Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XL Egzamin dla Aktuariuszy z 9 października 2006 r. Część I. Matematyka finansowa

Transkrypt

1 Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XL Egzamin dla Aktuariuszy z 9 aździernika 006 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 00 minut

2 . Ile wynosi wartość bieżąca nieskończonego ciągu rent nieskończonych, gdzie renta startująca na oczątku roku k (k =,,...) wyłaca z dołu na koniec kolejnych lat kwoty:, + k, + * k, + k,, + k, + * k, + k,,...? Podaj najbliższą wartość dla i = 7%. A) B) C) D) 3 76 E) 3 874

3 . Inwestor inwestuje na 5 lat równomiernie środki o wartości mln PLN w gruę n firm o odwyższonym stoniu ryzyka. Prawdoodobieństwo odwojenia wartości każdej z inwestycji w ciągu dowolnego roku wynosi 60% a bankructwa 40%. Inwestycje jak również ich wyniki w kolejnych latach są wzajemnie niezależne. Ile musi wynosić co najmniej n, aby inwestor miał 99% ewności osiągnięcia o 5 latach 50% zysku nominalnego od całości inwestycji oczątkowej? Podaj najbliższą wartość. Wartość dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego F(.36) = 0.99 A) 55 B) 305 C) 355 D) 405 E) 455 3

4 3. Pan Jan rozoczyna oszczędzanie na emeryturę, które trwać będzie 40 lat (480 składek łatnych na oczątku miesięcy). Jego najbliższa ensja wyniesie 000 PLN i będzie rosła o 3% rocznie (równomiernie w ciągu roku). Chce on zgromadzić na koniec 40 roku sumę wystarczającą do zakuu 0 letniej renty ewnej łatnej na końcu każdego miesiąca w wysokości 60% ostatniego (480-tego) wynagrodzenia, wyliczanej rzy stoie 4%. Jaką część swojej ensji musi odkładać rzy założeniu, że efektywne stoy zwrotu wyniosą: 6% w okresie do końca 0 roku, 3% w latach -40. Podaj najbliższą wartość. A) 4,4% B) 5,% C) 6,0% D) 6,8% E) 7,6% 4

5 4. Inwestor rzyjmuje nastęujące założenia co do kształtowania się kursu akcji sółki X w kolejnych trzech okresach: obecna cena akcji wynosi 50, w każdym z trzech kolejnych okresów cena akcji może zmienić się o + 0% (z rawdoodobieństwem 60%) lub -0% w odniesieniu do jej wartości z oczątku okresu. Inwestor zamierza nabyć euroejską ocję call na akcję sółki X z ceną wykonania 50 z terminem wykonania na koniec trzeciego okresu. Secyfika tej inwestycji olega na tym, że łatność za ocję nastęuje w czterech równych ratach - ierwsza na oczątku inwestycji kolejne o, i 3 okresie. Przy każdej z łatności inwestor może zrezygnować z jej dokonania tracąc dotychczas załacone raty. Jaką maksymalną kwotę inwestor byłby skłonny załacić za ocję (nominalna suma czterech rat) rzy założeniu, że inwestor oczekuje stoy zwrotu z inwestycji w ocję na oziomie i = 0% w skali jednego okresu. Podaj najbliższą wartość. A),8 B),6 C) 3,4 D) 4, E) 5,0 Dla ułatwienia oniżej drzewo wyceny standardowej ocji call z ceną wykonania 50 (remia łatna jednorazowo z góry, tutaj 0,7) rzy oczekiwanej okresowej stoie zwrotu i =0%

6 5. Cena akcji sółki X wynosi 50. Przyjmujemy założenie, że cena akcji za rok ma rozkład równomierny na rzedziale (30;90). Rozważmy dwa ortfele: ortfel : zawierający w 00% akcje sółki X, ortfel : zawierający w 60% euroejskie roczne ocje ut (ozycje długie) na akcje sółki X z ceną wykonania 55 oraz w 40% akcje sółki X Cena jednej ocji ut (oiewającej na akcję sółki) wynosi 5. Ile wynosi stosunek wariancji rocznej stoy zwrotu z ortfela do wariancji rocznej stoy zwrotu z ortfela (odaj najbliższą wartość)? A),5 B) 3,5 C) 4,5 D) 5,5 E) 6,5 6

7 6. Bank udziela ożyczki 0-letniej z orocentowaniem i>0, słacanej w równych rocznych ratach P na koniec każdego roku. Odsetki słacone w ierwszych 6 ratach wynoszą 600 PLN. Odsetki słacone w ostatnich 6 ratach wynoszą 400 PLN. Wyznacz roczną efektywną stoę orocentowania ożyczki. P A) i = P 00 3P B) i = 3P 00 3P C) i = 3P 00 4P D) i = 4P 00 4P E) i = 4P 00 7

8 7. Rachunek oszczędnościowy założono w chwili 0 z włatą oczątkową. Nastęnie na rachunek dokonywane są w sosób ciągły właty z roczną intensywnością Ct = B, t ( + t) gdzie B t oznacza wartość rachunku w chwili t>0. Ciągła intensywność orocentowania środków na rachunku wynosi t δ t =. Wyznacz B t w chwili. Odowiedź (odaj ( + t) najbliższą wartość): A) B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 8

9 8. Renta wieczysta łaci na koniec roku k kwotę k / (k+), k =,, 3,. Efektywna roczna stoa dyskontowa jest zmienna, w roku k wynosi i * k / (k+), gdzie stałe i = 8%. Wyznacz wartość obecną tej renty. Odowiedź (odaj najbliższą wartość): A) B).5 C) D).5 E) 3 9

10 9. Inwestujemy na giełdzie kwotę X 0. Po miesiącach stan naszego rachunku maklerskiego wynosi X. Oceniamy, że wynik inwestycji X X X = jest zmienną losową o rozkładzie lognormalnym ze średnią i odchyleniem standardowym a > 0. Oblicz tail value at risk TVaR X ) = E( X X > x ), gdzie x jest -tym kwantylem zmiennej losowej X, czyli liczbą ( sełniającą warunek P( X x ) =.. Oznaczenia: Φ dystrybuanta zaś N -ty kwantyl standardowego rozkładu normalnego N(0,). A) TVaR ( X ) = ( Φ( N ln( + a ) ) B) TVaR ( X ) = ( Φ( N + ln( + a ) ) C) TVaR ( X ) = ( Φ( ln( + a ) N ) D) TVaR ( X ) = ( + Φ( N ln( + a ) ) E) TVaR ( X ) = ( Φ( N ln( + a ) ) 0 Wskazówka. Zmienna losowa X ma rozkład lognormalny z arametrami μ, σ > 0, jeżeli Y = lnx ma rozkład normalny N(μ, σ). Gęstość rozkładu lognormalnego ma ostać: f ( ln x μ) x) = ex, x > 0. xσ π σ ( Wartość oczekiwana zmiennej losowej X o rozkładzie lognormalnym wynosi σ μ+ σ ( e ). Var ( X ) = e EX σ = ex μ +, zaś wariancję określa wzór 0

11 0. Funkcja intensywności orocentowania w chwili t dla kwoty zainwestowanej w chwili s, 0 s t wynosi δ ( s, t) =. Funkcja a(s,t) jest funkcją akumulacji w chwili t kwoty + s + t zainwestowanej w chwili s. Wyznacz różnicę a(,4) [ a(,) a(,4) ] (różnica między akumulacją bez reinwestycji i z reinwestycją). Odowiedź (odaj najbliższą wartość): A) -/5 B) 0 C) /5 D) 4/5 E) 6/5

12 Egzamin dla Aktuariuszy z 9 aździernika 006 r. Matematyka finansowa Arkusz odowiedzi * Imię i nazwisko:... Pesel:... OZNACZENIE WERSJI TESTU... Zadanie nr Odowiedź Punktacja A D 3 E 4 E 5 D 6 C 7 B 8 D 9 A 0 C * Oceniane są wyłącznie odowiedzi umieszczone w Arkuszu odowiedzi. Wyełnia Komisja Egzaminacyjna.