Wykład 10 Wnioskowanie o proporcjach

Transkrypt

1 Wykład 0 Wioskowaie o roorcjach. Wioskowaie o ojedyczej roorcji rzedziały ufości laowaie rozmiaru róby dla daego margiesu błędu test istotości dla ojedyczej roorcji Uwaga: Będziemy aalizować roorcje odobie jak średie (owód: roorcja to średia liczba sukcesów).

2 Sytuacja: Niech będzie roorcją sukcesów w oulacji. Losujemy róbę rostą rozmiaru i obserwujemy X, liczbę sukcesów w róbie. Proorcja róbkowa (sukcesów) to. Użyjemy dla ocey. ˆ X /

3 Przyomieie: X moża uzać za zmieą losową dwumiaową B(,): ad ( ) jest ieobciążoym estymatorem, tj.. SD dla rówa się. Gdy jest duże, X i są w rzybliżeiu ormale, tz. z ( ) ( ) / ma rozkład zbliżoy do N(0,). Prowadzi to do rostych rzedziałów ufości dla... E

4 Oszacowaie Wilsoa dla roorcji w oulacji: Porzez odstawieie za uzyskuje się rzybliżoe rzedziały ufości dla. Oszacowaie Wilsoa jest jedak lesze. ~ Oszacowaie Wilsoa dla uzyskuje się rzez dodaie sukcesów i orażek do wyiku (róbk): ~ X 4 ad SE( ~ ) ~ ( ~ ) 4

5 Przedział ufości (Wilsoa) dla oulacji Przybliżoy rzedział ufości oziomu dla wyosi: ~ z * SE( ~ ) ~ z * ~ ( ~ ) 4 gdzie P(Z z*) = ( C)/ (użyj rozkładu ormalego lub Studeta, by zaleźć z*). Użyj tego rzedziału, gdy wielkość róby wyosi 5, a oziom ufości wyosi 90%, 95% lub 99%. Margi of error : m z * SE( ~ ) z * ~ ( ~ ) 4.

6

7 Przykład : Program iformacyjy rzerowadza akietę a temat rooowaego zakazu używaia broi alej. 37 osoby dzwoią do TV. 9 osób srzeciwia się zakazowi. Zbuduj 95% rzedział ufości dla odsetka osób, które srzeciwiają się zakazowi. Jakie są możliwe roblemy z tym badaiem?

8

9 Wybór rozmiaru róby Aby oszacować roorcję w obrębie określoego margiesu błędu m, wymagaa wielkość róbki to [ z * ] *( m *) * Powiiśmy wziąć ze wstęego (małego) badaia. Możemy rówież rzyjąć * = 0,5, aby uzyskać koserwatywy rozmiar róbki (iezalecae ze względów ekoomiczych -- będzie duże).

10 Przykład (cd.): Załóżmy, że laujemy ytać losowo wybrae osoby z książki telefoiczej, zamiast czekać a telefoy do redakcji. Chcemy aby margies błędu wyosił 0,03 = 3%. Jak duży owiie być rozmiar róby? Mamy C = 0,95, więc z * =,96; m = 0,03, stąd: >

11 Przykład : Akieta 000 widzów TV o 3:40 w oiedziałek 8 wrześia 998 ustaliła, że 6 widzów obejrzało "The Toight Show". Oszacuj z 95% oziomem ewości, ile telewizorów oglądało "The Toight Show", jeśli w USA było 50 milioów widzów. Sformułuj wiosek.

12 Rozwiązaie:

13 Testowaie dla ojedyczej roorcji z ( ) / ma w rzybliżeiu rozkład N(0,), gdy jest duże. Testujemy H 0 : = 0 rzeciwko jedej z ast. hiotez: H a : > 0 H a : < 0 H a : 0 Zwróć uwagę, że tutaj używamy (a ie ~ ). Test będzie dość dokłady, jeśli 0, ( ) 0 0 0

14 Podsumowaie: Test istotości dla jedej roorcji dla dużej róby Hioteza zerowa to H 0 : = 0 Statystyka testowa to z ( ) / Hioteza alteratywa P-wartość H a : > 0 P(Z z) H a : < 0 P(Z z) H a : 0 P(Z z )

15 Przykład 3: Twierdzi się, że tylko 34% wszystkich studetów jedocześie racuje. Jesteśmy ieco scetyczi wobec takiego stwierdzeia i decydujemy się rzerowadzić badaie, które wykaże, że więcej studetów racuje. Badamy róbę 00 studetów i okazuje się, że 47 z ich racuje. Przerowadź z-test a oziomie istotości 0,05, aby rozstrzygąć zagadieie.

16

17 . Porówywaie dwóch roorcji Testy istotości dla różicy w roorcjach Przedziały ufości dla różicy w roorcjach Ryzyko względe

18 Notacja: Poulacja Proorcja w oulacji Rozmiar róby Liczba sukcesów Próbkowa roorcja X ˆ X ˆ Dae: PP o rozmiarach i (dość duże). Fakty: ( ) ( )

19 Porówaie dwóch roorcji: rzybliżoa ormalość Zbadamy rzy omocy. Fakt: ma w rzybliżeiu rozkład N(0,). ˆ ˆ ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ( z

20 Porówaie dwóch roorcji: Test istotości i są iezae, testujemy H 0 : = (=, iezae) rzeciwko jedej z alteratyw: H a : > albo H a : < albo H a :. z-statystyka ma ostać Użyjemy łączoego estymatora dla : ) ( ˆ ˆ ) ( ) ( ˆ ˆ z ˆ X X

21 Test istotości dla dwóch roorcji oulacji - odsumowaie: Przy hiotezie zerowej: H 0 : = astęująca statystyka ma w rzybliżeiu rozkład ormaly: z : Możliwe hiotezy alteratywe ( ) P-wartość H a : > P(Z z) H a : < P(Z z) H a : *P(Z z )

22 Przykład 4: W szeroko agłośioym badaiu lekarze otwierdzili wcześiejsze obserwacje dotyczące asiryy. W rojekcie badawczym wzięło udział 996 amerykańskich lekarzy w charakterze acjetów. Połowa z ich rzyjmowała tabletkę asiryy co drugi dzień, odczas gdy druga ołowa rzyjmowała lacebo. Po 3 latach 39 osób, które zażywały asiryę i 39 osób rzyjmujących lacebo, miało zawał serca. Czy te wyiki wskazują, że kwas acetylosalicylowy skuteczie zmiejsza częstość wystęowaia zawałów serca a oziomie istotości 0,05?

23

24 Przedział ufości dla różicy między dwoma roorcjami Podamy rzedział ufości dla. ~ Użyjemy wersji Wilsoa: i zamiast ˆ i ˆ : X (Zmiaa: Dodajemy sukces i orażkę do obu rób!) ~ X,

25 Przedział ufości - wzór: ~ ~ Błąd stadardowy dla defiiujemy jako SE( ~ ~ ) ~ ~ ( ) ~ ( ~ ). Przybliżoy, rzedział ufości a oziomie C dla wyosi gdzie P(Z z*) = ( C)/. Użyj tego rzedziału, gdy oba rozmiary róbek wyoszą co ajmiej 0, a oziom ufości wyosi 90%, 95% lub 99%. Jaki jest margies błędu? ~ ~ ) z * SE( ~ ~ ( ),

26 Przykład 4 (cd.): Oszacuj z 95-rocetową ewością różicę w częstości wystęowaia zawału serca (w ciągu 3 lat) wśród osób zażywających asiryę i u osób ierzyjmujących leku.

27

28 Ryzyko względe : RR RW orówuje dwie roorcje róbkowe. Orogramowaie daje rzedziały ufości dla oulacyjego RW. Przykład 4 (cd.): Oblicz RW dla rzykładu z asiryą.