Układy równań i nierówności liniowych

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Układy równań i nierówności liniowych"

Transkrypt

1 Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X a 1d X n = b 1 (1) a m1 X a md X n = b m gdzie m N, a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n Oznaczmy a 11 a 1d a 11 a 1n b 1 b 1 A =, [A B] =, b =, a i = a m1 a md a m1 a mn b m b m a 1i, a mi dla i = 1,, n Macierz A nazywamy macierzą układu (1), macierz [A B] nazywamy macierzą rozszerzoną układu (1), wektor b wektorem (kolumną) wyrazów wolnych, a a i, i = 1,, n, kolumnami współczynników Układ (1) można zapisać w równoważnej postaci wektorowej oraz równoważnej postaci macierzowej DEFINICJA 12 Układ równań liniowych (1) nazywamy (i) niejednorodnym, gdy b 0; (ii) jednorodnym, gdy b = 0 a 1 X a n X n = b (2) AX = b (3) DEFINICJA 13 Rozwiązaniem układu równań liniowych (1) (czasami nazywane rozwiązaniem szczególnym) nazywamy każdy ciąg liczb rzeczywistych x = (x 1,, x n ) taki, że a 11 x a 1n x n = b 1 a m1 x a mn x n = b m 1

2 Układy równań i nierówności liniowych 2 Rozwiązanie nazywamy nieujemnym rozwiązaniem układu, jeśli x 0 Zbiorem rozwiązań (odpowiednio, nieujemnych) układu równań liniowych (1) nazywamy zbiór wszystkich rozwiązań (odpowiednio, nieujemnych) układu (1), tj zbiór {x R n : Ax = b} (odpowiednio, zbiór {x R n : x 0, Ax = b}) WNIOSEK 11 Zbiór rozwiązań układu równań liniowych jest zbiorem afinicznym UWAGA 11 Czasami zbiór rozwiązań układu równań liniowych (1) nazywamy rozwiązaniem ogólnym układu równań (1) WNIOSEK 12 Jeżeli układ równań posiada dwa różne rozwiązania, to posiada nieskończenie wiele rozwiązań DEFINICJA 14 Układ równań liniowych (1) nazywa sie sprzecznym, gdy nie posiada żadnego rozwiązania, w przeciwnym przypadku nazywa się niesprzecznym DEFINICJA 15 Niesprzeczny układ równań liniowych (1) nazywa sie: (i) oznaczonym, gdy posiada dokładnie jedno rozwiązanie; (ii) nieoznaczonym, gdy posiada nieskończenie wiele rozwiązań TWIERDZENIE 13 (Kroneckera-Capelliego) Układ równań liniowych (1) jest niesprzeczny iff r(a) = r([a B]) Ponadto, (i) jeżeli r(a) = r([a B]) = n, to układ jest oznaczony; (ii) jeżeli r(a) = r([a B]) = r < n, to układ jest nieoznaczony, przy czym rozwiązania zależą od n r parametrów przebiegających zbiór liczb rzeczywistych DEFINICJA 16 Układ równań liniowych (1) nazywa sie układem Cramera, jeżeli n = m oraz det(a) 0 TWIERDZENIE 14 (Cramer) Układ równań liniowych Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie tj jest układem oznaczonym, a jego rozwiązanie (x 1,, x n ) T jest zadane wzorem x i = det(a i), i = 1,, n, det(a) gdzie macierz A i oznacza macierz powstałą z macierzy A przez zastąpienie i-tej kolumny przez kolumnę wyrazów wolnych DEFINICJA 17 Układ równań liniowych (1) nazywa sie jednorodnym, gdy wektor wyrazów wolnych jest wektorem zerowym TWIERDZENIE 15 Układ jednorodny równań liniowych jest zawsze układem niesprzecznym (posiada zawsze rozwiązanie zerowe) Ponadto, (i) jeżeli r(a) = n, to układ jest oznaczony; (ii) jeżeli r(a) = r < n, to układ jest nieoznaczony, przy czym rozwiązania zależą od n r parametrów przebiegających zbiór liczb rzeczywistych

