Równania różniczkowe w przestrzeniach Banacha

Transkrypt

1 Równni różniczkowe w przestrzenich Bnch 1 Równni różniczkowe w przestrzenich Bnch Wojciech Kryszewski 1. Preliminri Złóżmy, że E jest przestrzenią Bnch (nd R lub C), I jest przedziłem ( 1 ) niezdegenerownym (tzn. o niepustym wnętrzu), D E, t I, x D i f : I D E. Będziemy rozwżć nstępujące zgdnienie początkowe dl równni różniczkowego { x = f(t, x) x(t ) = x. Celem jest znleźć przedził niezdegenerowny J I tki, że t J orz funkcję x : J E tką, że x(t) D dl t J, x(t ) = x orz x (t) = f(t, x(t)) dl t J. Gdy J = I, to mówimy o rozwiązniu globlnym; gdy J I, to mówimy o rozwiązniu loklnym. Pondto kżdorzowo (chyb, że będzie to oczywiste) będziemy orzekć w jkim sensie nleży rozumieć pojęcie pochodnej występujące powyżej. Będziemy mówić minowicie o (loklnym lub globlnym) rozwiązniu x : J E: klsycznym lub słbym klsycznym jeśli x jest funkcją różniczkowlną (odp. słbo różniczkowln) w sensie Fréchet i, dl wszystkich t J, x (t) = f(t, x(t)) (oczywiście jeśli t jest lewym (lub prwym) krńcem przedziłu J, to x (t) ozncz prwo- lub lewostronną (słbą) pochodną funkcji x w punkcie t); mocnym lub rozwiązniu Crthéodory ego jeśli istnieje funkcj y L 1 loc (J, E) (loklnie cłkowln w sensie Bochner) tk, że dl t J, x(t) = x + t y(s) ds orz y(t) = f(t, x(t)) dl p.w. t J; słbym lub dystrybucyjnym jeśli x jest funkcją loklnie cłkowlną orz funkcj f(, x( )) jest pochodną słbą lub dystrybucyjną funkcji x. Przypomnijmy, że u E jest pochodną w sensie Fréchet funkcji x : J E w punkcie t J jeżeli x(t + h) x(t) u = lim. h h Pochodną w punkcie t oznczmy x (t). Jsne, że jeśli istnieje mocn pochodn x (t), to funkcj x jest ciągł w t. 1 Tzn. dl dowolnych t 1, t 2 I jeśli t 1 t 2, to [t 1, t 2 ] I.

2 2 W. Kryszewski Wektor u E jest słbą pochodn w sensie Fréchet funkcji x w punkcie t jeżeli, dl dowolnego p E, p, u = lim p, x(t + h) x(t) =. h h 1 Słbą pochodną oznczmy również symbolem x (t). Zuwżmy, że jeśli istnieje słb pochodn x (t), to dl dowolnego p E, funkcj rzeczywist p, x( ) jest różniczkowln w punkcie t. Twierdzenie odwrotne jest też prwdziwe o ile przestrzeń E jest słbo zupełn (tzn. kżdy ciąg słbo fundmentlny ( 2 ) jest słbo zbieżny). Dodtkowo wtedy d dt p, x( ) t = p, x (t). Z fktu tego wynik w szczególności, że jeśli istnieje słb pochodn, to funkcj x jest demiciągł w punkcie t, tzn. ciągł w punkcie t jko funkcj J E w gdzie E w ozncz przestrzeń E z słbą topologią. Jest jsne, że jeśli w punkcie t J istnieje mocn pochodn x (t), to jest on również słbą pochodną. Wynik stąd w szczególności, że kżde klsyczne rozwiąznie jest również słbym rozwiązniem klsycznym. Przypuśćmy, że w dowolnym punkcie istnieje słb pochodn x (t) i funkcj J t x (t) jest loklnie cłkowln w sensie Bochner. Wtedy, dl kżdego t J, x(t) = x(t ) + t x (s) ds. Istotnie, z twierdzeni Bochner wynik, że dl dowolnego p E, funkcj p, x ( ) jest loklnie cłkowln w sensie Lebesgue orz dl kżdego t J, p, x (s) ds = p, x (s) ds; t t funkcj podcłkow po prwej stronie jest pochodną funkcji p, x( ). Ztem, z podstwowego twierdzeni rchunku cłkowego t p, x (s) ds = p, x(t) x(t ). W konsekwencji, dl kżdego p E, p, x (s) ds = p, x(t) x(t ). t Z dowolności p wynik, że x(t) = x(t ) + t x (s) ds. 2 Powiemy, że ciąg (x n ) jest słbo fundmentlny jeśli, dl dowolnego p E, ciąg liczbowy p, x n jest ciągiem Cuchy ego.

3 Równni różniczkowe w przestrzenich Bnch 3 Z podnych rozwżń widzimy, że rozwiąznie słbe klsyczne jest rozwiązniem mocnym o ile x jest funkcją cłkowlną. Dodtkowo zuwżmy, że jeśli słb pochodn x istnieje n J i jest loklnie cłkowln, to funkcj x(t) = x(t ) + x (s) ds t jest bsolutnie ciągł i różniczkowln p.w., tzn. dl p.w. t J istnieje pochodn x (t). Ozncz to więc, że lokln cłkowlność słbej pochodnej (w sensie Fréchet) implikuje ciągłość funkcji i istnienie p.w. pochodnej (i oczywiście równość obu pochodnych). Jk już wspomnino, jeżeli istnieje funkcj y L 1 loc (J, E) tk, że x(t) = + t t y(s) ds dl t J, to funkcj x jest bsolutnie ciągł (tk więc ciągł) i p.w. różniczkowln orz, dl p.w. t J, x (t) = y(t). W tkim rzie jeśli x jest mocnym rozwiązniem, to dl p.w. t J, pochodn istnieje orz x (t) = f(t, x(t)). Powiemy, że funkcj y L 1 loc (J, E) jest pochodną dystrybucyjną funkcji loklnie cłkowlnej x jeśli, dl dowolnej funkcji próbnej, tzn. ϕ C (J, R) (tj. funkcji nieskończenie wiele rzy różniczkowlnej o zwrtym nośniku i tkiej, że jeśli α J jest krńcem (lewym lub prwym) przedziłu J, to ϕ(α) = ) zchodzi ϕ (t)x(t) dt = ϕ(t)y(t) dt. J Wobec tego funkcj loklnie cłkowln x jest rozwiązniem słbym (lub dystrybucyjnym) jeśli funkcj f(, x( )) jest loklnie cłkowln orz ϕ (t)x(t) dt = ϕ(t)f(t, x(t)) dt dl kżdej funkcji ϕ C (J, R). J Złóżmy terz, że x jest rozwiązniem mocnym. Wtedy istnieje y L 1 loc (J, E) tk, że x(t) = x + t y(s) ds orz y(t) = f(t, x(t)) dl p.w. t J. Zuwżmy też, że wówczs dl kżdych, t J, mmy x(t) = x() + y(s) ds. Istotnie x(t) x() = t y(s) ds J J t y(s) ds = y(s) ds. Ztem wtedy x jest (bsolutnie) ciągł (w szczególności loklnie cłkowln) orz funkcj f(, x( )) jest loklnie cłkowln n J; pondto x jest rozwiązniem dystrybucyjnym. Istotnie, wystrczy pokzć, że y jest pochodną dystrybucyjną funkcji x. Niech ϕ C (J, R) i wybierzmy, b J tk, by < b i supp ϕ [, b]. Wówczs b b ϕ (t)x(t) dt = ϕ (t)x() dt + ϕ (t)y(s) ds dt = J b b b ϕ (t)y(s) dt ds = ϕ(s)y(s) ds = ϕ(s)y(s) ds. s J

4 4 W. Kryszewski Wniosek: Z przeprowdzonego rozumowni wynik, że njsilniejsze pojęcie stnowi pojęcie rozwiązni klsycznego: jest ono słbym rozwiązniem klsycznym; słbe rozwiąznie klsyczne o loklnie cłkowlnej słbej pochodnej Fréchet jest rozwiązniem mocnym, zś kżde mocne rozwiąznie jest rozwiązniem dystrybucyjnym. Zuwżmy jeszcze, że w przypdku, gdy E jest przestrzenią refleksywną, to lokln cłkowlność pochodnej x jest równowżn bsolutnej ciągłości funkcji x (to jest treść twierdzeni Komury, będącego odpowiednikiem twierdzeni Lebesgue ). W dowolnych przestrzenich może tk nie być. W kżdym rzie (lokln) cłkowlność słbej pochodnej Frréchet lub pochodnej Fréchet m związek z bsolutną ciągłością funkcji. Oczywiście funkcje słbo ciągłe ( w zsdzie powinniśmy powiedzieć demiciągłe) są słbo mierzlne i, jk nietrudno zobczyć, są ośrodkowo-wrtościowe; ztem z twierdzeni Pettis, są one silnie mierzlne. W konsekwencji słb pochodn Frećhet (o ile istnieje) jko grnic punktow funkcji silnie mierzlnych jest silnie mierzln. Tk więc, jeżeli x jest słbym rozwiązniem klsycznym, to funkcj f(, x( )) musi być przynjmniej silnie mierzln. Wrunkiem, który gwrntuje silną mierzlność funkcji f(, x( )) (bez względu n to czy x jest rozwiązniem) jest tzw. wrunek Crthéodory ego. Rozwżmy funkcję f : I D E gdzie D E. Mówimy, że f spełni wrunek Crthéodory ego gdy: jest silnie mierzln ze względu n pierwszą zmienną, tzn. dl dowolnego u D, funkcj I t f(t, u) jest silnie mierzln; jest ciągł ze względu n drug zmienną, tzn. dl p.w. t R, funkcj D u f(t, u) jest ciągł Twierdzenie: Jeśli x : J E, gdzie J I jest przedziłem, jest silnie mierzln orz, dl dowolnego t J, x(t) D orz f spełni wrunek Crtheéodory ego, to funkcj J t f(t, x(t)) jest silnie mierzln. Dowód: Niech x będzie funkcją silnie mierzlną; ztem istnieje ciąg funkcji prostych x n zbieżny p.w. do x. Dl kżdego n 1, x n = m n i=1 χ A nxn i i gdzie u n i E, zbiory A i są mierzlne, A i A j = dl i, j = 1,..., m n orz m n i=1 An i = J. Ztem funkcj f(, x n i ) jest silnie mierzln n zbiorze A n i dl wszystkich n orz i = 1,..., m n. Stąd funkcj f(, x n ( )) jest silnie mierzln. Dl p.w. t J, mmy z złożeni f(t, u(t)) = lim n f(t, x n (t)). Ztem funkcj f(, x( )) jest grnic p.w. zbieżnego ciągu funkcji silnie mierzlnych; jest więc silnie mierzln. Zbdmy terz kiedy powyżej określon funkcj jest (loklnie) cłkowln przy złożeniu, że (loklnie) cłkowln jest funkcj x.

