Ćwiczenia nr 7. TEMATYKA: Krzywe Bézier a
|
|
- Judyta Szulc
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 TEMATYKA: Krzywe Bézier a Ćwiczenia nr 7 DEFINICJE: Interpolacja: przybliżanie funkcji za pomocą innej funkcji, zwykle wielomianu, tak aby były sobie równe w zadanych punktach. Poniżej przykład interpolacji liniowej. Rys. 8.1 Aproksymacja: proces określania rozwiązań przybliżonych na podstawie rozwiązań znanych, które są bliskie rozwiązaniom dokładnym w ściśle sprecyzowanym sensie. Zazwyczaj aproksymuje się np. funkcje skomplikowane funkcjami prostszymi. Często stosowana w przypadku szukania rozwiązań dla danych uzyskanych metodami empirycznymi, które mogą być obarczone błędami. Regresja liniowa jest przykładem aproksymacji liniowej. Krzywa Bézier a: parametryczna krzywa powszechnie stosowana w programach do projektowania inżynierskiego CAD, projektowania grafiki komputerowej, do reprezentowania kształtów znaków w czcionkach komputerowych i systemach przetwarzania grafiki oraz w grafice wektorowej. Krzywa Bézier a to krzywa wielomianowa trzeciego stopnia, czyli taka która może być definiowana za pomocą trzech wielomianów (odpowiednio dla współrzędnych x, y i z) z pewnym parametrem t. Wielomiany trzeciego stopnia są używane najczęściej, ponieważ wielomiany niższego stopnia są zbyt mało elastyczne, jeśli chodzi o sterowanie kształtem krzywej. Natomiast wielomiany wyższego stopnia wprowadzają niepożądane oscylacje, a ponadto wymagają większej liczby obliczeń. Krzywe trzeciego stopnia są również krzywymi najniższego stopnia, które nie leżą w jednej płaszczyźnie w D. Współczynniki wielomianów są tak dobierane, żeby krzywa przebiegała wzdłuż pożądanej ścieżki. Krzywa ta została opracowana przez Pierre'a Bézier a z myślą o wykorzystaniu przy projektowaniu samochodów w firmie Renault. Krzywa określona jest przez dwa punkty końcowe oraz dwa punkty pośrednie nie należące do krzywej. Krzywa Bézier a interpoluje więc oba końcowe punkty i aproksymuje dwa pozostałe. 1
2 Rys. 8.2 Krzywa Bézier a w praktyce: pojedynczą krzywą Bézier a jednoznacznie identyfikują cztery punkty, które nazwiemy p, p 1, p 2 i p. Krzywa zaczyna się w punkcie p i kończy w p ; p jest zatem punktem (węzłem) początkowym, a p punktem (węzłem) końcowym (zbiorczo punkty p i p są często nazywane końcowymi - węzłami). Punkty p 1 i p 2 to punkty kontrolne. Punkty kontrolne działają jak magnesy i przyciągają do siebie krzywą. Oto przykładowa krzywa Béziera z dwoma punktami końcowymi i dwoma kontrolnymi: Rys. 8. Krzywa zaczyna się w punkcie p i zmierza w stronę p 1, ale potem porzuca ten szlak i kieruje się w stronę p 2. Nie dotykając p 2, kończy się w punkcie p. 2
3 Oto inna krzywa Bézier a: Rys. 8.4 Rzadko się zdarza, żeby krzywa Bézier a przechodziła przez punkty kontrolne. Jeżeli jednak umieścić oba punkty kontrolne między punktami końcowymi, krzywa Bézier a zmieni się w linię prostą i będzie przechodzić przez oba punkty: Rys. 8.5 Można też wybrać punkty, które zawiną krzywą Bézier a w pętlę: Rys. 8.6 Krzywe Bézier a mają kilka cech, które predestynują je do zastosowania w projektowaniu wspomaganym komputerowo. Po pierwsze, przy odrobinie wprawy, zwykle da się dopasować krzywą do żądanego kształtu. Po drugie, krzywa Bézier a jest bardzo dobrze kontrolowana. Niektóre krzywe nie przechodzą przez żaden z definiujących je punktów. Krzywa Béziera jest zawsze zakotwiczona w dwóch punktach końcowych. Co więcej, pewne rodzaje krzywych mają osobliwości, w których krzywa ucieka do nieskończoności (co w komputerowym projektowaniu jest raczej niepożądane). Krzywa Bézier a jest znacznie bardziej zdyscyplinowana. Zawsze ogranicza ją czworokąt (nazywany powłoką wypukłą) utworzony przez połączenie punktów końcowych i kontrolnych. (Sposób łączenia punktów w celu utworzenia powłoki wypukłej zależy od konkretnej krzywej).
4 Trzecia właściwość krzywej Bézier a dotyczy związku między punktami końcowymi i kontrolnymi. W punkcie początkowym krzywa jest zawsze styczna do linii prostej biegnącej od punktu początkowego do pierwszego punktu kontrolnego i ma ten sam kierunek. W punkcie końcowym krzywa jest zawsze styczna do linii prostej biegnącej od drugiego punktu kontrolnego do punktu końcowego i ma ten sam kierunek. To kolejne dwa założenia używane do wyprowadzania wzorów Bézier a. Po czwarte, krzywe Bézier a często wywołują pozytywne wrażenia estetyczne. Punkty należące do krzywej Bezier a obliczane są z równań: f(t) = x(t) = (1 t) x + t (1 t) 2 x 1 + t 2 (1 t) x 2 + t x y(t) = (1 t) y + t (1 t) 2 y 1 + t 2 (1 t) y 2 + t y z(t) = (1 t) z + t (1 t) 2 z 1 + t 2 (1 t) z 2 + t z t 1 Zapis macierzowy: 1 x(t) = [x x 1 x 2 x [ f(t) = y(t) = [y y 1 y 2 y [ z(t) = [z z 1 z 2 z [ 6 1 t 1 t 1 [ t 2 ] t 1 1 t [ t 2 ] t 1 1 t [ t 2 ] t 1 Zapis za pomocą wielomianów bazowych Bernsteina: n f(t) = B i,n (t) p i i= t 1 B i,n = ( n i ) ti (1 t) n i = n! i! (n i)! ti (1 t) n i wielomiany bazowe n stopień krzywej, dla n = 1 punkty: p, p 1 ; n = 2 punkty: p, p 1, p 2 ; n = punkty: p, p 1, p 2, p ; n = 4 punkty: p, p 1, p 2, p, p 4 ; itd. 4
5 ZADANIA: 1. Wyprowadzić wzór na krzywą Bézier a trzeciego stopnia leżącą w przestrzeni. Pokazać zapis wielomianowy, macierzowy i z wykorzystaniem wielomianów bazowych Bernsteina. 2. W kartezjańskim układzie współrzędnych 2D wykreślić krzywą Bézier a o następujących parametrach: a) p (4; -2) punkt początkowy, b) p 1 (2; 5) pierwszy punkt kontrolny, c) p 2 (8; 8) drugi punkt kontrolny, d) p (11; 6) punkt końcowy, e) parametr t przyjąć z przedziału <; 1> z krokiem co.1 Rys
6 . W kartezjańskim układzie współrzędnych 2D dane są dwa punkty p (6; 7) oraz p (12; 1) są one odpowiednio punktem początkowym i końcowym pewnej krzywej Bézier a. Wyznaczyć współrzędne punktów kontrolnych p 1 (x 1 ; y 1 ) oraz p 2 (x 2 ; y 2 ) w taki sposób, aby krzywa Bézier a była aproksymacją ćwiartki okręgu. Rys Dla danych na płaszczyźnie punktów p, p 1, p 2, p wyznaczyć (w sposób graficzny) punkt należący do krzywej Bézier a, przyjąć parametr t = 1/. Rys
7 ROZWIĄZANIA ZADAŃ: 1. Wyprowadzić wzór na krzywą Bézier a trzeciego stopnia leżącą w przestrzeni. Pokazać zapis wielomianowy, macierzowy i z wykorzystaniem wielomianów bazowych Bernsteina. Krzywa Bézier a to wielomian trzeciego stopnia. Jak wszystkie wielomiany trzeciego stopnia, krzywą Bézier a jednoznacznie określają cztery punkty, które nazwano p (punkt początkowy), p 1 i p 2 (dwa punkty kontrolne) oraz p (punkt końcowy). Te cztery punkty można również oznaczyć, jako (x, y, z ), (x 1, y 1, z 1 ), (x 2, y 2, z 2 ) i (x, y, z ). Ogólna, parametryczna postać wielomianu trzeciego stopnia trzech zmiennych to: x(t) = a x t + b x t 2 + c x t + d x y(t) = a y t + b y t 2 + c y t + d y z(t) = a z t + b z t 2 + c z t + d z a x, b x, c x, d x, a y, b y, c y, d y, a z, b z, c z, d z wielkości stałe t przybiera wartości od do 1 Każda krzywa Bézier a jest jednoznacznie określona przez te dwanaście stałych. Wartości stałych zależą od czterech punktów definiujących krzywą. Pierwsze założenie jest takie, że krzywa Bézier a zaczyna się w punkcie (x, y, z ), gdy t jest równe : x(t = ) = a x t + b x t 2 + c x t + d x = d x = x y(t = ) = a y t + b y t 2 + c y t + d y = d y = y z(t = ) = a z t + b z t 2 + c z t + d z = d z = z Drugie założenie związane z krzywą Bézier a jest takie, że kończy się ona w punkcie (x, y, z ), gdy t jest równe 1: x(t = 1) = a x 1 + b x c x 1 + d x = a x + b x + c x + d x = x y(t = 1) = a y 1 + b y c y 1 + d y = a y + b y + c y + d y = y z(t = 1) = a z 1 + b z c z 1 + d z = a z + b z + c z + d z = z 7
8 Pozostałe dwa założenia dotyczą pierwszych pochodnych równań parametrycznych, które opisują nachylenie krzywej. Pierwsze pochodne uogólnionych równań parametrycznych wielomianu trzeciego stopnia liczone względem t to: x (t) = a x t b x t + c x y (t) = a y t b y t + c y z (t) = a z t b z t + c z W punkcie początkowym krzywa Bézier a jest styczna do linii biegnącej od punktu początkowego do pierwszego punktu kontrolnego i ma ten sam kierunek. Tę linię prostą zwykle definiowałoby równanie parametryczne: x(t) = (x 1 x ) t + x y(t) = (y 1 y ) t + y z(t) = (z 1 z ) t + z Dla t z zakresu od do 1. Jednakże inną reprezentacją tej linii prostej mogą być poniższe równania parametryczne: x(t) = (x 1 x ) t + x y(t) = (y 1 y ) t + y z(t) = (z 1 z ) t + z gdzie t przybiera wartości od do 1/. Dlaczego 1/? Ponieważ fragment krzywej Bézier a, który jest styczny do linii prostej od p do p 1 i ma ten sam kierunek, to mniej więcej 1/ całej krzywej. Oto pierwsze pochodne tych zmodyfikowanych równań parametrycznych: x (t) = (x 1 x ) y (t) = (y 1 y ) z (t) = (z 1 z ) Równania te reprezentują nachylenie krzywej Bézier a, gdy t jest równe zeru, a zatem: x (t = ) = a x b x + c x = c x = (x 1 x ) y (t = ) = a y b y + c y = c y = (y 1 y ) z (t = ) = a z b z + c z = c z = (z 1 z ) 8
9 Ostatnie założenie jest takie, że w punkcie końcowym krzywa Bézier a jest styczna do linii prostej biegnącej od drugiego punktu kontrolnego do punktu końcowego i ma taki sam kierunek: x (t = 1) = a x b x 1 + c x = a x + 2 b x + c x = (x x 2 ) y (t = 1) = a y b y 1 + c y = a y + 2 b y + c y = (y y ) z (t = 1) = a z b z 1 + c z = a z + 2 b z + c z = (z z ) Powstał układ czterech równań z czterema niewiadomymi: d x = x a x = x + x 1 x 2 + x a x + b x + c x + d x = x b x = x 6 x 1 + x 2 c x = (x 1 x ) c x = x 1 x a x + 2 b x + c x = (x x 2 ) d x = x d y = y a y = y + y 1 y 2 + y a y + b y + c y + d y = y b y = y 6 y 1 + y 2 c y = (y 1 y ) c y = y 1 y a y + 2 b y + c y = (y y 2 ) d y = y d z = z a z = z + z 1 z 2 + z a z + b z + c z + d z = z b z = z 6 z 1 + z 2 c z = (z 1 z ) c z = z 1 z a z + 2 b z + c z = (z z 2 ) z y = z Podstawiając stałe do uogólnionych równań parametrycznych trzeciego stopnia otrzymano: x(t) = ( x + x 1 x 2 + x ) t + ( x 6 x 1 + x 2 ) t 2 + ( x 1 x ) t + x y(t) = ( y + y 1 y 2 + y ) t + ( y 6 y 1 + y 2 ) t 2 + ( y 1 y ) t + y z(t) = ( z + z 1 z 2 + z ) t + ( z 6 z 1 + z 2 ) t 2 + ( z 1 z ) t + z Po uporządkowaniu zapis wielomianowy: x(t) = (1 t) x + t (1 t) 2 x 1 + t 2 (1 t) x 2 + t x y(t) = (1 t) y + t (1 t) 2 y 1 + t 2 (1 t) y 2 + t y z(t) = (1 t) z + t (1 t) 2 z 1 + t 2 (1 t) z 2 + t z 9
10 W postaci macierzowej: 1 x(t) = [x x 1 x 2 x [ 1 1 y(t) = [y y 1 y 2 y [ 1 1 z(t) = [z z 1 z 2 z [ 1 t [ t 2 ] t 1 1 t [ t 2 ] t 1 1 t [ t 2 ] t 1 t Zapis za pomocą wielomianów bazowych Bernsteina: n = t ϵ <; 1> f(t) = B i, (t) p i = B, (t) p + B 1, (t) p 1 + B 2, (t) p 2 + B, (t) p i= B, = ( ) t (1 ) = B 1, = ( 1 ) t1 (1 ) 1 = B 2, = ( 2 ) t2 (1 ) 2 = B, = ( ) t (1 ) =!! ( )! t (1 t) = (1 t)! 1! ( 1)! t1 (1 t) 1 = t (1 t) 2! 2! ( 2)! t2 (1 t) 2 = t 2 (1 t)!! ( )! t (1 t) = t f(t) = (1 t) p + t (1 t) 2 p 1 + t 2 (1 t) p 2 + t p 1
11 2. W kartezjańskim układzie współrzędnych 2D wykreślić krzywą Bézier a o następujących parametrach: f) p (4; -2) punkt początkowy, g) p 1 (2; 5) pierwszy punkt kontrolny, h) p 2 (8; 8) drugi punkt kontrolny, i) p (11; 6) punkt końcowy, j) parametr t przyjąć z przedziału <; 1> z krokiem co.1 Rys x(t) = [x x 1 x 2 x [ 6 [ t 2 ] t t y(t) = [y y 1 y 2 y [ 6 [ t 2 ] t 1 1 t =. 1;. 2;. ;. 4;. 5;. 6;. 7;. 8;. 9 t 11
12 1 1 (. 1) x(t =. 1) = [ [ 6 [ (. 1) 2 ] = (. 1) + (. 1) 2 + ( ) (. 1) = [ ( 6) (. 1) (. 1) + (. 1) 2 = [ 1 (. 1) + (. 1) ] = [ [ ] = [ ] = (. 1) y(t =. 1) = [ [ 6 [ (. 1) 2 ] = (. 1) + (. 1) 2 + ( ) (. 1) = [ ( 6) (. 1) (. 1) + (. 1) 2 = [ 1 (. 1) + (. 1) ] = [ [ ] = [ ] = x(t =. 2) = [ [ y(t =. 2) = [ [ x(t =. ) = [ [ y(t =. ) = [ [ x(t =. 4) = [ [ y(t =. 4) = [ [ (. 2) (. 2) 2. 2 [ 1 ] =. 672 (. 2) (. 2) 2 = [ 1 ] (. ) (. ) 2. [ 1 ] = 4. 6 (. ) (. ) 2 =. 19. [ 1 ] (. 4) (. 4) 2. 4 [ 1 ] = (. 4) (. 4) 2 = [ 1 ] 12
13 1 x(t =. 5) = [ [ y(t =. 5) = [ [ x(t =. 6) = [ [ y(t =. 6) = [ [ x(t =. 7) = [ [ y(t =. 7) = [ [ x(t =. 8) = [ [ y(t =. 8) = [ [ x(t =. 9) = [ [ y(t =. 9) = [ [ (. 5) (. 5) 2. 5 [ 1 ] = (. 5) (. 5) 2 = [ 1 ] (. 6) (. 6) 2. 6 [ 1 ] = (. 6) (. 6) 2 = [ 1 ] (. 7) (. 7) 2. 7 [ 1 ] = (. 7) (. 7) 2 = [ 1 ] (. 8) (. 8) 2. 8 [ 1 ] = (. 8) (. 8) 2 = [ 1 ] (. 9) (. 9) 2. 9 [ 1 ] = (. 9) (. 9) 2 = [ 1 ] 1
14 Odp.: Rys. 8.1 Rys
15 . W kartezjańskim układzie współrzędnych 2D dane są dwa punkty p (6; 7) oraz p (12; 1) są one odpowiednio punktem początkowym i końcowym pewnej krzywej Bézier a. Wyznaczyć współrzędne punktów kontrolnych p 1 (x 1 ; y 1 ) oraz p 2 (x 2 ; y 2 ) w taki sposób, aby krzywa Bézier a była aproksymacją ćwiartki okręgu. Wyznaczenie parametrów ćwiartki okręgu: Rys. 8.8 (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 równanie okręgu 6 a a u = [ ] v = [12 ] wektory prostopadłe 7 b 1 b u v u v = (6 a) (12 a) + (7 b) (1 b) = iloczyn skalarny (6 a) 2 + (7 b) 2 = r 2 (12 a) 2 + (1 b) 2 = r 2 trzy równania i trzy niewiadome (6 a) (12 a) + (7 b) (1 b) = (6 a)2 + (7 b) 2 = (12 a) 2 + (1 b) 2 (6 a) (12 a) + (7 b) (1 b) = dwa równania i dwie niewiadome (6 a)2 (12 a) 2 = (1 b) 2 (7 b) 2 różnica kwadratów (6 a) (12 a) + (7 b) (1 b) = [6 a 12 + a [6 a + 12 a] = [1 b 7 + b [1 b + 7 b] (6 a) (12 a) + (7 b) (1 b) = [ 6 [ 2 a + 18] = [ 6 [ 2 b + 8] (6 a) (12 a) + (7 b) (1 b) = 15
16 a 9 = b 4 po odpowiednich przekształceniach a = 5 + b (6 a) (12 a) + (7 b) (1 b) = a = 5 + b (6 5 b) (12 5 b) + (7 b) (1 b) = a = 5 + b (1 b) (7 b) + (7 b) (1 b) = a = 5 + b 2 (1 b) (7 b) = b = 1 b = 7 = 6 = 12 a a b = 1 b = 7 Komentarz: możliwe jest występowanie dwóch ćwiartek okręgów. Wybrano tą z treści zadania, czyli o współrzędnych środka O(6; 1) Rys (6 6) 2 + (7 1) 2 = r 2 r = 6 promień ćwiartki okręgu Wyznaczenie parametrów krzywej Bézier a: Rys
17 1 x A = [6 x [ (. 5) [ (. 5) 2 ] pierwsze równanie (krzywa) y A = [7 7 y 2 1 [ (. 5) [ (. 5) 2 ] drugie równanie (krzywa). 5 1 (x A 6) 2 + (y A 1) 2 = 6 2 trzecie równanie (równanie okręgu) (y A 1) (x A 6) = tan(45o ) = 1 (y A 1) = (x A 6) czwarte równanie (trygonom. ) Cztery równania i cztery niewiadome x A, y A, x 1, y x A = [6 x [ 6 [. 25 ] = ( ) =. 125 = [6 x [ ( 6) =. 75 ] = = = [6 x [. 75 ] = x = x y A = [7 7 y 2 1 [ 6 [. 25 ] = [7 7 y [. 75 ] = = y = y x A = x y A = y (x A 6) 2 + (y A 1) 2 = (x (y A 1) = (x A 6) A 6) 2 = 6 x A = = x A = x y A = y x A = y A = x A 5 = =
18 x 1 = x A y 2 = y A Odp.: x 1 = y 2 = x A = y A = = = = = = = x A = y A = Rys Dla danych na płaszczyźnie punktów p, p 1, p 2, p wyznaczyć (w sposób graficzny) punkt należący do krzywej Bézier a, przyjać parametr t = 1/. Rys
19 Odp.: Rys
składa się z m + 1 uporządkowanych niemalejąco liczb nieujemnych. Pomiędzy p, n i m zachodzi następująca zależność:
TEMATYKA: Krzywe typu Splajn (Krzywe B sklejane) Ćwiczenia nr 8 Krzywe Bezier a mają istotne ograniczenie. Aby uzyskać kształt zawierający wiele punktów przegięcia niezbędna jest krzywa wysokiego stopnia.
Bardziej szczegółowoGrafika komputerowa Wykład 8 Modelowanie obiektów graficznych cz. II
Grafika komputerowa Wykład 8 Modelowanie obiektów graficznych cz. II Instytut Informatyki i Automatyki Państwowa Wyższa Szkoła Informatyki i Przedsiębiorczości w Łomży 2 0 0 9 Spis treści Spis treści 1
Bardziej szczegółowoGrafika komputerowa Wykład 7 Modelowanie obiektów graficznych cz. I
Grafika komputerowa Wykład 7 Modelowanie obiektów graficznych cz. I Instytut Informatyki i Automatyki Państwowa Wyższa Szkoła Informatyki i Przedsiębiorczości w Łomży 2 0 0 9 Spis treści Spis treści 1
Bardziej szczegółowoInterpolacja, aproksymacja całkowanie. Interpolacja Krzywa przechodzi przez punkty kontrolne
Interpolacja, aproksymacja całkowanie Interpolacja Krzywa przechodzi przez punkty kontrolne Aproksymacja Punkty kontrolne jedynie sterują kształtem krzywej INTERPOLACJA Zagadnienie interpolacji można sformułować
Bardziej szczegółowoOpis krzywych w przestrzeni 3D. Mirosław Głowacki Wydział Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej AGH
Opis krzywych w przestrzeni 3D Mirosław Głowacki Wydział Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej AGH Krzywe Beziera W przypadku tych krzywych wektory styczne w punkach końcowych są określane bezpośrednio
Bardziej szczegółowoKINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury
KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
Bardziej szczegółowoModelowanie krzywych i powierzchni
3 Modelowanie krzywych i powierzchni Modelowanie powierzchniowe jest kolejną metodą po modelowaniu bryłowym sposobem tworzenia części. Jest to też sposób budowy elementu bardziej skomplikowany i wymagający
Bardziej szczegółowoINTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Wprowadzenie Na czym polega interpolacja? Interpolacja polega
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji
Ćwiczenia nr 4. Sformułowanie zagadnienia interpolacji Niech będą dane punkty x 0,..., x n i wartości y 0,..., y n, takie że i=0,...,n y i = f (x i )). Szukamy funkcji F (funkcji interpolującej), takiej
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 8 Interpolacja Interpolacja polega na budowaniu tzw. funkcji interpolujących ϕ(x) na podstawie zadanych
Bardziej szczegółowoVI. FIGURY GEOMETRYCZNE i MODELE
VI. FIGURY GEOMETRYCZNE i MODELE 6.1. Wprowadzenie Jednym z głównych zastosowań grafiki komputerowej jest modelowanie obiektów, czyli ich opis matematyczny, na podstawie którego na ekranie można stworzyć
Bardziej szczegółowoDEFINICJE: Punkt, prosta, płaszczyzna i przestrzeń są pojęciami pierwotnymi przyjmowanymi bez definicji,
TEMATYKA: Współliniowość Współpłaszczyznowość Ćwiczenia nr DEFINICJE: Punkt, prosta, płaszczyzna i przestrzeń są pojęciami pierwotnymi przyjmowanymi bez definicji, Podstawowe aksjomaty (zdanie, którego
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowoA,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)
Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań. Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY. Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik
Rozwiązania zadań Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY Zadanie 1 (5pkt) Równanie jest kwadratowe, więc Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik /:4 nierówności
Bardziej szczegółowoArkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.
Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony
Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem
Bardziej szczegółowo0. OpenGL ma układ współrzędnych taki, że oś y jest skierowana (względem monitora) a) w dół b) w górę c) w lewo d) w prawo e) w kierunku do
0. OpenGL ma układ współrzędnych taki, że oś y jest skierowana (względem monitora) a) w dół b) w górę c) w lewo d) w prawo e) w kierunku do obserwatora f) w kierunku od obserwatora 1. Obrót dookoła osi
Bardziej szczegółowoFunkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 15
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 15 Niech r ( t ) [ x( t), y( t), z( t)], t I ( r ( t ) x( t) i y( t) j z( t) k, t I ) będzie równaniem wektorowym krzywej w R 3. Definicja Krzywą o równaniu r ( t ) [ a cost,
Bardziej szczegółowoInterpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna
Interpolacja Marcin Orchel 1 Wstęp Mamy daną funkcję φ (x; a 0,..., a n ) zależną od n + 1 parametrów a 0,..., a n. Zadanie interpolacji funkcji φ polega na określeniu parametrów a i tak aby dla n + 1
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga.
Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga. Funkcja liniowa. Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli: - rozpoznaje funkcję liniową
Bardziej szczegółowoMatematyka licea ogólnokształcące, technika
Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoEgzamin z Metod Numerycznych ZSI, Egzamin, Gr. A
Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, 06.2007. Egzamin, Gr. A Imię i nazwisko: Nr indeksu: Section 1. Test wyboru, max 33 pkt Zaznacz prawidziwe odpowiedzi literą T, a fałszywe N. Każda prawidłowa odpowiedź
Bardziej szczegółowoElementy projektowania inzynierskiego Przypomnienie systemu Mathcad
Elementy projektowania inzynierskiego Definicja zmiennych skalarnych a : [S] - SPACE a [T] - TAB - CTRL b - SHIFT h h. : / Wyświetlenie wartości zmiennych a a = b h. h. = Przykładowe wyrażenia
Bardziej szczegółowoRegresja wieloraka Ogólny problem obliczeniowy: dopasowanie linii prostej do zbioru punktów. Najprostszy przypadek - jedna zmienna zależna i jedna
Regresja wieloraka Regresja wieloraka Ogólny problem obliczeniowy: dopasowanie linii prostej do zbioru punktów. Najprostszy przypadek - jedna zmienna zależna i jedna zmienna niezależna (można zobrazować
Bardziej szczegółowoRachunek wektorowy - wprowadzenie. dr inż. Romuald Kędzierski
Rachunek wektorowy - wprowadzenie dr inż. Romuald Kędzierski Graficzne przedstawianie wielkości wektorowych Długość wektora jest miarą jego wartości Linia prosta wyznaczająca kierunek działania wektora
Bardziej szczegółowoMechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi)
Kinematyka Mechanika ogólna Wykład nr 7 Elementy kinematyki Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez wnikania w związek
Bardziej szczegółowoElementy rachunku różniczkowego i całkowego
Elementy rachunku różniczkowego i całkowego W paragrafie tym podane zostaną elementarne wiadomości na temat rachunku różniczkowego i całkowego oraz przykłady jego zastosowania w fizyce. Małymi literami
Bardziej szczegółowoGeometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2
Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2 Inne rozwiązanie zadania 2. (Wyznaczyć równanie stycznej do elipsy x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 w dowolnym jej punkcie (x 0, y 0 ). ) Przypuśćmy, że krzywa na
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoi = [ 0] j = [ 1] k = [ 0]
Ćwiczenia nr TEMATYKA: Układy współrzędnych: kartezjański, walcowy (cylindryczny), sferyczny (geograficzny), Przekształcenia: izometryczne, nieizometryczne. DEFINICJE: Wektor wodzący: wektorem r, ρ wodzącym
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowo1 Równania nieliniowe
1 Równania nieliniowe 1.1 Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym jest numeryczne poszukiwanie rozwiązań równań nieliniowych, np. algebraicznych (wielomiany),
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA. A) B) C) D) Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. A) B) C) D)
FUNKCJA LINIOWA 1. Funkcja jest rosnąca, gdy 2. Wskaż, dla którego funkcja liniowa jest rosnąca Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. 3. Funkcja liniowa A) jest malejąca i jej
Bardziej szczegółowo11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).
1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego
Bardziej szczegółowoZastosowanie MES do rozwiązania problemu ustalonego przepływu ciepła w obszarze 2D
Równanie konstytutywne opisujące sposób w jaki ciepło przepływa w materiale o danych właściwościach, prawo Fouriera Macierz konstytutywna (właściwości) materiału Wektor gradientu temperatury Wektor strumienia
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci
Bardziej szczegółowo1.UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
UKŁADY RÓWNAŃ 1.UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Układ: a1x + b1y = c1 a x + by = c nazywamy układem równań liniowych. Rozwiązaniem układu jest kaŝda para liczb spełniająca kaŝde z równań. Przy rozwiązywaniu układów
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań nieliniowych
Rozwiązywanie równań nieliniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Przykłady wyznaczania miejsc zerowych funkcji f : f(ξ) = 0. Wyszukiwanie miejsc zerowych wielomianu n-tego stopnia. Wymiar tej przestrzeni wektorowej
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Wykład 6
Metody numeryczne Wykład 6 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Interpolacja o Interpolacja
Bardziej szczegółowoKryteria oceniania z matematyki dla klasy M+ (zakres rozszerzony) Klasa II
Funkcja liniowa Kryteria oceniania z matematyki dla klasy M+ (zakres rozszerzony) Klasa II Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry - rozpoznaje funkcję liniową na podstawie wzoru - zna postać
Bardziej szczegółowoDopasowanie prostej do wyników pomiarów.
Dopasowanie prostej do wyników pomiarów. Graficzna analiza zależności liniowej Założenie: każdy z pomiarów obarczony jest taką samą niepewnością pomiarową (takiej samej wielkości prostokąty niepewności).
Bardziej szczegółowoJolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r.
Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r. Ocena dopuszczająca: Temat lekcji Stopień i współczynniki wielomianu Dodawanie i odejmowanie wielomianów Mnożenie
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)
PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
Bardziej szczegółowo3. Interpolacja. Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1) Dana jest funkcja y= f x określona i ciągła w przedziale [a ;b], która
3. Interpolacja Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1) Dana jest funkcja y= f x określona i ciągła w przedziale [a ;b], która przyjmuje wartości y 1, y 2,, y n, dla skończonego zbioru argumentów x 1, x
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2 RUCH POSTĘPOWY I OBROTOWY CIAŁA SZTYWNEGO. Wykład Nr 2. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 2 RUCH POSTĘPOWY I OBROTOWY CIAŁA SZTYWNEGO Prowadzący: dr Krzysztof Polko WSTĘP z r C C(x C,y C,z C ) r C -r B B(x B,y B,z B ) r C -r A r B r B -r A A(x A,y A,z A ) Ciało sztywne
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony. Wiadomości i umiejętności
WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna. Stopień Wiadomości i umiejętności -definiować potęgę
Bardziej szczegółowoWprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Zazwyczaj nie można znaleźć
Bardziej szczegółowoZakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/
Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki w klasie III A LP
Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III A LP Zakres rozszerzony Kryteria Znajomość pojęć, definicji, własności oraz wzorów objętych programem nauczania. Umiejętność zastosowania wiedzy teoretycznej
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne I Równania nieliniowe
Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoII. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),
Bardziej szczegółowoPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi... Wprowadzenie oznaczeń: x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania:
Bardziej szczegółowoFunkcja liniowa - podsumowanie
Funkcja liniowa - podsumowanie 1. Funkcja - wprowadzenie Założenie wyjściowe: Rozpatrywana będzie funkcja opisana w dwuwymiarowym układzie współrzędnych X. Oś X nazywana jest osią odciętych (oś zmiennych
Bardziej szczegółowoGeometria powłoki, wg publikacji dr inż. Wiesław Baran
Geometria powłoki, wg publikacji dr inż. Wiesław Baran Gładką i regularną powierzchnię środkową S powłoki można opisać za pomocą funkcji wektorowej (rys. 2.1) dwóch współrzędnych krzywoliniowych u 1 i
Bardziej szczegółowoGeometria. Hiperbola
Geometria. Hiperbola Definicja 1 Dano dwa punkty na płaszczyźnie: F 1 i F 2 oraz taką liczbę d, że F 1 F 2 > d > 0. Zbiór punktów płaszczyzny będących rozwiązaniami równania: XF 1 XF 2 = ±d. nazywamy hiperbolą.
Bardziej szczegółowo2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.
ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)
Bardziej szczegółowo3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas
3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas oddziaływanie między ciałami, ani też rola, jaką to
Bardziej szczegółowoAproksymacja funkcji a regresja symboliczna
Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Problem aproksymacji funkcji polega na tym, że funkcję F(x), znaną lub określoną tablicą wartości, należy zastąpić inną funkcją, f(x), zwaną funkcją aproksymującą
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka 3. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Zakres podstawowy i rozszerzony
MATeMAtyka 3 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne
Bardziej szczegółowo1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych metodą elementów skończonych - wprowadzenie
Rozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych metodą elementów skończonych - wprowadzenie Wprowadzenie Metoda Elementów Skończonych (MES) należy do numerycznych metod otrzymywania przybliżonych rozwiązań
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji
Wykład nr 2 Sformułowanie zagadnienia interpolacji Niech będą dane punkty x 0,..., x n (nazywane węzłami interpolacji) i wartości w węzłach y 0,..., y n. Od węzłów żądamy spełnienia warunku x i x j dla
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO
Lp. I PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe Funkcja kwadratowa Uczeń: Uczeń: 1 Wykres i własności funkcji y = ax 2. - narysuje
Bardziej szczegółowoFUNKCJE. Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Teoria funkcje cz.1. Definicja funkcji i wiadomości podstawowe
1 FUNKCJE Definicja funkcji i wiadomości podstawowe Jeżeli mamy dwa zbiory: zbiór X i zbiór Y, i jeżeli każdemu elementowi ze zbioru X przyporządkujemy dokładnie jeden element ze zbioru Y, to takie przyporządkowanie
Bardziej szczegółowoW naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.
1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Prowadzący: dr Krzysztof Polko PLAN WYKŁADÓW 1. Podstawy kinematyki 2. Ruch postępowy i obrotowy bryły 3. Ruch płaski bryły 4. Ruch złożony i ruch względny 5. Ruch kulisty i ruch ogólny bryły
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA. Zadanie 1. (1 pkt) Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y = ax + b.
FUNKCJA LINIOWA Zadanie 1. (1 pkt) Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y = ax + b. Jakie znaki mają współczynniki a i b? R: Przedstawiona prosta, jest wykresem funkcji
Bardziej szczegółowoKurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Zadania funkcje cz.1
1 TEST WSTĘPNY 1. (1p) Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej większej od 1 jej największy dzielnik będący liczbą pierwszą. Spośród liczb f(42), f(44), f(45), f(48) A. f(42) B. f(44) C. f(45)
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 1 Zadanie Definicja 1.1. (zadanie) Zadaniem nazywamy zagadnienie znalezienia rozwiązania x spełniającego równanie F (x, d) = 0, gdzie d jest zbiorem danych (od których zależy rozwiązanie x), a F
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: 1. JĘZYK MATEMATYKI I FUNKCJE LICZBOWE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest
Bardziej szczegółowoNastępnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.
Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,
Bardziej szczegółowoRównania miłości. autor: Tomasz Grębski
Równania miłości autor: Tomasz Grębski Tytuł pewnie trochę dziwnie brzmi, bo czy miłość da się opisać równaniem? Symbolem miłości jest niewątpliwie Serce, a zatem spróbujmy opisać kształt serca równaniem
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna - przykłady
Geometria analityczna - przykłady 1. Znaleźć równanie ogólne i równania parametryczne prostej w R 2, któr przechodzi przez punkt ( 4, ) oraz (a) jest równoległa do prostej x + 5y 2 = 0. (b) jest prostopadła
Bardziej szczegółowoZadanie. Oczywiście masa sklejonych ciał jest sumą poszczególnych mas. Zasada zachowania pędu: pozwala obliczyć prędkość po zderzeniu
Zderzenie centralne idealnie niesprężyste (ciała zlepiają się i po zderzeniu poruszają się razem). Jedno z ciał przed zderzeniem jest w spoczynku. Oczywiście masa sklejonych ciał jest sumą poszczególnych
Bardziej szczegółowoCHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE
CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie
Bardziej szczegółowoK P K P R K P R D K P R D W
KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
Bardziej szczegółowoMETODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03
METODY OBLICZENIOWE Projekt nr 3.4 Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 Zadanie Nasze zadanie składało się z dwóch części: 1. Sformułowanie, przy użyciu metody Lagrange a II rodzaju, równania różniczkowego
Bardziej szczegółowoPropozycje rozwiązań zadań z matematyki - matura rozszerzona
Jacek Kredenc Propozycje rozwiązań zadań z matematyki - matura rozszerzona Zadanie 1 Zastosujmy trójkąt Paskala 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 Przy iloczynie będzie stał współczynnik 3. Zatem Odpowiedź : C Zadanie
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne w przykładach
Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach
Bardziej szczegółowo6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Bardziej szczegółowoWydział Inżynierii Środowiska; kierunek Inż. Środowiska. Lista 2. do kursu Fizyka. Rok. ak. 2012/13 sem. letni
Wydział Inżynierii Środowiska; kierunek Inż. Środowiska Lista 2. do kursu Fizyka. Rok. ak. 2012/13 sem. letni Tabele wzorów matematycznych i fizycznych oraz obszerniejsze listy zadań do kursu są dostępne
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY I. Funkcja liniowa dopuszczającą jeżeli: wie, jaką zależność między dwiema wielkościami zmiennymi nazywamy
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI
WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI Regresja 1. Metoda najmniejszych kwadratów-regresja prostoliniowa 2. Regresja krzywoliniowa 3. Estymacja liniowej funkcji regresji 4. Testy istotności współczynnika regresji liniowej
Bardziej szczegółowoy(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI (zakres podstawowy) Rok szkolny 2017/2018 - klasa 2a, 2b, 2c 1. Funkcja
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoGRAFIKA KOMPUTEROWA podstawy matematyczne. dr inż. Hojny Marcin pokój 406, pawilon B5 E-mail: mhojny@metal.agh.edu.pl Tel.
GRAFIKA KOMPUTEROWA podstawy matematyczne dr inż. Hojny Marcin pokój 406, pawilon B5 E-mail: mhojny@metal.agh.edu.pl Tel. (12) 617 46 37 Plan wykładu 1/4 ZACZNIEMY OD PRZYKŁADOWYCH PROCEDUR i PRZYKŁADÓW
Bardziej szczegółowoKształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować
Bardziej szczegółowoObliczenia Naukowe. Wykład 12: Zagadnienia na egzamin. Bartek Wilczyński
Obliczenia Naukowe Wykład 12: Zagadnienia na egzamin Bartek Wilczyński 6.6.2016 Tematy do powtórki Arytmetyka komputerów Jak wygląda reprezentacja liczb w arytmetyce komputerowej w zapisie cecha+mantysa
Bardziej szczegółowoROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym
Bardziej szczegółowo