Witold Orzeszko Uniwersytet Mikołaja Kopernika. Krótkoterminowe prognozowanie chaotycznych szeregów czasowych

Transkrypt

1 Wiold Orzeszko Uniwersye Mikołaja Kopernika Krókoerinowe prognozowanie chaoycznych szeregów czasowych. Wsęp Pozornie przypadkowy charaker chaoycznych szeregów czasowych oże prowadzić do błędnego wniosku, że są one nieregularne i w efekcie nieprzewidywalne. Jednakże w isocie isnieje w nich ukryy porządek, dzięki kóreu ożliwe jes efekywne prognozowanie ich ewolucji w króki horyzoncie czasowy. W niniejszej pracy przedsawiono wybrane eody sosowane do krókoerinowego prognozowania szeregów chaoycznych; liniową i kwadraową lokalną aproksyację wieloianową oraz eodę ajbliższych Sąsiadów wraz z auorski poysłe pewnej jej odyfikacji. Meody o nie wyagają idenyfikacji wzoru analiycznego funkcji generującej syse ani esyacji jej paraerów. Dokładność wyznaczonych prognoz zależy od wielu czynników, w y liczby obserwacji, wyiaru arakora i wykładników Lapunowa syseu, horyzonu prognozy oraz poziou zakłóceń losowych. Skueczność prezenowanych eod zweryfikowano w zasosowaniu do wygenerowanych znanych szeregów chaoycznych o różnej długości. Dokonano próby krókookresowego prognozowania rzeczywisych ekonoicznych szeregów czasowych indeksu WIG oraz jego sóp zian na podsawie dziennych obserwacji z okresu r.. Chaoyczne szeregi czasowe n Rozważy nieliniowy syse dynaiczny ( X, f ), gdzie X R jes przesrzenią sanów, zaś f : X X jes odwzorowanie generujący ich ewolucję w czasie. W syseach z czase ciągły odwzorowanie f zwykle definiuje się poprzez równanie różniczkowe zwyczajne w posaci noralnej: ds f (S), d (.) dla dowolnego SX, zaś w przypadku syseu dynaicznego z czase dyskreny przez zależność rekurencyjną: S + = f ( S ), = 0,,... (.) gdzie S, S + X są sanai syseu odpowiednio w oencie i +. Operacyjna definicja chaosu głosi, że dysypaywny syse dynaiczny ( X, f )

2 jes chaoyczny, gdy w spekru Lapunowa arakora ego syseu największy wykładnik Lapunowa jes dodani (np. Zawadzki [6], Lorenz [4]). Przedioe analizy nauralnych, w y i ekonoicznych syseów są szeregi czasowe będące jednowyiarowyi obrazai sanów syseu, zn. h S ), =0,, ( gdzie h : X R jes pewny nieznany odwzorowanie nazywany urządzenie poiarowy, funkcją agregującą lub obserwablą (Zawadzki [6]). a bazie wierdzenia akensa o zanurzaniu sworzono eodę opóźnień, kóra uożliwia rekonsrukcję przesrzeni sanów badanego syseu w oparciu o szereg, a przez o jes punke wyjścia wielu eod idenyfikacji chaosu deerinisycznego w procesach rzeczywisych (akens [5]). W eodzie opóźnień przedioe badania jes ciąg wekorów o współrzędnych posaci: ˆ =,,..., ) dla każdego nauralnego ( lag ( ) lag, ( ) lag,, uworzonych z szeregu czasowego składającego się z obserwacji. Wekory ˆ nazywane są - hisoriai lub wekorai opóźnień, liczba wyiare zanurzenia, zaś lag opóźnienie czasowy. Z wierdzenia akensa wynika (por. Jienez i in. []), że dla dowolnych, isnieje funkcja g : R R, dla kórej: g (, lag,..., ( ) lag ) g ( ˆ ). (.3) Równość (.3) opisuje zależność deerinisyczną poiędzy kolejnyi obserwacjai szeregu chaoycznego, kórej źródłe jes funkcyjny związek iędzy sanai generującego go syseu. Deeriniz oznacza, że przebieg procesu zarówno w przyszłości, jak i w przeszłości jes jednoznacznie określony przez san ego procesu w chwili obecnej (Arnold []). Skoro syse chaoyczny z definicji jes deerinisyczny, wydawać by się ogło, że nic nie soi na przeszkodzie, aby znając prawa ewolucji i warości sanów przeszłych, prognozować nieal bezbłędnie jego przyszłość. Jednakże w prakyce nie jes o ożliwe. Analizując sysey nauralne nie jeseśy w sanie dokładnie określić warości ziennych. ieuniknione błędy poiaru oraz zaokrąglenia wykonywane przez kopuer wpływają na uraę precyzji obliczeń. Sysey chaoyczne cechują się dużą wrażliwością na zianę warunków począkowych, kóra powoduje, że wszelkie, nawe wydawałoby się, nieisonie ałe niedokładności powiększają się w kolejnych ieracjach w epie wykładniczy. W konsekwencji również przewidywalność syseu zniejsza się wykładniczo wraz z wydłużanie się horyzonu prognozy. W przypadku nauralnych procesów nieznana jes funkcja g z równania (.3) i należy liczyć się z fake, że poencjalnie oże ieć ona bardzo skoplikowany nieliniowy charaker. Waro jednak podkreślić, że zaprezenowane w arykule eody prognozowania nie wyagają idenyfikacji jej wzoru analiycznego, opierają się naoias na wykorzysaniu saego faku wysępowania związku deerinisycznego (.3). Efekywność przedsawionych Inne definicje chaosu ożna znaleźć.in. w: Li, Yorke [3], Garrido [], Devaney [5], Eckann, Ruelle [7].

3 eod zależy od długości analizowanego szeregu, wyiaru arakora i enropii syseu, horyzonu prognozy oraz wielkości zakłóceń losowych (por. Farer, Sidorowich [8]). 3. Meody krókoerinowego prognozowania szeregów chaoycznych 3.. Meoda Analogowa (ajbliższych Sąsiadów) Punke wyjścia eody analogowej, częso zwanej w lieraurze przediou eodą ajbliższych Sąsiadów - S jes wyznaczenie spośród - hisorii ˆ ), k najbliższych (w sensie zadanej -wyiarowej eryki) sąsiadów wekora ( hisorie przez ˆ, gdzie jes długością badanego szeregu. Oznaczy znalezione - ˆ, ˆ,..., ˆ. Idea eody S opara jes na założeniu, że w l l l k syseach deerinisycznych, zbliżone do siebie -hisorie powinny w podobny sposób ewoluować w czasie. Mówiąc ściśle, przyjuje się, że z założenia ˆ ˆ l i wynika, że również g ( ˆ ) g ( ˆ l i ), co w konsekwencji oznacza, że l i. W eodzie S za prognozę ~ przyjuje się średnią ważoną liczb l, l,..., l k, z wagai dobranyi ak, by bliżsi sąsiedzi ieli na nią większy wpływ, zn.: gdzie k ~ = w ˆ i oznacza dowolną, przyjęą norę w funkcją alejącą spełniającą warunki: w ˆ ˆ, dla każdego i=,,..., k. 0 k. i l i w ˆ ˆ. li ˆ i, (.4) R, zaś l li w: R R jes dowolną Przykładowo, proponuje się przyjęcie nasępujących wag wykładniczych (Finkensäd, Kuhbier [9]): ˆ ˆ l e i w ˆ ˆ l. (.5) i k ˆ ˆ l i e Waro podkreślić, że w eodzie ajbliższych Sąsiadów nie dokonuje się aproksyacji funkcji g, co oczywiście wpływa pozyywnie na efekywność czasową obliczeń. Prosoa obliczeń, a nie dokładność orzyanych prognoz, jes zae główną zaleą eody. Prakyczny problee, kóry pojawia się w rakcie obliczeń kopuerowych, przy wagach wykładniczych jes zaokrąglanie do zera e poszczególnych warości dla dużych. W konsekwencji sua wag oże dać warość różną od jedności. Proble en ożna oinąć przekszałcając oryginalny szereg, poprzez podzielenie go przez usaloną odpowiednio dużą liczbę. Orzyana prognoza eoreycznie powinna być niezależna od przyjęego i 3

4 dzielnika, jednakże w prakyce, ze względu na dokonywane przez kopuer zaokrąglenia, ogą isnieć różnice w orzyywanych rezulaach. W niniejszej pracy zaproponowano pewną odyfikację eody S, nazwaną eodą rangową - SR. Jej pierwszy eape jes uporządkowanie k najbliższych (w sensie zadanej -wyiarowej eryki i oznaczenie ich przez ˆ, ˆ,..., ˆ, gdzie l l l k ˆ i l ) sąsiadów wekora l k ˆ ˆ są odpowiednio najbliższy i najdalszy sąsiade ˆ. asępnie wekoro ˆ l i ( k i) przyporządkowuje się wagi R ( i), i=,,, k, w oparciu o kóre k ( k ) wyznacza się prognozę: k ~ = i R( i) (.6) li Wagi R (i) nie są wpros funkcjai odległości ego, kóry w kolejności najbliższy sąsiade wekora one ak dobrane, aby ( ) R()... R( k) 0 R, k i ˆ ˆ, lecz zależą od l i ˆ jes wekor ˆ l i. Są R( i) oraz by różnica R ( i) R( i ) była sała i wynosiła R (k) dla każdego i. Zaleai eody SR są niejsza złożoność obliczeniowa oraz niewysępowanie wsponianego wcześniej probleu zaokrąglania do zera. Oczywiście eoda rangowa jes pewny uproszczenie eody S, lecz jak wykazały wyniki badań, zazwyczaj prowadziła do prognoz nawe nieco lepszych niż w przypadku wag wykładniczych. 3.. Lokalna aproksyacja liniowa W oparciu o zależność (.3) prognozowanie szeregu w oencie + sprowadza się do wyznaczenia warości ~ ~ g (, lag,..., ( ) lag ), gdzie g ~ jes aproksyaną funkcji g. Za g ~ ożna przyjąć funkcję liniową posaci g~ (,,..., ) 0..., gdzie jes usalony wyiare zanurzenia. Esyacja paraerów odbywa się za poocą KMK w oparciu o pary posaci ( ˆ l i, l i ), i=,,...,k, gdzie { ˆ l i } jes k eleenowy zbiore -hisorii będących najbliższyi sąsiadai wekora ˆ. ierudno zauważyć, że gdy k=-(-)lag zn. przy uwzględnieniu wszyskich dosępnych -hisorii, przeprowadzona procedura jes regresją liniową Lokalna aproksyacja kwadraowa Meoda lokalnej aproksyacji kwadraowej jes nauralny uogólnienie aproksyacji liniowej, poprzez przyjęcie za g ~ funkcji wieloianowej ziennych sopnia drugiego: i 4

5 g ~ (,,..., )... 0 i, j i j Oczekuje się wyższości lokalnej aproksyacji kwadraowej nad aproksyacją wieloianową sopnia pierwszego (liniową). Jednakże badania wskazują, że różnica a zdaje się aleć wraz z pozioe koplikacji syseu i długością szeregu (Casagli [4]). 4. Krókoerinowe prognozowanie ewolucji wybranych szeregów czasowych 4.. Prognozowanie dla = Cele przeprowadzonego badania było zweryfikowanie ożliwości efekywnego prognozowania szeregów czasowych przy użyciu zaprezenowanych eod. W pierwszej kolejności prognozowaniu poddano znane szeregi chaoyczne; generowane przez odwzorowanie Henona, odwzorowanie logisyczne i syse Lorenza. Syse Lorenza jes przykłade ciągłego chaoycznego układu dynaicznego. Z kolei odwzorowania logisyczne i Henona są reprezenaywnyi przykładai, odpowiednio, jedno- i dwuwyiarowych syseów z czase dyskreny. Dla każdego syseu badaniu poddano szeregi składające się z 30 oraz 75 obserwacji. asępnie wyznaczono prognozy dla pozioów indeksu WIG oraz logaryicznych sóp jego zian w oparciu o dane z okresu Dodakowo każdy z analizowanych szeregów poddano prognozowaniu przy zasosowaniu dopasowanego odelu ARIMA. Prognozowanie przebiegało według nasępującej procedury szczegółowej: Każdy z analizowanych szeregów długości zosał podzielony na dwie części, składające się odpowiednio z i obserwacji ( + =). Dla każdej obserwacji z drugiej próbki wyznaczono prognozę ~ dla i=,,, i. Do ego celu wykorzysano k najbliższych sąsiadów wekora (,..., ) ˆ i i i( ) lag i skonsruowanych w oparciu o obserwacje dla =,,,. Do oceny dokładności prognozy wykorzysano bezwzględny błąd predykcji e-pos zadany wzore: ~, oraz względny błąd prognozy posaci: ' 00%, gdzie jes odchylenie sandardowy szeregu ( ) dla =,,,. Przedsawione eody wyagają doboru rzech paraerów: wyiaru zanurzenia, opóźnienia czasowego lag oraz liczby najbliższych sąsiadów k. W niniejszej pracy dokonano prognoz dla różnych warości paraerów; lag=,, 5, =,,,5 (za wyjąkie aproksyacji kwadraowej, gdzie ze względu na złożoność obliczeniową przyjęo =,,3,4) i dla wszyskich i j 5

6 poencjalnie ożliwych k. W celu znalezienia najbliższych sąsiadów zasosowano erykę euklidesową. Do wyznaczenia prognoz eodai aproksyacji wieloianowej zosała wykorzysana funkcja Ecela reglinw(). W abelach -8 zaprezenowano orzyane warości paraerów dające najdokładniejsze prognozy dla analizowanych szeregów czasowych oraz odpowiadające i błędy prognoz oraz. Odwzorowanie Henona Odwzorowanie Henona generuje syse chaoyczny (R, H), gdzie H : R R określone jes nasępująco: H (, y ) (, y ) (,4 y ; 0,3 ). Badaniu poddano szeregi złożone z pierwszych współrzędnych sanów syseu Henona dla ( 0, y 0 )=(0,9; 0,9). abela. ajniejsze błędy prognozy dla szeregu Henona przy =300, =0 Meoda Opyalne paraery Meoda SR 0,07 3,66% =, lag=, k= Meoda S 0,08 3,80% =, lag=, k= Liniowa aproksyacja 0,00 0,4% =4, lag=, k=5 Aproksyacja kwadraowa 4,3*0-5 5,9*0-3 % =, lag=, k=8 ARIMA 0,639 88,04% ARMA(4,) abela. ajniejsze błędy prognozy dla szeregu Henona przy =650, =65 Meoda Opyalne paraery Meoda SR 0,007 0,89% =, lag =, k=6 Meoda S 0,008,0% =, lag=, k= Liniowa aproksyacja,8*0-5 0,0038% =4, lag=, k=7 Aproksyacja kwadraowa 9,5*0-5,3*0 - % =, lag=, k=603 ARIMA 0,64 87,39% ARMA(,6) Odwzorowanie logisyczne Odwzorowanie logisyczne generuje syse chaoyczny ((0,), f), gdzie f ( ) 4 ( ). Prognozowaniu poddano szeregi wygenerowane dla 0 =0,7. abela 3. ajniejsze błędy prognozy dla odwzorowania logisycznego przy =300, =0 Meoda Opyalne paraery Meoda SR 0,003 0,86% =, k=3 Meoda S 0,003 0,9% =, k=3 Liniowa aproksyacja,4*0-5 0,007% =, lag=, k=7 Aproksyacja kwadraowa,*0-4 3*0 - % =, lag=4, k=46 ARIMA 0,360 0,54% Biały szu 6

7 abela 4. ajniejsze błędy prognozy dla odwzorowania logisycznego przy =650, =65 Meoda Opyalne paraery Meoda SR 0,00 0,8% =, k= Meoda S 0,00 0,% =, k= Liniowa aproksyacja,5*0-7 7*0-5 % =, lag=, k=6 Aproksyacja kwadraowa,7*0-4 7,6*0 - % =, k=649 ARIMA 0,330 93,40% Biały szu Syse Lorenza: Syse Lorenza jes zdefiniowany przez nasępujący układ równań różniczkowych: d 6 ( y ) d dy z 45,9 y d dz y 4 z d Badaniu poddano szeregi posaci ( 0,0), dla =,, przy zadanych warunkach począkowych ( 0), y(0), z(0),,. abela 5. ajniejsze błędy prognozy dla szeregu Lorenza przy =300, =0 Meoda Opyalne paraery Meoda SR 0,54,705% =, lag=, k= Meoda S 0,54,705% =, lag=, k= Liniowa aproksyacja 0,00 0,0096% =, lag=3, k=8 Aproksyacja kwadraowa 0,00 0,009% =4, lag=, k=98 ARIMA 0,004 0,04% ARMA(4,5) abela 6. ajniejsze błędy prognozy dla szeregu Lorenza przy =650, =65 Meoda Opyalne paraery Meoda SR 0,088 0,690% =0, lag=3, k=3 Meoda S 0,090 0,704% =8, lag=3, k=3 Liniowa aproksyacja 0,00 0,0086% =4, lag=, k=9 Aproksyacja kwadraowa 0,00 0,0083% =4, lag=, k=3 ARIMA 0,004 0,034% ARMA(5,4) Uwaga: w celu wyznaczenia prognozy eodą S szereg zosał podzielony przez 0. 7

8 WIG W badaniu uwzględniono 76 dziennych obserwacji poziou indeksu WIG z okresu abela 7. ajniejsze błędy prognozy dla szeregu WIG przy =650, =66 Meoda Opyalne paraery Meoda SR 77,55 4,6% =, lag=3, k= Meoda S 77,55 4,6% =, lag=3, k= Liniowa aproksyacja 69,68 4,40% =4, lag=5, k=47 Aproksyacja kwadraowa 75,70 4,56% =3, lag=4, k=68 ARIMA 77,85 4,6% Błądzenie przypadkowe Uwaga: w celu wyznaczenia prognozy eodą S szereg zosał podzielony przez 000. Logaryiczne sopy zian WIG Podsawą badania był en sa okres, jak w przypadku szeregu pozioów indeksu, co dało 75 logaryicznych sóp zian WIG. abela 8. ajniejsze błędy prognozy dla szeregu sóp zian WIG przy =650, =65 Meoda Opyalne paraery Meoda SR 0,03 64,03% =4, lag=, k=4 Meoda S 0,0 63,6% =4, lag=, k= Liniowa aproksyacja 0,04 64,48% =0, lag=3, k=96 Aproksyacja kwadraowa 0,04 64,38% =, lag=3, k=93 ARIMA 0,03 67,79% Biały szu Wyniki badań wskazują, że zaprezenowane eody uożliwiają skueczne prognozowanie ewolucji wygenerowanych chaoycznych szeregów czasowych. ajlepsza spośród nich jes lokalna aproksyacja kwadraowa, jednakże jes ona jednocześnie najbardziej czasochłonna. Bardzo duża dokładność prognozy, jaką daje a eoda w zasosowaniu do przebadanych obu syseów dyskrenych wynika z faku, że są one generowane przez funkcje wieloianowe sopnia drugiego (dla funkcji logisycznej =, dla odwzorowania Henona =, lag=). Orzyany błąd prognozy jes więc w ych przypadkach efeke niedokładności esyacji ich współczynników. Gorsze, choć również zadowalające, rezulay osiągnięo przy zasosowaniu eody ajbliższych Sąsiadów, kórej isoną zaleą pozosaje dużo niejsza złożoność obliczeniowa. Spośród rozważonych warianów eody, nieco lepsze wyniki zdaje się dawać przyjęcie zaproponowanych w niniejszej pracy rang. 8

9 Prognozowanie opare na idenyfikacji procesu ARIMA dla chaoycznych syseów dyskrenych okazało się być niej dokładne od pozosałych eod, naoias w przypadku syseu Lorenza dało prognozy gorsze jedynie od eod aproksyacji wieloianowej. W zasosowaniu do rzeczywisych danych, wszyskie przedsawione eody dały zbliżone rezulay. 4.. Prognozowanie dla > eodą ieracyjną Wyznaczenie prognozy ~ dla dłuższego horyzonu czasowego (>) oże odbywać się według dwóch alernaywnych procedur. Pierwsza polega na bezpośredni oszacowaniu g ~ i obliczeniu ~ ~ (,,..., ( ) ) g lag lag. Druga jes eodą ieracyjną polegającą na wyznaczeniu kolejnych prognoz ~, ~,..., ~ w oparciu o kolejno szacowane ~g. W eodzie ieracyjnej predykore g ~ jes -krone złożenie funkcji ~g, zn. g ~ = ( g ~ ). Dokładność eody bezpośredniej opisuje zależność: ~ ( s) h ' g e '( g ~ ), naoias eody ieracyjnej: ~ ' g '( ~ e g), gdzie h jes enropią syseu, s jes sopnie wieloianu aproksyującego, naoias λ jes największy wykładnikie Lapunowa syseu (Casagli [4]). Błąd predykcji eody ieracyjnej jes niejszy niż eody bezpośredniej, ponieważ enropia syseu jes suą dodanich wykładników Lapunowa. Przeprowadzone badanie polegało na prognozowaniu ewolucji szeregów czasowych dla horyzonu prognozy > eodą ieracyjną. Dla każdego z rozważanych szeregów zasosowano liniową aproksyację wieloianową, z przyjęyi warościai paraerów, lag oraz k, zgodnie z abelai,4,6,7 i 8. a rys. -5 przedsawiono błędy prognoz w zależności od warości horyzonu. Rys. Odwzorowanie Henona ( =650, =65). błąd prognozy 0,05 0,0 0,05 0,0 0, horyzon prognozy. Rys. Odwzorowanie logisyczne ( =650, =65). 9

10 błąd prognozy 0,00 0,00 0,0008 0,0006 0,0004 0, horyzon prognozy błąd prognozy,5 0, horyzon prognozy. Rys.3 Odwzorowanie Lorenza ( =650, =65). błąd prognozy 0,03 0,05 0,0 0,05 0,0 0, horyzon prognozy. Rys.4 Szereg pozioów WIG ( =650, =66). 000 błąd prognozy horyzon prognozy. 0

11 Rys.5 Logaryiczne sopy zian WIG ( =650, =65). błąd prognozy 0,04 0,035 0,03 0,05 0,0 0,05 0, horyzon prognozy. Zaprezenowane na wykresach -3 rezulay krókookresowego prognozowania szeregów chaoycznych powierdzają wykładnicze powiększanie się błędów predykcji wraz z wydłużanie horyzonu prognozy. Efek en jes nieobserwowany w przypadku szeregów giełdowych (rys. 4 i 5), co oże sanowić sygnał, że nie są one generowane przez chaoyczny syse dynaiczny. a podsawie przeprowadzonych badań należy swierdzić, że w zasosowaniu do szeregów pozioów WIG oraz ich logaryicznych sóp zwrou, wąpliwa jes wyższość opisanych eod nad prognozowanie opary na odelach ARIMA. Powody akiego sanu rzeczy ogą być nasępujące: analizowane szeregi nie są chaoyczne, chaoyczny syse generujący a arakor o wysoki wyiarze lub dużą enropię, badane szeregi są zby krókie, obserwacje szeregów zosały wygenerowane przez sany syseu nie znajdujące się w obszarze przyciągania arakora, w syseie obecny jes wysoki pozio zakłóceń losowych, oawiane eody nie są w sanie wykorzysać pewnych ypów isniejących w szeregach zależności deerinisycznych. 5. Zakończenie Chaoyczne szeregi czasowe różnią się od szeregów prawdziwie losowych ożliwością krókoerinowego prognozowania ich ewolucji. W pracy przedsawiono wybrane eody prognozowania dwa wariany eody ajbliższych Sąsiadów oraz lokalną aproksyację wieloianową. Ich skueczność zweryfikowano w oparciu o wygenerowane znane szeregi chaoyczne. Wyniki badań wskazują, że ożliwe jes bardzo dokładne prognozowanie ewolucji ego ypu szeregów w króki horyzoncie czasowy. Zaprezenowane algoryy różnią się złożonością obliczeniową. ajprossze i w efekcie najbardziej efekywne czasowo są oba wariany eody ajbliższych Sąsiadów, z kórych nieco lepszy okazał się być zaproponowany w niniejszej pracy warian rangowy. Dla szeregów chaoycznych najdokładniejsze prognozy orzyywano sosując aproksyację wieloianową sopnia drugiego, zaś

12 wszyskie przedsawione eody dały lepsze wyniki niż odpowiednie odele ARIMA. Zasosowanie zaprezenowanych eod do prognozowania szeregów czasowych indeksu WIG oraz jego sóp zian na podsawie dziennych obserwacji z okresu r. dało porównywalne wyniki do odeli ARIMA. W przebadanych rzeczywisych szeregach czasowych niezauważalny był efek wykładniczego powiększania się błędu prognozy wraz ze wzrose horyzonu czasowego, obserwowany w przypadku szeregów chaoycznych. Wyniki badań wskazują, że przedsawione eody są bardzo skueczny narzędzie prognozowania pewnych rodzajów szeregów czasowych, co poencjalnie oże czynić je użyecznyi również w analizie niekórych procesów nauralnych w y ekonoicznych. Sreszczenie Chaoyczne szeregi czasowe różnią się od prawdziwie losowych obecnością rudno idenyfikowalnego deerinizu, dzięki kóreu ożliwe jes ich prognozowanie. Ze względu na wykładniczą wrażliwość na zianę warunków począkowych ogą być one efekywnie prognozowane jedynie w króki horyzoncie czasowy. W pracy przedsawiono wybrane eody krókoerinowego prognozowania chaosu: dwa wariany eody ajbliższych Sąsiadów oraz lokalną liniową i kwadraową aproksyację wieloianową. Ich skueczność zweryfikowano w oparciu o wygenerowane szeregi chaoyczne różnej długości. Z przeprowadzonych badań wynika, że ożliwe jes bardzo dokładne prognozowanie ewolucji analizowanych szeregów w króki horyzoncie czasowy. Zaprezenowane eody zasosowane do szeregów indeksu WIG oraz jego sóp zian dały prognozy o podobny sopniu dokładności, co prognozowanie wykorzysujące odele ARIMA. Lieraura. Arnold V.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PW, Warszawa (975).. Badel A.E., Guégan D., Mercier L., Michel O., Coparison of Several Mehods o Predic Chaoic ie Series, IEEE-ICASSP'97, Munich (Gerany) (997). 3. Brock W.A., Disinguishing Rando and Deerinisic Syses: Abridged Version, Journal of Econoic heory 40, (986). 4. Casdagli M., onlinear Predicion of Chaoic ie Series, Physica D 35, (989). 5. Devaney R.L., An Inroducion o Chaoic Dynaical Syses, Addison- Wesley Publishing Copany, Inc., Redwood Ciy, CA (987). 6. Diebold F.X., ason J.A., onparaeric Echange Rae Predicion?, Journal of Inernaional Econoics 8, (990). 7. Eckann J.P., Ruelle D., Ergodic heory of Chaos and Srange Aracors, Reviews of Modern Physics, 57, (985).

13 8. Farer J.D., Sidorowich J.J., Predicing Chaoic ie Series, Physical Review Leers 59, (987). 9. Finkensäd B., Kuhbier P., Forecasing nonlinear econoic ie series: A siple es o accopany he neares neighbor approach, Epirical econoics 0, (995). 0. Frank M., Sengos., Chaoic dynaics in econoic ie series, Journal of Econoic Surveys, (), (988).. Garrido L., Dynaical syses and chaos, Lecures oes in Physics, nr 79, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, ew York (983).. Jienez J., Moreno J.A., Ruggeri G.J., Forecasing on chaoic ie series: A local opial linear-reconsrucion ehod, Physical Review A, vol. 45, no. 6, (99). 3. Li.Y., Yorke J.A., Period hree Iplies Chaos, Aerican Maheaical Monhly, 8, (975). 4. Lorenz H-W, onlinear Dynaical Econoics and Chaoic Moion, Springer Verlag Berlin Heidelberg (989). 5. akens F., Disinguishing deerinisic and rando syses, (G.Borenbla, G. Iooss and D. Joseph, Eds), w: onlinear Dynaics and urbulence, , Pian, Boson (985). 6. Zawadzki H., Chaoyczne sysey dynaiczne, Wydawnicwo Akadeii Ekonoicznej i. Karola Adaieckiego, Kaowice (996). 3