Równania różniczkowe w przestrzeniach Banacha
|
|
- Julian Grzybowski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Równni różniczkowe w przestrzenich Bnch 1 Równni różniczkowe w przestrzenich Bnch Wojciech Kryszewski 1. Preliminri Złóżmy, że E jest przestrzenią Bnch (nd R lub C), I jest przedziłem ( 1 ) niezdegenerownym (tzn. o niepustym wnętrzu), D E, t I, x D i f : I D E. Będziemy rozwżć nstępujące zgdnienie początkowe dl równni różniczkowego { x = f(t, x) x(t ) = x. Celem jest znleźć przedził niezdegenerowny J I tki, że t J orz funkcję x : J E tką, że x(t) D dl t J, x(t ) = x orz x (t) = f(t, x(t)) dl t J. Gdy J = I, to mówimy o rozwiązniu globlnym; gdy J I, to mówimy o rozwiązniu loklnym. Pondto kżdorzowo (chyb, że będzie to oczywiste) będziemy orzekć w jkim sensie nleży rozumieć pojęcie pochodnej występujące powyżej. Będziemy mówić minowicie o (loklnym lub globlnym) rozwiązniu x : J E: klsycznym lub słbym klsycznym jeśli x jest funkcją różniczkowlną (odp. słbo różniczkowln) w sensie Fréchet i, dl wszystkich t J, x (t) = f(t, x(t)) (oczywiście jeśli t jest lewym (lub prwym) krńcem przedziłu J, to x (t) ozncz prwo- lub lewostronną (słbą) pochodną funkcji x w punkcie t); mocnym lub rozwiązniu Crthéodory ego jeśli istnieje funkcj y L 1 loc (J, E) (loklnie cłkowln w sensie Bochner) tk, że dl t J, x(t) = x + t y(s) ds orz y(t) = f(t, x(t)) dl p.w. t J; słbym lub dystrybucyjnym jeśli x jest funkcją loklnie cłkowlną orz funkcj f(, x( )) jest pochodną słbą lub dystrybucyjną funkcji x. Przypomnijmy, że u E jest pochodną w sensie Fréchet funkcji x : J E w punkcie t J jeżeli x(t + h) x(t) u = lim. h h Pochodną w punkcie t oznczmy x (t). Jsne, że jeśli istnieje mocn pochodn x (t), to funkcj x jest ciągł w t. 1 Tzn. dl dowolnych t 1, t 2 I jeśli t 1 t 2, to [t 1, t 2 ] I.
2 2 W. Kryszewski Wektor u E jest słbą pochodn w sensie Fréchet funkcji x w punkcie t jeżeli, dl dowolnego p E, p, u = lim p, x(t + h) x(t) =. h h 1 Słbą pochodną oznczmy również symbolem x (t). Zuwżmy, że jeśli istnieje słb pochodn x (t), to dl dowolnego p E, funkcj rzeczywist p, x( ) jest różniczkowln w punkcie t. Twierdzenie odwrotne jest też prwdziwe o ile przestrzeń E jest słbo zupełn (tzn. kżdy ciąg słbo fundmentlny ( 2 ) jest słbo zbieżny). Dodtkowo wtedy d dt p, x( ) t = p, x (t). Z fktu tego wynik w szczególności, że jeśli istnieje słb pochodn, to funkcj x jest demiciągł w punkcie t, tzn. ciągł w punkcie t jko funkcj J E w gdzie E w ozncz przestrzeń E z słbą topologią. Jest jsne, że jeśli w punkcie t J istnieje mocn pochodn x (t), to jest on również słbą pochodną. Wynik stąd w szczególności, że kżde klsyczne rozwiąznie jest również słbym rozwiązniem klsycznym. Przypuśćmy, że w dowolnym punkcie istnieje słb pochodn x (t) i funkcj J t x (t) jest loklnie cłkowln w sensie Bochner. Wtedy, dl kżdego t J, x(t) = x(t ) + t x (s) ds. Istotnie, z twierdzeni Bochner wynik, że dl dowolnego p E, funkcj p, x ( ) jest loklnie cłkowln w sensie Lebesgue orz dl kżdego t J, p, x (s) ds = p, x (s) ds; t t funkcj podcłkow po prwej stronie jest pochodną funkcji p, x( ). Ztem, z podstwowego twierdzeni rchunku cłkowego t p, x (s) ds = p, x(t) x(t ). W konsekwencji, dl kżdego p E, p, x (s) ds = p, x(t) x(t ). t Z dowolności p wynik, że x(t) = x(t ) + t x (s) ds. 2 Powiemy, że ciąg (x n ) jest słbo fundmentlny jeśli, dl dowolnego p E, ciąg liczbowy p, x n jest ciągiem Cuchy ego.
3 Równni różniczkowe w przestrzenich Bnch 3 Z podnych rozwżń widzimy, że rozwiąznie słbe klsyczne jest rozwiązniem mocnym o ile x jest funkcją cłkowlną. Dodtkowo zuwżmy, że jeśli słb pochodn x istnieje n J i jest loklnie cłkowln, to funkcj x(t) = x(t ) + x (s) ds t jest bsolutnie ciągł i różniczkowln p.w., tzn. dl p.w. t J istnieje pochodn x (t). Ozncz to więc, że lokln cłkowlność słbej pochodnej (w sensie Fréchet) implikuje ciągłość funkcji i istnienie p.w. pochodnej (i oczywiście równość obu pochodnych). Jk już wspomnino, jeżeli istnieje funkcj y L 1 loc (J, E) tk, że x(t) = + t t y(s) ds dl t J, to funkcj x jest bsolutnie ciągł (tk więc ciągł) i p.w. różniczkowln orz, dl p.w. t J, x (t) = y(t). W tkim rzie jeśli x jest mocnym rozwiązniem, to dl p.w. t J, pochodn istnieje orz x (t) = f(t, x(t)). Powiemy, że funkcj y L 1 loc (J, E) jest pochodną dystrybucyjną funkcji loklnie cłkowlnej x jeśli, dl dowolnej funkcji próbnej, tzn. ϕ C (J, R) (tj. funkcji nieskończenie wiele rzy różniczkowlnej o zwrtym nośniku i tkiej, że jeśli α J jest krńcem (lewym lub prwym) przedziłu J, to ϕ(α) = ) zchodzi ϕ (t)x(t) dt = ϕ(t)y(t) dt. J Wobec tego funkcj loklnie cłkowln x jest rozwiązniem słbym (lub dystrybucyjnym) jeśli funkcj f(, x( )) jest loklnie cłkowln orz ϕ (t)x(t) dt = ϕ(t)f(t, x(t)) dt dl kżdej funkcji ϕ C (J, R). J Złóżmy terz, że x jest rozwiązniem mocnym. Wtedy istnieje y L 1 loc (J, E) tk, że x(t) = x + t y(s) ds orz y(t) = f(t, x(t)) dl p.w. t J. Zuwżmy też, że wówczs dl kżdych, t J, mmy x(t) = x() + y(s) ds. Istotnie x(t) x() = t y(s) ds J J t y(s) ds = y(s) ds. Ztem wtedy x jest (bsolutnie) ciągł (w szczególności loklnie cłkowln) orz funkcj f(, x( )) jest loklnie cłkowln n J; pondto x jest rozwiązniem dystrybucyjnym. Istotnie, wystrczy pokzć, że y jest pochodną dystrybucyjną funkcji x. Niech ϕ C (J, R) i wybierzmy, b J tk, by < b i supp ϕ [, b]. Wówczs b b ϕ (t)x(t) dt = ϕ (t)x() dt + ϕ (t)y(s) ds dt = J b b b ϕ (t)y(s) dt ds = ϕ(s)y(s) ds = ϕ(s)y(s) ds. s J
4 4 W. Kryszewski Wniosek: Z przeprowdzonego rozumowni wynik, że njsilniejsze pojęcie stnowi pojęcie rozwiązni klsycznego: jest ono słbym rozwiązniem klsycznym; słbe rozwiąznie klsyczne o loklnie cłkowlnej słbej pochodnej Fréchet jest rozwiązniem mocnym, zś kżde mocne rozwiąznie jest rozwiązniem dystrybucyjnym. Zuwżmy jeszcze, że w przypdku, gdy E jest przestrzenią refleksywną, to lokln cłkowlność pochodnej x jest równowżn bsolutnej ciągłości funkcji x (to jest treść twierdzeni Komury, będącego odpowiednikiem twierdzeni Lebesgue ). W dowolnych przestrzenich może tk nie być. W kżdym rzie (lokln) cłkowlność słbej pochodnej Frréchet lub pochodnej Fréchet m związek z bsolutną ciągłością funkcji. Oczywiście funkcje słbo ciągłe ( w zsdzie powinniśmy powiedzieć demiciągłe) są słbo mierzlne i, jk nietrudno zobczyć, są ośrodkowo-wrtościowe; ztem z twierdzeni Pettis, są one silnie mierzlne. W konsekwencji słb pochodn Frećhet (o ile istnieje) jko grnic punktow funkcji silnie mierzlnych jest silnie mierzln. Tk więc, jeżeli x jest słbym rozwiązniem klsycznym, to funkcj f(, x( )) musi być przynjmniej silnie mierzln. Wrunkiem, który gwrntuje silną mierzlność funkcji f(, x( )) (bez względu n to czy x jest rozwiązniem) jest tzw. wrunek Crthéodory ego. Rozwżmy funkcję f : I D E gdzie D E. Mówimy, że f spełni wrunek Crthéodory ego gdy: jest silnie mierzln ze względu n pierwszą zmienną, tzn. dl dowolnego u D, funkcj I t f(t, u) jest silnie mierzln; jest ciągł ze względu n drug zmienną, tzn. dl p.w. t R, funkcj D u f(t, u) jest ciągł Twierdzenie: Jeśli x : J E, gdzie J I jest przedziłem, jest silnie mierzln orz, dl dowolnego t J, x(t) D orz f spełni wrunek Crtheéodory ego, to funkcj J t f(t, x(t)) jest silnie mierzln. Dowód: Niech x będzie funkcją silnie mierzlną; ztem istnieje ciąg funkcji prostych x n zbieżny p.w. do x. Dl kżdego n 1, x n = m n i=1 χ A nxn i i gdzie u n i E, zbiory A i są mierzlne, A i A j = dl i, j = 1,..., m n orz m n i=1 An i = J. Ztem funkcj f(, x n i ) jest silnie mierzln n zbiorze A n i dl wszystkich n orz i = 1,..., m n. Stąd funkcj f(, x n ( )) jest silnie mierzln. Dl p.w. t J, mmy z złożeni f(t, u(t)) = lim n f(t, x n (t)). Ztem funkcj f(, x( )) jest grnic p.w. zbieżnego ciągu funkcji silnie mierzlnych; jest więc silnie mierzln. Zbdmy terz kiedy powyżej określon funkcj jest (loklnie) cłkowln przy złożeniu, że (loklnie) cłkowln jest funkcj x.