3 Układy równań i nierówności liniowych 3 Następujące operacje wykonywane na równaniach układu równań liniowych: (i) przestawienie miejscami dwóch dowolnych równań układu; (ii) pomnożenie obu stron dowolnego równania przez liczbę różną od zera; (iii) dodanie do dowolnego równania układu, innego równania tego układu pomnożonego przez liczbę różną od zera; (iv) zamiana w każdym z równań tych samych dwóch zmiennych miejscami (łącznie z występującymi z nimi współczynnikami przekształcają wyjściowy układ równań w układ równań równoważnych Powyższym operacjom na równaniach układu równań odpowiadają analogiczne przekształcenia na wierszach macierzy rozszerzonej Noszą one nazwę operacji elementarnych Dlatego zamiast dokonywania operacji na równania układu można przekształcać wiersze macierzy rozszerzonej Przekształcenia te stanowią podstawę metody rozwiązywania układów równań linowych zw metodą eliminacji Gaussa lub metodę operacji elementarnych Mówi o tym następujące twierdzenie TWIERDZENIE 16 Stosując metodę operacji elementarnych na wierszach macierzy rozszerzonej ( przestawiając ewentualnie dodatkowo kolumny macierzy układu) możemy sprowadzić macierz rozszerzoną układu do jednej z czterech postaci kanonicznych [I C 1 ], [I M C 1 ], [ ] [ I C1 I M, 0 C 2 0 ] C 1 C 2 gdzie I oznacza macierz jednostkową, M tzw macierz resztową, a macierze C 1 i C 2 powstają z przekształcania kolumny wyrazów wolnych za pomocą przekształceń elementarnych W pierwszych dwóch przypadkach układ równań jest niesprzeczny, z tym że w pierwszym przypadku jest to układ oznaczony, a w drugim nieoznaczony Natomiast w dwóch pozostałych przypadkach układ jest niesprzeczny iff macierz C 2 jest macierzą zerową W trzecim przypadku jest to układ oznaczony, a w czwartym nieoznaczonym LEMAT 17 Niech V będzie podprzestrzenią R n oraz b R n Wtedy zachodzi dokładnie jedno z następujących stwierdzeń: a) b V ; b) istnieje u V taki, że b, u = 1 Dowód Dla b R n mamy rozkład b = b 1 + b 2, gdzie b 1 V oraz b 2 V Możliwe są dwa przypadki: 1) b 2 = 0 Wtedy b = b 1 V 2) b 2 0 Wtedy b, b 2 = b 2 2 > 0,

4 Układy równań i nierówności liniowych 4 Lemat ten jest szczególnym przypadkiem lematu Farkasa (twierdzenie??) W języku rozwiązań układów równań liniowych lemat ten ma następującą postać TWIERDZENIE 18 Niech A będzie m d-macierzą oraz b R n Wtedy zachodzi dokładnie jedno z następujących stwierdzeń: albo 1 zbiór rozwiązań w R n układu jest niepusty; Au = 0, b T u = 1 (4) albo 2 zbiór rozwiązań w R m układu jest niepusty A T v = b (5) Dowód Niech a T 1,, a T m oznaczają wiersze macierzy A Oznaczmy V = lin{a 1,, a m } Zauważmy, że wówczas (i) b V iff istnieje v R m takie, że Av = b; (ii) u V iff Au = 0 Dlatego dowód wynika natychmiast z lematu 17 DEFINICJA 18 Rozwiązanie x R m układu równań (1) nazywa się bazowym, gdy zbiór {a i : x i 0} składa się z wektorów liniowo niezależnych Współczynniki niezerowe w rozwiązaniu bazowym nazywają się zmiennymi bazowymi, a zerowe zmiennymi niebazowymi WNIOSEK 19 Niech układ równań liniowych (1) będzie układem oznaczonym Wtedy jedyne rozwiązanie tego układu jest rozwiązaniem bazowym WNIOSEK 110 Dla każdego podzbioru składającego się z wektorów liniowo niezależnych zbioru a 1,, a n } istnieje co najwyżej jedno rozwiązanie bazowe równania (1) WNIOSEK 111 1) Sprzeczny układ równań liniowych ma zero rozwiązań bazowych 2) Liczba rozwiązań bazowych niesprzecznego układu równań liniowych (1) jest zawarta pomiędzy 1, a ( ) n r, gdzie r = r(a) Dowód Liczba podzbiorów zbioru a 1,, a n } składających sie z wektorów niezależnych jest ograniczona z góry przez ( ) n r, gdzie r = r(a) Każde rozwiązanie bazowe jest rozwiązaniem układu równań powstałego z układu (1) przez wstawienie przy n r kolumnach współczynników zer

