Zastosowanie teorii pierścieni w praktyce

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Zastosowanie teorii pierścieni w praktyce"

Bartosz Brzeziński
6 lat temu
Przeglądów:

1 Upozczenie wyażeń 2x+(y x) = x+y Spotkania z Matematyka Zatoowanie teoii pieścieni w paktyce Alekande Deniiuk denijuk@matman.uwm.edu.pl Uniweytet Wamińko-Mazuki w Olztynie Wydział Matematyki i Infomatyki ul. Słoneczna 54, pok. E1/ Olztyn Spotkania z Matematyka p. 3 Spotkania z Matematyka p. 1 Upozczenie wyażeń. Szczegóły Zatoowanie teoii pieścieni w paktyce 2x+(y x) = = 2x+(y +( x)) = 2x+(( x)+y) = (2x+( x))+y = (2x+( 1) x)+y = (2+( 1)) x+y = 1 x+y = x+y Najnowza weja tego dokumentu dotępna jet pod adeem Spotkania z Matematyka p. 4 Spotkania z Matematyka p. 2

2 Układy, dla któych pełniono 1 8 Upozczenie wyażeń. Zaady Z Q R ezty modulo 6 ezty modulo n Wnioek 2. We wzytkich tych układach pawidłowy jet wzó (a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2 1. łaczność dodawania (a+b)+c = a+(b+c) 2. pzemienność dodawania a+b = b+a 3. itnieje zeo 0, takie że a+0 = 0+a = a 4. itnieje liczba pzeciwna a, taka że a+( a) = ( a)+a = 0 5. łaczność mnożenia a(bc) = (ab)c 6. pzemienność mnożenia ab = ba 7. itnieje jedynka 1, taka, że a 1 = 1a = a 8. ozdzielczość mnożenia a(b+c) = ab+ac (a+b)c = ac+bc Spotkania z Matematyka p. 7 Spotkania z Matematyka p. 5 Pieścienie Twiedzenie Definicja 3. ZbióX, na któym okeślone a dodawanie i mnożenie, pełniajace waunki 1 8 nazywa ię pzemiennym pieścieniem z jedynka Uwaga 4. Pieścieniem nazywa ię zbió, na któym okeślone a dodawanie i mnożenie, pełniajęce waunki 1 8 bez 6 i 7 Twiedzenie 1. Dowód. Za pomoca zaad 1 8 (a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2 Spotkania z Matematyka p. 8 Spotkania z Matematyka p. 6

3 Dzielenie Pzykład pieścienia 9. jeżeli a 0, to itnieje a 1, element odwotny, taki że a a 1 = a 1 a = Definicja 7. Jeżeli dodawanie i mnożenie okeślone nax pełniaja waunki 1 10, tox nazywa ię ciałem (niekiedy ię mówi pzemiennym ciałem) Niech dany będzie nieputy zbió T X będzie zbioem podzbioów T A+B = (A B)\(A B) A B = A B Spotkania z Matematyka p. 11 Spotkania z Matematyka p. 9 Pzykłady ciał Działania w pieścieniu X Q R a+b T a b T ezty modulo n, jeżeli n jet liczba piewza liczby algebaiczne liczby algebaiczne potaci a+ 2b, gdzie a,b Q Twiedzenie 5. X jet pzemiennym pieścieniem z jedynka Wnioek 6. a,b X: (a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2 Spotkania z Matematyka p. 12 Spotkania z Matematyka p. 10

4 Obliczenie piewiatka kwadatowego Podwojenie ześcianu Zadanie 8. Zbudować ześcian o objętości dwa azy więkzej, niż dany ześcian Zadanie 9. Dany jet odcinek długości 1. Skontuować (za pomoca cykla i linijki) odcinek długości 2 1 Spotkania z Matematyka p. 15 Spotkania z Matematyka p. 13 Jakie liczby można kontuować? Kontukcje geometyczne 1,2,3,..., 1, 1, 2,... ciało Q liczby p+q, gdzie p,q, Q ciało F 1 + liczby p+q, gdzie p,q, F 1 ciało F 2 i tak dalej: Q F 1 F 2 F 3 F k 1 F k Twiedzenie 11. Każda kontuowalna liczba należy do jednego z ciałf i pzy odpowiednio dobanych,, Wnioek 10. ZbióK kontuowalnych liczb twozy ciało (podciałor). Spotkania z Matematyka p. 16 Spotkania z Matematyka p. 14

5 Pieścień Z 7 Załóżmy, że 3 2 można kontuować dni a podzielone na klay: poniedziałek, wtoek, śoda, czwatek, piatek, obota, niedziela pzykładowo, śoda={..., 11, 4,3,10,17,...} wytkie liczby, konguentne z 3 modulo 7, 7q +3 niech [x] będzie zbioem liczb, konguentnych z x modulo 7 dodawanie [x]+[y] = [x+y] mnożenie [x] [y] = [x y] pieścień Z 7 2 / Q itnieje taki ciag ciał Q F 1 F 2 F 3 F k 1 F k, że 2 / Fk 1 oaz 2 F k 2 = p+q t, gdzie p,q,t Fk 1, t / F k 1 (p 3 +3pq 2 t 2)+(3p 2 q +q 3 t) t = 0 p 3 +3pq 2 t 2 = 0 oaz 3p 2 q +q 3 t = 0 więc p q t też jet piewiatkiem tzeciego topnia z dwójki z czego wynika, że 2 F k 1, czyli pzeczność Spotkania z Matematyka p. 19 Spotkania z Matematyka p. 17 Pieścień Z n Inne geometyczne zagadnienia niech [x] będzie zbioem liczb, konguentnych z x modulo n dodawanie [x]+[y] = [x+y] mnożenie [x] [y] = [x y] pieścień Z n Tyekcja kata w pypadku kata 60 : kontuować piewiatek ównania x 3 3x = 1 Kwadatua koła kontuować liczbę π Wielokat foemny możńa kontuować wtedy i tylko wtedy, gdy liczba boków ówna jet 2 n p 1...p b, gdzie p i a óżne liczby piewze potaci 2 2c +1 (liczby Femata) pzykładowo, ( ) kat można kontuować kat nie można Spotkania z Matematyka p. 20 Spotkania z Matematyka p. 18

Ciało de Buijna Liczby zepolone X = {0,1,p,q} + 0 1 p q 0 0 1 p q 1 1 0 q p p p q 0 1 q q p 1 0 p 2 +p+1 = 0 0 1 p q 0 0 0 0 0 1 0 1 p q p 0 p q 1 q 0 q 1 p a+bi, gdzie i 2 = 1 wpowadźmy liczby

6 Ciało de Buijna Liczby zepolone X = {0,1,p,q} p q p q q p p p q 0 1 q q p 1 0 p 2 +p+1 = p q p q p 0 p q 1 q 0 q 1 p a+bi, gdzie i 2 = 1 wpowadźmy liczby zepolone analogicznie do pieścienia Z 7 w pieścieniu Z 7 obowiazuje 7 = 0 konguencja modulo 7 w liczbach zepolonych powinno być x 2 +1 = 0 konguencja modulo x 2 +1 pytanie: co jet konguentne? odpowiedź: pieścień wielomianów, R[x] Spotkania z Matematyka p. 23 Spotkania z Matematyka p. 21 Wpółzędne na planzy Ga amotnik (olitaie) ( 1, 3) (0, 3) (1, 3) ( 1, 2) (0, 2) (1, 2) ( 3, 1) ( 2, 1) ( 1, 1) (0, 1) (1, 1) (2, 1) (3, 1) ( 3, 0) ( 2, 0) ( 1, 0) (0, 0) (1, 0) (2, 0) (3, 0) ( 3, 1) ( 2, 1) ( 1, 1) (0, 1) (1, 1) (2, 1) (3, 1) ( 1, 2) (0, 2) (1, 2) ( 1, 3) (0, 3) (1, 3) Gdzie może ię znajdować otatni pionek? Spotkania z Matematyka p. 24 Spotkania z Matematyka p. 22

7 Niezmienniki tanów planzy A(S) = p k+l B(S) = p k l na poczatku gy A(S) = B(S) = 1 a więc na końcu p k+l = p k l = 1 czyli k i l a wielokotnościami tójki możliwe tany: ( 3,0), (0,3), (3,0), (0, 3) oaz (0,0) (wzytkie a oiagalne) Spotkania z Matematyka p. 25

Podobne dokumenty

Pozostała algebra w pigułce

Algebra Pozostała algebra w pigułce Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Algebra p. 1