5 Równni różniczkowe w przestrzenich Bnch Twierdzenie: Niech f : Ω E będzie funkcją Crthéodory ego. Dl dowolnej funkcji (loklnie) cłkowlnej x : J E (gdzie J jest przedziłem) tkiej, że x(t) D dl t J, funkcj f(, x( )) jest (loklnie) cłkowln n J wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją funkcj (loklnie) cłkowln : I R + orz stł b tkie, że f(t, u) (t) + b u ( ) dl p.w. t I orz u D. Dowód: Dostteczność. Jeśli spełnion jest podn nierówność, x L 1 loc (J, E) orz x(t) D dl t J, to f(t, x(t)) (t) + b x(t). Funkcj po prwej stronie jest oczywiście loklnie cłkowln n J. Dowód konieczności jest zncznie trudniejszy; pominiemy go. Uwg: W dlszym ciągu będziemy posługiwć się nieco słbszym wrunkiem wzrostu niżeli ( ). Minowicie będziemy zkłdć, że f jest funkcją Crthéodory ego orz istnieje funkcj L 1 loc (I, R) tk, że f(t, u) (t)(1 + u ) ( ) dl p.w. t I orz wszystkich u D. Jk łtwo zobczyć, wrunek ( ) implikuje, że dl dowolnej ogrniczonej funkcji loklnie cłkowlnej x : J E (J I) tkiej, że x(t) D przy t J, funkcj f(, x( )) jest loklnie cłkowln n J. Wrunek ( ) możn niekiedy jeszcze osłbić zkłdjąc, że dl dowolnego r istnieje funkcj c r L 1 loc (J, R) tk, że f(t, u) c r (t) ( ) dl p.w. t I orz u D tkich, że u r. Oczywiście wrunek ( ) implikuje wrunek ( ) (wystrczy przyjąć, że c r (t) := c(t)(1 + r) dl r ). Wrunek ( ) (lub mocniejszy wrunek ( )) jest n ogół wystrczjący z punktu widzeni nszych zstosowń: jeśli funkcj x : J E tk, że x(t) D dl t J, jest słbo ciągł ( w zsdzie powinienem powiedzieć demiciągł), to jest silnie mierzln (o tym mówiliśmy) i jest ogrniczon n zbiorch zwrtych (innymi słowy loklnie ogrniczon). Istotnie, przypuśćmy, że nie jest loklnie ogrniczon. Tzn. istnieje zwrty przedził P J orz, dl dowolnego n N, punkt t n P tki, że x(t n ) n. Ciąg (t n ) jest (ewentulnie po przejściu do podciągu) zbieżny, ztem, dl dowolnego p E zbieżny jest ciąg ( p, x(t n ) ). Jest on więc ogrniczony; innymi słowy ciąg (x(t n )) jest słbo ogrniczony. Z twierdzeni Bnch-Steinhus ciąg (x(t n )) jest więc ogrniczony: sprzeczność. Ztem x jko silnie mierzln i ogrniczon n zbiorch zwrtych, jest loklnie cłkowln. Z punktu widzeni zstosowń w równnich różniczkowych, gdy mow o słbych klsycznych lub klsycznych rozwiąznich lub o rozwiąznich mocnych (które są co njmniej demiciągłe), to wrunek wzrostu ( ) plus wrunek Crthéodory ego
6 6 W. Kryszewski gwrntują, że funkcj f(, x( )), gdzie x jest rozwiązniem wspomninego typu, jest loklnie cłkowln. W przypdku rozwiązń słbych (inczej dystrybucyjnych) potrzeb wrunku ( ) (chyb, żeby rozwżć ogrniczone rozwiązni dystrybucyjne). Przykłd: Niech f : I D E, gdzie I jest przedziłem i D E, jest silnie mierzln ze względu n pierwszą zmienną i spełni p.w. wrunek Lipschitz ze względu n drugą zmienną. Zkłdmy więc, że dl p.w. t I, funkcj f(t, ), określon n D, spełni wrunek Lipschitz ze stłą L(t), gdzie L L 1 loc (I, R), tzn. dl dowolnych x, y D i p.w. t I, f(t, x) f(t, y) L(t) x y. Oczywiście funkcj t spełni wrunek Crthéodory ego. Jeśli istnieje x D tkie, że f(, x ) L 1 loc (J, R), to wrunek wzrostu ( ) jest spełniony. Istotnie: niech t I i x D. Wtedy f(t, x) f(t, x ) + f(t, x) f(t, x ) f(t, x ) + L(t) x x f(t, x ) + L(t) x + L(t) x (t)(1 + x ) gdzie (t) := mx{ f(t, x ) + L(t) x, L(t)}. Oczywiście L 1 loc (J, R). 2. Wrunki typu Lipschitz Zczniemy od wersji twierdzeni Bnch o punkcie stłym Twierdzenie: Niech Λ będzie przestrzeni metryczną, X przestrzenią metryczną zupełną, x X, r > i T : B(x, r) Λ X odwzorowniem tkim, że dl dowolnego x B(x, r), odwzorownie T (x, ) : Λ X jest ciągłe, zś dl dowolnego λ Λ, odwzorownie T (, λ) : B(x, r) X jest zwężjące ze stłą k(λ) < 1, tzn. d(t (x, λ), T (y, λ)) k(λ)d(x, y) dl x, y B(x, r). Jeśli funkcj k : Λ [, 1) jest ciągł orz d(t (x, λ), x ) < (1 k(λ))r dl wszystkich λ Λ, to istnieje dokłdnie jedn funkcj x : Λ B(x, r) tk, że λ Λ T (x(λ), λ) = x(λ). Funkcj x( ) jest ciągł. Dowód: Niech ε : λ (, + ) tk funkcj, że Zuwżmy, że dl dowolnego λ Λ, d(t (x, λ), x ) < (1 k(λ))ε(λ) < (1 k(λ))r. T (, λ) : D(x, ε(λ)) D(x, ε(λ)).
7 Równni różniczkowe w przestrzenich Bnch 7 Istotnie, jeżeli d(x, x ) ε(λ), to d(t (x, λ), x ) d(t (x, λ), T (x, λ)) + d(t (x, λ), x ) k(λ)d(x, x ) + (1 k(λ))ε(λ) ε(λ). Poniewż D(x, ε(λ)) jest przestrzenią zupełną, to z klsycznego twierdzeni Bnch, dl kżdego λ Λ, istnieje punkt x(λ) D(x, ε(λ)) B(x, r) tki, że T (x(λ), λ) = x(λ). Niech terz λ n λ w λ. Wówczs Ztem d(x(λ n ), d(x(λ)) = d(t (x(λ n ), λ n ), T (x(λ), λ)) d(t (x(λ n ), λ n ), T (x(λ), λ n )) + d(t (x(λ), λ n ), T (x(λ), λ)) k(λ n )d(x(λ n ), x(λ)) + d(t (x(λ), λ n ), T (x(λ), λ)). d(x(λ n ), x(λ)) (1 k(λ n )) 1 d(t (x(λ), λ n ), T (x(λ), λ)) bowiem k(λ n ) k(λ) < 1 orz d(t (x(λ), λ n ), T (x(λ), λ)) n mocy ciągłości odwzorowni T (x(λ), ) : Λ X Istnienie w przypdku wrunków Lipschitz Zczniemy o tzw. loklnego twierdzenie o istnieniu: złóżmy minowicie, że E jest przestrzenią Bnch, I = {α, β} (α < β) jest przedziłem ( 3 ), I, Λ jest przestrzeni metryczną, x E, R > orz f : I B E (x, R) Λ E jest funkcją tką, że: dl dowolnego λ Λ, dl p.w. t I orz dowolnych x, y B(x, R), f(t, x, λ) f(t, y, λ) L(t, λ) x y gdzie L : I V E jest funkcją Crthéodory ego spełnijącą wrunek wzrostu ( ), tzn. dl dowolnego ogrniczonego zbioru B Λ, istnieje loklnie cłkowln funkcj β L 1 loc (I, R) tk, że L(t, λ) β(t) dl p.w. t I orz λ B; dl dowolnych x B E (x, R) orz λ Λ, funkcj f(, x, λ) : I E jest silnie mierzln; dl p.w. t I i dowolnego x B(x, R), funkcj f(t, x, ) : Λ E jest ciągł; dl dowolnego zbioru ogrniczonego B Λ istnieje funkcj c B L 1 loc (I, R) tk, że dl p.w. t I, u B E (x, R) orz λ B. f(t, u, λ) c B (t) Twierdzenie: Dl dowolnego λ Λ, istnieją liczby ρ >, δ = δ(λ ) > orz dokłdnie jedn funkcj ciągł x : J(δ) B Λ (λ, ρ) E, gdzie J(δ) := I [ δ, δ] ( 4 ), tk, że dl λ B Λ (λ, ρ), funkcj x(, λ) : J(δ) E jest mocnym rozwiązniem 3 Ten zpis ozncz, że α i β są lewym i prwym krńcem przedziłu I odpowiednio. 4 Zuwżmy, że zwsze możn tk dobrć δ, by przedził J(δ) był domknięty.
8 8 W. Kryszewski równni { x = f(t, x, λ) x() = x. ( ) Dowód: Ustlmy λ Λ. Jest jsne, że istnieje δ > tk, że L(t, λ ) dt < 1. J(δ) Z złożeń przyjętych odnośnie L widzimy, że odwzorownie Λ λ L(t, λ) dt jest J(δ) ciągłe (sprwdzić to używjąc twierdzenie Lebesgue o zbieżności zmjoryzownej). Wobec tego istnieje ρ > tkie, że k(λ) := L(t, λ) dt < 1 J(δ) dl λ B Λ (λ, ρ). Znowu widzimy, że k : B Λ (λ, ρ) [, 1) jest funkcją ciągłą. Rozwżmy przestrzeń X := C(J(δ), E) funkcji ciągłych z zwykłą normą x := sup x(t), x X. t J(δ) Jeśli x X orz x x < R ( 5 ), to x(t) B E (x, R). Ztem określony jest opertor T : B X (x, R) Λ X wzorem T (x, λ)(t) := x + f(s, x(s), λ) ds, t J(δ) dl x B X (x, R) i λ Λ. Anlogicznie jk wyżej stwierdzmy, w oprciu o wrunek wzrostu, że T (x, ) jest opertorem ciągłym dl dowolnego x B X (x, R). Zuwżmy dlej, że jeśli x, y B X (x, R) i λ B Λ (λ, ρ), to sup t J(δ) T (x, λ) T (y, λ) = sup t J(δ) f(s, x(s), λ) f(s, y(s), λ) ds sup t J(δ) x y T (x, λ)(t) T (y, λ)(t) J(δ) L(s, λ) x(s) y(s) ds L(t, λ) ds = k(λ) x y Niech λ B Λ (λ, ρ) i zbdjmy T (x, λ) x = sup sup t J(δ) t J(δ) T (x, λ)(t) x f(s, x, λ) ds 5 Trktujemy tu x jko funkcję stłą x : t x. J(δ) c(t) dt
9 Równni różniczkowe w przestrzenich Bnch 9 gdzie c : I R jest tką funkcją loklnie cłkowlną, że dl p.w. t I, dl dowolnych u B E (x, R) i λ B Λ (λ, ρ), f(t, u, λ) c(t). Zmniejszjąc δ jeśli potrzeb, zmniejszmy również k(λ); ztem możn żądć, że δ jest n tyle młe, że c(t) dt < (1 k(λ))r. J(δ) Oczywiście, wykorzystując ciągłość k i znowu zmniejszjąc ρ o ile potrzeb, możn złożyć, że powyższ nierówność zchodzi dl dowolnego λ B Λ (λ, ρ). Z powyższego twierdzeni 2..3 o punkcie stłym wynik, że istnieje dokłdnie jedn funkcj ciągł y : B Λ (λ, ρ) B X (x, R) tk, że T (y(λ), λ) = y(λ) dl λ B Λ (λ, ρ). Rozwżmy funkcję x : J(δ) B Λ (λ, ρ) E dną wzorem x(t, λ) = y(λ)(t) dl t J(δ) orz λ B Λ (λ, ρ). Oczywiście x jest funkcją ciągł (sprwdzić) orz, dl dowolnego λ B Λ (λ, ρ) i t J(δ), x(t, λ) = y(λ)(t) = T (y(λ), λ) = x + f(s, x(s, λ), λ) ds; ozncz to, że x(, λ) : J(δ) E jest mocnym rozwiązniem zgdnieni ( ) Wniosek: Przyjmijmy powyższe złożeni z wyjątkiem złożeni, że I. Jeśli λ Λ, to istnieje ρ >, δ > orz dokłdnie jedn ciągł funkcj x : Z B Λ (λ, ρ) E, gdzie Z := {(t, t) I I t J(t, δ) := I [t δ, t + δ]}, tk, że dl dowolnych t I i λ B Λ (λ, ρ), x(t,, v) : J(t, δ) E jest mocnym rozwiązniem równni { x = f(t, x, v) ( ) x(t ) = x. Dowód: Dl t I, rozwżmy funkcję g : (I t ) B(x, R) V E dną wzorem g(t, u, λ) := f(t+t, u, λ) dl t I t, u B(x, R) orz λ Λ. Oczywiście I t orz funkcj g spełni wszystkie złożeni poprzedniego twierdzeni. Ztem istnieje δ >, ρ > orz funkcj ciągł y : [ δ, δ] (I t ) B Λ (λ, ρ) E tk, że dl dowolnego λ B Λ (λ, ρ), y(, λ) : [ δ, δ] (I t ) E jest mocnym rozwiązniem równni { y = g(t, y, λ) ( ) y() = x. Rozwżmy funkcję x : Z B Λ (λ, ρ) E zdną wzorem x(t, t, λ) := y(t t, λ) dl (t, t) Z i λ B Λ (λ, ρ). Wtedy dl dowolnego λ B Λ (λ, ρ) mmy: x(t, t, λ) = y(, λ) = x orz x t(t, t, λ) = y t(t t, λ) = g(t t, y(t t ), λ) = f(t, x(t), λ). To kończy dowód wniosku.
