EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Transkrypt

1 EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI WZORY SPIS TREŚI. Wtość ezwzględ lizy.... Potęgi i piewistki.... Sili. Symol Newto wumi Newto Wzoy skóoego możei iągi Fukj kwdtow Logytmy Pood fukji Geometi lityz...6. Plimeti...8. Steeometi.... Tygoometi Komitoyk Ruek pwdopodoieństw Pmety dy sttystyzy Tli wtośi fukji tygoometyzy...9. WRTOŚĆ EZWZGLĘN LIZY Wtość ezwzględą lizy zezywistej defiiujemy wzoem:, dl 0 dl < 0 Liz jest to odległość osi lizowej puktu od puktu 0. W szzególośi: 0 l dowoly liz, y mmy: + y + y y + y y y Podto, jeśli y 0, to y y l dowoly liz oz, gdzie 0, mmy wuki ówowże: + lu +. POTĘGI I PIERWISTKI Nie ędzie lizą łkowitą dodtią. l dowolej lizy defiiujemy jej tą potęgę:!"#... zy Piewistkiem ytmetyzym stopi z lizy 0 zywmy lizę 0 tką, że.

2 W szzególośi, dl dowolej lizy zodzi ówość:. Jeżeli < 0 oz liz jest iepzyst, to ozz lizę < 0 tką, że Piewistki stopi pzysty z liz ujemy ie istieją. *. Nie m, ędą lizmi łkowitymi dodtimi. efiiujemy: 0 dl 0 : oz dl 0 : m m m dl > 0 : m Nie, s ędą dowolymi lizmi zezywistymi. Jeśli > 0 i > 0, to zodzą ówośi: s s + s s s s Jeżeli wykłdiki, s są lizmi łkowitymi, to powyższe wzoy oowiązują dl wszystki liz 0, 0.. SILNI. SYMOL NEWTON Silią lizy łkowitej dodtiej zywmy ilozy kolejy liz łkowity:!... Podto pzyjmujemy umowę, że 0!. l dowolej lizy łkowitej 0 zodzi związek: +!! + * l liz łkowity, k spełijąy wuki 0 k defiiujemy symol Newto:! k k! ( k)! Zodzą ówośi: ( )( )... ( k+ ) k... k k k 0 l 0 k < mmy: + k + k+ k k+ k+ k k +

3 4. WUMIN NEWTON l dowolej lizy łkowitej dodtiej oz dl dowoly liz, mmy:... k k k 5. WZORY SKRÓONEGO MNOŻENI Z dwumiu Newto dl oz otzymujemy dl dowoly liz, : * l dowolej lizy łkowitej dodtiej oz dowoly liz, zodzi wzó: k k W szzególośi: IĄGI iąg ytmetyzy Wzó ty wyz iągu ytmetyzego o dym piewszym wyzie i óżiy : + Wzó sumę S pozątkowy wyzów iągu ytmetyzego: + ( ) S + Między sąsiedimi wyzmi iągu ytmetyzego zodzi związek: + + dl iąg geometyzy Wzó ty wyz iągu geometyzego o dym piewszym wyzie i ilozie q: q Wzó sumę S pozątkowy wyzów iągu geometyzego: S q q dl q dl q Między sąsiedimi wyzmi iągu geometyzego zodzi związek: dl +

4 Poet skłdy Jeżeli kpitł pozątkowy K złożymy lt w ku, w któym opoetowie lokt wyosi p % w skli ozej, to kpitł końowy K wyż się wzoem: p K K + 00 Gi iągu Jeżeli lim g oz lim, to ( + ) g+ ( ) g lim lim Jeżeli podto 0 dl oz 0, to g lim * lim g Jeżeli ( ),, jest ieskońzoym iągiem geometyzym o ilozie q <, to iąg sum jego pozątkowy wyzów S m gię: lim S q 7. FUNKJ KWRTOW Postć ogól fukji kwdtowej: f + +, 0. Wzó kżdej fukji kwdtowej moż dopowdzić do posti koizej: f +, gdzie 4 pomoej pzy spoządziu wykesu. Wykesem fukji kwdtowej jest pol o wiezołku w pukie o współzędy,. Rmio poli skieowe są do góy, gdy > 0, do dołu, gdy 0 4 <. Liz miejs zeowy fukji kwdtowej, zyli liz piewistków ówi zleży od wyóżik 4: jeżeli < 0, to fukj kwdtow ie m miejs zeowy (ówie kwdtowe ie m piewistków zezywisty), jeżeli 0, to fukj kwdtow m jedo miejse zeowe (ówie kwdtowe m jede podwójy piewistek): jeżeli > 0, to fukj kwdtow m dw miejs zeowe (ówie kwdtowe m dw piewistki): + 4 4

5 Jeśli 0, to wzó fukji kwdtowej moż dopowdzić do posti ilozyowej: f Wzoy Viéte : + 8. LOGRYTMY Nie > 0 i. Logytmem log lizy > 0 pzy podstwie zywmy wykłdik potęgi, do któej leży podieść podstwę, y otzymć lizę : log Rówowżie: log l dowoly liz > 0, y > 0 oz zodzą wzoy: log( y) log + log y log log log log log y y Wzó zmię podstwy logytmu: jeżeli > 0,, > 0, oz > 0, to log log log 9. POHON FUNKJI f f dl R f g f g + + f g f g f g f g f g + f f g f g, gdy g 0 g g Poode iektóy fukji: f f 0 + f f f + + f + f f f f gdzie 0, zś,, dowole lizy zezywiste. 5

6 Rówie styzej Jeżeli fukj f m poodą w pukie 0, to ówie styzej do wykesu fukji f w pukie ( 0, ( 0) ) y f ( ) f ( ) ( ) f de jest wzoem: GEOMETRI NLITYZN Odiek ługość odik o koń w pukt, y, y d jest wzoem:, + y y y (, ) y Współzęde śodk odik : + y+ y, Wektoy $$$% Współzęde $$$% wekto, któy pzesuw pukt pukt : [, y y] % % Jeżeli u [ u, u], v [ v, v] są wektomi, zś jest lizą, to % % % u+ v u + v, u + v u u, u Post [ ] Rówie ogóle postej: + y + 0, gdzie [ ] + 0 (tj. współzyiki, ie są ówoześie ówe 0). O (, ) y Jeżeli 0, post jest ówoległ do osi O; jeżeli 0, post jest ówoległ do osi Oy; jeżeli 0, to post pzeodzi pzez pozątek ukłdu współzędy. Jeżeli post ie jest ówoległ do osi Oy, to m o ówie kieukowe: y + Liz to współzyik kieukowy postej: tg Współzyik wyzz osi Oy pukt, w któym d post ją pzei. Rówie postej, pzeodząej pzez dw de pukty (, y), (, y) ( y y )( ) ( y y )( ) 0 O y : y + 6

7 Post i pukt Odległość puktu P (, y ) 0 0 od postej o ówiu + y + 0 d jest wzoem: 0 + y0 + + P posty wie poste, o ówi kieukowy y + y + spełiją jede z stępująy wuków: są ówoległe, gdy, są postopdłe, gdy, twozą kąt ϕ tki, że: 0 < ϕ < i tgϕ Jeżeli poste de są ówimi w posti ogólej: + y y + 0 to odpowiedio: są ówoległe, gdy 0, są postopdłe, gdy + 0, twozą kąt ϕ tki, że: 0 < ϕ < 90 + i tg ϕ. Tójkąt Pole tójkąt o wiezołk (, y ), (, y ), (, y ), de jest wzoem: P ( )( y y ) ( y y )( ) Śodek iężkośi tójkąt, zyli pukt pzeięi jego śodkowy, m współzęde: + + y+ y + y, Pzeksztłei geometyze % u, pzesuięie o wekto [ ] symeti względem osi Oy pzeksztł pukt (, ) symeti względem puktu (, ) pzeksztł pukt ( y, ) pukt (, y ) + + ; y pukt ( y, ); pzeksztł pukt ( y, ) pukt (, y) ; s pzeksztł pukt ( y, ) jedokłdość o śodku w pukie ( 0,0 ) i skli 0 pukt ( s, sy ). 7

8 Rówie okęgu Rówie okęgu o śodku w pukie (, ) i pomieiu : lu + y gdzie y y + > 0. PLNIMETRI Ozzei Wzoy pole tójkąt P,, długośi oków, leżąy odpowiedio pzeiwko wiezołków,, ; p + + owód tójkąt;, β, γ miy kątów pzy wiezołk,, ;,, wysokośi, opuszzoe z wiezołków,, ; R, pomieie okęgów opisego i wpisego. siβ siγ P siγ R si si β siγ si P p p p p p 4R Twiedzeie siusów R si si β siγ Twiedzeie osiusów γ + os + osβ os + γ Twiedzeie Pitgos (wz z twiedzeiem odwotym do iego) W tójkąie kąt γ jest posty wtedy i tylko wtedy, gdy β +. 8

9 Związki miowe w tójkąie postokątym γ. Złóżmy, że kąt γ jest posty. Wówzs: si os β tg tgβ R Twiedzeie Tles (wz z twiedzeiem odwotym do iego) β Poste,, są pmi ówoległe wtedy i tylko wtedy, gdy zodzi ówość: zwookąty E Tpez zwookąt, któy m o jmiej jedą pę oków ówoległy. Wzó pole tpezu: + P ϕ Rówoległook zwookąt, któy m dwie py oków ówoległy. Wzoy pole ówoległooku: P si siϕ Rom zwookąt, któy m dwie py oków ówoległy jedkowej długośi. Wzoy pole omu: P si 9

10 eltoid zwookąt, któy m oś symetii, zwiejąą jedą z pzekąty. Wzó pole deltoidu: P Koło O Wzó pole koł o pomieiu : P π Owód koł o pomieiu : O π Wyiek koł O Wzó pole wyik koł o pomieiu i kąie śodkowym : P π 60 ługość łuku wyik koł o pomieiu i kąie śodkowym : l π 60 Kąty w okęgu O Mi kąt wpisego w okąg jest ów połowie miy kąt śodkowego, optego tym smym łuku. Miy kątów wpisy w okąg, opty ty smy łuk, są ówe. 0

11 Okąg opisy zwookąie γ β N zwookąie moż opisć okąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy mi jego pzeiwległy kątów wewętzy są ówe 80 : δ + γ β + δ 80 Okąg wpisy w zwookąt d W zwookąt wypukły moż wpisć okąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długośi jego pzeiwległy oków są ówe: + + d. STEREOMETRI Ozzei P pole powiezi łkowitej P pole powiezi podstwy p P pole powiezi ozej V ojętość Postopdłośi H G E F P ( + + ) V gdzie,, są długośimi kwędzi postopdłośiu.

12 Gistosłup posty F J E I G H P p V Pp gdzie p jest owodem podstwy gistosłup. Ostosłup S E V P p gdzie jest wysokośią ostosłup. Wle O P π P π + V π gdzie jest pomieiem podstwy, wysokośią wl.

13 Stożek O S l P π l P π + l V π gdzie jest pomieiem podstwy, wysokośią, l długośią twoząej stożk. Kul O P 4π 4 V π gdzie jest pomieiem kuli.. TRYGONOMETRI efiije fukji tygoometyzy y M(, y) y y si os y tg ( 0) tg y ( y 0 ) O M gdzie + y Wykesy fukji tygoometyzy y si y os

14 y tg y tg Związki między fukjmi tego smego kąt si + os si π tg dl + kπ k łkowite os os tg dl kπ k łkowite si tg tg dl kπ k łkowite Niektóe wtośi fukji tygoometyzy π 6 0( 0 ) ( 0 ) si 0 os tg 0 tg ie istieje π 4 ( 45 ) π ( 60 ) π ( 90 ) 0 ie istieje Wzoy edukyje ϕ π π π π π π π siϕ si si si si os os os os si osϕ os os os os si si si si os tgϕ tg tg tg tg tg tg tg tg tg tgϕ tg tg tg tg tg tg tg tg tg 0 4

15 Fukje sumy i óżiy kątów l dowoly kątów, β zodzą ówośi: si + β sios β + ossi β si β sios β ossi β os + β osos β sisi β os β osos β + sisi β Podto mmy ówośi: tg tgβ tg ( + β) + tg tgβ tg tgβ tg ( β) + tg tgβ tg tgβ tg ( + β) tg + tgβ tg tgβ + tg ( β) tgβ tg któe zodzą zwsze, gdy są okeśloe i miowik pwej stoy ie jest zeem. Fukje podwojoego kąt si sios os os si os si Podto, dl ty kątów, dl któy pwe stoy są okeśloe, mmy ówośi: tg si + tg tg os + tg tg tg tg Fukje potojoego kąt si si os si si 4si os os os si os 4 os Sumy i óżie fukji tygoometyzy + β β si + si β si os β + β si si β si os + β β os + os β os os + β β os os β si si 5

16 4. KOMINTORYK Pemutje Liz sposoów, w jki elemetów moż ustwić w iąg, jest ów! Wije ez powtózeń Liz sposoów, w jki z elemetów moż utwozyć iąg, skłdjąy się z k ( k ) óży wyzów, jest ów! ( )... ( k+ ) k! Wije z powtózeimi Liz sposoów, w jki z elemetów moż utwozyć iąg, skłdjąy się z k iekoiezie óży wyzów, jest ów k. Komije Liz sposoów, w jki spośód elemetów moż wyć k (0 k ) elemetów, jest ów k. 5. RHUNEK PRWOPOOIEŃSTW Klsyz defiij pwdopodoieństw Nie Ω ędzie skońzoym zioem wszystki zdzeń elemety. Jeżeli zjśie kżdego zdzei elemetego jest jedkowo pwdopodoe, to pwdopodoieństwo zjśi zdzei Ω jest ówe P( ) Ω gdzie ozz lizę elemetów ziou, zś Ω lizę elemetów ziou Ω. Włsośi pwdopodoieństw P ( Ω ) 0 P dl kżdego zdzei Ω Ω zdzeie pewe P ( ) 0 zdzeie iemożliwe (pusty podzió Ω ) P P gdy Ω P( ) P + P P( ), dl dowoly zdzeń Ω,, ztem P( ) P + P, dl dowoly zdzeń Ω., Zdzei iezleże Zdzei Ω i Ω są iezleże, gdy P P P 6

17 Pwdopodoieństwo wukowe Nie Ω, ędą zdzeimi, pzy zym P( ) > 0. Pwdopodoieństwem wukowym P( ) zjśi zdzei pod wukiem, że zszło zdzeie, zywmy lizę: ( ) P( ) P P Twiedzeie o pwdopodoieństwie łkowitym Jeżeli zdzei,,..., Ωspełiją wuki:. dl i, j, i j, i j.... Ω,. 0 dl P > i i to dl kżdego zdzei Ω zodzi ówość: P P P + P P P P Semt eoulliego Pwdopodoieństwo uzyski dokłdie k sukesów w semie pó eoulliego wyż się wzoem: k k p q p+ q k gdzie: p pwdopodoieństwo sukesu w pojedyzej póie, q pwdopodoieństwo pożki w pojedyzej póie. 6. PRMETRY NYH STTYSTYZNYH Śedi ytmetyz Śedi ytmetyz liz,,..., jest ów: Śedi wżo Śedi wżo liz,,..., któym pzypiso odpowiedio dodtie wgi w, w,..., w jest ów: w + w w w + w w Śedi geometyz Śedi geometyz ieujemy liz,,..., jest ów:... 7

18 Śedi moiz Śedi moiz dodti liz,,..., jest ów: Medi Medią upoządkowego osąo iągu dy lizowy... jest: dl iepzysty: + (śodkowy wyz iągu), dl pzysty: + (śedi ytmetyz śodkowy wyzów iągu). + Wij i odyleie stddowe Wiją dy lizowy,,..., o śediej ytmetyzej jest liz: ( ) + ( ) + ( ) + + ( )... σ Odyleie stddowe σ jest piewistkiem kwdtowym z wiji: σ σ. 8

19 7. TLI WRTOŚI FUNKJI TRYGONOMETRYZNYH [] si os β tg tgβ β [] [] si os β tg tgβ 0 0,0000 0, ,79, ,075 0, ,74, ,049 0, ,74,06 4 0,05 0, ,7547, ,0698 0, ,7660, ,087 0, ,777, ,045 0, ,7880, ,9 0, ,7986, ,9 0, ,8090, ,564 0, ,89, ,76 0, ,890, ,908 0, ,887,599 0,079 0, ,8480,600 0,50 0, ,857, ,49 0, ,8660, ,588 0, ,8746, ,756 0, ,889, ,94 0, ,890, ,090 0, ,8988, ,56 0, ,906, ,40 0, ,95, ,584 0, ,905,559 0,746 0, ,97,475 0,907 0, ,96, ,4067 0, ,997, ,46 0, ,9455, ,484 0, ,95, ,4540 0, ,956, ,4695 0, ,96, ,4848 0, ,9659, ,5000 0, ,970 4, ,550 0, ,9744 4,5 0,599 0, ,978 4,7046 0,5446 0, ,986 5, ,559 0, ,9848 5, ,576 0, ,9877 6, ,5878 0, ,990 7, ,608 0, ,995 8, ,657 0, ,9945 9, ,69 0, ,996, ,648 0, ,9976 4, ,656 0, ,9986 9,08 4 0,669 0, ,9994 8,66 4 0,680 0, , , ,6947 0, , ,707, β [] 9