a a a b M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I

Transkrypt

1

2 Relcje równowr wnowżności i klsy Definicj: Relcją określoną n zbiorze A nzywmy dowolny test porównwczy pomiędzy uporządkownymi prmi elementów elementów zbioru A. Jeśli pr (, b) œ A ä A spełni ten test, mówimy, że pozostje w relcji do b, ( b). Definicj: Relcją równowżności określoną n zbiorze A nzywmy relcję któr jest: zwrotn: A, symetryczn:,b A, b b przechodni:,b,c A, ( b) ( b c) c O elementch,bœa mówimy wówczs, że jest równowżne b Definicj: Klsą równowżności elementu œ A nzywmy zbiór wszystkich elementów A pozostjących w relcji równowżności z, { b A : b } Twierdzenie: Jeśli jest relcją równowżności n A orz,b œ A wtedy lbo b lbo b więc dowolny element klsy możn wybrć jko reprezentnt tej klsy. Przykłd: A zbiór ludzi: b - jest strszy od b nie jest relcją równowżności. b - i b mją tego smego dzidk ze strony ojc jest relcją równowności. M. Przybycień Mtemtyczne Metody Fizyki I Wykłd 2-22

3 Algebr wektorów Definicj: Sklr to wielkość fizyczn, któr posid tylko wrtość (liczb). np. tempertur, czs, ms, Definicj: Wektor to kls równowżności pr punktów, czyli zorientownych odcinków, które przeksztłcją się w siebie przy przesunięciu równoległym. np. wektor położeni, siły, prędkości, Symbole wektorów: PQ P Dodwnie wektorów (reguł równoległoboku): przemienność: + b b + łączność: ( + b ) + c + ( b + c ) + b + c b + b + c c M. Przybycień Mtemtyczne Metody Fizyki I Q b Odejmownie wektorów: ( ) P Q P 2 Q 2 P 3 b + + b Q 3 b - b + -b Wykłd 2-32

4 Algebr wektorów W wyniku mnożeni wektor przez liczbę rzeczywistą otrzymujemy wektor o tym smym kierunku co wektor oryginlny i proporcjonlnej długości: - λ P Q P Q P Q PQ' λ PQ Włsności: ( λµ ) λ ( µ ) µ ( λ ) ( + b ) λ λ + λ b ( λ + µ ) λ + µ Przykłd: Niech punkt P dzieli odcinek AB w stosunku λ : µ. Znjdź wektor położeni punktu P jeśli wektory położeni punktów A i B są znne i wynoszą odpowiednio i. B λ λ p + AB + ( OP b ) λ + µ λ + µ µ λ + b λ + µ λ + µ O b p µ P λ b A M. Przybycień Mtemtyczne Metody Fizyki I Wykłd 2-42

5 Kombincj liniow wektorów Definicj: Wektor b nzywmy liniową kombincją wektorów jeśli istnieją stłe c, c 2,, c n tkie, że: M. Przybycień Mtemtyczne Metody Fizyki I,,..., 2 n b c + c c 2 2 n n Definicj: Mówimy, że wektory,,..., są liniowo zleżne jeśli istnieją 2 n stłe c, c 2,, c n, nie wszystkie równe zero, tkie że: c + c c 2 2 n n 0 Jeśli powyższ równość zchodzi tylko wtedy gdy wszystkie stłe c, c 2,, c n, są jednocześnie równe zero, to o wektorch, 2,..., n mówimy, że są liniowo niezleżne. Uwg: Powyższe opercje możn określić dl wektorów w dowolnej liczbie wymirów. Włsności: kżdy zbiór m+ lub więcej m-wymirowych wektorów jest liniowo zleżny. jeśli dny zbiór wektorów jest liniowo niezleżny, to kżdy podzbiór tych wektorów jest również liniowo niezleżny. kżdy zbiór wektorów o tym smych wymirze, zwierjący wektor zerowy, jest liniowo zleżny. Wykłd 2-52

6 Krtezjński ukłd współrz rzędnych Odległość pomiędzy punktmi P i P 2 znjdujemy z twierdzeni Pitgors: 2 ( ) ( ) ( ) P P x x + y y + z z M. Przybycień Mtemtyczne Metody Fizyki I Wykłd 2-62

7 Współrz rzędne wektor i wektory bzowe Q(x 2, y 2, z 2 ) P(x, y, z ) Reprezentnt wektor PQ u ν, ν, ν ( ν ν ν ) 2 3 Dysponując trzem różnymi wektormi, e, e, e 2 3, nie leżącymi w jednej płszczyźnie, możn w trójwymirowej przestrzeni dowolny wektor zpisć jko kombincję tych wektorów: e + e + e ie ˆ ei i ei i Wektory e, e, e ei nzywmy bzą w przestrzeni 3, ntomist sklry,, to współrzędne wektor w tej bzie. Mówimy, że wektor zostł rozłożony n skłdowe. Dl współrzędnych krtezjńskich w 3 stosujemy oznczeni: e ˆ i e ˆ j e ˆ k M. Przybycień Mtemtyczne Metody Fizyki I 2 3 Wykłd 2-72

8 y Algebr wektorów w n współrz rzędnych Mth Plyer Mth Plyer (u +, u ) Dodwnie i odejmownie wektorów: M. Przybycień Mtemtyczne Metody Fizyki I ± b ( xi + y j + zk ) ± ( bxi + by j + bzk ) ± b i + ± b j + ± b k ( x x ) ( y y ) ( z z ) x ( x, y, z ) lub y z x Długość (moduł) wektor: x + y + z ˆ x y z λ λ,, fi wektor jednostkowy: x λ y λ z,, i + 3 j + 6k 2 i 2k. Znjdź ich sumę, + 2 u + ( i + j + k ) + ( i k ) j + 4k u + + uˆ czyli j + k Mnożenie wektor przez liczbę: ( ) Przykłd: Dne są wektory orz Wygodny sposób zpisu wektor: moduł sumy i wektor jednostkowy o tym smym kierunku i zwrocie co wektor Wykłd 2-82

9 Iloczyn sklrny wektorów Definicj: Iloczynem sklrnym dwóch wektorów i b nzywmy liczbę: b b cosq gdzie q jest kątem pomiędzy wektormi i b. Uwg: W dowolnej liczbie wymirów iloczyn sklrny jest liczbą. Włsności: przemienny: b b b + bc b + b c liniowy w kżdym z rgumentów (, b e ): ( ) Dw niezerowe wektory są ortogonlne (prostopdłe) jeśli ich iloczyn sklrny jest równy zero: b 0 Przykłd: Wektory bzowe w ukłdzie krtezjńskim spełniją relcje: M. Przybycień Mtemtyczne Metody Fizyki I b b cosq i i j j k k i j j k k i 0 Oblicznie iloczynu sklrnego: b i + j + k b i + b j + b k b + b + b b i 2 Długość wektor: 3 ( 2 3 ) ( 2 3 ) i i Wykłd 2-92

10 Iloczyn sklrny wektorów Przykłd: Znjdź kąt pomiędzy wektormi i + 2 j + 3k orz b 2i + 3 j + 4k b b b cosq cosq b b cos q q 0. 2 rd b Cosinusy kierunkowe wektorów: b x bx y by z bz cosq + + b b b b / b / b b wielkości orz gdzie i x, y, z to cosinusy kierunkowe wektorów i. i Delt Kronecker (i, j, 2): Skłdowe wektorów w bzie : i ij j dij d di 0 { e, e,..., e } 2 n n n n u e u e e u ( e e ) u d u j k k j k k j k kj j k k k M. Przybycień Mtemtyczne Metody Fizyki I dl dl i i j j Wykłd 2-02

11 Rozkłd wektor n dowolne skłdowe u u u u proj u + ( u proj u) + u 2 2 Przykłd: Rozłożyć wektor n skłdowe: równoległą i prostopdłą do wektor. proj skldow skldow rownolegl do prostopdl do u u u u u cosq 2 gdzie rzut wektor n wektor dny jest przez: M. Przybycień Mtemtyczne Metody Fizyki I proj u u u proj u Metod ortonormlizcji Grm-Schmidt w 2-dim: Rozwżmy dowolną bzę w 2-dim przestrzeni. Chcemy utworzyć tkie { }, 2 kombincje liniowe tych wektorów by otrzymne wektory były ortonormlne. Jko pierwszy wektor poszukiwnej bzy wybiermy: eˆ eˆ eˆ ( ) eˆ Drugi wektor otrzymujemy odejmując od jego rzut n wektor : 2 i odpowiednio normlizując do ê eˆ 2 e 2 e 2 Mth Plyer Wykłd 2-2

12 Permutcje { } Definicj: Permutcją zbioru liczb 2,,..., n nzywmy dowolną różnowrtościową funkcję określoną n tym zbiorze i o wrtościch w tym zbiorze. Uwg: Liczb wszystkich permutcji wynosi n! ( n ) Permutcje zpisujemy w formie tbeli: f 2 f ( ) f ( 2) f ( n ) ( ) Permutcj identycznościow: I 2 n 2 Iloczynem permutcji f i g jest złożenie tych funkcji: n ( ) f g ( i) f g ( i) ( ) ( ) Przykłd: Niech f orz g ( ) ( ) Wtedy f g orz g f Definicj: Niech π będzie permutcją określoną n zbiorze { 2,,..., n} orz niech r będzie njmniejszą liczbą cłkowitą tką, że π r (i) i. Wówczs zbiór r różnych k { π ( i) } r elementów nzywmy r-wyrzowym cyklem permutcji π. k 0 M. Przybycień Mtemtyczne Metody Fizyki I Wykłd 2-22

13 Permutcje rozkłd n cykle ( ) Przykłd: ( 374)( 25)( 68) π ( ) ( 25)( 36748) ( ) ( 5387)( 2)( 46) π π π π ( )( )( )( )( ) ( )( )( ) π Dw cykle ( i, i2,..., i k ) orz ( j, j2,..., jl ) nzywmy rozłącznymi jeżeli zbiory liczb { i, i2,..., i k } orz { j, j2,..., jl} nie mją elementów wspólnych. Twierdzenie: Kżdą permutcję możn rozłożyć n iloczyn rozłącznych cykli. Definicj: Permutcję π w której jeden cykl m długość r, pozostłe mją tylko po jednym elemencie, nzywmy permutcją cykliczną o długości r. Definicj: Permutcję cykliczną o długości 2 nzywmy trnspozycją. ( )( )( ) ( ) π Przykłd: ( ) M. Przybycień Mtemtyczne Metody Fizyki I Mth Plyer Wykłd 2-32

14 Przystość permutcji Twierdzenie: Dowolny cykl o długości r możn rozłożyć n r- trnspozycji: ( i, i,..., i ) ( i, i )( i, i )...( i, i )( i, i ) 2 r r r 3 2 Uwg: Chociż rozkłd n trnspozycje nie jest jednoznczny, to możn pokzć, że przystość rozkłdu (tzn. czy liczb trnspozycje jest przyst czy nie) jest jednoznczn. ( 234) ( 4)( 3)( 2) ( 4)( 34)( 34)( 23)( 2)( 2)( 23)( 3)( 2) Twierdzenie: Dowoln permutcj może być rozłożon n iloczyn trnspozycji. Przystość rozkłdu jest jednozncznie określon. Definicj: Permutcję nzywmy przystą (nieprzystą) jeśli może być rozłożon n iloczyn przystej (nieprzystej) liczby trnspozycji. Określenie: Nieporządkiem w permutcji π nzywmy kżdą prę liczb i, j tką że i < j orz π(i) > π(j). A więc przystość permutcji możn określić zliczjąc nieporządki: π ( j) π ( i) + przyst i< j j i nieprzyst M. Przybycień Mtemtyczne Metody Fizyki I Wykłd 2-42

15 Symbol cłkowicie ntysymetryczny Definicj: Symbolem cłkowicie ntysymetrycznym w n wymirch nzywmy: ε i i2 i n 2 n + jeżeli permutcj jest permutcją przystą i i i 2 n jeżeli jest permutcją nieprzystą 0 jeżeli nie wszystkie liczby są różne Wybrne włsności (dowody przez pokznie, że L ijk P ijk dl wszystkich i,j,k, ): 2-dim: 3-dim: 2 2 ε ε δ δ δ δ ε ε δ ε ε 2 ik jl ik jl il jk ik jk ij ij ij k i, j ε ε δ δ δ δ ε ε 2 δ ε ε 3! ijk lmk il jm im jl ijk ljk il ijk ijk k j, k i, j, k 4-dim: ( ) ε ε 2 δ δ δ δ ε ε 3! δ ε ε 4! ijks lmks il jm im jl ijks ljks il ijks ijks k, s j, k, s i, j, k, s Mth Plyer n-dim: M. Przybycień Mtemtyczne Metody Fizyki I Wykłd 2-52

