METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
|
|
- Jerzy Jankowski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Jednym z zastosowań metod numerycznych jest wyznaczenie pierwiastka lub pierwiastków równania nieliniowego. W tym celu stosuje się szereg metod obliczeniowych np: metoda stycznych (Newtona), metoda iteracji prostej, metoda siecznych, metoda połowienia (bisekcji), metoda Pegaza itd. Procedury te pozwalają uzyskać z zadaną dokładnością miejsca zerowe równania. Kilka przykładów rozwiązanych zadań pozwoli bliżej zapoznać się z tymi metodami, często przydatnymi w pracy chemika inżyniera. Zad. Obliczyć pierwiastek poniższego równania metodą Newtona z dokładnością e = = Przed przystąpieniem do obliczania należy poznać przebieg funkcji by w przybliżeniu określić granice przedziału, w którym znajduje się szukany pierwiastek. Funkcję można stablicować lub wykreślić jej przebieg jak to jest pokazane na poniższym wykresie = y - -4,5,5,75,5,5 Z wykresu widać, iż pierwiastek tej funkcji będzie mieścił się w granicach <,75;>. Lokalizacja miejsca zerowego równania =. Jeżeli funkcja ta spełnia warunek f(a)*f(b) <, gdzie a i b to granice przedziału lokalizacji pierwiastka, to funkcja ta posiada pierwiastek w tych granicach. y,75 -,973
2 Jak widać iloczyn wartości funkcji na granicach przedziału <,75;> jest ujemny = -,973. Czyli przedział ten zawiera w sobie miejsce zerowe tej funkcji lub ogólnie nieparzysta liczbę pierwiastków) Następnie należy wybrać metodę obliczeniową. W zadaniu tym zostanie użyta metoda stycznych (Newtona). Procedura ta należy do jednych z najszybciej zbieżnych metod służących do wyznaczania pierwiastków równań nieliniowych. Zbieżność jej została osiągnięta dzięki dodatkowemu nakładowi pracy jakim jest wyznaczenie pochodnej badanego równania. W niektórych przypadkach wyznaczenie pochodnej jest sprawą bardziej złożoną i zastosowanie tej metody nie jest opłacalne. Na poniższym rysunku pokazany jest sposób w jaki dążymy do wyznaczenia pierwiastka równania. ' f ( ) tgα = f ( ) =, po przekształceniu tej równości i zapisaniu w postaci ogólnej f ( k ) uzyskujemy wzór: k+ = k gdzie k =,, 3.. n. f '( k ) Po teoretycznym zapoznaniu się z wybraną metodą, wracamy do obliczeń. Kolejnym krokiem będzie wyznaczenie przybliżenia zerowego dla przedziału <,75;>, w tym celu należy sprawdzić wartość iloczynu pierwszej i drugiej pochodnej na granicach tego przedziału. Funkcja = 6 3 Pierwsza pochodna 7 + = Druga pochodna = Jak widać funkcja i pochodne są ciągłe w badanym przedziale, co jest warunkiem zbieżności metody Wartości dla =,75 i = przedstawia tabela: f() f'() f''(),75 -,973 6,3835 7,
3 Widać, że warunek f()*f ()> jest spełniony dla =. wybieramy go jako punkt startowy, z którego rozpoczniemy obliczenia. f ( k ) k+ = k (W) f '( k ) Podstawiając do powyższego wzoru = oraz wartości funkcji i pierwszej pochodnej otrzymujemy wynik:,973 = =, ,3835 Kolejnym krokiem jest obliczenie wartości funkcji i pierwszej pochodnej dla. Podstawiając do wzoru funkcji = i pierwszej pochodnej 7 + = uzyskujemy wartości: f ( ) =,46484 f '( ) = 5, Następnie powtarzamy czynność obliczeniową, podstawiając do wzoru (W) nowe wartości. Uzyskany w ten sposób równa się,947. Obliczona dla niego wartość funkcji i pierwszej pochodnej wynoszą odpowiednio: f ( ) =,444 f '( ) = 4,8435 Cały tok obliczeń powtarzamy wielokrotnie uzyskując następujące wyniki: f() f (),947,444 4,8435 3,946679,83548E-7 4, ,94666,658E-4 4, Obliczenia uznajemy za zakończone, a wynik za pierwiastek równania, gdy spełniony jest warunek : f ( n) < ε gdzie A = min f '( ) w rozpatrywanym przedziale. A Najmniejsza wartość pierwszej pochodnej w przedziale <,75;> wynosi A = 6,3835 Podstawiając do wzoru :,8354 6, < 5 Warunek jest spełniony, zatem można przyjąć, iż =, jest pierwiastkiem funkcji =. Przedstawione obliczenia potwierdzają, iż jest to najszybciej zbieżna metoda, satysfakcjonujący wynik uzyskaliśmy już w trzecim przybliżeniu.
4 Zad. Obliczyć pierwiastek poniższego równania metodą bisekcji z dokładnością e = sin - e = Metoda ta pozwala w prosty sposób wyznaczyć, z zadaną dokładnością, pierwiastki równania nieliniowego. Przed przystąpieniem do obliczania należy poznać przebieg funkcji by w przybliżeniu określić granice przedziału, w którym znajduje się szukany pierwiastek (można je oszacować z większym lub mniejszym przybliżeniem). Metoda ta może być stosowana w każdym przypadku, w którym funkcja w granicach podanego przedziału zmienia znak (po przejściu przez miejsce zerowe). Przyjrzyjmy się wykresowi podanej funkcji: 3 + sin -e = - y ,5 - -,75 -,5 -,5,5,5,75,5,5,75,5,5,75 Jak widać z wykresu funkcja ( 3 + sin - e = ) ma dwa miejsca zerowe znajdujące się w przedziałach <;,5> i <,5;>. Przy pomocy metody bisekcji wyznaczymy jeden z pierwiastków, z przedziału <;,5>, zaś drugi pozostawiam do indywidualnego wyliczenia w ramach ugruntowania tej metody. Metoda bisekcji (połowienia) zawsze jest zbieżna (zbieżność liniowa tej procedury gwarantuje odnalezienia pierwiastka równania jednak kosztem ilości iteracji). Poniższy rysunek obrazuje proces poszukiwania pierwiastków.
5 Lokalizacja miejsca zerowego równania 3 + sin - e = Pierwszym krokiem w metodzie bisekcji, jak zresztą w każdej innej tu prezentowanej, jest znalezienie przedziału w którym funkcja zmienia znak. W naszym przypadku jest to proste ponieważ dysponujemy wykresem tej funkcji. Z niego odczytujemy przedział <;,5>, w którym znajduje się pierwiastek funkcji. Aby sprawdzić ten przedział należy obliczyć wartości funkcji dla granic przedziału. Następnie sprawdzić czy iloczyn tych wartości jest mniejszy od zera. f ( ) f (,5) <,33747 < zatem można przystąpić do obliczenia pierwszego kroku iteracyjnego. Ogólny wzór tej metody wygląda następująco: k + k k+ = Pamiętając cały czas, iż do powyższego wzoru wybieramy te najbliższe i dla których wartości spełniają warunek: f ( ) f ( ) < k I tak: = a 5 =,,5 + = =,5; f (,5) =, 8665 Pamiętając o powyższym warunku do obliczenia 3 wybieramy =,5 i =,5 ponieważ iloczyn ich wartości jest ujemny.,5 +,5 3 = =,375 ; f (,375) =, 368 I znowu do obliczenia 4 wybieramy 3 =,375 i =,5 ponieważ iloczyn ich wartości daje wynik ujemny,375 +,5 4 = =,35 ; f (,35) =, 8994 Powyższą sekwencję obliczeń powtarzamy do momentu uzyskania wyniku dla którego spełniony jest warunek: f ( k ) < ε lub k+ k < ε
6 Reszta obliczeń została zebrana w tabeli : f() -,5,33747,5 -,8665,375,368 3,35 -,8994 4, ,4956 5, ,696 6,367875, ,36385, ,36385,6697 9, ,755, ,4595, ,4359, ,99 3, ,8E-5 4, ,36E-5 5, ,54E-5 6,3647-3,69E-6 pierwszy sposób zakończenia obliczeń lub drugi sposób : - 3,69 6 <,3647, < 7,63 6 < =,3647 spełnia warunek zakończenia obliczeń i jest pierwiastkiem tej funkcji ZALETA metody prostota, WADA metody wolna zbieżność procesu iteracyjnego. Zad. 3 Obliczyć pierwiastek poniższego równania uproszczoną metodą siecznych (reguła falsi) z dokładnością e = 4. 3 e =
7 W pierwszej kolejności przyjrzyjmy się wykresowi powyższej funkcji : 3 - e - - = 3 5 5,5 y 5-5, ,5 - -,5,5,5,5 3 3,5 4 Widać z niego, iż funkcja posiada miejsca zerowe w przedziale <;,5>. W treści zadania podano do informacji aby pierwiastek tego równania wyznaczono metodą siecznych. Metoda ta polega na wyznaczeniu pierwiastka równania przy pomocy ciągu miejsc zerowych siecznych poprowadzonych między punktami stanowiącymi krańce kolejnych przedziałów izolacji. (patrz wykres) Lokalizacja miejsca zerowego jest już znana z wykresu, przedział <;,5>, lecz dla formalności sprawdźmy warunek na krańcach tego przedziału. = f () =, =,5 f (,5) = 3,549 f ( ) f (,5) < Następnym krokiem w obliczaniu pierwiastka równania jest znalezienie przybliżenia zerowego, które dla metody siecznych ma postać: '' f() f () < ; gdzie to położenie jednego z krańców badanego przedziału Jak widać ze wzoru będą nam potrzebne wartości funkcji i jej drugiej pochodnej na krańcach przedziału:
8 f ( ) = f 3 '( ) = 3 e + e f "( ) = 6 e f() f"(x) -, ,63,5 3,549 4,979 Z powyższej tabeli jasno wynika, iż ujemny iloczyn wartości funkcji i jej drugiej pochodnej przypada dla = i tym samym jest on przybliżeniem zerowym a zarazem punktem startowym w dalszych obliczeniach. Do wyznaczenia kolejnych przybliżeń pierwiastka równania wykorzystamy wzór a + k k+ = ( ) k f f ( ) ( ) k gdzie k=,,3,.,n a f k Pierwszy obliczamy dla danych: = = k f ( a k f ( ) = =,5 a f ( ) = 3,549 ) =,36788 podstawiając do wzoru otrzymujemy wynik:,5 + = (,36788) =,38 3,549 (,36788) Następnie operacja się powtarza dla nowych danych: k f ( a = =,38 k ) = =,5 f ( ) =,38778 f ( a ) = 3,549 podstawiając je do wzoru uzyskujemy wartość,5 +,38 =,38, ,549,38778 =,39
9 Dalsze obliczenia zostały zgromadzone w tabeli: f() f'(x) f"(x) -, , ,63,5 3,5495 8,8385 4,979,38, ,5644,39 -,399 5, ,3647,76 5, ,3896 -,657 5,4484 5,34586,3996 5, , ,78 5, ,3467,946 5, ,3399 -,489 5, ,3447,63 5,44889, ,396 5,448399,343,746 5, Zakończenie obliczeń: f ( n) = f ( ) =,396 min f '( ) = f '() = 3, f < min f '( ) ( n) 4, = 4,465 < 3, Spełnienie powyższego warunku pozwala stwierdzi, iż =,33974 jest pierwiastkiem równania z dokładnością e = 4. Zad.4 Obliczyć pierwiastek funkcji: f ( ) = ln( + ) + z dokładnością ε = 5 metodą iteracji prostej. Zarówno jak w poprzednich zadaniach tak i tu w pierwszej kolejności przyjrzymy się wykresowi funkcji f ( ) = ln( + ) + :
10 y = ln(+) ,5,5 - -,5 y ,5 - -,5,5,5,5 3 Widać, iż funkcja posiada dwa pierwiastki jeden ujemny w przedziale <-;-,5> i drugi dodatni w przedziale <,5;,5>. Przy pomocy metody iteracji prostej obliczymy ujemny pierwiastek z dokładnością ε = 5. Metoda iteracji prostej polega na uściślaniu przybliżonej wartości pierwiastka. W tym celu należy przekształci funkcje y = f () do postaci = φ(). Należy pamiętać, że takie przekształcenie jest zawsze wykonalne i zazwyczaj można tego dokonać kilkoma sposobami. Proces wyznaczania metodą iteracyjną zobrazowany jest na poniższych wykresach. W zależności od wybranej funkcji = φ() jest ona zbieżna lub rozbieżna w danym przedziale.
11 Dla funkcji z treści zadania te transformacje wyglądają następująco: postać pierwotna ln ( + ) + = po przekształceniu : e = φ( ) ln( + ) + lub = φ( ) Wybór funkcji iteracyjnej jest podyktowany spełnieniem następującego warunku: < φ '( ) < Dla = φ( ) wzór pierwszej pochodnej wygląda następująco e φ '( ) = 4e Podstawiając do niego wartość -,5 z przedziału <-;-,5> otrzymujemy wartość: φ '( ) = 4 (,5) e (,5) =,3 Wynik wyszedł większy od jedności, zatem utworzony proces przez odwzorowanie = ϕ ( ) jest rozbieżny. Sprawdźmy drugi wzór: Jego pochodna: φ '( ) = 4 φ ( ) = ln( + ) + + Podstawmy =-,5 jak w poprzednim sprawdzeniu: ln( + ) + φ '(,5) = =,988 4 ln(,5 + ) +,5 + Uzyskana wartość mieści się w przedziale <;>, zatem można stwierdzić iż utworzony proces przez odwzorowanie = ϕ ( ) jest zbieżny. Oznacza to nic innego jak to, iż dalsze obliczenia wykonane będą przy pomocy tego wzoru. Obliczenia należy rozpocząć od wyznaczenia wartości przy pomocy wzoru: a + b + (,5) = = =,75 Pierwszy krok iteracyjny w celu uzyskania wartości : ln(,75 + ) + = =,783
12 Następny krok to podstawienie wartości do tego same wzoru: ln(,783 + ) + = =, Następne kroki wyglądają identycznie a wartości kolejno uzyskanych przedstawia tabela: Obliczenia można uznać za zakończone gdy spełniony zostanie warunek: q k+ k < ε q Gdzie q = maφ' ( ) oraz a < < b φ '( ) = φ '( ) = φ '(,5) =,988 widać, że ma φ '( ) to φ '( ). k 6 5 5,469 < Warunek spełniony, czyli 7 = -,77543 jest pierwiastkiem równania f ( ) = ln( + ) +. Zad. 5 Obliczyć pierwiastek funkcji: sin,5 = wszystkimi poznanymi do tej pory metodami z dokładnością e = 5 Tradycyjnie już rozwiązywanie tego zadania rozpoczniemy od przyjrzenia się wykresowi tej funkcji:
13 - sin -,5 =,5 y,5 -,5 - -,5 - -,75 -,5 -,5,5,5,75,5,5,75,5,5,75 Z wykresu odczytujemy przedział w którym funkcja zmienia znak <;> (czerwony kolor na wykresie). Lokalizacja miejsca zerowego: f ( ) f () <,947,8473 < Do dalszych obliczeń przydadzą się nam formy pierwszej i drugiej pochodnej funkcji: f ( ) = sin,5 f '( ) = cos f ''( ) = sin METODA NEWTONA Przybliżenie zerowe: f( ) f ( ) > dla przedziału <;>: f''(),8447,9997 Oba krańce przedziału mogą być przybliżeniem zerowym, do dalszych obliczeń wybieramy =. f ( k ) Wykorzystując wzór k+ = k obliczamy pierwiastek równania, tok obliczeń f '( k ) przedstawia poniższa tabela: f() f'() f''() -,947,459698,8447 =,8473,4647,9997, ,69837,83689,3683,45, , ,455,6666 4,737,55E-7,698
14 Zakończenie obliczeń f ( n) A < ε gdzie A = min f '( ) 7,55 <, Przedział <;> METODA BISEKCJI f() -,947,8473,5,555,5,55 3,5 -,77 4,875,63 5,565 -,95 6,7875,394 7,6465 -,436 8, ,99 9, ,8, ,, ,6E-5, ,4 3, , 4,7479 -,46 5, ,8 6, ,4E-5 7,7778,6E-5 8,7557-8,9E-6 Zakończenie obliczeń f ( n) < ε 8,9 6 < 5 Przedział <;> METODA SIECZNYCH '' Przybliżenie zerowe: f() f () < f ( ) = sin,5 f ''( ) = sin f () =,947 f "() =,8447 f () =,8473 f "() =,9997
15 Punktem startowym będzie = a + k Tok obliczeń, przy pomocy wzoru k+ = ( ) k f f ( ) ( ), przedstawia poniższa a f k tabela: f() f'() f''() -,947,459698,8447,8473,4647,9997,987 -,43,544735,89356,88,688,684,9547 3, ,96,6959,965 4,7456,39,69,938 5,797 -,E-5,695,97 6,734,86E-6,6985,93 Zakończenie obliczeń: f ( n) A < ε gdzie A = min f '( ) 6,86 5 <, METODA ITERACJI PROSTEJ Funkcja pierwotna f ( ) = sin, 5 Funkcja przekształcona φ ( ) = sin +, 5 Wybór funkcji iteracyjnej jest podyktowany spełnieniem następującego warunku: < φ '( ) < φ '( ) = cos Podstawiając do niego wartość z przedziału <;> otrzymujemy wartość: φ '( ) = cos =,543 Spełniony warunek, zatem dalsze obliczenia wykonamy za pomocą tej funkcji. Pierwsze działanie iteracyjne : a + b + = = =,5 = (sin) +,5 =,47495 Drugie = (sin,47495) +,5 =,989
16 Tok reszty obliczeń tą metodą przedstawia poniższa tabela: Φ() Φ'() f(),947,543 -,947,5997 -,465,8473 =,5,47495,7737,555, ,989,37699,4933,989756,838,36443,689 3,83833,753,379646,65 4,753693,774,3854,39 5,77464,786,38767,94 6,78639,7458,388479,359 7, ,738,38889,39 8,73836,764, ,4E-5 9,76458,743,388987,E-5,74375,735,3897 8,E-6,734874,73,3894 3,9E-6 Obliczenia można uznać za zakończone gdy spełniony zostanie warunek: q k+ k < ε q Gdzie q = maφ' ( ) oraz a < < b φ '( ) = φ '() =. 543 φ '() =,,465 widać, że ma φ '( ) to φ '(). 9,64 6 < 5 Wszystkie wyniki zostały wyznaczone z dokładnością e = 5, dokładne rozwiązanie tego równania dla y = to =, Wyniki uzyskane poszczególnymi metodami i błędy ich wyznaczenia względem wartości prawdziwej zostały zgromadzone w poniższej tabeli: LICZBA METODA WYNIK BŁĄD ITERACJI NEWTONA,737 3,56E-7 4 SIECZNYCH, ,E-6 6 ITERACJI, ,46E-6 BISEKCJI,7557,5E-5 8 Widać, iż najbardziej dokładną metodą jest metoda Newtona, a ponadto wynik uzyskuje się kilku krokach iteracyjnych. Najmniej dokładna i najbardziej pracochłonna z metod to metoda bisekcji, różnica miedzy wynikiem uzyskanym najdokładniejszą metoda a najmniej dokładną jest ponad sto razy większa.
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań nieliniowych
Rozwiązywanie równań nieliniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Przykłady wyznaczania miejsc zerowych funkcji f : f(ξ) = 0. Wyszukiwanie miejsc zerowych wielomianu n-tego stopnia. Wymiar tej przestrzeni wektorowej
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Wykład 7
Metody numeryczne Wykład 7 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Plan wykładu Rozwiązywanie równań algebraicznych
Bardziej szczegółowoWybrane metody przybliżonego. wyznaczania rozwiązań (pierwiastków) równań nieliniowych
Wykład trzeci 1 Wybrane metody przybliżonego wyznaczania rozwiązań pierwiastków równań nieliniowych 2 Metody rozwiązywania równań nieliniowych = 0 jest unkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej Rozwiązanie
Bardziej szczegółowo1 Równania nieliniowe
1 Równania nieliniowe 1.1 Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym jest numeryczne poszukiwanie rozwiązań równań nieliniowych, np. algebraicznych (wielomiany),
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. dr Artur Woike. Ćwiczenia nr 2. Rozwiązywanie równań nieliniowych metody połowienia, regula falsi i siecznych.
Ćwiczenia nr 2 metody połowienia, regula falsi i siecznych. Sformułowanie zagadnienia Niech będzie dane równanie postaci f (x) = 0, gdzie f jest pewną funkcją nieliniową (jeżeli f jest liniowa to zagadnienie
Bardziej szczegółowoROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym
Bardziej szczegółowoWprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Zazwyczaj nie można znaleźć
Bardziej szczegółowoLaboratorium 5 Przybliżone metody rozwiązywania równań nieliniowych
Uniwersytet Zielonogórski Wydział Informatyki, Elektrotechniki i Telekomunikacji Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Elektrotechnika niestacjonarne-zaoczne pierwszego stopnia z tyt. inżyniera
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne I Równania nieliniowe
Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoKubatury Gaussa (całka podwójna po trójkącie)
Kubatury Gaussa (całka podwójna po trójkącie) Całka podwójna po trójkącie Dana jest funkcja dwóch zmiennych f (x, y) ciągła i ograniczona w obszarze trójkątnym D. Wierzchołki trójkąta wyznaczają punkty
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 6 Rozwiązywanie równań nieliniowych Rozwiązaniem lub pierwiastkiem równania f(x) = 0 lub g(x) = h(x)
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska
METODY NUMERYCZNE Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska Met.Numer. Wykład 4 1 Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.
Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów. Plan wykładu: 1. Wyznaczanie pojedynczych pierwiastków rzeczywistych równań nieliniowych metodami a) połowienia (bisekcji)
Bardziej szczegółowoZagadnienia - równania nieliniowe
Zagadnienia - równania nieliniowe Sformułowanie zadania poszukiwania pierwiastków. Przedział izolacji. Twierdzenia o istnieniu pierwiastków. Warunki zatrzymywania algorytmów. Metoda połowienia: założenia,
Bardziej szczegółowoIteracyjne rozwiązywanie równań
Elementy metod numerycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 3 Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda siecznych Metoda stycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoMetody rozwiązywania równań nieliniowych
Metody rozwiązywania równań nieliniowych Rozwiązywanie równań nieliniowych Ogólnie równanie o jednej niewiadomej x można przedstawić w postaci f ( x)=0, x R, (1) gdzie f jest wystarczająco regularną funkcją.
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski
Metody numeryczne Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski Elektrotechnika stacjonarne-dzienne pierwszego stopnia
Bardziej szczegółowoElementy metod numerycznych
Wykład nr 5 i jej modyfikacje. i zera wielomianów Założenia metody Newtona Niech będzie dane równanie f (x) = 0 oraz przedział a, b taki, że w jego wnętrzu znajduje się dokładnie jeden pierwiastek α badanego
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów
Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 5. Przybliżone metody rozwiązywania równań 5.1 Lokalizacja pierwiastków 5.2 Metoda bisekcji 5.3 Metoda iteracji 5.4 Metoda stycznych (Newtona) 5.5 Metoda
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan
RÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski Przykład 1 Prędkość v spadającego spadochroniarza wyraża się zależnością v = mg ( 1 e c t) m c gdzie g = 9.81 m/s 2. Dla współczynnika oporu c
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą
METODY NUMERYCZNE Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Met.Numer. Wykład 4 1 Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą
Bardziej szczegółowoRównania nieliniowe. LABORKA Piotr Ciskowski
Równania nieliniowe LABORKA Piotr Ciskowski przykład 1. funkcja fplot fplot ( f, granice ) fplot ( f, granice, n, linia, tol ) [ x, y ] = fplot ( )» fplot ( sin(x*x)/x, [ 0 4*pi ] )» fplot ( sin(x*x)/x,
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Równania nieliniowe. Janusz Szwabiński.
Metody numeryczne Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl nm_slides-9.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 7/1/2003 20:18 p.1/64 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(
Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c
FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Co to znaczy rozwiazać równanie? Przypuśmy, że postawiono przed nami problem rozwiazania
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.
Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów. Plan wykładu: 1. Wyznaczanie pojedynczych pierwiastków rzeczywistych równań nieliniowych metodami a) połowienia (bisekcji)
Bardziej szczegółowoRzut oka na współczesną matematykę spotkanie 3: jak liczy kalkulator i o źródłach chaosu
Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 3: jak liczy kalkulator i o źródłach chaosu P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski MISH UW, semestr zimowy 2011-12 P.
Bardziej szczegółowoWyznaczanie miejsc zerowych funkcji
Wyznaczanie miejsc zerowych funkcji Piotr Modliński 6 października 010 Spis treści 1 Wstęp 1 Metody iteracyjne 1.1 Zbieżność metody............ Lokalizacja zer.............3 Metody odnajdywania zer.......3.1
Bardziej szczegółowoOtrzymaliśmy w ten sposób ograniczenie na wartości parametru m.
Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji f ( x) = x + mx + m 1 jest zbiór liczb rzeczywistych? We wzorze funkcji f(x) pojawia się funkcja kwadratowa, jednak znajduje się ona pod pierwiastkiem.
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci
Bardziej szczegółowoWyznaczanie miejsc zerowych funkcji
Wyznaczanie miejsc zerowych funkcji Piotr Modliński 31 października 010 Spis treści 1 Wstęp 1 Metody iteracyjne 1.1 Zbieżność metody............ Lokalizacja zer.............3 Metody odnajdywania zer.......3.1
Bardziej szczegółowoINFORMATYKA ELEMENTY METOD NUMERYCZNYCH.
INFORMATYKA ELEMENTY METOD NUMERYCZNYCH http://www.infoceram.agh.edu.pl METODY NUMERYCZNE Metody numeryczne zbiór metod rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane
Bardziej szczegółowoPochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją
Bardziej szczegółowoCałkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur
Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur Plan wykładu: 1. Kwadratury Newtona-Cotesa a) wzory: trapezów, parabol etc. b) kwadratury złożone 2. Ekstrapolacja a) ekstrapolacja Richardsona b) metoda Romberga
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.
Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów. Plan wykładu: 1. Wyznaczanie pojedynczych pierwiastków rzeczywistych równań nieliniowych metodami a) połowienia (bisekcji)
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do metod numerycznych Wykład 2 Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych
Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 2 Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Numeryczne
Bardziej szczegółowoZnaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie
Bardziej szczegółowoPochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją symbolami:
Bardziej szczegółowo9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA. A) B) C) D) Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. A) B) C) D)
FUNKCJA LINIOWA 1. Funkcja jest rosnąca, gdy 2. Wskaż, dla którego funkcja liniowa jest rosnąca Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. 3. Funkcja liniowa A) jest malejąca i jej
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoOptymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 1. Optymalizacja funkcji jednej zmiennej Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 28.02.2019 1 / 54 Plan wykładu Optymalizacja funkcji jednej
Bardziej szczegółowoObliczenia iteracyjne
Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Metody optymalizacji Metody poszukiwania ekstremum funkcji jednej zmiennej Materiały pomocnicze do ćwiczeń
Bardziej szczegółowoMetody Obliczeniowe w Nauce i Technice
7. Równania nieliniowe (non-linear equations) Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl Contributors Dawid Prokopek
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoPodstawą w systemie dwójkowym jest liczba 2 a w systemie dziesiętnym liczba 10.
