Fizyka, technologia oraz modelowanie wzrostu kryształów

Transkrypt

1 Fzyka, techologa oaz modelowae wzostu kyształów Stasław Kukowsk Mchał Leszczyńsk Istytut Wysokch Cśeń PA 0-4 Waszawa, ul Sokołowska 9/37 tel: e-mal: Zbgew Żytkewcz Istytut Fzyk PA Waszawa, Al. Lotków 3/46 E-mal: Wykład godz./tydzeń wtoek Itedyscyplae Cetum Modelowaa UW Budyek Wydzału Geolog UW sala

2 Modelowae pocesów wzostu obaz mko Stasław Kukowsk Modelowae pocesów wzostu dwa obazy Modelowae - metody Modelowae - zagadea pocesy fzycze

3 Modelowae pocesów wzostu zagadea Modelowae w skal makoskopowej - obazowae pocesów taspotu podczas wzostu kyształów (masy, eeg pędu) - wyzaczae apężeń w stuktuach ejedoodych - wyzaczae własośc elektyczych układów elektoczych - wyzaczae własośc optyczych układów elektoczych Modelowae w skal atomowej - wyzaczae stuktuy mofolog kyształów - wyzaczae chaakteystyczych własośc eegetyczych dla staów ówowagowych - wyzaczae chaakteystyczych własośc eegetyczych dla pocesów ketyczych

4 Modelowae pocesów wzostu metody Modelowae w skal makoskopowej - metoda skończoej óżcy - metoda skończoej objętośc - metoda elemetu skończoego Modelowae w skal atomowej - metoda Mote Calo - metoda dyamk molekulaej - metody ab to - DFT

5 Metoda Mote Calo Okeślee pzestze zdazeń elemetaych Defcja zmeej losowej Wyzaczee ozkładu pawdopodobeństwa zmeej losowej Póbkowae ozkładu Wyzaczee własośc fzyczych

6 Metoda Mote Calo okeślee pzestze zdazeń Aksjomatycza defcja pawdopodobeństwa Pawdopodobeństwo - maa p, zdefowaa a zboze (algebze) zdazeń losowych {A, = 3 }, spełająca astępujące zależośc: p( ) = 0, p(e) = 0 p(a) p(a B) = p(a) + p(b) zdazea sę wykluczają tz. gdy A B = Pawdopodobeństwo zdazea waukowego, tz. zajśca zdazea A pod waukem że zaszło zdazee B jest ówe: p( A B) = p(a B) p(b)

7 Zmea losowa Załóżmy, że algeba zdazeń losowych A jest odwzoowywaa a fukcję o watoścach zeczywstych. Fukcję taką azywamy zmeą losową X : { A} R Jedocześe a algebze zdazeń losowych {A} okeśloe jest pawdopodobeństwo, tz. fukcja zeczywsta spełająca wauk defcj aksjomatyczej. p : { A} [ 0,] Każdej watośc zmeej losowej X moża pzypoządkować pawdopodobeństwo odpowadające sume pawdopodobeństw wykluczających sę zdazeń dla któych zmea losowa pzyjmuje watość X. Zależość pawdopodobeństwa p od watośc zmeej losowej azywamy ozkładem zmeej losowej.

8 Własośc ozkładów zmeej losowej dodato okeśloy uomoway P ( x) 0 P ( x ) = wyzaczay z pomaów p. ozkład eeg o szeokośc E P ( E ) k = k gdze k lczba cząstek o eeg w pzedzale E k,e k + E, całkowta lczba cząstek. Rozkłady cągłe dyskete Rozkład zmeej losowej azywamy dysketym, gdy jego zakes jest skończoy lub polczaly.

9 Zależośc pomędzy óżym ozkładam pawdopodobeństw

10 Póbkowae samplg Day jest geeato lczb losowych o ozkładze jedoodym: tz. p( ξ ) = f( ξ) dξ gdze f( ξ) = ξ [0,] 0 ξ [0,] ależy zaleźć poceduę geeacj lczb losowych o ozkładze pawdopodobeństwa daym fukcją ozkładu (póbkowae) ( Ω) p x k = f(x) dx Wauek zgodośc - wauek ówośc pawdopodobeństw: p( x > y) = p( > ) ξ ξ o x x Ω f (y)dy = ξ 0 d ξ x ξ = f(y) dy - Rozkład Loetza f( x) = π + x π x ξ + y dy = π x = ta ( ξ - ) -

11 Techk odzucaa Załóżmy że mamy fukcję ozkładu jedej zmeej okeśloą a pzedzale [0,] za pomocą skomplkowaej zależośc: f(x) 0 x Póbkowae tego ozkładu za pomocą techk odzucaa: geeacja lczby losowej ξ z pzedzału [0,] geeacja lczby losowej ξ z pzedzału [0,] spawdzamy wauek ξ < f( ξ ) x = ξ jeżel wauek e jest spełoy, wykoujemy poceduę geeacj lczby od początku Wada metody - dla pewych ozkładów pawdopodobeństw jest oa stosukowo mało efektywa.