10 1 W. Kryszewski Niech I := (α, β), α < β +, będzie przedziłem otwrtym, D E zbiorem otwrtym i niech Λ będzie przestrzeni metryczną. Złóżmy, że f : I D Λ E spełni nstępujące wrunki: dl dowolnych u D orz λ Λ, f(, u, λ) : I E jest silnie mierzln; dl p.w. t I i u D, funkcj f(t, u, ) : Λ E jest ciągł; dl dowolnych x D i λ Λ, istnieje R > tkie, że gdy λ B Λ (λ, R), x, y B E (x, R), f(t, x, λ) f(t, y, λ) L(t, λ) x y dl p.w. t I gdzie funkcj L : I B Λ (λ, R) R spełni wrunek Crthéodory ego i jest cłkowo ogrniczon, tzn. istnieje β L 1 loc (I, R) rk, że L(t, λ) β(t) dl p.w. t I orz λ B Λ (λ, R); L 1 loc dl dowolnych zbiorów ogrniczonych B Λ, C D istnieje funkcj c (I, R) tk, że f(t, u, λ) c(t) dl p.w. t I, u C orz λ B Twierdzenie: Przy tych złożenich, dl dowolnych t I, x D, λ Λ istnieją liczby α ω (t, x, λ ) < t < ω + (t, x, λ ) β orz funkcj x( ; t, x, λ ) : (ω (t, x, λ ), ω + (t, x, λ )) D będąc nieprzedłużlnym rozwiązniem problemu { x = f(t, x, λ ); x(t ) = x. Funkcj ω : I D Λ R { } jest górnie półciągł, funkcj ω + : I D Λ R {+ } jest dolnie półciągł. Zbiór Ω := {(t; t, x, λ ) I I D Λ (t, x, λ ) I D λ, t (ω (t, x, λ ), ω + (t, x, λ ))} jest otwrty funkcj σ : Ω E dn wzorem σ(t, t, x, λ ) := x(t; t, x, λ ) jest ciągł. Dodtkowo, dl dowolnych t I, x D orz λ Λ, jeżeli trjektori σ(, t, x, λ ) przyjmuje wrtości w zupełnym podzbiorze zbioru D i ω + (t, x, λ ) < β, to ω+ (t,x,λ ) t f(t, σ(t, t, x, λ ), λ ) dt = orz jeśli t ω + (t, x, λ ), to σ(t, t, x, λ ) D, tzn. zbiór σ([t, ω + (t, x, λ )] {(t, x, λ )}) nie jest zwrty w żdnym zwrtym podzbiorze zbioru D. Anlogiczne stwierdzenie jest prwdziwe dl ω (t, x, λ ).
11 Równni różniczkowe w przestrzenich Bnch 11 Dowód: 1. Jeśli C jest zwrtym podzbiorem D, λ Λ, to istnieją liczby r >, δ > i ρ > tkie, że dl kżdego x C orz t I istnieje funkcj x : J(δ) B Λ (λ, ρ) E tk, że dl λ B Λ (λ, ρ), funkcj x(, λ) : J(δ) E jest rozwiązniem problemu { x = f(t, x, λ) x(t ) = x. Dowód tego fktu jest podobny do dowodu poprzedniego wniosku (przeprowdzić dowód używjąc zwrtość zbioru C). 2. Dl dowolnych t I, x D i λ Λ, określimy ω (t, x, λ ) := inf{t problem m rozwiąznie n [t, t ]}; ω + (t, x, λ ) := sup{t problem m rozwiąznie n [t, t]}. Dowód dolnej półciągłości funkcji ω + (lub górnej półciągłości funkcji ω ) jest dość złożony i nie będzie przedstwiony. 3. Otwrtość zbioru Ω wynik ntychmist z odpowiedniej półciągłości funkcji ω ±, zś ciągłość σ jest konsekwencją ciągłości omwinej w poprzednim wniosku. 4. Niech ω := ω + (t, x, λ ) < β i złóżmy, że ω t f(t, σ(t), λ ) dt < (gdzie σ(t) := σ(t, t, x, λ )). Wtedy σ(t) σ(s) s f(z, σ(z), λ ) dz o ile t, s ω +. Ztem istnieje u := lim t ω σ(t) D. W tki rzie rozwiąznie σ + możn przedłużyć; przeczy to definicji ω +. Niech C D (tzn. C jest zwrtym podzbiorem D). przypuśćmy, że obrz trjektorii σ(, t, x, λ ) zwrty jest w C. Jeśli ω + < β, to znowu istnieje lim t ω σ(t) + i znowu mmy sprzeczność z definicją ω +.. Wniosek: Przy złożenich poprzedniego twierdzeni przypuśćmy, że dl pewnego λ Λ istnieje funkcj c L 1 loc (I, R) tk, że f(t, x, λ ) c(t)(1 + x ) dl p.w. t J orz x D. Dl dowolnego t I orz x D, jeśli trjektori σ(, t, x, λ ) przyjmuje wrtości w zupełnym podzbiorze zbioru D, to ω + (t, x, λ ) = β. Dowód: Przypuśćmy, że ω + := ω + (t, x, λ ) < β. Połóżmy też σ(t) := σ(t, t, x, λ ) dl t [t, ω + ). Wówczs σ(t) x + t f(s, σ(s), λ ) ds x + ω+ t c(t) dt + A + ω+ t ω t c(t) σ(t) dt c(t) σ(t) dt
12 12 W. Kryszewski gdzie A := x + ω + t c(t) dt. Z nierówności Gronwll wnosimy, że istnieje M tkie, że σ(t) M dl t [t, ω ). Ztem f(t, σ(t), λ) c(t)(1 + M). Dowodzi to, że ω+ t f(t, σ(t), λ ) dt <. Jest to sprzeczne z tezą poprzedniego twierdzeni. Odnotujmy jeszcze wersję twierdzeni bez prmetrów Twierdzenie: Złóżmy, że D jest zbiorem otwrtym, I = [, T ), < T +, i niech f : I D E będzie funkcją Crthéodory ego tką, że: dl dowolnego zbioru ogrniczonego B D istnieje funkcj c B L 1 loc (I, R) tk, że f(t, x) c B (t) dl p.w. t I orz x B; funkcj f jest loklnie Lipschitz względem drugiej zmiennej, tzn. dl dowolnego (t, x) I D istnieje η = η(t, x), otoczenie U x D punktu x orz stł L = L(t, x) tkie, że f(s, x) f(s, y) L x y o ile s [t, t + η] I orz x, y U x. Wówczs dl dowolnego x D istnieje liczb < ω(x ) T orz funkcj x( ; x ) : [, ω(x )) D będąc nieprzedłużlnym mocnym rozwiązniem problemu { x = f(t, x) x() = x. Funkcj ω : D R {+ } jest dolnie półciągł, zbiór Ω := {(t, x ) I D t [, ω(x ))} jest otwrty w I D funkcj σ : Ω D dn wzorem σ(t, x ) = x(t; x ) jest ciągł. Pondto, dl dowolnego x, jeżeli trjektori σ(, x ) przyjmuje wrtości w zupełnym podzbiorze zbioru D i ω(x ) < T, to ω(x ) f(t, σ(t, x )) dt =. Jeśli ω(x ) < T, t ω(x ), to σ(t, x ) D, tzn. zbiór σ([, ω(x )) {x }) nie jest zwrty w żdnym zwrtym podzbiorze zbioru D. W szczególności jeśli istnieje funkcj c L 1 loc (I, R) tk, że f(t, x) c(t)(1 + x ) dl p.w. t I i x D, orz dl pewnego x D, trjektori σ(, x ) przyjmuje wrtości zupełnym podzbiorze zbioru D, to ω(x ) = T. Uwg: Przypuśćmy, że D(x, R) D. Niech < < T będzie tką liczbą, że c(t) dt R, gdzie c := c B i B = D(x, R). Wtedy < ω(x ). Istotnie, przypuśćmy, że ω(x ) i rozwżmy trjektorię σ(, x ) = x( ; x. Dl uproszczeni notcji niech x = x( ; x ). S dwie możliwości: lbo dl kżdego t
13 Równni różniczkowe w przestrzenich Bnch 13 [, ω(x )), x(t) B(x, R) i wtedy, zgodnie z twierdzeniem + = ω(x ) f(t, x(t)) dt c(s) ds R : sprzeczne; lbo istnieje b [, ω(x )) tkie, że x(t) D(x, R) dl wszystkich t [, ] orz x(b) x = R. Wtedy b < orz sprzeczne. R = x(b) x b c(s) ds < c(s) ds R : Gwoli uzupełnieni podmy terz ogólną postć nierówności Gronwll Nierówność Gronwll 1. Njpierw omówimy postcie cłkowe tej nierówności. Niech J będzie dowolnym przedziłem, orz rozwżmy funkcje f, g, h : J R tkie, że f jest bsolutnie ciągł, zś g, h L 1 loc (J, R) orz g. Jeśli, dl p.w. t J to, dl dowolnego, t J, ( f(t) exp Istotnie, dl p.w. s J d ds ( = exp [ f(s) exp s ( f (t) g(t)f(t) + h(t), s Ztem dl dowolnego t J, ( ) f(t) exp g(s) ds = f() + ) [ g(s) ds f() + )] g(z) dz ( = f (s) exp ( f(s) exp ) g(z) dz [f (s) f(s)g(s)] exp exp d ds ( [ ( f(s) exp s To oczywiście kończy dowód nierówności ( ). g(z) dz ] h(s) ds. ( ) s ( s s ) g(s) ds ) g(s) = ) g(z) dz h(s). s g(z) dz )] g(z) dz ds f() + ) h(s) ds f() + h(s) ds. 2. Pokżemy terz, że przy powyższych złożenich, dl dowolnych, t J f(t) ψ(t) ( )
14 14 W. Kryszewski gdzie ψ() = f() orz ψ (t) = g(t)ψ(t) + h(t) dl p.w. t J. Istotnie, dl t J, połóżmy ρ(t) := Nierówność ( ) orzek więc, że Mmy oczywiście Stąd g(s)f(s) ds, ξ(t) := f() + h(s) ds, G(t) := g(s) ds. f(t) e G(t) ξ(t). ( ) f(t) = f() + f (s) ds. f(t) ρ(t) + ξ(t). Dlej, dl p.w. s J, ( ρ(s)e G(s) ) = ρ (s)e G(s) ρ(s)g(s)e G(s) = W tkim rzie, dl p.w. t J, Czyli ρ(t)e G(t) = ρ()e G() + g(s)e G(s) (f(s) ρ(s)) g(s)ξ(s)e G(s). ( ) ρ(s)e G(s) ds ξ(s)g(s)e G(s) ds. f(t) ξ(t) + ρ(t) = ξ(t) + e G(t) ξ(s)g(s)e G(s) ds := ψ(t). Bezpośrednio ψ() = f() orz, dl p.w. t J, ) ψ (t) = h(t) + (g(t)e G(t) ξ(s)g(s)e G(s) ds + e G(t) ξ(t)g(t)e G(t) ) = h(t) + g(t) (ξ(t) + e G(t) ξ(s)g(s)e G(s) ds = g(t)ψ(t) + h(t). Zuwżmy, że ψ(t) e G(t) ξ(t). Ztem nierówność ( ) jest nieco silniejsz od nierówności ( ) (tzn. ( )). 3. Terz omówimy postć cłkową tej nierówności. Niech p L loc (J, R), q L 1 loc (J, R), q orz niech α : J R będzie bsolutnie ciągł. Jeśli, dl dowolnego t J, to, dl dowolnego t J, p(t) α(t) + p(s)q(s) ds, ( ) p(t) α(t) exp q(s) ds.
15 Równni różniczkowe w przestrzenich Bnch 15 Istotnie, niech f(t) = α(t) + p(s)q(s) ds, t J. wtedy f jest bsolutnie ciągł, p(t) f(t) n J orz dl p.w. t J, f (t) = α (t) + p(t)q(t) α (t) + f(t)q(t). Tk więc, n mocy nierówności ( ), ( ) [ p(t) f(t) exp q(s) ds α() + ] ( ) α (s) ds = α(t) exp q(s) ds. Nieco mocniejszą postć tej nierówności możn uzyskć stosując nierówność ( ) Elementy nlizy wypukłej Niech E będzie przestrzenią loklnie wypukłą, E przestrzenią (topologicznie) sprzężoną. Jeśli K E, to definiujemy tzw. funkcję podpierjącą σ K : E R { } wzorem σ K (p) = sup p, x, p E. x K Z twierdzeni o oddzielniu wynik, że orz σ cl conv K = σ K cl conv K = {x E p E p, x σ K (p)}. W konsekwencji jeśli K jest wypukły domknięty i x K, to istnieje p E, że σ K (p ) < p, x. 1. Powiemy, że funkcj f : E R {+ } jest wypukł jeśli, dl dowolnych x, y E, t (, 1), f((1 t)x + ty) (1 t)f(x) + tf(y). Dziedziną efektywną funkcji f nzwiemy zbiór Dom(f) := {x E f(x) < } 2. Funkcj f jest dolnie półciągł, gdy dl dowolnego λ R, zbiór {x E f(x) λ} jest domknięty. 3. Ndwykresem funkcji f nzywmy zbiór Epi (f) := {(x, λ) E R f(x) λ}. 4. Indyktrysą zbioru M E nzywmy funkcją ι M : E R { } zdefiniowną wzorem { gdy x M ι M (x) = + gdy x M. Przykłd: Łtwo zuwżyć, że ι M jest funkcją wypukłą (odp. dolnie półciągłą) wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór M jest wypukły (odp. domknięty).
