NIERÓWNOŚCI CYKLOMETRYCZNE

Transkrypt

1 NIERÓWNOŚCI CYKLOMETRYCZNE Wśród wielu typów nierówności rozwiązywanych przez uczniów liceów ogólnokształcących, na uwagę zasługują również nierówności cyklometryczne. W okresie poprzedzającym wprowadzenie reformy edukacji narodowej w roku, tematykę tę można było realizować podczas standardowych jednostek lekcyjnych, w klasach o rozszerzonym zakresie nauczania matematyki. Obecnie, po zredukowaniu okresu nauki w liceach ogólnokształcących do trzech lat, powyższemu zagadnieniu można poświęcić uwagę w ramach zajęć matematycznego koła przedmiotowego. Rozwiązywanie nierówności cyklometrycznych stanowi sposobność utrwalenia tożsamości trygonometrycznych oraz stwarza możliwość zapoznania się z podstawowymi tożsamościami cyklometrycznymi. Implikuje również konieczność określania monotoniczności funkcji trygonometrycznych w odpowiednich przedziałach. Rozpatrzmy nierówność: Ustalamy dziedzinę nierówności: arccos + arccos arccos. D : Zbiorem wartości funkcji f ( arccos jest przedział 0 Π. Analizując powyższą nierówność należy zatem rozpatrzyć dwa przypadki. Przypadek I Zakładamy, że lewa strona nierówności jest wyrażeniem należącym do przedziału 0 Π. Spełniony być musi wówczas układ warunków: arccos + arccos 0 arccos + arccos Π Pierwsza z tych nierówności jest nierównością tożsamościową.

2 Pozostaje rozwiązać nierówność: arccos + arccos Π. Po lewej stronie nierówności pozostawiamy jedno z wyrażeń cyklometrycznych: arccos Π arccos. Obie strony nierówności należą do przedziału jako argumenty funkcji g( cos 0 Π. Zatem obie strony można traktować w przedziale 0 Π. Ze względu na to, że funkcja g w danym przedziale jest malejąca, po przyłożeniu operatora funkcyjnego g do obu stron nierówności, należy zmienić zwrot nierówności na przeciwny. Otrzymujemy: cos(arccos cos( arccos Korzystając ze wzoru redukcyjnego mamy: cos(arccos Czyli: cos(arccos Uwzględniając dziedzinę otrzymujemy warunek: Gdy warunek ten jest spełniony, obie strony wyjściowej nierówności należą do przedziału 0 Π. Możemy zatem do obu stron przyłożyć operator funkcyjny g, pamiętając o zmianie zwrotu nierówności. Otrzymujemy: cos(arccos + arccos cos(arccos. Stosujemy wzór wyrażający cosinus sumy kątów. cos(arccos cos(arccos Korzystamy z tożsamości cyklometrycznej: sin(arccos sin(arccos. sin(arccos

3 Otrzymujemy nierówność: Mnożymy obie strony nierówności przez. ( ( Dokonujemy izolacji wyrażenia pierwiastkowego, zmieniając jednocześnie znaki w obu czynnikach wyrażenia podpierwiastkowego na przeciwne. ( ( Rozwiązujemy nierówność pierwiastkową rozpatrując dwa przypadki: 0 ( ( ( 0 ( ( < 0 + ( < 0 Dostrzegamy, iż liczba jest pierwiastkiem wielomianu stopnia trzeciego. Zatem, na 0 mocy twierdzenia Bezout, jest on podzielny przez dwumian ( Rozkładamy na czynniki dany wielomian. W ( 77 + P. + + ( ( ( ( ( Wyznaczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego. ( ** ( + 08* * ( + 08 *88 ***7 *** 7 ** 7 7 Obliczamy miejsca zerowe trójmianu kwadratowego: ,8, 0 0

4 Zatem W ( ( 0 0 Otrzymujemy alternatywę: 0 + ( Rozwiązujemy nierówność stopnia trzeciego metodą graficzną szkicując przybliżony wykres wielomianu Uwzględniając warunek spełniony w I przypadku otrzymujemy: 0. Przypadek II Zakładamy, że lewa strona nierówności jest wyrażeniem należącym do przedziału ( +. Spełniony musi być wówczas warunek: arccos + arccos >. Po lewej stronie nierówności pozostawiamy jedno z wyrażeń cyklometrycznych. arccos > arccos.

5 Obie strony nierówności należą do przedziału 0. Zatem obie strony można traktować jako argumenty funkcji g( cos w przedziale 0. Ze względu na to, że funkcja g w danym przedziale jest malejąca, po przyłożeniu operatora funkcyjnego g do obu stron nierówności, należy zmienić zwrot nierówności na przeciwny. Otrzymujemy: cos arccos < cos arccos Korzystając ze wzoru redukcyjnego mamy: Czyli: cos arccos < cos arccos 0 < + < 0 + < 0 < 0 < 0 Uwzględniając dziedzinę otrzymujemy warunek: 0. ( 0 Gdy warunek ten jest spełniony, lewa strona wyjściowej nierówności należy do przedziału ( +, zaś prawa strona należy do przedziału 0. Zatem nierówność jest spełniona tożsamościowo. Biorąc pod uwagę oba przypadki otrzymujemy alternatywę: 0 0. Jest ona równoważna warunkowi:. Przedział ten stanowi zbiór wszystkich rozwiązań wyjściowej nierówności. przedział Analogicznie możemy rozwiązać nierówność: arcsin + arcsin arcsin. Musimy jedynie pamiętać, że zbiorem wartości funkcji h( oraz, że funkcja k( sin jest rosnąca w przedziale arcsin jest, co skutkuje brakiem zmiany zwrotu nierówności podczas przykładania operatora funkcyjnego k do obu jej stron. Zbiorem wszystkich rozwiązań powyższej nierówności jest 0 { }.

6 Poniżej zamieszczam zestaw nierówności cyklometrycznych, o zróżnicowanym stopniu trudności, wraz z rozwiązaniami. a b c d e f g h i j k l ł arcsin Π < 0 Odp : 0 arcsin( Odp : arccos Odp : arctg( Odp : + 8, Π Π 0 Odp : ( arcctg( + arctg Odp : + Π < 0 Π 0 ( + arctg > ( 7 arccos arcsin < Odp : ( Odp : arccos arcsin arcctg < arctg Odp : ( + arctg + arcctg Odp : ( 0 arctg arcctg > Odp : arcsin Odp : arccos Odp : ( + + arcsin ( 0 + arccos 0 >

7 m n o p q r s t u v arctg + arctg < Odp : Odp : 0 ( 0 ( arcctg + arcctg arcsin ( Odp : arccos ( Odp : arctg ( 7 Odp : arcctg Odp : + arcsin + arccos > + arctg ( 7 ( + ( + ( Odp : 0 arcctg < arcsin arcsin arcsin + arccos Odp : 0 arcsin + arccos Odp : 0 arctg Odp : ( ( 0 ( + arctg( + < 0 w arcsin Odp : arcsin ( > arcsin y z arctg Odp : + + arcsin + + {,0} arcctg + arccos < Odp : ( arccos + arccos > arccos Odp :