Współczynnik korelacji rangowej badanie zależności między preferencjami

Transkrypt

1 Współczyk korelacj ragowej badae zależośc mędzy preferecjam Przemysław Grzegorzewsk Istytut Badań Systymowych PAN ul. Newelska Warszawa E-mal: pgrzeg@bspa.waw.pl

2 Pla referatu: Klasycze metody badaa korelacj ragowej Kłopoty z daym Itucjostycze zbory rozmyte Modelowae systemów preferecj Uogóloy współczyk korelacj ragowej Wosk Keruk dalszych badań Lteratura

3 Klasycze metody badaa korelacj ragowej Przykład 1 Chcemy zbadać czy steje zależość mędzy preferecjam dwóch osób odośe lteratury współczesej. W tym celu poproslśmy je o uszeregowae astępujących azwsk Paulo Coelho J.M. Coetzee Joste Gaarder Hele Feldg Imre Kertesz Terry Prachett Joae Rowlg Wsława Szymborska w porządku od ajbardzej ceoego do ajmej ceoego autora.

4 Klasycze metody badaa korelacj ragowej Nech X = { 1 K } ozacza zbór obektów które będą uporządkowae według systemu preferecj A oraz B. Mamy węc do czyea ze zborem par uporządkowaych A1 B1 K A B gdze A B ozaczają odpowedo rag przypsae obektow zgode z systemem preferecj A oraz B. Do ocey stopa korelacj mędzy systemem preferecj A oraz B moża posłużyć sę współczykem korelacj ragowej Spearmaa daym wzorem 6 r S = d gdze d A B ozacza różcę rag przypsaych obektow. = 1 =

5 Klasycze metody badaa korelacj ragowej Przykład 1 cąg dalszy Preferecje Jasa: Preferecje Małgos: 1. Coelho 1. Prachett 2. Gaarder 2. Rowlg 3. Szymborska 3. Feldg 4. Kertesz 5. Coetzee r S = Coetzee 5. Kertesz 6. Rowlg 6. Szymborska 7. Prachett 7. Coelho 8. Feldg 8. Gaarder

6 Kłopoty z daym Przykład 2 Preferecje Stasa: 1. Coelho 2. Gaarder 3. Szymborska 4. Kertesz 5. Coetzee 6. Rowlg 7. Prachett Feldg=? Preferecje Margaret: 1. Coelho 2. Coetzee Kertesz 3. Gaarder 4. Rowlg 5. Prachett 6. Feldg Szymborska=?

7 Itucjostycze zbory rozmyte Zborem rozmytym C w przestrze X azywamy zbór par uporządkowaych C { µ X } = : C gdze µ C : X [01] jest fukcją przyależośc przypsującą każdemu elemetow stopeń µ C jego przyależośc do zboru C. Zadeh 1965

8 Itucjostycze zbory rozmyte Itucjostyczym zborem rozmytym C w przestrze X azywamy zbór trójek uporządkowaych gdze µ ν : X [01] są fukcjam spełającym zależość C C Dla każdego elemetu lczba µ C wskazuje stopeń przyależośc tego elemetu do zboru C atomast lczba ν C wyraża stopeń eprzyależośc daego elemetu do zboru C. Ataassov 1986 C { µ ν X } = : C C µ + ν 1 C C X

9 Itucjostycze zbory rozmyte Welkość π C = 1 µ C νc azywaa tucjostyczym deksem tucjostyczego zboru rozmytego C wyraża stopeń eokreśloośc elemetu w sese jego przyależośc bądź eprzyależośc do tego zboru.

10 Modelowae systemów preferecj Systemy preferecj A B utożsamać będzemy z tucjostyczym zboram rozmytym A { µ ν X } B = { µ ν : X } = : A A oraz B B przy czym wartośc µ A oraz ν A wskazują w jakm stopu elemet jest odpowedo ajbardzej preferowaym oraz ajmej preferowaym elemetem ze zboru X zgode z systemem preferecj A podobe wartośc µ B oraz ν B wskazują w jakm stopu elemet jest odpowedo ajbardzej preferowaym oraz ajmej preferowaym elemetem ze zboru X zgode z systemem preferecj B.

11 Modelowae systemów preferecj Nech µ ν A A = = wa 1 ba 1 gdze w A ozacza lczbę elemetów spośród 1 K K zpewoścą gorszych od elemetu atomast b A jest lczbą elemetów spośród 1 K K z pewoścą lepszych od zgode z systemem preferecj A.

12 Modelowae systemów preferecj Podobe wb µ B = 1 bb ν B = 1 gdze w B ozacza lczbę elemetów spośród 1 K K z pewoścą gorszych od elemetu atomast b B jest lczbą elemetów spośród 1 K K z pewoścą lepszych od zgode z systemem preferecj B.