12 Algoytm póbkowaa Metopolsa Algoytm te został skostuoway do wykoywaa symulacj własośc ówowagowych ceczy (Metopols et al, J. Chem. Phys. (953) 087 Rówowagowy ozkład pawdopodobeństwa dla układu o tempeatuze T opsay jest za pomocą zespołu kaoczego Gbbsa: (, q ) f p = Z exp - E ( p, q ) f ( q ) kt = Z exp - ( ) V q kt Własośc ozkładu: - ozkład okeśloy a pzestze badzo welu zmeych - ozkład posadający badzo oste maksmum w poblżu stau ówowag makoskopowej. Własośc te powodująże stadadowe metody jego póbkowaa są w zasadze emożlwe do wykoaa.

13 Algoytm póbkowaa Metopolsa - pocedua Wybeamy zespół zmeych początkowych q(t) Zajdujemy sta q'(t+) Oszacujemy pawdopodobeństwo zalezea sę w stae q'(t+) Używamy zasady ówowag szczegółowej p( q q') Q = = f(q) p( q' q) f(q') Jeżel Q > pzejśce zachodz E(q) - E(q') = exp - k T Jeżel Q < geeujemy lczbę losową ξ, gdy ξ < Q pzejśce óweż zachodz, jeżel ξ > Q to póbę odzucamy. Algoytm Metopolsa jest węc odzajem błądzea pzypadkowego w pzestze mkostaów.

14 Fukcja koelacj gęstośc faza gazowa cekła Faza gazowa Faza cekła

15 Fukcja koelacj gęstośc faza stała ższa gęstość Wyższa gęstość

16 Metoda dyamk molekulaej - umeycza aalza zachowaa układów dyamczych Fomalzm Hamltoa &q = H p &p = - H q gdze H(p,q) = p m + V ({ q }) Dla sł zachowawczych tz. dla potecjału ezależego od pędkośc moża wpowadzć zależość pomędzy pędem pędkoścą v = p /m: q& = v m v & = F F = - V( { q }) q Moża sfomułować w postac jedego ówaa: ({ q} ) && q = f = ({ q} ) F m

17 Oblczae potecjału sł mechaka kwatowa Poblem ozwązae ówaa Schödgea a fukcję falową Ψ(R,): h Ψ t ( R, ) = H Ψ(R, ) R oaz współzęde położeń jąde atomowych elektoów. Pzyblżee Boa-Oppehemea zaedbae uchu jąde pzy ozwązywau ówaa Schödgea. Ψ(R, ) = f ( R) ϕ ( ) R ϕr h t ( ) ( ) ϕ () = H ;R Waukem stosowaa metody DM jest aby długość fal de Bogle a uchu jąde była zacze mejsza żśeda odległość pomędzy atomam h πmk B T = Λ << v 3 = V 3 R

18 Potecjał Leada-Joesa: gazy szlachete Potecjał Leada- Joesa V( q j) q 4ε = σ j q σ 0 j 6 q q < > c c,00 0,75 0,50 0,5 0,00 V/ε -0,5-0,50-0,75 -,00 0,8,0,,4,6,8,0,,4,6,8 3,0 /σ

19 Azotopowy potecjał azotu Z ϑ B 0.0 0E+000 Θ ϕ B E-0 ϑ A Y ϕ A R Φ X E [J] -.00 E E E E R [m] Hatee-Fock appox. (va de Avod et al )

20 Azotopowy potecjał azotu CCSD(T) 4.00E-0 θ A =0 θ B =0 φ B =0 4.00E-0 θ A =90 θ B =0 φ B =0.00E-0 E(J).00E E+000 E(J) 0.00E R (m) -.00E R(m) 4.00E-0 θ A =90 θ B =90 φ B =0.50E-00 θ A =90 θ B =90 φ B =90.00E-0.00E-00 E(J) E(J) 0.00E E E E R(m) R(m) (P. Stąk - 006)

21 Oblczae sł ajbadzej pacochłoy elemet metody dyamk molekulaej Potecjał oddzaływaa V ( q) = V( R) = () H( ;R) ϕ R ϕ R () Substacje potecjały oddzaływań. Kyształy cecze pewastków gazów szlachetych - oddzaływaa dwucząstkowe Leada-Joesa (kótkozasęgowe). Kyształy cecze joowe oddzaływaa dwucząstkowe kulombowske (długozasęgowe) 3. Kyształy półpzewodków oddzaływaa tójcząstkowe (kótkozasęgowe) 4. Kyształy cecze metal postych oddzaływaa kolektywe (kótkozasęgowe)