5 Równni różniczkowe w przestrzenich Bnch Twierdzenie: Niech f : Ω E będzie funkcją Crthéodory ego. Dl dowolnej funkcji (loklnie) cłkowlnej x : J E (gdzie J jest przedziłem) tkiej, że x(t) D dl t J, funkcj f(, x( )) jest (loklnie) cłkowln n J wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją funkcj (loklnie) cłkowln : I R + orz stł b tkie, że f(t, u) (t) + b u ( ) dl p.w. t I orz u D. Dowód: Dostteczność. Jeśli spełnion jest podn nierówność, x L 1 loc (J, E) orz x(t) D dl t J, to f(t, x(t)) (t) + b x(t). Funkcj po prwej stronie jest oczywiście loklnie cłkowln n J. Dowód konieczności jest zncznie trudniejszy; pominiemy go. Uwg: W dlszym ciągu będziemy posługiwć się nieco słbszym wrunkiem wzrostu niżeli ( ). Minowicie będziemy zkłdć, że f jest funkcją Crthéodory ego orz istnieje funkcj L 1 loc (I, R) tk, że f(t, u) (t)(1 + u ) ( ) dl p.w. t I orz wszystkich u D. Jk łtwo zobczyć, wrunek ( ) implikuje, że dl dowolnej ogrniczonej funkcji loklnie cłkowlnej x : J E (J I) tkiej, że x(t) D przy t J, funkcj f(, x( )) jest loklnie cłkowln n J. Wrunek ( ) możn niekiedy jeszcze osłbić zkłdjąc, że dl dowolnego r istnieje funkcj c r L 1 loc (J, R) tk, że f(t, u) c r (t) ( ) dl p.w. t I orz u D tkich, że u r. Oczywiście wrunek ( ) implikuje wrunek ( ) (wystrczy przyjąć, że c r (t) := c(t)(1 + r) dl r ). Wrunek ( ) (lub mocniejszy wrunek ( )) jest n ogół wystrczjący z punktu widzeni nszych zstosowń: jeśli funkcj x : J E tk, że x(t) D dl t J, jest słbo ciągł ( w zsdzie powinienem powiedzieć demiciągł), to jest silnie mierzln (o tym mówiliśmy) i jest ogrniczon n zbiorch zwrtych (innymi słowy loklnie ogrniczon). Istotnie, przypuśćmy, że nie jest loklnie ogrniczon. Tzn. istnieje zwrty przedził P J orz, dl dowolnego n N, punkt t n P tki, że x(t n ) n. Ciąg (t n ) jest (ewentulnie po przejściu do podciągu) zbieżny, ztem, dl dowolnego p E zbieżny jest ciąg ( p, x(t n ) ). Jest on więc ogrniczony; innymi słowy ciąg (x(t n )) jest słbo ogrniczony. Z twierdzeni Bnch-Steinhus ciąg (x(t n )) jest więc ogrniczony: sprzeczność. Ztem x jko silnie mierzln i ogrniczon n zbiorch zwrtych, jest loklnie cłkowln. Z punktu widzeni zstosowń w równnich różniczkowych, gdy mow o słbych klsycznych lub klsycznych rozwiąznich lub o rozwiąznich mocnych (które są co njmniej demiciągłe), to wrunek wzrostu ( ) plus wrunek Crthéodory ego

6 6 W. Kryszewski gwrntują, że funkcj f(, x( )), gdzie x jest rozwiązniem wspomninego typu, jest loklnie cłkowln. W przypdku rozwiązń słbych (inczej dystrybucyjnych) potrzeb wrunku ( ) (chyb, żeby rozwżć ogrniczone rozwiązni dystrybucyjne). Przykłd: Niech f : I D E, gdzie I jest przedziłem i D E, jest silnie mierzln ze względu n pierwszą zmienną i spełni p.w. wrunek Lipschitz ze względu n drugą zmienną. Zkłdmy więc, że dl p.w. t I, funkcj f(t, ), określon n D, spełni wrunek Lipschitz ze stłą L(t), gdzie L L 1 loc (I, R), tzn. dl dowolnych x, y D i p.w. t I, f(t, x) f(t, y) L(t) x y. Oczywiście funkcj t spełni wrunek Crthéodory ego. Jeśli istnieje x D tkie, że f(, x ) L 1 loc (J, R), to wrunek wzrostu ( ) jest spełniony. Istotnie: niech t I i x D. Wtedy f(t, x) f(t, x ) + f(t, x) f(t, x ) f(t, x ) + L(t) x x f(t, x ) + L(t) x + L(t) x (t)(1 + x ) gdzie (t) := mx{ f(t, x ) + L(t) x, L(t)}. Oczywiście L 1 loc (J, R). 2. Wrunki typu Lipschitz Zczniemy od wersji twierdzeni Bnch o punkcie stłym Twierdzenie: Niech Λ będzie przestrzeni metryczną, X przestrzenią metryczną zupełną, x X, r > i T : B(x, r) Λ X odwzorowniem tkim, że dl dowolnego x B(x, r), odwzorownie T (x, ) : Λ X jest ciągłe, zś dl dowolnego λ Λ, odwzorownie T (, λ) : B(x, r) X jest zwężjące ze stłą k(λ) < 1, tzn. d(t (x, λ), T (y, λ)) k(λ)d(x, y) dl x, y B(x, r). Jeśli funkcj k : Λ [, 1) jest ciągł orz d(t (x, λ), x ) < (1 k(λ))r dl wszystkich λ Λ, to istnieje dokłdnie jedn funkcj x : Λ B(x, r) tk, że λ Λ T (x(λ), λ) = x(λ). Funkcj x( ) jest ciągł. Dowód: Niech ε : λ (, + ) tk funkcj, że Zuwżmy, że dl dowolnego λ Λ, d(t (x, λ), x ) < (1 k(λ))ε(λ) < (1 k(λ))r. T (, λ) : D(x, ε(λ)) D(x, ε(λ)).

7 Równni różniczkowe w przestrzenich Bnch 7 Istotnie, jeżeli d(x, x ) ε(λ), to d(t (x, λ), x ) d(t (x, λ), T (x, λ)) + d(t (x, λ), x ) k(λ)d(x, x ) + (1 k(λ))ε(λ) ε(λ). Poniewż D(x, ε(λ)) jest przestrzenią zupełną, to z klsycznego twierdzeni Bnch, dl kżdego λ Λ, istnieje punkt x(λ) D(x, ε(λ)) B(x, r) tki, że T (x(λ), λ) = x(λ). Niech terz λ n λ w λ. Wówczs Ztem d(x(λ n ), d(x(λ)) = d(t (x(λ n ), λ n ), T (x(λ), λ)) d(t (x(λ n ), λ n ), T (x(λ), λ n )) + d(t (x(λ), λ n ), T (x(λ), λ)) k(λ n )d(x(λ n ), x(λ)) + d(t (x(λ), λ n ), T (x(λ), λ)). d(x(λ n ), x(λ)) (1 k(λ n )) 1 d(t (x(λ), λ n ), T (x(λ), λ)) bowiem k(λ n ) k(λ) < 1 orz d(t (x(λ), λ n ), T (x(λ), λ)) n mocy ciągłości odwzorowni T (x(λ), ) : Λ X Istnienie w przypdku wrunków Lipschitz Zczniemy o tzw. loklnego twierdzenie o istnieniu: złóżmy minowicie, że E jest przestrzenią Bnch, I = {α, β} (α < β) jest przedziłem ( 3 ), I, Λ jest przestrzeni metryczną, x E, R > orz f : I B E (x, R) Λ E jest funkcją tką, że: dl dowolnego λ Λ, dl p.w. t I orz dowolnych x, y B(x, R), f(t, x, λ) f(t, y, λ) L(t, λ) x y gdzie L : I V E jest funkcją Crthéodory ego spełnijącą wrunek wzrostu ( ), tzn. dl dowolnego ogrniczonego zbioru B Λ, istnieje loklnie cłkowln funkcj β L 1 loc (I, R) tk, że L(t, λ) β(t) dl p.w. t I orz λ B; dl dowolnych x B E (x, R) orz λ Λ, funkcj f(, x, λ) : I E jest silnie mierzln; dl p.w. t I i dowolnego x B(x, R), funkcj f(t, x, ) : Λ E jest ciągł; dl dowolnego zbioru ogrniczonego B Λ istnieje funkcj c B L 1 loc (I, R) tk, że dl p.w. t I, u B E (x, R) orz λ B. f(t, u, λ) c B (t) Twierdzenie: Dl dowolnego λ Λ, istnieją liczby ρ >, δ = δ(λ ) > orz dokłdnie jedn funkcj ciągł x : J(δ) B Λ (λ, ρ) E, gdzie J(δ) := I [ δ, δ] ( 4 ), tk, że dl λ B Λ (λ, ρ), funkcj x(, λ) : J(δ) E jest mocnym rozwiązniem 3 Ten zpis ozncz, że α i β są lewym i prwym krńcem przedziłu I odpowiednio. 4 Zuwżmy, że zwsze możn tk dobrć δ, by przedził J(δ) był domknięty.