5 Układy równań i nierówności liniowych 5 Przykład 11 Rozważamy układ równań liniowych postaci x 1 + 2x 2 + x 3 2x 4 = 6 x 1 + x 2 + 2x 3 x 4 = 8 Jego rozwiązaniami bazowymi są następujące wektory: (4, 0, 2, 0) T, (10, 2, 0, 0) T, (10, 0, 0, 2) T, (0, 0, 10/3, 4/3) T, (0, 4/3, 10/3, 0) T Zauważmy, że ( ) 4 2 = 6, ale zmienne x2 i x 4 nie mogą być jednocześnie bazowe, gdyż wektory (2, 1) T i ( 2, 1) T nie są niezależne TWIERDZENIE 112 Jeżeli równanie (1) ma rozwiązanie nieujemne, to ma ono również bazowe rozwiązanie nieujemne Dowód Dowód będzie indukcyjny, że względu na liczbę kolumn d macierzy A Dla d = 1 jest oczywisty Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla k < d i niech x będzie rozwiązaniem nieujemnym równania (1) Jeżeli jakakolwiek współrzędna x jest równa zero to istnieje bazowe rozwiązanie nieujemne równania (1) na mocy założenia indukcyjnego Załóżmy, że x 0 Jeżeli wektory a 1,, a n są niezależne to rozwiązanie x jest rozwiązaniem bazowym, co kończy dowód Załóżmy, że wektory a 1,, a n są zależne Wtedy istnieje y 0 taki, że y i a i = 0 (6) i=1 y i Nie zmniejszając ogólności, można zakładać, że dla pewnego i, y i > 0 Niech θ = max i x i Wtedy dla pewnego i, θ = y i > 0 Załóżmy, że θ = y 1 Zauważmy, że x i x 1 ( 1 θ y i i=1 θ x i ( 1 θ y i θ x i θ y 1 x 1 = 0, ) x i a i = ) x i 0, x i a i 1 y i a i=1 θ i = b 0 = b, i=1 czyli istnieje nieujemne rozwiązanie równania (1), którego pierwsza współrzędna jest równa zero, a więc na mocy założenia indukcyjnego istnieje bazowe rozwiązanie nieujemne równania (1) 2 Metody rozwiązywania układów nierówności liniowych DEFINICJA 21 Każdy układ m nierówności liniowych o d niewiadomych X 1,, X n, d N, o rzeczywistych współczynnikach można zapisać w postaci a 11 X a 1d X d b 1 a m1 X a md X d b m (7)

6 Układy równań i nierówności liniowych 6 gdzie m N, a ij R, i = 1,, m, j = 1,, d Oznaczmy a 11 a 1d A = a m1 a md, b = b 1 b m, a i = a 1i a mi, dla i = 1,, d Macierz A nazywamy macierzą układu (7) Układ (7) można zapisać w równoważnej postaci wektorowej oraz równoważnej postaci macierzowej DEFINICJA 22 Układ nierówności (7) nazywamy (i) niejednorodnym, gdy b 0; (ii) jednorodnym, gdy b = 0 a 1 X a d X d b (8) AX b (9) DEFINICJA 23 Rozwiązaniem układu nierówności liniowych (7) nazywamy każdy ciąg liczb rzeczywistych x = (x 1,, x d ) taki, że a 11 x a 1d x d b 1 a m1 x a md x d b m Rozwiązanie nazywamy nieujemnym rozwiązaniem układu, jeśli x 0 Zbiorem rozwiązań (odpowiednio, nieujemnych) układu nierówności liniowych (7) nazywamy zbiór wszystkich rozwiązań (odpowiednio, nieujemnych) układu (7), tj zbiór {x R d : Ax b} (odpowiednio, zbiór {x R d : x 0, Ax b}) WNIOSEK 21 Ciąg (0,, 0) jest rozwiązaniem jednorodnego układu nierówności DEFINICJA 24 Układ nierówności (7) nazywamy rozwiązalnym (dopuszczalnym), gdy posiada rozwiązanie DEFINICJA 25 Niech λ 1,, λ m R + Wtedy nierówność (λ 1 a λ m a m1 )X (λ 1 a 1d + + λ m a mn )X d λ 1 b λ m b m nazywamy kombinacją liniową o nieujemnych współczynnikach nierówności układu (7) WNIOSEK 22 Każde rozwiązanie układu nierówności liniowych (7) jest rozwiązaniem każdej nierówności będącej kombinacją liniową o nieujemnych współczynnikach nierówności układu (7)