16 Iloczyn zewnętrzny w 2 Iloczyn zewnętrzny dwóch wektorów jest obiektem, którego rodzj zleży od liczby wymirów. N płszczyźnie iloczyn zewnętrzny jest liczbą. Definicj: Iloczyn zewnętrzny wektorów w 2D przestrzeni Euklides to liczb: u 2 ε y jkuj k u2 u2 j,k u u ( cos α sin β sin α cos β ) u sin( α β ) u sin γ b Interpretcj geometryczn: x Powierzchni Włsności iloczynu zewnętrznego w 2D: u sin θ u ntysymetryczny: u u - liniowy (α, β e): u ( α + β w ) α u + β u w u u 0 określ skrętność ukłdu: e ˆ e ˆ Mth Plyer 2 M. Przybycień Mtemtyczne Metody Fizyki I Wykłd 2-62

17 Iloczyn zewnętrzny (wektorowy) w 3 Definicj: Iloczynem wektorowym dwóch wektorów u i nzywmy wektor o skłdowych: u ε u 3 j,k ( ) i ijk j k Iloczyn wektorowy jest wektorem prostopdłym do obu wektorów skłdowych i m wrtość: i j k Mth u u u2 u3 Plyer 2 3 ( u23 u32 ) i + ( u3 u3 ) j + ( u2 u2 ) k u sin γ n γ kąt pomiędzy wektormi u i n wektor jednostkowy, prostopdły do płszczyzny u wyznczonej przez wektory i. Uwg: Dowód powyższej równości przez przedstwienie skłdowych z pomocą cosinusów kierunkowych. M. Przybycień Mtemtyczne Metody Fizyki I Wykłd 2-72

18 Iloczyn wektorowy w 3 Iloczyn wektorowy jest wektorem ortogonlnym do kżdego z wektorów skłdowych: u ( u ) ui ε ijku jk ε ijkuiu jk 0 i j,k i, j, k ( u ) 0 Włsności: ntysymetryczny: u - u u u 0 u α + β w α u + β u w liniowy (α, β e): ( ) określ skrętność ukłdu: ( u ) wπ u ( w) b + λc λ e, wtedy c b c c ( b + c ) λ c b c + λ c c b c Uwg: Z powyższego nie wynik że b Przykłd: Pokż, że jeśli dl pewnej M. Przybycień Mtemtyczne Metody Fizyki I Wykłd 2-82

19 Iloczyn mieszny wektorów u u u Iloczyn mieszny: u ( w ) ε ijkui jwk 2 3 i, j, k w w w 2 3 ( ) ( ) ( ) u 2w3 3w2 + u2 3w w3 + u3 w2 2w Włsności: u w w u w u -u w - u w -w u Interpretcj geometryczn: w ( u ) jest objętością równoległościnu ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u zbudownego n wektorch, orz. w Wysokość pole podstwy u M. Przybycień Mtemtyczne Metody Fizyki I Wykłd 2-92

20 Podwójny iloczyn wektorowy Podwójny iloczyn wektorowy: Włsności: gdzie c nie zleży od, i. eˆ ( ˆ ˆ ) ˆ ˆ ˆ e e2 e e3 e2 ( ˆ ˆ ) ˆ ( ˆ ˆ ) ˆ ˆ c + e e2 e e e e2 e2 - Wprost z definicji iloczynów sklrnego i wektorowego: ( u ( w )) ε u ε w u w ε ε i u ( w) () jest ortogonlny do ( w) tzn. u ( w) α + β w zleżą od u i. (b) jest liniowy w skłdowych (c) jest ortogonlny do u u, i w. ()+(c) fi α ( u) + β ( w u) 0 α c ( w u), β c ( u) u w ijk j klm l m j l m kij klm j, k l, m j, l, m k u w ( δ δ δ δ ) u w u w j l m il jm im jl j j i j j i j, l, m j j przy czym α, β nie u ( w) ( u w) ( u ) w czyli u ( w) ( u w) -( u ) w orz ( u ) w ( u w) -( w) u Prwdziw jest więc tożsmość: u ( w) + ( w u) + w ( u ) 0 M. Przybycień Mtemtyczne Metody Fizyki I Wykłd