22 Metody całkowaa ówań uchu Rozwązae poblemu zastąpee ewolucj cągłej ewolucją o skończoym pzedzale czasowym. Rówae óżczkowe & q& = f ( q) całkujemy w skończoej óżcy czasów ozaczając wyk w -tym koku czasowym pzez x. Dwa typy metod całkowaa ówań uchu:. Metody otwate metody pedyktoa Ozacza oa że watość x + jest wyzaczoa wyłącze pzez watośc w chwlach popzedch tz. x, x +, td. Metody zamkęte metody pedykto+koekto Ozacza oa że wyk y + jest wyzaczoy popzez zależość od x, x -, tz. jak popzedo, lecz astępe watość tę koyguje sę popzez użyce tej samej zależośc dla x +

23 Metody otwate: metoda Eulea Metoda Eulea polega a ozwęcu w szeeg Tayloa względem czasu dla położeń q oaz pędkośc v x = x + && x h + & x + h = x + v h + hf v = v + hv = v + + & hf gdze f = f(x ) Zachowae metody Eulea jest badzo złe jest to metoda względe mało stabla

24 Metody zamkęte: zmodyfkowaa metoda Eulea Pedykto y + = x + hv + h f ( ) * f = f + f ( y+ ) Koekto x + = x + hv + v v hf * h f * = y 4 [ f ( y ) f ( y )] = + f + = f( x + ) Wadą zmodyfkowaej metody Eulea jest oblczae sły dwukote w każdym koku czasowym co wymaga dużych mocy oblczeowych jest to jedak metoda badzej stabla

25 Metody otwate: metoda Veleta Metoda Veleta polega a użycu ozwęca względem czasu w dwu kokach czasowych ' x x = x hx + h x x ' '' 3 ''' h x gdze t 6 '' x x ' '' t 3 ''' x + = x + hx + h x + h x 3 ''' x 6 x 3 t Po dodau stoam otzymujemy ezależy od pędkośc algoytm Algoytm dla pędkośc x = x x + h f( x ) + v = ( x x ) + h Własośc metody Veleta - posty, szybk algoytm, dokłady do zędu O(h 4 ) powodująże jest to metoda badzo często stosowaa.

26 Oscylato hamoczy: poówae óżych metod całkowaa ówań uchu - położee Względe odchylee od ozwązaa dokładego Steps pe cycle a le koków został podzeloy jede okes dgań oscylatoa - h = T

27 Oscylato hamoczy: poówae óżych metod całkowaa ówań uchu dyft eeg Dopasowae metoda ajmejszych kwadatów eeg cześć popocjoalą do długośc koku azywamy dyftem Steps pe cycle a le koków został podzeloy jede okes dgań oscylatoa - h = T

28 Potecjały zależe od keuku hybydyzacja sp 3 Kzem potecjał oddzaływaa Stllgea-Webea: Oddzaływaa dwucząstkowe v ( j ) = ε f j σ f A B exp a 0 ( ) ( -p q = ) < a > a Założoo że głębokość potecjału jest okeśloa pzez paamet, atomast - jest wyzaczoa pzez żądae aby f ( /6 ) = 0. Oddzaływaa tójcząstkowe j k v 3 (, j, k ) = εf 3,, σ σ σ f 3 + (, j,k ) = h( j,k, θ jk ) h(,, θ ) + h(,, θ ) j jk jk k kj kj h (,, θ ) j k jk = λ exp j γ a + k γ cos θ a 0 jk + 3 j j < a k > a lub k < a > a

29 Potecjały Stllgea-Webea wybó paametów (S) Kzem potecjał oddzaływaa Stllgea-Webea: A = B = p = 4 q = 0 a =.80 λ =.0 γ =.0 Potecjał dwucząstkowy w fukcj odległośc zka dla =.8.

30 Faza cekła stała kzemu stablość Eega sec w fukcj gęstośc Śeda eega potecjala w fukcj tempeatuy Potecjał Stllgea-Webea dobze odtwaza stablość eegetyczą S.

31 Metody mechak kwatowej ab to metoda fukcjoału gęstość (DFT) Pocedua oblczeowa: ozwązae ówań mechak kwatowej w fomalzme fukcjoału gęstośc (DFT) albo w fomalzme fukcjoału gęstośc w modelu casego wązaa (DFTB) oblczee sł wykających z ozwązań kwatowo-mechaczych twedzee Hellmaa-Feymaa wykoae całkowaa ówań uchu oblczee welkośc uśedoych Używamy fomalzmu kaoczego Hamltoa współzędych pędów kaoczych kwatyzacja: pzypoządkowae zmeym kaoczym opeatoów położea pędu.

