Wykład 6. Dynamika ośrodków sprężystych. Fale mechaniczne

Transkrypt

1 Wkład 6 Damika ośrodków sprężsch Fale mechaicze Fale powsające w ośrodkach sprężsch (p. fale dźwiękowe) azwam falami mechaiczmi. Powsają oe w wiku wchleia jakiegoś fragmeu ośrodka z położeia rówowagi, co w asępswie powoduje drgaia fragmeu wokół ego położeia. Drgaia e (dzięki właściwościom sprężsm ośrodka) są przekazwae a koleje części ośrodka. Sam ośrodek ie przesuwa się, a jedie jego eleme wkoują drgaia w ograiczoch obszarach przesrzei. Na przkładzie fal a powierzchi wod widzim, że przedmio płwające wkoują ruch drgając aomias same fale poruszają się ruchem jedosajm. Fala dobiegające do daego przedmiou wprawiają go w ruch drgając przekazując mu eergię. Moża za pomocą fal przekazwać, więc eergię a duże odległości. Eergia fal o eergia kiecza i poecjala cząsek ośrodka. Cechą charakersczą fal jes o, że przeoszą oe eergię poprzez maerię dzięki przesuwaiu się zaburzeia w maerii a ie dzięki ruchowi posępowemu samej maerii. Do rozchodzeia się fal mechaiczch porzeb jes ośrodek. To właściwości sprężse ośrodka decdują o prędkości rozchodzeia się fali. Ze względu a kieruek drgań cząsek względem kieruku rozchodzeia się fali, rozróżiam Fale poprzecze. Przkładem fali poprzeczej są drgaia li, w kórej zachodzą oe w kieruku prosopadłm do kieruku rozchodzeia się fali (rs.vi.a). Fala a powierzchi wod eż jes falą poprzeczą. Fale podłuże. Przkładem fali podłużej jes fala, kóra powsaje w drgającej sprężie (rs.vi.b). Dla fali podłużej drgaia zachodzą w m samm kieruku w kórm rozchodzi się fala. Fale dźwiękowe, kóre emiujem głosem eż są falami podłużmi. Ze względu a czoło fali (czoło jes o powierzchia łącząca puk o jedakowch zaburzeiach w daej chwili) wróżiam fale płaskie (czoło fali jes płaszczzą i fala rozchodzi się w kieruku, prosopadłm do ej płaszczz); fale kulise (czoło fali jes kulą i fala rozchodzi się we wszskich kierukach). 53

2 Rs.VI..Fale poprzecze (a) i podłuże (b) Fale rozchodzące się w przesrzei Rozważm długą sruę aciągięą w kieruku x, wzdłuż kórego biegie fala poprzecza. W dowolej chwili a przkład 0 kszał sru moża opisać fukcją ( x) f ( x), gdzie przemieszczeie cząseczek sru wzdłuż osi O. Przpuśćm, że w miarę upłwu czasu fala biegie wzdłuż sru bez zmia kszału w prawo, czli w sroę wzrosu x. Wbierzem w chwili 0 jakiś puk fali, dla kórego wchleie sru w kieruku osi O jes rówe x ) f ( x ). Wed, po czasie fala przesuwa się o w ( prawo (gdzie - prędkość fali) i po czasie w pukcie x x + fali wchleie sru w 54

3 kieruku osi O będzie rówe x) ( x ) f ( x ). Poieważ x możem ( zapisać ( x, ) f ( x ). (VI.) Rówaie (VI.) jes więc rówaiem fali rozchodzącej się w prawą sroę sru. Kszał fali określa fukcja f ( x ). Fala rozchodząca się w lewą sroę sru, czli w sroę miejszch x - ów, określa wzór ( x, ) f ( x + ). (VI.) Isoie, ze wzoru (VI.) wika, że w chwili w pukcie x, kszał fali (wchleie sru) jes aki sam jak w chwili 0 w pukcie x 0. rgume fukcji f ( x ± ), czli ϕ ( x, ) x ±, (VI.3) x osi azwę faz drgań. jes sała Przpuśćm, że śledzim wbraą część fali, dla kórej faza drgań ϕ ( x, ) x x cos. (VI.4) Różiczkując (VI.4) względem czasu orzmujem dx d. (VI.5) zaem, prędkość rzeczwiście określa prędkość, z kórą puk mając określoe wchleie (określoą fazę) porusza się wzdłuż sru. Jes o ak zwaa prędkość fazowa. Zauważm, że dla daego 0 w fukcji fali f ( x ± ) czas jes sał i fukcja f ( x ± x0 ), gdzie x0 0, zależ lko od x i określa kszał fali w chwili 0. Jeżeli rozważm jakiś określo puk sru x, o w fukcji fali f ( x ± ) zmiea x jes sała i x fukcja f ( x ± ) zależ lko od i określa drgaia sru w pukcie x x. Rozważm eraz falę o szczególm kszałcie. Załóżm, że w chwili 0 kszał sru jes opisa fukcją π si x, (VI.6) 55

4 gdzie jes maksmalm wchleiem. Zauważm, że wchleie jes akie samo w π pukach x, x +, x +, x + 3 id., poieważ si( x) si( π π x + π ) si( + 4 π ) π si( x + 6π ) id. Wielkość azwam długością fali (odległość międz pukami o ej samej fazie). Jeżeli fala biegie w prawo o π si ( x ). (VI.7) Okres T jes czasem, w kórm fala przebiega odległość rówą, więc: T, sąd x si π. (VI.8) T Ze wzoru (VI.8) widać, że w określoej chwili aka sama faza jes w pukach x, x+, x+, x+3 id., poieważ x x x x si π si[ π + π ] si[ π + 4π ] si[ π + T T T T oraz, że w dam miejscu faza powarza się w chwilach, + T, +T, id., poieważ 6π ] id., x x si π si[ π π ] T T x si[ π T 4π ] id. Częso prz rozważaiu zjawisk falowch w fizce wprowadza się dwie owe wielkości: liczbę falową k π / i częsość kąową π / T. Wówczas dla fal biegącch w prawo i lewo możem zapisać si( kx ) lub si( kx + ) Widać, że prędkość fazowa fali jes daa wzorem T π T π k. 56

5 Rozchodzeie się fal, prędkość fal Jeżeli chcem zmierzć prędkość fali o śledzim jak przemieszcza się w czasie wbraa część fali, czli określoa faza. Wiem, że prędkość fali zależ od sprężsości ośrodka i jego bezwładości. Sprężsość dla sru jes określoa poprzez apiającą ją siłę F (a przkład im większa siła m szbciej wchloe eleme sru wracają do położeia rówowagi). Naomias bezwładość jes związaa z masą sru m oraz jego długością l. Na przkładzie drgającej sru (rs.vi.) moża udowodić, że drgaia dowolego małego odcika sru opisuje ak zwae rówaie falowe, kóre sosuje się do wszskich rodzajów rozchodzącch się fal, akich jak fale dźwiękowe cz fale elekromagecze: x. (VI.9) Tu określa wchleie małego odcika sru w kieruku prosopadłm do sru; Rs.VI.. Drgaia sru. określa prędkość poprzeczej fali F. (VI.0) µ f ( x, ) si( k x ), (VI.) rozchodzącej się w kieruku osi Ox. We wzorze (VI.0) µ m/l - masa przpadająca a jedoskę długości sru. Zwróćm uwagę, że siusoidala fala może bć przeoszoa wzdłuż sru z prędkością iezależą od ampliud ( ) i częsoliwości ( ). Ierferecja fal Ierferecją fal azwam zjawisko akładaia się fal, wskuek czego zachodzi ich wzajeme wzmocieie w jedch pukach przesrzei oraz osłabieie w ich, w zależości od sosuków faz ierferującch fal. Rozważm dwie fale o rówch częsoliwościach i ampliudach, ale o fazach różiącch się o δ. Rówaia ch fal są asępujące si( k x ), δ si( k x ). 57

6 Zajdźm eraz falę wpadkową jako sumę +. Korzsając ze wzoru a sumę siusów α + β α β si α + si β si cos, (VI.) orzmujem δ + cos si( k x δ / ), (VI.3) co jes rówaiem fali siusoidalej o ampliudzie cos( δ / ). Dla δ 0,π,4π, π mam cos( δ / ) cos( π ) ( ), a zaem fale wzmaciają się (ampliuda wpadkowej fali wzrasa o raz). Dla δ π, 3π, ( + ) π mam cos( δ / ) cos[( + ) π / ) 0, a zaem fale wgaszają się (ampliuda wpadkowej fali jes zerowa). Fale sojące Drugim przkładem ierferecji (akładaia się) fal jes fala sojąca. Rozważm dwa ciągi falowe biegące w przeciwch kierukach z. a przkład falę padającą i odbią. si( k x ), si( k x + ), Korzsając ze wzoru (XI.) dla fali wpadkowej możem zapisać + si( kx)cos( ). (VI.4) Jes o rówaie ak zwaej fali sojącej. Zauważm, że cząski drgają ruchem harmoiczm prosm. Cząski mają ę samą częsość, ale różą ampliudę zależą od położeia cząski x. Puk kx ( + ) π / (gdzie 0,,, ), dla kórch si( kx ) ± mają maksmalą ampliudę i azwają się srzałkami. Puk si( kx ) 0 mają zerową ampliudę i azwają się węzłami. kx π (gdzie 0,,, ), dla kórch 58

7 Zwróćm uwagę a jeszcze jedą isoą różicę. W przpadku fali sojącej, eergia ie jes przeoszoa wzdłuż sru (szura), bo ie może oa przepłąć przez węzł, jes a sałe zmagazowaa w poszczególch elemeach sru (szura). Układ drgające, przkład Jeżeli srua zamocowaa a obu końcach zosaie ajpierw wgięa a asępie puszczoa, o wzdłuż sru rozchodzą się drgaia poprzecze. Zaburzeia e odbijają się od zamocowach końców i w wiku ierferecji powsaje fala sojąca. Zwróćm uwagę, że drgaia sru wwarzają w oaczającm sruę powierzu dźwiękowe fale podłuże (fale akuscze). Poieważ jedm warukiem, jaki musi bć spełio, jes ieruchomość obu końców sru, czli isieie węzłów fali sojącej a ch końcach, o mogą powsać w ej sruie fale sojące o różej długości. Pierwsze czer rodzaje drgań, jakie powsają w sruie o długości L zamocowaej a końcach są pokazae a rs.vi.3. Takie fale sojące azwam rezoasami. Widzim, że długości fal spełiają związek L. (VI.5) L Korzsając z ego, że prędkość fali L 3 L/3 T v oraz podsawiając wrażeie (VI.0) możem obliczć częsoliwość rezoasów: 4 L/ ν L L F µ. (VI.6) L Rs.VI.3. Rezoase. Najiższą częsość azwam częsością podsawową a pozosałe wższmi harmoiczmi, czli alikwoami. Zazwczaj w drgaiach wsępują, oprócz drgaia podsawowego, rówież drgaia harmoicze, a dźwięki, jakie odbieram są wikiem akładaia się ch drgań. O jakości isrumeu (jego barwie) decduje właśie o ile alikwoów jes zaware w dźwięku i jakie są ich aężeia. Przkładowo, drgaie wpadkowe sru będące złożeiem ou podsawowego ( ) i wższch harmoiczch ( 3, 5, 7) o różch ampliudach jes pokazae a rs. VI.4. Zwróćm uwagę, że wpadkowe drgaie (chociaż okresowe) ie jes harmoicze (ie daje się opisać fukcją sius lub cosius). 59

8 drgaie wpadkowe Rs.VI.4. Drgaie wpadkowe sru będące złożeiem ou podsawowego ( ) i wższch harmoiczch ( 3, 5, 7) o różch ampliudach. Dudieia - modulacja ampliud Mówiliśm już o superpozcji fal, ierferecji w przesrzei (dodawaie fal o ej samej częsości). Rozparzm eraz przpadek ierferecji w czasie. Pojawia się oa, gd przez da puk w przesrzei przebiegają w m samm kieruku fale o rochę różch częsoliwościach. Wchleie wwołae przez jedą i drugą falę mają posać si( ), si( ), więc, korzsając ze wzoru (VI.), orzmujem + + cos( ) si. Drgaia wpadkowe moża, więc uważać za drgaia o częsości sredie, kóra jes średią częsością dwóch fal, i o ampliudzie (wrażeie w awiasie kwadraowm) zmieiającej się w czasie z częsością ampl. + 60

9 Jeżeli częsoliwości i są bliskie siebie o ampliuda zmieia się powoli. Mówim, że mam do czieia z modulacją ampliud M (sosowaa p. w odbiorikach radiowch). Dla fal dźwiękowch M przejawia się jako zmiaa głośości (dźwięk o wzrasa, o gaśie) i azwa się dudieiami (rs.vi.5). Rs.VI.5. Dudieia. Zjawisko Dopplera usriak, Chrisia Doppler w prac z 84 r zwrócił uwagę, że barwa świecącego ciała (częsoliwość) musi się zmieiać z powodu ruchu względego obserwaora lub źródła. Zjawisko Dopplera wsępuje dla wszskich fal (dźwiękowch, świelch id.). Obecie rozważm je dla fal dźwiękowch. Zajmiem się przpadkiem ruchu źródła i obserwaora wzdłuż łączącej ich prosej. Wbierzm układ odiesieia ieruchom względem ośrodka (a przkład powierza), w kórm biegą fale. Rozważm przpadek, dla kórego źródło dźwięku Z spoczwa w wbram układzie odiesieia, a obserwaor a przkład w samochodzie porusza się z prędkością 0 w kieruku źródła dźwięku. Rs.VI.6 Okręgi a rs.vi.6 ozaczają czoła fal oddaloch od siebie o jedą długość fali. 6

10 Gdb obserwaor bł ieruchom, a odległość źródła dźwięku od obserwaora wosiłab l, o obserwaor odbierałb obserwaora wosiłab ν / /. Tu - prędkość fal. l / / fal w czasie i częsość słszaa przez Gd obserwaor porusza się z prędkością 0 w kieruku źródła dźwięku, odległość obserwaora od źródła dźwięku zmiejsza się i w m samm czasie obserwaor odbierze 0 / dodakowch fal. Częsość słszaa przez obserwaora wosi Skąd O + v + O + O '. v + O 0 v ' v ν +. (VI.7) zaem częsość dźwięku słszaa przez obserwaora ulega zwiększeiu. Kied obserwaor oddala się od ieruchomego źródła dźwięku częsość dźwięku słszaa przez obserwaora zmiejsza się i wosi O 0 v ' v ν. (VI.8) W przpadku, gd obserwaor spoczwa, a źródło dźwięku porusza się z prędkością Z (rs.vi.7) częsość dźwięku słszaą przez obserwaora określa wzór v' ν. (VI.9) Z Rs.VI.7 Tu zak mius odosi się do ruchu źródła w kieruku obserwaora, a zak plus dla ruchu od obserwaora. 6