8 8 W. Kryszewski równni { x = f(t, x, λ) x() = x. ( ) Dowód: Ustlmy λ Λ. Jest jsne, że istnieje δ > tk, że L(t, λ ) dt < 1. J(δ) Z złożeń przyjętych odnośnie L widzimy, że odwzorownie Λ λ L(t, λ) dt jest J(δ) ciągłe (sprwdzić to używjąc twierdzenie Lebesgue o zbieżności zmjoryzownej). Wobec tego istnieje ρ > tkie, że k(λ) := L(t, λ) dt < 1 J(δ) dl λ B Λ (λ, ρ). Znowu widzimy, że k : B Λ (λ, ρ) [, 1) jest funkcją ciągłą. Rozwżmy przestrzeń X := C(J(δ), E) funkcji ciągłych z zwykłą normą x := sup x(t), x X. t J(δ) Jeśli x X orz x x < R ( 5 ), to x(t) B E (x, R). Ztem określony jest opertor T : B X (x, R) Λ X wzorem T (x, λ)(t) := x + f(s, x(s), λ) ds, t J(δ) dl x B X (x, R) i λ Λ. Anlogicznie jk wyżej stwierdzmy, w oprciu o wrunek wzrostu, że T (x, ) jest opertorem ciągłym dl dowolnego x B X (x, R). Zuwżmy dlej, że jeśli x, y B X (x, R) i λ B Λ (λ, ρ), to sup t J(δ) T (x, λ) T (y, λ) = sup t J(δ) f(s, x(s), λ) f(s, y(s), λ) ds sup t J(δ) x y T (x, λ)(t) T (y, λ)(t) J(δ) L(s, λ) x(s) y(s) ds L(t, λ) ds = k(λ) x y Niech λ B Λ (λ, ρ) i zbdjmy T (x, λ) x = sup sup t J(δ) t J(δ) T (x, λ)(t) x f(s, x, λ) ds 5 Trktujemy tu x jko funkcję stłą x : t x. J(δ) c(t) dt

9 Równni różniczkowe w przestrzenich Bnch 9 gdzie c : I R jest tką funkcją loklnie cłkowlną, że dl p.w. t I, dl dowolnych u B E (x, R) i λ B Λ (λ, ρ), f(t, u, λ) c(t). Zmniejszjąc δ jeśli potrzeb, zmniejszmy również k(λ); ztem możn żądć, że δ jest n tyle młe, że c(t) dt < (1 k(λ))r. J(δ) Oczywiście, wykorzystując ciągłość k i znowu zmniejszjąc ρ o ile potrzeb, możn złożyć, że powyższ nierówność zchodzi dl dowolnego λ B Λ (λ, ρ). Z powyższego twierdzeni 2..3 o punkcie stłym wynik, że istnieje dokłdnie jedn funkcj ciągł y : B Λ (λ, ρ) B X (x, R) tk, że T (y(λ), λ) = y(λ) dl λ B Λ (λ, ρ). Rozwżmy funkcję x : J(δ) B Λ (λ, ρ) E dną wzorem x(t, λ) = y(λ)(t) dl t J(δ) orz λ B Λ (λ, ρ). Oczywiście x jest funkcją ciągł (sprwdzić) orz, dl dowolnego λ B Λ (λ, ρ) i t J(δ), x(t, λ) = y(λ)(t) = T (y(λ), λ) = x + f(s, x(s, λ), λ) ds; ozncz to, że x(, λ) : J(δ) E jest mocnym rozwiązniem zgdnieni ( ) Wniosek: Przyjmijmy powyższe złożeni z wyjątkiem złożeni, że I. Jeśli λ Λ, to istnieje ρ >, δ > orz dokłdnie jedn ciągł funkcj x : Z B Λ (λ, ρ) E, gdzie Z := {(t, t) I I t J(t, δ) := I [t δ, t + δ]}, tk, że dl dowolnych t I i λ B Λ (λ, ρ), x(t,, v) : J(t, δ) E jest mocnym rozwiązniem równni { x = f(t, x, v) ( ) x(t ) = x. Dowód: Dl t I, rozwżmy funkcję g : (I t ) B(x, R) V E dną wzorem g(t, u, λ) := f(t+t, u, λ) dl t I t, u B(x, R) orz λ Λ. Oczywiście I t orz funkcj g spełni wszystkie złożeni poprzedniego twierdzeni. Ztem istnieje δ >, ρ > orz funkcj ciągł y : [ δ, δ] (I t ) B Λ (λ, ρ) E tk, że dl dowolnego λ B Λ (λ, ρ), y(, λ) : [ δ, δ] (I t ) E jest mocnym rozwiązniem równni { y = g(t, y, λ) ( ) y() = x. Rozwżmy funkcję x : Z B Λ (λ, ρ) E zdną wzorem x(t, t, λ) := y(t t, λ) dl (t, t) Z i λ B Λ (λ, ρ). Wtedy dl dowolnego λ B Λ (λ, ρ) mmy: x(t, t, λ) = y(, λ) = x orz x t(t, t, λ) = y t(t t, λ) = g(t t, y(t t ), λ) = f(t, x(t), λ). To kończy dowód wniosku.

10 1 W. Kryszewski Niech I := (α, β), α < β +, będzie przedziłem otwrtym, D E zbiorem otwrtym i niech Λ będzie przestrzeni metryczną. Złóżmy, że f : I D Λ E spełni nstępujące wrunki: dl dowolnych u D orz λ Λ, f(, u, λ) : I E jest silnie mierzln; dl p.w. t I i u D, funkcj f(t, u, ) : Λ E jest ciągł; dl dowolnych x D i λ Λ, istnieje R > tkie, że gdy λ B Λ (λ, R), x, y B E (x, R), f(t, x, λ) f(t, y, λ) L(t, λ) x y dl p.w. t I gdzie funkcj L : I B Λ (λ, R) R spełni wrunek Crthéodory ego i jest cłkowo ogrniczon, tzn. istnieje β L 1 loc (I, R) rk, że L(t, λ) β(t) dl p.w. t I orz λ B Λ (λ, R); L 1 loc dl dowolnych zbiorów ogrniczonych B Λ, C D istnieje funkcj c (I, R) tk, że f(t, u, λ) c(t) dl p.w. t I, u C orz λ B Twierdzenie: Przy tych złożenich, dl dowolnych t I, x D, λ Λ istnieją liczby α ω (t, x, λ ) < t < ω + (t, x, λ ) β orz funkcj x( ; t, x, λ ) : (ω (t, x, λ ), ω + (t, x, λ )) D będąc nieprzedłużlnym rozwiązniem problemu { x = f(t, x, λ ); x(t ) = x. Funkcj ω : I D Λ R { } jest górnie półciągł, funkcj ω + : I D Λ R {+ } jest dolnie półciągł. Zbiór Ω := {(t; t, x, λ ) I I D Λ (t, x, λ ) I D λ, t (ω (t, x, λ ), ω + (t, x, λ ))} jest otwrty funkcj σ : Ω E dn wzorem σ(t, t, x, λ ) := x(t; t, x, λ ) jest ciągł. Dodtkowo, dl dowolnych t I, x D orz λ Λ, jeżeli trjektori σ(, t, x, λ ) przyjmuje wrtości w zupełnym podzbiorze zbioru D i ω + (t, x, λ ) < β, to ω+ (t,x,λ ) t f(t, σ(t, t, x, λ ), λ ) dt = orz jeśli t ω + (t, x, λ ), to σ(t, t, x, λ ) D, tzn. zbiór σ([t, ω + (t, x, λ )] {(t, x, λ )}) nie jest zwrty w żdnym zwrtym podzbiorze zbioru D. Anlogiczne stwierdzenie jest prwdziwe dl ω (t, x, λ ).

11 Równni różniczkowe w przestrzenich Bnch 11 Dowód: 1. Jeśli C jest zwrtym podzbiorem D, λ Λ, to istnieją liczby r >, δ > i ρ > tkie, że dl kżdego x C orz t I istnieje funkcj x : J(δ) B Λ (λ, ρ) E tk, że dl λ B Λ (λ, ρ), funkcj x(, λ) : J(δ) E jest rozwiązniem problemu { x = f(t, x, λ) x(t ) = x. Dowód tego fktu jest podobny do dowodu poprzedniego wniosku (przeprowdzić dowód używjąc zwrtość zbioru C). 2. Dl dowolnych t I, x D i λ Λ, określimy ω (t, x, λ ) := inf{t problem m rozwiąznie n [t, t ]}; ω + (t, x, λ ) := sup{t problem m rozwiąznie n [t, t]}. Dowód dolnej półciągłości funkcji ω + (lub górnej półciągłości funkcji ω ) jest dość złożony i nie będzie przedstwiony. 3. Otwrtość zbioru Ω wynik ntychmist z odpowiedniej półciągłości funkcji ω ±, zś ciągłość σ jest konsekwencją ciągłości omwinej w poprzednim wniosku. 4. Niech ω := ω + (t, x, λ ) < β i złóżmy, że ω t f(t, σ(t), λ ) dt < (gdzie σ(t) := σ(t, t, x, λ )). Wtedy σ(t) σ(s) s f(z, σ(z), λ ) dz o ile t, s ω +. Ztem istnieje u := lim t ω σ(t) D. W tki rzie rozwiąznie σ + możn przedłużyć; przeczy to definicji ω +. Niech C D (tzn. C jest zwrtym podzbiorem D). przypuśćmy, że obrz trjektorii σ(, t, x, λ ) zwrty jest w C. Jeśli ω + < β, to znowu istnieje lim t ω σ(t) + i znowu mmy sprzeczność z definicją ω +.. Wniosek: Przy złożenich poprzedniego twierdzeni przypuśćmy, że dl pewnego λ Λ istnieje funkcj c L 1 loc (I, R) tk, że f(t, x, λ ) c(t)(1 + x ) dl p.w. t J orz x D. Dl dowolnego t I orz x D, jeśli trjektori σ(, t, x, λ ) przyjmuje wrtości w zupełnym podzbiorze zbioru D, to ω + (t, x, λ ) = β. Dowód: Przypuśćmy, że ω + := ω + (t, x, λ ) < β. Połóżmy też σ(t) := σ(t, t, x, λ ) dl t [t, ω + ). Wówczs σ(t) x + t f(s, σ(s), λ ) ds x + ω+ t c(t) dt + A + ω+ t ω t c(t) σ(t) dt c(t) σ(t) dt

12 12 W. Kryszewski gdzie A := x + ω + t c(t) dt. Z nierówności Gronwll wnosimy, że istnieje M tkie, że σ(t) M dl t [t, ω ). Ztem f(t, σ(t), λ) c(t)(1 + M). Dowodzi to, że ω+ t f(t, σ(t), λ ) dt <. Jest to sprzeczne z tezą poprzedniego twierdzeni. Odnotujmy jeszcze wersję twierdzeni bez prmetrów Twierdzenie: Złóżmy, że D jest zbiorem otwrtym, I = [, T ), < T +, i niech f : I D E będzie funkcją Crthéodory ego tką, że: dl dowolnego zbioru ogrniczonego B D istnieje funkcj c B L 1 loc (I, R) tk, że f(t, x) c B (t) dl p.w. t I orz x B; funkcj f jest loklnie Lipschitz względem drugiej zmiennej, tzn. dl dowolnego (t, x) I D istnieje η = η(t, x), otoczenie U x D punktu x orz stł L = L(t, x) tkie, że f(s, x) f(s, y) L x y o ile s [t, t + η] I orz x, y U x. Wówczs dl dowolnego x D istnieje liczb < ω(x ) T orz funkcj x( ; x ) : [, ω(x )) D będąc nieprzedłużlnym mocnym rozwiązniem problemu { x = f(t, x) x() = x. Funkcj ω : D R {+ } jest dolnie półciągł, zbiór Ω := {(t, x ) I D t [, ω(x ))} jest otwrty w I D funkcj σ : Ω D dn wzorem σ(t, x ) = x(t; x ) jest ciągł. Pondto, dl dowolnego x, jeżeli trjektori σ(, x ) przyjmuje wrtości w zupełnym podzbiorze zbioru D i ω(x ) < T, to ω(x ) f(t, σ(t, x )) dt =. Jeśli ω(x ) < T, t ω(x ), to σ(t, x ) D, tzn. zbiór σ([, ω(x )) {x }) nie jest zwrty w żdnym zwrtym podzbiorze zbioru D. W szczególności jeśli istnieje funkcj c L 1 loc (I, R) tk, że f(t, x) c(t)(1 + x ) dl p.w. t I i x D, orz dl pewnego x D, trjektori σ(, x ) przyjmuje wrtości zupełnym podzbiorze zbioru D, to ω(x ) = T. Uwg: Przypuśćmy, że D(x, R) D. Niech < < T będzie tką liczbą, że c(t) dt R, gdzie c := c B i B = D(x, R). Wtedy < ω(x ). Istotnie, przypuśćmy, że ω(x ) i rozwżmy trjektorię σ(, x ) = x( ; x. Dl uproszczeni notcji niech x = x( ; x ). S dwie możliwości: lbo dl kżdego t

13 Równni różniczkowe w przestrzenich Bnch 13 [, ω(x )), x(t) B(x, R) i wtedy, zgodnie z twierdzeniem + = ω(x ) f(t, x(t)) dt c(s) ds R : sprzeczne; lbo istnieje b [, ω(x )) tkie, że x(t) D(x, R) dl wszystkich t [, ] orz x(b) x = R. Wtedy b < orz sprzeczne. R = x(b) x b c(s) ds < c(s) ds R : Gwoli uzupełnieni podmy terz ogólną postć nierówności Gronwll Nierówność Gronwll 1. Njpierw omówimy postcie cłkowe tej nierówności. Niech J będzie dowolnym przedziłem, orz rozwżmy funkcje f, g, h : J R tkie, że f jest bsolutnie ciągł, zś g, h L 1 loc (J, R) orz g. Jeśli, dl p.w. t J to, dl dowolnego, t J, ( f(t) exp Istotnie, dl p.w. s J d ds ( = exp [ f(s) exp s ( f (t) g(t)f(t) + h(t), s Ztem dl dowolnego t J, ( ) f(t) exp g(s) ds = f() + ) [ g(s) ds f() + )] g(z) dz ( = f (s) exp ( f(s) exp ) g(z) dz [f (s) f(s)g(s)] exp exp d ds ( [ ( f(s) exp s To oczywiście kończy dowód nierówności ( ). g(z) dz ] h(s) ds. ( ) s ( s s ) g(s) ds ) g(s) = ) g(z) dz h(s). s g(z) dz )] g(z) dz ds f() + ) h(s) ds f() + h(s) ds. 2. Pokżemy terz, że przy powyższych złożenich, dl dowolnych, t J f(t) ψ(t) ( )

14 14 W. Kryszewski gdzie ψ() = f() orz ψ (t) = g(t)ψ(t) + h(t) dl p.w. t J. Istotnie, dl t J, połóżmy ρ(t) := Nierówność ( ) orzek więc, że Mmy oczywiście Stąd g(s)f(s) ds, ξ(t) := f() + h(s) ds, G(t) := g(s) ds. f(t) e G(t) ξ(t). ( ) f(t) = f() + f (s) ds. f(t) ρ(t) + ξ(t). Dlej, dl p.w. s J, ( ρ(s)e G(s) ) = ρ (s)e G(s) ρ(s)g(s)e G(s) = W tkim rzie, dl p.w. t J, Czyli ρ(t)e G(t) = ρ()e G() + g(s)e G(s) (f(s) ρ(s)) g(s)ξ(s)e G(s). ( ) ρ(s)e G(s) ds ξ(s)g(s)e G(s) ds. f(t) ξ(t) + ρ(t) = ξ(t) + e G(t) ξ(s)g(s)e G(s) ds := ψ(t). Bezpośrednio ψ() = f() orz, dl p.w. t J, ) ψ (t) = h(t) + (g(t)e G(t) ξ(s)g(s)e G(s) ds + e G(t) ξ(t)g(t)e G(t) ) = h(t) + g(t) (ξ(t) + e G(t) ξ(s)g(s)e G(s) ds = g(t)ψ(t) + h(t). Zuwżmy, że ψ(t) e G(t) ξ(t). Ztem nierówność ( ) jest nieco silniejsz od nierówności ( ) (tzn. ( )). 3. Terz omówimy postć cłkową tej nierówności. Niech p L loc (J, R), q L 1 loc (J, R), q orz niech α : J R będzie bsolutnie ciągł. Jeśli, dl dowolnego t J, to, dl dowolnego t J, p(t) α(t) + p(s)q(s) ds, ( ) p(t) α(t) exp q(s) ds.

15 Równni różniczkowe w przestrzenich Bnch 15 Istotnie, niech f(t) = α(t) + p(s)q(s) ds, t J. wtedy f jest bsolutnie ciągł, p(t) f(t) n J orz dl p.w. t J, f (t) = α (t) + p(t)q(t) α (t) + f(t)q(t). Tk więc, n mocy nierówności ( ), ( ) [ p(t) f(t) exp q(s) ds α() + ] ( ) α (s) ds = α(t) exp q(s) ds. Nieco mocniejszą postć tej nierówności możn uzyskć stosując nierówność ( ) Elementy nlizy wypukłej Niech E będzie przestrzenią loklnie wypukłą, E przestrzenią (topologicznie) sprzężoną. Jeśli K E, to definiujemy tzw. funkcję podpierjącą σ K : E R { } wzorem σ K (p) = sup p, x, p E. x K Z twierdzeni o oddzielniu wynik, że orz σ cl conv K = σ K cl conv K = {x E p E p, x σ K (p)}. W konsekwencji jeśli K jest wypukły domknięty i x K, to istnieje p E, że σ K (p ) < p, x. 1. Powiemy, że funkcj f : E R {+ } jest wypukł jeśli, dl dowolnych x, y E, t (, 1), f((1 t)x + ty) (1 t)f(x) + tf(y). Dziedziną efektywną funkcji f nzwiemy zbiór Dom(f) := {x E f(x) < } 2. Funkcj f jest dolnie półciągł, gdy dl dowolnego λ R, zbiór {x E f(x) λ} jest domknięty. 3. Ndwykresem funkcji f nzywmy zbiór Epi (f) := {(x, λ) E R f(x) λ}. 4. Indyktrysą zbioru M E nzywmy funkcją ι M : E R { } zdefiniowną wzorem { gdy x M ι M (x) = + gdy x M. Przykłd: Łtwo zuwżyć, że ι M jest funkcją wypukłą (odp. dolnie półciągłą) wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór M jest wypukły (odp. domknięty).

16 16 W. Kryszewski Jeśli K E, to σ K : E R { } jest wypukł, dodtnio jednorodn i dolnie półciągł Twierdzenie: Niech będą dne funkcje f, g : E R { }. Wtedy: (i) Jeśli f jest wypukł, to Dom(f) jest zbiorem wypukłym; (ii) f jest funkcj wypukłą (odp. dolnie półciągłą) wtedy i tylko wtedy, gdy Epi (f) jest zbiorem wypukłym (odp. domkniętym); (iii) jeśli f(x) < orz f jest funkcj ciągłą w x, to int Epi (f) ; (iv) jeśli f, g są funkcjmi wypukłymi, to wypukłe są również funkcje f + g orz sup{f, g}; (v) Jeśli f, g są półciągłe z dołu, to również funkcje f + g, sup{f, g} orz inf{f, g} są półciągłe z dołu; iloczyn fg jest dolnie półciągły, gdy f, g orz iloczyn fg m sens; (vi) Jeżeli f jest funkcją wypukłą i dolnie półciągłą, Dom(f) orz (x, ) Epi (f), to istnieją tki funkcjonł p E orz liczb ε R, że dl dowolnego y Dom(f). p, x > ε > p, y f(y) Komentrz wymg tylko (vi). Ndwykres Epi (f) jest zbiorem domkniętym i wypukłym i (x, ) Epi (f). Ztem z twierdzeni o oddzielniu istnieje funkcjonł (q, ) (E R) = E R tki, że q, x + > β > q, y + f(y) dl dowolnego y Dom(f). Możn pokzć, że <. Kłdąc p := ( ) 1 q orz ε := ( ) 1 β otrzymmy tezę Twierdzenie: Niech f : E R { } będzie funkcją wypukłą. Wtedy: (i) f(x) < i f jest ciągł w x wtedy i tylko wtedy, gdy jest loklnie ogrniczon w punkcie x (tzn. istnieje otoczenie U punktux tkie, że sup z U f(z) < ) (wobec tego x int Dom(f)); wówczs też f spełni wrunek Lipschitz w otoczeniu x. (ii) Jeśli f jest skończon n pewnym zbiorze otwrtym M E i ciągł w pewnym punkcie x M, to jest ciągł n cłym zbiorze M; ztem f jest loklnie Lipschitzowsk we (niepustym) wnętrzu Dom(f) wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągł w pewnym punkcie x Dom(f). (iii) Jeśli f : R n M R jest wypukł, M zbiór wypukły i otwrty, to f jest ciągł n M. (iv) Jeśli f : E M R jest wypukł i dolnie półciągł, M jest zbiorem wypukłym i domkniętym, zś E jest przestrzeni Bnch, to f jest ciągł n wnętrzu int M Twierdzenie: Niech σ : E R { } będzie funkcj wypukłą, dodtnio jednorodną ( 6 ) i dolnie półciągłą. Niech K := {x E p E p, x σ(p)}. 6 Dl funkcji dodtnio jednorodnych wypukłość jest równowżn subddytywności.

17 Równni różniczkowe w przestrzenich Bnch 17 Wtedy zbiór K jest wypukły, domknięty i σ K = σ Definicj: Niech f : E R {± }. Funkcjonł p E jest subgrdientem f w punkcie x E (f(x) ± ) jeśli f(y) f(x) + p, y x dl dowolnego y E. Zbiór wszystkich subgrdientów nzywmy subróżniczką f w punkcie x i oznczmy symbolem f(x) Przykłd: Jeśli f : E R posid pochodną f (x) w sensie Gteux, to f(x) = {f (x)}. Istotnie, niech y E i ϕ(t) := f(x+t(y x)). Wtedy ϕ () istnieje i, z twierdzeni o wrtości średniej, ϕ(1) ϕ() ϕ (). Ztem f(y) f(x) f (x), y x, czyli f (x) f(x). N odwrót, niech p f(x). Wtedy f(y) f(x) p, y x dl dowolnego y E. Dl y t := x + th, gdzie h E orz t, f (x) p, h. Z dowolności h wnioskujemy, że p = f (x) Twierdzenie: Złóżmy, że f : E R { } jest funkcją wypukłą. Wtedy, dl dowolnego x E, zbiór f(x) jest wypukły i słbo -domknięty (być może pusty). Jeśli x Dom(f) i f jest ciągł w x, to subróżniczk f(x) jest zbiorem niepustym i słbo -zwrtym Twierdzenie: Jeśli f : E R { } jest funkcją wypukłą, Dom(f), x Dom(f). Wtedy, dl dowolnego u E istnieją (w R {± }) grnice orz, dl dowolnego h >, Pondto f(x hu) f(x) h D ± f(x)(u) := lim h ± f(x + hu) f(x) h D f(x)(u) D + f(x)(u) f(x + hu) f(x). h f(x) = {p E u E D f(x)(u) p, u D + f(x)(u)} = {p E u E p, u D + f(x)(u)}. Jeśli f jest ciągł w x, to D + f(x)( ) jest dodtnio jednorodn, subddytywn (ztem tez wypukł) orz ciągł, w konsekwencji, dl dowolnego u E, σ f(x) (u) := sup p, u = D + f(x)(u), p f(x) inf p, u = p f(x) D+ f(x)(y).

18 18 W. Kryszewski Definicj: Mówimy, że odwzorownie T : E E (o być może pustych wrtościch) jest monotoniczne jeśli dl dowolnych x, y E orz p T (x), q T (y), p q, x y. Mówimy, że T jest odwzorowniem cyklicznie monotonicznym jeżeli p 1, x 1 x 2 + p 2, x 2 x p n, x n x n+1 dl dowolnych x 1, x 2,..., x n E (x n+1 = x 1 ) orz p i T (x i ), i = 1,..., n. Powidmy, że T jest odwzorowniem mksymlnie monotonicznym jeśli nie istnieje odwzorownie monotoniczne T 1 tkie, że Gr (T ) Gr (T 1 ) Twierdzenie: Jeżeli f : E R { } jest funkcj wypukłą i dolnie półciągłą, Dom(f), to subróżniczk f : E E jest odwzorowniem mksymlnie monotonicznym i mksymlnie cyklicznie monotonicznym. Więcej kżde odwzorownie cyklicznie monotoniczne jest subróżniczką pewnej wypukłej i dolnie półciągłej funkcji Wrunki typu dyssyptywności Niech E będzie przestrzeni Bnch nd R, I = [, T ], f : I E E i rozwżmy problem początkowy x = f(t, x), x() = x E. ( ) Jeżeli E = R, to jednostronne ogrniczeni postci (f(t, x) f(t, y))(x y) L(x y) 2, ( ) gdzie L R, dją lepsze informcje o zchowniu się rozwiązń problemu ( ), niż silniejsze wrunki typu Lipschitz: N przykłd, gdy f(t, x) := x dl t I i x R, to f(t, x) f(t, y) L x y. ( ) (f(t, x) f(t, y))(x y) = (x y) 2, tzn. L = 1 orz f(t, x) f(t, y) = x y. Jeśli x : I R orz y : I R są rozwiąznimi (x() = x, y() = y ), to (wykorzystując jedynie oszcowni), mmy x(t) y(t) x y + Ztem, z nierówności Gronwll, f(s, x(s)) f(s, y(s)) ds x y + x(t) y(t) x y e t x(s) y(s) ds.

19 Równni różniczkowe w przestrzenich Bnch 19 w przypdku oszcowni ( ). Tymczsem w przypdku oszcowni ( ) otrzymmy 2 (x(t) y(t)) 2 = (x y ) 2 + (x (s) y (s))(x(s) y(s)) ds (x y ) 2 2 Ztem, znowu n mocy nierówności Gronwll, co dje, że d ds (x(s) y(s))2 ds = (x y ) 2 + (x(t) y(t)) 2 (x y ) 2 e 2t x(t) y(t) x y e t. (x(s) y(s)) 2 ds. W przypdku, gdy E jest przestrzenią Hilbert z iloczynem sklrnym,, to wrunek ( ) możn zpisć nstępująco: f(t, x) f(t, y), x y L x y 2. Aby rozwżyć podobny wrunek w dowolnej przestrzeni Bnch E wprowdz się tm tzw. semi-sklrne iloczyny, ±, które z chwilę zdefiniujemy Definicj: Odwzorowniem dulności (znormlizownym) nzywmy odwzorownie J = J E : E E zdne wzorem J E (x) = {p E p, x = x 2 = p 2 }. Z twierdzeni Hhn-Bnch wynik, ze odwzorownie to jest poprwnie zdefiniowne: dl dowolnego x E, istnieje funkcjonł p E, p = 1, tki, że p, x = x. Ztem p := x p J E (x). Oczywiście J E () = {} Twierdzenie: Niech f : E R dne będzie wzorem f(x) = x 2 /2 dl x E. Wtedy, dl dowolnego x E, J E (x) = f(x). Ztem J E (x) jest zbiorem wypukłym i słbo -zwrtym; pondto J E jest odwzorowniem mksymlnie monotonicznym i mksymlnie cyklicznie monotonicznym. Dodtkowo: (i) dl dowolnego x E i λ R, J(λx) = λj(x); (ii) Jeśli E jest przestrzenią ściśle wypukłą ( 7 ), to dl dowolnego x E pochodn Gteux f (x) istnieje orz J(x) = {f (x)} jest singletonem. 7 Przestrzeń Bnch X jest ściśle wypukł jeżeli dl x, y X, x y orz x = y = 1, to (1 λ)x+λy < 1 dl λ (, 1). Widomo, że jeśli przestrzeń E jest ściśle wypukł (odp. głdk), to przestrzeń E jest głdk, tzn. : E \ {} R jest funkcją różniczkowlną w sensie Gteux (odp. ściśle wypukł).

20 2 W. Kryszewski (iii) Jeżeli E jest jednostjnie wypukł ( 8 ), to f jest f jest różniczkowln w sensie Fréchet i J(x) = {f (x)} dl kżdego x E; odwzorownie J : E E jest jednostjnie ciągłe n ogrniczonych zbiorch. (iv) Odwzorownie J jest górnie półciągłe (jko odwzorownie wielowrtościowe) z E do E ze słbą topologią. Dowód: Jest jsne, że pochodn Fréchet f () =. Ztem, J E () = {} = f(). Niech więc x i p f(x). Ztem 1 2 ( y 2 x 2 ) p, y x ( ) dl dowolnego y E. W tki rzie p, x p, y o ile y E i y = x. Stąd p u = sup p, y = p, x. y; y = x Niech terz y ± := (s ± r)w, gdzie s = x, r > orz w := s 1 x. N mocy wrunku ( ) mmy r p, w = p, y x 1 2 ( y 2 x 2 ) = 1 2 ((s r)2 s 2 ). Stąd Anlogicznie r p, w 1 2 (s2 (s r) 2 ). r p, w = p, y + x 1 2 ((s + r)2 s 2 ). Ztem sr r 2 = 1 2 (s2 (s r) 2 ) r p, w 1 2 ((s + r)2 s 2 ) = sr + r 2. Jeśli r +, to, w = s, tzn. p, x = x 2. Pokzliśmy więc, że f(x) J E (x). N odwrót, niech p J E (x). Wtedy dl dowolnego y E, czyli p f(x). p, y x p y u ( y 2 x 2 ) Wrunek (i) jest ntychmistową konsekwencją definicji. Jeśli przestrzeń E jest ściśle wypukł, to funkcj g : E \{} x x jest różniczkowln w sensie Gteux. Ztem pochodn Gteux f (x) = x g (x) tkże istnieje; pondto f () =. Tez 8 Przestrzeń Bnch X jest jednostjnie wypukł jeżeli, dl dowolnego ε (, 2] istnieje δ = δ(ε) > tkie, że dl x, y X, jeśli x = y = 1 orz x y ε, to (x + y)/2 1 δ. Widomo, że jeśli E jest jednostjnie wypukł, to jest ściśle wypukł i refleksywn. Poz tym E jest jednostjnie wypukł wtedy i tylko wtedy, gdy E jest jednostjnie głdk tzn. gdy norm jest różniczkowln w sensie Fréchet n E \ {} orz x + h x = x, h + h ε(h) gdzie ε(h) gdy h jednostjnie dl x = 1.

21 Równni różniczkowe w przestrzenich Bnch 21 wynik ztem z przykłdu Jeśli E jest przestrzenią jednostjnie wypukłą, to pierwsz część tezy wynik jk powyżej. W świetle jednorodności (ptrz (i)) wystrczy pokzć jednostjną ciągłość n sferze S := {x E x = 1}. Jest to jednk oczywiste w skutek jednostjnej głdkości. Pokżemy terz górną demiciągłość. Możn to zrobić wykorzystując nstępujący wrunek. Weźmy ciąg uogólniony x α x i niech p α J(x α ) (gdzie α przebieg pewien zbiór skierowny). Wtedy ciąg (p α ) jest ogrniczony, czyli n mocy twierdzeni Bnch-Aloglu, możn, bez zmniejszeni ogólności, złożyć, że p α p E w słbym sensie; wtedy dl dowolnego y E, f(y) f(x) = lim α A (f(y) f(x α ) lim α A p α, y x α = p, y x. Ztem p f(x) = J(x). Ćwiczenie: Spróbowć udowodnić (iv) bez wykorzystni tego, że J(x) = f(x) dl x E Definicj: Definiujemy funkcje, ± : E E R wzorem dlx, y E. x, y + := sup p, y, x, y := inf p, y p J(x) p J(x) Zbierzemy terz kilk istotnych włsności zdefiniownych iloczynów semi-sklrnych Twierdzenie: Mją miejsce nstępujące włsności: dl dowolnych x, y E: (1) funkcj x, ± : E R jest subddytywn, dodtnio jednorodn (nwet więcej αx, βy ± = αβ x, y ± o ile αβ ), spełni wrunek Lipschitz; (2) funkcj, y + (odp., y ) jest górnie (odp. dolnie) półciągł i jednorodn; (3) dl ω R, x, y + ωx ± = x, y ± + ω x 2 ; (4) jeśli E jest ściśle wypukł, to, + =, ; (5) jeśli E jest jednostjnie wypukł, to, ± jest jednostjnie ciągł n ogrniczonych podzbiorch E E; (6) x, y = mx{ p, y p J(x)}, x, y = min{ p, y p J(x)}; (7) x, y ± x y, x, y ± = x, y = x, y. Dowód: (7) jest oczywiste z definicji i jednorodności J. Włsności (4), (5) wynikją z twierdzeni (3) jest konsekwencj definicji i definicji odwzorowni J. Udowodnimy (1). Dl dowolnego p J(x), p, y 1 + y 2 = p, y 1 + p, y 2 x, y x, y 2 + orz x, y 1 +y 2 p, y 1 + p, y 2. Ztem x, y ± x, y 1 ± + x, y 2 ±. Niech αβ. Niech α. Wtedy β i αx, βy + = sup{ q, β q J(αx)} = sup{αβ p, y p J(x)} = αβ x, y +. Podobnie pokzujemy, że αx, βy = αβ x, y. Gdy α, to β orz αx, βy ± = αx, βy = αx, βy ± = αβ x, y ±.

22 22 W. Kryszewski Oczywiście, dl dowolnych x, y 1, y 2 E, x, y 1 ± x, y 2 ± x y 1 y 2. Wynik to z (7) orz subddytywności. Włsność (6) jest konsekwencją tego, że dl dowolnego y, funkcj E p p, y jest ciągł (o ile w E jest słb topologi) i słbej zwrtości zbioru J(x). Dl dowodu (2), zuwżmy, że jednorodność funkcji, y ± wynik z jednorodności odwzorowni J. Niech α R. Nleży pokzć, że zbiór U := {x E x, y + < α} jest otwrty. Niech V := {p E p, y < α}. Zbiór ten jest otwrty w słbej topologii w E. Zuwżmy, że n mocy (6) U = {x E J(x) V }. Odwzorownie J jest górnie demiciągłe; ztem zbiór U jest otwrty. Funkcj : E R jest oczywiście wypukł; bez trudu możn wykzć, że dl dowolnych x, y E, istnieją grnice [x, y] ± := D ± g(x)(y) := lim h ± x + hy x h gdzie g(x) = x. Oczywiście [x, y] [x, y] +. Podobnie jk w poprzednim twierdzeniu możn wykzć, że [x, y] + = [x, y], [x, y] ± y, [αx, βy] ± = β [x, y] ± o ile αβ, [x, αx] ± = α x dl kżdego α R, funkcj [x, ] + jest subddytywn i Lipschitzowsk, funkcj [x, ] jest supddytywn (ndddytywn), [x, y + ω] ± = [x, y] ± + ω x, [x, y 1 + y 2 ] + [x, y 1 ] + + [x, y 2 ] orz [x, y 1 + y 2 ] [x, y 1 ] + [x, y 2 ] +. Lemt: Dl dowolnych x, y E, zchodzi równość x, y ± = x [x, y] ±. Dowód: Określmy g(x) := x, x E. Podobnie jk poprzednio możn pokzć, że g(x) = G(x) := {p E p, x = x, p = 1}. Pondto, J(x) = x G(x). Wystrczy więc pokzć, że [x, y] + = sup{ p, y p G(x)} orz [x, y] = inf { p, y p G(x)}. Pierwsz równość wynik z fktu, że [x, y] + = D + g(x)(y) = Podobnie dowodzimy drugiej równości. sup p, y = sup p, y. p g(x) p G(x) Twierdzenie: Złożymy, że funkcj u : [, b] E jest prwo-(lewo-) stronnie różniczkowln w punkcie t [, b]. Wtedy również funkcj u( ) jest prwo- (lewo)stronnie różniczkowln i ] d [u(t), ± dt u(t) = d± dt u(t) ±

23 Równni różniczkowe w przestrzenich Bnch 23 i, w konsekwencji, u(t) u(t), d± dt u(t) = d± dt u(t). ± Dowód: Mmy gdzie ε(h) gdy h +. Ztem u(t + h) u(t) h u(t + h) = u(t) + hu +(t) + ε(h)h = u(t) + hu +(t) + ε(h)h u(t). h Grnic prwej strony przy h + istnieje i jest równ [u(t), u +(t)] +. Stąd wymgn równość. Istnienie lewostronnej pochodnej dowodzimy nlogicznie. W niektórych przypdkch odwzorownie dulności J możn wyznczyć efektywnie. Przykłd: (1) Niech 1 < p < i E = l p := {x = (x i ) x p := i=1 x i p < }. Oczywiście l p jest przestrzenią Bnch i (l p ) = l q gdzie p 1 + q 1 = 1. Przestrzeń l q jest ściśle wypukł, to J : l p l q orz, dl x l p, x, J(x) i = x 2 p x i p 1 sgn x i. Ztem x, y + = x, y = x 2 p i=1 sgn x i x i p 1 y i. (2) Niech E = L p (Ω, M, µ), gdzie 1 < p <. Wtedy J(x)(ω) = x 2 x(ω) sgn x(ω) dl x L p, x, orz x, y ± = x 2 p sgn x(ω) x(w) p 1 y(ω) dµ. Ω (3) Niech E = l 1. Wówczs (l 1 ) = l orz, dl x l 1, { } J(x) = p l p i x i = x 2, p := sup p i = x = x i. i i=1 Niech p J(x), x, i połóżmy β i := p i x 1 dl i = 1, 2,... Wtedy β i 1 dl wszystkich i orz x i β i sgn x i = x. Stąd dl kżdego i, β i sgn x i = 1 jeśli x i. Wobec tego i=1 J(x) = {p l p i = x sgn x i gdy x i ; p i dowolne i p i x gdy x i = }. i=1

24 24 W. Kryszewski Pondto x, y + = x y x ( y i y i sgn x i ); x, y = x y + x i supp x i supp x ( y i + y i sgn x i ) Fkty przygotowwcze Zczniemy od elementrnego twierdzeni o istnieniu Twierdzenie: Niech D R n będzie zbiorem otwrtym, I = [, b], <, b < +, f : I D R n funkcją Crthéodory ego. Złóżmy, że dl kżdego ogrniczonego zbioru B D istnieje c B L 1 (I, R) tk, że f(t, x) c B (t) dl p.w. t I orz x B. Wtedy dl dowolnego x D istnieje loklne mocne rozwiąznie problemu { x = f(t, x) x() = x. Dowód: Ustlmy x D i weźmy R > tkie, że D(x, R) D orz funkcję c L 1 (I, R) tką, że f(t, x) c(t) dl p.w. t I orz x D(x, R). Wreszcie weźmy T (, b] tk, by T c(t) dt R. Niech C := {u C(J, Rn ) u x R}. Zbiór C jest wypukły i domknięty. Jeżeli u C, to u(t) D(x, R) dl dowolnego t J. Zdefiniujmy opertor F : C C(J, R n ), gdzie J := [, T ], dny wzorem F (u)(t) = x + f(s, u(s)) ds, t J, dl u C(J, R n ). Opertor ten jest poprwnie określony: funkcj J s f(s, u(s)) jest mierzln i cłkowln, bo f(s, u(s)) c(s) dl p.w. s J i c L 1 (J, R). Pondto, dl dowolnego u C orz t J, F (u)(t) x f(s, u(s)) ds c(s) ds R. Ztem F : C C. Opertor F jest ciągły: jeśli u n u w C, to dl p.w. s J, f(s, u n (s)) f(s, u(s)); pondto f(s, u n (s)) f(s, u(s)) 2c(s) dl p.w. s J. Ztem F (u n ) F (u) = sup F (u n )(t) F (u)(t) t J f(s, u n (s)) f(s, u(s)) ds f(s, u n (s)) f(s, u(s)) ds. Pondto rodzin {F (u)} u C m ogrniczone orbity: dl kżdego u C, F (u)(t) x + f(s, u(s)) ds x + c(s) ds J J J

25 Równni różniczkowe w przestrzenich Bnch 25 i jest jednkowo ciągł ( nwet jednkowo jednostjnie ciągł): dl dowolnego u C i t, t J, F (u)(t) F (u)(t ) t c(s) ds. Ztem, n mocy twierdzeni Ascoli-Arzeli, opertor F jest zwrty. Z twierdzeni Schuder o punkcie stłym istnieje funkcj u C tk, że F (u) = u, tzn. dl dowolnego t J, u(t) = F (u)(t) = x + więc u (t) = f(t, u(t)) dl p.w. t J i u() = x. f(s, u(s)) ds Uwg: (1) Anlogicznie możn udowodnić nstępujące twierdzenie: Jeśli D E jest zbiorem otwrtym, I = (, b),, f : I D E jest funkcj Crthéodory ego i, dl kżdego ogrniczonego zbioru B D istnieje funkcj c B : I R tk, że f(t, x) c B (t) dl p.w. t I orz x B i tk, że dl dowolnego α (, b), c B jest cłkowln n odcinku (, α]. Wtedy dl dowolnego x D istnieje loklne mocne rozwiąznie problemu { x = f(t, x) lim t + x(t) = x. Dowód jest nlogiczny: nleży prcowć w przestrzeni Bnch BC(J, R n ), gdzie J := (, T ], funkcji ciągłych i ogrniczonych n J z topologią zbieżności jednostjnej. (2) Przypomnijmy definicję jednkowej ciągłości. Niech X, Y będą przestrzenimi metrycznymi. Mówimy, że rodzin F funkcji X Y jest jednkowo ciągł gdy, dl dowolnego x X i ε >, istnieje δ > tk, że jeśli d(x, y) < δ i f F, to d(f(x), f(y)) < ε. Rodzin F jest jednkowo jednostjnie ciągł, gdy dl kżdego ε >, istnieje δ > tk, że dl x, y X, jeśli d(x, y) < δ i f F, to d(f(x), f(y)) < ε. Jest jsne, że jednkowo ciągł rodzin funkcji n przestrzeni metrycznej zwrtej jest jednkowo jednostjnie ciągł (uogólnienie twierdzeni Cntor). Wrto wspomnieć o nstępującym fkcie: jeśli ciąg funkcyjny (f n : X Y ) n=1 jest jednkowo ciągły i zbieżny punktowo, to jest on zbieżny nieml jednostjnie (jednostjnie n kżdym zwrtym podzbiorze przestrzeni X). W dowodzie twierdzenie użyliśmy twierdzeni Ascoli-Arzeli: Rodzin F C(X, Y ) jest względnie zwrt w topologii zbieżności nieml jednostjnej wtedy i tylko wtedy, gdy: F jest rodziną jednkowo ciągłą i, dl dowolnego x, orbit F(x) := {f(x) f F} jest zbiorem względnie zwrtym; lub wszystkie orbity s względnie zwrte orz, dl dowolnego zwrtego Z X, obcięcie F Z jest rodziną jednkowo ciągłą n Z. W dowodzie fktu z (1) w tym miejscu nleży skorzystć z nstępującej wersji twierdzeni Ascoli: jeśli przestrzeń X jest cłkowicie ogrniczon ( 9 ), rodzin F C(X, Y ) jest jednkowo jednostjnie ciągł o względnie zwrtych orbitch, to jest on względnie zwrt w topologii zbieżności jednostjnej. 9 Tzn. dl dowolnego ε > X posid skończoną ε-sieć.

26 26 W. Kryszewski Przypdek, gdy przestrzeń X nie jest cłkowicie ogrniczon jest brdziej skomplikowny. Przypuśćmy, że Y jest przestrzenią zupełną, F C(X, Y ) jest rodziną jednkowo ciągłą i stbilną w nieskończoności, tzn. dl dowolnego ε >, istnieje zbiór zwrty Z X orz δ > tkie, że dl dowolnych funkcji f, g F, jeśli sup x Z d(f(x), g(s)) < δ, to sup x X\Z d(f(x), g(x)) < ε. Jeśli orbity F są względnie zwrte, to rodzin F jest względnie zwrt w C(X, Y ) z topologią zbieżności jednostjnej. Dl dowodu wystrczy zuwżyć, że rodzin F jest względnie zwrt w topologii zbieżności nieml jednostjnej. Ztem dowolny ciąg (f n ) o wyrzch z F (ewentulnie przechodząc do podciągu) jest nieml jednostjnie zbieżny. Ciąg ten jest również zbieżny jednostjnie do pewnej funkcji f. Dl dowolnego ε > znjdziemy zwrty zbiór Z X i δ < jk w wrunku stbilności. Istnieje N N tkie, że dl n, m N, sup x Z d(f n (x), f m (x)) < min{ε, δ}. Z wrunku stbilności wynik, że dl tkich n, m, sup x X d(f n (x), f m (x)) < ε. A więc ciąg (f n ) spełni wrunek Cuchy ego (w topologii zbieżności jednostjnej). Z zupełności przestrzeni C(X, Y ) (z topologią zbieżności jednostjnej) wynik, że f n f jednostjnie. Ztem tkże f n f nieml jednostjnie. W tki rzie f = f. Będziemy tez potrzebowć twierdzeń o zbieżności rozwiązń przybliżonych i kryteriów słbej zwrtości w przestrzeni funkcji cłkowlnych Twierdzenie: (o zbieżności) Niech E, F będą przestrzenimi Bnch, (T, A, µ) przestrzenią z mirą f : T E F funkcją tk, że dl p.w. t T, funkcj f(t, ) : E F jest słbo górnie półciągł (tzn. dl kżdego p F, funkcj E x p, f(t, x) R jest górnie półciągł). Przypuśćmy, że dne jest ciąg funkcyjne (u n : T E) tki, że u n (t) u(t) p.w. orz ciąg (w n ) w L p (T, F ), 1 p < tki, że w n w słbo w L p (T, F ). Jeśli, dl p.w. t T i dl dowolnego ε >, istnieje N N tkie, że w n (t) cl conv B(f(t, B(u n (t), ε)), ε) dl n N, to w(t) = f(t, u(t)) dl p.w. t T. Dowód: Przypomnijmy, że dl zbioru wypukłego w przestrzeni Bnch domknięcie i słbe domknięcie pokrywją się. Dl dowolnego n N, funkcj w nleży do słbego domknięci zbioru conv {w m } m n ; ztem w nleży też do domknięci tego zbioru. Stąd, dl kżdego n, istnieje funkcj z n conv {w m } m n tk, że Oczywiście z n w L p < 1 n. z n = m n m n w m gdzie m n = dl p.w. m n orz m n m n = 1. Innymi słowy z n w w L p. Ewentulnie przechodząc do podciągu, z n (t) w(t) dl p.w. t T. Ustlmy zbiór mierzlny T T tki, że µ(t \ T ) =, u n (t) u(t), z n (t) w(t) orz f(t, ) jest słbo górnie półciągłe dl t T.

