rectan.co.uk 1. Szkic projektu Strona:1

Transkrypt

1 Zadanie: Wyznaczyć położenie głównych centralnych osi bezwładności i obliczyć główne centralne momenty bezwładności 1. Szkic projektu * Rozwiązanie zadania * Oznaczenia: A [cm²] - pole powierzchni figury Xo [cm] - współrzędna X środka ciężkości figury w układzie globalnym Yo [cm] - współrzędna Y środka ciężkości figury w układzie globalnym Strona:1

2 A x [cm³] - moment statyczny względem osi Y w układzie globalnym A y [cm³] - moment statyczny względem osi X w układzie globalnym Xc [cm] - współrzędna X środka ciężkości układu figur w układzie globalnym Yc [cm] - współrzędna Y środka ciężkości układu figur w układzie globalnym xc [cm] - odległość X pomiędzy środkiem ciężkości figury a środkiem ciężkości układu yc [cm] - odległość Y pomiędzy środkiem ciężkości figury a środkiem ciężkości układu cy [cm] - odległość X pomiędzy środkiem ciężkości figury a Left cx [cm] - odległość Y pomiędzy środkiem ciężkości figury a Top Jx [cm4] - moment bezwładności figury względem osi X Jy [cm4] - moment bezwładności figury względem osi Y Dxy [cm4] - dewiacyjny moment bezwładności figury A x x [cm4] - element do wzoru Steinera A y y [cm4] - element do wzoru Steinera A x y [cm4] - element do wzoru Steinera [... tablice] lub Red Book - wartość odczytana z Tablic Inżynierskich Transformacja Kątowa : współrzędne X i Y obliczamy ze wzorów na obrót układu: X = X cos(φ) Y sin(φ) Y = X sin(φ) + Y cos(φ) gdzie X i Y to punkt po transformacji kątowej a X' i Y' punkt przed transformacją kątową gdzie φ to kąt obrotu figury układ X'Y' względem układu XY - jeżeli jest on zgodny z ruchem wskazówek zegara to jest on ujemny Transformacja Liniowa : współrzędne Xo i Yo obliczamy ze wzorów na przesunięcie układu: gdzie dx i dy to współrzędne początku (TopLeft) figury w nowym położeniu X o = dx + X Y o = dy + Y Strona:

3 . Położenie XcYc głównych centralnych osi bezwładności względem układu XY Obliczenie nowych wartości środka ciężkości figury po obrocie o kąt i przesunięciu do punktu docelowego. Figura znajduje się teraz w takim położeniu jak wzory podane na obliczanie momentów. Układ taki nazywamy układem lokalnym figury..1.figura Prostokąt b=11[cm] h=6[cm] kąt OX: 0 [stopnie] transformacja liniowa figury do punktu docelowego o wektor dx i dy dx = 5 [ cm ] dy = 10 [ cm ] X o = = 10.5 [ cm ] Y o = 10 + ( 3) = 7 [ cm ]..Figura ćwiartka koła r=4[cm] kąt OX: 0 [stopnie] transformacja liniowa figury do punktu docelowego o wektor dx i dy dx = 5 [ cm ] dy = 4 [ cm ] X o = = [ cm ] Y o = = [ cm ] Strona:3

4 .3.Figura Dwuteownik 10 INP kąt OX: [stopnie] Transformacja kątowa : figury w układzie lokalnym o kąt φ = 4 9 ' 4 ' ' X =.9 [ cm ] Y = ( 6) [ cm ] X =.9 cos(φ) ( 6) sin(φ) Y =.9 sin(φ) + ( 6) cos(φ) X =.9 cos(( )) ( 6) sin(( )) Y =.9 sin(( )) + ( 6) cos(( )) X = ( 6) Y = ( 6) X =.6459 (.4559) = [ cm ] Y = ( ) = ( 4.874) [ cm ] transformacja liniowa figury do punktu docelowego o wektor dx i dy dx = ( 0.919) [ cm ] dy = 5.66 [ cm ] X o = ( 0.919) = [ cm ] Y o = ( 4.874) = [ cm ] ΣA = [ cm ] ΣAx = [ cm 3 ] Strona:4

5 ΣAy = [ cm 3 ] Xc = ΣAx = = [ cm ] ΣA Yc = ΣAy = = [ cm ] ΣA Tabela Środki ciężkości Figur Fig. Xo [cm] Yo [cm] A [cm²] A x [cm³] A y [cm³] Sumy Momenty bezwładności 1.1.Figura Prostokąt b=11[cm] h=6[cm] kąt OX: 0 [stopnie] Wartości Jxo, Jyo, Dxyo w układzie XoYo bez obrotu figury Układ nachylony nie występuje kąt nachylenia jest równy zero względem naszego układu XY Jx o = 198 [ cm 4 ] Jy o = [ cm 4 ] Strona:5

6 Dxy o = 0 [ cm 4 ] Ocena czy figura podana została jako ujemna pole dodatnie: figura została podana jako dodatnia wartości: Jxo, Jyo, Dxyo zostaną przy swoich znakach Odległości od środka ciężkości figury do środka ciężkości układu x = Xo Xc = = [ cm ] y = Yo Yc = = [ cm ] 1..Figura ćwiartka koła r=4[cm] kąt OX: 0 [stopnie] Wartości Jxo, Jyo, Dxyo w układzie XoYo bez obrotu figury Układ nachylony nie występuje kąt nachylenia jest równy zero względem naszego układu XY Jx o = ( ) [ cm 4 ] Jy o = ( ) [ cm 4 ] Dxy o = [ cm 4 ] 1... Ocena czy figura podana została jako ujemna pole ujemne: figura została podana jako ujemna wartości: Jxo, Jyo, Dxoyo zostały zmienione na przeciwne Jx o = ( ) [ cm 4 ] Strona:6

7 Jy o = ( ) [ cm 4 ] Dxy o = [ cm 4 ] pole ujemne: figura została podana jako ujemna wartość: A - pole powierzchni zostało zmienione na ujemne A = ( ) [ cm ] Odległości od środka ciężkości figury do środka ciężkości układu x = Xo Xc = = ( 3.314) [ cm ] y = Yo Yc = = ( ) [ cm ] 1.3.Figura Dwuteownik 10 INP kąt OX: [stopnie] Wartości Jxo, Jyo, Dxyo w układzie XoYo bez obrotu figury Momenty i dewiacje dla układu nachylonego względem naszego układu XY (ponieważ kąt nachylenia analizowanej figury jest różny od zera i wynosi jak poniżej to należy obliczyć układ nachylony ) α = 4 9 ' 4 ' ' Momenty wejściowe do obliczenia układu nachylonego Jx o = 38 [ cm 4 ] Jy o = 1.5 [ cm 4 ] Dxy o = 0 [ cm 4 ] Strona:7

8 1.3.. Jx w układzie nachylonym Jx c = Jx o +Jy o = = Jx o Jy o cos(α) Dxy o sin(α) = cos(( )) 0 sin( ( )) = cos(( )) 0 sin(( )) = = ( ) = = = [ cm 4 ] Jy w układzie nachylonym Jy c = Jx o +Jy o = = Jx o Jy o cos(α) + Dxy o sin(α) = cos( ( )) 0 sin( ( )) = cos(( )) 0 sin(( )) = = ( ) = = = [ cm 4 ] Dxy w układzie nachylonym Dxy c = Jx o Jy o sin(α) + Dxy o cos(α) = = sin( ( )) + 0 cos( ( )) = = sin(( )) = = ( ) = = ( ) + 0 = ( ) [ cm 4 ] Ocena czy figura podana została jako ujemna pole dodatnie: figura została podana jako dodatnia wartości: Jxo, Jyo, Dxyo zostaną przy swoich znakach Odległości od środka ciężkości figury do środka ciężkości układu x = Xo Xc = = ( 5.019) [ cm ] y = Yo Yc = = ( ) [ cm ] Strona:8

9 . Centralne Momenty bezwładności dla układu XcYc względem środka ciężkości Osi Centralnych.1. Sumy częściowe Jxo, Jyo, Dxoyo zestawienie sumowania przedstawiono w tabeli Excel *Momenty i Dewiacje* w dalszej części projektu ΣJx o = [ cm 4 ] ΣJy o = [ cm 4 ] ΣDxy o = ( ) [ cm 4 ] ΣAx o = [ cm 4 ] ΣAy o = [ cm 4 ] ΣAxy o = [ cm 4 ] 3. Jxc, Jyc, Dxyc całego układu zgodnie z twierdzeniem Steinera Jx c = ΣJx o + ΣAy o = = [ cm 4 ] Jy c = ΣJy o + ΣAx o = = [ cm 4 ] Dxy c = ΣDxy o + ΣAxy o = ( ) = [ cm 4 ] 3.1. Zestawienie Centralnych Jxc, Jyc, Dxyc do dalszych obliczeń Jx c = [ cm 4 ] Jy c = [ cm 4 ] Dxy c = [ cm 4 ] to są Centralne Momenty Bezwładności układu figur 4. Kąt OXc Głównych Centralnych osi bezwładności tan(α glowne ) = Dxy c Jy c Jx c = tan(α glowne ) = = = α glowne = arctan (tan(α glowne )) = α glowne = arctan(3.384) = [ stopnie ] 4.1. Kąt alfa α glowne = α glowne = ' 18 ' ' Strona:9

10 5. Główne Centralne momenty bezwładności 5.1. Jmax J max = Jy c +Jx c + ( Jy c Jx c ) + Dxy c = = ( ) = = (76.4) = = = = J max = (J I ) [ cm 4 ] 5.. Jmin J min = Jy c +Jx c ( Jy c Jx c ) + Dxy c = = ( ) = = (76.4) = = = = J min = (J II ) [ cm 4 ] Tabela Momenty i Dewiacje Fig. xc [cm] yc [cm] Jx [cm⁴] Jy [cm⁴] Dxy [cm⁴] A x x [cm⁴] A y y [cm⁴] A x y [cm⁴] Sumy Sprawdzenie 6.1. Niezmiennik J1 δj 1 = (Jy c + Jx c ) (J max + J min ) = 0 (Jy c + Jx c ) = = Strona:10

11 (J max + J min ) = = δj 1 = = Niezmiennik J δj = (Jy c Jx c Dxy c ) (J max J min ) = 0 (Jy c Jx c Dxy c ) = = (J max J min ) = = δj = = ( E 10) δ% = ( E 14)% 7. Wskaźniki Wx, Wy maxx -maksymalna odległość punktu układu od osi Xcentralnej maxy -maksymalna odległość punktu układu od osi Ycentralnej W x = W y = J x maxy = = cm3 J y maxx = = cm3 Strona:11

12 8. Szkic projektu Wydruk wygenerowany w programie Rectan Copyright 019 Rectan Strona:1