Komputerowa analiza przepływów turbulentnych i indeksu Dow Jones

Transkrypt

1 Kompuerowa analiza przepływów urbulennych i indeksu Dow Jones Rafał Ogrodowczyk Pańswowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Chełmie Wiesław A. Kamiński Uniwersye Marii Curie-Skłodowskie w Lublinie W badaniach porównano charakerysyki szybkozmiennych szeregów czasowych indeksu DJIA 1 oraz szeregów czasowych prędkości z przepływów urbulennych. Uzyskane rezulay powierdziły wcześniejsze przewidywania, że dopiero szybkozmienne dane finansowe mogą być porównywalne z danymi urbulennymi. Obliczenia przeprowadzono używając pakieu Mahemaica. In he presened invesigaions he high-frequency, ime series of DJIA index as well as he ime series of velociy from he urbulen flows are compared. he obained resuls have confirmed earlier expecaions ha high - frequencies financial daa may be comparable wih he urbulen daa. All he calculaions have been accomplished in Mahemaica package, shor descripion of which is also included in he work. 1. Analizowane dane Analizie porównawczej poddano szeregi czasowe indeksu giełdowego DJIA 1 oraz dane urbulenne zarejesrowane w Insyucie Maszyn Cieplnych Poliechniki Częsochowskiej 2. abela 1 zawiera szczegółowe informacje o danych pochodzących z giełdy w Nowym Jorku. Ich graficzną reprezenację przedsawiają rysunki 1a i 1b. abela 1. Charakerysyka analizowanych szeregów czasowych indeksu DJIA. Lp. Od kiedy noowany Do kiedy noowany Długość szeregu Częsość próbkowania r r co 60 min. rok 1986 co 30 min r r co 30 min Y ( ) 2000 Y ( ) Rys. 1. Czasowa ewolucja indeksu DJIA w okresie (a)od r. do r. (b) od r. do r. 1 Indeks Dow Jones Indusrial Average (DJIA) z giełdy w Nowym Jorku (USA). Dane zakupiono dla Zakładu Fizyki Sysemów Złożonych UMCS w Lublinie 2 Dane uzyskane dzięki uprzejmości dr hab. inż. Romana Klajny oraz mgr inż. Marcina Panowskiego z Insyuu Maszyn Cieplnych Poliechniki Częsochowskiej.

2 Dane urbulenne uzyskano w rakcie przeprowadzonych badań eksperymenalnych rozkładów prędkości w warswie przyściennej, w kórej przepływ ma charaker urbulenny. ym samym orzymane zależności czasowe prędkości mają charaker losowy. Dane rejesrowane były sondą ermoanemomeryczną. W badanym układzie liczbę Reynoldsa oceniono na Re=6000. Częsoliwość próbkowania wynosiła Hz, zaś sygnał próbkowano przewornikiem o zakresie do 10 V z 4096 poziomami kwanyzacji. Rysunki 2a i 2b przedsawiają czasową zależność prędkości analizowanych danych urbulennych. a) 30.0 b) V ( ) V ( ) Rys. 2 Czasowa ewolucja prędkości V() płynu w przepływie urbulennym. Zależność uzyskana dla serii pomiarowej nr 1 (a), dla serii pomiarowej nr 2 (b). Usunięcie nauralnych korelacji z danych giełdowych polega na analizie logarymicznej sopy zwrou (Z()), a nie szeregów czasowych ceny (kursu) akcji. ( ) ( ) ( ), Z = lny + Δ ln (1) We wzorze (1) Y() oznacza warość indeksu w chwili. Orzymane sopy zwrou przedsawiają rys. 3a i 3b Z ( ) Z ( ) Rys. 3. Logarymiczne sopy zwrou Z() indeksu DJIA z la (a) , (b) Analogicznym przekszałceniom poddano dane urbulenne. W ym przypadku celem było wykrycie zjawiska inermiencji 3 w obrazowy sposób wskazującego na losową zmienność prędkości w rakcie przepływu urbulennego. Zdefiniowano ym celu logarymiczną różnicą prędkości: S ln V + ln V. (2) ( ) ( ) ( ) 3 J.W. Elsner, urbulencja przepływów, Warszawa 1987, s. 123, s. 154.

3 V() jes warością prędkości w chwili. Orzymany przekszałcony szereg czasowy prezenują rysunki 4a i 4b. Dalej będziemy go dyskuować jako szereg IMCPC S ( ) 0.0 S ( ) Rys. 4. Logarymiczne różnice prędkości dla szeregu czasowego uzyskanego z serii pomiarowej 1 (a), z serii pomiarowej 2 (b). Należy podkreślić, że zarówno dane urbulenne jak i szeregi czasowe indeksu DJIA wykazują inermiencję. W przypadku analizowanych serii pomiarowych przedsawiających zależność prędkości płynu od czasu losowa zmienność jes znacznie większa niż dla danych finansowych. Wynika o z faku, iż położenie czujnika rejesrującego warości prędkości było dobrane ak, aby sale znajdował się w obszarze przepływu urbulennego. 2. Analiza porównawcza szeregów czasowych Szeregi czasowe zosały przeanalizowane przede wszyskim ze względu na wysępowanie w nich auokorelacji. W ym celu użyo funkcji auokorelacji R xx ( 1, 2 ) zdefiniowanej w sposób 4 : [ ( ) ( ( ))][ ( ) ( ( ))] (, E{ X 1 E X 1 X 2 E X 2 } R xx 1 2) =, (3) σ ( 1) σ ( 2) gdzie σ( 1 ) i σ( 2 ) oznaczają odchylenia sandardowe w chwilach 1 i 2. Wyniki uzyskane dla obu dyskuowanych ypów szeregów przedsawiono na rys R ( ) R ( ) Rys. 5. Funkcja auokorelacji logarymicznych sóp zwrou dla (a) indeksu DJIA ( ) oraz (b) logarymicznych różnic prędkości z serii pomiarowe 1. Szczegóły w ekście. 4 J.W. Elsner, urbulencja przepływów, Warszawa 1987, s.22.

4 Wynika z nich jasno, że dla szeregów czasowych kapiałowych nie wysępują isone korelacje (jedynie dla 2 możemy mówić o akiej zależności). W przypadku szeregu IMCPC obserwować można (rys. 5b) pojawiające się korelacje nawe dla punków odległych o 10. Dla >10 funkcja R xx () przyjmuje warości bliskie zeru. e zauważalne różnice między obu sysemami wskazują na inny charaker zależności między sąsiednimi warościami analizowanych szeregów czasowych. Dodakowo różnice mogą mieć źródło w ym, iż dane finansowe badane w niniejszej pracy nie są danymi ciągłymi. W lieraurze 5 wyraźnie wskazuje się, że czas korelacji dla szeregów czasowych kapiałowych jes rzędu minu, co wymaga dysponowania danymi z noowań ciągłych. Analizowane w ej pracy dane DJIA nie spełniają ego warunku. Omawiane szeregi czasowe poddano również analizie widmowej, celem kórej było wykrycie charakerysycznych długości cykli oraz określenie rodzaju widma. Pozwala o wyznaczać rend w rozparywanych danych finansowych. Badanie widmowe wykorzysuje ransformaę Fouriera z funkcji auokorelacji. Orzymane wyniki przedsawiają rys. 6a i 6b. 1,00E-007 8,00E-008 6,00E-008 Moc 4,00E-008 2,00E-008 0,00E+000 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Częsość (Hz) Rys. 6. Widmo gęsość mocy dla indeksu DJIA ( ) (a), dla szeregu IMPCA z serii pomiarowej 1 (b). Jak można było przypuszczać dane DJIA i dane IMCPC generują widma różnego rodzaju. Szeregi czasowe prędkości płynu mają widma zbliżone do widm ypu von Kármána 6, zaś szeregi indeksu DJIA wykazują cechy widm ypu Gaussa. W konsekwencji nie można określić charakerysycznej częsości oraz długości cyklu dla danych DJIA. Oznacza o również, iż sysem kapiałowy nie ma pamięci długookresowe. Sprawdzenie akiego przypuszczenia, a akże generowanie dodakowych charakerysyk umożliwia analiza R/S. eoreyczne podsawy algorymu wyznaczania wykładnika Hursa można znaleźć w pracy Peersa 7. Wyniki akich analiz dla danych DJIA zawierają rys. 7a i 7b. 5 R. N. Manegna, H. E. Sanley, An Inroducion o Econophysics Correlaions and Complexiy in Finance, Cambridge Universiy Press 2000, s I.I Gichman, A. W. Skorochod, Wse do eorii procesów sochasycznych,warszawa E. F. Peers, eoria chaosu a rynki kapiałowe, Warszawa 1997, s

5 R / S ( ) 0.01 R / S ( ) Rys. 7. a) Analiza R/S logarymicznych sóp zwrou indeksu DJIA ( ). Przebieg R/S() (linia przerywana) oraz dopasowana funkcja liniowa (linia ciągła). Współczynnik H=0,54. b) Analiza R/S logarymicznych sóp zwrou indeksu DJIA ( ). Przebieg R/S() (linia przerywana) oraz dopasowana funkcja liniowa (linia ciągła). Współczynnik H=0,52. Badane szeregi DJIA mają charaker perysenny (H>0,5), lecz bliski losowemu. Ponado nie wykryo dla nich, w analizowanym zakresie, żadnych zmian własności skalujących, co powierdza wyniki analizy widmowej (brak częsości charakerysycznych). Wyniki uzyskane poprzednio 8 dla danych urbulennych pokazują odmienny charaker ych sysemów. Mimo, iż dla bardzo krókich przedziałów czasowych 7 wykazują cech szeregów perysennych, jednak cały szereg wykazuje właściwości szeregów anyperysennych (H~0,30). Sumując powyższe wyniki można swierdzić, iż sysemy finansowe i analizowane dane urbulenne różnią się zdecydowanie, zarówno pod względem rodzaj szeregu, długości korelacji w szeregu czasowym oraz rodzaju widma gęsości mocy. Nowe świało mogłyby rzucić ylko badania odnoszące się do ciągłych szeregów finansowych. Analizy akie zosaną przeprowadzone jako nasępny eap omawianych u badań. 3. Modelowanie szeregów czasowych W prezenowanych badaniach podjęe zosały również próby dopasowania analizowanych szeregów czasowych do isniejących sochasycznych modeli cen. Użyo w ym celu meod i modeli zaproponowanych przez Manegne i Sanley 9, oraz wykorzysano odpowiednie algorymy opisane przez auorów ego arykułu 8. Wybrane wyniki ych analiz zawierają rys. 8a i 8b. Analizowane sysemy wykazują wyraźne odsępswa od rozkładu Gaussa. Przejawia się o głównie w lepokurozie ich rozkładów, a o sugeruje że nie podlegają one czysym ruchom Browna. Próba dopasowania rozkładów Lévy ego dała lepsze rezulay niż dla rozkładu normalnego. Daje się o zauważyć zwłaszcza dla ogonów funkcji rozkładu prawdopodobieńswa badanych szeregów czasowych. Jednakże i en rozkład modeluje niedokładnie funkcję P(S) zwłaszcza w części cenralnej rozkładu. Zwróćmy uwagę, że może o również być spowodowane ograniczeniami numerycznymi użyych algorymów przy wyznaczenia poszczególnych punków P(S). Jednoznaczna odpowiedź wymaga dodakowych badań. 8 W. A. Kamiński, R. Ogrodowczyk, Analiza urbulencyjna rynków kapiałowych, wysłano do publikacji 9 R. N. Manegna, H. E. Sanley, An Inroducion o Econophysics Correlaions and Complexiy in Finance, Cambridge Universiy Press 2000, s , s. 60, s

6 P ( S ) P ( S ) S S Rys. 8. a) Rozkład prawdopodobieńswa P(S) logarymicznych sóp zwrou dla indeksu ( ). Dopasowano Rozkład Gaussa (linia przerywana) i rozkład LF (linia ciągła). Współczynnik α=1,9. b) Rozkład prawdopodobieńswa P(S) logarymicznych różnic prędkości dla serii pomiarowej 1. Dopasowano Rozkład Gaussa (linia przerywana) i rozkład LF (linia ciągła). Współczynnik α=1,75. Dla indeksu DJIA przyjęo oznaczenie Z=S w celu ujednolicenia opisu z danymi urbulennymi. 4. Prognozowanie zachowania szeregu DJIA Szeregi czasowe indeksu DJIA zosały poddane również próbie predykcji ich zachowań. Wykorzysano do ego celu eorię ransporu energii przez srukury koherenne oraz hipoezę Reynoldsa 10. Algorym posępowania oraz rezulay obliczeń dla szeregów IMCPC pochodzą z pracy auorów ego opracowania 11. Wyniki uzyskane dla danych finansowych przedsawiają na rys. 9a i 9b Y ( ) Y ( ) Rys. 9. a) Szereg cenowy indeksu DJIA z la (linia czarna) i ceny Y ( ) (linia przerywana) dla a=0,386. b) Szereg cenowy indeksu DJIA z la (linia czarna) Y (linia przerywana) dla a=1000. i ceny ( ) J.W. Elsner, urbulencja przepływów, Warszawa 1987, s , s W. A. Kamiński, R. Ogrodowczyk, Analiza urbulencyjna rynków kapiałowych, wysłano do publikacji

7 Wynika z nich, że dla warości parameru a zbliżonej lub mniejszej od średniej warości odchyleń badanego szeregu pokrywa się całkowicie z szeregiem generowanym. Dla a większego od ejże średniej flukuacje generowanego szeregu są znacznie większe od wyjściowego. Uzyskane wyniki podrzymały wszyskie wsępne ezy poprzedni przeprowadzonych badań 12. Możliwe sało się akże wysunięcie kolejnego uogólnienia. Jeseśmy zdania, iż rozparywana u meoda nie jes adekwana w odniesieniu do perysennych szeregów czasowych. Za powyższym przemawia fak, że analizowane w ej pracy dane giełdowe były szybkozmienne, a ich widmo miało en sam yp co widmo generowanych liczb losowych. Dalsze zwiększenie częsości zapisu szeregów finansowych, czy zmiana widma generowanych liczb losowych nie mogą najpewniej przynieść zmiany inerpreacji wysunięych wniosków. Użya meoda urbulencji daje oczekiwane rezulay ylko dla szeregów anypersennych. 5. Wnioski Analiza szybkozmiennych danych z rynków kapiałowych pozwoliła na wyraźne przedsawienie różnic między rozparywanymi sysemami. Podkreślenia wymaga fak, iż wszyskie orzymane wyniki, nie są obarczone niedokładnościami wynikającymi ze zby małej liczby danych, czy małej częsości zapisu. W ym sensie przedsawione wnioski mają charaker ogólniejszy 6. Pakie Mahemaica Zaprezenowane wyniki, a akże ich graficzne przedsawieni osiągnięe zosały z wykorzysaniem programu Mahemaica i jego narzędzi prezenacyjnych. Pakie Mahemaica firmy Wolfram Research Inc. jes jednym z najbardziej zaawansowanych ego ypy pakieów dosępnych obecnie na rynku. Program oferuje obliczenia zarówno symboliczne jak i numeryczne, graficzną prezenacje danych wraz z możliwością numerycznego dopasowywania wyników meodami minimalizacji błędów, a akże worzenie animacji wyników. Posiada on również własny język programowania umożliwiający worzenie w pełni funkcjonalnych modułów. Inerfejs MahLink inegruje wcześniej przygoowane fragmeny kodu napisanego w języku C. ę możliwość wykorzysano na porzeby ego opracowania. Pakie Mahemaica, współpracuje ze specjalisycznymi pakieami uławiającymi wykonywanie różnorodnych badań. Należą do nich akże narzędzia wykorzysane w omawianych wcześniej analizach akie jak pakie ime Series worzący kompleksowe środowisko analizy szeregów czasowych, jednej i wielu zmiennych, zarówno sacjonarnych jak i niesacjonarnych. Aplikacja Finance Essenials umożliwiająca projekowanie i analizowanie różnych zagadnień sysemów finansowych, narzędzia echnical rader uławiają echniczna analizę na przykład rynków finansoweych. Najnowsza wersja Mahemaic 4.2 zosała rozbudowana o nowe opcje wspomagające zwłaszcza ekspor/impor danych do różnych formaów (akich jak HML czy XML ) i uławiające prezenacje orzymanych wyników. Dosępność na wszyskich rozpowszechnionych plaformach sysemowych, przysępna lieraury, również w formie elekronicznej 13,mnogość oferowanych funkcji czy 12 Obliczeń wykonano posługując się programem Mhemaica 4.1 zainsalowanym na serwerze w Zakładzie Fizyki Sysemów Złożonych UMCS w Lublinie. 13 Np. Guide o Sandard Mahemaica Packages, Wolfram Research; MahLink Reference Guide, Wolfram Research.

8 możliwość wykorzysywania wcześniej używanych fragmenów algorymów w dalszych badaniach i dynamiczny rozwój oprogramowania sprawia, że pakie Mahemaica umożliwia powodzenie zaawansowanych analiz w różnych dziedzinach. Lieraura [1] W. A. Kamiński, R. Ogrodowczyk, Analiza urbulencyjna rynków kapiałowych, wysłane do publikacji [2] J.W. Elsner, urbulencja przepływów, Warszawa [3] R. N. Manegna, H. E. Sanley, An Inroducion o Econophysics Correlaions and Complexiy in Finance, Cambridge Universiy Press [4] R. N. Manegna, H. E. Sanley, Sochasic Process wih Ulraslow Convergence o a Gaussian: he runcaed Lévy Fligh, Phys. Rev. Le. 73 (1994), [5] R. Wyrzykowski, Meody maemayczne w fizyce, Rzeszów [6] E. E. Peers, eoria chaosu a rynki kapiałowe, Warszawa [7] R. N. Manegna, H. E. Sanley, Sock marke dynamics and urbulence: parallel analysis of flucuaion phenomena,physica A 239 (1997), [8] B. Holdom, From urbulence o financial ime series, Physica A 254 (1998), [9] Workshop on Finanse and urbulence,preprin, [10] S. Ghashghaie, W. Breymann, J. Peinke, P. alkaner, urbulen Cascade in Foregin Exchange Markes,Naure 381 (1996), [11] R. N. Manegna, H. E. Sanley, urbulence and Financial Markes, Naure 383 (1994), [12] Guide o Sandard Mahemaica Packages, Wolfram Research. [13] MahLink Reference Guide, Wolfram Research. [14] G.drwal, R. Grzymkowski, A. Kapusa, D.Sloa, Mahemaica dla każdego, Gliwice 1996.