Miary nierówności społecznych podstawy metodologiczne

Transkrypt

1 PIOTR JABKOWSKI Miar nierówności społecznch podstaw metodologiczne Artkuł stanowi próbę przedstawienia metodologicznch podstaw najbardziej znanch i najczęściej stosowanch w badaniach nad nierównościami społecznmi miar tch nierówności. W tekście omawiam współcznnik Giniego, wskaźnik Theila oraz całą klasę mierników opartch na zasadzie porównwania skrajnch części rozkładu pewnego dobra w populacji. Mierniki te poddaję jednocześnie krtcznej statstcznej i metodologicznej analizie, wskazując wad i zalet oraz możliwości i ograniczenia stosowania każdej z miar. Przedstawiam także krteria ewaluacji miar nierówności oraz wnikające z tego konsekwencje, którch przejawem jest określon sposób budow, definiowania i praktcznego wkorzstania każdej z miar. Artkuł składa się z dwóch uzupełniającch się bloków. W pierwszm analizuję metodologiczne krteria ewaluacji miar społecznch nierówności, a w drugim analitczne definicje oraz ocenę miar nierówności, opierając się na podanch krteriach, wraz z konsekwencjami, jakie spełnienie lub niespełnienie owch krteriów niesie dla jakości formułowanch empircznch i teoretcznch wniosków. KRYTERIA EWALUACJI MIAR IERÓWOŚCI W literaturze metodologicznej spotkać można dwa zasadnicze podejścia w definiowaniu i obliczaniu wartości miar społecznch nierówności. Różnica w obu podejściach polega jednak jednie na sposobie przedstawiania rozkładu dochodu (lub innego dobra) w populacji: za pomocą teoretcznego rozkładu ciągłego albo dskretnego (skokowego) rozkładu empircznego (por. Xu 2004: 6-7). Ponieważ większość miar nierówności społecznch budowana jest zarówno dla przpadku rozkładu ciągłego, jak i dskretnego, a różnice tkwią jednie w sposobie definiowania rozkładu prawdopodobieństwa, to w artkule ograniczę się do przpadku dskretnego rozkładu danch. Dla rozkładu ciągłego trzeba b bowiem najpierw

2 Miar nierówności społecznch podstaw metodologiczne 27 dopasować do wników (a potem analizować) pewien teoretczn (hipotetczn) model dla zmiennej ciągłej, natomiast w przpadku rozkładu dskretnego wstarcz działać na surowch wnikach, które uzskuje się na podstawie prowadzonch badań ilościowch. Dodatkowo przpadek dskretnego rozkładu wników jest łatwiejsz i bardziej intuicjn w interpretacji, bowiem można go stosować zawsze, analizując wniki badań empircznch. Ponadto, zdejmuje on z autora artkułu konieczność wprowadzenia matematcznej operacji całkowania funkcji. Metodologia mierzenia nierówności społecznch oparta jest na całm szeregu warunków (orginalnie w wielu publikacjach nazwanch aksjomatami nierówności (por. McKinle 1989: )) nakładanch na mierniki nierówności. Krteria te wnikają przede wszstkim z teoretcznch koncepcji badania społecznch nierówności, jak i wmogów empircznch, na przkład konieczności uchwcenia przez wskaźnik nierówności każdej zmian w dstrbucji dochodu (lub innego dobra) w całej populacji. Klasczn kanon obejmuje czter krteria ewaluacji miar nierówności społecznch. Pierwszm jest tzw. warunek transferu dobra według Pigou Daltona (org. The Pigou-Dalton Transfer Principle), któr oznacza, że wartość miar nierówności społecznej powinna wzrastać (lub w słabszm krterium prznajmniej nie maleć) w każdm przpadku transferu dochodu (lub innego dobra) od osob mniej do osob bardziej zamożnej. Analogicznie wartość miar nierówności społecznej powinna maleć (lub w słabszm krterium prznajmniej nie wzrastać) w każdm przpadku wrównania dochodu, czli zmniejszenia dsproporcji pomiędz osobą bardziej oraz mniej zamożną (por. McKinle 1989: ). Ogólnie rzecz ujmując, wraz z rzeczwistm wzrostem (spadkiem) nierówności wartość wskaźnika powinna bć coraz większa (mniejsza). Oznacza to, że wskaźnik jest w stanie wkrć rzeczwiste zmian w nierównościach społecznch. Warunek ten został orginalnie włożon w 1912 roku przez A.F. Pigou oraz niezależnie w roku 1920 przez H. Daltona, a u jego podstaw legło przekonanie, że każd transfer dochodu wrównując poziom zarobków w populacji (np. na zasadzie redstrbucji dochodów, pomoc socjalnej itd.) redukować będzie społeczne nierówności (por. Cowell 2000: 55). Zapisując powższe rozważania w jęzku formalnm, można powiedzieć, że miara społecznej nierówności Imiara spełnia dla dowolnego wektora dochodu (dobra) [ 1, 2,..., ] T warunek transferu Pigou Daltona, (1) jeżeli dla dowolnego przekształcenia ` [ 1, 2,...,,...,,..., ] T j i wektora (prz założeniu, że j i oraz 0; j ), spełniona jest nierówność I I. miara miara ` Drugim krterium, jaki spełniać powinien wskaźnik nierówności społecznch, jest tzw. warunek niezależności od skali pomiaru (Income Scale Independence). Oznacza on, że wartość miar nierówności społecznej nie powinna ulec zmianie,

