Materiały dydaktyczne. Matematyka. Semestr III. Ćwiczenia

Transkrypt

1 Materiał ddaktcze Matematka Semestr III Ćwiczeia Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci

2 CIII RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH RÓWNANIA JEDNORODNE Rówaia różiczkowe o zmiech rozdzieloch Rówaia różiczkowe jedorode Rówaia różiczkowe o zmiech rozdzieloch Przkład Wzaczć rozwiązaie szczególe rówaia o zmiech rozdzielch: ' o waruku początkowm ( ) Rozwiązaie Rozdzielam zmiee ' prz założeiu, czli Łatwo sprawdzić, że jest rozwiązaiem daego rówaia Otrzmae rówaie całkujem stroami względem ' d d d, czli d Fukcję rozkładam a sumę ułamków prostch, więc ( ) d l l d c l C, C R d Poieważ l C ( C R), więc l l C, ( C R) lub l l l C4, 4 C l l C4, l l C4, C4, l l C4 ; l l C 4, C4, C5, C 4 C5, stąd rozwiązaie ( ) Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci

3 C5 ogóle ( ) Rozwiązaie jest więc rozwiązaiem szczególm 5 C Następie zajdujem rozwiązaie szczególe (całkę szczególą) spełiającą da waruek początkow dla Mam więc C5, stąd ( ) 5 C Rozwiązaiem szczególm daego rówaia jest więc fukcja 6 ( ) Rówaia różiczkowe jedorode Przkład Rozwiązać rówaie jedorode ' l Rozwiązaie Sprowadzam rówaie do postaci ' f Zakładam,, otrzmujem ' l Podstawiam u, stąd u oraz ' u' u Po podstawieiu do przekształcoego rówaia otrzmujem rówaie różiczkowe o zmiech rozdzieloch o iewiadomej fukcji u u' u u lu, stąd u' ulu u u' u' Po rozdzieleiu zmiech mam, czli, prz założeiu u l u u u(l u ) u (l u ) Jeżeli lu, więc u e, czli e, stąd e jest rówież rozwiązaiem daego rówaia Całkujem rówaie o zmiech rozdzieloch Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci

4 u' d du d, czli u(l u ) d u(l u ) l u t du dt l t C l l u C u(l u ) du dt t u l l u l C, l l u l l C, C l l l C, l u C, l C, C C u u u e C C e, stąd e C, ostateczie rozwiązaie ogóle daego rówaia jest postaci Dla C otrzmujem e, więc otrzmae wcześiej rozwiązaie jest rozwiązaiem szczególm Zadaia Rozwiązać rówaia różiczkowe o zmiech rozdzieloch: a) ' ; b) ' ; c) ' cos ; d) ', gd ( ) Rozwiązać rówaia różiczkowe jedorode: a) ' ( ) ; b) ' ; c) ' ; d) ', gd ( ) Odpowiedzi a) ; b) l C ; c) arctg( C) ; d) C F 4 4 C C a) ( C l ), ; b) ; c) ; d) C Literatura: Z Roz VIII,,, Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 4

5 CIII RÓWNANIE LINIOWE PIERWSZEGO RZĘDU RÓWNANIE BERNOULLIEGO Rówaie liiowe I rzędu a) Metoda uzmieiaia stałej b) Metoda przewidwań Rówaie Beroulliego Rówaia liiowe pierwszego rzędu Przkład Rozwiązać rówaia różiczkowe liiowe: a) ' tg si ; b) ' cos Rozwiązaie a) Stosujem metodę uzmieiaia stałej ' tg si Rozwiązujem rówaie uproszczoe (liiowe jedorode) ' tg ' Rozdzielam zmiee i otrzmujem tg, Oczwiście fukcja jest rozwiązaiem szczególm tego rówaia Następie całkujem stroami ' d tgd d si d, cos, l l cos C l l cos lc,, C l lc cos C cos,, C cos, ostateczie k cos, k R Z kolei uzmieiam stałą k i mam k( ) cos Fukcja ta wraz z pochodą ' k'( )cos k( ) si spełia dae rówaie liiowe iejedorode, więc k' cos ksi tg kcos si, si si k' ( )cos si, czli k' ( ), k( ) d C m R l cos, cos cos Ostateczie rozwiązaie ogóle daego rówaia jest postaci: ( l cos C) cos Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 5

6 b) Dae rówaie możem rozwiązać metodą przewidwań Rozwiązaie ogóle jest postaci, gdzie jest rozwiązaiem ogólm rówaia liiowego jedorodego ', atomiast jest przewidwam rozwiązaiem szczególm rówaia wjściowego Zajdujem rozwiązaie ' ', ' d ',, ( jest rówież rozwiązaiem) d C C d, d C,, stąd e, e e, ostateczie l k R ke e C k,, Przewidujem rozwiązaie szczególe rówaia liiowego iejedorodego postaci ( a b)si ( c d)cos Stąd ' a si ( a b)cos C cos ( c d ) si, więc ' ( a d c)si ( b c a) cos Podstawiając i ' do daego rówaia otrzmujem po uporządkowaiu tożsamość: ( a b d )si ( b c d)cos ( a c) si ( a c) cos cos Stąd a b d, b c d, a c, a c, więc a, b, c, d Zatem ( )si cos Ostateczie rozwiązaie ogóle ( ) daego rówaia jest postaci ke ( )si cos Przkład Rozwiązać rówaie ' Rozwiązaie Z postaci rówaia wika, że jest to rówaie Beroulliego Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 6