27 Równni różniczkowe w przestrzenich Bnch 27 Niech t T będzie ustlone. Weźmy dowolne ε > i p F. Z złożeni o ciągłości f(t, ) wynik, że istnieje η (, p 1 ε/3) tk, że p, f(t, x) < p, f(t, u(t)) + ε/3 o ile x E i x u(t) < η. Ewentulnie zmniejszjąc jeszcze zbiór T, istnieje N N tkie, że dl n N, w n (t) cl conv B(f(t, B(u n (t)), η/2), η/2). Niech n N i weźmy y n conv B(f(t, B(u n (t), ε)), ε) tkie, by Oczywiście w n (t) y n < η. y n = k n i=1 λ n i v n i, gdzie k n i=1 λn i = 1 orz v n i B(f(t, B(u n (t), ε)), ε) dl i = 1,..., k n. W tkim rzie, dl kżdego i = 1,..., k n, znjdziemy x n i B(u n (t), η/2) orz t n i = f(t, x n i ) tkie, że v n i t n i < η/2. Istnieje N 1 N tkie, że dl n N 1. Wtedy u n (t) u(t) < η/2 u(t) x n i < η dl n N 1 orz i = 1,..., k n.ztem, dl n N 1, p, w n (t) = p, w n (t) y n + p, y n p w n (t) y n + k n i=1 λ n i p, v n i. Z kolei, dl wszystkich i = 1,..., k n, p, vi n = p, vi n t n i + p, t n i p vi n t n i + p, f(t, x n i ) < p η+ p, f(t, u(t)) +ε/3. Biorąc to wszystko pod uwgę, dl n N 1, p, w n (t) < p, f(t, u(t)) + ε. Niech n N 1. Mnożąc powyższą nierówność przez m n dl m n i dodjąc stronmi otrzymmy p, z n (t) < p, f(t, u(t)) + ε. Przechodząc do grnicy z n, dostjemy: p, w(t) p, f(t, u(t)) + ε. Z dowolności ε, dl dowolnego p F, p, w(t) p, f(t, u(t)).

28 28 W. Kryszewski Dowodzi to, że w(t) = f(t, u(t)) Uwg: Twierdzenie to będziemy często wykorzystywć w różnych okolicznościch. N przykłd (przy wszystkich powyższych złożenich poz osttnim) przypuśćmy, że w n (t) f(t, u n (t)) dl p.w. t T. Wtedy to ostnie złożenie też jest spełnione. Obecnie i w przyszłości przyddzą się nm również kryteri słbej zwrtości w przestrzeni L 1 (T, E) gdzie T jest tkie jk wyżej Twierdzenie: (Diestel) Niech E będzie przestrzeni Bnch, (T, A, µ) przestrzeń z mirą skończoną i niech W L 1 (T, E) będzie zbiorem jednostjnie cłkowlnym, tzn. dl dowolnego ε >, istnieje δ > tk, że jeśli A A i µ(a) < δ, to w(t) dt < ε dl kżdej funkcji w W A (1 ). Złóżmy dlej, że: (1) Dl kżdego ε > istnieje zbiór T ε A tki, że µ(t \ T ε ) < ε orz słbo zwrty zbiór Q ε E tki, że w(t) Q ε dl wszystkich t T ε i w W; lub (2) Dl p.w. t T, istnieje słbo zwrty zbiór C(t) E tki, że w(t) C(t) dl dowolnej funkcji w W. Wówczs zbiór W jest względnie słbo zwrty Uwg: Widomo, jeśli zbiór Z E, gdzie E jest przestrzenią Bnch, jest względnie słbo zwrty, to dowolny ciąg (x n ) o wyrzch w Z posid słbo zbieżny podciąg. Podmy dowód twierdzeni Diestel przy złożeniu, że E jest przestrzeni refleksywną zbiór W jest cłkowo ogrniczony (skończoność miry µ ni żdne inne dodtkowe złożeni nie są wtedy potrzebne). Wtedy minowicie, dl p.w. t T i kżdej funkcji w W, w(t) c(t). Wówczs, dl p.w. t T i dowolnego w W, w(t) C(t) := {x E x c(t)}. Poniewż E, jest przestrzenią refleksywną, to z twierdzeni Eberlein-Schmulyn, zbiór C(t) jest słbo zwrty dl p.w. t T (dl tych t T, dl których c(t) < ). Widzimy więc, że z cłkowej ogrniczoności zbioru W i refleksywności wynik złożenie (2). Przejdźmy jednk do dowodu. Oczywiście możn złożyć, że c > n T. Rozwżmy przeksztłcenie ϕ : L (T, E) L 1 (T, E) zdne wzorem T (u) = c u dl u L (T, E). Przestrzeń sprzężon [L 1 (T, E )], n mocy twierdzeni Dunford, jest równ L (T, E ) = L (T, E) bo przestrzeń E jest refleksywn. Ztem L (T, E) jest przestrzenią sprzężoną. Niech D ozncz jednostkową kulę domkniętą w L (T, E); jest on słbo zwrt n mocy twierdzeni Aloglu-Bnch. Odwzorownie ϕ jest ciągłe o ile w L (T, E) rozwżyć słbą topologię w L 1 (T, E) słbą topologię : istotnie dl dowolnego w L (T, E ) = [L 1 (T, E)] orz u L 1 (T, E), w, ϕ(u) = cw, u orz cw L 1 (T, E ). Ztem ϕ(d) jest zbiorem słbo zwrtym. Zuwżmy terz, że W ϕ(d): jeśli w W, to w = c c 1 w = ϕ(c 1 w) i c 1 w L 1. 1 Zuwżmy, że zbiory jednostjnie cłkowlne są ogrniczone. Jeśli zbiór W jest cłkowo ogrniczony, tzn. istnieje funkcj c L 1 (T, R) tk, że, dl dowolnego w W, w(t) c(t) dl p.w. t T, to zbiór W jest jednostjnie cłkowlny.

29 Równni różniczkowe w przestrzenich Bnch 29 Możemy obecnie omówić pojęcie rozwiązni mksymlnego i minimlnego dl równń różniczkowych sklrnych i twierdzeni o porównywniu (pewne uogólnieni nierówności Gronwll). Niech f : I D R, gdzie D R, I = [, T ]. Rozwiązniem mksymlnym (odp. minimlnym) równni x = f(t, x), x() = x D nzywmy mocne rozwiąznie wysycone x (odp. x (tzn. zdefiniowne n mksymlnym przedzile nieprzedłużlne) tkie, że kżde inne rozwiąznie (klsyczne lub mocne) x jest innym rozwiązniem spełni wrunek n części wspólnej przedziłów istnieni. x(t) x(t) (odp. x(t) x(t)) Twierdzenie: Jeśli f : I D R, gdzie D jest zbiorem otwrtym w R, jest funkcją Crthéodory ego cłkowo ogrniczoną n ogrniczonych podzbiorch zbioru I D, to dl dowolnego x D istnieje mksymlne (odp. minimlne) rozwiąznie. Dowód: Podobnie jk w dowodzie twierdzeni niech x D. Weźmy R > tkie, że D(x, R) D i rozwżmy funkcję c L 1 (I, R) tką, że f(t, x) c(t) dl p.w. t I orz x D(x, R). Wybiermy terz b (, T ] tk, by b c(t) dt R. Niech S będzie zbiorem wszystkich rozwiązń równni x = f(t, x), x() = x określonych n odcinku [, b]. Z twierdzeni wynik, że S. Zbiór S jest częściowo uporządkowny przez relcją: dl x, y S: x y t [, b] x(t) y(t). Wykorzystmy lemt Kurtowskiego-Zorn. Niech Λ będzie łńcuchem w S. Rodzin Λ (dziedzicząc porządek) jest zbiorem skierownym; tym smym Λ jest niemlejącym ciągiem uogólnionym punktowo ogrniczonym, więc również zbieżnym punktowo. Pondto rodzin t jest jednkowo ciągł. A ztem jest jednostjnie zbieżn do pewnej funkcji ciągłej x : [, b] R. Rodzin pochodnych {x λ } λ Λ jest cłkowo ogrniczon. Posid więc zbieżny (słbo w L 1 ) podciąg do pewnej funkcji y L 1 (I, R)). Zwykł rgumentcj prowdzi więc do tego, że x jest funkcją bsolutnie ciągłą i x = y p.w. Wobec tego x jest rozwiązniem (mocnym) wyjściowego równni. Ztem x S i jest ogrniczeniem górnym dl łńcuch Λ. Z lemtu Kurtowskiego-Zorn w S istnieje element mksymlny (w sensie relcji ) x S. Dowiedziemy, że x jest rozwiązniem mksymlnym. Niech y : [, b] będzie rozwiązniem. Jeśli istnieje punkt t [, b] tki, że y(t) > x (t), to funkcj u(t) = mx{x, y} jest również rozwiązniem spełnijącym wrunek u x i u x. Jest to sprzeczne z mksymlnością x. Stosując zwykłe rozumownie możn przedłużyć rozwiąznie x do rozwiązni mksymlnego (orz wysyconego) w sensie przytoczonej powyżej definicji.