3 28 Piotr Jabkowski jeżeli zmieniona zostaje jednostka (skala) pomiaru danego dobra, a w ogólności gd poziom badanego dobra zostaje zwiększon lub zwielokrotnion o pewną stałą wartość. F. Cowell argumentuje, jeżeli każd jednostkow dochód zostaje zwiększon w takiej samej proporcji lub o taką samą wielkość, to nie ma żadnch podstaw, b twierdzić, iż poziom nierówności społecznej uległ jakiejkolwiek istotnej zmianie i stąd właśnie miara nierówności społecznej nie powinna wkazwać różnic (por. Cowell 2000: 56). Choć wszstkie z omówionch miar nierówności spełniają tę własność, to omawiane krterium jest jednm z ważniejszch dla jakościowej ewaluacji miar nierówności. Z tej właśnie perspektw powszechnie stosowana w opisie wników pomiaru miara zmienności wariancja nie jest dobrą miarą społecznej nierówności, gdż wartość wariancji spełniającej równanie T ( 2 ) T Var Var, zależ na przkład od jednostki walut, w której wrażam dochód. Tak więc dla tego samego rozkładu dochodu w populacji otrzmam inną wartość wariancji, gd dochód mierzon będzie na przkład w walucie, a inną gd wrażan będzie w walucie $. Stąd właśnie miara wariancji nie może bć bez niezbędnch modfikacji stosowana do mierzenia nierówności społecznej (por. Allison 1978: 866). W jęzku formalnm można zatem powiedzieć, że miara społecznej nierówności Imiara spełnia dla dowolnego wektora dochodu (dobra) [ 1, 2,..., ] T, warunek niezależności od skali pomiarowej, T (2) jeżeli dla każdego przekształcenia ` [ 1, 2,..., ] wektora I I. (gdzie λ R) spełnion jest warunek miara miara ` W literaturze można znaleźć również inną wersję tego warunku, która przjmuje postać mówiącą o tm, że miara społecznej nierówności Imiara spełnia dla dowolnego wektora dochodu (dobra) [ 1, 2,..., ] T warunek niezależności od skali pomiarowej, (3) jeżeli dla każdego przekształcenia ` 1 2 [ 112, 12 2,..., 1 2 ]T wektora (gdzie λ 1 ; λ 2 R) spełnion jest warunek Imiara Imiara ` (por. Litchfield 1999: 3). Trzeci warunek, niezależności od wielkości populacji (Principle of Population), został podan przez H. Daltona. Dotcz on tego, że wartość miar powinna bć nieczuła na procedurę k-krotnej replikacji wszstkich wartości dochodu. Istotn jest fakt, jeżeli mierz się poziom nierówności społecznej w populacji obejmującej jednostek, do której dołącz się kolejnch jednostek o jednakowm rozkładzie badanego dobra, otrzmując populację składającą się z 2 jednostek, to poziom nierówności społecznej nie ulegnie zmianie (por. Cowell 2000: 56). W ogólnm T T

4 Miar nierówności społecznch podstaw metodologiczne 29 przpadku dowolna k-krotna replikacja danego rozkładu dobra nie może zmienić wartości miar nierówności społecznej. Można zatem powiedzieć, że miara nierówności społecznej Imiara spełnia dla dowolnego wektora dochodu (dobra) [,,..., ] T warunek niezależności od wielkości populacji: 1 2 (4) jeżeli dla każdego przekształcenia ` [ 1,..., 1,...,,..., ] T, powstałego poprzez dowolną k-krotną (k ) replikację wszstkich wartości wektora, I I. spełnion jest warunek miara miara ` Warunek niezależności od wielkości populacji spełniają wszstkie opisane miar nierówności. Pojawia się jednak pewien problem, któr każe zastanowić się, cz spełnienie tego warunku jest rzeczwiście tak bardzo pożądane (por. Cowell 2000: 56-57). Dla przkładu, gd pod uwagę weźmie się populację składającą się z dwóch osób, z którch jedna nie posiada żadnego dochodu, a druga ma cał dochód w populacji (skrajn przpadek nierówności) i dokona się replikacji wielkości populacji zgodnie z zasadami opisanmi powżej, otrzmując populację składającą się z czterech osób, z którch dwie nie mają dochodu, a dwie posiadają po 50% dochodu całej populacji, to sprawą podlegającą dskusji jest, cz w populacjach tch poziom nierówności jest rzeczwiście jednakow. Czwartm wmogiem nałożonm na miarę nierówności jest tzw. warunek dekompozcji (Decomposabilit), któr mówi o tm, że ogólna wartość współcznnika nierówności społecznej w całej populacji powinna bć skorelowana z wartościami współcznników nierówności dla dowolnie wodrębnionch podgrup w populacji. Dla przkładu, jeżeli w każdej podgrupie populacji (np. kategoriach wiekowch) malał poziom nierówności rozkładu danego dobra, to ogólna wartość wskaźnika nierówności powinna również wskazwać na spadek nierówności rozkładu tego dobra w całej populacji. W ogólnm przpadku warunek dekompozcji jest spełnion, gd miarę zależności można rozpisać jako funkcję miar zależności międzgrupowej (between) oraz miar zależności wewnątrzgrupowej (within). Formalnie rzecz ujmując, mocna wersja tego warunku sformułowana przez F. Cowella oraz S. Jenkinsa (por. 1995: ) wmaga, b dla k-grup porównawczch spełnione bło równanie: (5) k between within( j) miara miara miara j 1 I I I. Zakładając równość (5) oraz stwierdzając, że miara nierówności międzgrupowej nie zależ od miar (struktur) nierówności wewnątrzgrupowej, można wkorzstać własność wariancji sum niezależnch zmiennch losowch (por. Krzśko 1997: 171), otrzmując z równania (5) następując wzór: k k between within( j) between within( j) (6) Var Imiara Var Imiara Imiara Var Imiara Var Imiara. j 1 j 1