7 Układy równań i nierówności liniowych 7 DEFINICJA 26 Układ nierówności liniowych nazywamy sprzecznym, gdy nierówność 0 > 1 jest kombinacją liniową o nieujemnych współczynnikach tego układu TWIERDZENIE 23 Układ nierówności liniowych określonych przez (7) jest rozwiązalny iff nie jest sprzeczny Dowód Rozważmy obecnie układ (7) wprowadzając do niego dodatkowe zmienne y 1,, y m zdefiniowane następująco: y 1 = b 1 (a 11 X a 1n X n ) (10) y m = b m (a m1 X a mn X n ) Zmienne określone wzorem (10) nazywamy zmiennymi swobodnymi, ich wartości są nieujemne Zmienne swobodne przekształcają układ nierówności (7) w układ równań postaci Układ (11) można zapisać w postaci macierzowej a 11 X a 1n X n + y 1 = b 1 a m1 X a mn X n + y m = b m (11) AX + Y = B, gdzie Y = y 1 y n (12) lub [ ] X AX + I m Y = B, albo [A I m ] = B, (13) Y gdzie I m jest macierzą jednostkową stopnia m Macierz uzupełniona A u układu (11) jest postaci A u = [A I m B] Układ równań (11) jest rozwiązalny, gdyż r(a u) = m [ ] X Nierówność (7) ma rozwiązanie X iff istnieje wektor Y 0 taki, że wektor jest Y rozwiązaniem równania (13) Jeżeli ograniczymy się do rozwiązań nieujemnych układu (7), to X 0 jest rozwiązaniem [ ] X nierówności (9) iff wektor 0 jest rozwiązaniem równania (13) Y LEMAT 24 Stosując przekształcenia elementarne wierszy można macierz uzupełnioną A u = A u = [A I m B] układu równań (11) sprowadzić do jednej z postaci 1) [I m R B ] gdy r(a) = m = n; 2) [I m A R B ] gdy r(a) = m oraz n > m;

8 Układy równań i nierówności liniowych 8 I n R B 1 3) gdy r(a) = n, m > n; 0 R 1 I m n B 2 I r A R B 1 4) gdy r(a) = r oraz r < min(n, m) 0 R 1 I m r B 2 TWIERDZENIE 25 1) Jeżeli rząd macierzy A układu nierówności liniowych (7) jest równy m to układ ten jest rozwiązalny 2) Jeżeli rząd macierzy A układu nierówności liniowych (7) jest mniejszy od m to układ ten jest rozwiązalny iff układ równań o macierzy rozszerzonej [R 1 I m n B 2] z postaci 3) lub [R 1 I m r B 2] z postaci 4) ma co najmniej jedno nieujemne rozwiązanie bazowe Przykład 21 Znaleźć rozwiązanie ogólne układu nierówności x 1 + x 2 + x 3 2, x 1 + 2x 2 + x 3 4, x 1 + x 2 + 3x 3 5 Układowi nierówności odpowiada układ równań postaci x 1 + x 2 + x 3 + y 1 = 2, x 1 + 2x 2 + x 3 + y 2 = 4, x 1 + x 2 + 3x 3 + y 3 = 5 Jego macierz uzupełniona ma postać Mnożąc pierwszy wiersz kolejno przez 1, a następnie dodając odpowiednio do drugiego i trzeciego wiersza, otrzymujemy Trzeci wiersz mnożymy przez 1 2 Mamy

9 Układy równań i nierówności liniowych 9 Do pierwszego wiersza dodajemy trzeci pomnożony przez 1, Drugi wiersz mnożymy przez 1 dodajemy do pierwszego wiersza W ten sposób sprowadziliśmy uzupełnioną macierz układu równań do macierzy postaci 1) Na mocy twierdzenia układ nierówności ma rozwiązanie postaci gdzie t 1, t 2, t 3 0 x 1 = t 1 + t t 3, x 2 = 2 + t 1 t 2, x 3 = t t 3, Przykład 22 Znaleźć rozwiązanie ogólne układu nierówności x 1 + x 2 + x 3 + 2x 4 2, x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 4, 2x 1 + 2x 2 + 2x 3 + 4x 4 5 Układowi nierówności odpowiada układ równań postaci x 1 + x 2 + x 3 + 2x 4 + y 1 = 2, x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 + y 2 = 4, 2x 1 + 2x 2 + 2x 3 + 4x 4 + y 3 = 5 Jego macierz uzupełniona ma postać Mnożąc pierwszy wiersz kolejno przez 1 i 2, a następnie dodając odpowiednio do drugiego i trzeciego wiersza, otrzymujemy

10 Układy równań i nierówności liniowych 10 Do pierwszego wiersza dodajemy drugi pomnożony przez 1, otrzymując W ten sposób sprowadziliśmy uzupełnioną macierz układu równań do macierzy postaci 4) Zgodnie z twierdzeniem układ wyjściowych nierówności jest rozwiązalny iff równanie 2y 1 + y 3 = 1 ma przynajmniej jedno nieujemne rozwiązanie bazowe Ponieważ y 3 = 1 + 2y 1 to przyjmując y 1 = 0 otrzymujemy y 3 = 1, czyli y 1 = 0 i y 3 = 1 jest nieujemnym rozwiązaniem bazowym Dlatego układ nierówności ma rozwiązanie postaci x 1 = d 1 3d 2 2t 1 + t 2, x 2 = 2 + d 2 + t 1 t 2, x 3 = d 1, x 4 = d 2 gdzie d 1, d 2 R t 1, t 2, t 3 0 oraz 2t 1 + t 3 = 1 Przykład 23 Znaleźć rozwiązanie ogólne układu nierówności x 1 + x 2 2, 2x 1 + x 2 4, x 1 0, x 2 0 Układowi nierówności odpowiada układ równań postaci x 1 + x 2 + y 1 = 2, 2x 1 + x 2 + y 2 = 4, x 1 + y 3 = 0, x 2 + y 4 = 0 Jego macierz uzupełniona ma postać Mnożąc pierwszy wiersz kolejno przez 2 i 1, a następnie dodając odpowiednio do drugiego i trzeciego wiersza, otrzymujemy

11 Układy równań i nierówności liniowych 11 Dodajemy trzeci wiersz do pierwszego, a następnie mnożymy trzeci wiersz przez 2 i dodajemy do drugiego wiersza otrzymując Pierwszy wiersz mnożymy przez 1, następnie dodajemy drugi wiersz do trzeciego i do czwartego otrzymując macierz Czwarty wiersz odejmujemy od wiersza drugiego i wiersza trzeciego, a następnie trzeci wiersz mnożymy przez 1 W ten sposób otrzymujemy macierz W ten sposób sprowadziliśmy uzupełnioną macierz układu równań do macierzy postaci 3) Zgodnie z twierdzeniem układ wyjściowych nierówności jest rozwiązalny iff układ równań y 1 y 3 + y 4 = 2, y 2 + 2y 3 + y 4 = 4, ma przynajmniej jedno nieujemne rozwiązanie bazowe Ponieważ y 1 = 2 + y 3 y 4, y 2 = 4 2y 3 y 4, to przyjmując y 3 = y 4 = 0 otrzymujemy y 1 = 2 oraz y 4 = 4, czyli y 1 = 2 i y 2 = 4, y 3 = 0, y 4 = 0 jest nieujemnym rozwiązaniem bazowym Dlatego układ nierówności ma rozwiązanie postaci x 1 = t 1, x 2 = t 2, gdzie t 1, t 2 0 spełniają nierówności 2 + t 1 t 2 0, 4 2t 1 t 2 0 Można pokazać, że wszystkie nieujemne rozwiązania układu można przedstawić jako kombinację wypukłą wierzchołków: (0, 0), (0, 2), (20), (2/3, 8/3)

12 Układy równań i nierówności liniowych 12 3 Twierdzenie Kuhna Niniejszy podrozdział poświęcimy twierdzeniu Kuhna dotyczącemu układów nierówności i równań liniowych które udowodnimy metodami programowania liniowego Układem równań i nierówności liniowych będziemy nazywać układ postaci a ij x j b j, (i N) a ij x j = b j, (i R) gdzie N R = {1, 2,, m} Dla każdego i N, nierówność n a ij x j b j możemy wymnożyć przez nieujemną liczbę y i otrzymując a ij x j y i y i b i oraz dla każdego i R równość n a ij x j = b j możemy wymnożyć przez dowolną liczbę y i otrzymując a ij x j y i = y i b i Dodając powyższe nierówności stronami i zmieniając kolejność sumowania otrzymujemy ostatecznie nierówność ( m ) m a ij y i x j y i b i (15) i=1 i=1 Zwróćmy uwagę, że w ten prosty sposób otrzymaliśmy pewne kryterium niesprzeczności układu (14) Nim kryterium to sformułujemy w postaci ogólnej, przyjrzymy się jak funkcjonuje ono na przykładzie Przykład 31 Niech będzie dany następujący układ nierówności i równań liniowych: 2x 1 7x 2 + x 3 1 x 1 + 3x 2 + 2x 3 + x 4 2 x 1 + x 2 x 3 0, 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 6 Jeżeli w nierówności (15) podstawimy y 1 = 1, y 2 = 2, y 3 = 3 oraz y 4 = 1, to otrzymamy nierówność 0x 1 + 0x 2 = 0x 3 + 0x 4 1, a więc sprzeczność Ponieważ tylko y 4 jest ujemne, to wynika stąd, że układ (16),jest sprzeczny DEFINICJA 31 Układ (14) nazywa się niezgodnym, gdy istnieją liczby y 1,, y m spełniające następujące warunki y i 0 i M, m a ij y i = 0 j = 1,, n, i=1 m b i y i < 0 i=1 (14) (16) (17)