7 Rówaie to sprowadzam do rówaia liiowego [WIII] Dzielim rówaie stroami przez, Oczwiście jest rozwiązaiem szczególm Otrzmujem ' Następie podstawiam z, stąd z' ', więc mam z' z, czli z' z (a) Następie rozwiązujem otrzmae rówaie liiowe metodą uzmieiaia stałej z' z' z, z' z,, z z' d d z dz d, z, l z l C l z l lc, C, l z l C, z C, z C, z C, C, C C R Uzmieiam stałą C Niech C ( C ), wówczas z C ( ), z C '( ) C ( ) Podstawiam z i z do rówaia (a): ' ', stąd C '( ), C '( ), C ( ) d l C, C ) l l C, C C ( ) C ( ) C ( ) ( 4 4 C 4 ( ) l C oraz z l C4 Poieważ z, więc ostateczie l C 4 Zadaia Rozwiązać rówaia różiczkowe liiowe: a) ' e ; b) ' e ; c) ' e e ; d) ' si Rozwiązać rówaia różiczkowe Beroulliego: a) ' e ; b) ' ; c) ' e 4 Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 7

8 Odpowiedzi C e a) Ce ; b) ; c) e e Ce ; d) si ( ) cos Ce 4 a) ; b) Ce ; c) e Ce ( C) e Literatura: Z Roz VIII, 45 Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 8

9 CIII RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE II RZĘDU PRZYPADKI SZCZEGÓLNE ' ' f ( ) ; ' ' f (, ' ), ( F (, ', '') )), ' ' f (, ' ), ( F (, ', '') ) Sposob rozwiązwaia podao w (WIII ) Przkład Rozwiązać rówaia różiczkowe a) ' ' ; b) Rozwiązaie ' ' 'l ; c) ' ' ' a) ' ', ' d C l C d C C l (rozwiązaie ogóle) l p p b) Podstawiam ' p, stąd ' ' p', p' l, p', l p', p, gdzie p to C (rozwiązaie szczególe) p l p' dp d, d p l p, l l p l l C, l p l C l, C, stąd p C l, p C l, C C, czli ' C l, C l d Ostateczie C ( l ) C (rozwiązaie ogóle) c) Podstawiam ' p, stąd ' ' p' ' ( p' p'( )), stąd '' p' p Następie mam p' p p, więc p' lub p, czli ', C (rozwiązaie szczególe) Rozwiązujem rówaie p' Całkujem względem : ' d p C, stąd ' C Rozdzielam zmiee, C d, C Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 9

10 arctg Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego C Zadaie Ostateczie C tg C Rozwiązać rówaia różiczkowe a) ' ' si ; b) ' ' ' e ; c) '' ( ') Odpowiedzi a) si C C, 6 b) e ( ) C C, c) ( C ) C 4C Literatura: Z Roz VIII, 8 C Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci

11 CIII 4 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE DRUGIEGO RZĘDU Rówaia różiczkowe liiowe jedorode o stałch współczikach Rówaia różiczkowe liiowe iejedorode - Metoda uzmieiaia stałch - Metoda przewidwań Rówaia liiowe jedorode o stałch współczikach '' a' b, a, b R (a) Sposób rozwiązwaia rówaia (a) podao w [WIII 4] Przkład Rozwiązać rówaia: a) '' ' 4 ; b) '' 4' 4 ; c) '' ' Rozwiązaie a) Rówaie charakterstcze r r 4 ma pierwiastki r, r 4, więc rozwiązaie ogóle jest postaci 4 Ce Ce, C, C R b) Rówaie charakterstcze r 4r 4 ma pierwiastek podwój r o, więc rozwiązaie ogóle jest postaci C e C e, C C R, c) Rozwiązujem rówaie charakterstcze r r Poieważ współczik 4, więc rówaie ma pierwiastki zespoloe 4 i 4 i, więc z i, z i Rozwiązaie ogóle daego rówaia jest postaci Ce cos Ce si, C, C R Rówaie liiowe iejedorode o stałch współczikach ' ' a' b f ( ), a, b R Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci

12 Korzstam z metod rozwiązwaia podach w [WIII 4] Przkład Rozwiązać rówaia: a) ' ' e ; b) '' ' Rozwiązaie a) Rówaie rozwiązujem metodą uzmieiaia stałch Najpierw rozwiązujem rówaie liiowe jedorode '' Pierwiastkami rówaia charakterstczego r są liczb oraz Wika stąd, że rozwiązaie ogóle rówaia liiowego iejedorodego jest postaci Następie uzmieiam stałe C, C i mam C ) e ( C ( ) e Ce C e, C, C R Wzaczam fukcje C ), C ( ), którch pochode spełiają układ rówań: C'( ) e C '( ) e, C'( ) e C '( ) e e ( Rozwiązaiem układu rówań są fukcje C '( ) e, C '( ) Stąd C( ) e d e K, 4 C ( ) d K, K, K R Rozwiązaie ogóle daego rówaia jest postaci e 4 K e K e b) Stosujem metodę przewidwań Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci

13 Rozwiązaie ogóle daego rówaia jest postaci o, gdzie o jest rozwiązaiem ogólm rówaia liiowego jedorodego, atomiast - przewidwam rozwiązaiem szczególm daego rówaia Rozwiązujem rówaie liiowe jedorode '' ' Pierwiastkiem podwójm rówaia charakterstczego r r jest r o, więc rozwiązaie ogóle rówaia liiowego jedorodego jest postaci C e C e o Następie przewidujem dowole rozwiązaie szczególe rówaia iejedorodego postaci a b, tz fukcją aalogiczej postaci jak fukcja po prawej stroie daego rówaia Wzaczam pochode ' a, '', które wraz z fukcją podstawiam do daego rówaia Otrzmujem a a b, stąd a, b, więc Ostateczie rozwiązaie ogóle daego rówaia jest postaci Ce Ce Zadaie Rozwiązać rówaia liiowe drugiego rzędu o stałch współczikach a) ' ; b) '' si, ( ), '( ) ; c) ' ' ' e si o Odpowiedzi a) l si C si C cos ; b) si si cos, c) e Ce Ce Literatura: Z Roz VIII, 8 Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci

14 CIII 5 DEFINICJA PRAWDOPODOBIEŃSTWA WŁASNOŚCI PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jeżeli przestrzeń zdarzeń elemetarch P i, w A A w, w,, w i i i k, wówczas P( A) k w,,w jest skończoa i Twierdzeie to [WIII5] azwae jest tzw klasczą defiicją prawdopodobieństwa Moża wkazać (w ramach ćwiczeń), że poda wzór spełia aksjomat defiicji aksjomatczej Wzór te możem więc stosować, gd zbiór jest skończo i zdarzeia elemetare są jedakowo prawdopodobe (schemat urowe, zadaie z kartami, zadaie z kostką i moetą) Elemet kombiatorki Permutacje Permutacje bez powtórzeń Niech A będzie zbiorem składającm się z różch elemetów A a, a,, a Defiicja Każdą fukcję różowartościową f określoą a zbiorze w zbiorze A azwam permutacją zbioru A Twierdzeie Liczba różch permutacji zbioru - elemetowego wosi! Wariacje Wariacje bez powtórzeń P! Niech A będzie zbiorem składającm się z różch elemetów A a, a,, a Z różch elemetów zbioru A możem utworzć ciągi k-elemetowe ( k ),,, o wartościach Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 4

15 Defiicja a, a,, a ; gdzie a a dla i j k Każdą fukcję różowartościową f określoą a zbiorze,,, k o wartościach w zbiorze A azwam k-wrazową wariacją bez powtórzeń zbioru A Twierdzeie Każda z k-wrazowch wariacji bez powtórzeń zbioru -elemetowego określoa jest wzorem V k i! ( k )( ) ( k)! j Wariacje z powtórzeiami Niech A będzie zbiorem składającm się z -różch elemetów: A a, a,, a Z elemetów zbioru A możem utworzć ciągi k-elemetowe Defiicja a, a,, a k Każdą fukcję f określoą a zbiorze,,, k o wartościach w zbiorze A azwam k-wrazową wariacją z powtórzeiami zbioru A Twierdzeie Liczba k-wrazowch wariacji z powtórzeiami zbioru -elemetowego określoa jest wzorem W k k Kombiacje Kombiacje bez powtórzeń Niech A będzie zbiorem składającm się z różch elemetów A a, a,, a Defiicja Każd k-wrazow podzbiór zbioru A złożo z różch elemetów zbioru Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 5

16 azwam k-elemetową kombiacją bez powtórzeń Twierdzeie Liczba k-wrazowch kombiacji bez powtórzeń zbioru -elemetowego określoa jest wzorem C k k! ( k )( k ) k!( k )! k! Przkład Obliczć prawdopodobieństw wlosowaia w totolotku: a) szóstki, b) czwórki Rozwiązaie a) Zakładam, że zasad tej popularej gr losowej są ogólie zae Wik losowaia 6 liczb spośród 49 jest zdarzeiem losowm Za zbiór zdarzeń elemetarch przjmujem zbiór wszstkich sześcioelemetowch podzbiorów zbioru,,,49 Zdarzeie elemetare,,, Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 6 6 Stąd mam,, : :,,,49, 6 k jest zbiorem wszstkich kombiacji sześcioelemetowch (bez powtórzeń) z liczb od do 49 Wszstkie zdarzeia elemetare są jedakowo prawdopodobe i jest ich 6 49 C ! 6!4! Prawdopodobieństwo każdego zdarzeia elemetarego wosi P ( ) 49 6 Niech A 6 będzie zdarzeiem, że wlosowaliśm szóstkę Poieważ jest to zdarzeie elemetare, więc P ( A6 ) Chociaż prawdopodobieństwo wstąpieia zdarzeia A 6 jest bardzo małe, to po każdm losowaiu przbwa milioerów Przed każdm losowaiem wpłwa kilkaaście milioów

17 zakładów Jeżeli przjmiem, że wśród tch kilkuastu milioów będzie p 8 milioów różch zakładów, to prawdopodobieństwo, że w jedm losowaiu padie co ajmiej 6 8 jeda szóstka jest rówe około, b) Niech A 4 będzie zdarzeiem, że wlosowao czwórkę Jeżeli wikiem losowaia jest zbiór l, l,, l 6, to dokładie czter liczb spośród liczb,,, 6 ależ do tego zbioru (dwie liczb ie ależą) Liczba zbiorów l, l,, l 6, do którch ie ależą dwie liczb spośród,,, 6 jest rówa Wika stąd, że P ( A4 ), Iterpretacja geometrcza prawdopodobieństwa (przpadek szczegól) Niech zbiorem zdarzeń elemetarch będzie zbiór płaski oraz zdarzeiem A będzie podzbiór zbioru ( A ) Poadto załóżm, że zbior i A mają skończoe miar (jako miarę zbioru przjmujem jego pole powierzchi) Doświadczeie losowe polega a wborze dowolego puktu ze zbioru Zakładam, że prawdopodobieństwo wboru puktów ze zbiorów o rówej mierze jest jedakowe Prawdopodobieństwo tego, że losowo wbra pukt obszaru jest puktem zbioru A określam wzorem: m( A) P ( A), m( ) m( ) Tak określoe prawdopodobieństwo azwam prawdopodobieństwem geometrczm Moża wkazać, że spełia oo aksjomat defiicji aksjomatczej Przkład W ciągu czasu T do odbiorika mogą adejść dwa sgał Prawdopodobieństwo adejścia sgału w dowolej chwili z przedziału O, T jest stałe Odbiorik pracuje prawidłowo jeżeli różica czasu międz chwilami adejścia sgałów jest miejsza od t ( t T ) Obliczć prawdopodobieństwo prawidłowej prac odbiorika w ciągu czasu T Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 7

18 Rozwiązaie Ozaczam odpowiedio przez i czas adejścia pierwszego i drugiego sgału Oczwiście T, T Zbiór, ), T, T ( jest kwadratem (rs) Zbiorem A jest zbiór puktów kwadratu, którch współrzęde spełiają ierówość (rs) t Rs t t t t t m( A) t(t t) P( A) m( ) T Zadaia Rzucoo trz moet Zakładając, że zdarzeia elemetare są jedakowo prawdopodobe wzaczć prawdopodobieństwo astępującch zdarzeń: A = {a pierwszej moecie wpadł orzeł}, B = {wpadł dokładie dwa orł}, C = {wpadł ie więcej iż dwa orł} W pudełku jest 9 sprawch i iesprawch trazstorów Z pudełka wzięto trazstorów Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wjętch: a) jest dokładie jede iespraw trazstor, Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 8

19 b) ie ma trazstorów iesprawch Zadaie Buffoa (fracuski przrodik XVIIIw) Na płaszczźie dae są proste rówoległe, międz którmi odległość jest rówa a Na płaszczzę w sposób losow rzucoo igłę o długości l (l<a) Zaleźć prawdopodobieństwo tego, że igła przetie dowolą prostą Odpowiedzi 7 l,, ; a),48; b),5; 8 8 a Literatura: RP Roz II; A Plucińska, E Pluciński, Zadaia z rachuku prawdopodobieństwa, PWN, Warszawa Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 9

20 CIII 6 PRAWDOPODOBIEŃSTWO WARUNKOWE NIEZALEŻNOŚĆ ZDARZEŃ Prawdopodobieństwo warukowe P( A B) P ( A B), A, B, P( B) P( B) Przkład Rzucam kostką do gr Obliczć prawdopodobieństwo zdarzeia polegającego a wrzuceiu ieparzstej liczb oczek pod warukiem, że zaszło zdarzeie polegające a wrzuceiu co ajwżej czterech oczek Rozwiązaie Zbiór zdarzeń elemetarch E e e e e 4 e 5 e 6,,,,,, gdzie ei ( i,,, 6 ) ozacza zdarzeie elemetare polegające a wrzuceiu i oczek Niech A ozacza zdarzeie polegające a wrzuceiu ieparzstej liczb oczek Zdarzeiu A sprzjają zdarzeia e, e, e5, więc A = e, e, e5 Niech B ozacza zdarzeie polegające a wrzuceiu co ajwżej czterech oczek Zdarzeiu B sprzjają zdarzeia e, e, e, e4, więc B e, e, e, e 4 Wika stąd, że A B e e, 4 Poieważ P( B) 6 oraz P( A B) 6 Niezależość par zdarzeń P( A B) P( A B) P( B), to a podstawie wzoru () otrzmujem Zdarzeia A i B azwam iezależmi, jeżeli P( A B) P( A) P( B) Przkład Wkazać, że jeżeli zdarzeia A i B, A, B E są iezależe, to A i B są rówież iezależe Rozwiązaie Zdarzeia A i B będą iezależe, jeżeli będzie zachodziła rówość P( A B) P( A) P( B ) P( A) P( B) [ P( A)][ P( B)] Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci

21 Poieważ więc P( A) P( B) [ P( A) P( B) P( A) P( B)] [ P( A) P( B) P( A B)] P( A B) P( A B) P[( A B) ] P( A) P( B) P[ A B) ] Korzstając z prawa de Morgaa otrzmujem czli zdarzeia A, B są iezależe Niezależość zdarzeń ( ) P( A) P( B) P( A B ) Zdarzeia A, B, C są iezależe, jeżeli są iezależe parami, tz oraz P( A B) P( A) P( B), P( A C) P( A) P( C) P( B C) P( B) P( C) P( A B C) P( A) P( B) P( C) Z iezależości par zdarzeń A, B, C ie wika jeszcze iezależość tch zdarzeń w sesie podaej defiicji Przkład Rzucam raz moetą Niech A k będzie zdarzeiem polegającm a tm, że w k-tm rzucie wpadł orzeł, k,,, Wkazać, że zdarzeia A, A,, A są iezależe Rozwiązaie E e (,,, ): i lub R, i Smbol i ( i R) ozacza, że w i-tm rzucie wpadł orzeł (reszka) Wszstkich zdarzeń elemetarch jest Zdarzeia elemetare są jedakowo prawdopodobe, więc P({ e}) Zgodie z określeiem Ak e (,,, ): k, k,,, Zdarzeiu A k sprzjają te zdarzeia elemetare e,,,, dla którch k, atomiast pozostałe i lub R Liczba zdarzeń elemetarch sprzjającch zdarzeiu A k Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci

22 jest rówa oraz P( A k ) Jeżeli e A A A gdzie i i ik i i i k, to w ciągu e miejscach i, i,, i k zajdują się, a pozostałe ( k) wraz są lub R Zdarzeń elemetarch sprzjającch zdarzeiu A A A jest k więc czli zdarzeia A k są iezależe k P Ai Ai A i k k i i i k P A A A P ( A ) P ( A ) P ( A ) i i ik i i ik,,, a Stąd Zadaia Wkazać, że prawdopodobieństwo warukowe spełia aksjomat defiicji prawdopodobieństwa Wkazać, że jeżeli zdarzeia A, B, C są iezależe, to rówież zdarzeia A B i C są iezależe Wkazać, że jeżeli zdarzeia A i B są iezależe, to zdarzeia A i B ' są rówież iezależe 4 Rzucam raz kostką do gr Niech A k ozacza zdarzeie w k-tm rzucie wpadła szóstka Wkazać, że zdarzeia A, A,, A są iezależe Literatura: RP Roz II, 5, 6 Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci

23 CIII 7 PRAWDOPODOBIEŃSTWO CAŁKOWITE WZÓR BAYESA Prawdopodobieństwo całkowite Wzór Baesa Zakładam, że zdarzeia A, A,, A włączają się parami, prz czm P A i dla i,,, oraz iech suma zdarzeń A i będzie zdarzeiem pewm tz A A A Wówczas dla dowolego zdarzeia B zachodzi wzór (wzór a prawdopodobieństwo całkowite) Wzór Baesa i i P B P A P B A i Zakładam, że zdarzeia A, A,, A spełiają podae w poprzedim twierdzeiu P B Wówczas założeia oraz P A B i i i i P A P B A Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci i i P A P B A Przkład Na stu mężczz pięciu, zaś a tsiąc kobiet dwie ie rozróżiają kolorów (są daltoistami) Z grup, w której stosuek liczb kobiet do liczb mężczz wosi :7, wbrao losowo jedą osobę Obliczć prawdopodobieństwo tego, że jest to kobieta, jeżeli stwierdzoo, że osoba ta ie rozróżia kolorów Rozwiązaie Wprowadzam astępujące ozaczeia zdarzeń: K wlosowao kobietę M wlosowao mężczzę, D wlosowaa osoba ie rozróżia kolorów W przkładzie obliczam prawdopodobieństwo warukowe P ( K D) P( K D) P( K D) P( D) Poieważ P( K D) P( K) P( D K) więc P( K) P( D K ) P( K D) P( D)

24 Prawdopodobieństwo zdarzeia D obliczam ze wzoru a prawdopodobieństwo całkowite Otrzmujem wzór: P( D) P( K) P( D K) P( M) P( D M) P( K D) P( K) P( D K) P( K) P( D K) P( M ) P( D M ) 7 Z treści przkładu wika, że P( K), P( M), P( D / K), P( D M) 5 Podstawiając dae prawdopodobieństwa do ostatiego wzoru ostateczie otrzmujem Zadaie P ( K D) Na pierwszm roku studiów pewej uczeli studeci studiują a trzech wdziałach: W, W W Liczebości studetów a poszczególch wdziałach woszą odpowiedi: 8,, i 9 Wiadomo, że prawdopodobieństwa termiowego ukończeia studiów dla studetów z odpowiedich wdziałów są rówe:,8;,7 i,5 Ze zbioru 9 studetów wlosowao studeta Obliczć: a) prawdopodobieństwo P tego, że studet studiuje a wdziale W, b) prawdopodobieństwo P tego, że studet ukończł studia w termiie, c) prawdopodobieństwo P tego, że studet studiował a wdziale W, jeżeli wiadomo, że ukończł studia w termiie Literatura: RP Roz II, Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 4

25 CIII 8 ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA Zmiea losowa tpu skokowego Zmiea losowa tpu ciągłego Rozkład prawdopodobieństwa Dstrbuata Zmiea losowa tpu skokowego Przkład Prawdopodobieństwo tego, że statstcz studet jest przgotowa do ćwiczeń jest p Prowadząc ćwiczeie wbiera przpadkowo osob Niech X ozacza liczbę osób spośród wbrach, które są przgotowae do zajęć Wzaczć rozkład prawdopodobieństwa zmieej losowej X, zaleźć dstrbuatę rozkładu oraz obliczć P ( X ) Rozwiązaie Z waruków zadaia wika, że X może przjmować wartości,,, Zmiea losowa X ma rozkład dwuwmiarow ([WIII]), w którm, p k ik P( X k) p q, q p k P ( X ) 7 P ( X ) 9 4 P ( X ) 9 8 P ( X ) 7 Rozkład prawdopodobieństwa zmieej losowej X : 4 8 {,,,,,,, } Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 5

26 Dstrbuata F( ) P( X ) Dla F( ) P( X ) Dla : F( ) P( X ) P( X ) 7 Dla F( ) P( X ) P( X ) P( X ) Dla F( ) P( X ) P( X ) P( X ) P( X ) Dla F( ) P( X ) P( X ) P( X ) P( X ) P( X ) Wkresem dstrbuat zmieej losowej tpu skokowego jest krzwa skokowa (rs) Dstrbuata F ma własości podae w [WIII 9] Prawdopodobieństwo tego, że co ajmiej jede studet jest przgotowa do ćwiczeń jest prawdopodobieństwem zdarzeia X czli 4 8 P ( X ) P( X ) P( X ) Przkład Wzaczć stałą A tak, ab fukcja dla, f ( ) 5 Ae dla, bła gęstością prawdopodobieństwa zmieej losowej X Wzaczć dstrbuatę F zmieej losowej X podać wkres fukcji f i F oraz obliczć P ( X ) Rozwiązaie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 6

27 Fukcja f jest gęstością zmieej losowej X, jeżeli f ( ) i f ( ) d ([WIII]) 5 Stąd Ae d oraz A e e A Ae d Alim lim lim e d A A, więc A 5 5 dla f ( ) 5 5e dla F ( ) f ( ) d, F ( ) 5e d e e dla dla F ( ) P( X P( X ) F() ( e e ) P( X ) P( X ) ) ) e F( 5 dla dla Zadaia Zmiea losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa {,,, } (rozkład zero- Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 7

28 jedkow) Wzacz ć dstrbuatę F i wkoać jej wkres Wzaczć stałą A tak, ab fukcja dla, f ( ) A dla dla, bła gęstością prawdopodobieństwa zmieej losowej X Zaleźć dstrbuatę F Wkoać wkres fukcji f i F Obliczć P ( X ) Odpowiedzi A, P( X ) Literatura: RP Roz III, -4 Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 8

29 CIII 9 ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZMIENNYCH LOSOWYCH Zmiea losowa tpu skokowego Zmiea losowa tpu ciągłego Rozkład prawdopodobieństwa zmieej losowej tpu skokowego Rozkładem prawdopodobieństwa zmieej losowej X tpu skokowego azwam zbiór {( k, pk ); k,,}, gdzie k jest wartością zmieej losowej X, a p k jest prawdopodobieństwem z jakim X przbiera wartości k Przkład Wkazać, że zbiór, p,,,, gdzie p P( X ) pq, q p, p jest rozkładem prawdopodobieństwa zmieej losowej X (rozkład geometrcz) Rozwiązaie pq pq p p q p Wstarcz wkazać, że p p Rozkład prawdopodobieństwa zmieej losowej tpu ciągłego Zmiea losowa X o dstrbuatach F jest tpu ciągłego, jeżeli istieje ieujema fukcja f ( f ( ) ) taka, że dla każdego R F ( ) f ( t) dt, f ( ) d, f ( ) Przkład,, Wkazać, że fukcja f ( ) e, X tpu ciągłego (rozkład Raleigha), jest fukcją gęstości zmieej losowej Rozwiązaie f ( ) d e d lim A A e d lim e A A lim A A e Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 9

30 Obliczeia pomocicze A e e t d d dt dt d A d e e t t e dt e C e A C Poieważ f ( ) oraz f losowej X Zadaia Wkazać, że zbiór p ( ) d, więc fukcja f jest fukcją gęstości zmieej, ;,4,5, gdzie p P( X ) p q, p, q p,,4 jest rozkładem prawdopodobieństwa zmieej losowej X tpu skokowego (przpadek szczegól rozkładu Pascala), a Sprawdzić, cz fukcja F( ), b, a, b jest dstrbuatą rozkładu b, b zmieej losowej X (rozkład potęgow) Wzaczć fukcję gęstości Wzaczć dstrbuatę zmieej losowej X o rozkładzie Raleigha (przkład) Odpowiedzi, F( ) e, Literatura: RP Roz III, -5 Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci

31 CIII PARAMETRY ROZKŁADU ZMIENNEJ LOSOWEJ Wartość oczekiwaa Wariacja, odchleie stadardowe Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci

32 Przkład Daa jest fukcja gęstości zmieej losowej X (rozkład wkładicz):,, f ( ) e, Obliczć wartość oczekiwaą E (X ) Rozwiązaie E ( X ) f ( ) d ; E( X ) lim e A e d lim e A A e d e A lim Ae A A e e d A e C Obliczć wartość oczekiwaą E (Y ) i wariację D ( Y ) zmieej losowej stadarzowaej Rozwiązaie Jeżeli X jest zmieą losową o wartości oczekiwaej E (X ) i odchleiu stadardowm D X E(X ) ( X ) to zmieą losową Y azwam zmieą losową stadarzowaą X E( X ) E( X ) E( E( X )) E( X ) E( X ) E ( Y ) E X E( X ) ( ) X E X D ( Y ) D D D ( X ) Korzstam z własości wartości oczekiwaej i wariacji [WIII ] Obliczć wartość oczekiwaą E (X ) zmieej losowej X o rozkładzie Poissoa Rozwiązaie Rozkład zmieej losowej X jest postaci ([WIII ]) k e {( k, pk ), k,,,} pk, k! Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci

33 E( X ) poieważ k k e k! e k k e k k ( k )! k e ( k )! [WII e Zadaia Obliczć wariację D ( X ) zmieej losowej z przkładu Obliczć wariację D X zmieej losowej z przkładu Obliczć wartość oczekiwaą E (X ) i wariację D ( X ) zmieej losowej o rozkładzie Beroulliego [WIII ] Odpowiedzi D ( X ) ; D ( X ) ; E( X ) rp, D( X ) rp( p) Literatura: RP Roz V, 5-54 Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci

34 CIII ZMIENNA LOSOWA DWUWYMIAROWA Zmiea losowa tpu skokowego Zmiea losowa tpu ciągłego Zmiea losowa tpu skokowego Zmiea losowa ( X, Y ) jest tpu skokowego (dskreta), jeżeli istieje skończo lub przeliczal zbiór par wartości, ) ( i, j,,) taki, że P( X i, Y i ) pij dla każdej ( i i par wskaźików i, j, gdzie p oraz ij i, j Rozkładem prawdopodobieństwa zmieej losowej ( X, Y ) tpu skokowego azwam zbiór {((, ), p ) : i, j,,} Przkład i j ij W urie zajduje się 5 kul Na każdej z ich apisao jedą z liczb,,, 5, prz czm każda z liczb wstępuje dokładie raz Rozpatrzm dwie cech tch liczb: ieparzstość i podzielość przez Wciągam kulę Jeżeli pojawi się liczba ieparzsta, to przporządkowujem jej liczbę, prz pojawieiu się liczb parzstej liczbę Tak zdefiiowaą zmieą losową ozaczam przez X Zmiea X przjmuje więc duże p ij wartości, Zmieą losową Y defiiujem astępująco: jeżeli pojawi się liczba podziela przez adajem zmieej Y wartość, jeżeli wstąpi liczba iepodziela przez, Wzaczć rozkład prawdopodobieństwa dwuwmiarowej zmieej losowej ( X, Y ) Rozwiązaie Wśród dach 5 liczb jest: liczb ieparzstch i podzielch przez ({, 9, 5}) - liczb liczb ieparzstch i iepodzielch przez ({, 5, 7,, }) - 5 liczb liczb parzstch i podzielch przez ({ 6, }) - liczb Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 4

35 4 liczb parzstch i iepodzielch przez ({, 4, 8,, 4}) - 5 liczb Gd prawdopodobieństwo wlosowaia kuli jest jedakowe otrzmujem: 5 p P( X, Y ), p P( X, Y ), p P( X, Y ), p P( X, Y ) 5 Rozkład prawdopodobieństwa zmieej losowej ( X, Y ) wgodie jest przedstawić w postaci tabeli p i 5 7 p ij p j W ostatiej kolumie i ostatim wierszu tabeli mam rozkład brzegowe zmieej losowej X i Y Zmiea losowa tpu ciągłego Przkład e dla, Daa jest fukcja f (, ) dla pozostach (, ) Wkazać, że fukcja f jest gęstością dwuwmiarowej zmieej losowej ( X, Y ) Zaleźć dstrbuatę zmieej losowej ( X, Y ) Rozwiązaie Z defiicji [WIII] f (, ) dd f (, ) dd D e dd ( e d) d, więc fukcja f jest gęstością Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 5

36 D : Rs Obliczeia pomocicze A e d lim e d e A lim A B e d lim lim e d e B B A lim A B lim e B A e e e B Fukcja F (, ) dla lub Wzaczam dstrbuatę dla puktów (, ) ależącch do obszaru D (rs ) F(, ) ( e e e d) d e d e e e e e d e e Wzaczam astępujące dstrbuat dla puktów (, ) (rs ), Rs F(, ) ( e d) d e d e e e e e d e e e e Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 6

37 Ostateczie mam F(, ) e e e e dla lub, dla, dla, Zadaia Daa jest zmiea losowa dwuwmiarowa ( X, Y ) tpu skokowego o rozkładzie prawdopodobieństwa,,,,,,,,,,, Wzaczć dstrbuatę F (, ) Wzaczć stałą C taką, ab fukcja C dla,, f (, ) bła gęstością dwuwmiarowej zmieej losowej (X,Y) dla pozostalch (, ), Wzaczć stałą C tak, ab fukcja A( ) e dla, f (, ) dla pozostalch (, ), losowej (X,Y) bła gęstością dwuwmiarowej zmieej Odpowiedzi 8 ; ) 8 Literatura: RP Roz IV 4; 4 A Plucińska, E Pluciński, Zadaia z rachuku prawdopodobieństwa i statstki matematczej, PWN, Warszawa Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 7

38 CIII ROZKŁADY BRZEGOWE NIEZALEŻNOŚĆ ZNIENNYCH LOSOWYCH Rozkład brzegowe zmiech losowch tpu skokowego Rozkład brzegowe zmiech losowch tpu ciągłego Współczik korelacji Zmiee losowe tpu skokowego Ozaczam i pij p j p, p j i ij Zbiór {( i, pi ) : i,,} azwam rozkładem brzegowm zmieej losowej X, atomiast zbiór {( i, p i ) :,,} - rozkładem brzegowm zmieej Y Defiicja Zmiee losowe X, Y tpu skokowego są iezależe, jeżeli pij p i p j dla wszstkich i, j Przkład Dwuwmiarowa zmiea losowa X, Y ma rozkład prawdopodobieństwa poda w tabeli Zbadać cz zmiee losowa X oraz Y są iezależe Rozwiązaie Rozkład brzegow zmieej losowej X, Y: P pij p p, j P pzj p p j Rozkładem brzegowm zmieej losowej X jest zbiór: p p pi p p, i pi p p i,,, Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 8

39 Rozkładem brzegowm zmieej losowej Y jest zbiór:,,, p 6 p p, p p p, p 6 p p, p p p, Poieważ p p p dla i, j,, więc zmiee losowe X, Y są iezależe ij i j Wika stąd, że zmiee losowe X, Y są ieskorelowae, współczik korelacji Zmiee losowe tpu ciągłego Fukcję f X określam wzorem X, Y f X ( ) f (, ) d azwam fukcję gęstości rozdziału brzegowego zmieej losowej X, atomiast fukcję f Y określoą wzorem f Y ( ) f (, ) d azwam fukcją gęstości rozkładu brzegowego zmieej losowej Y Przkład Daa jest gęstość dwuwmiarowej zmieej losowej X, Y Zbadać, cz zmiee losowe X i Y są iezależe Rozwiązaie Wzaczam gęstość rozkładów brzegowch: f X ( ) 4 ( ) d dla f Y ( ) 4 ( ) d 4 ( ) d 4 ( ) ( ), dla 4 d 4 4, Poieważ f ( ) f ( ) X Y ( ) 4 ( ) f (, ), więc zmiee X, Y są iezależe Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 9

40 Zadaia Da jest rozkład zmieej losowej ( X, Y ) w postaci tabeli: a) Zaleźć rozkład brzegowe, b) obliczć współczik korelacji W produkcji pewego zakładu braki ze względu a własości mechaicze staowią %, a braki ze względu a własości elektrcze staowią 4,5% Produkcja dobra staowi 95% Zaleźć współczik korelacji międz brakami obdwu tpów Daa jest fukcja Wkazać, że f jest fukcją gęstości zmieej losowej X, Y Zaleźć fukcję gęstości f X ( ), fy ( ) rozkładów brzegowch 4 Fukcja gęstości dwuwmiarowej zmieej losowej X, Y jest Zaleźć gęstość f X () i f Y () rozkładów brzegowch Sprawdzić, cz zmiee losowe X oraz Y są iezależe Odpowiedzi, 67 ;, f X ( ) dla lub dla, Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 4

41 dla, f Y ( ) dla, dla Literatura: RP Roz IV, 4; 44; A Plucińska, E Pluciński, Elemet probabilistki, PWN, Warszawa, 979 Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 4

42 CIII PRZEDZIAŁY UFNOŚCI Przedział ufości dla wartości oczekiwaej (wartości przeciętej) Przedział ufości dla wariacji Przedział ufości dla wartości oczekiwaej Przedział ufości dla wartości m w populacji geeralej o rozdziale ormalm N ( m, ), w którm odchleie stadardowe jest zae [WIII5] wzaczam ze wzoru: P X u m X u, gdzie ozacza poziom ufości, u jest liczbą odcztaą z tablic dstrbuat rozdziału N (,) taką, że F ( u) Przedział losow X u, X u jest przedziałem ufości dla parametru m a poziomie ufości Niech p,,, 7,, poziom ufości, 95, u, 96 (odczt z tablic),7,7 Przedział ufości dla m :,,96,,,96, czli 9,,,48 W długiej serii iezależch prób częstość przpadków, że oszacowa przedział będzie zawierał iezaą wartość m wosi, 95 Przedział ufości dla wartości oczekiwaej m w populacji geeralej o rozkładzie ormalm N ( m, ) w którm odchleie stadardowe ie jest zae Estmatorem wariacji jest S X k X k Przedział ufości wzaczam ze S S wzoru P X t m X t, gdzie ozacza poziom ufości, atomiast t jest liczbą odcztaą z tablic rozkładu t-studeta dla stopi swobod taką, że t t P Przedział ufości jest postaci: X t Niech p,, s, 9, 6,, 95 S S, X t 5 (liczba stopi swobod),, 5, t, (odczt z tabeli) Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 4

43 Przedział ufości dla m:,9,,,,, 5,9 5, czli,74,,896 8 Przedział ufości dla wartości oczekiwaej m w dowolm rozkładzie (>, duża próba) Przedział ufości wzaczć ze wzoru S S P X u m X u, gdzie ozacza poziom ufości, u jest liczbą odcztaą z tablic dstrbuat rozkładu N (, ) taką, że F ( u) Niech p,, s,, 4,, 98, u, (odczt z tablic) Przedział ufości dla m:,,,,,,,, czli 9,45,, Przedział ufości dla wariacji w populacji geeralej o rozkładzie ormalm N m,, w którm m i są iezae Przedział ufości wzaczam ze zbioru: S S P, gdzie liczb i stopi swobod i daego poziomu ufości spełiają waruki P, P S Przedział ufości dla jest postaci: S, odcztae z tablic rozkładu dla Niech p,, s 7, 9,,, 96, (liczba stopi swobod),,4, 9, 4, 5, (odczt z tablic) 7,9 7,9 Przedział ufości,, czli 4,7; 6,57 5, 9,4 Zadaia Badao wtrzmałość pewego tpu kabla i otrzmao astępujące wiki: 8, 78, 85, 84, 8, 79, 77, 85, 74, 79, 8, 86 Zakładając, że wtrzmałość kabli ma rozkład ormal, wzaczć przedział ufości dla m i s a poziomie ufości, 95 Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 4

44 Wzaczć 98-procetow przedział ufości dla średiej i wariacji wagi urodzeiowej iemowląt a podstawie prób zawierającej mas 5 oworodków (w gramach): Literatura: S Roz II, 7 Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 44

45 CIII 4 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Werfikacja hipotez parametrczch Werfikacja hipotez o wartości oczekiwaej Werfikacja hipotez o wariacji Werfikacja hipotez ieparametrczch (o postaci rozkładu) Wbrae przpadki werfikacji hipotez parametrczch a) Werfikacja hipotez o wartości oczekiwaej m w populacji geeralej o rozkładzie N m, prz założeiu, że odchleie stadardowe jest zae Hipoteza zerowa H : m m, Hipoteza alteratwa H : m m Hipotez werfikujem w oparciu o test T (tabela) Test Obszar krtcz Obszar przjęcia hipotez zerowej X m, u u, u, u T gdzie u jest liczbą, którą odcztujem z tablic dstrbuat F () rozkładu ormalego N (, ), spełiającą waruek F ( ) dla daego poziomu istotości Przkład Według orm techiczej wkoaie obróbki mechaiczej elemetu silika okrętowego powio zajmować miut Wlosowao 8 staowisk roboczch, dla którch średi czas obróbki wiósł miut Wiadomo, że odchleie stadardowe czasu obróbki wosi 5 miut Zakładając, że rozkład czasu obróbki jest ormal, zwerfikować a poziomie istotości,5 hipotezę zerową H : m wobec hipotez alteratwej H : m Rozwiązaie Wartość t statstki T obliczam ze wzoru (tabela) m t W przkładzie t 5 8, 7 Dla poziomu istotości, 5 z tablic dstrbuat rozkładu ormalego N (, ),5 odcztujem liczbę u taką, że F ( u), 975, u, 96 Obszarem przjęcia hipotez zerowej jest przedział,96;, 96 do którego ależ t, więc ie ma podstaw do odrzuceia hipotez zerowej Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 45

46 b) Werfikacja hipotez o wartości oczekiwaej m w populacji geeralej o rozkładzie ormalm N ( m, ) prz założeiu, że odchleie stadardowe ie jest zae Hipoteza zerowa H : m m, hipoteza alteratwa H : m m Hipotezę H werfikujem o test T (tabela) Test Obszar krtcz Obszar przjęcia hipotez zerowej X m, t t, t, t T S gdzie t jest liczbą, którą odcztujem z tablic t-studeta dla stopi swobod i daego poziomu istotości taką, że P t t Werfikujem hipotez o wariacji Werfikacja hipotez o wariacji w populacji geeralej o rozkładzie ormalm N m,, w którm m i ie są zae Hipoteza zerowa H :, hipoteza alteratwa Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 46 : H Hipotezę H werfikujem w oparciu o test T (tabela) Test Obszar krtcz Obszar przjęcia hipotez zerowej S T,, gdzie liczb i odcztae z tablic rozkładu poziomie istotości spełiają waruki: P, P Przkład dla, stopi swobod i dam Błąd pomiaru kątów pioowch za pomocą sekstatu ma rozkład ormal Przeprowadzoo 8 pomiarów tego samego kąta pioowego i otrzmao astępujące wartości błędów (w miutach kątowch, tabela) k ,4 -,8,4 -,,8,,8, k Przjmując poziom istotości, zwerfikować hipotezę H :, 75 Rozwiązaie Z dach liczbowch podach w tabeli wika, że,475, s, 4,, 75, 8

47 Wartość t testu T obliczam ze wzoru s 8,4 t, t 4, 9,75 Z tablic rozkładu odcztujem wartości, dla 7 stopi swobod i,,7,, 8 Obszarem przjęcia hipotez zerowej jest przedział,7;, 8 Poieważ wartość statstki T ależ do tego przedziału, więc ie ma podstaw do odrzucaia hipotez zerowej Werfikacja hipotez ieparametrczch Przkład testów zgodości Test chi-kwadrat Pearsoa Test Kołmogorowa (werfikacja hipotez o postaci dstrbuat cech X tpu ciągłego) Test Kołmogorowa-Smirowa (werfikacja hipotez o jedakowej dstrbuacie w dwóch populacjach) 4 Test zależości cech elemetów populacji Literatura: SRoz III,, ; Roz IV, A Plucińska, E Pluciński, Elemet probabilistki, PWN, Warszawa Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 47