ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 24 czerwca 2019 roku

Transkrypt

1 Egzamin pisemny zestaw. ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x n, to funkcja x0 x gx ( ) + [ gx ( ) hx ( )] x x interpoluje funkcję f we wszystkich węzłach x 0, x, K, x n (funkcje g i h nie muszą być wie- lomianami).. ( pkt.) Sformułować zadanie interpolacyjne Hermite a. Co można o nim powiedzieć?. ( pkt.) Dla jakich wartości parametrów a, b, c i d funkcja jest naturalną funkcją sklejaną stopnia trzeciego?. ( pkt.) Opisać algorytm eliminacji Gaussa z pełnym wyborem elementu podstawowego.. ( pkt.) Opisać zagadnienie aproksymacji średniokwadratowej wielomianami.. ( pkt.) Zastosować twierdzenie Sturma do określenia liczby dodatnich pierwiastków rzeczywistych wielomianu wx ( ) = x x x +. n 0 x, x (, ), Sx ( ) = a + bx + cx + dx, x [, ), 7 x, x [, ),

2 Egzamin pisemny zestaw. ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g (wielomian lub nie) interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funkcja h jest funkcją taką, że hx ( i) = δin ( 0 i n), to istnieje stała c, dla któ- rej funkcja g + ch interpoluje funkcję f w punktach x 0, x, K, x n.. ( pkt.) Dla jakich wartości parametrów a i b funkcja jest funkcją sklejaną stopnia trzeciego? ( x ) + a( x ), x (, ), Sx ( ) = ( x ) ( x ), x [, ), ( x ) + b( x ), x [, ),. ( pkt.) Co to znaczy, że rzeczywista macierz kwadratowa A jest dodatnio określona? Jak można zastosować jej rozkład A = LL T do rozwiązania układu równań liniowych Ax = b?. ( pkt.) W jaki sposób otrzymuje się metody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych?. ( pkt.) Opisać metodę regula falsi znajdowania pierwiastka równania f(x) = 0.. ( pkt.) Zastosować twierdzenie Sturma do określenia liczby rzeczywistych pierwiastków wielomianu wx ( ) = x + x x.

3 . ( pkt.) Wielomian Egzamin pisemny zestaw px ( ) = ( x + ) + xx ( + ) xx ( + )( x ) interpoluje cztery początkowe punkty z tablicy x! 0 y!7 0 Dodając do wielomianu p jeden składnik, wyznaczyć wielomian interpolujący wszystkie dane.. ( pkt.) Dla jakich wartości parametrów a, b, c i d funkcja Sx ( ) = x, x [ 0, ), a + bx + cx + dx, x [ 0, ), może być w przedziale [!, ) naturalną funkcją sklejaną stopnia trzeciego?. ( pkt.) Zbadać wpływ zaburzeń wektora b na dokładność rozwiązania x układu równań liniowych Ax = b.. ( pkt.) Opisać metodę Newtona znajdowania pierwiastków układu równań nieliniowych f(x) = 0.. ( pkt.) Podać definicję ciągu Sturma.. ( pkt.) Za pomocą algorytmu Hornera znaleźć wartości wszystkich znormalizowanych pochodnych wielomianu wx ( ) = x x x + w punkcie x =.

4 ... Grupa:... Nr indeksu:... Egzamin pisemny zestaw. ( pkt.) Sformułować zadanie interpolacyjne Lagrange a i udowodnić jednoznaczność jego rozwiązania.. ( pkt.) Udowodnić, że jeżeli f ( x) = ( x x0)( x x) K ( x x p ), to [ x 0, x, K, x n ; f ] = 0 dla n p. Jaka jest wartość tego ilorazu różnicowego, gdy n = p +?. ( pkt.) Dla jakich wartości a, b i c funkcja Sx ( ) = x, x [ 0, ), ( x ) + a( x ) + b( x ) + c, x [, ), może być w przedziale [0, ) naturalną funkcją sklejaną stopnia trzeciego?. ( pkt.) Opisać metodę Bairstowa wyznaczania pierwiastków wielomianów.. ( pkt.) Opisać metodę numerycznego wyznaczania macierzy A!.. ( pkt.) Za pomocą algorytmu Hornera znaleźć wartości wszystkich znormalizowanych pochodnych wielomianu wx ( ) = x + x x x + w punkcie x =.

5 Egzamin pisemny zestaw. ( pkt.) Na przykładzie trzech, matematycznie równoważnych, zapisów funkcji f zmiennej rzeczywistej x: f ( x) = + = =, x + x x x x [ ] [ ] [ ] f ( x) f ( x) f ( x) oraz przedziału [ x ] =, pokazać, że rozszerzenia przedziałowe tej funkcji mogą być różne. Jaka jest wartość funkcji przedziałowej na tym przedziale?. ( pkt.) Za pomocą algorytmu Neville a znaleźć wartość wielomianu interpolacyjnego w punkcie x = który w punktach 0, i przyjmuje wartości odpowiednio, i.,. ( pkt.) Sformułować zadanie interpolacyjne Hermite a. Co można o nim powiedzieć?. ( pkt.) Opisać algorytm eliminacji Gaussa z pełnym wyborem elementu podstawowego.. ( pkt.) Opisać zagadnienie aproksymacji średniokwadratowej wielomianami. W jaki sposób można rozwiązać powstały układ równań Haara?. ( pkt.) Stosując metodę Gaussa z częściowym wyborem elementu podstawowego, wyznaczyć macierz A!, jeśli x 0 A = 0. 0 bardzo dobry

6 ... Grupa:... Nr indeksu:... Egzamin pisemny zestaw. ( pkt.) W arytmetyce przedziałowej dla dowolnych przedziałów [x], [y] i [z] prawdziwe jest zawieranie [ x] ([ y] + [ z]) [ x] [ y] + [ x] [ z]. Podaj przykład takich przedziałów [x], [y] i [z], aby w powyższej zależności przedział lewostronny był całkowicie zawarty w przedziale prawostronnym.. ( pkt.) Za pomocą algorytmu Shaw-Trauba znaleźć wszystkie znormalizowane pochodne w punkcie x = wielomianu x + x x x +.. ( pkt.) Co to znaczy, że rzeczywista macierz kwadratowa A jest dodatnio określona? Jak można zastosować jej rozkład A = LL T do rozwiązania układu równań liniowych Ax = b?. ( pkt.) W jaki sposób otrzymuje się metody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych?. ( pkt.) Opisać metodę regula falsi znajdowania pierwiastka równania f(x) = 0.. ( pkt.) Znaleźć przybliżenie funkcji f(x) = sin x na przedziale [0, B/] wielomianem stopnia drugiego (wskazówka: przyjąć x 0 = B/). Jaki jest błąd tej aproksymacji?