13 Układy równań i nierówności liniowych 13 UWAGA 31 Oczywiście, jeżeli układ jest niezgodny, to jest sprzeczny Zachodzi również implikacja przeciwna Udowodnił ją w 1956 roku HW Kuhn TWIERDZENIE 31 (Kuhn) Układ nierówności i równań liniowych (14) jest sprzeczny wtedy i tylko wtedy, jeżeli jest niezgodny Dowód Ponieważ każdy układ niezgodny jest sprzeczny, to należy udowodnić implikację odwrotną Implikację odwrotną dowodzi sie metodami programowania liniowego 4 Metoda Fouriera-Motzkina redukcji układów nierówności Niech będzie dany układ nierówności a ij x i b i, i = 1,, m (18) Metoda Fouriera-Motzkina polega na stopniowej redukcji zmiennych tak, by w końcu otrzymać jedną zmienną niezależną, a więc układ trywialny Powiedzmy od razu, że to zmniejszanie liczby zmiennych będzie sie odbywało kosztem bardzo szybkiego wzrostu liczby nierówności Nie zmniejszając ogólności można zakładać, że: pierwszych m 1 nierówności ma przy x 1 współczynnik dodatni następne m 2 nierówności mają przy x 1 współczynnik ujemny w pozostałych m (m 1 + m 2 ) nierównościach współczynnik przy x 1 jest równy zero Dzieląc każdą z m 1 + m 2 nierówności przez a i1 (i = 1,, m 1 + m 2 otrzymamy z (18) równoważny mu układ postaci x 1 + a ijx i b i, i = 1,, m 1 czyli x 1 + x 1 + x 1 + a ijx i b i, i = m 1 + 1,, m 1 + m 2 a ijx i b i, i = m 1 + m 2 + 1,, m ijx i b i, i = 1,, m 1 ijx i b i, i = m 1 + 1,, m 1 + m 2 ijx i b i, i = m 1 + m 2 + 1,, m (19) (20)

14 Układy równań i nierówności liniowych 14 gdzie ij = a ij, b i = b i dla i = 1, m 2, i = m 1 + m 2 + 1,, m oraz ij = a ij, b i = b i dla i = m 1 + 1, m 1 + m 2 Układ (20 ) jest z kolei równoważny układowi b i 1 i 1 jx i x 1 b i 2 ijx i b i, i = m 1 + m 2 + 1,, m i 2 jx i,, i 1 = m 1 + 1,, m 1 + m 2, i 2 = 1,, m 1, (21) Zredukowane zadanie będzie następującym układem nierówności: ( i 2 j i 1 j)x i x 1 b i 2 b i 1,, i 1 = m 1 + 1,, m 1 + m 2, i 2 = 1,, m 1, ijx i b i, i = m 1 + m 2 + 1,, m (22) Sprzeczność układu (22) oznacza sprzeczność układu (21) Natomiast jeśli układ (22) jest niesprzeczny to każde rozwiązanie x 2,, x n można rozszerzyć do rozwiązania x 1, x 2,, x n dołączając dowolne x 1 spełniające układ nierówności b i 1 i 1 jx i x 1 b i 2 Zilustrujemy opisaną metodę następującym przykładem Przykład 41 Niech będzie dany układ równań i 2 jx i,, i 1 = m 1 + 1,, m 1 + m 2, i 2 = 1,, m 1 2x 1 + 4x 2 6x 3 8 x 1 2x 2 + x 3 5 x 1 + x 2 + x 3 3 3x 2 4x 3 12 Zastosujmy do tego układu kolejne etapy metody Fouriera-Motzkina Po pierwsze, doprowadzamy do sytuacji w której współczynniki przy x 1 są równe 1, 1 lub 0 Stąd x 1 + 2x 2 3x 3 8 x 1 2x 2 + x 3 5 x 1 + x 2 + x 3 3 3x 2 4x x 2 x 3 x 1 4 2x 2 + x 3 3 x 2 x 3 x x 2 + x 3 3x 2 4x 3 12 (23)

15 Układy równań i nierówności liniowych 15 i zredukowany układ nierówności który po zredukowaniu przyjmie postać a więc 3 x 2 x 3 x 1 4 2x 2 + x 3 3 x 2 x 3 x x 2 + x 3 3x 2 4x 3 12 x 2 4x 3 1 3x 2 2 3x 2 4x 3 12 x 2 4x 3 1 x x 3 4 Teraz redukujemy zmienną x 2 : x x x x x 3 (24) a więc 4x x i ostatecznie x 3 5 Ten wynik zaś oznacza, że dla każdego możemy dzięki (23) i (24) 12 znaleźć odpowiednie wartości x 2 i x 1 UWAGA 41 Zauważmy, że przy układzie co najwyżej trzech nierówności liczba nierówności przy kolejnych redukcjach nie zwiększa się (tak właśnie było w naszym przykładzie)

13 Układy równań liniowych

13 Układy równań liniowych 13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Wykłady z matematyki inżynierskiej JJ, 08 DEFINICJA Układ m równań liniowych z n niewiadomymi to: ( ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 +

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych ozważmy układ n równań liniowych o współczynnikach a ij z n niewiadomymi i : a + a +... + an n d a a an d a + a +... + a n n d a a a n d an + an +... + ann n d n an an a nn n d

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

2. Układy równań liniowych

2. Układy równań liniowych 2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory i działania na zbiorach.

1 Zbiory i działania na zbiorach. Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu

Bardziej szczegółowo

Równania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem

Równania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x,

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1

Bardziej szczegółowo

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

3. Macierze i Układy Równań Liniowych 3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

3. Wykład Układy równań liniowych.

3. Wykład Układy równań liniowych. 31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +

Bardziej szczegółowo

Teoretyczne podstawy programowania liniowego

Teoretyczne podstawy programowania liniowego Teoretyczne podstawy programowania liniowego Elementy algebry liniowej Plan Kombinacja liniowa Definicja Kombinacja liniowa wektorów (punktów) x 1, x 2,, x k R n to wektor x R n k taki, że x = i=1 λ i

Bardziej szczegółowo

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4  5 3$ 7&=0 5$+7&=4 17. Układ równań 17.1 Co nazywamy układem równań liniowych? Jak zapisać układ w postaci macierzowej (pokazać również na przykładzie) Co to jest rozwiązanie układu? Jaki układ nazywamy jednorodnym, sprzecznym,

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych. Ax = b (1)

Układy równań liniowych. Ax = b (1) Układy równań liniowych Dany jest układ m równań z n niewiadomymi. Liczba równań m nie musi być równa liczbie niewiadomych n, tj. mn. a a... a b n n a a... a b n n... a a... a b m m mn n m

Bardziej szczegółowo

Metoda eliminacji Gaussa. Autorzy: Michał Góra

Metoda eliminacji Gaussa. Autorzy: Michał Góra Metoda eliminacji Gaussa Autorzy: Michał Góra 9 Metoda eliminacji Gaussa Autor: Michał Góra Przedstawiony poniżej sposób rozwiązywania układów równań liniowych jest pewnym uproszczeniem algorytmu zwanego

Bardziej szczegółowo

1 Układy równań liniowych

1 Układy równań liniowych II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie

Bardziej szczegółowo

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją

Bardziej szczegółowo

, A T = A + B = [a ij + b ij ].

, A T = A + B = [a ij + b ij ]. 1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba a ij, to mówimy, że jest określona macierz prostokątna A = a ij typu m

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

Własności wyznacznika

Własności wyznacznika Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy

Bardziej szczegółowo

3 Przestrzenie liniowe

3 Przestrzenie liniowe MIMUW 3 Przestrzenie liniowe 8 3 Przestrzenie liniowe 31 Przestrzenie liniowe Dla dowolnego ciała K, analogicznie jak to robiliśmy dla R, wprowadza się operację dodawania wektorów kolumn z K n i mnożenia

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

9 Układy równań liniowych

9 Układy równań liniowych 122 II PRZESTRZENIE WEKTOROWE 9 Układy równań liniowych 1 Istnienie rozwiązań układu równań liniowych W tym paragrafie przerwiemy chwilowo ogólną analizę struktur pojawiających się w przestrzeniach wektorowych,

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.

Bardziej szczegółowo

Programowanie celowe #1

Programowanie celowe #1 Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem

Bardziej szczegółowo

Zastosowania wyznaczników

Zastosowania wyznaczników Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową

Bardziej szczegółowo

Kombinacje liniowe wektorów.

Kombinacje liniowe wektorów. Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =

Bardziej szczegółowo

DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018

DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

Macierze. Rozdział Działania na macierzach

Macierze. Rozdział Działania na macierzach Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy

Bardziej szczegółowo

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3 ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Rozdział 10

Formy kwadratowe. Rozdział 10 Rozdział 10 Formy kwadratowe Rozważmy rzeczywistą macierz symetryczną A R n n Definicja 101 Funkcję h : R n R postaci h (x) = x T Ax (101) nazywamy formą kwadratową Macierz symetryczną A występującą w

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz

Bardziej szczegółowo

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

Analiza funkcjonalna 1.

Analiza funkcjonalna 1. Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

det[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...

det[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,... Wykład 14 Wyznacznik macierzy cd Twierdzenie 1 Niech A będzie macierzą kwadratową i niech A i, A j będą dwiema różnymi jej kolumnami, wtedy dla dowolnego k K: det[a 1,, A i,, A j,, A n ] det[a 1,, A i

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5 Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Homo oeconomicus=

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych

1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz

Bardziej szczegółowo

Wykład 14. Elementy algebry macierzy

Wykład 14. Elementy algebry macierzy Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,

Bardziej szczegółowo

"Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub

Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza. Gabriel Laub "Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub Def. Macierzą odwrotną do macierzy A M(n) i deta nazywamy macierz A - M(n) taką, że A A - A - A Tw.

