Rachunek operatorowy Matlab

Transkrypt

1 Akaemia Mrka w Gyi Kaera Aumayki Okręwej Teria erwaia Rachuek perarwy Malab Mirław Tmera Rachuek perarwy je jeym z arzęzi maemayczych łużących rzwiązywaia liiwych rówań różiczkwych zwyczajych. W prówaiu z meą klayczą, mea rafrmay perarwej przekzałca rówaie różiczkwe zwyczaje w rówaie algebraicze, kóreg zmieą je perar Laplace'a. Wówcza, w celu uzykaia rzwiązaia w zieziie perara przekzałca ię rówaie algebraicze przy użyciu prych reguł maemayczych. Oaecze rzwiązaie rówaia różiczkweg uzykiwae je pprzez zawaie wrej rafrmay Laplace'a. Pawwe właści rafrmay Laplace'a zebrae zały w abeli, amia rafrmay perarwe ajppulariejzych fukcji w abeli.. ROZKŁAD FUNKCJI OPERATOROWEJ NA UŁAMKI ZWYKŁE Rzważ aępującą fukcję perarwą zapiaą w paci ilrazu wóch wielmiaów B()/A(): B( ) A( ) um e bm a w kórych iekóre ze wpółczyików m b a a i raz m m... b... a 0 0 () b j mgą być rówe zer. W MATLABIE wekry wierzwe um raz e kreślają wpółczyiki liczika i miawika ramiacji. Wbec eg Pleceie um [ bm bm... b0 ] e [ a a... a0 ] [ r, p,k ] reiue(um,e) () wyzacza reiua r, bieguy p raz wpółczyiki ałe k rzkłau fukcji perarwej a ułamki pre ilrazu wóch wielmiaów B()/A(). Rzkła a ułamki pre ilrazu wielmiaów B()/A() je wówcza aępujący: B( ) A( ) um e r() r() r( )... k p() p() p( ) () Przykła Dkaj rzkłau a ułamki pre aępującej fukcji perarwej L( ) um G( ) M ( ) e 6 0 (.) Rzwiązaie: Dla ej fukcji perarwej zapi w MATLABIE je aępujący Oaia akualizacja: M. Tmera

2 Teria erwaia Rachuek perarwy Malab >> um [ ] >> e [ 6 0 ] zawaie pleceia >> [r, p, k] reiue( um, e) aje aępujące wyiki r i i p i i k [] (Zauważ, że reiua zwracae ą w wekrze klumwym r, płżeia bieguów w wekrze klumwym p, a część całkwia w wekrze wierzwym k). Pwyżzy zapi w MATLABIE pwiaa aępującemu rzkławi a ułamki zwykłe fukcji perarwej (.): 0.0 j j G ( ) (.) 6 0 ( ( ( ) Pleceie reiue mże być rówież używae przekzałceia fukcji perarwej rzłżej a ułamki pre a pać ilrazu wóch wielmiaów (liczika i miawika). Pleceie je aępujące: >> [um, e] reiue(r, p, k) gzie wekry r, p, k mają warści uzykae z pwyżzeg rzkłau (.). Pleceie >> prium, e, ) wypiuje ilraz wielmiaów w zależści zmieej. um/e ^ ^ 6 ^ ^ 0 czyli a fukcja perarwa ma aką amą pać jak fukcja wyjściwa piaa wzrem (.).. ZNAJDOWANIE ODWROTNYCH TRANSFORMAT LAPLACE'A Zajwaie wrych rafrma Laplace a bywa ię przez rzkła fukcji perarwej a ułamki zwykłe i zalezieie pwiaającej jej fukcji czawej przez zawaie rafrma fukcji zajujących ię w abeli. Przykła iluruje ę meę. Oaia akualizacja: M. Tmera

3 Teria erwaia Rachuek perarwy Malab Tabela. Pawwe właści rafrmay Laplace a. Liiwść { af ( bf (} af () bf (), a, b ałe. Całkwaie w zieziie rzeczywiej f ( F ( ) 0 f (. Różiczkwaie w zieziie rzeczywiej f ( F( ) k0.a. pierwza pcha f ( F( ) f (0).b. ruga pcha k f ( k) (0) f ( () F( ) f (0) f (0). Całkwaie w zieziie zeplej (zmieej ) f ( F( ) 5. Różiczkwaie w zieziie zeplej (zmieej ) { F( ) f ( } () 6. Przeuięcie w zieziie rzeczywiej e T {f( T)} F(), T je ałą 7. Twierzeie warści pcząkwej lim f ( lim F( ) 0 8. Twierzeie warści kńcwej lim f ( lim F( ) 0 9. Przeuięcie w zieziie zeplej (zmieej ) { e a f ( } F( a) 0. Zmiaa kali {f(a} F, a je ałą aią a a. Spl fukcji (wierzeie Brela) { f( f ( } F ( ) F ( ), gzie f( f ( f ( ) f ( ) 0 Oaia akualizacja: M. Tmera

4 Teria erwaia Rachuek perarwy Malab Tabela. Wybrae rafrmay Laplace a f( F(). ( (impul jekwy). ( ) (kk jekwy). T ( ( kt) ( k0. ( 5. ( ) 6. (! 7. e ( 8. e ( 9. e! ( 0. i (. c (. i ( e T ( ) ( ). c ( e. i ( 5. e c ( 6. Ae c( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) Ae j ( Ae j ( Oaia akualizacja: M. Tmera

5 Teria erwaia Rachuek perarwy Malab Przykła Zajź fukcję czawą aępującej fukcji perarwej 0.0 j j G ( ) (.) ( ( ( ) i wykreśl ją przy użyciu MATLABA. Rzwiązaie: Fukcja perarwa (.) je już rzłża a ułamki pre. W fukcji ej wyępują bieguy zeple i wa reiua w paci zeplej raz biegu wukry. W celu zawaia wzru 6 z abeli, reiua zeple ależy przekzałcić paci wykłaiczej. Pać wykłaiczą mża zaleźć p zawaiu aępujących pleceń: >> M ab( r()); M 0.05 >> fi agle( r())*80/pi fi 5.0 P zalezieiu paci wykłaiczej reiuów zeplych, fukcja perarwa (.) mże zać zapiaa w paci G() ( e j ( e j ( ) Fukcja czawa wyzaczaa je z paci perarwej przy użyciu wrej rafrmay Laplace'a czyli w ym przypaku g ( 5 j5 j e e ( ( (.) g ( { G ( )} (.). ( ) P zawaiu wzrów (6) i (7) raz (8) z abeli, uzykuje ię aępującą fukcję czawą g( 0.e c( 5 ) 0.06e (.).e la 0 (.5) Wykre przebiegu czaweg fukcji (.) uzykay zaie p apiaiu aępujących liii ku prgramu. [0:0.0:0]; y 0.*exp(-*.*c(*5*pi/80) 0.06*exp(-.*.*exp(-; pl(, y, 'k-') ile('rzwiązaie w zieziie czau') xlabel(' []') ylabel('g(') gri Uzykay wykre fukcji czawej (.5) zajuje ię a ryuku.. Oaia akualizacja: M. Tmera 5

6 Teria erwaia Rachuek perarwy Malab. Rzwiązaie w zieziie czau..0 g( [] Ry... Wykre czawy fukcji.5.. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH Zaie uaj przeawie rzwiązywaie rówań różiczkwych liiwych acjarych przy użyciu mey rafrmay perarwej Laplace'a, kóra kłaa ię z czerech krków:. Trafrmwaie rówaia różiczkweg w ziezię zmieej zeplej przy użyciu przekzałceia perarweg Laplace'a.. Przekzałcaie uzykaeg rówaia algebraiczeg i wyzaczeie zmieej wyjściwej.. Wykaie rzkłau a ułamki pre fukcji perarwej piującej zmieą wyjściwą.. Uzykaie rzwiązaia w zieziie czau pprzez zawaie wrej rafrmay Laplace'a. W celu zczegółweg wyjaśieia mey rzwiązywaia liiwych acjarych rówań różiczkwych przy użyciu rafrmay perarwej Laplace'a przeawiy zał piżzy przykła. Przykła Zajź rzwiązaie piżzeg rówaia różiczkweg (..) z uwzglęieiem waruków pcząkwych i uzykae rzwiązaie przeaw w paci przebiegu czaweg y ( Waruki pcząkwe la rówaia (..) e i, (.) y (0) 0 (.) () y (0) (.) Rzwiązaie: Pając rówaie różiczkwe (.) buremu przekzałceiu Laplace'a, uzykuje ię la każeg elemeu aępujące fukcje perarwe: Oaia akualizacja: M. Tmera 6

7 Teria erwaia Rachuek perarwy Malab { y ( } Y () (.) y ( Y( ) 0) (.5) () Y( ) 0) y (0) (.6) { e i } ( ) (.7) P pawieiu wyrażeń (.), (.5), (.6) raz (.7) rówaia (.) rzymuje ię [ () Y( ) 0) y (0)] [ Y( ) 0)] Y () ( ) Pawiając rówaia (.8) pae waruki pcząkwe lub [ Y ( ) ] Y () Y () ( ) ( ) Y () Wyzaczając Y () z rówaia (.8) uzykuje ię Y () ( )( ) ( )( ) (.8) (.9) (.0) (.) Sprawzeia pprawści wyzaczeia fukcji perarwej (.) mża kać krzyając z wierzeia warści pcząkwej (abela, wzór 7), jeak pprawść eg prawzeia ie gwarauje, że je pewść iż uzykaa fukcja perarwa je pprawa, ale pzwala a wykrycie barz użych błęów. y (0) lim lim Y( ) lim 0 (.) Uzykaa warść je rówa pierwzemu warukwi pcząkwemu 0) 0, jeak bliczeie ie pzwala wierzić czy pprawe ą wpółczyiki fukcji perarwej (.). Ciąg alzy wyzaczaia fukcji perarwej (.) zajuje ię w przykłazie, a aępie w przykłazie i aeczie uzykay wykre czawy a ryuku.. Kleje prawzeie uzykaeg wyiku przeprwaza ię a wykreie czawym, wykre mui zaczyać ię w pukcie kreślym przez waruek pcząkwy 0), amia warść uala mża wyzaczyć krzyając z wierzeia warści kńcwej (abela, wzór 8), la rzparywaeg w ym przykłazie rówaia różiczkweg uzykaa fukcja czawa uala ię a pzimie wyzaczym w piżzym rówaiu (.) y () lim lim Y( ) 0 lim 0 (.) Czyli w ym przypaku rzwiązaie pwi zaczyać ię i ualać przy warści zer. Oaia akualizacja: M. Tmera 7

8 Teria erwaia Rachuek perarwy Malab ĆWICZENIA W MATLABIE M. Dla piżzych rafrmwaych ygałów, zajź la 0 i wykreśl w MATLABIE. a) Y () b) Y () c) Y () ) Y () e) Y () ( ) ( )( ) 0 5 6e 5 6 M. Krzyając z prgramwaia arzęziweg MATLAB, kaj rzkłau a ułamki pre aępujących fukcji perarwych a) b) c) ) e) 0( ) G ( ) ( )( )( 5)( 6) G ( ) G ( ) G ( ) 0( ) ( )( 6) 5( ) ( )( 5) ( ) 00( ) G ( ) ( 5 ) f) G ( ) ( )( ) 5e g) G( ) ( )( h) i) G ( ) ( ) )( ) 00( ) G( ) e ( )( ) ( ) G ( ) ( ) k) l) G ( ) ( ) ( ) G ( ) ( )( 5 5) M. Zajź wre rafrmay Laplace a la fukcji perarwych z zaaia M i aryuj je w MATLABIE. M.. Krzyając z me rafrmay Laplace a rzwiąż aępujące rówaia różiczkwe la 0 z uwzglęieiem waruków pcząkwych i przeaw uzykae rzwiązaia a wykreie czawym: a) b) 5 y (0) () y (0) () y (0) y (0) 0 y ( 5 () y (0) y ( y ( c) y ( 6 c y (0) ) y (0) () y (0) () y (0) y ( e) y ( y (0) f) y ( y ( i y (0) 6 y ( e y ( ( ( Oaia akualizacja: M. Tmera 8

9 Teria erwaia Rachuek perarwy Malab g) y ( y (0) () y (0) 5 y ( ( y ( y (0) () y (0) y ( 5 e h) y (0) 0 y ( () y (0) y ( e k) y (0) y ( () y (0) i) y ( y (0) () y (0) y ( i l) y ( y (0) () y (0) 6 e c ODPOWIEDZI DO WYBRANYCH ĆWICZEŃ M. a) ( e b) e e c) e e 8 e ) (.6e c( 5.9 ) e) e e [6 ( ( e 6 e ] ( ) M a) G ( ) b) G( ) 6.5. c) G( ) 5 65 j 65 j ) G( ) j j e) G( ) f) G( ) j j 5.5 j..5 j. g) G( ) e j0.866 j j0. 0. j h) G( ) j j ( ) 0 j5 0 j j5.5 j5 0 5 i) G( ) e j j j j j0.675 j j j0.890 G( ) j.9 j.9 ( j.9) ( j.9) Oaia akualizacja: M. Tmera 9

10 Teria erwaia Rachuek perarwy Malab 0 k) G ( ) ( ) ( ) 0..6 l) G ( ).8.6 M. a) g( 8.e 6 6 0e 5 5e.e b) g( 0.69 e e 0. ( c) g( e.5e.( ) g(.505c( 8. ) ( e) g( 0.9e 0.9e 00( f) g( e e c ( ( ( g) g( 5.77e c[0.866( ) 0 ] 5e h) g( 0.8 c( 5. ).8e.6 e ( i) k) l) M. g(.607 c( 5. ) 0e g( 79e g( e g( 0.( e a) Y () c( ) 90e e ( )( ) y ( (.6e.8 0.e e.80c[( ) 6.5 ] 0e e ( ) 5( ) c( ) ( b) Y () y ( ( )( )( ) e e e c) Y () ( )( 6 8 ) 0.75 j0.75 ( j0.75 (0 y (. e j5 (0 e. c( 5 ). e j5 (0 ) Y () y ( ( ( )( ) 0. 5e e e) Y () y ( f) Y ().5 ( ) e.5 ( 0. 5 ( )( 6).6 0. j0. (0 0. j0. ( e j (0. e j (0 Oaia akualizacja: M. Tmera 0

11 Teria erwaia Rachuek perarwy Malab y ( e c(.0 ) g) Y () 0 ( 5) 0..6 j. (.6 j. ( e j ( 6. e j ( y ( 0. ( 5.06 e c( 6.07 ) h) Y () y ( 6 ( )( )( ).5e.5 e.5 e.5 i) Y () 8 0 ( )( ) 0. j (0 0. j (0. j0. (. j0. ( 5.9 e j (0 5.9 e j (0 e e j ( y ( c( 5.9 ).6077 c(.97 ).987 e j.6077 ( Y () y ( 9 5 ( )( ) e 5 e 5 9 e ( 9 ( ) k) Y () ( ) 0 65 j (0.65 e j.505 (0 y ( (.505 c(.65 ) 65 j (0.65 e j.505 (0 l) Y () ( 6 )( 68 6) 0.05 j0.075 ( 0.05 j0.075 ( 0.75 j.0005 (.5 j.965) 0.75 j.0005 (.5 j.965) e j 8 ( e j 8 ( e j.5 (.5 j.965).5 y ( 8 e c( ).5 e c( ) e j.5 (.5 j.965) LITERATURA. Ambrki K., Maruak A., Teria erwaia w ćwiczeiach, PWN, Warzawa, Nie N. S. Crl Syem Egieerig, r e, Jh Wiley & S, Próchicki W., M. Dzia, Zbiór zaań z paw aumayki, Gańk, 99. Oaia akualizacja: M. Tmera