magnetycznym. Rozwiązanie: Na elektron poruszający się z prędkością υ w polu B działa siła Lorentza F L, wektorów B i υ.

Transkrypt

1 Zdni do ozdziłu 8. Zd.8.. Elekton (o msie 3 9 m 9, 0 kg i łdunku elektycznym e.6 0 C ) wpd z pędkością υ 0 7 m / s w obsz jednoodnego pol mgnetycznego o indukcji B 0 T postopdle do linii sił tego pol. Znleźć to uchu elektonu w polu mgnetycznym. Rozwiąznie: N elekton pouszjący się z pędkością υ w polu B dził sił Loentz F L, FL e υ x B ; FL FL eυ ( ) B któ jest skieown postopdle do wektoów B i υ. Sił F L dził tk, jk sił dośodkow ( F υ L ), więc zkzywi to elektonu. N pouszjący się elekton o msie m z pędkością υ po toze o kzywiźnie dził z kolei sił odśodkow F υ F m, któ dził wzdłuż tej smej postej co sił F L le jest pzeciwnie do niej skieown. Ztem elekton w polu mgnetycznym zdni będzie pouszł się po okęgu o pomieniu w płszczyźnie postopdłej do B. Pomień tego okęgu wyliczymy z wunku: F L F co czyni: Stąd υ eυ B m mυ eb 57

2 3 7 9, 0 kg 0 m / s 9,6 0 C 0 T N Ale [ T] ; [ N] [ kg m / s ] Ztem Zd.8.. C m / s kg m / s C m / s 3 kg m / s m 5,7 5,7 0 C N kg m / s 3 5,7 0 m Oblicz siły dziłni jednoodnego pol mgnetycznego o indukcji B n osdzoną n osi 00 postokątną mkę ABCD z dutu o długościch boków i b. Oś obotu pzechodzi pzez bok i jest symetlną mki. Pzez mkę płynie pąd I. Rozwiąznie: ) Złóżmy, że w piewszej chwili powiezchni mki jest ównoległ do linii siły indukcji B. Rys.. Kozystmy ze wzou n siłę F dziłjącą n postoliniowy pzewodnik o długości l z pądem I w polu mgnetycznym B. F I l x B ; F F BIlsin ( ) α gdzie l to wekto o długości l i zwocie wyznczonym pzez kieunek pądu I, zś α to kąt między wektomi l i B. Poniewż dl boku schkteyzownego wektoem α 0 (sinα 0), dl boku α π (sinα0) dltego n boki te nie dziłją żdne siły. N boki b i b dziłją odpowiednio siły F F F postopdłe do płszczyzny ys., twoząc pę sił. Dl b π ; α (sinα ) i wtedy F BIb, zś 58

3 dl b ; 3 α π (sinα -) i wtedy F BIb. T p sił dził n mkę momentem obotowym M M x F + x F M M F sin β gdzie β to kąt między i F. Kąt ten jest ównież zwty między i F (ptz ys.). Poniewż w ozwżnym pzypdku β π, dltego M F BIb Moment py sił M obc mkę wokół osi obotu 00. Podczs obotu kąt β mleje, więc i moment M powodujący uch mki mleje w myśl wzou M BIbsin β Gdy β 0 (wtedy płszczyzn mki jest postopdł do B ) to M 0 Zobczmy jkie siły dziłją n mkę w tym położeniu. b) Rmk w położeniu postopdłym do linii sił pol B. W tym położeniu n mkę dziłją cztey siły F, F, F3 i F4 F F ; F F BIb oz F 4 F 3 ; F3 F4 BI Siły te, jk widzimy n ys.b, dążą do ozciągnięci mki, lecz nie ndją jej uchu obotowego bo M 0 Rys.b. 59

4 Zd W postoliniowym pzewodniku o długości l płynie pąd o ntężeniu I. Wyznczyć wtość indukcji mgnetycznej B w punkcie A odległym o o od pzewodnik. Punkt A jest tk usytuowny w pzestzeni, że z tego punktu końce M i N pzewodnik widć odpowiednio pod kątmi i (ptz ysunek). Rozwiąznie: Indukcję mgnetyczną B w punkcie A obliczmy z pw B-S-L. B po clej dlugości pzewodnik l 4π I dl x 3 W nszym konketnym pzypdku B możemy pzedstwić jko: B I dl 4 po clej π () dlugości pzewodnik l Ale z tójkąt AEB wynik, że o sin () Z tójkąt DCB otzymujemy: BC dl sin, gdzie BC możemy obliczyć z definicji kąt łukowego BC d Ztem d dl (3) sin Podstwijąc () i (3) do () otzymujemy: B sin o d I sin 4π sin sin o B Isin d 4πo 60

5 µ µ I B o 4πo sin d I B 4πo µ µ I 4πo ( cos) o ( cos cos ) Gdy pzewodnik jest nieskończenie długi to 0 π Wtedy µ I B oµ 4πo [ ( ) ] I B πo Zd. 8.4 Dn jest postokątn mk o bokch i b, w któej płynie stły pąd elektyczny o ntężeniu I. Znleźć kieunek i wtość wekto indukcji mgnetycznej B w śodku mki. Rozwiąznie: Z pw B-S-L wynik, że B w śodku mki jest wektoową sumą B, B,B3 i B4 wektoów indukcji pochodzących od poszczególnych boków mki. Wektoy B, B, B3 i B4 leżą wszystkie n jednej postej, postopdłej do płszczyzny mki i pzechodzącej pzez jej śodek. Zwoty tych wektoów są zgodne i są skieowne w stonę czytelnik. Ztem 6

6 B B + B + B3 + B4 Pzyczynki B, B, B3 i B4 obliczmy kozystjąc z widomości zdobytych w zd.8.. I B cos 4πo ( cos ) b le o ; cos ; bo cos ( π ) cos cos cos cos poniewż ; Ztem I B 4π b / I πb Anlogicznie Osttecznie I B 4π / I B3 4π b / I B4 4π / ( cos cos ) ( cos cos ) 3 3 ( cos cos ) 4 4 Ib π I πb Ib π µ µ o I B π b + b b ( ) + b I µ oµ I B π b πb Zd Wyznczyć wtość indukcji mgnetycznej B w śodku obwodu kołowego o pomieniu, w któym płynie pąd elektyczny o ntężeniu I. 6

7 Rozwiąznie: Zgodnie z pwem B-S-L wszystkie elementy d l tego obwodu z pądem I wywołują w śodku okęgu indukcję ( dl x ) µ I db oµ 4π 3 o jednkowych kieunkch (wzdłuż postej postopdłej do płszczyzny obwodu i pzechodzącej pzez śodek okęgu) i zwotch (z płszczyznę ysunku). A ztem cłkownie wektoowe spowdz się do cłkowni sklnego bo kąt między wektomi Stąd i dl π µ B db oµ Idl po okęgu 0 4π π wynosi, więc sin. µ I B oµ π dl 4π 0 Zd π µ I I B oµ µ l oµ 4π 0 4π µ B o µ I [ π 0] Obliczyć indukcję mgnetyczną B n osi obwodu kołowego w odległości d od śodk obwodu. Ntężenie pądu w obwodzie wynosi I, pomień obwodu R. Rozwiąznie: Wychodząc z pw B-S-L Poniewż wekto ( dl x ) µ I db' ; gdzie µ µ 4π 3 o µ d l oz wekto wodzący π twozą kąt, więc µ db' 4π I dl 63

8 Wektoy indukcji db i db od symetycznie położonych elementów dl i d l pzewodnik są ówne co do modułu i symetycznie położone względem siebie, ztem wtość indukcji wypdkowej od oby elementów wynosi: µ I sin βdl db db' sin β π Wekto indukcji db jest postopdły do powiezchni obwodu, i skieowny od obwodu. Wypdkową indukcję od cłego pzewodnik otzymmy cłkując powyższe ównnie po połowie okęgu czyli od 0 do πr R Uwzględnijąc, że sin β i Zd µ I sin β πr µ I sin β B dl πr 4π 0 π R + d, otzymmy µ IR B (*) R 3/ ( + d ) Wyznczyć ntężenie H pol mgnetycznego n osi cewki cylindycznej (solenoidu) z ównomienie i gęsto nwiniętymi zwojmi, pzez któe pzepływ pąd o ntężeniu I. Cewk m n zwojów, długość l i pomień pzekoju popzecznego. Położenie punktu P, dl któego liczymy H, okeślją odcinki i miezone od końc cewki. Pzedyskutowć otzymny wynik. Rozwiąznie: Pzyjmijmy początek ukłdu współzędnych w ozptywnym punkcie P. Kieunek pądu w uzwojeniu niech będzie tki, jk n ysunku. Jeżeli wziąć pod uwgę kołowy element cewki o długości dx, to możn go tktowć jk cienki pzewodnik kołowy i wykozystć wynik z zdni

9 N jednostkę długości solenoidu pzypd ( I n) / l mpeozwojów czyli pąd di płynący w elemencie dx solenoidu wynosi: I n di dx l Podstwijąc do wyniku końcowego (*) z zdni 8.6 z d x, z R i z I di solenoidu oz wiedząc, że między wektomi H i B zchodzi związek B µ H otzymujemy: I n dh l I n dx 3 l ( + x ) 3/ ( + x ) dx 3/ Aby znleźć H w punkcie P nleży powyższe wyżenie scłkowć po dx w gnicch od do. W tym celu zmienimy zmienną cłkowni i pzechodzimy do cłkowni po kącie α (ptz ysunek). Z ysunku wynik, że czyli Stąd Ztem i + x α α H dh α α sin α oz dx dα sin α dx dα sin α x ctg α I n 3 dh sin α dα l sin α I n dh sin αdα ln I n sin αdα l In l α α ( sin α) dα 65

10 I n H ( cosα cosα) l Wyżjąc kąty z pomocą odcinków okeśljących położenie punktu P otzymuje się: Wtedy: cos α cosα cos H In l + ( π α ) + Jeżeli solenoid jest długi (l>>), to możn pzyjąć, że: >> i >> to wówczs ntężenie pol H jest w cłym solenoidzie tkie smo i wynosi: In In In H ( + ), H l l l Widzimy więc, że ntężenie pol mgnetycznego H wewnątz solenoidu jest wpost popocjonlne do ilości zwojów n solenoidu, odwotnie popocjonlne do jego długości l. Zd Wypowdź z pw Fdy wzó n siłę elektomotoyczną ε indukowną w pęcie o długości l, obcjącym się w jednoodnym polu mgnetycznym o indukcji B ze stłą pędkością kątową ω wokół osi pzechodzącej pzez jeden z końców pęt i postopdłej do niego. Płszczyzn obotu jest postopdł do B. Rozwiąznie: Wychodzimy ze znnego wzou: ε dφ B dt Elementny stumień dφ B pzecinny pzez wiujący pęt w ciągu czsu dt wynosi: d Φ B B ds 66

11 gdzie d s jest to wekto powiezchni, któego moduł ówn się wielkości powiezchni ds (zkeślonej pzez pęt o długości l) i jest postopdły do powiezchni ds. Poniewż B d s (czyli kąt α jki twozą te dw wektoy wynosi 0 i jest wtedy cosα ) możemy zpisć: dφ B B ds B ds cos α B ds Pzybliżjąc pole ds. zkeślone pzez pęt w czsie dt polem tójkąt OAB mmy: ds AB l Odcinek AB tójkąt wyznczmy z definicji miy łukowej kąt. gdzie dog kątow Ztem dα ω dt AB l ω dt ds l ω dt AB l dα i wtedy dφ B Bl ωdt Ostteczny wzó n ε zindukowną w pęcie m postć: ε Bl ω 67