PRACA MAGISTERSKA. Modelowanie cen i zapotrzebowania na energię elektryczną.

Transkrypt

1 Insyu Maemayki Wydział Podsawowych Problemów Techniki Poliechnika Wrocławska PRACA MAGISTERSKA Modelowanie cen i zaporzebowania na energię elekryczną. Pior Wilman Wrocław promoor: dr Rafał Weron

2 Spis reści 1 Własności procesów cen i zaporzebowania na energię elekryczną Sezonowość na rynkach energii Powracanie do średniej Ceny energii elekrycznej Zaporzebowanie na energię elekryczną Modele procesów sochasycznych powracających do średniej Model Vasicka Model Coxa-Ingersolla-Rossa (CIR) Model Dixia-Pindycka (DP) Model Brennana-Schwarza (BrS) Model Fonga-Vasicka (FV) Uogólniona Meoda Momenów - GMM Idea meody GMM Momeny z próby i momeny z modelu Macierz wag W Dlaczego uogólnienie meody momenów? Meoda momenów Uogólnienie meody momenów GMM dla modeli ze zby dużą liczbą paramerów Tesy efekywności meody GMM Modele jednofakorowe Model Vasicka Model Coxa-Ingersola-Rossa (CIR) Model Dixia-Pindycka (DP) Modele wielofakorowe Model Brennana-Schwarza (BrS) Model Fonga-Vasicka (FV) Wycena opcji na energię Model Vasicka Model Fonga-Vasicka

3 Wsęp Niniejsza praca doyczy sposobów modelowania procesów cen i zaporzebowania na energię elekryczną na rynkach energii. Rozdział pierwszy sanowi charakerysykę procesów sochasycznych obserwowanych na giełdach energii. Omawiamy w rym rozdziale własności procesów zaporzebowania i cen energii elekrycznej. W rozdziale drugim opisujemy wybrane modele procesów sochasycznych o własności powracania do średniej. Procesy akie mają bowiem zasosowanie w modelowaniu rozważanych przez nas procesów z rynków energii. Rozdział rzeci jes opisem Uogólnionej Meody Momenów (GMM) - echniki, kórej używać będziemy do kalibracji modeli opisanych w rozdziale drugim. Rozdział czwary zawiera esy meody GMM na danych symulowanych. Robimy o aby sprawdzić poprawność i jakość esymacji meodą GMM. W rozdziale piąym zajmujemy się kalibracją wybranych modeli opisanych w rozdziale drugim. Używamy w ym celu danych z rynku naychmiasowego skandynawskiej giełdy Nord Pool. Nasępnie w oparciu o orzymane modele przeprowadzamy wycenę opcji, dla kórych insrumenem podsawowym jes cena energii na rynku naychmiasowym. 3

4 1 Własności procesów cen i zaporzebowania na energię elekryczną Uworzenie przez wiele krajów giełd energii wymusiło konieczność opracowania modeli maemaycznych, kóre opisywałyby e rynki. Modele używane doychczas na rynkach owarowych i finansowych okazały się bowiem nieskueczne w prognozowaniu cen oraz zaporzebowania na energię elekryczną, jak również do zarządzania ryzykiem i wyceny insrumenów pochodnych. Sąd konieczność doboru nowych modeli, bardziej adekwanych do ego specyficznego rynku. Energia elekryczna ym różni się od owarów handlowanych na innych giełdach, że nie isnieją efekywne meody jej przechowywania. Oznacza o, że energię kupioną musimy zużyć oraz, że nie możemy worzyć zapasów energii elekrycznej. Sprawia o, że wiele sraegii zarządzania ryzykiem, znanych z innych giełd, nie może być sosowana na giełdach energii. 1.1 Sezonowość na rynkach energii. Zaporzebowanie na energię elekryczną podlega zmianom sezonowym. Wymusza o jednocześnie sezonowość cen energii elekrycznej. Na skuek zmian sezonowych w procesie ceny energii elekrycznej możemy wyróżnić cykle. Najważniejsze z nich przedsawiamy poniżej. cykl roczny W krajach o ciepłym klimacie zaporzebowanie na energię wzrasa laem. Ma o związek z używaniem urządzeń klimayzacyjnych. Z kolei w krajach o zimnym klimacie aki wzros zaporzebowania obserwujemy zimą w związku z koniecznością ogrzewania. Wymusza o indywidualne podejście do każdego z akich rynków. Na rys.1 przedsawiono proces ceny energii na skandynawskiej giełdzie Nord Pool 1 w 1997 roku. Widać wyraźny wzros cen w okresie zimowym oraz spadek w lecie. 1 Giełda energii dla krajów skandynawskich 4

5 3 25 NOK/MWh S Lu Mr Kw Mj Cz Li Si Wr Pa Li Gr Rys.1: Cykl roczny na giełdzie Nord Pool cykl ygodniowy Także w ciągu ygodnia zaporzebowanie na energię nie jes sałe. Obserwuje się wyraźny spadek zaporzebowania, a co za ym idzie cen, na energię w soboę i niedzielę. Jes o kolejny cykl sezonowy, kóry należy uwzględnić w modelowaniu. Na rys.2 przedsawiono średnie warości zaporzebowania na energię na giełdzie CalPX 2 oraz średnie ceny energii z giełdy Nord Pool w kolejnych dniach ygodnia na przesrzeni la NOK/MWh Po W Sr Cz P So Nd Po W Sr Cz P So Nd Rys.2: Cykl ygodniowy zaporzebowania (z lewej) i cen (z prawej) energii 2 California Power Exchange 5

6 cykl dzienny Na giełdach energii obserwujemy akże cykl dzienny. Ceny są niskie w nocy, zaś wysokie rano i po południu. Cykl en widać na rys.3, kóry obrazuje ceny godzinowe na rynku Nord Pool w dniu NOK/MWh h Rys.3: Cykl dzienny na giełdzie Nord Pool w dniu Na rynkach energii możemy eż obserwować rendy. Jednym z celów worzenia giełd energii był wzros konkurencji między dosawcami energii, a co za ym idzie spadek cen. Możemy się więc spodziewać rendu malejącego w procesie cen. Wprowadzanie nowych echnologii, a co za ym idzie ograniczanie koszów dodakowo wpływają na spadek cen. Jednak różne czynnki zewnęrzne (np. wyczerpywanie sie zapasów surowców, z kórych wywarzana jes część energii elekrycznej) mogą sprawić, że rend będzie rosnący. Fak wysępowania rendów należy uwzględnić w modelowaniu. 1.2 Powracanie do średniej Ważną własnością cen oraz zaporzebowania na energię elekryczną jes powracanie do średniej. Oznacza o, że na dosaecznie długim horyzoncie czasowym, po uwzględnieniu rendów oraz sezonowości, ceny mają endencję do powracania do pewnego poziomu. Tę własność należy uwzględnić przy doborze odpowiedniego modelu maemaycznego Ceny energii elekrycznej Przedsawimy eraz kolejne eapy usuwania rendów oraz sezonowości z danych. Zilusrujemy o na przykładzie cen z rynku naychmiasowego gieł- 6

7 dy Nord Pool w okresie Używać będziemy średnich cen dobowych co wyklucza konieczność usuwania cyklu dziennego z danych. Na rys.4 znajduje się proces ceny wraz z wyesymowanym rendem liniowym o wzorze: y =.138x Po usunięciu rendu liniowego usuwamy rend ygodniowy widoczny na rys.2. Dla ak przekszałconego procesu meodą najmniejszych kwadraów esymujemy paramery sinusoidy(rys.5), kóra obrazować będzie cykl roczny. Meodą najmniejszych kwadraów orzymujemy rend roczny o wzorze: y = 44.2sin( 2π (x + 72)). Na rys.6 widać proces 365 ceny energii po usunięciu rendu oraz omówionych rodzajów sezonowości. Ten proces posłuży nam do kalibracji odpowiedniego modelu powracającego do średniej NOK/MWh Rys.4: Proces ceny energii na giełdzie Nord Pool (niebieski), rend liniowy (czerwony) Rys.5: Proces ceny energii na giełdzie Nord Pool bez rendu liniowego oraz cyklu ygodniowego (niebieski), cykl roczny (czerwony) 7

8 Rys.6: Proces ceny energii na giełdzie Nord Pool po usunięciu rendów i okresowości Zaporzebowanie na energię elekryczną Podobne rozumowanie jak w punkcie przeprowadzimy eraz dla procesu zaporzebowania na energię elekryczną. Dane na rys.7 są ilusracją procesu zaporzebowania na energię z rynku CalPX z okresu Na rys.7 znajduje się akże wyesymowany rend liniowy. Po odjęciu rendu liniowego odejmujemy cykl ygodniowy widoczny na rys.2. Dla ak orzymanego szeregu esymujemy, meodą najmniejszych kwadraów, cykl roczny. Krok en widoczny jes na rys.8. Po odjęciu omówionych rendów oraz cykli orzymujemy szereg przedsawiony na rys.9. Zaporzebowanie na energię jes silnie związane z pogodą, kóra może podlegać gwałownym zmianom. Z ego powodu szereg, kóry orzymaliśmy na rys.9 nie dość dokładnie odpowiada procesom powracającym do średniej. Można jednak dla ego szeregu zasosować inną echnikę usuwania sezonowości [13]. 3.6 x Rys.7: Proces zaporzebowania na energię wraz z rendem liniowym 8

9 Rys.8: Proces zaporzebowania na energię na giełdzie CalPX bez rendu liniowego oraz cyklu ygodniowego, cykl roczny X Rys.9: Proces zaporzebowania na energię na giełdzie CalPX po usunięciu rendów i sezonowości 9

10 2 Modele procesów sochasycznych powracających do średniej W eorii procesów sochasycznych ważną rolę odgrywają procesy powracające do średniej. Ta własność sprawia, że znajdują one wiele zasosowań dla badania insrumenów finansowych, kóre zachowują się w en właśnie sposób, lub dla kórych spodziewamy się akiego zachowania. Szczególnie ważne są u dwie klasy spoykanych procesów - modele sopy procenowej oraz modele cen energii po usunięciu z nich sezonowości. Ponieważ pierwsza giełda energii (Nord Pool) powsała w skandynawii w 1992 roku, zagadnienie modelowania cen i zaporzebowania na energię elekryczną jes dosyć nowe. Sąd większość badań nad zasosowaniami procesów powracających do średniej prowadzono dla procesów sóp procenowych. W osanim jednak czasie powsaje coraz więcej giełd energii co sprawia, że konieczna się saje analiza cen oraz zaporzebowania na rynkach energii. To zaś nieodzownie wiąże się z przyjęciem odpowiednich modeli maemaycznych, kóre pozwalałyby na wycenę insrumenów pochodnych. W eoriach mikroekonomicznych powszechnie uznaje się, że ceny owarów w pewnym długim horyzoncie czasowym mają własność powracania do średniej. Dla różnych owarów szybkość powrou do średniej jes różna. Także poziom średni nie musi być sały (może być np. funkcją okresową). Posuluje się, że po usunięciu sezonowości z danych z rynku energii powsały szereg czasowy powinien mieć własność powracania do średniej. Z ego powodu można przyjąć modele ewolucji opare na uogólnionych procesach Ornseina-Uhlenbecka. Niekóre popularne modele ego ypu omawiamy poniżej. Nazwy modeli wywodzą się od nazwisk swoich wórców. Ze względu na popularność modeli powracających do średniej w kalibracji modeli sóp procenowych, do opisu procesu używamy liery r. 2.1 Model Vasicka Model Vasicka [9] (1977) zwany eż arymeycznym procesem Ornseina Uhlenbecka, zapisany może być w posaci sochasycznego równania różniczkowego: dr = (α βr)d + σdb (1) Proces opisany powyższym równaniem jes jednofakorowy i powraca do średniej wynoszącej α. Ponado paramer β inerpreujemy jako szybkość powraβ 1

11 cania do średniej. Im większa jego warość ym większa jes endencja powrou do średniej. Paramer σ odpowiada za udział błędów losowych w modelu i może być inerpreowany jako zmienność, naomias db jes przyrosem ruchu Browna. Na rys.1 znajduje się przykładowa rajekoria procesu Vasicka. Modele powracające do średniej różnią się od modelu geomerycznego ruchu Browna ym, że wysępuje w nich dryf, kóry jes pozyywny jeśli akualna warość procesu jes niższa niż poziom średni, zaś negaywny gdy jes odwronie. Ponado siła dryfu rośnie wraz z odległością warości procesu od poziomu średniego X X Rys.1: Trajekoria procesu Vasicka z paramerami: α = 3.5 β =.7 σ =.2 Dla ego prosego modelu isnieją jawne równania wyceny wielu insrumenów pochodnych. Warość obligacji zerokuponowej w chwili o zapadalności w chwili T dana jes wzorem: Z(, T ) = e A(;T ) rb(;t ), gdzie B = (1 e β(t ) ) 1 β, A = (B(; T ) T + )(αβ 1 2 σ) 1 β σb(; T )2. 2 4β Poprawna esymacja paramerów modelu jes kluczowa do wyceny insrumenów pochodnych jeśli zakładamy, że proces ceny insrumenu podsawowego opisany jes modelem Vasicka. Dyskreną wersję procesu (1) orzymujemy nasępująco: E[r()] = E[r ] = α β + (r α β )e β, 11

12 widać sąd, że E[x ] α β gdy. Ponado przyjmując e β = 1 β, co jes prawdziwe dla małych β i powszechnie sosowane w ekonomerii, orzymujemy: r +1 = r + α βr + ɛ, gdzie ɛ N(, σ 2 ). 2.2 Model Coxa-Ingersolla-Rossa (CIR) Model CIR [4] (1985)opisany jes nasępującym równaniem sochasycznym: dr = (α βr)d + σ rdb (2) Model en ma bardzo podobne własności do modelu Vasicka. Także w ym przypadku mamy jedno źródło losowości. Podobnie eż wygląda wycena insrumenów pochodnych oparych na modelu CIR. Znane są jawne rozwiązania na ceny wielu insrumenów pochodnych, gdy insrumenem podsawowym jes sopa procenowa. Proces CIR nie może jednak przyjmować warości ujemnych. Jes o bardzo dobra własność w przypadku modelowania sóp procenowych. Przykładowa symulacja procesu CIR znajduje się na rys X X Rys.11: Symulacja procesu CIR z paramerami : α = 2 β =.2 σ = Model Dixia-Pindycka (DP) Model DP [5](1994) opisuje poniższe równanie: dr = r(α βr)d + σrdb (3) 12