32 Hamltoa układu - pzypadek bezspowy (ajbadzej uposzczoy!) Hamltoa układu welu cząstek H jest opeatoem dzałającym a współzęde elektoowe oaz joowe R. Dla układów atomów, o ezbyt wysokch lczbach atomowych moża zaedbać efekty elatywstycze. Wówczas w ajpostszym pzypadku, hamltoa układu moża pzedstawć w astępującej postac : ) h H(R, ) = R α M + α<β Z R α α Zβe R α β α, α Zαe R α + h m < j e Fukcja falowa układu, zależy od współzędych jąde R, oaz elektoów Ψ = Ψ ( ),R =.. α =..' α Pzyblżee adabatycze Boa-Oppehemea: położea jąde są taktowae jako paamet (uch jąde: mechaka klasycza). j

33 Eega układu Eega ketycza: T ( ) e e e E E E T R E = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) φ φ φ φ = Ψ Ψ Ψ Ψ = m m m m m,..,,..,,.., m,.., T h h Eega oddzaływaa jąde: E - β α β α β α = R R e Z Z E

34 Eega układu - cd Eega oddzaływaa jądo - elekto : E -e ( ) e e e E E E T R E = Eega oddzaływaa elekto - elekto ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) α α α α α α φ φ φ φ = Ψ Ψ Ψ Ψ =, m m m m, e R e Z,..,,..,,.., R e Z,.., E ( ) ( ) ( ) ( ) K J,..,,..,,.., e,.., E j e e = Ψ Ψ Ψ Ψ = gdze J oaz K odpowadają eeg odpychaa ładuków oaz eeg koelacj wymay.

35 Rówae Koha-Shama Eegę układu, zajdującego sę w polu zewętzym V ext () moża pzedstawć jako fukcjoał gęstośc E[ρ], w stae ówowag jest okeśloa pzez wauek mmum, a pzestze fukcj falowych spełających wauek omalzacj, tz.: δe δφ [ ρ] * = ε gdze ε j jest możkem Lagage a wykającym z zasady omalzacj: j φ φ j = δ j Otzymujemy szeeg spzężoych, elowych ówań a fukcjęф j h m + V e e V e + ε xc + V ext φ = ε φ

36 Rówae Koha-Shama w baze Rówaa Koha-Shama są węc pzekształcoe a fomale ówaa a współczyk C j : χ j gdze: j H j ( C) C jk = εsjc jk H j h m = χ + Ve e Ve + ε xc + V ext χ j Sj = χ χ j Poeważ H j zależą od C- ależy ozwązywać ówaa teacyje. ajpostsza metoda kolejych podstaweń (SS succesve substtutos) polega a leayzacj popzez podstawee C z popzedch koków.

37 Pocedua teacyjego ozwązywaa ówań I. Wybez wyjścowy zespół współczyków C j II. III. IV. Utwóz wyjścowy zbó obtal molekulaych Oblcz ozkład gęstośc Oblcz elowe wyazy w hamltoae V. Utwóz H j VI. VII. Rozwąż ówae Koha-Shama a współczyk C j Oblcz owy zbó obtal molekulaych VIII. Oblcz ozkład gęstośc IX. Jeżel ozkład gęstośc e zmeł sę poza pewa gace koec teacj X. Jeżel ozkład gęstośc sę zmeł wacamy do puktu IV Wauek zbeżośc zależy od fzyczych własośc układu. Dla układów o sle ejedoodych ozkładach ozkład może być oblczoy pzy mejszej lczbe teacj, atomast dla układów metal ależy wykoywać zacze węcej teacj.

38 Oddzaływae z Ga(l) Eega baey a ozpad Excess eegy [ev] ev 4.8 ev 3. ev molecule hozotally ad cluste of 9 atoms I Ga Al Ga Eega dysocjacj swobodej cząsteczk ev/cząsteczkę 3 4 Dstace fom suface(a) S. Kukowsk ad Z. Romaowsk Oblczea kwatowe, Dmol, DFT

39 Dysocjacja a powezch Ga 3,5 3,0.0A - spacg [A],5,0,5.6A.6A,0 0,8,,6,0,4,8 3, 3,6 4,0 d [A] S. Kukowsk ad Z. Romaowsk QM DFT

40 Wzost azotku galu a powezch Ga (000): PA MBE Stuktua powezch Ga (000) - dagam fazowy Gęstość ładuku elektoowego dla atomu a powezch Ga (000) Powezcha eeg dla atomu a powezch Ga (000) pokytej I Eega baey a skok atomu : - powezcha czysta.3 ev - powezcha pokyta I 05 ev J. eugebaue, T. Zywetz, M. Scheffle, J.E. othup, H. Che, R.M. Feesta, PRL 90 (003) 0560

41 Podzękowaa dla ICM UW Za możlwość kozystaa z opogamowaa komecyjego Fdap (ASYS Ic.) oaz Abaqus (Dassault Systèmes) Wykozystae komputeów w amach gatu oblczeowego G5-9