EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA

Transkrypt

1 EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA Poziom rozszerzoy ZBIÓR ZADAŃ Materiały pomocicze dla ucziów i auczycieli Cetrala Komisja Egzamiacyja 05

2 Zadaia 5 Zadaia Liczby rzeczywiste i wyrażeia algebraicze Rówaia i ierówości Zadaie Dae jest rówaie kwadratowe x + kx+ k - 3 = 0, gdzie k Î R Dla jakich wartości parametru k to rówaie ma dwa róże pierwiastki ujeme? Kiedy rówaie kwadratowe ma dwa pierwiastki? Co powiesz o zaku sumy i iloczyu pierwiastków, jeśli są oe ujeme? Możesz skorzystać ze wzorów Viète'a Rozwiąż otrzymae ierówości Wyzacz część wspólą zbiorów rozwiązań Przykładowe rozwiązaie Niech liczby x i x będą rozwiązaiami rówaia kwadratowego x + kx+ k - 3 = 0 Ustalimy, dla jakich wartości parametru k rówaie ma dwa rozwiązaia, które są liczbami ujemymi Rówaie kwadratowe ma dwa rozwiązaia, gdy - 4( k - 3) > 0 ( - 3) > 0 k - 4 k, k -8k + > 0, k k = =, k = = 6, (- ; ) È ( 6 ) k Î ; Wyzaczymy teraz, dla jakich wartości k rozwiązaia rówaia x i x są ujeme Wiemy, że x i x będą ujeme, gdy Korzystając ze wzorów Viète'a, mamy Tak więc k > i k > 0 Z powyższego mamy æ ö k Î ç ; è ø ìx x > 0 í îx + x < 0 ìk - 3 > 0 í î- k < 0 Rozważae rówaie kwadratowe ma dwa rozwiązaia ujeme dla k spełiających astępujące waruki:

3 6 Egzami maturaly Matematyka Poziom rozszerzoy Zbiór zadań æ ö k Î (- ; ) È ( 6; ) i k Î ç ; è ø Tak więc rówaie ma dwa róże rozwiązaia ujeme dla Zadaie æ ö k Î ç ; È ( 6; ) è ø Reszta z dzieleia wielomiau W (x) przez x - jest rówa Oblicz resztę z dzieleia wielomiau W ( x -) przez x - 3 Nazwa zmieej ie ma zaczeia; możesz myśleć o dzieleiu W (t) przez t - zamiast W (x) przez x - Co otrzymasz, podstawiając teraz x - zamiast t? Jeśli jeszcze tego ie widzisz, prześledź krok po kroku astępujące rozumowaie: Gdy dzielisz p liczbę 7 przez 5, to otrzymujesz iloraz 3 i resztę Możesz więc apisać, że 7 = Podobe zasady dotyczą dzieleia wielomiaów Zapisz wielomia W w postaci sumy iloczyu dzielika x - przez iloraz oraz reszty Nie musisz zać otrzymaego ilorazu zamiast tego apisz p P (x) W zadaiu jest mowa o wartości wielomiau W dla argumetu x -, pozostaje więc w miejsce zmieej, w zapisaej wcześiej sumie, wstawić x - Przykładowe rozwiązaie Zauważmy, że istieje taki wielomia P (x), że W ( x) = ( x - ) P( x) + Ale wówczas W ( x -) = [( x -) - ] P( x -) +, czyli ( x -) = ( x - 3) P( x -) + Stąd widać, że szukaa reszta jest rówa W Zadaie 3 Udowodij, że dla dowolych liczb rzeczywistych x, y takich, że y, prawdziwa jest ierówość ( )( 3 3 x - y x + y ) > 3 3 ( x + y)( x - y ) 3 x ¹ Skorzystaj ze wzorów skrócoego możeia a sumę sześciaów i a różicę sześciaów i skróć ułamek występujący po lewej stroie dowodzoej ierówości Przekształć teraz otrzymaą ierówość tak, żeby otrzymać ierówość kwadratową Skorzystaj a koiec ze wzoru a kwadrat różicy i wyciągij odpowiedi wiosek W którym miejscu wykorzystasz iformację, że liczby x i y są róże?

4 Zadaia 7 Zadaie 4 Wyzacz wszystkie wartości parametru m, dla których pierwiastkami rówaia x - x - m = są cztery koleje wyrazy ciągu arytmetyczego ( )( ) 0 Czy dla m = 0 waruki zadaia byłyby spełioe? Ile wówczas mielibyśmy rozwiązań? Zauważ, że rozwiązaiami każdego z rówań x - = 0 oraz x - m = 0 są pary liczb przeciwych Jakie to liczby? Jakie może być wzajeme położeie tych liczb a osi liczbowej? Dlaczego ie jest możliwe wzajeme położeie opisae ierówościami - m < - < m <?, -, a jak dla cią- Jak możesz skorzystać z defiicji ciągu arytmetyczego dla ciągu ( m,, m) gu (-, - m, m,)? - m, bo- Zauważ, że jeśli rozwiązaiem zadaia będzie liczba m, to będzie ią także liczba wiem w rówaiu mamy wyrażeie m, a m = (- m) Zadaie 5 Liczba log log 6 jest rówa A log 8 B log 7 C log 4 7 D log 4 08 Zadaie 6 Wykaż, że log 3 5 log 4 9 log 5 = Zadaie 7 Liczba ( 7 log 7 ) A jest rówa 7 B 7 C 7 7 D 4 7 Zadaie 8 Iloczy trzech kolejych liczb całkowitych jest 6 razy większy od kwadratu ajmiejszej z tych liczb powiększoego o Wyzacz te liczby Zadaie 9 3 Liczby rzeczywiste a, b, c są pierwiastkami wielomiau x - x + Oblicz, ile jest rówe a + b + c Zadaie 0 Wyzacz wszystkie wartości parametru k, dla których rówaie k x - = x( 3k - ) - k rozwiązaie w zbiorze liczb rzeczywistych ma

5 8 Egzami maturaly Matematyka Poziom rozszerzoy Zbiór zadań Zadaie Rówaie x = 5 A ie ma rozwiązań rzeczywistych B ma dokładie dwa rozwiązaia rzeczywiste C ma dokładie trzy rozwiązaia rzeczywiste D ma dokładie cztery rozwiązaia rzeczywiste Zadaie Rozwiąż rówaie x - - = x - Zadaie 3 Rozwiąż ierówość x - - x ³ x Zadaie 4 Uzasadij, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest ierówość x x - ³ 7 Zadaie 5 Rozwiązaiami ierówości x - 4 < x - są wszystkie liczby ze zbioru A (-, ) B (- 3, -) C (-, - ) È (, + ) D (-, -3) È( -, + ) Zadaie 6 Rówaie kwadratowe 5x + 4x -3 = 0 ma dwa rozwiązaia rzeczywiste: x oraz x Wartość wyrażeia jest rówa xx x + x A 4 - B Zadaie 7 5 C - D Rówaie kwadratowe ax + bx + c = 0, gdzie c ¹ 0, ma dwa róże pierwiastki, których suma jest rówa ich podwojoemu iloczyowi Wyika stąd, że A b = c B c = b C b = -c D b = -c

6 Zadaia 9 Zadaie 8 Określ liczbę rozwiązań rówaia mx + mx -- m = 0, gdzie x Î -, wartości parametru mî R, w zależości od Zadaie 9 Fukcja f, której dziedzią jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, określoa jest wzorem f ( x) = ( m -) x - x - m + Wyzacz wszystkie wartości parametru m, dla których wykres fukcji f przecia się z prostą o rówaiu y = -x + w dwóch puktach, których pierwsze współrzęde mają przeciwe zaki Zadaie 0 Trójmia x + bx + c ma dwa róże pierwiastki całkowite, oba róże od zera, a suma jego współczyików + b + c jest liczbą pierwszą Wskaż przykład trójmiau spełiającego waruki zadaia Uzasadij, że jedym z pierwiastków tego trójmiau jest liczba Zadaie Udowodij, że dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej liczby rzeczywistej m prawdziwa jest ierówość 8x - 4mx + m ³ x + 6m -8 Zadaie 4 3 Wielomia f jest day wzorem f ( x) = x + x - x + 3x - a Reszta z dzieleia wielomiau f przez dwumia x - jest rówa 3, gdy a jest rówe A B 7 C 9 D Zadaie 3 Dla pewej wartości parametru m reszta z dzieleia wielomiau W ( x) = 8x + 6x + 4x + x + m przez x - jest rówa 04 Reszta z dzieleia wielomiau W przez x + 4 jest rówa A - 04 B C 04 D 408 Zadaie Wielomia W ( x) = 4x + ax + bx + jest podziely przez dwumia x +, a reszta z dzieleia tego wielomiau przez dwumia x - jest rówa 05 Wyzacz pierwiastki wielomiau W Zadaie 5 Rozwiąż rówaie 3( + ) = x 3 + x 3 3 Wskazówka: możesz skorzystać ze wzoru a b = ( a + b)( a - ab + b ) +

7 0 Egzami maturaly Matematyka Poziom rozszerzoy Zbiór zadań Zadaie 6 Rozwiąż rówaie ( -3x)( x -3x + ) + = 0 x Zadaie 7 Na rysuku poiżej przedstawioo fragmet wykresu fukcji liiowej f ( x) = -x + oraz 4 3 fragmet wykresu wielomiau w ( x) = x -6x + 8x + 4x -7 Rozwiąż ierówość w ( x) ³ f ( x) Zadaie 8 Na rysuku obok przedstawioo fragmet wykresu wielomiau W ( x) = x + x - 4x - 6x + 8 Wielomia W jest podziely przez dwumia x + Rozwiąż ierówość W ( x + ) ³ 0 Zadaie 9 3 Dae są fukcje ( k) k dla których g ( k) = 80 g, gdzie k Î R Wyzacz wartości k, f = oraz ( k) = f ( k) - f ( k - ) Zadaie 30 Fukcja kwadratowa f ( x) = ax + bx - 6 osiąga ajmiejszą wartość rówą - dla argumetu 4 Liczba - 3 jest jedym z rozwiązań rówaia x + ax + bx -6 = 0 Wyzacz pozo- 3 stałe rozwiązaia tego rówaia

8 Zadaia Fukcje Zadaie 3 Fukcja kwadratowa f ( x) = -x + ( - m) x + m + 3 osiąga wartość ajwiększą dla tego samego argumetu, dla którego wartość ajmiejszą osiąga fukcja kwadratowa g( x) = -( m + ) x + (m - ) x - 4m Uzasadij, że dla dowolej wartości argumetu prawdziwa jest ierówość f ( x) g( x) Dla jakiej wartości argumetu fukcja kwadratowa osiąga wartość ajmiejszą (ajwiększą)? Wyzacz te wartości dla każdej z fukcji i przyrówaj do siebie otrzymae wyrażeia Sprawdź, czy dla każdej z otrzymaych wartości parametru spełioe są waruki zadaia Uwzględiając wyzaczoe m, apisz wzory obu fukcji w postaci kaoiczej lub rozwiąż odpowiedią ierówość Przykładowe rozwiązaie Niech pukt W ( x, y ) = będzie wierzchołkiem paraboli, która jest wykresem fukcji kwadratowej f Wtedy f f - m x f = Aalogiczie, iech pukt W ( x, y ) f g = będzie wierzchołkiem paraboli, która jest wykresem g g ( m -) m - fukcji kwadratowej g Wtedy x g = = Oczywiście, poieważ fukcja g jest ( m + ) m + kwadratowa, musi zachodzić waruek m ¹ - Z waruków zadaia wyika, że x = x g f, zatem - m m - = m + Ostatie rówaie moża zapisać w postaci rówoważej - m = ( m -), czyli Jego rozwiązaiami są liczby oraz - 3 ( m -)( m + 3) = 0 Zauważmy, że dla m = fukcja g byłaby określoa wzorem g ( x) = -x - 4, tym samym ie miałaby wartości ajmiejszej Z kolei dla m = -3 otrzymujemy: f ( x) = -x + 4x, g ( x) = x -8x + Zapisując otrzymae trójmiay w postaci kaoiczej, otrzymujemy: Stąd f ( x) g( x) dla każdej wartości x ( - ) + 4 f ( x) = - x, ( ) + 4 g ( x) = x - Uwaga: Oczywiście ( x) - f ( x) = 3 ( x - ) ³ 0 g, co ozacza, że g ( x) ³ f ( x)

9 Egzami maturaly Matematyka Poziom rozszerzoy Zbiór zadań Zadaie 3 Fukcja f, której dziedzią jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, jest określoa wzorem f ( x) = si( -3x) Na którym rysuku przedstawioo fragmet wykresu fukcji f? A B C D Zauważ, że zbiorem wartości fukcji f jest przedział - ; Które z przedstawioych fragmetów wykresów fukcji możesz odrzucić? Następie sprawdź, jakie wartości (dodatie czy ujeme) fukcja f przyjmuje w otoczeiu zera æ p ö æ 3p ö Możesz też obliczyć wartość f ç = siç - = Na którym rysuku przedstawioo è ø è ø fragmet wykresu fukcji spełiającej te waruek? Poprawa odpowiedź C Zadaie 33 Wyzacz, w zależości od całkowitych wartości parametru a > 0, liczbę różych rozwiązań rówaia si ( p ax) = w przedziale 0, a Najpierw musisz ustalić, dla jakich wartości argumetu a prawdziwe jest rówaie sia = Pamiętaj o okresowości fukcji sius musisz zapisać cała serię rozwiązań, z uwzględieiem krotości okresu, czyli wyrażeia kp, gdzie k jest dowolą liczbą całkowitą

10 Zadaia 3 Teraz podstaw w miejsce a argumet rówaia, które chcesz rozwiązać, czyli p ax, a astępie, odpowiedio dzieląc, wyzacz zmieą x Sprawdź, że dla k = 0 otrzymaa wartość zmieej x leży w przedziale 0, a Zauważ, że dla k < 0 otrzymaa wartość zmieej x jest ujema, czyli ie może ależeć do przedziału 0, Podobie dla k > 0 ie są spełioe waruki zadaia a Zadaie 34 Wyzacz ajmiejszą dodatią liczbę x spełiającą waruki: si x + si3x = 0 oraz cos x < Korzystając ze wzoru a sumę siusów, rozwiąż podae rówaie (otrzymasz dwa prostsze rówaia) Wśród otrzymaych rozwiązań poszukaj ajmiejszej liczby dodatiej Sprawdź, czy spełia oa podaą ierówość Jeśli ie, zrób to samo z astępym dodatim rozwiązaiem rówaia Czyość tę powtarzaj tak długo, aż trafisz a liczbę, która spełia rówież podaą ierówość Możesz też rozwiązać daą ierówość i sprawdzić, jaka ajmiejsza liczba dodatia spełiająca rówaie ależy do zbioru rozwiązań ierówości Zadaie 35 Dla daej fukcji kwadratowej f określoo fukcje g i h wzorami: g ( x) = k f ( x) oraz h ( x) = f ( kx), gdzie k ¹ 0 Wyzacz wzór fukcji f (x), mając dae wykresy fukcji g i h OY g -6 h OX - Zadaie 36 Wykaż, że + cos 88 cos + tg = cos - cos88 si - tg

11 4 Egzami maturaly Matematyka Poziom rozszerzoy Zbiór zadań Zadaie 37 Na którym z poiższych rysuków jest przedstawioy fragmet wykresu fukcji f określoej æ ö dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem f ( x) = si ç x? è 3 ø A B y y -p 0 p x -p 0 p x C y D y -p 0 p x -p 0 p x Zadaie 38 Dae są liczby: æ ö æ ö æ ö a = siç3 p, b = cosç3 p, c = tgç3 p Wówczas è 3 ø è 3 ø è 3 ø A a < b B a = b C b < c D b = c Zadaie 39 æ ö Daa jest fukcja f ( x) = cos x oraz fukcja g( x) = f ç x Rozwiąż graficzie i algebraiczie rówaie f ( x) = g( x) è ø

12 Zadaia 5 Zadaie 40 Rozwiąż rówaie si x + si x + cos x + = 0, dla x Î -p, p Zadaie 4 Wyzacz wszystkie wartości parametru a Î 0; p, dla których rówaie ( -si )( x -) = 0 x a ma trzy rozwiązaia Zadaie 4 Rozwiąż ierówość Zadaie 43 cos x < cos x Wyzacz wszystkie wartości parametru a, dla których rówaie ( cos + a) ( si x - a) = 0 w przedziale 0, p dokładie trzy róże rozwiązaia x ma 3 Ciągi Zadaie 44 Fukcja f, której dziedzią jest zbiór (,+ ), jest określoa wzorem x + x + x + f ( x) = x x x x Wyzacz wszystkie argumety, dla których fukcja f przyjmuje wartość 6 x + x + x + Wyrażeie x w podaym przedziale jest szeregiem geometryczym zbieżym Skorzystaj z odpowiediego wzoru, by zapisać jego sumę Dla jakich x jest 3 x x x oa rówa 6? Nie zapomij sprawdzić, czy otrzymae liczby ależą do dziedziy Przykładowe rozwiązaie x + x + x + Dla x Î ( ;+ ) wyrażeie x jest szeregiem geometryczym 3 x x x o ilorazie q = takim, że q <, zatem x Z tego wyika, że x + x + x + x + x + x x = = 3 x x x x - - x x + x ( x) = x - f dla Î ( ;+ ) x

13 6 Egzami maturaly Matematyka Poziom rozszerzoy Zbiór zadań Wyzaczamy argumety, dla których fukcja f przyjmuje wartość 6 : Argumety x = oraz = 3 x x x x ależą do ( ;+ ) x x + x = 6, x - + = 6-6, - 5x + 6 = 0, x = lub x = 3 Fukcja f przyjmuje wartość 6 dla argumetów i 3 Zadaie 45 Ciąg geometryczy ( ) a = a+ + a, dla Î{,,3,} a spełia astępujące rówaie rekurecyje: a = 7, Wyzacz sumę wszystkich wyrazów ciągu ( ) Day ciąg ( a ) jest ciągiem geometryczym Napisz wzór ogóly a -ty wyraz tego ciągu geometryczego, zastosuj odpowiedio tę zależość w rówaiu rekurecyjym i przekształć to rówaie do ajprostszej postaci (czy iloraz q może być rówy 0?) Rozwiąż rówaie i wyzacz q Pamiętając o sprawdzeiu waruku zbieżości szeregu geometryczego, oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu (dla obu przypadków) Zadaie 46 3 b są dae astępującymi wzorami: a =, b = dla każdej dodatiej liczby całkowitej Oblicz graicę ciągu ( c ) takiego, że c = a b dla każdej dodatiej liczby całkowitej Ciągi ( a ) i ( ) Zauważ, że ciąg ( a ) ie ma skończoej graicy (a ciąg ( b ) jest zbieży do 0), ie możemy więc zastosować twierdzeia o graicy iloczyu Zajdź ogólą postać wyrazów ciągu ( c ) i podziel liczik i miaowik przez odpowiedią potęgę Zadaie 47 a Oblicz graicę 3 æ ö lim ç - è + + ø Zadaie 48 Oblicz graicę 3 æ - lim ç - è ö ø

14 Zadaia 7 Zadaie 49 Pierwszy wyraz a jest rówy, atomiast 7 suma pierwszych trzech jego wyrazów jest rówa Szereg ieskończoy 4 a + a + a jest zbieży Oblicz jego sumę 3 + Zadaie 50 a ieskończoego ciągu geometryczego ( ) Day jest ieskończoy ciąg sześciaów Krawędź pierwszego z ich jest rówa x Krawędź drugiego z tych sześciaów ma długość x rówą różicy długości przekątej pierwszego sześciau i przekątej ściay pierwszego sześciau Aalogiczie trzeci sześcia ma krawędź x o długości rówej różicy długości przekątej drugiego sześciau i przekątej ściay drugiego sześciau, itd Oblicz sumę x + x + x 3 4 Geometria Zadaie Trójkąt o boku a i kącie ostrym a, leżącym aprzeciw tego boku, jest wpisay w okrąg o promieiu R, zaś trójkąt o boku a + i kącie ostrym a, leżącym aprzeciw tego boku, jest wpisay w okrąg o promieiu R + Wyzacz miarę kąta a Skorzystaj z twierdzeia siusów dla każdego z dwóch opisaych trójkątów i zapisz dwie rówości, które wiążą a, R oraz sius kąta a Wyzacz p z jedej z ich zmieą a i podstaw do drugiej zależości Pozwoli ci to obliczyć wartość fukcji sius Przykładowe rozwiązaie Z twierdzeia siusów mamy odpowiedio: a = Rsia Po podstawieiu do () i rówoważym prze- Z rówaia () otrzymujemy, że kształceiu otrzymujemy: Zatem a = 30 a = R, () si a a + = sia ( R + ) () Rsi a + = si a ( R + ) R + = R +, sia =, sia si a =,

15 8 Egzami maturaly Matematyka Poziom rozszerzoy Zbiór zadań Zadaie 5 Trójkąt róworamiey ABC jest wpisay w okrąg o rówaiu ( x - 5) + ( y + 3) = 5 Podstawą trójkąta ABC jest odciek AB zawarty w prostej o rówaiu x - y - 7 = 0 Oblicz pole trójkąta ABC Rozważ wszystkie przypadki Z podaego w zadaiu rówaia okręgu odczytaj promień R oraz środek S tego okręgu Aalizując treść zadaia, możesz wykoać odpowiedi rysuek Czy będzie tylko jede trójkąt spełiający waruki zadaia? Oblicz odległość d środka S od podaej prostej Na rysuku zajdź trójkąt prostokąty, którego bokami będą: wyzaczoa odległość d, promień okręgu R i połowa odcika AB (staowi o podstawę trójkąta ABC ) Oblicz długość odcika AB Do obliczeia pola trójkąta ABC potrzeba jest jeszcze jego wysokość Możesz ją obliczyć, wykorzystując d i R Przykładowe rozwiązaie Środkiem okręgu ( x -5) + ( y + 3) = 5 jest pukt S = ( 5, -3), atomiast promień = 5 R W okrąg moża wpisać dwa trójkąty róworamiee ABC i ABC, których podstawą jest odciek AB (zobacz rysuek) Obliczamy odległość d środka S od prostej o rówaiu x - y - 7 = 0: Ozaczmy przez d = = + a = AB (zobacz rysuek obok) Z twierdzeia Pitagorasa możemy zapisać: a = + d R Zatem 3 3 a = 5 - = =, czyli AB = 3

16 Zadaia 9 Uwaga Długość odcika AB możemy też obliczyć, wyzaczając ajpierw współrzęde puktów przecięcia daej prostej i okręgu Wystarczy rozwiązać układ rówań: ( x - 5) + ( y + 3) ì í îy = x - 7 = 5 Wysokość trójkąta ABC poprowadzoa z wierzchołka C jest rówa h = R - d = 5 - Wysokość trójkąta ABC poprowadzoa z wierzchołka C jest rówa Z tego wyika, że pole trójkąta ABC : h = R + d = 5 + P = æ ç è 5 - ö ø 3 3 = 0-3 oraz pole trójkąta ABC : æ ö ç ø P è = = Zadaie 53 Day jest trójkąt ABC o polu rówym P Odciki IJ i GH, których końce leżą a bokach trójkąta, są rówoległe do boku AB i przeciają wysokość CD w puktach E i F takich, że CE = DF = CD (zobacz rysuek) 4 C I E J G F H A D B Pole trapezu GHJI jest rówe A P B 9 6 P C 3 P D 3 4 P

17 0 Egzami maturaly Matematyka Poziom rozszerzoy Zbiór zadań Zwróć uwagę, że trójkąty IJC, GHC, ABC są podobe Wyzacz skalę podobieństwa trójkąta IJC do trójkąta ABC oraz skalę podobieństwa trójkąta GHC do trójkąta ABC, a astępie wykorzystaj to do ustaleia stosuku pól tych trójkątów Pole trapezu jest różicą pola trójkąta GHC i pola trójkąta IJC Zadaie 54 Z wierzchołów kwadratu poprowadzoo do odpowiedich boków proste pod takim samym kątem a, miejszym od 45, (zobacz rysuek obok) Proste te wyzaczają w szczególości trójkąt (zacieioway) o polu 9 i czworokąt (zacieioway) o polu 7 Wyzacz pole kwadratu a a 7 9 a a Dołącz do zacieiowaego trójkąta trapez po prawej stroie Jakie będzie pole otrzymaego trójkąta? Ile będzie rówy stosuek pól otrzymaego trójkąta i trójkąta zacieiowaego? Czy widzisz, że te trójkąty są podobe? Ile jest rówa skala podobieństwa tych trójkątów? (Pamiętaj, że stosuek odpowiedich pól jest rówy kwadratowi skali podobieństwa) Wyraź podstawę zacieiowaego trójkąta jako ułamek boku kwadratu Dołącz teraz do otrzymaego trójkąta mały trójkąt po prawej stroie i oblicz pole otrzymaej figury Jak wyrazisz to pole poprzez długości odpowiedich podstaw wcześiej rozważaych trójkątów? Zadaie 55 Wartość wyrażeia si( a - b) jest rówa A B C 3 D

18 Zadaia Zadaie 56 5 W trójkącie ABC są dae AB = 8, BC = 6 oraz si ABC = Oblicz stosuek promieia okręgu opisaego a trójkącie ABC do promieia okręgu wpisaego w te 3 trójkąt Zadaie 57 Rysuek przedstawia trapez róworamiey ABCD opisay a okręgu o środku S i promieiu r = 9 Dola podstawa trapezu jest o 6 dłuższa od górej podstawy Oblicz obwód trapezu ABCD Zadaie 58 Czworokąt ABCD wpisay w okrąg S spełia astępujące waruki: AC = 6, AD = 5 Oblicz długość promieia okręgu S BD = DC, AB = 4, D A C B

19 Egzami maturaly Matematyka Poziom rozszerzoy Zbiór zadań Zadaie 59 W trójkąt róworamiey ABC wpisao kwadrat w taki sposób, że bok DE kwadratu zawiera się w podstawie AB trójkąta, a wierzchołki F i G kwadratu leżą odpowiedio a ramioach BC i AC trójkąta (zobacz rysuek) C G F A D E B Pole trójkąta CFG jest rówe sumie pól trójkątów ADG i BEF Oblicz sius kąta ostrego, pod jakim przeciają się odciki DF i BG Zadaie 60 W trapez prostokąty ABCD wpisao okrąg o środku O, który w pukcie P jest styczy do dłuższego ramieia BC tego trapezu (zobacz rysuek) Wykaż, że jeżeli BP = p i CP = q, to obwód trapezu jest rówy ( p + q ) Zadaie 6 Na podstawie AB trapezu ABCD ( AB > CD ) wyzaczoo taki pukt E, że czworokąt AECD jest rówoległobokiem Przekąta BD przecia odciki CA i CE odpowiedio w puktach AB + 5 F i G Odciki DG i BF są rówej długości Uzasadij, że = CD D A O Q R C P B D C F G A E B

20 Zadaia 3 = EB = AB (zobacz rysu- 4 Zadaie 6 Na boku AB trójkąta ABC obrao pukty D i E takie, że ek) C AD A D E B Udowodij, że AC + CE = BC + CD Zadaie 63 Okrąg o jest opisay a czworokącie ABCD, atomiast o jest opisay a czworokącie AFEC (zobacz rysuek) Pukty A, B, E są współliiowe i zachodzi rówość BFE = CDB Udowodij, że pukty F, B, C są współliiowe F A D B C E Zadaie 64 Zbadaj, czy pukt ( 3, - ) leży a prostej przechodzącej przez pukt (,3) prostopadłej do prostej o rówaiu x - y + = 0 Zadaie 65 Narysuj w układzie współrzędych astępujące zbiory: ( x + ) + ( y + ) 5 oraz 5 y ³ x + i oblicz pole figury F, która jest częścią wspólą arysowaych zbiorów 7 7

21 4 Egzami maturaly Matematyka Poziom rozszerzoy Zbiór zadań Zadaie 66 Okręgi o i o są dae, odpowiedio, rówaiami x + y = oraz ( x - 6) + ( y -3) = 5 Środki tych okręgów połączoo odcikiem, który przecia okrąg o w pukcie A oraz okrąg o w pukcie B Wyzacz współrzęde środka odcika AB Zadaie 67 Day jest okrąg o rówaiu ( x - 5) + ( y - 3) = 9 Wyzacz rówaia styczych do daego okręgu przechodzących przez początek układu współrzędych Zadaie 68 Day jest okrąg O o rówaiu ( x - 3) + y = 36 oraz okrąg O o rówaiu x + ( y - m) = m Dla jakich wartości parametru m okręgi O i O mają dokładie jede pukt wspóly? Dla zalezioych wartości parametru m wyzacz rówaie prostej przechodzącej przez środki tych okręgów Zadaie 69 Day jest pukt A = ( 0,0) ( x - ) + y = 4 ( ) x - + y = Pukt B, róży od puktu A, ależy do okręgu o rówaiu Wykaż, że środek odcika AB ależy do okręgu o rówaiu Zadaie 70 Na rysuku jest przedstawioy trójkąt prostokąty ABC, którego wierzchołkami są pukty A = ( 0,0), B = ( 4,0) i C = ( 4,4), oraz okrąg o środku C, który dzieli trójkąt a dwie figury o rówych polach y 4 C A 0 B 4 x Wyzacz rówaie tego okręgu

22 Zadaia 5 Zadaie 7 Day jest trójkąt prostokąty KLM o kącie prostym przy wierzchołku K, ograiczoy prostymi KL: x + 3y + 5 = 0, LM: 7 x + 4y - = 0 oraz prostą KM Wyzacz rówaie prostej KM, wiedząc, że pole trójkąta KLM jest rówe 3 Zadaie 7 Dwa boki trójkąta o polu rówym 0 zawierają się w prostych prostopadłych k: ax + by - 4 a = 0 oraz l: ( b -) x - ay -8b + 4 = 0 Trzeci bok tego trójkąta zawiera się w osi Oy Wyzacz wszystkie dodatie wartości parametrów a i b, dla których spełioe są waruki zadaia Zadaie 73 Wykaż, że jeśli prosta o rówaiu ( x - k) + ( y - l) = m, gdzie k, l Î R oraz m > 0, to Zadaie 74 y = kx + l jest stycza do okręgu o rówaiu 4 k = m k + Krawędź podstawy graiastosłupa prawidłowego trójkątego ABCDEF (zobacz rysuek obok) jest rówa 6 Pukt K dzieli krawędź boczą CF w stosuku :3 Pole przekroju tego graiastosłupa płaszczyzą przechodzącą przez krawędź podstawy AB i pukt K jest rówe 5 3 Oblicz objętość tego graiastosłupa Zadaie 75 Day jest graiastosłup prawidłowy sześciokąty o krawędzi podstawy rówej 4 Graiastosłup przecięto płaszczyzą jak a rysuku Otrzymao w te sposób przekrój o polu rówym 48 Oblicz objętość daego graiastosłupa

23 6 Egzami maturaly Matematyka Poziom rozszerzoy Zbiór zadań Zadaie 76 Day jest graiastosłup prawidłowy trójkąty ABCDEF, w którym każda krawędź ma tę samą długość rówą a (zobacz rysuek) D F E a Wykaż, że jeżeli przekrój tego graiastosłupa płaszczyzą zawierającą krawędź AB podstawy tego graiastosłupa jest trapezem, to płaszczyza ta jest achyloa do płaszczyzy podstawy ABC graiastosłupa pod takim kątem a, że tg a > 3 3 Zadaie 77 Day jest ostrosłup trójkąty ABCS, w którym krawędź bocza AS jest jedocześie wysokością ostrosłupa, a kąt między każdymi dwiema krawędziami boczymi jest rówy 60 Przez pukt D leżący a krawędzi AS poprowadzoo płaszczyzę rówoległą do płaszczyzy podstawy ABC Płaszczyza ta przecięła krawędzie bocze BS i CS w puktach E i F (zobacz rysuek) S A a B C D F E C A B Pole trójkąta ABC jest rówe P, a pole trójkąta DEF jest rówe P Oblicz odległość między płaszczyzami ABC i DEF

24 Zadaia 7 Zadaie 78 Pukt S jest wierzchołkiem ostrosłupa prawidłowego czworokątego, a pukty E, F są odpowiedio środkami krawędzi AB i CD jego podstawy Krawędź podstawy i wysokość tego ostrosłupa mają taką samą długość rówą Płaszczyza przechodząca przez pukty E i F przecia krawędzie bocze odpowiedio w puktach G oraz H (zobacz rysuek) S G D F H C A E B Oblicz pole otrzymaego przekroju, wiedząc, że jest oo dwa razy większe od pola czworokąta BCGH 5 Teoria prawdopodobieństwa i kombiatoryka Zadaie 79 Zdarzeia losowe A, B, C zawarte w W są takie, że A P C A > P C AÈ B Wykaż, że ( ) ( ) C Ì, P ( C) > 0 i P ( A' ÇB) > 0 Zapisz odpowiedie prawdopodobieństwa warukowe P( C A ) i P( C AÈ B) P( C Ç A) P( C A) = oraz P( A) Skorzystaj z założeń o zdarzeiach A, B, C Poieważ C Ì A, to C ( A B) Ì È oraz ( ) ( Ç( È )) P C A B P( C AÈ B) = P( AÈ B) C Ç A = C Ç AÈ B = C, czyli P( C) P( C A) = i P( A) P( C) P( C AÈ B) = P( AÈ B)