Zadanie. Oczywiście masa sklejonych ciał jest sumą poszczególnych mas. Zasada zachowania pędu: pozwala obliczyć prędkość po zderzeniu

Transkrypt

1 Zderzenie centralne idealnie niesprężyste (ciała zlepiają się i po zderzeniu poruszają się razem). Jedno z ciał przed zderzeniem jest w spoczynku. Oczywiście masa sklejonych ciał jest sumą poszczególnych mas Zasada zachowania pędu: pozwala obliczyć prędkość po zderzeniu Sprawdzamy, czy w takim zderzeniu zachowana jest energia kinetyczna:

2 Obie masy i są dodatnie, więc. W czasie zderzenia niesprężystego, część energii kinetycznej zamienia się na energię wewnętrzną ciał biorących w nim udział. Zderzenie centralne, idealnie sprężyste (energia kinetyczna jest zachowana) dwóch kul. Jedna z kul przed zderzeniem jest w spoczynku. Zasady zachowania pędu i zachowania energii kinetycznej Z zasady zachowania pędu wyznaczmy i podstawiamy do równania opisującego zachowanie energii kinetycznej (pomnożonego przez 2): Zderzenie jest centralne, więc wszystkie prędkości mają jeden kierunek (choć może nie koniecznie ten sam zwrot).

3 gdzie. Przekształcamy dalej wzór opisujący zasadę zachowania energii kinetycznej: Jest to równanie kwadratowe na wielkość skalarną. Rozwiązujemy je Obliczone podstawiamy do wzoru na Należy zbadać, co oznacza istnienie dwóch różnych rozwiązań (kule po zderzeniu powinny przecież mieć dobrze określone prędkości). Upraszczamy każde z rozwiązań na i :

4 Prędkości obu kul po zderzeniu są takie same jak przed zderzeniem: kula o masie porusza się z początkową prędkością, a kula o masie pozostaje w spoczynku. To rozwiązanie opisuje sytuację, gdy do zderzenia nie doszło (brak zderzenia jest oczywiście zgodny z zasadami zachowania pędu i energii kinetycznej). To rozwiązanie odpowiada sytuacji, gdy do zderzenia rzeczywiście doszło. Prędkość drugiego ciała jest zawsze dodatnia (czyli i kierunek i zwrot wektora prędkości jest taki sam jak wektora ). Znak wartości prędkości zależy od mas zderzających się ciał. Jest on ujemny, jeśli pierwsze ciało jest lżejsze od drugiego. W takiej sytuacji pierwsze ciało odbija się od drugiego i porusza się w kierunku przeciwnym do kierunku przez zderzeniem. W przypadku równych mas i otrzymujemy: Pierwsze ciało zatrzymuje się i przekazuje całą energię kinetyczną drugiemu ciału, które zaczyna się poruszać z prędkością równą prędkości pierwszego ciała przed zderzeniem. Zderzenie niecentralne niesprężyste Wprowadzamy układ współrzędnych z osią skierowaną zgodnie z początkową prędkością. Zasadę zachowania pędu

5 rozpisujemy na składowe Są to 2 równania na 4 niewiadome: 4 składowe kartezjańskie dwóch prędkości (,,, ) lub dwie prędkości ( i ) i dwa kąty ( i ). W ogólności układ dwóch równań na 4 niewiadome ma nieskończenie wiele rozwiązań. Możemy tylko wyznaczyć dwie niewiadome jako funkcje dwóch pozostałych niewiadomych. Możemy wyznaczyć wartości prędkości w funkcji kątów: Z -owej składowej zasady zachowania pędu dostajemy Podstawienie tego do -owej składowej zasady zachowania pędu daje

6 Podstawienie tego do wzoru na daje Możemy też wyznaczyć kąty w funkcji pędów: Na początek przekształcamy obie składowe zasady zachowania pędu Dodając obie te równości stronami dostajemy co pozwala wyznaczyć cosinus kąta

7 Podstawiając ten wynik do -owej składowej zasady zachowania pędu obliczamy drugi kąt Wzory na oba kąty wyrażają się dość prosto przez stosunek, w jakim początkowy pęd między oba ciała dzieli się gdzie dla Policzmy jeszcze zmianę energii kinetycznej w taki zderzeniu

8 Zderzenie jest sprężyste, jeśli licznik powyższego wyrażenia znika. Jest to warunek łączący kąty rozpraszania i Zderzenie niecentralne idealnie sprężyste Rysunek jak do poprzedniego zadania. Zasada zachowania pędu (dwie składowe) i zasada zachowania energii tworzą układ 3 równań na cztery niewiadome Niewiadomych jest o jedną więcej niż równań, więc rozwiązania nie są jednoznaczne. Jeśli zadamy jedną z wielkości, np. jeden z kątów, to możemy wtedy obliczyć drugi kąt i wartości obu prędkości. Wynik znaleźliśmy już w zadaniu 9.3:

9 Nie jest on bardzo prosty w ogólnym przypadku, więc rozpatrzymy kilka prostych przykładów. Równe masy Zasada zachowania energii przybiera w tym przypadku postać To równanie ma 3 rozwiązania Rozpatrzmy je po kolei.

10 Jeśli to i wzory na wartości prędkości dają: Ponadto, -owa składowa zasady zachowania pędu daje. Po zderzeniu ciało pierwsze porusza się z taka samą prędkością jak przed zderzeniem, a ciało drugie nadal spoczywa. To rozwiązanie opisuje sytuację, gdy do zderzenia nie doszło. Brak zderzenia jest oczywiście zgodny z wszelkimi zasadami zachowania i opis matematyczny musi dopuszczać i zawierać taką możliwość. Jeśli to i wzory na wartości prędkości dają: Ponadto, -owa składowa zasady zachowania pędu daje. Ciało pierwsze zatrzymuje się, a ciało drugie przejmuje całą energię kinetyczna i porusza się z taką prędkością, z jaką przed zderzeniem poruszało się ciało pierwsze. Nie tylko wartość tej prędkości jest taka sama ale także jej kierunek (i zwrot). Jest to przypadek zderzenia idealnie sprężystego i centralnego. Zderzenie centralne jest szczególnym (granicznym) przypadkiem zderzenia niecentralnego, więc opis matematyczny musi je obejmować. Prawdziwie niecentralne i sprężyste zderzenie opisuje trzecie rozwiązanie gdzie obie strony równania są różne od 0. Przekształcając to równanie dostajemy co daje

11 W zderzeniu sprężystym niecentralnym, w którym jedno z ciał początkowo spoczywa, kierunki prędkości po zderzeniu tworzą kąt prosty. Praktyczne zastosowanie to ruch kul bilardowych. Ten ostatni wniosek można także udowodnić stosując metodę graficzną. Zasada zachowania pędu ma następującą postać wektorową podczas gdy dla równych mas zasada zachowania energii kinetycznej to następujące równanie skalarne Równanie wektorowe mówi nam, że odcinki o długościach, i tworzą trójkąt. W takim przypadku równanie skalarne jest równaniem Pitagorasa które jest słuszne, jeśli między bokami o długościach i jest kąt prosty. Inny prosty przykład: (Oczywiście dla, bo w przypadku równych mas z warunku natychmiast dostalibyśmy rozwiązanie ) Tym razem zasada zachowania energii kinetycznej daje Wyliczamy stąd cosinus kąta

12 Oczywiści nie może być większy niż 1 Ciała nie mogą rozproszyć się symetrycznie ( cięższe od ciała tarczy. ), jeśli ciało pocisk jest więcej niż trzykrotnie Z oczywistego warunku dodatniości masy pierwszego ciała otrzymujemy warunek na kąt rozpraszania : Do kąta granicznego zbliżamy się, jeśli stosunek mas dąży do zera.