16 16 W. Kryszewski Jeśli K E, to σ K : E R { } jest wypukł, dodtnio jednorodn i dolnie półciągł Twierdzenie: Niech będą dne funkcje f, g : E R { }. Wtedy: (i) Jeśli f jest wypukł, to Dom(f) jest zbiorem wypukłym; (ii) f jest funkcj wypukłą (odp. dolnie półciągłą) wtedy i tylko wtedy, gdy Epi (f) jest zbiorem wypukłym (odp. domkniętym); (iii) jeśli f(x) < orz f jest funkcj ciągłą w x, to int Epi (f) ; (iv) jeśli f, g są funkcjmi wypukłymi, to wypukłe są również funkcje f + g orz sup{f, g}; (v) Jeśli f, g są półciągłe z dołu, to również funkcje f + g, sup{f, g} orz inf{f, g} są półciągłe z dołu; iloczyn fg jest dolnie półciągły, gdy f, g orz iloczyn fg m sens; (vi) Jeżeli f jest funkcją wypukłą i dolnie półciągłą, Dom(f) orz (x, ) Epi (f), to istnieją tki funkcjonł p E orz liczb ε R, że dl dowolnego y Dom(f). p, x > ε > p, y f(y) Komentrz wymg tylko (vi). Ndwykres Epi (f) jest zbiorem domkniętym i wypukłym i (x, ) Epi (f). Ztem z twierdzeni o oddzielniu istnieje funkcjonł (q, ) (E R) = E R tki, że q, x + > β > q, y + f(y) dl dowolnego y Dom(f). Możn pokzć, że <. Kłdąc p := ( ) 1 q orz ε := ( ) 1 β otrzymmy tezę Twierdzenie: Niech f : E R { } będzie funkcją wypukłą. Wtedy: (i) f(x) < i f jest ciągł w x wtedy i tylko wtedy, gdy jest loklnie ogrniczon w punkcie x (tzn. istnieje otoczenie U punktux tkie, że sup z U f(z) < ) (wobec tego x int Dom(f)); wówczs też f spełni wrunek Lipschitz w otoczeniu x. (ii) Jeśli f jest skończon n pewnym zbiorze otwrtym M E i ciągł w pewnym punkcie x M, to jest ciągł n cłym zbiorze M; ztem f jest loklnie Lipschitzowsk we (niepustym) wnętrzu Dom(f) wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągł w pewnym punkcie x Dom(f). (iii) Jeśli f : R n M R jest wypukł, M zbiór wypukły i otwrty, to f jest ciągł n M. (iv) Jeśli f : E M R jest wypukł i dolnie półciągł, M jest zbiorem wypukłym i domkniętym, zś E jest przestrzeni Bnch, to f jest ciągł n wnętrzu int M Twierdzenie: Niech σ : E R { } będzie funkcj wypukłą, dodtnio jednorodną ( 6 ) i dolnie półciągłą. Niech K := {x E p E p, x σ(p)}. 6 Dl funkcji dodtnio jednorodnych wypukłość jest równowżn subddytywności.
17 Równni różniczkowe w przestrzenich Bnch 17 Wtedy zbiór K jest wypukły, domknięty i σ K = σ Definicj: Niech f : E R {± }. Funkcjonł p E jest subgrdientem f w punkcie x E (f(x) ± ) jeśli f(y) f(x) + p, y x dl dowolnego y E. Zbiór wszystkich subgrdientów nzywmy subróżniczką f w punkcie x i oznczmy symbolem f(x) Przykłd: Jeśli f : E R posid pochodną f (x) w sensie Gteux, to f(x) = {f (x)}. Istotnie, niech y E i ϕ(t) := f(x+t(y x)). Wtedy ϕ () istnieje i, z twierdzeni o wrtości średniej, ϕ(1) ϕ() ϕ (). Ztem f(y) f(x) f (x), y x, czyli f (x) f(x). N odwrót, niech p f(x). Wtedy f(y) f(x) p, y x dl dowolnego y E. Dl y t := x + th, gdzie h E orz t, f (x) p, h. Z dowolności h wnioskujemy, że p = f (x) Twierdzenie: Złóżmy, że f : E R { } jest funkcją wypukłą. Wtedy, dl dowolnego x E, zbiór f(x) jest wypukły i słbo -domknięty (być może pusty). Jeśli x Dom(f) i f jest ciągł w x, to subróżniczk f(x) jest zbiorem niepustym i słbo -zwrtym Twierdzenie: Jeśli f : E R { } jest funkcją wypukłą, Dom(f), x Dom(f). Wtedy, dl dowolnego u E istnieją (w R {± }) grnice orz, dl dowolnego h >, Pondto f(x hu) f(x) h D ± f(x)(u) := lim h ± f(x + hu) f(x) h D f(x)(u) D + f(x)(u) f(x + hu) f(x). h f(x) = {p E u E D f(x)(u) p, u D + f(x)(u)} = {p E u E p, u D + f(x)(u)}. Jeśli f jest ciągł w x, to D + f(x)( ) jest dodtnio jednorodn, subddytywn (ztem tez wypukł) orz ciągł, w konsekwencji, dl dowolnego u E, σ f(x) (u) := sup p, u = D + f(x)(u), p f(x) inf p, u = p f(x) D+ f(x)(y).
18 18 W. Kryszewski Definicj: Mówimy, że odwzorownie T : E E (o być może pustych wrtościch) jest monotoniczne jeśli dl dowolnych x, y E orz p T (x), q T (y), p q, x y. Mówimy, że T jest odwzorowniem cyklicznie monotonicznym jeżeli p 1, x 1 x 2 + p 2, x 2 x p n, x n x n+1 dl dowolnych x 1, x 2,..., x n E (x n+1 = x 1 ) orz p i T (x i ), i = 1,..., n. Powidmy, że T jest odwzorowniem mksymlnie monotonicznym jeśli nie istnieje odwzorownie monotoniczne T 1 tkie, że Gr (T ) Gr (T 1 ) Twierdzenie: Jeżeli f : E R { } jest funkcj wypukłą i dolnie półciągłą, Dom(f), to subróżniczk f : E E jest odwzorowniem mksymlnie monotonicznym i mksymlnie cyklicznie monotonicznym. Więcej kżde odwzorownie cyklicznie monotoniczne jest subróżniczką pewnej wypukłej i dolnie półciągłej funkcji Wrunki typu dyssyptywności Niech E będzie przestrzeni Bnch nd R, I = [, T ], f : I E E i rozwżmy problem początkowy x = f(t, x), x() = x E. ( ) Jeżeli E = R, to jednostronne ogrniczeni postci (f(t, x) f(t, y))(x y) L(x y) 2, ( ) gdzie L R, dją lepsze informcje o zchowniu się rozwiązń problemu ( ), niż silniejsze wrunki typu Lipschitz: N przykłd, gdy f(t, x) := x dl t I i x R, to f(t, x) f(t, y) L x y. ( ) (f(t, x) f(t, y))(x y) = (x y) 2, tzn. L = 1 orz f(t, x) f(t, y) = x y. Jeśli x : I R orz y : I R są rozwiąznimi (x() = x, y() = y ), to (wykorzystując jedynie oszcowni), mmy x(t) y(t) x y + Ztem, z nierówności Gronwll, f(s, x(s)) f(s, y(s)) ds x y + x(t) y(t) x y e t x(s) y(s) ds.
19 Równni różniczkowe w przestrzenich Bnch 19 w przypdku oszcowni ( ). Tymczsem w przypdku oszcowni ( ) otrzymmy 2 (x(t) y(t)) 2 = (x y ) 2 + (x (s) y (s))(x(s) y(s)) ds (x y ) 2 2 Ztem, znowu n mocy nierówności Gronwll, co dje, że d ds (x(s) y(s))2 ds = (x y ) 2 + (x(t) y(t)) 2 (x y ) 2 e 2t x(t) y(t) x y e t. (x(s) y(s)) 2 ds. W przypdku, gdy E jest przestrzenią Hilbert z iloczynem sklrnym,, to wrunek ( ) możn zpisć nstępująco: f(t, x) f(t, y), x y L x y 2. Aby rozwżyć podobny wrunek w dowolnej przestrzeni Bnch E wprowdz się tm tzw. semi-sklrne iloczyny, ±, które z chwilę zdefiniujemy Definicj: Odwzorowniem dulności (znormlizownym) nzywmy odwzorownie J = J E : E E zdne wzorem J E (x) = {p E p, x = x 2 = p 2 }. Z twierdzeni Hhn-Bnch wynik, ze odwzorownie to jest poprwnie zdefiniowne: dl dowolnego x E, istnieje funkcjonł p E, p = 1, tki, że p, x = x. Ztem p := x p J E (x). Oczywiście J E () = {} Twierdzenie: Niech f : E R dne będzie wzorem f(x) = x 2 /2 dl x E. Wtedy, dl dowolnego x E, J E (x) = f(x). Ztem J E (x) jest zbiorem wypukłym i słbo -zwrtym; pondto J E jest odwzorowniem mksymlnie monotonicznym i mksymlnie cyklicznie monotonicznym. Dodtkowo: (i) dl dowolnego x E i λ R, J(λx) = λj(x); (ii) Jeśli E jest przestrzenią ściśle wypukłą ( 7 ), to dl dowolnego x E pochodn Gteux f (x) istnieje orz J(x) = {f (x)} jest singletonem. 7 Przestrzeń Bnch X jest ściśle wypukł jeżeli dl x, y X, x y orz x = y = 1, to (1 λ)x+λy < 1 dl λ (, 1). Widomo, że jeśli przestrzeń E jest ściśle wypukł (odp. głdk), to przestrzeń E jest głdk, tzn. : E \ {} R jest funkcją różniczkowlną w sensie Gteux (odp. ściśle wypukł).
20 2 W. Kryszewski (iii) Jeżeli E jest jednostjnie wypukł ( 8 ), to f jest f jest różniczkowln w sensie Fréchet i J(x) = {f (x)} dl kżdego x E; odwzorownie J : E E jest jednostjnie ciągłe n ogrniczonych zbiorch. (iv) Odwzorownie J jest górnie półciągłe (jko odwzorownie wielowrtościowe) z E do E ze słbą topologią. Dowód: Jest jsne, że pochodn Fréchet f () =. Ztem, J E () = {} = f(). Niech więc x i p f(x). Ztem 1 2 ( y 2 x 2 ) p, y x ( ) dl dowolnego y E. W tki rzie p, x p, y o ile y E i y = x. Stąd p u = sup p, y = p, x. y; y = x Niech terz y ± := (s ± r)w, gdzie s = x, r > orz w := s 1 x. N mocy wrunku ( ) mmy r p, w = p, y x 1 2 ( y 2 x 2 ) = 1 2 ((s r)2 s 2 ). Stąd Anlogicznie r p, w 1 2 (s2 (s r) 2 ). r p, w = p, y + x 1 2 ((s + r)2 s 2 ). Ztem sr r 2 = 1 2 (s2 (s r) 2 ) r p, w 1 2 ((s + r)2 s 2 ) = sr + r 2. Jeśli r +, to, w = s, tzn. p, x = x 2. Pokzliśmy więc, że f(x) J E (x). N odwrót, niech p J E (x). Wtedy dl dowolnego y E, czyli p f(x). p, y x p y u ( y 2 x 2 ) Wrunek (i) jest ntychmistową konsekwencją definicji. Jeśli przestrzeń E jest ściśle wypukł, to funkcj g : E \{} x x jest różniczkowln w sensie Gteux. Ztem pochodn Gteux f (x) = x g (x) tkże istnieje; pondto f () =. Tez 8 Przestrzeń Bnch X jest jednostjnie wypukł jeżeli, dl dowolnego ε (, 2] istnieje δ = δ(ε) > tkie, że dl x, y X, jeśli x = y = 1 orz x y ε, to (x + y)/2 1 δ. Widomo, że jeśli E jest jednostjnie wypukł, to jest ściśle wypukł i refleksywn. Poz tym E jest jednostjnie wypukł wtedy i tylko wtedy, gdy E jest jednostjnie głdk tzn. gdy norm jest różniczkowln w sensie Fréchet n E \ {} orz x + h x = x, h + h ε(h) gdzie ε(h) gdy h jednostjnie dl x = 1.
21 Równni różniczkowe w przestrzenich Bnch 21 wynik ztem z przykłdu Jeśli E jest przestrzenią jednostjnie wypukłą, to pierwsz część tezy wynik jk powyżej. W świetle jednorodności (ptrz (i)) wystrczy pokzć jednostjną ciągłość n sferze S := {x E x = 1}. Jest to jednk oczywiste w skutek jednostjnej głdkości. Pokżemy terz górną demiciągłość. Możn to zrobić wykorzystując nstępujący wrunek. Weźmy ciąg uogólniony x α x i niech p α J(x α ) (gdzie α przebieg pewien zbiór skierowny). Wtedy ciąg (p α ) jest ogrniczony, czyli n mocy twierdzeni Bnch-Aloglu, możn, bez zmniejszeni ogólności, złożyć, że p α p E w słbym sensie; wtedy dl dowolnego y E, f(y) f(x) = lim α A (f(y) f(x α ) lim α A p α, y x α = p, y x. Ztem p f(x) = J(x). Ćwiczenie: Spróbowć udowodnić (iv) bez wykorzystni tego, że J(x) = f(x) dl x E Definicj: Definiujemy funkcje, ± : E E R wzorem dlx, y E. x, y + := sup p, y, x, y := inf p, y p J(x) p J(x) Zbierzemy terz kilk istotnych włsności zdefiniownych iloczynów semi-sklrnych Twierdzenie: Mją miejsce nstępujące włsności: dl dowolnych x, y E: (1) funkcj x, ± : E R jest subddytywn, dodtnio jednorodn (nwet więcej αx, βy ± = αβ x, y ± o ile αβ ), spełni wrunek Lipschitz; (2) funkcj, y + (odp., y ) jest górnie (odp. dolnie) półciągł i jednorodn; (3) dl ω R, x, y + ωx ± = x, y ± + ω x 2 ; (4) jeśli E jest ściśle wypukł, to, + =, ; (5) jeśli E jest jednostjnie wypukł, to, ± jest jednostjnie ciągł n ogrniczonych podzbiorch E E; (6) x, y = mx{ p, y p J(x)}, x, y = min{ p, y p J(x)}; (7) x, y ± x y, x, y ± = x, y = x, y. Dowód: (7) jest oczywiste z definicji i jednorodności J. Włsności (4), (5) wynikją z twierdzeni (3) jest konsekwencj definicji i definicji odwzorowni J. Udowodnimy (1). Dl dowolnego p J(x), p, y 1 + y 2 = p, y 1 + p, y 2 x, y x, y 2 + orz x, y 1 +y 2 p, y 1 + p, y 2. Ztem x, y ± x, y 1 ± + x, y 2 ±. Niech αβ. Niech α. Wtedy β i αx, βy + = sup{ q, β q J(αx)} = sup{αβ p, y p J(x)} = αβ x, y +. Podobnie pokzujemy, że αx, βy = αβ x, y. Gdy α, to β orz αx, βy ± = αx, βy = αx, βy ± = αβ x, y ±.
22 22 W. Kryszewski Oczywiście, dl dowolnych x, y 1, y 2 E, x, y 1 ± x, y 2 ± x y 1 y 2. Wynik to z (7) orz subddytywności. Włsność (6) jest konsekwencją tego, że dl dowolnego y, funkcj E p p, y jest ciągł (o ile w E jest słb topologi) i słbej zwrtości zbioru J(x). Dl dowodu (2), zuwżmy, że jednorodność funkcji, y ± wynik z jednorodności odwzorowni J. Niech α R. Nleży pokzć, że zbiór U := {x E x, y + < α} jest otwrty. Niech V := {p E p, y < α}. Zbiór ten jest otwrty w słbej topologii w E. Zuwżmy, że n mocy (6) U = {x E J(x) V }. Odwzorownie J jest górnie demiciągłe; ztem zbiór U jest otwrty. Funkcj : E R jest oczywiście wypukł; bez trudu możn wykzć, że dl dowolnych x, y E, istnieją grnice [x, y] ± := D ± g(x)(y) := lim h ± x + hy x h gdzie g(x) = x. Oczywiście [x, y] [x, y] +. Podobnie jk w poprzednim twierdzeniu możn wykzć, że [x, y] + = [x, y], [x, y] ± y, [αx, βy] ± = β [x, y] ± o ile αβ, [x, αx] ± = α x dl kżdego α R, funkcj [x, ] + jest subddytywn i Lipschitzowsk, funkcj [x, ] jest supddytywn (ndddytywn), [x, y + ω] ± = [x, y] ± + ω x, [x, y 1 + y 2 ] + [x, y 1 ] + + [x, y 2 ] orz [x, y 1 + y 2 ] [x, y 1 ] + [x, y 2 ] +. Lemt: Dl dowolnych x, y E, zchodzi równość x, y ± = x [x, y] ±. Dowód: Określmy g(x) := x, x E. Podobnie jk poprzednio możn pokzć, że g(x) = G(x) := {p E p, x = x, p = 1}. Pondto, J(x) = x G(x). Wystrczy więc pokzć, że [x, y] + = sup{ p, y p G(x)} orz [x, y] = inf { p, y p G(x)}. Pierwsz równość wynik z fktu, że [x, y] + = D + g(x)(y) = Podobnie dowodzimy drugiej równości. sup p, y = sup p, y. p g(x) p G(x) Twierdzenie: Złożymy, że funkcj u : [, b] E jest prwo-(lewo-) stronnie różniczkowln w punkcie t [, b]. Wtedy również funkcj u( ) jest prwo- (lewo)stronnie różniczkowln i ] d [u(t), ± dt u(t) = d± dt u(t) ±
23 Równni różniczkowe w przestrzenich Bnch 23 i, w konsekwencji, u(t) u(t), d± dt u(t) = d± dt u(t). ± Dowód: Mmy gdzie ε(h) gdy h +. Ztem u(t + h) u(t) h u(t + h) = u(t) + hu +(t) + ε(h)h = u(t) + hu +(t) + ε(h)h u(t). h Grnic prwej strony przy h + istnieje i jest równ [u(t), u +(t)] +. Stąd wymgn równość. Istnienie lewostronnej pochodnej dowodzimy nlogicznie. W niektórych przypdkch odwzorownie dulności J możn wyznczyć efektywnie. Przykłd: (1) Niech 1 < p < i E = l p := {x = (x i ) x p := i=1 x i p < }. Oczywiście l p jest przestrzenią Bnch i (l p ) = l q gdzie p 1 + q 1 = 1. Przestrzeń l q jest ściśle wypukł, to J : l p l q orz, dl x l p, x, J(x) i = x 2 p x i p 1 sgn x i. Ztem x, y + = x, y = x 2 p i=1 sgn x i x i p 1 y i. (2) Niech E = L p (Ω, M, µ), gdzie 1 < p <. Wtedy J(x)(ω) = x 2 x(ω) sgn x(ω) dl x L p, x, orz x, y ± = x 2 p sgn x(ω) x(w) p 1 y(ω) dµ. Ω (3) Niech E = l 1. Wówczs (l 1 ) = l orz, dl x l 1, { } J(x) = p l p i x i = x 2, p := sup p i = x = x i. i i=1 Niech p J(x), x, i połóżmy β i := p i x 1 dl i = 1, 2,... Wtedy β i 1 dl wszystkich i orz x i β i sgn x i = x. Stąd dl kżdego i, β i sgn x i = 1 jeśli x i. Wobec tego i=1 J(x) = {p l p i = x sgn x i gdy x i ; p i dowolne i p i x gdy x i = }. i=1
24 24 W. Kryszewski Pondto x, y + = x y x ( y i y i sgn x i ); x, y = x y + x i supp x i supp x ( y i + y i sgn x i ) Fkty przygotowwcze Zczniemy od elementrnego twierdzeni o istnieniu Twierdzenie: Niech D R n będzie zbiorem otwrtym, I = [, b], <, b < +, f : I D R n funkcją Crthéodory ego. Złóżmy, że dl kżdego ogrniczonego zbioru B D istnieje c B L 1 (I, R) tk, że f(t, x) c B (t) dl p.w. t I orz x B. Wtedy dl dowolnego x D istnieje loklne mocne rozwiąznie problemu { x = f(t, x) x() = x. Dowód: Ustlmy x D i weźmy R > tkie, że D(x, R) D orz funkcję c L 1 (I, R) tką, że f(t, x) c(t) dl p.w. t I orz x D(x, R). Wreszcie weźmy T (, b] tk, by T c(t) dt R. Niech C := {u C(J, Rn ) u x R}. Zbiór C jest wypukły i domknięty. Jeżeli u C, to u(t) D(x, R) dl dowolnego t J. Zdefiniujmy opertor F : C C(J, R n ), gdzie J := [, T ], dny wzorem F (u)(t) = x + f(s, u(s)) ds, t J, dl u C(J, R n ). Opertor ten jest poprwnie określony: funkcj J s f(s, u(s)) jest mierzln i cłkowln, bo f(s, u(s)) c(s) dl p.w. s J i c L 1 (J, R). Pondto, dl dowolnego u C orz t J, F (u)(t) x f(s, u(s)) ds c(s) ds R. Ztem F : C C. Opertor F jest ciągły: jeśli u n u w C, to dl p.w. s J, f(s, u n (s)) f(s, u(s)); pondto f(s, u n (s)) f(s, u(s)) 2c(s) dl p.w. s J. Ztem F (u n ) F (u) = sup F (u n )(t) F (u)(t) t J f(s, u n (s)) f(s, u(s)) ds f(s, u n (s)) f(s, u(s)) ds. Pondto rodzin {F (u)} u C m ogrniczone orbity: dl kżdego u C, F (u)(t) x + f(s, u(s)) ds x + c(s) ds J J J
25 Równni różniczkowe w przestrzenich Bnch 25 i jest jednkowo ciągł ( nwet jednkowo jednostjnie ciągł): dl dowolnego u C i t, t J, F (u)(t) F (u)(t ) t c(s) ds. Ztem, n mocy twierdzeni Ascoli-Arzeli, opertor F jest zwrty. Z twierdzeni Schuder o punkcie stłym istnieje funkcj u C tk, że F (u) = u, tzn. dl dowolnego t J, u(t) = F (u)(t) = x + więc u (t) = f(t, u(t)) dl p.w. t J i u() = x. f(s, u(s)) ds Uwg: (1) Anlogicznie możn udowodnić nstępujące twierdzenie: Jeśli D E jest zbiorem otwrtym, I = (, b),, f : I D E jest funkcj Crthéodory ego i, dl kżdego ogrniczonego zbioru B D istnieje funkcj c B : I R tk, że f(t, x) c B (t) dl p.w. t I orz x B i tk, że dl dowolnego α (, b), c B jest cłkowln n odcinku (, α]. Wtedy dl dowolnego x D istnieje loklne mocne rozwiąznie problemu { x = f(t, x) lim t + x(t) = x. Dowód jest nlogiczny: nleży prcowć w przestrzeni Bnch BC(J, R n ), gdzie J := (, T ], funkcji ciągłych i ogrniczonych n J z topologią zbieżności jednostjnej. (2) Przypomnijmy definicję jednkowej ciągłości. Niech X, Y będą przestrzenimi metrycznymi. Mówimy, że rodzin F funkcji X Y jest jednkowo ciągł gdy, dl dowolnego x X i ε >, istnieje δ > tk, że jeśli d(x, y) < δ i f F, to d(f(x), f(y)) < ε. Rodzin F jest jednkowo jednostjnie ciągł, gdy dl kżdego ε >, istnieje δ > tk, że dl x, y X, jeśli d(x, y) < δ i f F, to d(f(x), f(y)) < ε. Jest jsne, że jednkowo ciągł rodzin funkcji n przestrzeni metrycznej zwrtej jest jednkowo jednostjnie ciągł (uogólnienie twierdzeni Cntor). Wrto wspomnieć o nstępującym fkcie: jeśli ciąg funkcyjny (f n : X Y ) n=1 jest jednkowo ciągły i zbieżny punktowo, to jest on zbieżny nieml jednostjnie (jednostjnie n kżdym zwrtym podzbiorze przestrzeni X). W dowodzie twierdzenie użyliśmy twierdzeni Ascoli-Arzeli: Rodzin F C(X, Y ) jest względnie zwrt w topologii zbieżności nieml jednostjnej wtedy i tylko wtedy, gdy: F jest rodziną jednkowo ciągłą i, dl dowolnego x, orbit F(x) := {f(x) f F} jest zbiorem względnie zwrtym; lub wszystkie orbity s względnie zwrte orz, dl dowolnego zwrtego Z X, obcięcie F Z jest rodziną jednkowo ciągłą n Z. W dowodzie fktu z (1) w tym miejscu nleży skorzystć z nstępującej wersji twierdzeni Ascoli: jeśli przestrzeń X jest cłkowicie ogrniczon ( 9 ), rodzin F C(X, Y ) jest jednkowo jednostjnie ciągł o względnie zwrtych orbitch, to jest on względnie zwrt w topologii zbieżności jednostjnej. 9 Tzn. dl dowolnego ε > X posid skończoną ε-sieć.
26 26 W. Kryszewski Przypdek, gdy przestrzeń X nie jest cłkowicie ogrniczon jest brdziej skomplikowny. Przypuśćmy, że Y jest przestrzenią zupełną, F C(X, Y ) jest rodziną jednkowo ciągłą i stbilną w nieskończoności, tzn. dl dowolnego ε >, istnieje zbiór zwrty Z X orz δ > tkie, że dl dowolnych funkcji f, g F, jeśli sup x Z d(f(x), g(s)) < δ, to sup x X\Z d(f(x), g(x)) < ε. Jeśli orbity F są względnie zwrte, to rodzin F jest względnie zwrt w C(X, Y ) z topologią zbieżności jednostjnej. Dl dowodu wystrczy zuwżyć, że rodzin F jest względnie zwrt w topologii zbieżności nieml jednostjnej. Ztem dowolny ciąg (f n ) o wyrzch z F (ewentulnie przechodząc do podciągu) jest nieml jednostjnie zbieżny. Ciąg ten jest również zbieżny jednostjnie do pewnej funkcji f. Dl dowolnego ε > znjdziemy zwrty zbiór Z X i δ < jk w wrunku stbilności. Istnieje N N tkie, że dl n, m N, sup x Z d(f n (x), f m (x)) < min{ε, δ}. Z wrunku stbilności wynik, że dl tkich n, m, sup x X d(f n (x), f m (x)) < ε. A więc ciąg (f n ) spełni wrunek Cuchy ego (w topologii zbieżności jednostjnej). Z zupełności przestrzeni C(X, Y ) (z topologią zbieżności jednostjnej) wynik, że f n f jednostjnie. Ztem tkże f n f nieml jednostjnie. W tki rzie f = f. Będziemy tez potrzebowć twierdzeń o zbieżności rozwiązń przybliżonych i kryteriów słbej zwrtości w przestrzeni funkcji cłkowlnych Twierdzenie: (o zbieżności) Niech E, F będą przestrzenimi Bnch, (T, A, µ) przestrzenią z mirą f : T E F funkcją tk, że dl p.w. t T, funkcj f(t, ) : E F jest słbo górnie półciągł (tzn. dl kżdego p F, funkcj E x p, f(t, x) R jest górnie półciągł). Przypuśćmy, że dne jest ciąg funkcyjne (u n : T E) tki, że u n (t) u(t) p.w. orz ciąg (w n ) w L p (T, F ), 1 p < tki, że w n w słbo w L p (T, F ). Jeśli, dl p.w. t T i dl dowolnego ε >, istnieje N N tkie, że w n (t) cl conv B(f(t, B(u n (t), ε)), ε) dl n N, to w(t) = f(t, u(t)) dl p.w. t T. Dowód: Przypomnijmy, że dl zbioru wypukłego w przestrzeni Bnch domknięcie i słbe domknięcie pokrywją się. Dl dowolnego n N, funkcj w nleży do słbego domknięci zbioru conv {w m } m n ; ztem w nleży też do domknięci tego zbioru. Stąd, dl kżdego n, istnieje funkcj z n conv {w m } m n tk, że Oczywiście z n w L p < 1 n. z n = m n m n w m gdzie m n = dl p.w. m n orz m n m n = 1. Innymi słowy z n w w L p. Ewentulnie przechodząc do podciągu, z n (t) w(t) dl p.w. t T. Ustlmy zbiór mierzlny T T tki, że µ(t \ T ) =, u n (t) u(t), z n (t) w(t) orz f(t, ) jest słbo górnie półciągłe dl t T.
27 Równni różniczkowe w przestrzenich Bnch 27 Niech t T będzie ustlone. Weźmy dowolne ε > i p F. Z złożeni o ciągłości f(t, ) wynik, że istnieje η (, p 1 ε/3) tk, że p, f(t, x) < p, f(t, u(t)) + ε/3 o ile x E i x u(t) < η. Ewentulnie zmniejszjąc jeszcze zbiór T, istnieje N N tkie, że dl n N, w n (t) cl conv B(f(t, B(u n (t)), η/2), η/2). Niech n N i weźmy y n conv B(f(t, B(u n (t), ε)), ε) tkie, by Oczywiście w n (t) y n < η. y n = k n i=1 λ n i v n i, gdzie k n i=1 λn i = 1 orz v n i B(f(t, B(u n (t), ε)), ε) dl i = 1,..., k n. W tkim rzie, dl kżdego i = 1,..., k n, znjdziemy x n i B(u n (t), η/2) orz t n i = f(t, x n i ) tkie, że v n i t n i < η/2. Istnieje N 1 N tkie, że dl n N 1. Wtedy u n (t) u(t) < η/2 u(t) x n i < η dl n N 1 orz i = 1,..., k n.ztem, dl n N 1, p, w n (t) = p, w n (t) y n + p, y n p w n (t) y n + k n i=1 λ n i p, v n i. Z kolei, dl wszystkich i = 1,..., k n, p, vi n = p, vi n t n i + p, t n i p vi n t n i + p, f(t, x n i ) < p η+ p, f(t, u(t)) +ε/3. Biorąc to wszystko pod uwgę, dl n N 1, p, w n (t) < p, f(t, u(t)) + ε. Niech n N 1. Mnożąc powyższą nierówność przez m n dl m n i dodjąc stronmi otrzymmy p, z n (t) < p, f(t, u(t)) + ε. Przechodząc do grnicy z n, dostjemy: p, w(t) p, f(t, u(t)) + ε. Z dowolności ε, dl dowolnego p F, p, w(t) p, f(t, u(t)).
28 28 W. Kryszewski Dowodzi to, że w(t) = f(t, u(t)) Uwg: Twierdzenie to będziemy często wykorzystywć w różnych okolicznościch. N przykłd (przy wszystkich powyższych złożenich poz osttnim) przypuśćmy, że w n (t) f(t, u n (t)) dl p.w. t T. Wtedy to ostnie złożenie też jest spełnione. Obecnie i w przyszłości przyddzą się nm również kryteri słbej zwrtości w przestrzeni L 1 (T, E) gdzie T jest tkie jk wyżej Twierdzenie: (Diestel) Niech E będzie przestrzeni Bnch, (T, A, µ) przestrzeń z mirą skończoną i niech W L 1 (T, E) będzie zbiorem jednostjnie cłkowlnym, tzn. dl dowolnego ε >, istnieje δ > tk, że jeśli A A i µ(a) < δ, to w(t) dt < ε dl kżdej funkcji w W A (1 ). Złóżmy dlej, że: (1) Dl kżdego ε > istnieje zbiór T ε A tki, że µ(t \ T ε ) < ε orz słbo zwrty zbiór Q ε E tki, że w(t) Q ε dl wszystkich t T ε i w W; lub (2) Dl p.w. t T, istnieje słbo zwrty zbiór C(t) E tki, że w(t) C(t) dl dowolnej funkcji w W. Wówczs zbiór W jest względnie słbo zwrty Uwg: Widomo, jeśli zbiór Z E, gdzie E jest przestrzenią Bnch, jest względnie słbo zwrty, to dowolny ciąg (x n ) o wyrzch w Z posid słbo zbieżny podciąg. Podmy dowód twierdzeni Diestel przy złożeniu, że E jest przestrzeni refleksywną zbiór W jest cłkowo ogrniczony (skończoność miry µ ni żdne inne dodtkowe złożeni nie są wtedy potrzebne). Wtedy minowicie, dl p.w. t T i kżdej funkcji w W, w(t) c(t). Wówczs, dl p.w. t T i dowolnego w W, w(t) C(t) := {x E x c(t)}. Poniewż E, jest przestrzenią refleksywną, to z twierdzeni Eberlein-Schmulyn, zbiór C(t) jest słbo zwrty dl p.w. t T (dl tych t T, dl których c(t) < ). Widzimy więc, że z cłkowej ogrniczoności zbioru W i refleksywności wynik złożenie (2). Przejdźmy jednk do dowodu. Oczywiście możn złożyć, że c > n T. Rozwżmy przeksztłcenie ϕ : L (T, E) L 1 (T, E) zdne wzorem T (u) = c u dl u L (T, E). Przestrzeń sprzężon [L 1 (T, E )], n mocy twierdzeni Dunford, jest równ L (T, E ) = L (T, E) bo przestrzeń E jest refleksywn. Ztem L (T, E) jest przestrzenią sprzężoną. Niech D ozncz jednostkową kulę domkniętą w L (T, E); jest on słbo zwrt n mocy twierdzeni Aloglu-Bnch. Odwzorownie ϕ jest ciągłe o ile w L (T, E) rozwżyć słbą topologię w L 1 (T, E) słbą topologię : istotnie dl dowolnego w L (T, E ) = [L 1 (T, E)] orz u L 1 (T, E), w, ϕ(u) = cw, u orz cw L 1 (T, E ). Ztem ϕ(d) jest zbiorem słbo zwrtym. Zuwżmy terz, że W ϕ(d): jeśli w W, to w = c c 1 w = ϕ(c 1 w) i c 1 w L 1. 1 Zuwżmy, że zbiory jednostjnie cłkowlne są ogrniczone. Jeśli zbiór W jest cłkowo ogrniczony, tzn. istnieje funkcj c L 1 (T, R) tk, że, dl dowolnego w W, w(t) c(t) dl p.w. t T, to zbiór W jest jednostjnie cłkowlny.
29 Równni różniczkowe w przestrzenich Bnch 29 Możemy obecnie omówić pojęcie rozwiązni mksymlnego i minimlnego dl równń różniczkowych sklrnych i twierdzeni o porównywniu (pewne uogólnieni nierówności Gronwll). Niech f : I D R, gdzie D R, I = [, T ]. Rozwiązniem mksymlnym (odp. minimlnym) równni x = f(t, x), x() = x D nzywmy mocne rozwiąznie wysycone x (odp. x (tzn. zdefiniowne n mksymlnym przedzile nieprzedłużlne) tkie, że kżde inne rozwiąznie (klsyczne lub mocne) x jest innym rozwiązniem spełni wrunek n części wspólnej przedziłów istnieni. x(t) x(t) (odp. x(t) x(t)) Twierdzenie: Jeśli f : I D R, gdzie D jest zbiorem otwrtym w R, jest funkcją Crthéodory ego cłkowo ogrniczoną n ogrniczonych podzbiorch zbioru I D, to dl dowolnego x D istnieje mksymlne (odp. minimlne) rozwiąznie. Dowód: Podobnie jk w dowodzie twierdzeni niech x D. Weźmy R > tkie, że D(x, R) D i rozwżmy funkcję c L 1 (I, R) tką, że f(t, x) c(t) dl p.w. t I orz x D(x, R). Wybiermy terz b (, T ] tk, by b c(t) dt R. Niech S będzie zbiorem wszystkich rozwiązń równni x = f(t, x), x() = x określonych n odcinku [, b]. Z twierdzeni wynik, że S. Zbiór S jest częściowo uporządkowny przez relcją: dl x, y S: x y t [, b] x(t) y(t). Wykorzystmy lemt Kurtowskiego-Zorn. Niech Λ będzie łńcuchem w S. Rodzin Λ (dziedzicząc porządek) jest zbiorem skierownym; tym smym Λ jest niemlejącym ciągiem uogólnionym punktowo ogrniczonym, więc również zbieżnym punktowo. Pondto rodzin t jest jednkowo ciągł. A ztem jest jednostjnie zbieżn do pewnej funkcji ciągłej x : [, b] R. Rodzin pochodnych {x λ } λ Λ jest cłkowo ogrniczon. Posid więc zbieżny (słbo w L 1 ) podciąg do pewnej funkcji y L 1 (I, R)). Zwykł rgumentcj prowdzi więc do tego, że x jest funkcją bsolutnie ciągłą i x = y p.w. Wobec tego x jest rozwiązniem (mocnym) wyjściowego równni. Ztem x S i jest ogrniczeniem górnym dl łńcuch Λ. Z lemtu Kurtowskiego-Zorn w S istnieje element mksymlny (w sensie relcji ) x S. Dowiedziemy, że x jest rozwiązniem mksymlnym. Niech y : [, b] będzie rozwiązniem. Jeśli istnieje punkt t [, b] tki, że y(t) > x (t), to funkcj u(t) = mx{x, y} jest również rozwiązniem spełnijącym wrunek u x i u x. Jest to sprzeczne z mksymlnością x. Stosując zwykłe rozumownie możn przedłużyć rozwiąznie x do rozwiązni mksymlnego (orz wysyconego) w sensie przytoczonej powyżej definicji.
Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski
Nottki z Anlizy Mtemtycznej 4 Jcek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 7 Cłk Riemnn 1. Cłk nieoznczon Definicj 7.1. Niech f : (, b) R będzie dowolną funkcją. Jeżeli dl pewnej funkcji F : (, b) R spełnion jest równość
Wojciech Kryszewski. Inkluzje różniczkowe. Wykład monograficzny
Wojciech Kryszewski Inkluzje różniczkowe Wykłd monogrficzny Wydził Mtemtyki i Informtyki UMK Wydził Fizyki Technicznej i Mtemtyki Stosownej PŁ Toruń/Łódź 2014 ISBN xxxx c Copyright by Wojciech Kryszewski
nazywamy odpowiednio dolną oraz górną sumą Darboux funkcji f w przedziale [a, b] wyznaczoną przez podział P.
Rozdził 10 Cłk Drboux 10.1 Doln i górn sum Drboux Definicj podziłu. Niech, b R, < b. Kżdy skończony ciąg P postci (10.1) P = (x 0,..., x n ), gdzie n N, = x 0 < x 1
RACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I.
RACHUNEK CAŁKOWY Funkcj F jest funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I R, jeżeli F (x) = f (x), dl kżdego x I. Przykłd. Niech f (x) = 2x dl x (, ). Wtedy funkcje F (x) = x 2 + 5, F (x) = x 2 + 5, F (x)
Wykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa
Wykłd 2. Pojęcie cłki niewłściwej do rchunku prwdopodobieństw dr Mriusz Grządziel 4 mrc 24 Pole trpezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ogrniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją
VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona
VI. Rchunek cłkowy. Cłk nieoznczon Niech F : I R i f : I R będą funkcjmi określonymi n pewnym przedzile I R. Definicj. Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I, gdy F (x) = f(x) dl x
Analiza Matematyczna (część II)
Anliz Mtemtyczn (część II) Krzysztof Trts Witold Bołt n podstwie wykłdów dr. Piotr Brtłomiejczyk 25 kwietni 24 roku 1 Rchunek cłkowy jednej zmiennej. 1.1 Cłk nieoznczon. Definicj 1.1.1 (funkcj pierwotn)
Analiza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim
Anliz mtemtyczn v..6 egzmin mgr inf niestcj Oznczeni: f, g, h : J R funkcje rzeczywiste określone n J R J przedził, b),, b], [, b), [, b], półprost, b),, b],, ), [, ) lub prost R α, β [min{α, β}, m{α,
PEWNIK DEDEKINDA i jego najprostsze konsekwencje
PEWNIK DEDEKINDA i jego njprostsze konsekwencje W rozdzile ósmym stwierdziliśmy, że z podnych tm pewników nie wynik istnienie pierwistków z liczb rzeczywistych. Uzupe lnimy terz liste pewników jeszcze
Spis treści. 1 Wprowadzenie 2
Spis treści 1 Wprowdzenie 2 2 Podstwowe przestrzenie funkcyjne 14 2.1 Przestrzenie L p (, b) i L (, b)......................... 14 2.2 Przestrzenie L p (, b) L p (, b) i L (, b) L (, b)............. 27
1 Definicja całki oznaczonej
Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj y = g(x) ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podzielimy n n podprzedziłów punktmi = x < x < x
Całki niewłaściwe. Rozdział Wprowadzenie Całki niewłaściwe I rodzaju
Rozdził 3 Cłki niewłściwe 3. Wprowdzenie Omwine w poprzednim rozdzile cłki oznczone są cłkmi funkcji ciągłych n przedzile domkniętym, więc funkcji ogrniczonych n przedzile skończonym. Wiele zgdnień prktycznych
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
Uniwersytet Mikołj Kopernik w Toruniu Wydził Mtemtyki i Informtyki Krzysztof Frączek Anliz Mtemtyczn I Wykłd dl studentów I roku kierunku informtyk Toruń 206 Spis treści Liczby rzeczywiste 2 Ciągi liczbowe
Całka Riemanna Dolna i górna suma całkowa Darboux
Doln i górn sum cłkow Drboux π = {x 0,..., x k }, x 0 =, x k = b - podził odcink [, b]; x i = x i x i 1, i = 1, 2,..., k; P = P[, b] - rodzin podziłów odcink [, b]. m i = m i (f, π) := inf x [xi 1,x i
Analiza Matematyczna II
Uniwersytet Jn Kochnowskiego w Kielcch Wydził Mtemtyczno-Przyrodniczy Instytut Mtemtyki Dr hb. prof. UJK Grzegorz Łysik Anliz Mtemtyczn II Skrypt wykłdów Kielce, 212. 1 1 Funkcje wielu zmiennych 1.1 Przestrzeń
Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna
1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,
Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Stnisłw Jworski Ktedr Ekonometrii i Sttystyki Zkłd Sttystyki Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Cłk
Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,
Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,
Wariacje Funkcji, Ich Własności i Zastosowania
Środowiskowe Studi Doktornckie z Nuk Mtemtycznych Uniwersytet Mrii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Józef Bnś Ktedr Mtemtyki Politechnik Rzeszowsk Wricje Funkcji, Ich Włsności i Zstosowni Lublin 2014 Spis
Niewymierność i przestępność Materiały do warsztatów na WWW6
Niewymierność i przestępność Mteriły do wrszttów n WWW6 Piotr Achinger 23 sierpni 2010 1 Wstęp 1.1 Liczby wymierne i niewymierne Pytnie 1. Czy istnieją liczby niewymierne? Zdnie 1. Wykzć, że 1. 2 / Q,
O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych
Spis tresci 1 Spis tresci 1 W wielu zgdnienich prktycznych brdzo wżne jest znjdownie optymlnego (czyli njlepszego z jkiegoś punktu widzeni) rozwiązni dnego problemu. Dl przykłdu, gdybyśmy chcieli podróżowć
Wykład 3: Transformata Fouriera
Rchunek prwdopodobieństw MAP64 Wydził Elektroniki, rok kd. 28/9, sem. letni Wykłdowc: dr hb. A. Jurlewicz Wykłd 3: Trnsformt Fourier Złóżmy, że f(t) jest określon n R, ogrniczon, okresow o okresie 2T i
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki oznaczone. lim δ n = 0. σ n = f(ξ i ) x i. (1)
Mciej Grzesik Instytut Mtemtyki Politechniki Poznńskiej Cłki oznczone. Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj f ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podziey n n podprzedziłów punktmi = x < x
ANALIZA MATEMATYCZNA 1
ANALIZA MATEMATYCZNA Ciągi liczbowe Definicj. Rzeczywistym nieskończonym ciągiem liczbowym nzywmy funkcję określoną n zbiorze liczb nturlnych o wrtościch w zbiorze liczb rzeczywistych f : N R, n n. Ciąg
Maciej Grzesiak. Iloczyn skalarny. 1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni. a b = a b cos ϕ. j) (b x. i + b y
Mciej Grzesik Iloczyn sklrny. Iloczyn sklrny wektorów n płszczyźnie i w przestrzeni Iloczyn sklrny wektorów i b określmy jko b = b cos ϕ. Bezpośrednio z definicji iloczynu sklrnego mmy, że i i = j j =
Całka Riemanna. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk
Anliz Mtemtyczn Cłk Riemnn Alexnder Denisjuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Jpońsk Wyższ Szkoł Technik Komputerowych zmiejscowy ośrodek dydktyczny w Gdńsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdńsk Anliz Mtemtyczn p.
O SZEREGACH FOURIERA. T (x) = c k e ikx
O SZEREGACH FOURIERA Funkcję postci. Wielominy i szeregi trygonometryczne. T x = N k= N c k e ikx nzywmy wielominem trygonometrycznym. Jk widć, wielomin trygonometryczny jest funkcją okresową o podstwowym
Sprawy organizacyjne
Sprwy orgnizcyjne Litertur Wykłd będzie w zsdzie smowystrczlny. Oto kilk pozycji przydtnej litertury uzupełnijącej (wszystkie pozycje zostły wydne przez PWN: Andrzej Birkholc, Anliz mtemtyczn. Grigorij
MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej
Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe
PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych
PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 3 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy z dnych" 1 Rozkłdlno dlność schemtów w relcyjnych Przykłd. Relcj EGZ(U), U := { I, N, P, O }, gdzie I 10 10 11 N f f
Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych
Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.
9. Całkowanie. I k. sup
9. Cłkownie Zcznijmy od podstwowego dl teorii cłki pojęci podziłu. Podziłem odcink [, b] R nzywmy kżdy skończony zbiór P [, b] zwierjący ob końce odcink. Niech będą punktmi podziłu P. Odcinki = x < x
CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU
CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU Rozwżmy funkcję ciągłą x f(x) o wrtościch nieujemnych określoną n przedzile [, b]. Ustlmy [będzie to problem sttystyczny polegjący n dokłdnym sprecyzowniu informcji o
Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 15. CAŁKI OZNACZONE. Egzaminy I termin poniedziałek :00 Aula B sala 12B Wydział Informatyki
Ekoenergetyk Mtemtyk 1. Wykłd 15. CAŁKI OZNACZONE Egzminy I termin poniedziłek 31.01 14:00 Aul B sl 12B Wydził Informtyki Definicj (podził odcink) II termin poprwkowy czwrtek 9.02 14:00 WE-030 Podziłem
Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą
50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej
Całki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas
Cłki oznczone Definicj, włsności i oblicznie cłek oznczonych. Wrtość średni funkcji. Funkcj górnej grnicy cłkowni. Zstosowni cłek oznczonych. Cłki niewłściwe. Młgorzt Wyrws Ktedr Mtemtyki Wydził Informtyki
Wstęp do Analizy Matematycznej funkcje jednej zmiennej. Stanisław Spodzieja
Wstęp do Anlizy Mtemtycznej funkcje jednej zmiennej Stnisłw Spodziej Łódź 2014 2 Wstęp Książk t jest niezncznie zmodyfikowną wersją wykłdu z nlizy mtemtycznej dl pierwszego roku mtemtyki, jki prowdziłem
III. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej.
III. Rchunek cłkowy funkcji jednej zmiennej. 1. Cłki nieoznczone. Niech f : I R, I R - przedził n prostej. Definicj 1.1. (funkcji pierwotnej) Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I,
Całki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas
Cłki oznczone Definicj, włsności i oblicznie cłek oznczonych. Wrtość średni funkcji. Funkcj górnej grnicy cłkowni. Zstosowni cłek oznczonych. Cłki niewłściwe. Młgorzt Wyrws Ktedr Mtemtyki Wydził Informtyki
Kombinowanie o nieskończoności. 4. Jak zmierzyć?
Kombinownie o nieskończoności.. Jk zmierzyć? Projekt Mtemtyk dl ciekwych świt spisł: Michł Korch 9 kwietni 08 Trochę rzeczy z wykłdu Prezentcj multimediln do wykłdu. Nieskończone sumy Będzie nm się zdrzć
( ) Lista 2 / Granica i ciągłość funkcji ( z przykładowymi rozwiązaniami)
List / Grnic i ciągłość funkcji ( z przykłdowymi rozwiąznimi) Korzystjąc z definicji grnicy (ciągowej) funkcji uzsdnić podne równości: sin ) ( + ) ; b) ; c) + 5 Obliczyć grnice funkcji przy orz : + ) f
Analiza Matematyczna. Całka Riemanna
Anliz Mtemtyczn. Cłk Riemnn Aleksnder Denisiuk denisiuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Jpońsk Wyższ Szkoł Technik Komputerowych Wydził Informtyki w Gdńsku ul. Brzegi 55 8-45 Gdńsk 29 kwietni 217 1 / 2 Cłk Riemnn
Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności.
Wrtość bezwzględn Proste równni i nierówności Dl liczb rzeczywistych możemy zdefiniowć opercję zwną wrtością bezwzględną lub modułem liczby Definicj 7,, Sens powyższej definicji jest nstępujący Jeżeli
2 Całka oznaczona-cd Rozdrobnienia podziałów Warunki równoważne całkowalności Własności funkcji całkowalnych...
Spis treści Uzupełnieni do wykłdu. (4 III 200) 2. Jednostjn ciągłość funkcji.................... 2.2 Cłk Riemnn (heurez)..................... 3.3 Cłk Riemnn -konstrukcj................... 4.4 Przykłdy
MATEMATYKA 1 MACIERZE I WYZNACZNIKI
MATEMATYKA 1 MACIERZE I WYZNACZNIKI Definicj 1. Niech A i B będą dowolnymi zbiormi. Zbiór A B = {(, b) : A b B} wszystkich pr uporządkownych (, b) tkich, że A i b B nzywmy iloczynem krtezjńskim zbiorów
Całka oznaczona. Matematyka. Aleksander Denisiuk. Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza Elblag.
Mtemtyk Cłk oznczon Aleksnder Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblsk Uczelni Humnistyczno-Ekonomiczn ul. Lotnicz 2 82-3 Elblg Mtemtyk p. 1 Cłk oznczon Njnowsz wersj tego dokumentu dostępn jest pod dresem
GEOMETRIA Z TOPOLOGIĄ NOTATKI NA ZAJĘCIA. Spis treści
GEOMETRIA Z TOPOLOGIĄ NOTATKI NA ZAJĘCIA Wydził Mtemtyki i Informtyki Uniwersytet Łódzki Spis treści 1. Przestrzenie metryczne 1 1.1. Definicje i przykłdy 1 1.2. Zbieżności, zbiory 2 1.3. Odwzorowni przestrzeni
SZTUCZNA INTELIGENCJA
SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 9. ZBIORY ROZMYTE Częstochow 204 Dr hb. inż. Grzegorz Dudek Wydził Elektryczny Politechnik Częstochowsk ZBIORY ROZMYTE Klsyczne pojęcie zbioru związne jest z logiką dwuwrtościową
f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)
Cłk oznczon Cłkę oznczoną będziemy zpisywli jko f(x)dx (.) z fnkcji f(x), któr jest ogrniczon w przedzile domkniętym [, b]. Jk obliczyć cłkę oznczoną? Obliczmy njpierw cłkę nieoznczoną z fnkcji f(x), co
Analiza matematyczna ISIM II
Anliz mtemtyczn ISIM II Ryszrd Szwrc Spis treści Cłki niewłściwe 3. Cłki niewłściwe z funkcji nieujemnych............ 9.2 Cłki i szeregi........................... 2.3 Cłki niewłściwe z osobliwością w
Podstawy Teorii Sterowania Optymalnego
Podstwy Teorii Sterowni Optymlnego Wojciech Kryszewski Wstęp Celem wykłdu jest przedstwienie metod mtemtycznych niezbędnych do rozwiązywni tzw. zdń ekstremlnych i związnych z nimi zdń sterowni optymlnego.
N(0, 1) ) = φ( 0, 3) = 1 φ(0, 3) = 1 0, 6179 = 0, 3821 < t α 1 e t dt α > 0. f g = fg. f = e t f = e t. U nas: g = t α 1 g = (α 1)t α 2
Zdnie X,..., X 5 N(6, 5 ) Y,..., Y 6 N(7, 5 ) X N(6, 5 6 ) Ȳ N(7, 5 6 ) Przy złożeniu niezleżności zmiennych mmy: X Ȳ N(, ) po stndryzcji otrzymmy: Ȳ X N(, ) Pr(Ȳ X < ) = Pr(Ȳ X < ) = φ(, 3) = φ(, 3) =,
EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)
EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź
zbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy
5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 2006/7 3
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 3. Liczby nturlne i rzeczywiste; funkcje elementrne.. Funkcje. Niech X i Y będą zbiormi. Definicj.. Funkcją (inczej: odwzorowniem) z X do Y nzyw się przyporządkownie
R + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10
Zdnie. Zkłd ubezpieczeń n życie plnuje zbudownie portfel ubezpieczeniowego przy nstępujących złożenich: ozwiąznie. Przez P k będę oznczł wrtość portfel n koniec k-tego roku. Szukm P 0 tkie by spełnił:
Elementy rachunku wariacyjnego
Wykłd 13 Elementy rchunku wricyjnego 13.1 Przykłdowe zgdnieni Rchunek wricyjny zjmuje się metodmi wyznczni wrtości ekstremlnych funkcjonłów określonych n pewnych przestrzenich funkcyjnych. Klsyczn teori
LISTA02: Projektowanie układów drugiego rzędu Przygotowanie: 1. Jakie własności ma równanie 2-ego rzędu & x &+ bx&
LISTA: Projektownie ukłdów drugiego rzędu Przygotownie: 1. Jkie włsności m równnie -ego rzędu & &+ b + c u jeśli: ) c>; b) c; c) c< Określ położenie biegunów, stbilność, oscylcje Zdni 1: Wyzncz bieguny.
3. F jest lewostronnie ciągła
Def. Zmienną losową nzywmy funkcję X: tką, że x R : { : X( ) < x }. Ozn.: zmist pisd A = { : X( ) < x } piszemy A = { X < x } zdrzenie poleg n tym, że X( )
1 Elementy analizy funkcjonalnej
M. Beśka, Dodatek 1 1 Elementy analizy funkcjonalnej 1.1 Twierdzenia o reprezentacji Zaczniemy od znanego twierdzenia Riesza Twierdzenie 1.1 (Riesz) Niech będzie zwartą przestrzenią metryczną i załóżmy,
Kodowanie liczb. Kodowanie stałopozycyjne liczb całkowitych. Niech liczba całkowita a ma w systemie dwójkowym postać: Kod prosty
Kodownie licz Kodownie stłopozycyjne licz cłkowitych Niech licz cłkowit m w systemie dwójkowym postć: nn 0 Wtedy może yć on przedstwion w postci ( n+)-itowej przy pomocy trzech niżej zdefiniownych kodów
< f g = fg. f = e t f = e t. U nas: e t (α 1)t α 2 dt = 0 + (α 1)Γ(α 1)
Zdnie X,..., X 5 N(6, 5 ) Y,..., Y 6 N(7, 5 ) X N(6, 5 6 ) Ȳ N(7, 5 6 ) Przy złożeniu niezleżności zmiennych mmy: X Ȳ N(, ) po stndryzcji otrzymmy: Ȳ X N(, ) Pr(Ȳ X < ) = Pr(Ȳ X < ) = φ(, 3) = φ(, 3) =,
Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych
Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk Zgdnieni. Pojęci. Dziłni n mcierzch.
Równania różniczkowe cząstkowe - metoda Fouriera. Przykładowe rozwiązania i wskazówki
INSTYTUT MATEMATYKI POLITECHNIKA KRAKOWSKA Dr Mrgret Wicik e-mi: mwicik@pk.edu.p Równni różniczkowe cząstkowe - metod Fourier. Przykłdowe rozwiązni i wskzówki zd.1. Wyznczyć funkcję opisującą drgni podłużne
Rozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte
Rozwiązni mj 2017r. Zdni zmknięte Zd 1. 5 16 5 2 5 2 Zd 2. 5 2 27 2 23 2 2 2 2 Zd 3. 2log 3 2log 5log 3 log 5 log 9 log 25log Zd. 120% 8910 1,2 8910 2,2 8910 $%, 050 Zd 5. Njłtwiej jest zuwżyć że dl 1
Matematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski
Mtemtyk 1 Šuksz Dwidowski Instytut Mtemtyki, Uniwersytet l ski Cªk oznczon Niech P = [, b] R b dzie przedziªem. Podziªem przedziªu P b dziemy nzywli k»d sko«czon rodzin Π = {P 1, P 2,..., P m } tkich przedziªów,»e
WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:
WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość
usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu
Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje
4. RACHUNEK WEKTOROWY
4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie
Matematyka dla biologów Zajęcia nr 7.
Mtemtyk dl biologów Zjęci nr 7. Driusz Wrzosek 21 listopd 2018 Mtemtyk dl biologów Zjęci 7. 21 listopd 2018 1 / 20 Przypomnienie: funkcj pierwotn Niech F : D, gdzie D to odcinek otwrty lub cł prost ).
PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 2 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych
PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 2 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy bz dnych" 1 Pojęcie krotki - definicj Definicj. Niech dny będzie skończony zbiór U := { A 1, A 2,..., A n }, którego
Analiza matematyczna i algebra liniowa
Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Mteriły pomocnicze dl studentów do wykłdów Mcierze liczbowe i wyznczniki. Ukłdy równń liniowych. Mcierze. Wyznczniki. Mcierz odwrotn. Równni mcierzowe. Rząd mcierzy. Ukłdy
PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,
Zdnie PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD 04 Zbiorem wszystkich rozwiązń nierówności x 6 6 jest: A, 4 0, B 4,0 C,0 4, D 0,4 Odpowiedź: C Rozwiąznie Sposób I Nierówność A 6 jest równowżn lterntywie
Zbiory wyznaczone przez funkcje zdaniowe
pojęci zbioru i elementu RCHUNEK ZIORÓW zbiór zwier element element nleży do zbioru jest elementem zbioru ( X zbiór wszystkich przedmiotów indywidulnych, których dotyczy dn nuk zbiór pełny (uniwerslny
Całki niewłaściwe. Funkcje Γ i B Eulera oraz ich zastosowania
Rozdził Cłki niewłściwe. Funkcje Γ i B Euler orz ich zstosowni W tym rozdzile omówimy pojęcie cłki niewłściwej. Zjmiemy się też dwom brdzo wżnymi konkretnymi typmi tkich cłek: funkcjmi Γ (gmm i B (bet
Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań
KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni
Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.
ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.
AnFunI.tex June 3, 2015 ANALIZA FUNKCJONALNA I
AnFunI.tex June 3, 2015 1. Wstęp. ANALIZA FUNKCJONALNA I W kursie lgebry rozwżne były tylko odwzorownie wielo-liniowe przestrzeni wektorowych. w szczególnosci, mow był o formch biliniowych. Dl przestrzeni
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna.
Rchunek rwdoodobieństw i sttystyk mtemtyczn. Zd 8. {(, : i } Zleżność tą możn rzedstwić w ostci nstęującej interretcji grficznej: Arkdiusz Kwosk Rfł Kukliński Informtyk sem.4 gr. Srwdźmy, czy odne zmienne
CAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Trnsport, studi niestcjonrne I stopni, semestr I rok kdemicki 01/013 Instytut L-5, Wydził Inżynierii Lądowej, Politechnik Krkowsk Ew
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i
O pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych)
(niekoniecznie ograniczonych) Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań Będlewo, 25-30 maja 2015 Funkcje prawie okresowe w sensie Bohra Definicja Zbiór E R nazywamy względnie
Wyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach
Wyk ld 1 Podstwowe widomości o mcierzch Oznczeni: N {1 2 3 } - zbiór liczb nturlnych N 0 {0 1 2 } R - ci lo liczb rzeczywistych n i 1 + 2 + + n i1 1 Określenie mcierzy Niech m i n bed dowolnymi liczbmi
PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b,
WYKŁAD 0 PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH (powtórzenie) 1. Funkcje liniowe Funkcją liniową nzywmy funkcję postci y=f()=+b, gdzie, b są dnymi liczbmi zwnymi odpowiednio: - współczynnik kierunkowy, b - wyrz
Obliczenia naukowe Wykład nr 14
Obliczeni nuowe Wyłd nr 14 Pweł Zielińsi Ktedr Informtyi, Wydził Podstwowych Problemów Technii, Politechni Wrocłws Litertur Litertur podstwow [1] D. Kincid, W. Cheney, Anliz numeryczn, WNT, 2005. [2] A.
Analiza matematyczna i algebra liniowa Całka oznaczona
Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Cłk oznczon Wojciech Kotłowski Instytut Informtyki Politechniki Poznńskiej emil: imię.nzwisko@cs.put.poznn.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultcje: piątek 15:10-16:40
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;
F t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Pierwiastek z liczby zespolonej
Pierwistek z liczby zespolonej Twierdzenie: Istnieje dokłdnie n różnych pierwistków n-tego stopni z kżdej liczby zespolonej różnej od zer, tzn. rozwiązń równni w n z i wszystkie te pierwistki dją się zpisć
1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.
1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych
Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Całkowanie numeryczne. Definicje, twierdzenia, algorytmy
http://wwwiiuniwrocpl/ sle/teching/n-wdrpdf Anliz numeryczn Stnisłw Lewnowicz Styczeń 008 r Cłownie numeryczne Definicje, twierdzeni, lgorytmy 1 Pojęci wstępne Niech IF IF [, b] ozncz zbiór wszystich funcji
1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
1 Ciągłe operatory liniowe
1 Ciągłe operatory liniowe Załóżmy, że E, F są przestrzeniami unormowanymi. Definicja 1.1. Operator liniowy T : E F nazywamy ograniczonym, jeżeli zbiór T (B) F jest ograniczony dla dowolnego zbioru ograniczonego
1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.
Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby