Układy równań i nierówności liniowych

Transkrypt

1 Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X a 1d X n = b 1 (1) a m1 X a md X n = b m gdzie m N, a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n Oznaczmy a 11 a 1d a 11 a 1n b 1 b 1 A =, [A B] =, b =, a i = a m1 a md a m1 a mn b m b m a 1i, a mi dla i = 1,, n Macierz A nazywamy macierzą układu (1), macierz [A B] nazywamy macierzą rozszerzoną układu (1), wektor b wektorem (kolumną) wyrazów wolnych, a a i, i = 1,, n, kolumnami współczynników Układ (1) można zapisać w równoważnej postaci wektorowej oraz równoważnej postaci macierzowej DEFINICJA 12 Układ równań liniowych (1) nazywamy (i) niejednorodnym, gdy b 0; (ii) jednorodnym, gdy b = 0 a 1 X a n X n = b (2) AX = b (3) DEFINICJA 13 Rozwiązaniem układu równań liniowych (1) (czasami nazywane rozwiązaniem szczególnym) nazywamy każdy ciąg liczb rzeczywistych x = (x 1,, x n ) taki, że a 11 x a 1n x n = b 1 a m1 x a mn x n = b m 1

2 Układy równań i nierówności liniowych 2 Rozwiązanie nazywamy nieujemnym rozwiązaniem układu, jeśli x 0 Zbiorem rozwiązań (odpowiednio, nieujemnych) układu równań liniowych (1) nazywamy zbiór wszystkich rozwiązań (odpowiednio, nieujemnych) układu (1), tj zbiór {x R n : Ax = b} (odpowiednio, zbiór {x R n : x 0, Ax = b}) WNIOSEK 11 Zbiór rozwiązań układu równań liniowych jest zbiorem afinicznym UWAGA 11 Czasami zbiór rozwiązań układu równań liniowych (1) nazywamy rozwiązaniem ogólnym układu równań (1) WNIOSEK 12 Jeżeli układ równań posiada dwa różne rozwiązania, to posiada nieskończenie wiele rozwiązań DEFINICJA 14 Układ równań liniowych (1) nazywa sie sprzecznym, gdy nie posiada żadnego rozwiązania, w przeciwnym przypadku nazywa się niesprzecznym DEFINICJA 15 Niesprzeczny układ równań liniowych (1) nazywa sie: (i) oznaczonym, gdy posiada dokładnie jedno rozwiązanie; (ii) nieoznaczonym, gdy posiada nieskończenie wiele rozwiązań TWIERDZENIE 13 (Kroneckera-Capelliego) Układ równań liniowych (1) jest niesprzeczny iff r(a) = r([a B]) Ponadto, (i) jeżeli r(a) = r([a B]) = n, to układ jest oznaczony; (ii) jeżeli r(a) = r([a B]) = r < n, to układ jest nieoznaczony, przy czym rozwiązania zależą od n r parametrów przebiegających zbiór liczb rzeczywistych DEFINICJA 16 Układ równań liniowych (1) nazywa sie układem Cramera, jeżeli n = m oraz det(a) 0 TWIERDZENIE 14 (Cramer) Układ równań liniowych Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie tj jest układem oznaczonym, a jego rozwiązanie (x 1,, x n ) T jest zadane wzorem x i = det(a i), i = 1,, n, det(a) gdzie macierz A i oznacza macierz powstałą z macierzy A przez zastąpienie i-tej kolumny przez kolumnę wyrazów wolnych DEFINICJA 17 Układ równań liniowych (1) nazywa sie jednorodnym, gdy wektor wyrazów wolnych jest wektorem zerowym TWIERDZENIE 15 Układ jednorodny równań liniowych jest zawsze układem niesprzecznym (posiada zawsze rozwiązanie zerowe) Ponadto, (i) jeżeli r(a) = n, to układ jest oznaczony; (ii) jeżeli r(a) = r < n, to układ jest nieoznaczony, przy czym rozwiązania zależą od n r parametrów przebiegających zbiór liczb rzeczywistych

3 Układy równań i nierówności liniowych 3 Następujące operacje wykonywane na równaniach układu równań liniowych: (i) przestawienie miejscami dwóch dowolnych równań układu; (ii) pomnożenie obu stron dowolnego równania przez liczbę różną od zera; (iii) dodanie do dowolnego równania układu, innego równania tego układu pomnożonego przez liczbę różną od zera; (iv) zamiana w każdym z równań tych samych dwóch zmiennych miejscami (łącznie z występującymi z nimi współczynnikami przekształcają wyjściowy układ równań w układ równań równoważnych Powyższym operacjom na równaniach układu równań odpowiadają analogiczne przekształcenia na wierszach macierzy rozszerzonej Noszą one nazwę operacji elementarnych Dlatego zamiast dokonywania operacji na równania układu można przekształcać wiersze macierzy rozszerzonej Przekształcenia te stanowią podstawę metody rozwiązywania układów równań linowych zw metodą eliminacji Gaussa lub metodę operacji elementarnych Mówi o tym następujące twierdzenie TWIERDZENIE 16 Stosując metodę operacji elementarnych na wierszach macierzy rozszerzonej ( przestawiając ewentualnie dodatkowo kolumny macierzy układu) możemy sprowadzić macierz rozszerzoną układu do jednej z czterech postaci kanonicznych [I C 1 ], [I M C 1 ], [ ] [ I C1 I M, 0 C 2 0 ] C 1 C 2 gdzie I oznacza macierz jednostkową, M tzw macierz resztową, a macierze C 1 i C 2 powstają z przekształcania kolumny wyrazów wolnych za pomocą przekształceń elementarnych W pierwszych dwóch przypadkach układ równań jest niesprzeczny, z tym że w pierwszym przypadku jest to układ oznaczony, a w drugim nieoznaczony Natomiast w dwóch pozostałych przypadkach układ jest niesprzeczny iff macierz C 2 jest macierzą zerową W trzecim przypadku jest to układ oznaczony, a w czwartym nieoznaczonym LEMAT 17 Niech V będzie podprzestrzenią R n oraz b R n Wtedy zachodzi dokładnie jedno z następujących stwierdzeń: a) b V ; b) istnieje u V taki, że b, u = 1 Dowód Dla b R n mamy rozkład b = b 1 + b 2, gdzie b 1 V oraz b 2 V Możliwe są dwa przypadki: 1) b 2 = 0 Wtedy b = b 1 V 2) b 2 0 Wtedy b, b 2 = b 2 2 > 0,

4 Układy równań i nierówności liniowych 4 Lemat ten jest szczególnym przypadkiem lematu Farkasa (twierdzenie??) W języku rozwiązań układów równań liniowych lemat ten ma następującą postać TWIERDZENIE 18 Niech A będzie m d-macierzą oraz b R n Wtedy zachodzi dokładnie jedno z następujących stwierdzeń: albo 1 zbiór rozwiązań w R n układu jest niepusty; Au = 0, b T u = 1 (4) albo 2 zbiór rozwiązań w R m układu jest niepusty A T v = b (5) Dowód Niech a T 1,, a T m oznaczają wiersze macierzy A Oznaczmy V = lin{a 1,, a m } Zauważmy, że wówczas (i) b V iff istnieje v R m takie, że Av = b; (ii) u V iff Au = 0 Dlatego dowód wynika natychmiast z lematu 17 DEFINICJA 18 Rozwiązanie x R m układu równań (1) nazywa się bazowym, gdy zbiór {a i : x i 0} składa się z wektorów liniowo niezależnych Współczynniki niezerowe w rozwiązaniu bazowym nazywają się zmiennymi bazowymi, a zerowe zmiennymi niebazowymi WNIOSEK 19 Niech układ równań liniowych (1) będzie układem oznaczonym Wtedy jedyne rozwiązanie tego układu jest rozwiązaniem bazowym WNIOSEK 110 Dla każdego podzbioru składającego się z wektorów liniowo niezależnych zbioru a 1,, a n } istnieje co najwyżej jedno rozwiązanie bazowe równania (1) WNIOSEK 111 1) Sprzeczny układ równań liniowych ma zero rozwiązań bazowych 2) Liczba rozwiązań bazowych niesprzecznego układu równań liniowych (1) jest zawarta pomiędzy 1, a ( ) n r, gdzie r = r(a) Dowód Liczba podzbiorów zbioru a 1,, a n } składających sie z wektorów niezależnych jest ograniczona z góry przez ( ) n r, gdzie r = r(a) Każde rozwiązanie bazowe jest rozwiązaniem układu równań powstałego z układu (1) przez wstawienie przy n r kolumnach współczynników zer

5 Układy równań i nierówności liniowych 5 Przykład 11 Rozważamy układ równań liniowych postaci x 1 + 2x 2 + x 3 2x 4 = 6 x 1 + x 2 + 2x 3 x 4 = 8 Jego rozwiązaniami bazowymi są następujące wektory: (4, 0, 2, 0) T, (10, 2, 0, 0) T, (10, 0, 0, 2) T, (0, 0, 10/3, 4/3) T, (0, 4/3, 10/3, 0) T Zauważmy, że ( ) 4 2 = 6, ale zmienne x2 i x 4 nie mogą być jednocześnie bazowe, gdyż wektory (2, 1) T i ( 2, 1) T nie są niezależne TWIERDZENIE 112 Jeżeli równanie (1) ma rozwiązanie nieujemne, to ma ono również bazowe rozwiązanie nieujemne Dowód Dowód będzie indukcyjny, że względu na liczbę kolumn d macierzy A Dla d = 1 jest oczywisty Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla k < d i niech x będzie rozwiązaniem nieujemnym równania (1) Jeżeli jakakolwiek współrzędna x jest równa zero to istnieje bazowe rozwiązanie nieujemne równania (1) na mocy założenia indukcyjnego Załóżmy, że x 0 Jeżeli wektory a 1,, a n są niezależne to rozwiązanie x jest rozwiązaniem bazowym, co kończy dowód Załóżmy, że wektory a 1,, a n są zależne Wtedy istnieje y 0 taki, że y i a i = 0 (6) i=1 y i Nie zmniejszając ogólności, można zakładać, że dla pewnego i, y i > 0 Niech θ = max i x i Wtedy dla pewnego i, θ = y i > 0 Załóżmy, że θ = y 1 Zauważmy, że x i x 1 ( 1 θ y i i=1 θ x i ( 1 θ y i θ x i θ y 1 x 1 = 0, ) x i a i = ) x i 0, x i a i 1 y i a i=1 θ i = b 0 = b, i=1 czyli istnieje nieujemne rozwiązanie równania (1), którego pierwsza współrzędna jest równa zero, a więc na mocy założenia indukcyjnego istnieje bazowe rozwiązanie nieujemne równania (1) 2 Metody rozwiązywania układów nierówności liniowych DEFINICJA 21 Każdy układ m nierówności liniowych o d niewiadomych X 1,, X n, d N, o rzeczywistych współczynnikach można zapisać w postaci a 11 X a 1d X d b 1 a m1 X a md X d b m (7)

6 Układy równań i nierówności liniowych 6 gdzie m N, a ij R, i = 1,, m, j = 1,, d Oznaczmy a 11 a 1d A = a m1 a md, b = b 1 b m, a i = a 1i a mi, dla i = 1,, d Macierz A nazywamy macierzą układu (7) Układ (7) można zapisać w równoważnej postaci wektorowej oraz równoważnej postaci macierzowej DEFINICJA 22 Układ nierówności (7) nazywamy (i) niejednorodnym, gdy b 0; (ii) jednorodnym, gdy b = 0 a 1 X a d X d b (8) AX b (9) DEFINICJA 23 Rozwiązaniem układu nierówności liniowych (7) nazywamy każdy ciąg liczb rzeczywistych x = (x 1,, x d ) taki, że a 11 x a 1d x d b 1 a m1 x a md x d b m Rozwiązanie nazywamy nieujemnym rozwiązaniem układu, jeśli x 0 Zbiorem rozwiązań (odpowiednio, nieujemnych) układu nierówności liniowych (7) nazywamy zbiór wszystkich rozwiązań (odpowiednio, nieujemnych) układu (7), tj zbiór {x R d : Ax b} (odpowiednio, zbiór {x R d : x 0, Ax b}) WNIOSEK 21 Ciąg (0,, 0) jest rozwiązaniem jednorodnego układu nierówności DEFINICJA 24 Układ nierówności (7) nazywamy rozwiązalnym (dopuszczalnym), gdy posiada rozwiązanie DEFINICJA 25 Niech λ 1,, λ m R + Wtedy nierówność (λ 1 a λ m a m1 )X (λ 1 a 1d + + λ m a mn )X d λ 1 b λ m b m nazywamy kombinacją liniową o nieujemnych współczynnikach nierówności układu (7) WNIOSEK 22 Każde rozwiązanie układu nierówności liniowych (7) jest rozwiązaniem każdej nierówności będącej kombinacją liniową o nieujemnych współczynnikach nierówności układu (7)

7 Układy równań i nierówności liniowych 7 DEFINICJA 26 Układ nierówności liniowych nazywamy sprzecznym, gdy nierówność 0 > 1 jest kombinacją liniową o nieujemnych współczynnikach tego układu TWIERDZENIE 23 Układ nierówności liniowych określonych przez (7) jest rozwiązalny iff nie jest sprzeczny Dowód Rozważmy obecnie układ (7) wprowadzając do niego dodatkowe zmienne y 1,, y m zdefiniowane następująco: y 1 = b 1 (a 11 X a 1n X n ) (10) y m = b m (a m1 X a mn X n ) Zmienne określone wzorem (10) nazywamy zmiennymi swobodnymi, ich wartości są nieujemne Zmienne swobodne przekształcają układ nierówności (7) w układ równań postaci Układ (11) można zapisać w postaci macierzowej a 11 X a 1n X n + y 1 = b 1 a m1 X a mn X n + y m = b m (11) AX + Y = B, gdzie Y = y 1 y n (12) lub [ ] X AX + I m Y = B, albo [A I m ] = B, (13) Y gdzie I m jest macierzą jednostkową stopnia m Macierz uzupełniona A u układu (11) jest postaci A u = [A I m B] Układ równań (11) jest rozwiązalny, gdyż r(a u) = m [ ] X Nierówność (7) ma rozwiązanie X iff istnieje wektor Y 0 taki, że wektor jest Y rozwiązaniem równania (13) Jeżeli ograniczymy się do rozwiązań nieujemnych układu (7), to X 0 jest rozwiązaniem [ ] X nierówności (9) iff wektor 0 jest rozwiązaniem równania (13) Y LEMAT 24 Stosując przekształcenia elementarne wierszy można macierz uzupełnioną A u = A u = [A I m B] układu równań (11) sprowadzić do jednej z postaci 1) [I m R B ] gdy r(a) = m = n; 2) [I m A R B ] gdy r(a) = m oraz n > m;

8 Układy równań i nierówności liniowych 8 I n R B 1 3) gdy r(a) = n, m > n; 0 R 1 I m n B 2 I r A R B 1 4) gdy r(a) = r oraz r < min(n, m) 0 R 1 I m r B 2 TWIERDZENIE 25 1) Jeżeli rząd macierzy A układu nierówności liniowych (7) jest równy m to układ ten jest rozwiązalny 2) Jeżeli rząd macierzy A układu nierówności liniowych (7) jest mniejszy od m to układ ten jest rozwiązalny iff układ równań o macierzy rozszerzonej [R 1 I m n B 2] z postaci 3) lub [R 1 I m r B 2] z postaci 4) ma co najmniej jedno nieujemne rozwiązanie bazowe Przykład 21 Znaleźć rozwiązanie ogólne układu nierówności x 1 + x 2 + x 3 2, x 1 + 2x 2 + x 3 4, x 1 + x 2 + 3x 3 5 Układowi nierówności odpowiada układ równań postaci x 1 + x 2 + x 3 + y 1 = 2, x 1 + 2x 2 + x 3 + y 2 = 4, x 1 + x 2 + 3x 3 + y 3 = 5 Jego macierz uzupełniona ma postać Mnożąc pierwszy wiersz kolejno przez 1, a następnie dodając odpowiednio do drugiego i trzeciego wiersza, otrzymujemy Trzeci wiersz mnożymy przez 1 2 Mamy

9 Układy równań i nierówności liniowych 9 Do pierwszego wiersza dodajemy trzeci pomnożony przez 1, Drugi wiersz mnożymy przez 1 dodajemy do pierwszego wiersza W ten sposób sprowadziliśmy uzupełnioną macierz układu równań do macierzy postaci 1) Na mocy twierdzenia układ nierówności ma rozwiązanie postaci gdzie t 1, t 2, t 3 0 x 1 = t 1 + t t 3, x 2 = 2 + t 1 t 2, x 3 = t t 3, Przykład 22 Znaleźć rozwiązanie ogólne układu nierówności x 1 + x 2 + x 3 + 2x 4 2, x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 4, 2x 1 + 2x 2 + 2x 3 + 4x 4 5 Układowi nierówności odpowiada układ równań postaci x 1 + x 2 + x 3 + 2x 4 + y 1 = 2, x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 + y 2 = 4, 2x 1 + 2x 2 + 2x 3 + 4x 4 + y 3 = 5 Jego macierz uzupełniona ma postać Mnożąc pierwszy wiersz kolejno przez 1 i 2, a następnie dodając odpowiednio do drugiego i trzeciego wiersza, otrzymujemy

10 Układy równań i nierówności liniowych 10 Do pierwszego wiersza dodajemy drugi pomnożony przez 1, otrzymując W ten sposób sprowadziliśmy uzupełnioną macierz układu równań do macierzy postaci 4) Zgodnie z twierdzeniem układ wyjściowych nierówności jest rozwiązalny iff równanie 2y 1 + y 3 = 1 ma przynajmniej jedno nieujemne rozwiązanie bazowe Ponieważ y 3 = 1 + 2y 1 to przyjmując y 1 = 0 otrzymujemy y 3 = 1, czyli y 1 = 0 i y 3 = 1 jest nieujemnym rozwiązaniem bazowym Dlatego układ nierówności ma rozwiązanie postaci x 1 = d 1 3d 2 2t 1 + t 2, x 2 = 2 + d 2 + t 1 t 2, x 3 = d 1, x 4 = d 2 gdzie d 1, d 2 R t 1, t 2, t 3 0 oraz 2t 1 + t 3 = 1 Przykład 23 Znaleźć rozwiązanie ogólne układu nierówności x 1 + x 2 2, 2x 1 + x 2 4, x 1 0, x 2 0 Układowi nierówności odpowiada układ równań postaci x 1 + x 2 + y 1 = 2, 2x 1 + x 2 + y 2 = 4, x 1 + y 3 = 0, x 2 + y 4 = 0 Jego macierz uzupełniona ma postać Mnożąc pierwszy wiersz kolejno przez 2 i 1, a następnie dodając odpowiednio do drugiego i trzeciego wiersza, otrzymujemy