13 Proces można zapisać w posaci: dr r = (α βr)d + σdb, z ego powodu zwany jes geomerycznym procesem Ornseina-Uhlenbecka. Przykładowa rajekoria znajduje się na rys.12. Zapis modelu świadczy, że jes bardziej skomplikowany od poprzednich w obliczeniach numerycznych. Jes o rzeci i osani jednofakorowy model jaki będziemy rozważać w niniejszej pracy. 5.5 X X Rys.12: Symulacja procesu DP z paramerami: α =.8 β =.2 σ = Model Brennana-Schwarza (BrS) Model Brennana-Schwarza [1] (1982) jes modelem dwufakorowym. Mamy dwa źródła losowości, z kórych każde jes sandardowym ruchem Browna. Ruchy Browna są niezależne, a więc nieskorelowane. Model jes opisany układem równań sochasycznych: dr = (a 1 + b 1 (l r))d + σ 1 rdx 1, (4) dl = l(a 2 b 2 r + c 2 l)d + σ 2 ldx 2. (5) Mamy uaj do czynienia z dwoma procesami zależnymi od siebie. Zwykle przyjmuje się, że proces l obrazuje długoerminową sopę procenową, zaś proces r krókoerminową. Z powodu skomplikowanej formy równań i zależności między nimi nie isnieją analiyczne rozwiązania pozwalające na wycenę insrumenów pochodnych. Do wyceny można wykorzysać meody Mone-Carlo. Mogą one służyć do badania własności saysycznych 13

14 powyższego modelu. Wadą ego modelu jes fak, że może on eksplodować do nieskończoności w skończonym czasie. Oznacza o, że sopa procenowa, lub inny rozważany insrumen, może osiągnąć warość nieskończoną. Fak en urudnia badanie ego modelu poprzez symulacje. Po esymacji paramerów należy odrzucać e wysymulowane procesy, kóre eksplodowały. Trajekorie procesów opisanych modlem BrS znajdują się na rys r l r l Rys.13: Trajekorie procesów r z paramerami : a 1 =.4 b 1 =.8 σ 1 =.5 l z paramerami : a 2 =.5 b 2 =.8 c 2 =.5 σ 2 = Model Fonga-Vasicka (FV) Model FV [6] (1991) jes modelem dwufakorowym spełniającym nasępujące równania: dr = (α βr)d + ξdx 1, (6) dξ = (γ θξ)d + η ξdx 2. (7) 14

15 W modelu ym mamy do czynienia z procesem powracającym do średniej, kórego zmienność jes akże procesem sochasycznym. Model en jes sosunkowo nowy. Zaproponowany zosał w 1991 roku lecz nie jes powszechnie sosowany. Głównym ego powodem są rudności z obserwacją procesu zmienności sochasycznej. W zasadzie proces en jes rzadko obserwowany i sosowanie ego modelu możliwe jes wedy jedynie gdy z góry przyjmiemy paramery ego procesu. Prowadzenie jednak esymacji jednych paramerów podczas gdy inne zosały narzucone z góry jes mocno ryzykowne. Esymaory akie mogłyby być obarczone dość dużym błędem. Na rys.14 przedsawiono przykładowe rajekorie procesów opisanych przez model FV r r ξ ξ Rys.14: Trajekorie procesów r z paramerami : a 1 =.4 b 1 =.1 ξ z paramerami : a 2 =.5 b 2 = 1 c 2 =.1 15

16 3 Uogólniona Meoda Momenów - GMM Uogólniona Meoda Momenów (Generalized Mehod Of Momens) jes echniką esymacji paramerów w usalonym modelu. Zosała ona opracowana przez Hansena [7] w 1982 roku jako rozszerzenie znanej ze saysyki klasycznej meody momenów. Nowa meoda znalazła dosyć szerokie zasosowanie w ekonomerii i am eż jes najczęściej używana obecnie. Uogólnienie w sosunku do klasycznej meody momenów polega na dopuszczeniu w modelu większej liczby paramerów niż momenów z próby (jes o możliwe w niekórych przypadkach np. badania szeregów czasowych), ale akże większej liczby momenów niż paramerów. Szczególnie en drugi fak pozwolił na szerokie zasosowanie ej meody w ekonomerii, gdzie częso spoykamy zagadnienia z dużą liczbą różnych warunków począkowych. Klasyczna meoda momenów nie może am być sosowana ze względu na brak jednoznacznego rozwiązania w przypadku różnej liczby równań i niewiadomych. Nie można w ej syuacji spełnić wszyskich równań jednocześnie. GMM pozwala naomias znaleźć rozwiązanie, kóre w odpowiednio dobranej meryce spełnia podane założenia możliwie najlepiej. Meoda GMM nie ylko uogólnia klasyczną meodę momenów na syuacje, w kórych a nie może być sosowana, ale również znajduje zasosowania akże w innych działach saysyki, jak np. esowanie hipoez saysycznych. Ważną zaleą ej meody jes brak założeń o rozkładzie błędów w modelu, kóre czasem sanowią isone ograniczenie dla innych meod. Częso nie ylko nie musimy znać ich rozkładu, ale nawe nie porzebujemy aby były homoskedasyczne 3. Ten osani fak ma duże zasosowanie w używaniu GMM do esowania hipoez saysycznych. Heeroskedasyczne 4 błędy o nieznanym rozkładzie mogą być jednak urudnieniem w osiągnięciu pożadanej skueczności meody GMM. 3.1 Idea meody GMM Zasadniczą ideą w ej meodzie esymacji jes aki wybór paramerów modelu, aby dopasowanie odpowiednich momenów z próby do ich warości eoreycznych było jak największe. W ym celu esymaor uzyskany meodą GMM powinien minimalizować nasępującą funkcję celu/sray(loss funcion): 3 Tzn. o sałej wariancji 4 Tzn. o zmiennej wariancji J T (θ) = m(θ) W m(θ), (8) 16

17 gdzie θ jes wekorem szukanych paramerów o wymiarach q 1 naomias m( ) jes wekorem warunków GMM (orhogonaliy condiions) o wymiarach r 1, r q. W nazywamy macierzą wag (weigh marix). Szczegółowy opis jej znaczenia znajduje się w podrozdziale Momeny z próby i momeny z modelu Zajmiemy się eraz wyjaśnieniem czym w funkcji celu jes m(θ). Przyjmijmy, że model posiada k paramerów i zapisany jes w ogólnej posaci: y [T 1] = f(x [T k] ; θ) + ɛ. (9) Zauważmy, że powyższą posać mają dyskrene wersje sochasycznych równań różniczkowych. W niniejszej pracy zajmować się będziemy esymacją paramerów w akich właśnie modelach. Ważną zaleą meody GMM jes brak szczegółowych założeń o rozkładzie błędów. Przeważnie wysarczająca jes informacja, że mają one średnią zero. Warunki GMM są funkcjami zależnymi od próby oraz od warości eoreycznych paramerów modelu w en sposób aby E[ m(y, X, θ)] =. Wyjaśnimy o bliżej na przykładzie szukania średniej i wariancji w populacji na podsawie próby {y } T =1 ( nie oznacza u czasu a jedynie jes indeksem). Zauważmy, że w ym modelu nie wysępuje zmienna X zaś momenami z modelu są: Można o zapisać w posaci: E [ E[y ] = µ, E[(y µ) 2 ] = σ 2. y µ (y µ) 2 σ 2 ] = [ ]. (1) Teraz analogicznie jak w przypadku meody momenów zapisujemy momeny z próby dla naszych warunków: m(y, θ) = [ m1 (y, θ) m 2 (y, θ) ] = [ 1 T 1 ] n=1 (y T µ) n=1 ((y µ) 2 σ 2. (11) ) Za m(θ) przyjmujemy wyrażenia znajdujące się w osaniej macierzy. W meodzie GMM konieczne jes akie ich wybranie, aby odpowiedniki eoreyczne 17

