ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku

Transkrypt

1 Egzamin pisemny zestaw czerwca 0 roku Imię i nazwisko:.... ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x n, to funkcja x0 x gx ( ) + [ gx ( ) hx ( )] x x interpoluje funkcję f we wszystkich węzłach x 0, x, K, x n (funkcje g i h nie muszą być wie- lomianami).. ( pkt.) Sformułować zadanie interpolacyjne Hermite a. Co można o nim powiedzieć?. ( pkt.) Dla jakich wartości parametrów a, b, c i d funkcja jest naturalną funkcją sklejaną stopnia trzeciego?. ( pkt.) Opisać algorytm eliminacji Gaussa z pełnym wyborem elementu podstawowego.. ( pkt.) Opisać zagadnienie aproksymacji średniokwadratowej wielomianami.. ( pkt.) Zastosować twierdzenie Sturma do określenia liczby dodatnich pierwiastków rzeczywistych wielomianu wx ( ) = x x x +.. ( pkt. nie dotyczy osób obecnych na wykładzie). ( pkt. nie dotyczy osób obecnych na wykładzie) < niedostateczny dostateczny dostateczny plus dobry 9 0 dobry plus bardzo dobry n 0 x, x (, ), Sx ( ) = a + bx + cx + dx, x [, ), x, x [, ),

2 Egzamin pisemny zestaw czerwca 0 roku Imię i nazwisko:.... ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g (wielomian lub nie) interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funkcja h jest funkcją taką, że hx ( i) = δin ( 0 i n), to istnieje stała c, dla któ- rej funkcja g + ch interpoluje funkcję f w punktach x 0, x, K, x n.. ( pkt.) Dla jakich wartości parametrów a i b funkcja jest funkcją sklejaną stopnia trzeciego? ( x ) + a( x ), x (, ), Sx ( ) = ( x ) ( x ), x [, ), ( x ) + b( x ), x [, ),. ( pkt.) Co to znaczy, że rzeczywista macierz kwadratowa A jest dodatnio określona? Jak można zastosować jej rozkład A = LL T do rozwiązania układu równań liniowych Ax = b?. ( pkt.) W jaki sposób otrzymuje się metody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych?. ( pkt.) Opisać metodę regula falsi znajdowania pierwiastka równania f(x) = 0.. ( pkt.) Zastosować twierdzenie Sturma do określenia liczby rzeczywistych pierwiastków wielomianu wx ( ) = x + x x.. ( pkt. nie dotyczy osób obecnych na wykładzie). ( pkt. nie dotyczy osób obecnych na wykładzie) < niedostateczny dostateczny dostateczny plus dobry 9 0 dobry plus bardzo dobry

3 . ( pkt.) Wielomian Egzamin pisemny zestaw czerwca 0 roku px ( ) = ( x + ) + xx ( + ) xx ( + )( x ) interpoluje cztery początkowe punkty z tablicy x! 0 y! 0 Imię i nazwisko:... Dodając do wielomianu p jeden składnik, wyznaczyć wielomian interpolujący wszystkie dane.. ( pkt.) Dla jakich wartości parametrów a, b, c i d funkcja Sx ( ) = x, x [ 0, ), a + bx + cx + dx, x [ 0, ), może być w przedziale [!, ) naturalną funkcją sklejaną stopnia trzeciego?. ( pkt.) Zbadać wpływ zaburzeń wektora b na dokładność rozwiązania x układu równań liniowych Ax = b.. ( pkt.) Opisać metodę Newtona znajdowania pierwiastków układu równań nieliniowych f(x) = 0.. ( pkt.) Podać definicję ciągu Sturma.. ( pkt.) Za pomocą algorytmu Hornera znaleźć wartości wszystkich znormalizowanych pochodnych wielomianu wx ( ) = x x x + w punkcie x =.. ( pkt. nie dotyczy osób obecnych na wykładzie). ( pkt. nie dotyczy osób obecnych na wykładzie) < niedostateczny dobry dostateczny 9 0 dobry plus dostateczny plus bardzo dobry

4 Imię i nazwisko:... Grupa:... Nr indeksu:... Egzamin pisemny zestaw czerwca 0 roku. ( pkt.) Sformułować zadanie interpolacyjne Lagrange a i udowodnić jednoznaczność jego rozwiązania.. ( pkt.) Udowodnić, że jeżeli f ( x) = ( x x0)( x x) K ( x x p ), to [ x0, x, K, xn; f ] = 0 dla n p. Jaka jest wartość tego ilorazu różnicowego, gdy n = p +?. ( pkt.) Dla jakich wartości a, b i c funkcja Sx ( ) = x, x [ 0, ), ( x ) + a( x ) + b( x ) + c, x [, ), może być w przedziale [0, ) naturalną funkcją sklejaną stopnia trzeciego?. ( pkt.) Opisać metodę Bairstowa wyznaczania pierwiastków wielomianów.. ( pkt.) Opisać metodę numerycznego wyznaczania macierzy A!.. ( pkt.) Za pomocą algorytmu Hornera znaleźć wartości wszystkich znormalizowanych pochodnych wielomianu wx ( ) = x + x x x + w punkcie x =.. ( pkt. nie dotyczy osób obecnych na wykładzie). ( pkt. nie dotyczy osób obecnych na wykładzie) < niedostateczny dostateczny dostateczny plus dobry 9 0 dobry plus bardzo dobry

5 Egzamin pisemny zestaw czerwca 0 roku Imię i nazwisko:.... ( pkt.) Na przykładzie trzech, matematycznie równoważnych, zapisów funkcji f zmiennej rzeczywistej x: f ( x) = + = =, x + x x x x oraz przedziału [ x ] =, pokazać, że rozszerzenia przedziałowe tej funkcji mogą być różne. Jaka jest wartość funkcji przedziałowej na tym przedziale?. ( pkt.) Za pomocą algorytmu Neville a znaleźć wartość wielomianu interpolacyjnego w punkcie x = który w punktach 0, i przyjmuje wartości odpowiednio, i.,. ( pkt.) Sformułować zadanie interpolacyjne Hermite a. Co można o nim powiedzieć?. ( pkt.) Opisać algorytm eliminacji Gaussa z pełnym wyborem elementu podstawowego.. ( pkt.) Opisać zagadnienie aproksymacji średniokwadratowej wielomianami. W jaki sposób można rozwiązać powstały układ równań Haara?. ( pkt.) Stosując metodę Gaussa z częściowym wyborem elementu podstawowego, wyznaczyć macierz A!, jeśli 0 A = 0. 0 [ ] [ ] [ ] f ( x) f ( x) f ( x). ( pkt. nie dotyczy osób obecnych na wykładzie). ( pkt. nie dotyczy osób obecnych na wykładzie) x < niedostateczny dobry dostateczny 9 0 dobry plus dostateczny plus bardzo dobry

6 Imię i nazwisko:... Grupa:... Nr indeksu:... Egzamin pisemny zestaw czerwca 0 roku. ( pkt.) W arytmetyce przedziałowej dla dowolnych przedziałów [x], [y] i [z] prawdziwe jest zawieranie Podaj przykład takich przedziałów [x], [y] i [z], aby w powyższej zależności przedział lewostronny był całkowicie zawarty w przedziale prawostronnym.. ( pkt.) Za pomocą algorytmu Shaw-Trauba znaleźć wszystkie znormalizowane pochodne w punkcie x = wielomianu. ( pkt.) Co to znaczy, że rzeczywista macierz kwadratowa A jest dodatnio określona? Jak można zastosować jej rozkład A = LL T do rozwiązania układu równań liniowych Ax = b?. ( pkt.) W jaki sposób otrzymuje się metody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych?. ( pkt.) Opisać metodę regula falsi znajdowania pierwiastka równania f(x) = 0.. ( pkt.) Znaleźć przybliżenie funkcji f(x) = sin x na przedziale [0, B/] wielomianem stopnia drugiego (wskazówka: przyjąć x 0 = B/). Jaki jest błąd tej aproksymacji?. ( pkt. nie dotyczy osób obecnych na wykładzie). ( pkt. nie dotyczy osób obecnych na wykładzie) < niedostateczny dostateczny dostateczny plus dobry 9 0 dobry plus bardzo dobry [ x] ([ y] + [ z]) [ x] [ y] + [ x] [ z]. x + x x x +.