5 30 Piotr Jabkowski Zauważć można teraz, że miara nierówności społecznej spełniająca powższ warunek dekompozcji ma bardzo użteczną cechę: pozwala wnioskować, w jakiej części dana kategoria populacji jest odpowiedzialna za ogóln (całkowit) poziom nierówności społecznej oraz jaka część poziomu ogólnej nierówności w całej populacji wtwarzana jest dzięki zróżnicowaniom międzgrupowm, a jaka w wniku zróżnicowań wewnątrzgrupowch. Konsekwencją równania (5) oraz (6) jest jednak, że posiadając informacje jednie na pewnm poziomie uogólnienia, na przkład w statstce publicznej dane na poziomie gmin lub powiatu (nie zaś na poziomie jednostkowm w populacji), nie można wjaśnić całkowitej zmienności badanej nierówności społecznej w ogóle populacji. Można wnioskować jednie o zmienności międzgrupowej (międz gminami, międz powiatami itd.), ale nie o zróżnicowaniu wewnątrzgrupowm. Badacz jest więc w stanie wjaśnić jednie pewien określon procent zmienności / 100%, ale jednocześnie (1 x) 100% zmienności badanej nierówności pozostanie zawsze niewjaśniona. Jako przkład powższch rozważań przedstawię analiz nierówności społecznch prowadzone dla populacji Polski, z którch wnika, że prz analizie jednie międzgrupowego zróżnicowania nierówności w dstrbucji dochodu odsetek całości wjaśnionej wariancji może bć niewielki (por. Paci, Sasin, Verbeek 2004: 7). Autorz raportu przemian ekonomiczne w okresie transformacji ustrojowej po roku 1989 prześledzili wartości wskaźników nierówności Theila dla 16 polskich województw (w ramach którch wodrębniono dodatkowo po sześć obszarów ze względu na liczbę ludności, łącznie uzskując 96 grup porównawczch) i doszli do wniosku, że zróżnicowanie międzgrupowe wjaśnia w najlepszm przpadku 13% całkowitej zmienności (tab. 1). a przkład wskaźnik nierówności Theila dla całości populacji, ustalon na podstawie reprezentatwnego badania budżetów gospodarstw domowch, w 2004 roku osiągnął wartość 0,120, natomiast wskaźnik nierówności w rozkładzie dochodu pomiędz wodrębnionmi obszarami jednie 0,014. Zatem, na podstawie uogólnionch średnich wartości dochodu gospodarstw domowch w 96 obszarach udało się przewidzieć jednie 11,6% zmienności nierówności dla ogółu populacji, a prawie 89% zmienności pozostało niewjaśnionch. between interesującego go zjawiska x Imiara Imiara Tabela 1. Dekompozcja wskaźnika nierówności Theila Lata Wartość wskaźnika Theila Dekompozcja 0,100 0,095 0,097 0,107 0,110 0,114 0,120 0,120 Wewnątrz 96 grup 0,092 0,087 0,089 0,097 0,097 0,100 0,104 0,.106 Pomiędz 96 grupami 0,008 0,008 0,008 0,010 0,013 0,014 0,016 0,014 Wjaśniona zmienność 7,9% 8,3% 8,1% 9,4% 11,5% 12,5% 13,0% 11,6% Źródło: Paci, Sasin, Verbeek 2004: 7.

6 Miar nierówności społecznch podstaw metodologiczne 31 T. Hale dość dokładnie analizuje właściwości wskaźnika Theila w kontekście warunku dekompozcji (por. Hale: 12), stwierdzając, że wartość wskaźnika Theila będzie maleć (lub w najlepszm przpadku pozostanie bez zmian) wraz ze wzrostem agregacji. Podobne wnioski, w odniesieniu jednak do wskaźnika Giniego, można znaleźć w prac T.F. Liao (por. 2004: ). Analizując społeczne nierówności w dstrbucji dochodu we Francji i na Węgrzech w roku 1990, autor dokonuje dekompozcji wartości wskaźnika Giniego, dzieląc je na zróżnicowanie międzi wewnątrzgrupowe (kategorie porównawcze wodrębnione został na podstawie grup declowch). Analiz T.F. Liao wskazują, że zróżnicowanie międzgrupowe wjaśniało 10,5% zmienności nierówności w dstrbucji dochodu na Węgrzech i nieco ponad 29% zmienności nierówności we Francji. Tabela 2. Dekompozcja wskaźnika nierówności Giniego Dekompozcja Wartość Wjaśniona współcznnika Giniego zróżnicowanie zróżnicowanie zmienność wewnątrzgrupowe międzgrupowe Francja 0,322 0,228 0,094 29,1% Węgr 0,370 0,331 0,039 10,5% Źródło: Liao 2004: 220. Warto jednak pamiętać, że poprzez zwiększanie liczb podziałów populacji można wjaśniać coraz większą zmienność nierówności społecznej na poziomie jednostkowm, choć bez wiedz o wartości miar nierówności dla całej populacji nie można ocenić, jaką wielkość zmienności udało się na danm poziomie uogólnienia wjaśnić. Obrazowo można zapisać to w postaci następującej przkładowej nierówności: (7) between between between Imiara Igm. Ipow. Iwoj., itd., która oznacza, że agregując dane (np. z populacji przechodząc na poziom gmin, następnie powiatów, województwa itd.), wartość miar nierówności międzgrupowej będzie jednie dolnm oszacowaniem miar nierówności całkowitej. J. Litchfield wskazuje z kolei, że możliwość dekompozcji miar nierówności jest też pożądana z innch powodów niż tlko tch wnikającch z faktu agregacji poziomu analiz danch. Dla przkładu, gd całkowit dochód badanej jednostki uzskiwan jest z więcej niż jednego źródła, tj. ze stosunku prac, inwestowanego kapitału itd., wówczas użteczną właściwością miar nierówności społecznej błab możliwość przedstawienia całkowitej wartości miar nierówności jako sum miar nierówności rozkładu dochodu pochodzącego z k-różnch źródeł dochodu (por. Litchfield 1999: 9-10). Warunek ten błb zatem spełnion, gdb zachodziła równość:

7 32 Piotr Jabkowski (8) Imiara k j 1 S, gdzie S j jest miarą nierówności w rozkładzie dochodu pochodzącego z j-tego źródła. j Analiz wkorzstujące dekompozcję wskaźnika Giniego dla różnch źródeł dochodu przeprowadzili międz innmi T.I. Garner oraz K. Terrell (por. 1998: 23-46), porównując nierówności płacowe w Czechach i na Słowacji w okresie transformacji ustrojowej po aksamitnej rewolucji w 1989 roku. Operacja dekompozcji miar nierówności dla różnch źródeł dochodu jest jednak o wiele bardziej skomplikowana niż dekompozcja wewnątrzgrupowa i międzgrupowa. ależ bowiem uwzględnić fakt, że nie wszstkie jednostki w populacji będą posiadał zasob dochodu z danego źródła oraz iż niektóre źródła dochodu będą bardziej, a inne mniej wpłwał na poziom społecznej nierówności. Ogólnie w metodologii badania nierówności społecznch przjmuje się, że wpłw danego źródła dochodu na całkowit poziom nierówności społecznej w dstrbucji dochodu określić można jako proporcję: (9) s j I S j miara, gdzie j {1, 2,..., k} oraz s j 1. k j 1 Proporcja ta wnika z zastosowania własności wariancji niezależnch zmiennch losowch, tak jak w przpadku wprowadzania równania (6). DEFIICJE WYBRAYCH MIAR IERÓWOŚCI SPOŁECZYCH I ICH OCEA A PODSTAWIE PRZEDSTAWIOYCH KRYTERIÓW EWALUACJI Pozcjne miar nierówności społecznch Cała klasa miar nierówności społecznch bazująca na statstkach pozcjnch (czli miejscach, jaką dane wartości zajmują w uszeregowanm zbiorze danch) opiera się na zasadzie porównwania pewnch charakterstcznch części (punktów) rozkładu danch z górnej oraz dolnej części takiego uporządkowanego zbioru wników. Definiowanie miar nierówności opiera się na prostej obserwacji, że dla rozkładów idealnie równomiernch wartości statstk pozcjnch będą sobie równe, a im większ poziom nierówności w dstrbucji danego dobra w całej populacji, tm wartości statstk pozcjnch z górnej części rozkładu danch będą bardziej oddalone od wartości statstk z dolnej części rozkładu. Wskaźniki nierówności, którch budowę oparto na takich zasadach, mogą bć określane dla dowolnch

8 Miar nierówności społecznch podstaw metodologiczne 33 punktów rozkładu danch (kwartli, kwantli, decli, percentli itd.) oraz wkorzstwane do opisu nierówności rozkładu dowolnego mierzalnego dobra w dowolnej populacji. Zanim podam definicje oraz sposob interpretacji miar społecznch nierówności opartch na statstkach pozcjnch, zbiór wartości badanego dobra zapiszę jako [ (1) ; T (2);...; ( )], gdzie jest wielkością badanej populacji, a kolejne wartości uporządkowane są niemalejąco, tzn. (1) (2) (). Gd. mówię o porównwaniu górnej oraz dolnej części rozkładu danch, na przkład pierwszego kwartla i kwartla trzeciego (oznaczanch w artkule jako (75%) oraz (25%) ), to mam na mśli takie wartości badanego dobra (np. dochodu), dla którch dokładnie 25% całości populacji posiada dochód poniżej wartości kwartla pierwszego i analogicznie 75% całości populacji ma dochód poniżej wartości kwartla trzeciego (rc. 1). 25% 25% 25% 25% wartość minimalna (1) (25%) (50%) (75%) wartość maksmalna () Rc. 1. Podział zbioru danch na kwartle W przpadku idealnie równomiernego rozkładu danego dobra w całej populacji, tj. gd każda jednostka posiada w populacji taki sam zasób badanego dobra, wartość dolnej oraz górnej części rozkładu danch będzie jednakowa. Z kolei im bardziej nierównomiern rozkład wartości badanego dobra, tm różnica pomiędz wartością kwartla dolnego i górnego będzie większa. W literaturze spotkać można całą grupę wskaźników definiowanch na takich właśnie zasadach, które przjmują postać: (10) dla percentli: I miara ( ) (95%) / (5%), gdzie (95%) oraz (5%) oznaczają wartości odpowiednio 95. oraz 5. percentla; (11) dla decli: I miara ( ) (90%) / (10%), gdzie (90%) oraz (10%) oznaczają wartości odpowiednio 9. oraz 1. decla; (12) dla kwantli: I miara ( ) (80%) / (20%), gdzie (80%) oraz (20%) oznaczają wartości odpowiednio 4. oraz 1. kwantla; (13) dla kwartli: I miara ( ) (75%) / (25%), gdzie (75%) oraz (25%) oznaczają wartości odpowiednio 3. oraz 1. kwartla.