18 (warości oczekiwane) wynosiły zero. Jeżeli liczba warunków GMM i liczba esymowanych paramerów jes aka sama, o szukane paramery modelu powinny usalić warość funkcji celu na zero (lub bardzo blisko ej liczby). Jes o syuacja bardzo podobna do ej, w kórej używa się sandardowej meody momenów. Dla większej liczby warunków może się okazać niemożliwym równoczesne spełnienie ich wszyskich. Możemy wedy usalić, kóre z nich są dla nas ważniejsze, a kóre mniej isone. W ym celu możemy użyć macierzy wag. Sposoby i warunki jej wyboru oraz meody opymalizacji omówimy w kolejnym podrozdziale. 3.3 Macierz wag W Dla poprawnego działania meody GMM wymagane jes, aby macierz W była symeryczna i dodanio określona. Możliwe jes zaem przyjęcie w o miejsce macierzy jednoskowej odpowiedniego wymiaru. W akiej syuacji usalamy, że wszyskie warunki GMM są dla nas jednakowo isone. Jednakże meoda GMM polega na minimalizacji pewnej formy kwadraowej. Dla pewnych modeli może o być zagadnienie dość skomplikowane numerycznie. Dlaego z punku widzenia opymalizacji obliczeń isone wydaje się przyjęcie macierzy, kóra daje możliwie najlepszą zbieżność meody. Może o się okazać ważne gdy przyjęy model wymagał będzie dużej mocy obliczeniowej. Dzieje się ak dla modeli z dużą liczbą paramerów, a akże dla ych, gdzie mamy dużą liczbę obserwacji w próbie. Waro u zauważyć, że dla danych z rynków energii częso mamy do czynienia z aką syuacją. Jeśli dysponujemy cenami godzinowymi na przesrzeni kilku la o rozmiar naszej próby wynieść może nawe kilkadziesią ysięcy elemenów. Należy eż pamięać, że nie bez znaczenia jes u wybór odpowiedniego algorymu minimalizującego formę kwadraową, kórą dysponujemy. W ej pracy nie będziemy się jednak zajmować rudnościami jakie przy sosowaniu meody GMM niesie odpowiedni wybór algorymów. We wszyskich symulacjach i esach korzysamy z goowych procedur minimalizacyjnych opracowanych dla meody GMM i dosępnych w inernecie 5. Jeżeli rozparujemy pewien model posaci (9) o możemy być zaineresowani nie wszyskimi paramerami jednakowo. W badaniu szeregów czasowych szczególnie isone, a zarazem częso dosyć rudne jes wyznaczenie zmienności w modelu. Możemy więc użyć w ym celu macierzy W i nadać emu paramerowi szczególną wagę. Jednakże najczęściej zależeć nam będzie ]na równym rakowaniu wszyskich paramerów. Naszym zadaniem jes wyznaczenie akiego esymaora ˆθ, kóry miałby najmniejszą asympoyczną 5 np. oolbox MATLAB-a: hp:// 18

19 wariancję dla usalonego zbioru warunków GMM. Hansen [7] wskazał, że aki esymaor osiągamy przyjmując W = S 1, gdzie S jes macierzą asympoycznej kowariancji, a więc : S(θ) = E[ m(θ) m(θ) ]. Oczywiście w naszej syuacji nie możemy znać ej macierzy. Porzebna jes do ego znajomość prawdziwych paramerów modelu, kóre dopiero esymujemy. Najczęściej spoykanym sposobem wyznaczania macierzy W jes meoda ieracyjna [3]. Polega ona na przyjęciu dowolnej macierzy W 1 spełniającej założenia dodaniej określoności i symeryczności (np. macierz jednoskowa I). Nasępnie wykonujemy procedurę minimalizacji funkcji celu orzymując esymaor ˆθ 1. Tego esymaora używamy do wyliczenia macierzy W 2 jako macierzy asympoycznej auokowariancji dla paramerów ˆθ 1 id. A więc: W = I ˆθ 1 = argmin m(θ) W m(θ) W 1 = f(ˆθ 1 ) ˆθ 2 = argmin m(θ) W 1 m(θ)... Tę procedurę można wykonywać usaloną liczbę razy (częso 2 lub 3) lub do czasu osiągnięcia usalonej, małej zmiany w warości funkcji celu. Począkową macierz można wybrać inaczej np. jeśli zależy nam na wspomnianej już lepszej dokładności niekórych paramerów. W akiej syuacji wpisujemy większą liczbę w miejsce odpowiedniej jedynki. Inną prakycznie sosowaną u meodą jes podanie począkowych paramerów i wyliczenie W na ich podsawie. Rozkład esymaora GMM jes normalny o nasępujących paramarach zależnych od wyboru warunków GMM oraz macierzy wag (T jes wielkością próby): ˆθ N (θ, V T ), gdzie V = [M W M] 1 M W SW M[M W M] 1 orazm = m(θ) [7]. Naomias θ opymalny wybór W = S 1 upraszcza en wzór do: V = [M S 1 M] 1. Tesy normalności esymaorów zamieszczamy w rozdziale 4. 19

20 3.4 Dlaczego uogólnienie meody momenów? Meoda momenów Pewne nieznane paramery w danej populacji możemy wyznaczyć przez przyrównanie pierwszych k momenów z próby do odpowiednich k momenów z rozkładu oraz rozwiązanie powsałego układu równań. Rozparzmy ę meodę na przykładzie szukania paramerów w modelu regresji liniowej: y = x β + u. (12) Gdy u są nieskorelowane z x wedy E[u x ] =. Teraz możemy policzyć: E[(y x β)x ] = E[E[(y x β)x x ]] = E[E[(y x β) x ] x ] = E[ x ] = Nasępnie zapisując momen z próby 1 T T=1 (y x β)x =, orzymujemy klasyczne rozwiązanie zagadnienia regresji: β = (x x) 1 x y. Można sobie jednak wyobrazić, że w ym samym modelu isnieje wiele obserwowanych warości z spełniających E[u z ] =. Jeżeli dim(z ) > dimβ o nie orzymamy w en sposób rozwiązania Uogólnienie meody momenów Meoda GMM jes recepą na syuację gdy liczba warunków, kóre powinny być spełnione jes większa niż liczba paramerów w modelu. Pewną populację możemy chcieć opisać przy pomocy 5 paramerów, mimo, że obserwujemy np. 1 cech. Rozwiązaniem jes wybór ˆβ ak, aby minimalizować wekor [ 1 T T =1(y x β)z ]W [ 1 T T (y x β)z ] =1 Jednym z możliwych rozwiązań jes u zw. esymaor 2SLS (2 sage leas squares) orzymany przez minimalizowanie powyższej formy kwadraowej, gdy W = [ T =1 z z ] 1. Jednak meoda GMM pozwala na więcej, gdyż macież wag (w ym przypadku opara o wekor z ) może być wybrana bardziej opymalnie. Także wybór warunków (w ym przypadku używamy ylko warości oczekiwanej innowacji) może byc inny. 3.5 GMM dla modeli ze zby dużą liczbą paramerów. Dla szukania k paramerów w modelu porzebujemy k warunków GMM, chociaż, przypominamy, może być ich więcej. Jednakże zdarza się, że w modelu 2

21 jes więcej paramerów niż warunków GMM, kórymi dysponujemy. Meoda momenów w akich syuacjach nie może być, rzecz jasna, sosowana. W akich syuacjach można czasem sworzyć dodakowe warunki używając insrumenów (insrumens) [7]. Wracając do modelu (9) załóżmy, że E[ɛ x ], ale E[ɛ z ] =. Wedy z nazywamy insrumenem oraz przyjmujemy nasępujące warunki GMM: m 1 = 1 T T (y f(x [ k] ; θ)) (13) =1 m 2 = 1 T T (y f(x [ k] ; θ))z (14) =1 Orzymaliśmy więc dodakowy drugi warunek. Techniki ej będziemy używać w symulacyjnej części pracy, w miejsce z przyjmując x 1. 21

22 4 Tesy efekywności meody GMM W ej części pracy zbadamy skueczność meody GMM dla wybranych modeli sochasycznych. Przeprowadzimy esymację paramerów dla modeli danych w posaci sochasycznych równań różniczkowych, zarówno jedno-, jak i dwufakorowych. Tesy przeprowadzać będziemy w nasępujący sposób: usalenie warunków GMM wymaganych do użycia meody symulacja szeregu czasowego przy zadanych paramerach i o usalonej długości esymacja paramerów i porównanie ich z rzeczywisymi badanie skueczności meody w zależności od długości szeregu czasowego badanie wpływu parameru zmienności na jakość esymacji 4.1 Modele jednofakorowe Na począek zajmiemy się esymacją paramerów dla jednofakorowych modeli ypu Ornseina-Uhlenbecka. Są o procesy sochasyczne o własności powracania do średniej i z ego względu są szeroko używane m.in. do modelowania sóp procenowych. Uważa się akże, że należy je sosować do cen energii po usunięciu z nich sezonowości. Tym zagadnieniem zajmiemy się w rozdziale 5 niniejszej pracy Model Vasicka Model en jes jednym z prosszych modeli sochasycznych o własności powracania do średniej. Zapisujemy go w posaci nasępującego sochasycznego równania różniczkowego: dx = (α βx)d + σdb. (15) Gdy mamy do czynienia z czasem dyskrenym oraz przyjmiemy e β = 1 β równanie o manasępującą posać: gdzie ɛ N(, σ 2 ). X +1 = α + (1 β)x + ɛ +1, (16) Proces opisany powyższym równaniem powraca do średniej wynoszącej α β. 22

23 Możemy eraz przyjąć nasępujące warunki GMM: m(x, α, β, σ) = [ 1 T 1 n=1 (X T +1 X α + βx ) n=1 (X +1 X α + βx ) 2 σ 2 ) ]. (17) Używając echniki powielania warunków opisanej w podrozdziale 3.5 orzymujemy wymaganą przez meodę GMM liczbę warunków GMM. Na rys.15 przedsawiono przykładową rajekorię procesu Vasicka. Dla ego procesu o długości 1 elemenów szukamy paramerów meodą GMM. Funkcja celu opisana w rozdziale 3 przedsawiona jes na rys.16. Na osiach OX oraz OY znajdują się szukane paramery, zaś na osi OZ warość funkcji celu dla ych paramerów. Rozwiązaniem jes argumen minimalizujący funkcję sray. Najlepsze paramery β oraz σ zaznaczone są na rys.17, będącym odpowiednim przekrojem funcji sray X X Rys.15: Trajekoria procesu Vasicka z paramerami: α = 3.5 β =.7 σ = J.3.35 σ Rys.16: Funkcja celu.65.7 β

24 β σ Rys.17: Przekrój funkcji celu (czerwona gwiazdka oznacza rozwiązanie) paramer warość prawdziwa esymaor błąd błąd procenowy α % β % σ % Skueczność meody jes bardzo dobra. Uzyskane wyniki są bardzo bliskie prawdziwym warościom, mimo że założono w modelu dosyć duże, bo wynoszące 2% odchylenie sandardowe błedów. Przeprowadzimy eraz badanie zależności błędów esymacji paramerów modelu od długości używanego szeregu czasowego przy użyciu sandardowych warunków GMM. W ym celu przeprowadzamy po 1 symulacji dla szeregów o długości od 3 do 2 elemenów dla każdego z paramerów. Na rys.18 przedsawione są: linie kwanylowe rzędu 9%(czerwone) linie kwanylowe rzędu 1% (różowe) średni wynik dla 1 prób (zielony) wynik pożądany (niebieski) Na osi OY e( ) oznacza procenowy błąd esymacji. 24

25 k 9 k 5 m p 5 e(α) k 9 k 5 m p 5 e(β) e(σ) k 9 k 5 m p Rys.18: Błędy esymaorów α, β oraz σ w zależności od wielkości próby Na rys.18 zauważamy endencję do zmniejszania się błedów esymacji wraz ze wzrosem długości używanego szeregu. Większe błedy owarzyszą esymacji paramerów α oraz β. Naomias mamy dokładniejsze wyniki w przypadku parameru zmienności. Błąd rzędu 1-15% przy próbie wielkości 3 elemenów wydaje się nie być duży. Średni błąd wynosi za każdym razem kilka procen. Zauważyć należy, że w przypadku sóp procenowych, do kórych można powyższy model sosować zazwyczaj dysponujemy dużą liczbą obserwacji (w szczególności przy zw. noowaniach ic by ic na rynku międzybankowym). Także na rynku energii w przypadku cen godzinowych mamy 25

26 do dyspozycji dużą liczbę danych do analiz. Przeprowadzimy akże analizę błędów esymacji gdy rośnie rola losowych błędów w modelu. Po raz kolejny wykonujemy po 1 prób dla każdej warości parameru σ. Rys.19 przedsawia linie kwanylowe na poziomie 9% (czerwone), oraz 5% (różowe), a akże warość średnią ze 1 prób (zielona) oraz niebieską linię wyznaczającą prawdziwą warość esymowanego parameru. Za każdym razem używamy szeregu o długości 1 elemenów oraz nie zmieniamy warości paramerów α oraz β. Wszyskie błędy wyrażone są w procenach na osi OY. e(α) σ 6 e(β) σ 4 2 e(σ) Rys.19: Błędy esymaorów α, β oraz σ w zależności od zmienności w modelu Z rys.19 wynika, że warość parameru zmienności nie odgrywa znaczącej roli w esymacji. Nie widać u endencji do wzrosu błędów esymaorów, gdy rośnie wariancja składnika losowego. Przy dowolnej wielkości parameru σ błąd esymacji jes rzędu kilku - kilkunasu procen. Podobnie jak poprzednio najlepiej zosał wyesymowany paramer zmienności. Powyższe analizy dowodzą, że wariancja esymaora maleje wraz ze wzrosem długości badanego szeregu czasowego, naomias nie ma znaczenia warość σ 26

27 paramerów wyjściowych. Jednocześnie wariancja esymaorów nie jes duża i uzyskane wyniki dość dobrze przybliżają prawdziwe warości. Przedsawimy eraz badanie zgodności rozkładu esymaorów GMM z rozkładem normalnym. W ym celu przeprowadzimy 1 symulacji z ymi samymi paramerami. Na rys.2 widzimy wyniki akiego esu. Dla rozkładu normalnego powinniśmy orzymać linię prosą. Widać więc, że uzyskane esymaory pochodzą z ego właśnie rozkładu. Na rys.21 przedsawiono hisogramy uzyskanych esymaorów wraz z dopasowaną do nich krzywą rozkładu normalnego. Ponado w poniższej abeli mamy charakerysyki liczbowe dla orzymanych wyników: średnią, dyspersję 6, skośność i kurozę. esymaor średnia dyspersja skośność kuroza ˆα ˆβ ˆσ, rozkład normalny Na podsawie rys.2-21 oraz abeli można więc swierdzić, że uzyskane esymaory są zgodne i mają rozkład normalny. Ponado zauważamy, że wariancja esymaorów nie jes duża. Oznacza o, że meoda GMM okazała się bardzo skueczna w kalibracji modelu Vasicka. Używaliśmy szeregów czasowych o długości 1 elemenów. 6 Tzn.odchylenie sandardowe 27

28 α β σ Rys.2: Badanie normalności esymaorów paramerów α, β oraz σ α 1 β σ Rys.21: Hisogramy esymaorów paramerów α, β oraz σ wraz z dopasowaną krzywą rozkładu normalnego 28

29 4.1.2 Model Coxa-Ingersola-Rossa (CIR) Model en opisujemy nasępującym równaniem sochasycznym: dx = (α βx)d + σ XdB. (18) Proces opisany powyższym równaniem powraca (podobnie jak proces Vasicka) do średniej wynoszącej α β. Możemy eraz przyjąć nasępujące warunki GMM: m(x, α, β, σ) = [ 1 T 1 n=1 (X T +1 X α + βx ) n=1 (X +1 X α + βx ) 2 σ 2 X) ]. (19) Dysponując dwoma warunkami przy rzech paramerach modelu, po raz kolejny sosujemy echnikę powielania warunków GMM. Na rys.22 przedsawiono przykładową rajekorię procesu CIR. Wyniki esymacji ego procesu zawiera abela X X Rys.22: Symulacja procesu CIR z paramerami : α = 2 β =.2 σ =.1 paramer warość prawdziwa esymaor błąd błąd procenowy α % β % σ % 29

30 Powyższe wyniki są bardzo dobre, ale użyliśmy ylko jednej symulacji. Mogło więc się zdarzyć, że orzymany wynik jes przypadkowy. Aby o wykluczyć dla sprawdzenia jakości esymacji meodą GMM w modelu CIR przeprowadzimy analizy podobne jak dla procesu Vasicka: analizę jakości esymacji dla różnych długości procesu CIR (1 prób dla każdego ) - rys.23; analizę wyników esymacji dla różnych warości parameru zmienności (1 prób dla każdego σ) - rys.24; analizę zgodności uzyskanych esymaorów z rozkładem normalnym (1 prób) - rys.25; hisogramy uzyskanych esymaorów (1 prób) - rys.26. Podobnie jak w punkcie linie czerwone są liniami kwanylowymi rzędu 9%, linie różowe są liniami kwanylowymi rzędu 5%, linie zielone są wynikami średnimi ze 1 prób, zaś linia niebieska wyznacza prawdziwą warość esymowanego parameru. Analiza normalności prowadzona jes w oparciu o 1 prób przy sałych paramerach (akich jak w symulacji na począku niniejszego punku). 4 3 k 9 k 5 m p 4 3 k 9 k 5 m p e(α) e(β) k 9 k 5 m p 2 e(σ) Rys.23: Błędy esymaorów α, β oraz σ w zależności od wielkości próby 3

31 e(α) σ 6 e(β) σ 4 2 e(σ) σ Rys.24: Błędy esymaorów α, β oraz σ w zależności od wariancji w modelu α β σ Rys.25: Badanie normalności esymaorów paramerów α, β oraz σ 31

32 α 1 β σ Rys.26: Hisogramy esymaorów paramerów α, β oraz σ esymaor średnia dyspersja skośność kuroza ˆα ˆβ ˆσ, rozkład normalny Zaznaczyć należy, że w odróżnieniu od poprzedniego modelu, uaj na zmienność ma akże wpływ warość samego procesu. Dlaego przyjmujemy mniejsze warości parameru zmienności. W naszym przypadku proces powraca do średniej wynoszącej 1. Oznacza o, że mimo iż paramer σ wynosi.1 o po pomnożeniu przez 1 wariancja modelu dodakowo się zwiększa. Z rys wynika jednak, że na jakość esymacji nie ma wpływu warość parameru zmienności naomias większa próba zwiększa poprawność esymacji. Esymaory mają rozkład normalny. Na ej podsawie można więc uznać, że meoda GMM jes skueczna w esymacji paramerów modelu CIR Model Dixia-Pindycka (DP) Model en zapisujemy w nasępującej posaci sochasycznej: dx = X(α βx)d + σxdb. (2) 32

33 Proces opisany powyższym równaniem powraca do średniej wynoszącej α β. Zauważmy, że model rozszerza poprzednie równanie o składnik X w przyroście d. Wariancja procesu nie jes już zależna od pierwiaska warości procesu, ale od samej warości X. Sprawia o, że można dopasowywać en model do procesów przyjmujących warości ujemne. Wadą ego modelu jes jednak, że X najczęściej zanika do zera o ile osiągnie warość bliską zeru. Ponieważ warość procesu zwiększa wariancję będziemy używać małych warości współczynnika σ. Dla ego modelu przyjmujemy nasępujące warunki GMM: m(x, α, β, σ) = [ 1 T 1 ] n=1 (X T +1 X X (α + βx )) n=1 (X +1 X X (α + βx )) 2 σ 2 X 2) (21) Do wyznaczenia rzech paramrów porzebujemy przynajmniej rzech warunków GMM. Powielamy więc posiadane warunki echniką opisaną w podrozdziale 3.5. Na rys.27 znajduje się przykładowa rajekoria procesu DP. Wyniki esymacji ego procesu zaware są w abeli poniżej. 5.5 X X Rys.27: Symulacja procesu DP z paramerami: α =.8, β =.2 σ =.1 paramer warość prawdziwa esymaor błąd błąd procenowy α % β % σ % Wielkość próby wynosiła 1 elemenów.orzymane wyniki esymacji są bardzo dobre. Kolejne rysunki mają na celu sprawdzenie poprawności działania meody GMM przy wielu powórzeniach i w różnych syuacjach. 33

34 Na rys.28 przedsawiono linie kwanylowe na poziomie 9% (czerwone) oraz 5% (różowe) a akże wynik średni (zielony) i pożądany (niebieski) przy zmieniającej się długości szeregu czasowego (1 prób dla każdej warości ). Na rys.29 znjadują się wyniki podobnych symulacji, ylko przy zmieniającej się warości parameru σ (akże po 1 prób dla każdego σ). Za każdym razem na osi OY znajdują się błędy wyrażone w procenach. Rys.3-31 są ilusracją esów rozkładów esymaorów uzyskanych z 1 prób przy usalonych warościach paramerów oraz długości szeregu czasowego wynoszącego za każdym razem k 9 k 5 m p e(α) e(β) k 9 k 5 m p k 9 k 5 m p 4 2 e(σ) Rys.28: Błędy esymaorów α, β oraz σ w zależności od wielkości próby 34

35 e(α) 2 e(β) σ σ e(σ) σ Rys.29: Błędy esymaorów α, β oraz σ w zależności od wariancji w modelu α β σ Rys.3: Badanie normalności esymaorów paramerów α, β oraz σ 35

36 α 8 7 β σ Rys.31: Hisogramy esymaorów paramerów α, β oraz σ esymaor paramer średnia dyspersja skośność kuroza ˆα ˆβ ˆσ.1, rozkład normalny Uzyskane wyniki wskazują, że esymaory są nieco gorsze od ych orzymanych dla modelu Vasicka oraz CIR lecz nadal są saysfakcjonujące. Wpływ na o ma fak, że model DP jes bardziej skomplikowany. Esymaory są nieobciążone [7], mają małą wariancję oraz rozkład normalny. Wariancja każdego z esymaorów maleje wraz ze wzrosem długości szeregu czasowego oraz jes niezależna od parameru zmienności σ. Są o bardzo dobre własności. Należy więc uznać, że meoda GMM również może być sosowana dla modelu DP. 4.2 Modele wielofakorowe Modele wielofakorowe zakładają, że na warość pewnego zjawiska mają wpływ czynniki deerminisyczne jak również losowe, kóre mogą mieć różne źródła. Liczba ych źródeł losowości określa sopień modelu. Modele akie są dużo mniej popularne od już omówionych modeli jednofakorowych. 36

37 Ich analiza niesie ze sobą zazwyczaj wiele kłopoów i jes dość rudna. Większość modeli bada się wyłącznie saysycznie, gdyż nie są znane analiyczne wzory nawe na cenę obligacji zerokuponowej. Jednakże modele e dają wiele możliwości, kórych nie sposób osiągnąć modelami prosszymi. Sosować je można np. w syuacji gdy na cenę energii mają wpływ czynniki giełdowe związane z jej obroem, ale akże cena gazu lub węgla, z kórego energia a powsaje. Ponieważ jednak cena drugiego surowca akże podlega grze rynkowej mogą na nią wpływać innego rodzaju czynniki losowe. Model dwu- lub więcej fakorowy może się okazać odpowiedni do akich analiz Model Brennana-Schwarza (BrS) Model en zapisujemy nasępującym układem równań sochasycznych: dr = (a 1 + b 1 (l r))d + σ 1 rdb 1, (22) dl = l(a 2 b 2 r + c 2 l)d + σ 2 ldb 2. (23) W powyższym modelu zakładamy niezależność wysępujących w nich ruchów Browna. Częso przyjmuje się, że r jes krókoerminową sopą procenową, zaś l długoerminową. Czasem eż przyjmuje się, że drugi fakor jes jakąś zmienną nieobserwowaną bezpośrednio. Przyjmujemy nasępujące warunki GMM (θ = (a 1, b 1, σ 1, a 2, b 2, c 2, σ 2 )): m(r, l, θ) = 1 T 1 T 1 n=1 (r T +1 r a 1 b 1 (l r)) n=1 (r +1 r a 1 b 1 (l r)) σ1 2r2 ) 1 n=1 (l T +1 l l (a 2 b 2 r c 2 l) n=1 (l +1 l l (a 2 b 2 r c 2 l) σ2 2l2 ). (24) Po raz kolejny sosujemy echnikę powielania warunków GMM. Na rys.32 znajdują się przykładowe rajekorie procesów modelu BrS. Tabela zawiera wyniki esymacji paramerów dla ych symulacji. 37

38 r l r l Rys.32: Trajekorie procesów r z paramerami : a 1 =.4 b 1 =.8 σ 1 =.5 l z paramerami : a 2 =.5 b 2 =.8 c 2 =.5 σ 2 =.5 paramer warość prawdziwa esymaor błąd błąd procenowy a % b % σ % a % b % c % σ % Dwufakorowość ego modelu nie wpłynęła znacząco na pogorszenie się wyników esymacji. W zasadzie ylko osani paramer można uznać za nienajlepiej wyesymowany. Jednak osąd aki jes uzasadniony ylko w obliczu poprzednich bardzo dobrych wyników esymacji. Obiekywnie bowiem parząc bład esymacji poniżej 2% byłby nienajgorszy. Wszyskie wyniki uzyskaliśmy z o długości 1 elemenów przy siedmiu paramerach. 38

39 Rys zawierają wyniki badania rozkładów esymaorów modelu BrS dla 1 symulacji z paramerami jak poprzednio a b 1 σ a.99 b c σ Rys.33: Badanie normalności esymaorów modelu BrS Rys.34: Hisogramy esymaorów modelu BrS 39

40 Z rys wynika, że ylko paramery głównego procesu r mają rozkład normalny. Także jakośc dopasowania paramerów procesu l nie jes dobra. Mają one duża wariancję i dla 2 prób ich średnia odbiega od prawdziwej warości. Powierdza o poniższa abela: esymaor paramer średnia dyspersja skośność kuroza â ˆb ˆσ 1.5, â 2.5, ˆb 2.8, ĉ 2.5, ˆσ 2.5, rozkład normalny Wynika z ego, że meoda GMM nie działa zby dobrze dla modelu BrS. Orzymane wyniki są poprawne ylko dla pierwszego szeregu. Wynikać o może z faku, że równanie opisujące drugi proces jes bardziej skomplikowane. Może o sprawiać kłopoy numeryczne. Złe rezulay uzyskuje się nawe dla dużych prób (rzędu 1.) z ego powodu nie przeprowadzamy esów zależności od czasu dla ego modelu Model Fonga-Vasicka (FV) Model en opisany jes nasępującym układem równań sochasycznych : dr = (a 1 b 1 r)d + ξdb 1, (25) dξ = (a 2 b 2 ξ)d + c 2 ξdb 2. (26) W powyższym modelu zakładmy niezależność wysępujących w nich ruchów Browna. Jes o uogólniony model CIR. Uogólninie polega na przyjęciu, że zmienność modelu jes procesem sochasycznym. Przyjmujemy nasępujące warunki GMM (θ = (a 1, b 1, a 2, b 2, c 2 )) : m(r, ξ, θ) = 1 T 1 1 n=1 (r T +1 r a 1 + b 1 r ) n=1 (r T +1 r a 1 + b 1 r ) 2 ξ 1 n=1 (ξ T +1 ξ a 2 + b 2 ξ ) n=1 (ξ +1 ξ a 2 + b 2 ξ ) 2 c 2 ξ) (27) 4

41 Do esymacji pięciu paramerów musimy po raz kolejny użyć echniki powielania warunków GMM. Na rys.35 znajduje się przykładowa rajekoria modelu FV, zaś wyniki esymacji paramerów dla ej symulacji znajdują się w abeli poniżej r r ξ ξ Rys.35: Trajekorie procesów r z paramerami : a 1 =.4 b 1 =.1. ξ z paramerami : a 2 =.5 b 2 = 1 c 2 =.1. paramer warość prawdziwa esymaor błąd błąd procenowy a % b % a % b % c % Wyniki badania jak zmienia się jakość esymacji gdy rośnie roamiar próby przedsawiono na rys.36. Przeprowadzimy akże 2 prób z ymi samymi paramerami aby zobaczyć rozkłady esymaorów. Wyniki przedsawione są na rys.37-38: 41

42 e(a 1 ) e(b 1 ) e(a 2 ) e(b 2 ) e(c 2 ) Rys.36: Błędy esymaorów w zależności od wielkości próby 42

43 Normal Probabiliy Plo a b a b σ Rys.37: Badanie normalności esymaorów modelu FV a 1 3 b a 2 3 b c Rys.38: Hisogramy esymaorów modelu FV 43

44 Z rys wynika, że paramery głównego procesu r nie mają rozkładu normalnego. Jednak poniższa abela powierdza fake, że esymaory są zgodne, chociaż ich wariancja jes dość duża. esymaor paramer średnia dyspersja skośność kuroza â ˆb â 2.5, ˆb 2 1, ĉ 2.1, rozkład normalny

45 5 Wycena opcji na energię W ej części pracy zajmiemy się wyceną opcji na energię na giełdzie Nord Pool. W ym celu wykorzysamy szereg, kóry orzymaliśmy po usunięciu rendów i sezonowości z procesu ceny energii elekrycznej w rozdziale 1. Do modelowania szeregu użyjemy jednofakorowego modelu Vasicka oraz dwufakorowego modelu Fonga-Vasicka. Są o dwa najlepiej wyesymowane modele w swojej klasie. Wycenę można akże prowadzić w oparciu o modele CIR oraz DP. Naomias model BrS okazał się rudny w esymacji meodą GMM. Z ego powodu wycena opcji przy jego użyciu wydaje się nie mieć podsaw. Wycenimy dla przykładu czery opcje, choć sosując niżej opisaną echnikę można wycenić opcję o dowolnej funkcji wypłay. Insrumenem podsawowym jes cena w NOK 7 1MWh energii z rynku naychmiasowego giełdy Nord Pool. Używać będziemy średnich cen dziennych w okresie Z ego powodu nie musimy usuwać dziennego cyklu z danych. Wycenę opcji prowadzić będziemy na dzień Zakładamy sałą sopę procenową wynoszącą 6.5% w skali roku. Taka sopa obowiązywała w Norwegii w dniu wyceny opcji. Schema wyceny opcji usunięcie rendów i sezonowości z danych (wykonano w rozdziale 1), kalibracja modelu powracającego do średniej (Vasicek/Fong-Vasicek), symulacje Mone Carlo z wykalibrowanego modelu (1. symulacji), dodanie sezonowości i rendów, obliczenie ceny opcji w oparciu o wysymulowane rajekorie oraz jej zdyskonowanie, porówmanie orzymanych wyników z cenami rzeczywisymi (o ile isnieją). Przyjmujemy nasępujące oznaczenia: - K - cena wykonania, - = dzień wyceny , - S cena insrumenu podsawowego w chwili, Korona norweska 45

46 Wycenimy opcje dające prawo kupna/sprzedaży 1MWh po cenie K wyrażonej w NOK, kórych handel odbywa się przez 25 dni od dnia wyceny (27.4.2), naomias przez kolejne dwa ygodnie liczona jes warość opcji zgodnie z funkcją wypłay. Wykonanie nasępuje po czerech ygodniach od dnia wyceny, Oo funkcjie wypłay wycenianych opcji: opcja kupna, f = max( =26 S K, ) - (opcja I) opcja sprzedaży, f = max(k =26 S, ) - (II) opcja kupna, f = max(max(s : 26 53) K, ) - (III) opcja sprzedaży, f = max(k max(s : 26 53), ) - (IV). 5.1 Model Vasicka Kalibracja modelu Vasicka meodą GMM dała nasępujące paramery: α =.1764, β =.45, σ = 7. Rys.39 przedsawia porównanie szeregu czasowego powsałego z cen energii po usunięciu z nich sezonowości oraz rajekorii procesu Vasicka z wyesymowanymi paramerami. 2 Nord Pool Vasicek Rys.39: Porównanie procesu uzyskanego z cen energii (niebieski) oraz rajekorii wykalibrowanego procesu Vasicka (czerwony) Przeprowadzimy eraz symulacje Mone Carlo dla modelu Vasicka. Na rys.4 znajduje się proces ceny insrumenu podsawowego (niebieski) oraz kilka symulacji od dnia wyceny wraz z dodanym rendem. Na czerwono zaznaczono funkcję rendu. Niebieskie pionowe linie wyznaczają pierwszy i osani dzień obrou opcjami. 46

47 16 14 NOK/MWh Rys.4: Cena energii (niebieski), rend (czerwony), symulacje (pozosałe kolory) Na rys.41 zaznaczono ceny opcji dla różnych cen wykonania. Dla opcji I oraz II zaznaczono rzeczywise ceny rynkowe. Takie opcje były w ym czasie handlowane na rynku Elermin 8. Z rys.41 wynika, że wycena opcji meodą Mone Carlo przy użyciu kalibracji meodą GMM daje wynik zbliżony do wyceny rynkowej dla opcji kupna. Opcja sprzedaży wyceniona poprzez symulacje jes droższa niż na rynku. Oznacza o, że rynek prognozował spadek cen energii w ciągu najbliższych 8 ygodni bardziej niż by o wynikało z rendu. Ceny opcji III i IV nie można porównać z rzeczywisymi, gdyż akie opcje nie były handlowane na giełdzie Elspo. 8 Terminowy rynek finansowy giełdy Nord Pool 47

48 I 25 2 II NOK 6 5 NOK K III IV K NOK 15 1 NOK K K Rys.41: Prognozowane (gwiazdka) i rzeczywise (kółko) ceny opcji na energię w dniu Model Fonga-Vasicka Przeprowadzimy eraz wycenę opcji przyjmując dwufakorowy model FV. Jes o proces CIR o sochasycznej zmienności. My przyjmiemy proces zmienności jako wariancję procesu ceny w osanich 7 dniach. Wyesymowane parameru procesu FV o: a 1 =.123, b 1 =.719, a 2 = , b 2 =.677, c 2 =.7998.; Rys.42 przedsawia porównanie szeregu czasowego powsałego z cen energii po usunięciu z nich sezonowości oraz rajekorii procesu FV z wyesymowanymi paramerami. Rys.43 jes porównaniem orzymanego i wysymulowanego procesu sochasycznej zmienności. Dla procesów z rys przeprowadzać będziemy symulacje Mone Carlo. 48