ZAMIANA LICZB MIĘDZY SYSTEMAMI DWÓJKOWYM I DZIESIĘTNYM Aby zamienić liczbę z systemu dwójkowego (binarnego) na dziesiętny (decymalny) należy najpierw przypomnieć sobie jak są tworzone liczby w ww systemach
Bardziej szczegółowoPRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA
PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA Metody kolejnych przybli e Twierdzenie. (Bolzano Cauchy ego) Metody kolejnych przybli e Je eli funkcja F(x) jest ci g a w przedziale domkni tym [a,b] i F(a) F(b)
Bardziej szczegółowoSzukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)
Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015
Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 1 Metody numeryczne Dział matematyki Metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Bardziej szczegółowoWykresy i własności funkcji
Wykresy i własności funkcji Zad : (profil matematyczno-fizyczny) a) Wykres funkcji f(x) = x 6x + bx + c przechodzi przez punkt P = (, ), a współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoLab 10. Funkcje w argumentach funkcji metoda Newtona. Synonimy nazw typów danych. Struktury. Tablice struktur.
Języki i paradygmaty programowania 1 studia stacjonarne 2018/19 Lab 10. Funkcje w argumentach funkcji metoda Newtona. Synonimy nazw typów danych. Struktury. Tablice struktur. 1. Identyfikator funkcji,
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne
Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur
Bardziej szczegółowoKup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność
Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Spis treści WSTĘP 5 ROZDZIAŁ 1. Matematyka Europejczyka. Program nauczania matematyki w szkołach ponadgimnazjalnych
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (30h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (36 h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie
Bardziej szczegółowoFUNKCJE. Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Teoria funkcje cz.1. Definicja funkcji i wiadomości podstawowe
1 FUNKCJE Definicja funkcji i wiadomości podstawowe Jeżeli mamy dwa zbiory: zbiór X i zbiór Y, i jeżeli każdemu elementowi ze zbioru X przyporządkujemy dokładnie jeden element ze zbioru Y, to takie przyporządkowanie
Bardziej szczegółowoKurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 6 Teoria funkcje cz. 2
1 FUNKCJE Wykres i własności funkcji kwadratowej Funkcja kwadratowa może występować w 3 postaciach: postać ogólna: f(x) ax 2 + bx + c, postać kanoniczna: f(x) a(x - p) 2 + q postać iloczynowa: f(x) a(x
Bardziej szczegółowoWstęp do Programowania potok funkcyjny
Wstęp do Programowania potok funkcyjny Marcin Kubica 2010/2011 Outline Procedury wyższych rzędów 1 Procedury wyższych rzędów jako abstrakcje konstrukcji programistycznych Intuicje Procedury wyższych rzędów
Bardziej szczegółowoPo zapoznaniu się z funkcją liniową możemy przyjśd do badania funkcji kwadratowej.
Po zapoznaniu się z funkcją liniową możemy przyjśd do badania funkcji kwadratowej. Definicja 1 Jednomianem stopnia drugiego nazywamy funkcję postaci: i a 0. Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych
Bardziej szczegółowoKADD Minimalizacja funkcji
Minimalizacja funkcji Poszukiwanie minimum funkcji Foma kwadratowa Metody przybliżania minimum minimalizacja Minimalizacja w n wymiarach Metody poszukiwania minimum Otaczanie minimum Podział obszaru zawierającego
Bardziej szczegółowoEgzamin z Metod Numerycznych ZSI, Egzamin, Gr. A
Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, 06.2007. Egzamin, Gr. A Imię i nazwisko: Nr indeksu: Section 1. Test wyboru, max 33 pkt Zaznacz prawidziwe odpowiedzi literą T, a fałszywe N. Każda prawidłowa odpowiedź
Bardziej szczegółowozestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki
zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki poziom podstawowy rozumowanie i argumentacja karty pracy ZESTAW II Zadanie. Wiadomo, że,7 jest przybliżeniem liczby 0,5 z zaokrągleniem do miejsc po przecinku. Wyznacz przybliżenie
Bardziej szczegółowoBadanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = +
Badanie funkcji Zad : Funkcja f jest określona wzorem f( ) = + a) RozwiąŜ równanie f() = 5 b) Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f c) Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
Bardziej szczegółowoUkłady równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona) f(x) = 0, gdzie. dla n=2 np.
Układy równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona f(x 0, f ( f, f,..., f n gdzie 2 x ( x, x 2,..., x n dla n2 np. f ( x, y 0 g( x, y 0 dla każdej wielowymiarowej rozwinięcie w szereg Taylora
Bardziej szczegółowoFUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str
FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str. 178-180. Funkcja kwadratowa to taka, której wykresem jest parabola. Definicja Funkcją kwadratową nazywamy funkcje postaci
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne na poszczególne oceny branżowa szkoła I stopnia klasa 1 po gimnazjum
Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny branżowa szkoła I stopnia klasa 1 po gimnazjum I. Liczby rzeczywiste 1. Liczby naturalne 2. Liczby całkowite. 3. Liczby wymierne 4. Rozwinięcie dziesiętne liczby
Bardziej szczegółowoSkrypt 7. Funkcje. Opracowanie: L1
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 7 Funkcje 8. Miejsce zerowe
Bardziej szczegółowoMetody Numeryczne. Wojciech Szewczuk
Metody Numeryczne Równania nieliniowe Równania nieliniowe W tych równaniach jedna lub więcej zmiennych występuje nieliniowo, np równanie Keplera x a sin x = b. Zajmiemy się teraz lokalizacją pierwiastków
Bardziej szczegółowoMetody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych (5.3) Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech. x i. i =1
Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech 1 X =[x x Y y =[y1 x n], oznaczają wektory przestrzeni R n, a yn] niech oznacza liczbę rzeczywistą. Wyrażenie x i p 5.3.1.a X p = p n i =1 nosi nazwę p-tej normy
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne w przykładach
Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach
Bardziej szczegółowo3. Interpolacja. Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1) Dana jest funkcja y= f x określona i ciągła w przedziale [a ;b], która
3. Interpolacja Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1) Dana jest funkcja y= f x określona i ciągła w przedziale [a ;b], która przyjmuje wartości y 1, y 2,, y n, dla skończonego zbioru argumentów x 1, x
Bardziej szczegółowoVIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Bardziej szczegółowoCAŁKOWANIE NUMERYCZNE
CAŁKOWANIE NUMEYCZNE Zad. ozumnie wybraną metodą numeryczną oblicz wartość całki Oraz błąd jej wyznaczenia. ln(cos x ) dx Podana jest funkcja i granice w jakic należy ją scałkować. Jak wiadomo wynikiem
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
Bardziej szczegółowoEgzamin z Metod Numerycznych ZSI, Grupa: A
Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, 06.2005. Grupa: A Nazwisko: Imię: Numer indeksu: Ćwiczenia z: Data: Część 1. Test wyboru, max 36 pkt Zaznacz prawidziwe odpowiedzi literą T, a fałszywe N. Każda prawidłowa
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoNumeryczne rozwiązywanie równań i układów równań
Lekcja Strona z 2 Numeryczne rozwiązywanie równań i układów równań Rozwiązywanie pojedynczego równania - funkcja root Do rozwiązywania jednego równania z jedną niewiadomą służy funkcja root(f(z), z), gdzie:
Bardziej szczegółowoPrzykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym
Przykład 4.1. Ściag stalowy Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym rysunku jeśli naprężenie dopuszczalne wynosi 15 MPa. Szukana siła P przyłożona jest
Bardziej szczegółowoFunkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:
Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna
Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 (5.11.07) Funkcja logistyczna Rozważmy funkcję logistyczną y = f 0 (t) = 40 1+5e 0,5t Funkcja f może być wykorzystana np. do modelowania wzrostu masy ziaren kukurydzy (zmienna
Bardziej szczegółowoSkrypt 12. Funkcja kwadratowa:
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 12 Funkcja kwadratowa: 8.
Bardziej szczegółowoPochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoPlan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA
Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA Szkoła: Liceum Ogólnokształcące Klasa: pierwsza Poziom nauczania: podstawowy Numer programu: DPN-5002-31/08 Podręcznik: MATEMATYKA Anna Jatczak, Monika Ciołkosz,
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych 9. Minimalizacja: funkcje jednej zmiennej. P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/
Wstęp do metod numerycznych 9. Minimalizacja: funkcje jednej zmiennej P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2011 Lokalna minimalizacja ciagła Minimalizacja funkcji jest jedna z najważniejszych
Bardziej szczegółowoMetody Obliczeniowe w Nauce i Technice
9 - Rozwiązywanie układów równań nieliniowych Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl Contributors Anna Marciniec
Bardziej szczegółowoZadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:
Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, 6 11 6 11, tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Uprośćmy najpierw liczby dane w treści zadania: 8 2, 2 2 2 2 2 2 6 11 6 11 6 11 26 11 6 11
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowo{H B= 6 kn. Przykład 1. Dana jest belka: Podać wykresy NTM.
Przykład 1. Dana jest belka: Podać wykresy NTM. Niezależnie od sposobu rozwiązywania zadania, zacząć należy od zastąpienia podpór reakcjami. Na czas obliczania reakcji można zastąpić obciążenie ciągłe
Bardziej szczegółowof (x)=mx 2 +(2m 2)x+m+1 ma co najmniej jedno
Zadanie 1 x 2 2mx+4m 3=0 ma dwa różne pierwiastki? Odp: m ( ; 1) (3 ; ) Zadanie 2 mx 2 +(2m 2) x+m+1=0 ma dwa różne pierwiastki? Odp: m ( ;0) (0; 1 3 ) Zadanie 3 ma jeden pierwiastek? Odp: m = -2, m =
Bardziej szczegółowo