9 34 Piotr Jabkowski Wszstkie miar społecznch nierówności wznaczane jako proporcje określone w równaniach od (10) do (13) osiągają minimalną wartość równą 1 (jest to przpadek idealnie równomiernego rozkładu, zatem przpadek braku społecznch nierówności). Wzrost wartości tak oznaczonch miar świadcz o coraz większch rozmiarach nierówności, a maksmalna wartość, jaką miara taka może przjąć, jest nieograniczona (tak będzie, gd dla równań (10) (13) odpowiednio: 5%, 10%, 20% oraz 25% populacji nie będzie posiadać żadnego zasobu badanego dobra). Prz niewielkiej modfikacji wzorów (10) (13) można zdefiniować miar nierówności tak, b przjmował wartości jednie z przedziału [0; 1], pozostawiając jednocześnie zasadę, iż większa wartość oznacza większą nierówność społeczną. Miar nierówności musiałb wted zostać zdefiniowane w następującej postaci: (14) dla percentli: I miara ( ) (95%) (5%), ( ) (95%) (15) dla decli: I miara ( ) (90%) (10%), ( ) (90%) (16) dla kwantli: I miara ( ) (80%) (20%), ( ) (80%) (17) dla kwartli: I miara ( ) (75%) (25%). ( ) (75%) Rozważając wad i zalet miar społecznch nierówności zdefiniowanch na podstawie włożonej zasad, należ mieć na uwadze kilka względów. Po pierwsze, niewątpliwą zaletą tch miar jest ich przejrzstość, prosta interpretacja i sposób obliczania wartości. Ponadto miar te spełniają trz krteria ewaluacji, tj. słabą wersję warunku transferu dobra według Pigou Daltona (prz transferze dobra będą miał tendencję do wkazwania, że nie nastąpiła zmiana), warunek niezależności od skali pomiaru oraz warunek niezależności od wielkości populacji, nie dając zadość jednie warunkowi dekompozcji. Jednakże główn i najbardziej poważn zarzut, jaki można sformułować, polega na tm, że miar te wkorzstują jednie dwa określone punkt rozkładu danch, odrzucając większość informacji o poziomie zróżnicowania nierówności powżej, poniżej oraz pomiędz ustalonmi punktami rozkładu danch. Stąd wnika ich główne ograniczenie i stosunkowo rzadkie wkorzstwanie w badaniu oraz opisie społecznch nierówności. Innm przkładem miar społecznej nierówności, której budowę oparto na zasadzie porównwania określonch części rozkładu danch, jest tzw. Indeks McLoone`a, któr sprawdza, jaka część całości danego dobra (np. dochodu) ulo-

10 Miar nierówności społecznch podstaw metodologiczne 35 kowana jest w górnej połowie całej populacji, innmi słow jaka część danego dobra skoncentrowana jest powżej wartości median. Wartość współcznnika McLoone`a obliczana jest jako iloraz sum wartości wszstkich obserwacji powżej wartości median i ilocznu liczb obserwacji poniżej median oraz wartości samej median. Współcznnik ten definiuje się dla dwóch przpadków. Pierwszego, gd wielkość populacji jest liczba parzstą, wted: (18) I McLoone`a ( ) 4 i 1 2 () i ( ) ( 1) 2 2 oraz drugiego, gd wielkość populacji jest liczbą nieparzstą, wówczas: (19) I McLoone`a 2 3 i 2 () i ( ). ( 1) 1 ( ) 2 Różnice we wzorach (18) i (19) wnikają z odmiennego sposobu wznaczania wartości median dla parzstej oraz nieparzstej liczb obserwacji. Indeks McLonne`a, podobnie jak wskaźniki nierówności społecznch określone w równaniach (10) (13) oraz (14) (17), spełnia słabą wersje warunku transferu dobra Pigou Daltona, warunek niezależności od skali pomiaru oraz niezależności od wielkości populacji, jednocześnie nie spełniając warunku dekompozcji. W odróżnieniu jednak od poprzednio zdefiniowanch miar indeks ten wkorzstuje znacznie większą część informacji o rozkładzie badanego dobra, pokazując jego skoncentrowanie w obrębie 50% populacji powżej wartości median. Współcznnik Giniego ajbardziej znaną miarą nierówności społecznej jest współcznnik Giniego, zdefiniowan w 1912 roku i wkorzstwan orginalnie do badania dsproporcji w dstrbucji dochodu w populacji. Współcznnik ten ma prostą i intuicjną interpretację graficzną, bowiem w geometrcznm sensie miara Giniego oznacza stosunek wielkości obszaru znajdującego się pomiędz prostą reprezentującą rozkład idealnie równomiern a krzwą Lorenza do całego obszaru pod prostą prezentującą rozkład idealnie równomiern.

11 36 Piotr Jabkowski Można dodać, że krzwa Lorenza powstaje poprzez umieszczenie w układzie współrzędnch skumulowanch wartości dochodu dla uporządkowanego zbioru T danch [ (1) ; (2);...; ( )] (gdzie (1) (2) () ) oraz odpowiadającego mu skumulowanego odsetka wielkości populacji. Krzwa Lorenza umożliwia zatem analizę struktur rozkładu badanego dobra w populacji i formułowanie wniosków na zasadzie, że na przkład 50% populacji o najniższch dochodach posiada 30% całej wartości danego dobra lub: 10% osób najlepiej zarabiającch gromadzi 25% dochodów całej populacji, itp. 1,0 0,8 Skumulowana wartość dochodu 0,6 0,4 Linia idealnej równości Krzwa Lorenza 0,2 0,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Skumulowana liczebność populacji Rc. 2. Graficzna interpretacja współcznnika Giniego W przpadku idealnie równomiernego rozkładu danego dobra w całej populacji, tj. gd każda jednostka ma taki sam zasób badanego dobra, krzwa Lorenza pokrwa się z prostą rozkładu idealnie równomiernego, a wartość współcznnika Giniego jest równa 0. atomiast dla skrajnego przpadku nierówności, tzn. gd cał zasób dobra w populacji skupia jedna jednostka, wartość współcznnika Giniego jest równa 1. W literaturze spotkać można cał szereg sposobów analitcznego ujmowania i definiowania wartości współcznnika Giniego zarówno dla rozkładów dskretnch, jak i ciągłch (por.: Jasso 1979: ; Gastwirth 1972: ). Poniżej podaję jeden z nich, zaproponowan w 1997 roku przez C. Daguma, któr ma tę zasadniczą przewagę nad innmi, że umożliwia dekompozcję wartości na zróżnicowanie wewnątrz- i międzgrupowe. Daje zatem zadość czwartemu krterium ewaluacji, ale tlko połowicznie, o czm będzie mowa w dalszej części artkułu.

12 Miar nierówności społecznch podstaw metodologiczne 37 Współcznnik Giniego definiuje się następująco: i 1i`1 i i` (20) G ( ), gdzie [ 2 1, 2,..., ] T oznacza dowoln zbiór danch, 2Y wielkość populacji, i oraz i wartość zasobu danego dobra będącego w posiadaniu i-tej oraz i`-tej jednostki, natomiast Y i średnią wartość 1 dla i 1 wszstkich jednostek w populacji (por. Liao 2004: ). Wskaźnik Giniego, zdefiniowan zgodnie ze wzorem (20), jest w analitcznm sensie przeciętną bezwzględnch różnic pomiędz każdą parą obserwacji. Miara ta spełnia mocne krterium transferu dobra Pigou Daltona, niezależność od wielkości populacji oraz skali pomiaru, a także słabą wersję warunku dekompozcji. Spełnienie słabego warunku dekompozcji oznacza, że istnieje możliwość odpowiedzi na ogólne ptanie, jaka część nierówności wtwarzana jest w obrębie grup porównawczch, a jaka jest wnikiem zróżnicowania międzgrupowego. Jednocześnie nie można odpowiedzieć na ptanie szczegółowe: W jakiej części dana podgrupa generuje ogóln poziom społecznch nierówności? a przkład, gdb należało ocenić poziom nierówności w dstrbucji dochodu ze względu na kategorie wkształcenia ludności, to dekompozcja współcznnika Giniego oparta na wzorach (21) i (22) pozwoliłab na formowanie wniosków na zasadzie: [...] nierówności w dstrbucji dochodu w obrębie wodrębnionch kategorii wkształcenia generują 80% ogólnego poziomu nierówności, jednocześnie 20% nierówności da się przpisać zróżnicowaniom międzgrupowm. ie można już postawić tez: [...] nierówności w dstrbucji dochodu w obrębie osób z wkształceniem wższm generują 10% ogółu nierówności, z wkształceniem średnim 15% ogółu nierówności,..., natomiast 20% nierówności da się przpisać zróżnicowaniom międzgrupowm. Zanim podam dokładn wzór na dekompozcję współcznnika Giniego, konieczne jest wprowadzenie dodatkowch oznaczeń i smboli. Zakładam, że dokonuję rozbicia populacji na k kategorii, w obrębie którch znajduje się n 1, n 2,..., n k jednostek (całkowita wielkość populacji równa jest = n 1 + n n k ), wówczas przez Y oznaczać będę średnią wartość danego dobra w j-tej kategorii j {1, 2,..., k}, j a przez Y średnią wartość dla całej populacji, która może bć obliczona dla danch jednostkowch (wówczas Y 1 i i 1 ) lub dla danch zagregowanch do poziomu 1 k j j j 1 j-tej grup (wówczas Y n Y ).

13 38 Piotr Jabkowski Dekompozcja wskaźnika Giniego wgląda wted następująco (por. Liao 2004: ): ob- between within( j ) (21) G( ) G G, gdzie wartość współcznnika Giniego G within( j ) licza się, stosując następując wzór: (22) G within( j), natomiast wartość zróżnicowań międzgrupowch k n n j j i 1i`1 2 j 1 2Y i i` between G wznacza się ze wzoru: (23) G between k j j` k1 i 1i`1 j 2 j`1 n n i 2 Y i`. Przkład zastosowań dekompozcji wskaźnika Giniego można znaleźć międz innmi w opracowaniach T.F. Liao (2004: ) oraz Garnera i Terrella (1998: 23-46). Indeks Theila Przkładem innej powszechnie stosowanej miar społecznej nierówności jest współcznnik Theila. Wskaźnik ten nie ma już wprawdzie tak prostej interpretacji geometrcznej i graficznej jak współcznnik Giniego, lecz jego szerokie zastosowanie bierze się z jednej zasadniczej przewagi nad współcznnikiem Giniego pozwala on bowiem dokładnie oszacować, jaka część nierówności wgenerowana jest przez nierówności wewnątrz grup porównawczch, a jaka w wniku nierówności międzgrupowch spełnia zatem mocne krterium dekompozcji. Indeks Theila w literaturze metodologicznej zalicza się do klas wskaźników tzw. uogólnionej entropii (Generalized Entrop) (por. Lichfield 1999: 3), a analitczna definicja współcznnika Theila dla dowolnego zbioru [ 1, 2,..., ] T danego dobra przedstawia się następująco (por. Allison 1978: 867): 1 i i (24) T( ) ln, gdzie oznacza wielkość populacji, i 1 Y Y i wartość zasobu 1 danego dobra będącego w posiadaniu i-tej jednostki, natomiast Y i średnią wartość dla wszstkich jednostek w populacji. i 1 W przpadku całkowitego zrównoważenia rozkładu badanego dobra współcznnik Theila przjmuje wartość 0, natomiast dla przpadku skrajnej nierówności

14 Miar nierówności społecznch podstaw metodologiczne 39 (gd jedna osoba posiada całą wartość danego dobra w populacji) współcznnik Theila przjmuje maksmalną wartość równą wartości logartmu naturalnego z liczb jednostek w populacji (tj. ln). Zatem, wskaźnik Theila spełnia mocne krterium dekompozcji, co oznacza możliwość dodawania składowch nierówności w obrębie poszczególnch grup oraz nierówności pochodzącej z różnic pomiędz tmi grupami. Współcznnik Theila można zatem rozpisać jako: ny within( j) T( ) T T, gdzie wartość współcznnika Theila T j 1 Y dla każdej z k grup oblicza się, stosując wzór podan w równaniu (24), natomiast between wartość zróżnicowań międzgrupowch T wznacza się ze wzoru: k between j j within( j) (25) (26) between T k ny j j Yj ln. Y Y j 1 Minimalna wartość zróżnicowań międzgrupowch wnosi 0 i oznacza, że średnie wartości zasobu badanego dobra są w każdej z k grup jednakowe, natomiast maksmalna wartość zróżnicowań międzgrupowch wnosi ln min{ n1, n2,..., n k} i osiągana jest, gd najmniej liczna podgrupa w populacji posiada całą wartość zasobu danego dobra (przpadek skrajnej nierówności międzgrupowej). O możliwościach i ograniczeniach, jakie wnikają z dekompozcja wskaźnika Theila, bła mowa prz okazji opisu samej idei dekompozcji. Więcej o wkorzstaniu tej własności można przecztać międz innmi w: Beck (1991: ), Beblo, Knaus (2001: ) oraz Conceicaio, Ferreira (2000: 1-54). ZAKOŃCZEIE W artkule zdefiniowałem najczęściej wkorzstwane w badaniach nad nierównościami społecznmi miar tch nierówności oraz poddałem je metodologicznej ocenie, opierając się na czterech głównch krteriach ewaluacji, tj. warunków: transferu dobra Pigou Daltona, niezależności od skali pomiaru, niezależności od wielkości populacji oraz warunek dekompozcji. W tabeli 3 zestawiam wszstkie opisane miar wraz z krteriami ich ocen. Wbór określonej miar nierówności społecznej powinien bć w zasadzie poprzedzon nie tlko gruntowną metodologiczną analizą możliwości i ograniczeń stosowania każdej z miar, ale również uwarunkowan poziomem szczegółowości danch, jakimi badacz dsponuje w toku prowadzonch analiz, oraz tpem wnios-

15 40 Piotr Jabkowski ków, jakie zamierza na podstawie tch danch sformułować. Podsumowując zatem problematkę podjętą w artkule, postaram się raz jeszcze w sposób sntetczn pokazać, jakie konsekwencje ma dla interpretacji danch stosowanie każdej ze zdefiniowanch miar. Tabela 3. Zbiorcza ocena miar nierówności społecznch oparta na krteriach ewaluacji Miara nierówności Warunek transferu dobra iezależność od skali pomiaru iezależność od wielkości populacji Dekompozcja Miar pozcjne tak, słaba wersja tak tak nie Indeks McLoone`a tak, słaba wersja tak tak nie Współcznnik Giniego tak, mocna wersja tak tak tak, słaba wersja Współcznnik Theila tak, mocna wersja tak tak tak, mocna wersja Po pierwsze, w stuacji gd badacz dsponuje dokładnm pomiarem dla poszczególnch jednostek, uzskanm bądź w wniku badań pełnch, bądź w wniku reprezentatwnch badań sondażowch, należałob rozważć wbór pomiędz współcznnikiem Giniego a wskaźnikiem Theila. Współcznnik Giniego to klasczn, dobrze znan i posiadając przejrzstą interpretację graficzną miernik nierówności. Wskaźnik Theila umożliwia natomiast dokładną ocenę tego, w jakim stopniu poziom nierówności w każdej wodrębnionej kategorii statstcznej generuje poziom nierówności ogółem. Z przeglądu literatur metodologicznej i empircznej poświęconej społecznm i ekonomicznm nierównościom wnika, że wskaźnik Giniego wbierano znacznie częściej, gd zachodziła konieczność opisu ogólnego poziomu nierówności w wbranej populacji w określonm czasie, konieczność monitorowania zmian w ogólnm poziomie nierówności w kolejnch latach oraz porównwania ogólnego poziomu nierówności w ujęciu międzkrajowm. Wskaźnik Theila zskiwał z kolei szczególne uznanie, gd zachodziła konieczność wkorzstania własności addtwnej dekompozcji, czli kied w obrębie wbranej populacji badacz interesowało to, jak nierówności wewnątrzgrupowe wpłwają na ogóln poziom nierówności w populacji. Popularność miar pozcjnch bierze się natomiast z faktu ich prostot i stosunkowo małch wmagań, jeżeli chodzi o poziom szczegółowości danch. Jednakże z uwagi na ograniczenia metodologiczne mierniki pozcjne mogą służć jednie jako miar dodatkowe, pomocnicze i uzupełniające analizę danch oraz ich interpretację opartą na innch bardziej zaawansowanch miernikach. Widzę jednak jedno szczególne zastosowanie miar pozcjnch, a dotcz ono stuacji, w której badacz nie dsponuje dokładnmi jednostkowmi wnikami pomiaru, ale danmi statstcznmi zagregowanmi na przkład do poziomu grup declowch (tj. ma informację o tm, jaką wartość dochodu osiąga pierwsze 10, 20,, 90% całej populacji). Taki poziom agregacji danch, spotkan często

16 Miar nierówności społecznch podstaw metodologiczne 41 w sprawozdawczości statstcznej, nie pozwala na wkorzstanie współcznnika Giniego lub współcznnika Theila. Można b wprawdzie wkorzstać warunek dekompozcji obu tch wskaźników i obliczć poziom nierówności międzgrupowch, ale i tak błob to jednie mniej lub bardziej dokładne oszacowanie nierówności ogółem wkorzstanie wskaźnika Giniego lub Theila w takiej stuacji mija się zatem z celem. Dlatego prz szczególnm poziomie agregacji danch, jakim są grup declowe, wkorzstanie mierników pozcjnch jest jak najbardziej pożądane. L ITERATURA Allison P.D., Measures of Inequalit, American Sociological Review, Vol. 43, o. 6, Beblo M., Knaus T., Measuring Income Inequalit in Euroland, Review of Income and Wealth, Series 47, o. 3, Beck S.H., The Decomposition of Inequalit b Class and Occupation, The Sociological Quarterl, Vol. 31, o. 1, Conceicaio P., Ferreira P., The Young Person s to the Thiel Index: Suggesting Intuitive Interpretations and Exploring Analtical Applications, UTIP Working Paper, o. 14. Cowell F.A., Measuring Inequalit, LSE Economic Series, Oxford Universit Press. Web Site: Cowell F.A., Jenkins S., How Much Inequalit can we Explain? A Methodolog and an Application to the USA, The Economic Journal, Vol. 105, Garner T.I., Terrell K., A Gini decomposition analsis of inequalit in the Czech and Slovak Republics during the transition, Economics of Transition, Vol. 6, o. 1, Gatstwirth J.L., The Estimation of the Lorenz Curve and Gini Index, The Review of Economic and Statistics, Vol. 54, o. 3, Hale T. The Theoretical Basics of Popular Inequalit Measures, Universit of Texas Inequalit Project, Web Site: Jasso G., On Gini`s Means Differences and Gini`s Index of Concentration, American Sociological Review, Vol. 44, o. 5, Krzśko M., Wkład z teorii prawdopodobieństwa, Poznań: Wd. auk. UAM. Liao T.F., Measuring and Analzing Class Inequalit with The Gini Index Informed b Model- Based Clustering, American Sociological Association Methodolog Conference, Ann Arbor Minnesota April Litchfield J.A., Inequalit: Methods and Tools, World Bank s Web Site: org/povert/inequal/index.htm McKinle L.B., Povert Measurement: An Index Related to a Theil Measure of Inequalit, Journal of Business & Economic Statistics, Vol. 7, o. 4, Paci P., Sasin M., Verbeek J., Economic Growth, Income Distribution and Povert in Poland During Transition, World Bank Polic Research Working Paper, Xu K., How Has the Literature on Gini`s Index Evolved in the Past 80 Years?, Halifax, ova Scotia: Department of Economic Dalhousie Universit.