13 Modelowae systemów preferecj Uwaga Jeśl π A = 0 dla każdego X to fakt te ozacza że wszystkm elemetom ależącym do zboru X zostały adae rag według systemu preferecj A każdy z ch otrzymał ą ragę. Jeśl steje tak elemet X dla którego zachodz π A > 0 to ozacza że w porządku wygeerowaym zgode z systemem preferecj A występują elemety z ragam zwązaym lub elemety którym e adao rag. Waruek π A = 1 zachodz wtedy tylko wtedy gdy elemet e jest w systeme preferecj A porówywaly z żadym spośród elemetów 1 K K

14 Uogóloy współczyk korelacj ragowej Netrudo zauważyć że współczyk korelacj ragowej Spearmaa moża zapsać w postac r 6 S = d = 1 r S = 1 γ d A B gdze d A B ozacza pewą marę podobeństwa odległośc mędzy systemam preferecj A B atomast γ jest stałą zależą od lczośc próby.

15 Uogóloy współczyk korelacj ragowej Nech przy czym gdze { } { } m ma B A B A B A B A D D ν ν µ µ ν ν µ µ α α = = gdy gdy = + α = = + α = k k [ ] = α + α α + α + = S D D B A R

16 Uogóloy współczyk korelacj ragowej Lemat 1 Dla dowolych tucjostyczych zborów rozmytych A oraz B w przestrze X zachodz: R A B R B A S = S oraz R S A B 1

17 Uogóloy współczyk korelacj ragowej Lemat 2 Jeśl wszystke elemety zboru X = { 1 K } zostały jedozacze uporządkowae zgode z systemem preferecj A oraz B wówczas uogóloy współczyk korelacj ragowej R S jest rówoważy klasyczemu współczykow Spearmaa r S

18 Uogóloy współczyk korelacj ragowej Lemat 3 Jeśl każdemu elemetow ze zboru X = { 1 K } została adaa raga zgode z systemem preferecj A lub B wówczas R S A B = 1 wtedy tylko wtedy gdy systemy preferecj A B są w peł zgode R S A B = 1 wtedy tylko wtedy gdy systemy preferecj A B są w całkowce przecwe.

19 Uogóloy współczyk korelacj ragowej Lemat 4 Jeśl przyajmej jede z systemów preferecj A lub B jest całkowce eokreśloy tz. żademu z elemetów zboru X = K } e została adaa raga wówczas A B = 0 { 1 R S

20 Uogóloy współczyk korelacj ragowej Przykład 2 cąg dalszy Itucjostyczy zbór rozmyty odpowadający preferecjom lterackm Stasa ma postać A = 6 Coelho 7 3 Kertesz Coetzee Prachett Gaarder Rowlg 7 7 Feldg00 4 Szymborska 7 2 7

21 Uogóloy współczyk korelacj ragowej Itucjostyczy zbór rozmyty odpowadający preferecjom lterackm Margaret ma postać B = 6 Coelho Kertesz Coetzee Prachett Gaarder Rowlg Feldg0 7 Szymborska00 Po podstaweu do wzoru otrzymujemy R S =

22 Wosk Zapropooway współczyk korelacj ragowej pozwala efektywe wyzaczać stopeń keruek zależośc mędzy systemam preferecj róweż w przypadku braku ragowaa wszystkch badaych obektów. Współczyk te jest aturalym uogóleem klasyczego współczyka korelacj ragowej Spearmaa. Zapropooway współczyk korelacj ragowej ma teresujące własośc może być stosoway do aalzy korelacj mędzy tucjostyczym zboram rozmytym także poza kotekstem badaa zwązku mędzy preferecjam.

23 Keruk dalszych badań Uogólee współczyka korelacj Kedalla. Kostrukcja testów stotośc dla uogóloych współczyków korelacj ragowej Spearmaa Kedalla. Kostrukcja współczyków korelacj ragowej wykorzystujących formację a pror.

24 Lteratura Ataassov K Itutostc fuzzy sets Fuzzy Sets ad Systems Ataassov K Itutostc Fuzzy Sets: Theory ad Applcatos Physca-Verlag Gbbos J.D. Chakrabort S Noparametrc Statstcal Iferece Marcel Dekker Ic. Grzegorzewsk P Betwee tutostc fuzzy sets ad/or terval-valued fuzzy sets Based o the Hausdorff metrc Fuzzy Sets ad Systems w druku Grzegorzewsk P The Hammg dstace betwee tutostc fuzzy sets I: Proceedgs of the 10th IFSA World Cogress IFSA 2003 Istabul Turkey Jue 29 July pp Zadeh L.A Fuzzy sets Iform. ad Cotrol