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych. Krzysztof Patan

Układy równań liniowych. Krzysztof Patan Układy równań liniowych Krzysztof Patan Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zadań redukuje się do problemu rozwiązania układu równań liniowych, często o bardzo dużych

Bardziej szczegółowo

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w

Bardziej szczegółowo

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.

Bardziej szczegółowo

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej 15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

MACIERZE I WYZNACZNIKI

MACIERZE I WYZNACZNIKI Wykłady z matematyki inżynierskiej IMiF UTP 07 MACIERZ DEFINICJA. Macierza o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporza dkowanie każdej uporza dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie 1 i m, 1

Bardziej szczegółowo

1 Rząd macierzy. 2 Liniowa niezależność. Algebra liniowa. V. Rząd macierzy. Baza podprzestrzeni wektorowej

1 Rząd macierzy. 2 Liniowa niezależność. Algebra liniowa. V. Rząd macierzy. Baza podprzestrzeni wektorowej 1 Rząd macierzy Rozpatrzmy równanie jednorodne Ax = 0, gdzie A M(n, k). Wiemy, że posiada ono rozwiązanie. Jednakże wymiar macierzy A, a tym samym liczba równań w odpowiadającym jej układzie równań liniowych

Bardziej szczegółowo

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Łukasz Kowalik Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski April 8, 2016 Łukasz Kowalik (UW) LP April 8, 2016 1 / 15 Problem diety Tabelka wit. A (µg) wit. B1 (µg) wit. C (µg) (kcal)

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych

Bardziej szczegółowo

14. Przestrzenie liniowe

14. Przestrzenie liniowe 14. 14.1 Sformułować definicję przestrzeni liniowej. Podać przykłady. Przestrzenią liniową nad ciałem F nazywamy czwórkę uporządkowaną (V, F,+, ), gdzie V jest zbiorem niepustym, F jest ciałem, + jest

Bardziej szczegółowo

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi Układy równań Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca 2014 1 Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi 1.1 Pojęcie układu i rozwiązania układu Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Metoda eliminacji Gaussa

Wykład 5. Metoda eliminacji Gaussa 1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=

Bardziej szczegółowo

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Wielomiany podstawowe wiadomości

Wielomiany podstawowe wiadomości Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych

Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych 13 maja 2005 1 Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1 (równanie liniowe). Równaniem liniowym będziemy nazwyać równanie postaci: ax = b, gdzie x oznacza niewiadomą,

Bardziej szczegółowo

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0 Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto

Bardziej szczegółowo

Praca domowa - seria 6

Praca domowa - seria 6 Praca domowa - seria 6 28 grudnia 2012 Zadanie 1. Znajdź bazę jądra i obrazu przekształcenia liniowego φ : R 4 wzorem: R 3 danego φ(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 +2x 2 x 3 +3x 4, x 1 +x 2 +2x 3 +x 4, 2x

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Co można zrobić z układem równań... tak, aby jego rozwiazania się nie zmieniły? Rozważam

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE PROGRAMOWANIE KWADRATOWE Programowanie kwadratowe Zadanie programowania kwadratowego: Funkcja celu lub/i co najmniej jedno z ograniczeń jest funkcją kwadratową. 2 Programowanie kwadratowe Nie ma uniwersalnej

Bardziej szczegółowo

Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u

Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Macierze szyfrujące. 4.1 Algebra liniowa modulo 26

Rozdział 4. Macierze szyfrujące. 4.1 Algebra liniowa modulo 26 Rozdział 4 Macierze szyfrujące Opiszemy system kryptograficzny oparty o rachunek macierzowy. W dalszym ciągu przypuszczamy, że dany jest 26 literowy alfabet, w którym utożsamiamy litery i liczby tak, jak

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ, LISTA ZADAŃ NR 8

ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ, LISTA ZADAŃ NR 8 ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ, LISTA ZADAŃ NR 8 1. Sprawdzić, czy następujące podzbiory są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni R n (dla odpowiednich n) (a) {[u, v, 2u, 4v] ; u, v R} R 4, (b) {[u, v,

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera

Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =

Bardziej szczegółowo

Lista nr 1 - Liczby zespolone

Lista nr 1 - Liczby zespolone Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić

Bardziej szczegółowo

Algorytm simplex i dualność

Algorytm simplex i dualność Algorytm simplex i dualność Łukasz Kowalik Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski April 15, 2016 Łukasz Kowalik (UW) LP April 15, 2016 1 / 35 Przypomnienie 1 Wierzchołkiem wielościanu P nazywamy

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 9 Baza i wymiar liniowej Baza liniowej Niech V bedzie nad cia lem K Powiemy, że zbiór wektorów {α,, α n } jest baza V, jeżeli wektory α,, α n sa liniowo niezależne oraz generuja V tzn V = L(α,,

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo