Transformata Z Matlab

Transkrypt

1 Aademia Morsa w Gdyi Katedra Automatyi Orętowej Teoria sterowaia Trasformata Z Matlab Mirosław Tomera. WPROWADZENIE W uładach sterowaia cora cęściej stosowae są regulatory cyfrowe i stąd oiecość oreślaia rówań, tóre opisują sygały cyfrowe i dysrete. Ta ja rówaia różicowe stosowae są do opisu uładów sygałami aalogowymi, ta rówaia różicowe stosowae są dla uładów sygałami dysretymi lub cyfrowymi. Rówaia różicowe używae są rówież do aprosymacji rówań różicowych w celu apisaia ich w programach omputerowych wyorystywaych w różego rodaju symulacjach. Rachue operatorowy Laplace a może być stosoway do rowiąywaia liiowych rówań różicowych wycajych, atomiast trasformata Z jest metodą wyorystywaą do rowiąywaia liiowych rówań różicowych i uładów liiowych daymi dysretymi lub cyfrowymi. Zmiea jest licbą espoloą.. PRZEKSZTAŁCENIE RÓWNANIA RÓŻNICOWEGO DO POSTACI TRANSFORMATY Z Podobie ja w prypadu trasformaty Laplace'a, wprowadeie trasformaty Z ma a celu umożliwieie wyoywaia matematycych operacji algebraicych co może być wyoywae w diediie mieej espoloej, ostateca odpowiedź casowa wyacaa jest pre astosowaie odwrotej trasformaty Z. Odwrota trasformata Z fucji Y() daje iformacje tylo o y(t), a ie o y(t). Iymi słowy trasformata Z achowuje iformacje tylo w chwilach próbowaia. Sygały występujące w dysretych chwilach casu opisywae są pre rówaia różicowe. W tym podrodiale poaae ostaie w jai sposób doouje się astąpieia rówaia różicowego odpowiadającą mu trasformatą Z. W tabeli ajdują się podstawowe twierdeia w oparciu o tóre doouje się prestałceia rówaia różicowego do postaci trasformaty Z. Na podstawie rówaia różicowego w sposób sewecyjy moża dooać wyaceia dysretego sygału casowego. Taie same wartości próbe sygału dysretego moża uysać rowiąując rówaie różicowe metodą trasformaty Z. Poiżsy pryład ilustruje sposób wyaceia trasformaty Z dla rówaia różicowego. Pryład Dla poiżsego rówaia różicowego uładu II rędu, wyac odpowiadająca mu trasformatę Z. y ( ) y ( ) + 0.5y( 5 ( (.) gdie ( jest jedostową fucją soową. Wartości pierwsych próbe są astępujące: 0 y. y, Ostatia atualiacja: M. Tomera

2 Teoria sterowaia Trasformata Z Matlab Tabela. Podstawowe twierdeia trasformaty Z. Dodawaie i odejmowaie Zf T f T F. Możeie pre stałą Zaf T azf T a F F. Presuięcie w diediie recywistej Z T f F (opóźieie casowe) Zf T F( ) f T (wypredeie casowe) 0 gdie: licba całowita.. Presuięcie w diediie mieej espoloej T Z e f T T F e 4. Twierdeie o wartości pocątowej lim f ( T) lim F( ) 0 5. Twierdeie o wartości ońcowej F( ) lim f ( T) lim, pod waruiem, że F( ) ie ma żadych bieguów a ewątr ai a oręgu Rowiąaie: Dooując obustroego prestałceia Z rówaia (.), pry wyorystaiu twierdeń tabeli i fucji tabeli Y ( ) y(0) y() Y( ) y(0) + 0.5Y() 5 Podstawiając wartości licbowe pierwsych próbe do rówaia (.) i wyacając Y(), otrymuje się 6 6 Y ( ) (.) Dodatowo moża sprawdić poprawość uysaej trasformaty (.) pry użyciu twierdeia o wartości pocątowej (tabela, pt. 4) 6 6 y(0) lim lim (.4) Aaliując wór (.4) widać, że o wyiu decydują współcyii pry ajwyżsych potęgach licia i miaowia, cyli sprawdaie poprawości wyacoej trasformaty Z dla rówaia różicowego pry użyciu twierdeia o wartości pocątowej jest mało wiarygode. Na podstawie trasformaty (.), pry użyciu twierdeia o wartości ońcowej (tabela, pt 5) moża wyacyć rówież wartość ustaloą fucji y( 6 6 y( ) lim lim 0 (.5) (.) Ostatia atualiacja: M. Tomera

3 Teoria sterowaia Trasformata Z Matlab Tabela. Wybrae trasformaty Z f( F().. ( ) ! 5. lim! 0 6. r 7. r 8. si 9. cos! r r r si cos cos cos r si 0. r si r cos r r cos. r cos r cos r. Ar cos Ae j re j Ae j re j. ZNAJDOWANIE ODWROTNYCH TRANSFORMAT Z METODĄ ROZKŁADU NA UŁAMKI PROSTE W celu wyaceia odwrotej trasformaty fucja F() roładaa jest a sumę ułamów wyłych, a astępie orysta się tablicy trasformat Z w celu oreśleia posuiwaej fucji f(t). Pry roładie a sumę ułamów wyłych występuje iewiela różica pomiędy trasformatami Z i trasformatami Laplace'a. Preglądając tabelę trasformat Z (tabela ), moża auważyć, że pratycie ażda trasformata Z fucji jest pomożoa w liciu pre. Dlatego też doouje się roładu fucji F ( ) a sumę ułamów wyłych, a astępie moży się wsystie sładii pre. Roważ astępującą fucję operatorową apisaą w postaci ilorau dwóch wielomiaów: m m F( ) B( ) umd bm bm... b b0 () A( ) ded a a... a a 0 Ostatia atualiacja: M. Tomera

4 Teoria sterowaia Trasformata Z Matlab w tórych ietóre e współcyiów a i ora b j mogą być rówe ero. W MATLABIE wetory wiersowe umd ora ded oreślają współcyii licia i miaowia fucji opisaej worem (). Wobec tego umd b m bm... b 0 Poleceie ded a a... a 0 pd,d residue umd,ded rd, () wyaca residua rd, bieguy pd ora współcyii stałe D roładu fucji dysretej a ułami proste ilorau dwóch wielomiaów B()/A(). Roład a ułami proste ilorau wielomiaów B()/A() jest wówcas astępujący: F( ) B( ) umd rd rd rd... A( ) ded pd pd pd Pryład ilustruje tą metodę. D () Pryład Dla fucji dysretej uysaej w pryładie 6 Y ( ) (.) wyac postać dysretą y( stosując metodę roładu a ułami proste. Rowiąaie: W pierwsej olejości ależy podielić fucję (.) pre. Y ( ) 6 6 (.) j j0.5 Korystając fucji residue ajdującej się w bibliotece Matlaba moża łatwo wyacyć parametry roładu fucji opisaej worem (.) do postaci () Y ( ) j j6.5 (.) 0.5 j j0.5 Po prestałceiu residuów espoloych do postaci wyładicej i pomożeiu obu stro rówaia (.) pre, uysuje się j.7 j e e Y( ) 0 (.4) j j e 0.707e Korystając tablicy trasformat Z ajduje się postać casową fucji dysretej cos y( 0 ( Uysae wyi (.5) będący rowiąaiem rówaia różicowego pryładu predstawioy ostał a rysuu.. Rowiąaie pryładu preprowadoe ostało wyorystaiem astępującego odu Matlaba. clear % Wycysceie pamięci robocej Matlaba close all % Zamięcie wsystich oiee graficych %Lici i miaowi fucji dysretej umd [- 0 6]; ded cov([ -],[ - 0.5]); % Wyaceie parametrów roładu a ułami wyłe [rd,pd,d] residue( umd, ded); (.5) Ostatia atualiacja: M. Tomera 4

5 Teoria sterowaia Trasformata Z Matlab % Wyaceie postaci wyładicej espoloego residua M_rD abs( rd()); theta_rd agle( rd()); % Wyaceie postaci wyładicej espoloego biegua M_pD abs( pd()); theta_pd agle( pd()); % Wygeerowaie olejych próbe rowiąaia for 0:0, td(+) ; yd(+) rd() + *M_rD*(M_pD)^*cos(theta_pD*+theta_rD) ed; % Wyreśleie uysaego rowiąaia figure() stem(td, yd, '-') xlabel('') ylabel('y(') 4 Rowiąaie rówaia różicowego y( Rys... Wyres fucji dysretej y( uysay a podstawie woru (.5) Moża dooać sprawdeia uysaego rowiąaia (.5) popre wygeerowaie rowiąaia rówaia różicowego (.) w sposób bepośredi po dopisaiu dodatowo astępującego odu programu Matlaba. t() 0; y() -; % Wartość pierwsej próbi t() ; y() -; % Wartość drugiej próbi for :9, t(+) +; y(+) y(+) - 0.5*y( + 5; ed; % Wyreśleie uysaych rowiąań figure() plot( td, yd, 'o', t, y, '*') xlabel('') ylabel('y(') Ostatia atualiacja: M. Tomera 5

6 Teoria sterowaia Trasformata Z Matlab ĆWICZENIA W MATLABIE M. Zajdź odwrote trasformaty Z dla 0 a) Y () b) Y () c) () Y 4 4 d) Y () 0 M. Zajdź odwrote trasformaty Z dla 0 a) () Y b) () 0 Y 0. c) () Y 0.85 d) () Y 0. e) () 5 0 Y f) () Y.5 g) () Y 0.5 h) Y () i) () Y j) () 0.5 Y () Y l) () 0.86 Y Ostatia atualiacja: M. Tomera 6

7 Teoria sterowaia Trasformata Z Matlab M. Korystając metod trasformaty Z, rowiąż astępujące rówaia różicowe dla 0 uwględieiem waruów pocątowych: a) y( ).5y( ).04y( ) 0.54y( 0.0 ( y ( 0) y ( ) 0.9 y ( ) 0.8 b) y( ).54y( ) 0.56y( y ( 0) 0 y ( ) 0. c) y( ) 0.8y( 0.6 cos0. y ( 0) d) y( ).6y( ).y( ) 0.6y( 0.0 ( y ( 0) y ( ). y ( ).8 e) y( ) 0.8y( y ( 0) f) y( ) 0.7 y( 0.4 si0. y ( 0) g) y( ).6y( ) 0.65y( 0.0( y ( 0) y ( ).8 h) y( ).7 y( ) 0.7y( y ( 0) 0 y ( ) 0. i) y( ).8y( ) 0.8y( 0.05( y ( 0) y ( ) 0.8 j) y( ).8y( ) 0.8y( 0.0si0. y ( 0) y ( ).7 y( ).9y( ) 0.94y( 0.0cos0. y ( 0) y ( ). l) y( ).7 y( ) 0.76y( cos0. y ( 0) 0 y ( ) 0. Ostatia atualiacja: M. Tomera 7

8 Teoria sterowaia Trasformata Z Matlab ODPOWIEDZI DO WYBRANYCH ZADAŃ M. M. M. a) y ( 0.5 ( b) ( 0.5 y 9 y + + y.84.6 cos c) ( d) ( a) y ( 0 ( + 0 ( b) y (.5 ( c) y ( ( d) y ( ( e) y ( 5 ( f) y ( ( g) y ( ( h) y ( 80 ( i) y ( 4 ( j) ( ( cos ( cos ( cos y 0 ( y ) l) ( y Y ( ) a) y ( 0.5 ( ( Y ( ) b) y ( 0.56 (0.954) Y ( ) c) e e y (.77 cos( ) Y ( ) d) j0.845 j0..89e e j0.845 j y ( ( ( Y ( ) e) y ( 0.5( Y ( ) e f) e y (.6740 (0.7).649 cos j.878 j e e j.878 j0. Ostatia atualiacja: M. Tomera 8

9 Teoria sterowaia Trasformata Z Matlab j.996 Y ( ) e g) e y ( 0.( cos Y ( ) h) y (.875 (0.9) Y ( ) i) y ( 5 ( Y ( ) j) 4 j e 0.806e j.544 j j e 0.7e.54e.54e j0. j0. j0.07 e e e e y ( cos cos Y ( ) j.078 j.078 j e 0.00e 0.876e 0.876e j0. j0. j0.0 e e e e y ( cos cos Y ( ) l) j.56 j.56 j.868 j.996 j0.44 j0.9 j0.07 j0.865 j0.0 j e 0.905e 0.90e 0.90e j0.40 j0.40 j e 0.878e 0.8e 0.8e y ( cos cos j0. LITERATURA. Frali G.F, Powell J.D., Emami-Naeii A. Digital Cotrol of Dyamic Systems, rd ed. Addiso-Wesley Publishig Compay, Kuo B.C. Automatic Cotrol Systems, Joh Wiley&Sos, 995. Ostatia atualiacja: M. Tomera 9