J. Szantyr - Wykład 5 Pływanie ciał

Transkrypt

1 J. Szantyr - Wykład 5 Pływanie ciał Prawo Archimedesa Na każdy element pola ds działa elementarny napór Napór całkowity P ρg S nzds Główny wektor momentu siły naporu M ρg r nzds S dp Αρχίµηδης ο Σΰρακοσιος Archimedes z Syrakuz 97 pne nρgzds Rzuty poziome naporu na osie Ox i Oy są równe zeru. Całkowity napór sprowadza się do siły pionowej działającej na dwie części powierzchni o wspólnym konturze: dolną BAD i górną BCD.

2 Napór na dolną powierzchnię P ρg zds ρg z S Napór na górną powierzchnię P ρg zds z S ρg Napór wypadkowy P P P g( ) g z ρ z z ρ Ostatecznie wypór hydrostatyczny W Pz ρg Siła wyporu hydrostatycznego działająca na ciało zanurzone w płynie jest równa ciężarowi płynu wypartego przez to ciało. Linia działania siły wyporu przechodzi przez środek masy płynu wypartego przez ciało, zwany środkiem wyporu.

3 Wyznaczenie linii działania siły wyporu. Składowe głównego momentu siły wyporu M x ρg ( ) ( yz) z z ydsz zds y ρg d ρg d ρg yd ρgyc z y S y C P z M gdzie y ρg y C ( zds xds ) yd współrzędna yśrodka objętości z z z ( xz ) z x z ρg d ρg d ρg xd S z ρgx gdzie: C x C x C P z xd współrzędna xśrodka objętości Linia działania siły wyporu hydrostatycznego jest skierowana pionowo i przechodzi przez punkt o współrzędnych x, C yc

4 Przykład : Stożek o wysokości h wykonany z materiału o ciężarze właściwym γ pływa w cieczy wierzchołkiem w dół. Obliczyć zanurzenie stożka jeżeli ciężar właściwy cieczy wynosi γ.

5 Rozwiązanie Jeżeli oznaczymy pole podstawy stożka, a pole wodnicy pływania A z, to siła ciężkości wynosi: G Ah hγ 3 a siła wyporu: W Az zγ 3 Ah γ Z warunku równowagi wynika: G W γ Ahh γaz z z h A γ Ponieważ: A A h z h z to ostatecznie: A h z h 3 γ γ z

6 Stateczność ciał pływających Stateczność ciała całkowicie zanurzonego Równowaga trwała środek wyporu znajduje się powyżej środka ciężkości rysunek a) i b). Przy wychyleniu z położenia równowagi powstaje moment pary sił przywracający poprzednie położenie.

7 Równowaga nietrwała (chwiejna) środek wyporu znajduje się poniżej środka ciężkości rysunki c) i d). Przy wychyleniu z położenia równowagi powstaje moment pary sił powiększający wychylenie. Równowaga obojętna rysunek e) w dowolnym położeniu ciała siły wyporu i ciężkości równoważą się nie dając momentu wpływającego na położenie ciała Wniosek: w przypadku ciała całkowicie zanurzonego dla zapewnienia równowagi trwałej konieczne jest umieszczenie środka wyporu powyżej środka ciężkości.

8 Stateczność ciała częściowo zanurzonego Założenie: kąt przechyłu jest mały W przypadku ciała częściowo zanurzonego przy przechyle środek wyporu zmienia swoje położenie. Analiza stateczności polega na określeniu położenia środka wyporu po przechyleniu ciała o kąt φ Moment przechylający: M 0 Ga sinϕ G ρg - ciężar ciała M 0 ρga sinϕ

9 Moment prostujący (przywracający) dm ydw dw ρgyds sinϕ dm ρgy ds sinϕ M ρg sinϕ S y ds M M + M ρg sinϕ y ds ρgi po prawej stronie przechylonego obiektu M ρg sinϕ x S sinϕ Definiuje się wysokość metacentryczną m (patrz rysunek): M M 0 ρgi x sinϕ ρga m I x a I x sinϕ S S + S S y ds - moment bezwładności wodnicy - pole wodnicy objętość części zanurzonej

10 Możliwe są trzy przypadki: Wysokość metacentryczna jest dodatnia równowaga trwała - przy wychyleniu z położenia równowagi powstaje przywracający moment pary sił. Wysokość metacentryczna jest równa zeru równowaga obojętna Wysokość metacentryczna jest ujemna równowaga nietrwała (chwiejna) przy wychyleniu z położenia równowagi powstaje moment pary sił pogłębiający wychylenie. Wniosek: ciało częściowo zanurzone może znajdować się w równowadze trwałej nawet jeśli środek ciężkości znajduje się powyżej środka wyporu. Środek ciężkości może znajdować się tym wyżej im większy jest moment bezwładności wodnicy (czyli im szersze jest ciało).

11 Przykład Walec kołowy o promieniu podstawy R i wysokości HR pływa w położeniu pionowym (rysunek a). Środek ciężkości walca pokrywa się z jego srodkiem geometrycznym. Dla jakiej głębokości zanurzenia h równowaga walca będzie trwała?

12 Przekrój pływania (wodnica) walca jest kołem, którego moment bezwładności wynosi: 4 πr I x 4 Objętość wypartej przez walec cieczy wynosi: πr h Odległość pomiędzy środkiem ciężkości walca a środkiem wyporu wynosi: a H h R h

13 Podstawienie powyższych zależności do wzoru na wysokość metacentryczną prowadzi do: I x R m a R + 4h Co można przekształcić do postaci: 4mh R 4Rh + h Wykresem tej funkcji jest parabola (rysunek b), której miejsca zerowe można wyznaczyć przyrównując prawą stronę do zera. h 4Rh + R Powyższe równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki: + h R 0, 9R h R, 7R 0 h

14 Z wykresu na rysunku b wynika, że równowaga trwała walca występuje przy płytkim zanurzeniu spełniającym warunek: h < 0, 9R oraz przy zanurzeniu głębokim: h >, 7R Dla pośrednich zanurzeń walca równowaga jego jest nietrwała (chwiejna).