11 Układy równań i nierówności liniowych 11 Dodajemy trzeci wiersz do pierwszego, a następnie mnożymy trzeci wiersz przez 2 i dodajemy do drugiego wiersza otrzymując Pierwszy wiersz mnożymy przez 1, następnie dodajemy drugi wiersz do trzeciego i do czwartego otrzymując macierz Czwarty wiersz odejmujemy od wiersza drugiego i wiersza trzeciego, a następnie trzeci wiersz mnożymy przez 1 W ten sposób otrzymujemy macierz W ten sposób sprowadziliśmy uzupełnioną macierz układu równań do macierzy postaci 3) Zgodnie z twierdzeniem układ wyjściowych nierówności jest rozwiązalny iff układ równań y 1 y 3 + y 4 = 2, y 2 + 2y 3 + y 4 = 4, ma przynajmniej jedno nieujemne rozwiązanie bazowe Ponieważ y 1 = 2 + y 3 y 4, y 2 = 4 2y 3 y 4, to przyjmując y 3 = y 4 = 0 otrzymujemy y 1 = 2 oraz y 4 = 4, czyli y 1 = 2 i y 2 = 4, y 3 = 0, y 4 = 0 jest nieujemnym rozwiązaniem bazowym Dlatego układ nierówności ma rozwiązanie postaci x 1 = t 1, x 2 = t 2, gdzie t 1, t 2 0 spełniają nierówności 2 + t 1 t 2 0, 4 2t 1 t 2 0 Można pokazać, że wszystkie nieujemne rozwiązania układu można przedstawić jako kombinację wypukłą wierzchołków: (0, 0), (0, 2), (20), (2/3, 8/3)

12 Układy równań i nierówności liniowych 12 3 Twierdzenie Kuhna Niniejszy podrozdział poświęcimy twierdzeniu Kuhna dotyczącemu układów nierówności i równań liniowych które udowodnimy metodami programowania liniowego Układem równań i nierówności liniowych będziemy nazywać układ postaci a ij x j b j, (i N) a ij x j = b j, (i R) gdzie N R = {1, 2,, m} Dla każdego i N, nierówność n a ij x j b j możemy wymnożyć przez nieujemną liczbę y i otrzymując a ij x j y i y i b i oraz dla każdego i R równość n a ij x j = b j możemy wymnożyć przez dowolną liczbę y i otrzymując a ij x j y i = y i b i Dodając powyższe nierówności stronami i zmieniając kolejność sumowania otrzymujemy ostatecznie nierówność ( m ) m a ij y i x j y i b i (15) i=1 i=1 Zwróćmy uwagę, że w ten prosty sposób otrzymaliśmy pewne kryterium niesprzeczności układu (14) Nim kryterium to sformułujemy w postaci ogólnej, przyjrzymy się jak funkcjonuje ono na przykładzie Przykład 31 Niech będzie dany następujący układ nierówności i równań liniowych: 2x 1 7x 2 + x 3 1 x 1 + 3x 2 + 2x 3 + x 4 2 x 1 + x 2 x 3 0, 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 6 Jeżeli w nierówności (15) podstawimy y 1 = 1, y 2 = 2, y 3 = 3 oraz y 4 = 1, to otrzymamy nierówność 0x 1 + 0x 2 = 0x 3 + 0x 4 1, a więc sprzeczność Ponieważ tylko y 4 jest ujemne, to wynika stąd, że układ (16),jest sprzeczny DEFINICJA 31 Układ (14) nazywa się niezgodnym, gdy istnieją liczby y 1,, y m spełniające następujące warunki y i 0 i M, m a ij y i = 0 j = 1,, n, i=1 m b i y i < 0 i=1 (14) (16) (17)

13 Układy równań i nierówności liniowych 13 UWAGA 31 Oczywiście, jeżeli układ jest niezgodny, to jest sprzeczny Zachodzi również implikacja przeciwna Udowodnił ją w 1956 roku HW Kuhn TWIERDZENIE 31 (Kuhn) Układ nierówności i równań liniowych (14) jest sprzeczny wtedy i tylko wtedy, jeżeli jest niezgodny Dowód Ponieważ każdy układ niezgodny jest sprzeczny, to należy udowodnić implikację odwrotną Implikację odwrotną dowodzi sie metodami programowania liniowego 4 Metoda Fouriera-Motzkina redukcji układów nierówności Niech będzie dany układ nierówności a ij x i b i, i = 1,, m (18) Metoda Fouriera-Motzkina polega na stopniowej redukcji zmiennych tak, by w końcu otrzymać jedną zmienną niezależną, a więc układ trywialny Powiedzmy od razu, że to zmniejszanie liczby zmiennych będzie sie odbywało kosztem bardzo szybkiego wzrostu liczby nierówności Nie zmniejszając ogólności można zakładać, że: pierwszych m 1 nierówności ma przy x 1 współczynnik dodatni następne m 2 nierówności mają przy x 1 współczynnik ujemny w pozostałych m (m 1 + m 2 ) nierównościach współczynnik przy x 1 jest równy zero Dzieląc każdą z m 1 + m 2 nierówności przez a i1 (i = 1,, m 1 + m 2 otrzymamy z (18) równoważny mu układ postaci x 1 + a ijx i b i, i = 1,, m 1 czyli x 1 + x 1 + x 1 + a ijx i b i, i = m 1 + 1,, m 1 + m 2 a ijx i b i, i = m 1 + m 2 + 1,, m ijx i b i, i = 1,, m 1 ijx i b i, i = m 1 + 1,, m 1 + m 2 ijx i b i, i = m 1 + m 2 + 1,, m (19) (20)

14 Układy równań i nierówności liniowych 14 gdzie ij = a ij, b i = b i dla i = 1, m 2, i = m 1 + m 2 + 1,, m oraz ij = a ij, b i = b i dla i = m 1 + 1, m 1 + m 2 Układ (20 ) jest z kolei równoważny układowi b i 1 i 1 jx i x 1 b i 2 ijx i b i, i = m 1 + m 2 + 1,, m i 2 jx i,, i 1 = m 1 + 1,, m 1 + m 2, i 2 = 1,, m 1, (21) Zredukowane zadanie będzie następującym układem nierówności: ( i 2 j i 1 j)x i x 1 b i 2 b i 1,, i 1 = m 1 + 1,, m 1 + m 2, i 2 = 1,, m 1, ijx i b i, i = m 1 + m 2 + 1,, m (22) Sprzeczność układu (22) oznacza sprzeczność układu (21) Natomiast jeśli układ (22) jest niesprzeczny to każde rozwiązanie x 2,, x n można rozszerzyć do rozwiązania x 1, x 2,, x n dołączając dowolne x 1 spełniające układ nierówności b i 1 i 1 jx i x 1 b i 2 Zilustrujemy opisaną metodę następującym przykładem Przykład 41 Niech będzie dany układ równań i 2 jx i,, i 1 = m 1 + 1,, m 1 + m 2, i 2 = 1,, m 1 2x 1 + 4x 2 6x 3 8 x 1 2x 2 + x 3 5 x 1 + x 2 + x 3 3 3x 2 4x 3 12 Zastosujmy do tego układu kolejne etapy metody Fouriera-Motzkina Po pierwsze, doprowadzamy do sytuacji w której współczynniki przy x 1 są równe 1, 1 lub 0 Stąd x 1 + 2x 2 3x 3 8 x 1 2x 2 + x 3 5 x 1 + x 2 + x 3 3 3x 2 4x x 2 x 3 x 1 4 2x 2 + x 3 3 x 2 x 3 x x 2 + x 3 3x 2 4x 3 12 (23)

15 Układy równań i nierówności liniowych 15 i zredukowany układ nierówności który po zredukowaniu przyjmie postać a więc 3 x 2 x 3 x 1 4 2x 2 + x 3 3 x 2 x 3 x x 2 + x 3 3x 2 4x 3 12 x 2 4x 3 1 3x 2 2 3x 2 4x 3 12 x 2 4x 3 1 x x 3 4 Teraz redukujemy zmienną x 2 : x x x x x 3 (24) a więc 4x x i ostatecznie x 3 5 Ten wynik zaś oznacza, że dla każdego możemy dzięki (23) i (24) 12 znaleźć odpowiednie wartości x 2 i x 1 UWAGA 41 Zauważmy, że przy układzie co najwyżej trzech nierówności liczba nierówności przy kolejnych redukcjach nie zwiększa się (tak właśnie było w naszym przykładzie)