Zadania otwarte. 2. Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM i Gazetą Wyborczą n n. 2n n. lim 10.

Transkrypt

1 KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Póbna Matua z OPERONEM Matematyka Poziom ozszezony Listoad 05 Zadania zamknięte Za każdą oawną odowiedź zdający otzymuje unkt. Nume Poawna odowiedź Wskazówki do ozwiązania. D Funkcja ma wszystkie watości dodatnie.. D 6 sin( 60 5 )= sin60 cos5 sin5 cos60 = =. D f ( x) = x x + x = x ( x x + ) = x ( x ) Funkcja f ( x) zyjmuje tylko watości nieujemne, zatem funkcja stale ośnie, nie ma więc ekstemów.. C ABCS, BCD odowiednio ostosłu i zekój 5. D h wysokość zekoju a a a h = = a a P= a P = 7 a a 9 =, = =, a = = 75 Zadania otwate kodowane Nume Poawna odowiedź l: 5x y = Wskazówki do ozwiązania dal (, ) = = = = 0, = cosa cosa= sina = 6 7 sin a = = 0, x( x ) ( x ) x f x = = 6x ( ) f ( 7) x x = 76,... ( ) 7 ( ) = = unktów

2 Matematyka. Poziom ozszezony Póbna Matua z OPERONEM i Gazetą Wyboczą Nume Poawna odowiedź n lim = lim n = 0, Wskazówki do ozwiązania + n n n n lim n = + n = = n + n + n + b c b x + x = ( x+ x) xx( x+ x)= a a a = = 7 ( 7)= + = 59 unktów 0 0 Zadania otwate Nume Modelowe etay ozwiązywania. Rozwiązanie: log 6= a log6 = a log656 = log6 = log6 6 log6 = log6 = ( log6 log6 )= 6 = ( a) a a Istotny ostę: Zaisanie ówności: log 6= a log6 = a Pokonanie zasadniczych tudności: Zaisanie ówności: log656 = log6 = log6= log6 6 Rozwiązanie ełne: Wykazanie tezy : 6 ( log6 log6 )= = ( a) a a. Rozwiązanie: S = (, 5), = l:x + y + C = 0 C ds (, l) = = C = 5 + C = 5 + Styczne mają wzoy: x + y = 0, x + x 5 + Istotny ostę: Wyznaczenie śodka i omienia okęgu: S = (, 5), = Pokonanie zasadniczych tudności: Zaisanie stycznej w ostaci l:x + y + C = 0 i waunku styczności: ds (, l) = 5 +C = Rozwiązanie ełne: Rozwiązanie ównania i zaisanie odowiedzi: C = 5 + C = 5 + Styczne mają wzoy: x + y = 0, x + x 5 + unktów 0 0

3 Matematyka. Poziom ozszezony Póbna Matua z OPERONEM i Gazetą Wyboczą Nume Modelowe etay ozwiązywania. Rozwiązanie: a 0 > 0 m (, 6) (, + ) ( m+ 5) = x x ( m+ 5) = m+ 5= m+ 5= m= m= 7 iewsza liczba nie sełnia waunku > 0 m = 7 Postę: Zaisanie i ozwiązanie waunków: a 0 > 0 m (, 6) (, + ) Istotny ostę: Zaisanie tzeciego waunku w ostaci: ( m+ 5) = xx Pokonanie zasadniczych tudności: Zaisanie tzeciego waunku w ostaci: ( m+ 5) = m+ 5= m + 5= Rozwiązanie ełne: Wyznaczenie części wsólnej ozwiązań wszystkich waunków: m = 7. Rozwiązanie: h= EF wysokość tójkąta BDE a a a P BDE = = h h = a FB a a = FB = DF = a a a tga= tga= a = 0 a Postę: Wowadzenie oznaczeń: h= EF wysokość tójkąta BDE a a a P BDE = = h h = Istotny ostę: a Obliczenie długości odcinka FB FB a : = FB = a a Pokonanie zasadniczych tudności: a a a Obliczenie długości odcinka DF : DF = = Rozwiązanie ełne: a Wyznaczenie kąta a:tga= tga= a= 0 a unktów 0 0

4 Matematyka. Poziom ozszezony Póbna Matua z OPERONEM i Gazetą Wyboczą Nume Modelowe etay ozwiązywania 5. Rozwiązanie: sinx + cosx = 0 sinx + sin x 0 = x + x x + x sin cos = 0 sin + cos x = x 0 = 0 + x = k x = + k x = k x = + k, k C Istotny ostę: Zaisanie ównania w ostaci: sinx + cosx = 0 sinx + sin x 0 = x + x x + x sin cos = 0 Pokonanie zasadniczych tudności: x + x x + x Zaisanie altenatywy ównań: sin = 0 cos = 0 Rozwiązanie awie ełne: Zaisanie ozwiązań w ostaci: + x = k x = + k x = k x = + k, k C unktów Rozwiązanie ełne: Zaisanie ozwiązań w ostaci: k x = k x = + k C, 6. Rozwiązanie: h= h = + P( x)= h + = + P x =, ( ), > 0 P ( x) =,P ( x)= 0 = Po zeanalizowaniu znaków ochodnej otzymujemy: w unkcie = funk- cja osiąga minimum, któe jest jednocześnie najmniejszą watością funkcji. I część: Wyznaczenie wzou funkcji okeślającej ole walca Wyznaczenie zależności między omieniem odstawy i wysokością walca: h= h = Wyznaczenie wzou na ole całkowite walca: + P(, h)= h+ = +, P() = Wyznaczenie dziedziny funkcji: ( 0, + ) (za I część zyznaje się kt) II część: Zbadanie ochodnej i wyznaczenie ekstemum Wyznaczenie wzou ochodnej funkcji: P () =

5 Matematyka. Poziom ozszezony Póbna Matua z OPERONEM i Gazetą Wyboczą Nume Modelowe etay ozwiązywania Wyznaczenie miejsca zeowego ochodnej: P ( ) = 0 = Zbadanie znaków ochodnej i zaisanie wniosku dotyczącego maksimum funkcji: P ( )> 0 dla, +, P ( )< 0 dla 0,, zatem funkcja ośnie w zedziale, +, a maleje w zedziale 0,, stąd w unkcie = funkcja osiąga minimum będące jednocześnie najmniejszą watością funkcji, więc wymiay walca: =, h=. III część Wyznaczenie najmniejszej watości funkcji: P = 7. Rozwiązanie: A wylosowanie dwóch kul białych z dugiej uny w dugim losowaniu B, B odowiednio wylosowanie białej kuli z iewszej uny w iewszym losowaniu i wylosowanie czanej kuli z iewszej uny w iewszym losowaniu P ( B )= 7, PB 0 ( )= PA ( / B) = =, P( A/ B ) = = PA ( )= + = Postę: Wowadzenie oznaczeń: A wylosowanie dwóch kul białych z dugiej uny w dugim losowaniu B, B odowiednio wylosowanie białej kuli z iewszej uny w iewszym losowaniu i wylosowanie czanej kuli z iewszej uny w iewszym losowaniu Istotny ostę: Obliczenie awdoodobieństw: P ( B )= 7, PB 0 ( )= 0 Pokonanie zasadniczych tudności: Zaisanie awdoodobieństw: 6 5 PA ( / B) =, P( A/ B ) = 0 0 Rozwiązanie awie ełne: Zaisanie awdoodobieństwa zdazenia w ostaci: P( A)= Rozwiązanie ełne: Obliczenie awdoodobieństwa zdazenia A: P( A) = 90 unktów (za II część zyznaje się kt) 7 (za III część zyznaje się kt) 0 5 5

6 Matematyka. Poziom ozszezony Póbna Matua z OPERONEM i Gazetą Wyboczą Nume Modelowe etay ozwiązywania. Rozwiązanie: x + y + z = 6 Zaisujemy układ: ( y + 5) = ( x ) ( z + 7), o ozwiązaniu otzymujemy: x z y = + x = 5 x = 55 = lub = z = 7 z = Istotny ostę: x + y + z = 6 Zaisanie układu ównań: ( y + 5) = ( x ) ( z + 7) x z y = + Pokonanie zasadniczych tudności: Pzekształcenie układu do ównania kwadatowego, n.: x 0x + 75 = 0 Rozwiązanie ełne: x = 5 x = 55 Rozwiązanie ównania i zaisanie odowiedzi: = lub = z = 7 z = unktów 0 5 ( kt, gdy zaisano tylko dwa ównania) 5 ( kt, gdy oełniono błąd achunkowy) 6