jest właśe zespół empyczych, atualych ucj bazowych dla ozwęca aoczego): λ e b ( t) = K( t, t' ) e( t' ) dt' a λ - watość własa opeatoa całowego (szczegóły w Uzupełeach dygesjach) Powyższa pocedua to uogólee spowadzea macezy oelacyjej a ose włase Moża poazać, że gdy cąg jest esończoy, dyspesje λ 4 IV33 Posługwae sę ozwęcem Obcęty szeeg jest pewym pzyblżeem pocesu a opsuje go sończoy cąg współczyów Podając je pzy zaych ucjach bazowych łatwo oeślć ealzację Na ogół ucje bazowe mają chaate oscylacyjy, węc mogą chaateyzować sładowe o óżych salach Waacja eszty (obcętych wyazów) opsuje błąd Często -3 pewsze wyazy załatwają 8% waacj całowtej W patyce zamast pocesu cągłego mamy weto losowy a ucje bazowe tzeba zaleźć, ozwązują zagadee włase dla opeatoa całowego 4 Zbeżość stochastycza: X P( X X ) X Zachodz wszędze poza zboam meze pobablstyczej ówej 53 54

28 Pzyład: Pzebeg zma tempeatuy w styczu ad jamś putem w cągu 3 lat T - tempeatua -tego da w -tym ou Uśedae po latach to sumowae po Fucja oelacyja jest tu symetycza wygląda astępująco: T T = K Zagadee włase: Kpe = λp ep, =,, N (N- lczba pomaów w mesącu) IV4 Szumy Wśód pocesów losowych szczególą ole gają pocesy zwae szumam Szum to poces, w tóym ucja oelacyja ma postać: K ( t, t' ) At ( ) ( t t' ) = δ Waacja szumu jest patycze esończoa, bo δ ( ) jest weloścą eoeśloą Ogóle możemy oeślć szum jao poces, w tóym dowole blse puty e wyazują oelacj p p IV5 Pocesy stacjoae jedoode IV5 Poces stacjoay O pocese mówmy, że jest stacjoay, jeśl jego własośc stochastycze są ezmecze ze względu a pzesuęce wzdłuż os czasowej: ( t ) =ϕ( t+ a) ϕ W teo żąda sę ezmeczośc wszystch cech W patyce żąda sę jej dla cech atuale badaych (p wybaych mometów) W szczególośc: ϕ ( t ) = cost Róweż waacja ja wszyste ucje jedoputowe są stałe Taże ucja oelacyja (symetycza ze względu a zamaę putów) e zależy od pzesuęca: K ( t, t' ) = ( t) ϕ( t) = ϕ( ) ϕ( t t' ) = K( t t' ) ϕ W szczególośc stacjoay szum (o atężeu ezależym od czasu), zway szumem bałym, ma ucję oelacyją: K( t, t' ) A ( t t' ) = δ Poces jedoody ma te same cechy co stacjoay, tylo że zależy od zmeej pzestzeej zamast czasowej Własość jedoodośc tudo jest spawdzć dołade Badamy węc jedoodość chaateysty Oczeujemy, że poces jest stacjoay dla pzyajmej lu pewszych mometów 55 56

29 IV5 Pocesy egodycze W pzypadu pocesów stacjoaych zado możemy sostuować odzę ealzacj Najczęścej mamy z m do czyea, gdy mamy tylo jedą ealzację (p długą seę pomaów welośc) Posługujemy sę wtedy pojęcem pocesu egodyczego, w tóym uśedae po ealzacjach moża zastąpć uśedaem po czase: T t+ g ( t) = lm g( t' ) dt' T T T t Zależość od czasu jest pozoa, gdyż w pocese stacjoaym chaateysty statystycze e zależą od czasu Ideę egodyczośc zlustować moża astępująco: IV53 Rozwęce oueowse jao atuale ozwęce pocesu stacjoaego Chcelbyśmy zaleźć dla pocesów stacjoaych ozwęce podobe do ozwęca aoczego dla pocesu a sończoym odcu Tym azem oś czasu jest esończoa, węc zamast ozwęca w postac szeegu dostaemy ozwęce a cotuum ucj: ( t) A( λ) e( λ t) =, dλ A ( λ) - odza pocesów losowych zależych od λ Żądać będzemy, aby A ( λ) były szumam paametu λ (były esoelowae), oaz by ucje bazowe były otogoale: e ( λ, t) e( λ', t) dt = δ( λ λ' ) Pzebeg ucj w olejych oesach są zblżoe, e zależą od zdazeń w sąsedch oesach Możemy węc wydzelć z cągu obsewacj oleje oesy jao oleje ealzacje Ne będzemy dowodzć twedzea egodyczego, ale podamy pzemawające za jego pawdzwoścą pzesła: Fucja oelacyja: { ' K t t = K ( τ ), τ τ co poazuje sę dla śedej (watość śeda pocesu wyos T t+ T z założea): ( t' ) dt' T T t Czyl: co ajmej dla watośc śedej mamy egodyczość Dla wyższych mometów żądamy powyższego dla dalszych ucj oelacyjych W patyce jeśl z oblczeń wya, że dla lu pzypadów K ( τ) jest spełoe, pzyjmuje sę, że poces jest egodyczy τ 57 Spełee powyższych wauów wymaga posługwaa sę dystybucjam a e zwyłym ucjam Oazuje sę, że w pzypadu pocesu stacjoaego ozwęcem atualym jest ozwęce oueowse Możemy węc pzyjąć: ( t) A( ) 58 = λ λ t e dλ, dzę czemu wemy z góy, że użyte tu ucje bazowe otogoale: δ ( λ) e λt t e λ są = dt ( jest tasomatą Fouea dla δ Daca a δ - π tasomatą )

30 Poażemy teaz, że tasomata Fouea zeczywśce speła waue bau oelacj pomędzy współczyam Aλ ( ) 5 : A A π π ( λ) = ( t) ( λ' ) = ( t' ) A ~ 4π e e λt dt λ' t' dt' A ~ ~ λt λ' t' 6 e e dtdt' 4π λ ' τ ( λ λ ') t K( τ) e e [ τ= t' t] ( λ) A( λ' ) = ( t) ( t' ) λτ ' ( λ λ' ) t e dτ π π e dt F( K( τ) ) δ( λ λ ') λτ ' ( λ λ ') t ( λ) A( λ' ) = ( τ) τ ( τ) K e e d dt = K I ta właśe otzymalśmy to, czego chcelśmy doweść ba ~ oelacj współczyów: A ( λ) A( λ' ) =S( λ) δ( λ λ' ) To ozacza, że dla pocesów stacjoaych tasomata jest epezetacją aoczą 5 Mamy tu do czyea ze zmeym zespoloym patz: Uzupełea dygesje 6 λt λ' t' ( λ' t' λt) ( λ' t ' λ' t+ λ ' t λt) λ' ( t' t) ( λ ' λ) t λτ ' ( λ ' λ)t e e = e = e = e e = e e 59 IV54 Aalza oueowsa pocesu stacjoaego Ustallśmy już, że dla pocesów stacjoaych atualą epezetacją jest tasomata Fouea: ( t) A( ) 6 = λ λ t e dλ Fucję oelacyją moża węc pzedstawć jao: K( τ) A ( λ) ( τ =t t' ) W szczególośc: K( ) ( t) = A ( ) = λdλ, = e λτ dλ czyl opsywaa tym wyażeem śeda watość waacj dla całej os czasowej jest sumą otualą waacj atężeń szumu twozących ozwęce współczyów Zauważmy, że aalogczy wy otzymalśmy wcześej dla pocesów a odcu (tam melśmy zwyczają sumę) A ( λ) azywamy wdmem mocy pocesu losowego (lczymy je, gdy mamy jaś pzebeg czasowy, po tóym sądzmy, że aalzoway pzez as poces jest stacjoay) Oczywśce tu e zależy oo od czasu Poazuje wład ompoetów oueowsch do waacj pocesu Pozwala to spojzeć a poces z ego putu wdzea Na pzyład umożlwa czasem wyodębee stałego elemetu, a tóy aładają sę lutuacje (w meteoolog mamy p beg dobowe, ocze, jedeastolete, a tóe aładają sę e pocesy) Jeśl oes ompoety jest bls czasow pomau, to pawdopodobe jest o twoem matematyczym O le e zamy zyczych pzyczy obecośc taego słada, to e możemy uważać go za waygody Badzo długoalowe ompoety są tudoodóżale od tedu lowego zwyle staamy sę usuąć je pzed aalzą daych Wdmo mocy jest zacze badzej czytele ż wdmo samego λt pocesu; A( λ ) e, tóe właścwe e ese teesujących omacj

31 Jeśl badamy poces a dostatecze długch odcach czasowych, mamy do dyspozycj dużą gupę putów twozących pay t, t W tej gupe możemy polczyć śedą watość loczyu ( t) ( t' ) = K( t, t' ) spawdzć, czy pzy bau óżych gup dostaemy podobą postać ucj oelacyjej czy dostatecze szybo dąży oa do zea Jeśl mamy wystaczająco dług czas pomaów (NT), to możemy podzelć go a cąg odców o tej samej długośc (T), wcąż zacze węszych ż zasęg ucj autooelacyjej Jeśl polczymy wdmo oueowse taego pzebegu: A b a b N t + T λt e NT NT a = π t ( λ ) = λτ ( t) e dt = ( t) ( t) π λτ e dt - pzyblża stutuę pzebegu, teoetycze a całej os, N t + T λt NT π = t ( t) e dt - śeda suma całe po odcach W tam wypadu Nasze N odców tatujemy jao oleje ealzacje pocesu możemy stosować omalą poceduę lczea wdma (dla ażdego odca osobo lczymy tasomatę a potem uśedamy) Jest to pocedua stosowaa w patyce Oczywśce w zeczywstośc e mamy gdy daych z całej os czasowej, węc lczymy cał a sończoych odcach W pzypadu pocesów jedoodych czy stacjoaych dołada loalzacja czasowa pzestzea pocesu e ma zaczea dt IV6 Pocesy estacjoae Własośc pocesów stacjoaych umożlwają pogozowae ch własośc statystyczych Zbadawszy jedą ealzację, możemy meć adzeję, że pzy bau adyalych zma, oleja będze pzebegać podobe Często jeda zdaza sę, że pzebeg e jest stacjoay; a pzyład watośc oscylują woół jaegoś pzebegu osącego (p pzebeg oczy, a tóy aładają sę pzebeg dobowe pzypadowe) Z taego pzebegu możemy staać sę elmować ompoetę detemstyczą Może sę oazać, że pozostała eszta będze mała cechy stacjoaośc Jeśl ted jest lowy, możemy dotować do ego jaąś zależość, posługując sę metodą ajmejszych wadatów Częstość Nyqvsta to masymala częstość mogąca pojawć sę w wdme odpowada oa alom o częstośc ówej połowe częstośc póbowaa (węszej częstośc po postu e moża zaobsewować) Jeśl chcemy badać sygał, w tóym pojawają sę wyższe sładowe, powśmy zastosować obcający je lt aczej aalza e będze waygoda 6 6

32 IV7 Pola losowe IV7 Pola losowe Dotychczas mówlśmy o zmeych jedowymaowych pocesy zależały od jedej zmeej (czasu) Jeda wszyste asze ozważaa pzeoszą sę a pocesy o węszej lczbe zmeych (wystaczy zameć cał a cał weloote a óżcz zupełe a cząstowe) Mówmy wówczas o polach losowych Z polam losowym mamy do czyea a pzyład w pzypadu poblemów lmatologczych (są to zagadea a pzedzałach sończoych, oleje ealzacje pola odpowadają olejym temom pomaowym) Czasem moża pzyjąć, że właścwośc statystycze dla mometów dwuputowych zależą od odległośc mędzy putam a e ch pzesuęca Pole jest wtedy zotopowe moża całować po objętośc, zamast po olejych współzędych W welowymaowej pzestze (wetoowej) watośc agumetów mogą wchodzć w gę podoelacje oelacje mędzy óżym ompoetam wetoa Ta samo moża wpowadzć ocepcję otogoalośc (złożyć ją z otogoalośc atezjańsej ucyjej) Zmea sę epezetacje, ale wszyste twedzea pozostają te same co w pzestze Hlbeta W aalze pół losowych dużą olę odgywają empycze ucje otogoale IV7 Pola tubulecyje Tudym zagadeem jest aalza pola tubulecyjego, zwłaszcza gdy pzepływ główy jest estacjoay Zagadeem tym zajmował sę Kołmogoow Pzepowadzł o aalzę wymaową dla tubulecj stacjoaej (zotopowej, jedoodej) Jej wdmo zależy od lczby alowej welośc dyssypacj (stume eeg pompowaej odbeaej pzez dyssypację lepą, czyl w sóce od współczya lepośc) Załadając że tubulecje mają stutuę samopodobą (ezależą od sal), moża wyozystać aalzę oueowsą do wyażea eeg pzez lepość dyssypację Jao że dyssypacja zachodz w małej sal, moża wyóżć tzy pzedzały wdma eeg: - eeg pompowaej, - eeg dyssypowaej, - eeg pzeazywaej (pzedzał ecyjy) Zależość wymaowa e powa zaweać lepośc Z aalzy 5 3 wya: A ( λ ) = E( ) ~, jest to ta zwae wdmo 5/

33 V Aalza alowa atala V Aalza alowa ( wavelet ) V Zjawsa aalzowae metodą alową Metodę alową stosujemy w odeseu do zespołów zjaws podobych co do wyglądu dyam ale o óżych ozmaach, mejscach lub czasach stea Pzyład: Komó owecyje w atmoseze otwate zamęte Załóżmy, że mamy poces postac: V Fal Fal (wavelets) to odza ucj jedowymaowych (uogóleem ch jest posta), całowalych z wadatem Jeśl chcemy aalzować poces zachodzący w czase, deujemy zmeą: t a = b t a ψ a, b t = ψ ξ = ψ b ξ (a, b paamety), a ucja alowa to: ( ) ( ) W zależośc od a ucja alowa pzesuwa sę a os a w zależośc od b ozcąga, zachowując ształt Fucje powy być uomowae do, węc czasem deuje sę je jao: t a b ( t) = ψ( ξ) = b ψ ψa, b Iomacje a jego temat póbujemy uzysać, stosując lty (w szczególośc ajpostszy begącą śedą) Geeale lty mają postać: ( t) K( t τ) ϕτ ( ) ˆ ϕ = dτ Jeśl w pzebegu uyta jest stutua o ształce podobym do ształtu ltu, to sygał odltoway będze mał dużą watość Odpowedo dobeając lt do poszuwaego słada możemy dołade go wyłapać co do watośc loalzacj Właśe do tego odzaju aalzy stosuje sę al Jeśl zastosujemy te sam lt, zmeając a b, zloalzujemy stutuy o podobym ształce zajdujące sę óżych mejscach Współczy ozwęca pocesu dla poszczególych sładowych mają postać: A a, b = ψ a, b pzedzaly zmeosc ( t) ( t) dadb A a, b są węsze w tych loalzacjach a czasem b, w tóych stutuy są obece Fucje ψ ( ξ) mogą meć óże odzaje Na ogół stawa sę waue, by ta ucja mata mała śedą ówą : za za ( ξ) dξ = ψ, ( ξ) ξ = ψ d 65 66

34 V3 Pzyłady ale Fal Haa Fal Haa to ajstasza stutua alowa Jest oa dobze dopasowaa do stutu postoątych (zjaws zachodzących tylo w ścśle oeśloych obszaach) Taą stutuę ma a pzyład poma tempeatuy w chmuze (wewątz tempeatua jest jedooda a a ońcach chmuy zachodzą gwałtowe zmay) Fal Moleta Fal Moleta to ucje o postac susod modulowaych ucjam Gaussa: ψ ξ ξ ( ξ) ~ e e Fal gaussopochode Populae są óweż al geeowae pzez pochode ucj Gaussa p II pochoda, zwaa mexca hat : V4 Kostucja ale ówoległych W patyce zawsze mamy ułady dysete, ozpatuje sę węc al dla dysetych cągów a b j : ( ) t a =, b t bj ψ bj ψ a Paamety moża dobać ta, żeby oleje al ψ ( t) sę mjały Pzyład: Fucje o loczye (oscylacje apzemee o tej samej ampltudze) Dysety cąg ale ostuuje sę astępująco: t a~ t a~ ~ ψ = ψ ~, b b b epezetuje salę a a loalzację al - Pzyład: ala Haa Kostucja cągu otogoalego ale polega a pzesuwau al zeowej o w maę ja pzyjmuje oleje watośc atuale Fal są otogoale, jao że óżą sę od zea a óżych odcach Wdmo alowe ma postać ese pasów o ampltudach odpowadających salom ompoet loalzacjach odpowadających loalzacjom Jao wdmo ozumemy tu stutuę salową, wład óżych sal do sygału a,b 67 68

35 V Aalza atala V Zjawsa aalzowae metodą atalą Aalza atala pozwala a badae stutu samopodobych, aładających sę a sebe Pzyład: Chmuy owecyje sładające sę z mejszych chmue Pomysł atal wzął sę z aalzy dzwych bytów matematyczych (pewotym poblemem było mezee długośc gacy mosej dowolego aju jest oa óża w zależośc od sal) Pzyład: Kzywa??? jest óweż stutuą samopodobą Odce dzelmy a tzy jedaowe częśc sładamy z ch tójąt Podobe postępujemy z boam tójąta Podobe możemy postąpć dla powezch dwuwymaowej Otzymamy wtedy: ( ) ~ ln( ) N, lm = l 3 3 Dla stutuy tójwymaowej ( ) ~ ln( ) N, lm = 3 l Watośc ln lm l (wymaze podobeństwa) ( ) staową o wymaze w sese Hausdoa W pzypadu l atualej (p l bzegowej a mape), stałe popocjoalośc wążące N mogą sę zmeać waz ze salą Jeda w gacy zależość ma chaate potęgowy Byty, dla tóych wyma podobeństwa ma watość ułamową to atale Pzyład: Dywa Sepńsego Dywa Sepńsego powstaje astępująco: Ostatecze ostzymujemy zywą esończoej długośc V Wyma w sese Hausdoa, atale Wyobaźmy sobe zywą Ja polczyć jej długość? Twoam chaateystyczym dla pzestze (seam, postopadłoścaam) poywamy zbó Uwzględając poyce mmale, lczymy długość, z pomocą elemetów yjących Powtazamy opeację, posługując sę co az to mejszym elemetam Gacę cągu długośc uzajemy za długość zywej Zapszmy to schematycze: śedce se maleją:, lczba se możoa pzez ch śedce dąży do długośc zywej: ( ) L, a węc: ( ) ~ ln( ) N lm = l N Bezemy tójąt (o bou a wymaze ), dzelmy go a cztey tójąc wyzucamy śode Teaz ażdy tójąc ma bo = a, do poyca guy potzeba ch = 3 Podobe dzelmy ażdy eodzucoy tójąc I ta dalej Mamy tu do czyea z samopodobeństwem w tym sese, że powęszee -ote e zmea obazu Nestety e możemy powęszać o dowoly czy Za -tym podzałem a ln l3 ~, N ~ 3, a węc D = lm = [,] l l ( ) 69 7