ZESTAW WYBRANYCH WZORÓW MATEMATYCZNYCH OBOWIÑZUJÑCYCH OD ROKU 2010

Transkrypt

1 Mtemtk. Pó Mtu Pó z PERNEM Mtu z PERNEM i Gzetą Wozą ZESTW WYRNYH WZRÓW MTEMTYZNYH WIÑZUJÑYH RKU (êód o: KE). WRTÂå EZWZGL N LIZY WtoÊç ezwzgl dà liz zezwistej defiiujem wzoem: dl H = ) - dl < Liz jest to odleg oêç osi lizowej puktu od puktu. W szzególoêi: H - = l dowol liz, mm: + G + - G + $ = $ Podto, jeêli!, to = l dowol liz oz H mm wuki ówow e: - G + - G G + - H + G - lu H +. PT GI I PIERWSTKI Nie dzie lizà kowità dodtià. l dowolej liz defiiujem jej -tà pot g : = $... $ \ z Piewistkiem tmetzm stopi z liz H zwm liz H tkà, e =. W szzególoêi, dl dowolej liz zodzi ówoêç: =. Je eli < oz liz jest iepzst, to ozz liz < tkà, e =. Piewistki stopi pzst z liz ujem ie istiejà. Nie m, dà lizmi kowitmi dodtimi. efiiujem: - dl! : = oz = m m dl H : = m - dl > : = m Nie, s dà dowolmi lizmi zezwistmi. JeÊli > i >, to zodzà ówoêi: s s + s $ s $ = l = - s s = _ $ i = $ d = Je eli wk diki, s sà lizmi kowitmi, to pow sze wzo oowiàzujà dl wszstki liz! i!.. LGRYTMY Nie > i!. Logtmem log liz > pz podstwie zwm wk dik pot gi, do któej le podieêç podstw, otzmç liz : log = + = Rówow ie: = l dowol liz >, > oz zodzà wzo: log log log _ $ i = + log = $ log log log log = - Wzó zmi podstw logtmu: log Je eli >,!, >,! oz >, to log = log log oz lg ozz log. 4. SILNI. WSPÓ ZYNNIK WUMINWY Silià liz kowitej dodtiej zwm iloz kolej liz kowit od do w àzie:! = $ $... $ Podto pzjmujem umow, e! = l dowolej liz kowitej H zodzi zwiàzek: _ + i! =! $ _ + i log l liz kowit, k spe ijà wuki G k G defiiujem wspó zik dwumiow d k (smol Newto):! d k = k!_ - k i! Zodzà ówoêi: _ - i_ - i $... $ _ - k + i d k = $ $ $... $ k d k = d - k d = d = N5568_tlie.idd 4-- :4:

2 Mtemtk. Pó Mtu Pó z PERNEM Mtu z PERNEM i Gzetą Wozą 5. WZÓR WUMINWY NEWTN l dowolej liz kowitej dodtiej oz dl dowol liz, mm: - - k k -... k... _ + i = d + d + + d + + d - + d 6. WZRY SKRÓNEG MN ENI l dowol liz, : _ + i = + + _ + i = _ - i = - + _ - i = l dowolej liz kowitej dodtiej oz dowol liz, zodzi wzó: k k = _ - i l W szzególoêi: - = _ - i_ + i + = _ + i - + l - = _ - i + + l - = _ - i_ + i + = _ + i - + l - = _ - i + + l - - = _ - i l 7. IÑGI iàg tmetz Wzó -t wz iàgu tmetzego ` jo piewszm wzie i ó i : = + - _ i Wzó sum S = pozàtkow wzów iàgu tmetzego: + + _ - i S = $ = $ Mi dz sàsiedimi wzmi iàgu tmetzego zodzi zwiàzek: = dl H iàg geometz Wzó -t wz iàgu geometzego ` jo piewszm wzie i ilozie q: - = $ q dl H Wzó sum S = pozàtkow wzów iàgu geometzego: Z ] - q S = $ dl q! [ - q ] $ dl q = \ Mi dz sàsiedimi wzmi iàgu geometzego zodzi zwiàzek: = $ dl H - + Poet sk d Je eli kpit pozàtkow K z o m lt w ku, w któm opoetowie lokt wosi p% w skli ozej, to kpit koƒow K w si wzoem: K p = K $ e + o 8. FUNKJ KWRTW Postç ogól fukji kwdtowej: f _ i = + +,!,! R. Wzó k dej fukji kwdtowej mo dopowdziç do posti koizej: f _ i = _ - pi + q, gdzie p =-, q Δ =-, Δ = Wkesem fukji kwdtowej jest pol o wiezo ku w pukie o wspó z d _ p, qi. Rmio poli skieowe sà do gó, gd >, do do u, gd <. Liz miejs zeow fukji kwdtowej f _ i = + + (liz piewistków tójmiu kwdtowego, liz zezwist ozwiàzƒ ówi + + = ), zle od wó ik Δ = - 4: je eli Δ <, to fukj kwdtow ie m miejs zeow (tójmi kwdtow ie m piewistków zezwist, ówie kwdtowe ie m ozwiàzƒ zezwist), je eli Δ =, to fukj kwdtow m dok die jedo miejse zeowe (tójmi kwdtow m jede piewistek podwój, ówie kwdtowe m dok die jedo ozwiàzie zezwiste): = =- je eli Δ >, to fukj kwdtow m dw miejs zeowe (tójmi kwdtow m dw ó e piewistki zezwiste, ówie kwdtowe m dw ozwiàzi zezwiste): = - - Δ, = - + Δ JeÊli Δ H, to wzó fukji kwdtowej mo dopowdziç do posti ilozowej: f _ i = ` - j` - j N5568_tlie.idd 4-- :4:

3 Mtemtk. Pó Mtu Pó z PERNEM Mtu z PERNEM i Gzetą Wozą Wzo Vi te Je eli Δ H, to + = - $ = 9. GEMETRI NLITYZN diek ugoêç odik o koƒ w pukt = `, j,, = ` - j + ` - j J + + N Wspó z de Êodk odik :, K L P Wekto Wspó z de wekto : = 8 -, - Je eli u = 8u, u, v = 8v, v sà wektomi, zê jest lizà, to u + v = 8u + v, u + v $ u = 8 $ u, $ u Post Rówie ogóle postej: + + =,! = ` jd jest wzoem: gdzie + (tj. wspó ziki, ie sà ówozeêie ówe ). Je eli =, to post jest ówoleg do osi X; je eli =, to post jest ówoleg do osi Y; je eli =, to post pzeodzi pzez pozàtek uk du wspó z d. α Je eli post ie jest ówoleg do osi Y, to m o ówie kieukowe: = + Liz to wspó zik kieukow postej: = tg Wspó zik wzz osi Y pukt, w któm d post jà pzei. Rówie kieukowe postej o wspó ziku kieukowm, któ pzeodzi pzez pukt P = `, j: = ` - j + Rówie postej, któ pzeodzi pzez dw de pukt = `, j, = `, j: ` - j` - j - ` - j` - j = Post i pukt dleg oêç puktu P = `, jod postej o ówiu + + = jest d wzoem: P post wie poste o ówi kieukow = +, = + spe ijà jede z st pujà wuków: sà ówoleg e, gd = sà postopd e, gd =- - twozà kàt ost { i tg { = + wie poste o ówi ogól: + + =, + + = sà ówoleg e, gd - = sà postopd e, gd + = - twozà kàt ost { i tg { = + Tójkàt Pole tójkàt o wiezo k = `, j, = `, j, =, ` j, jest de wzoem: P = ` - j ` j ` j ` j J N Âodek i koêi tójkàt, zli pukt pzei i jego Êodkow, m wspó z de:, K L P Pzekszt ei geometze pzesui ie o wekto u= 7, pzekszt pukt = _, i pukt ' = _ +, + i smeti wglàdem osi X pzekszt pukt = _, i pukt ' = _, -i smeti wzgl dem osi Y pzekszt pukt = _, i pukt ' = _-, i smeti wzgl dem puktu _, ipzekszt pukt = _, i pukt ' = _ -, - i jedok doêç o Êodku w pukie _, ii skli s! pzekszt pukt = _, i pukt ' = _ s, si = (, ) = (, ) = + Rówie ok gu Rówie ok gu o Êodku w pukie S = _, ii pomieiu > : _ - i + _ - i = lu =, gd = + - > N5568_tlie.idd 4-- :4:

4 Mtemtk. Pó Mtu Pó z PERNEM Mtu z PERNEM i Gzetą Wozą. PLNIMETRI e pzstwi tójkàtów To, e dw tójkàt i EF sà pzstjàe F _ / EF i, mo em stwiedziç podstwie k dej z st pujà e pzstwi tójkàtów: e pzstwi ok ok ok : odpowidjàe soie oki ou tójkàtów mjà te sme d ugoêi: = E, = F, = EF. E e pzstwi ok kàt ok : dw oki jedego tójkàt sà ówe odpowidjàm im okom dugiego tójkàt oz kàt zwt mi dz tmi okmi jedego tójkàt m tkà smà mi jk odpowidjà mu kàt dugiego tójkàt, p. = E, = F, ] = ] EF e pzstwi kàt ok kàt : jede ok jedego tójkàt m t smà d ugoêç, o odpowidjà mu ok dugiego tójkàt oz mi odpowidjà soie kàtów ou tójkàtów, pzleg do oku, sà ówe, p. = E, ] = ] EF, ] = ] EF e podoieƒstw tójkàtów To, e dw tójkàt i EF sà podoe _ ~ EF i, mo em stwiedziç podstwie k dej z st pujà F e podoieƒstw tójkàtów: e podoieƒstw ok ok ok : d ugoêi oków jedego tójkàt sà popojole do odpowiedi d ugoêi oków dugiego tójkàt, p. = = E F EF e podoieƒstw ok kàt ok : E d ugoêi dwó oków jedego tójkàt sà popojole do odpowiedi d ugoêi dwó oków dugiego tójkàt i kàt mi dz tmi pmi oków sà pzstjàe, p. =, ] E F = ] EF e podoieƒstw kàt kàt kàt : dw kàt jedego tójkàt sà pzstjàe do odpowiedi dwó kàtów dugiego tójkàt (wi te i tzeie kàt ou tójkàtów sà pzstjàe): ] = ] EF, ] = ] EF, ] = ] FE Pzjmujem ozzei w tójkàie :,, d ugoêi oków, le à odpowiedio pzeiwko wiezo ków,, p = + + owód tójkàt,, mi kàtów pz wiezo k,,,, wsokoêi opuszzoe z wiezo ków,, R, pomieie ok gów opisego i wpisego Twiedzeie Pitgos (wz z twiedzeiem odwotm do iego) W tójkàie kàt jest post wted i tlko wted, gd + =. Zwiàzki miowe w tójkàie postokàtm Z ó m, e kàt jest post. Wówzs: = $ = si os = $ tg = $ R = = + - = p - tg Twiedzeie siusów = = = R si si si Twiedzeie osiusów = + - os = + - os = + - os Tójkàt ówooz d ugoêç oku, wsokoêç tójkàt = P 4 Wzo pole tójkàt P = $ $ = $ $ = $ $ P = $ $ si si si P $ = = R $ si $ si $ si P p si 4R p_ p i_ p i_ p i Twiedzeie Tles Je eli poste ówoleg e ' i ' pzeijà dwie poste, któe pzeijà si w pukie, to =. ' ' 4 ' ' ' ' 4 N5568_tlie.idd :4:

5 Mtemtk. Pó Mtu Pó z PERNEM Mtu z PERNEM i Gzetą Wozą Twiedzeie odwote do twiedzei Tles Je eli poste ' i ' pzeijà dwie poste, któe pzeijà si w pukie oz =, to poste ' i ' sà ówoleg e. ' ' zwookàt Tpez zwookàt, któ m o jmiej jedà p oków ówoleg. Wzó pole tpezu: P = + $ E { Rówoleg ook zwookàt, któ m dwie p oków ówoleg. Wzo pole ówoleg ooku: P = = $ $ si = $ $ $ si { Rom zwookàt, któ m dwie p oków ówoleg jedkowej d ugoêi. Wzo pole omu: P = = $ si = $ $ eltoid zwookàt, któ m oê smetii, zwiejàà jedà z pzekàt. Wzó pole deltoidu: P = $ $ Ko o Wzó pole ko o pomieiu : P = wód ko o pomieiu : = Wiek ko Wzó pole wik ko o pomieiu i kàie Êodkowm w om w stopi: P = $ 6 ugoêç uku wik ko o pomieiu i kàie Êodkowm w om w stopi: l = 6 Kàt w ok gu Mi kàt wpisego w okàg jest ów po owie mi kàt Êodkowego, optego tm smm uku. Mi kàtów wpis w okàg, opt tm smm uku, sà ówe. Twiedzeie o kàie mi dz stzà i i iwà jest okàg o Êodku w pukie i jego i iw. Post jest stz do tego ok gu w pukie. Wted ] = $ ], pz zm wiem te z kàtów Êodkow, któ jest opt uku zjdujàm si wewàtz kàt. Twiedzeie o odik siezej i stzej e sà: post pzeijà okàg w pukt i oz post stz do tego ok gu w pukie. Je eli poste te pzeijà si w pukie P, to P $ P = P d d kàg opis zwookàie N zwookàie mo opisç okàg wted i tlko wted, gd sum mi jego pzeiwleg kàtów wew tz sà ówe 8: + = + d = 8 kàg wpis w zwookàt W zwookàt wpuk mo wpisç okàg wted i tlko wted, gd sum d ugoêi jego pzeiwleg oków sà ówe: + = + d P 5 5 N5568_tlie.idd :4:

6 Mtemtk. Pó Mtu Pó z PERNEM Mtu z PERNEM i Gzetą Wozą. STEREMETRI Twiedzeie o tze post postopd Post k pzeij p szzz w pukie P. Post l jest zutem postokàtm postej k t p szzz. Post m le tej p szzêie i pzeodzi pzez pukt P. Wówzs post m jest postopd do postej k wted i tlko wted, gd jest postopd do postej l. zzei P pole powiezi kowitej P pole powiezi ozej P p pole powiezi podstw V oj toêç P m k l E F H G F J I H G E S E Postopd oêi P = _ + + i V = gdzie,, sà d ugoêimi kw dzi postopd oêiu Gistos up post P = p $ V = P $ p gdzie p jest owodem podstw gistos up stos up V = P $ p gdzie jest wsokoêià ostos up S l Wle P = P = _ + i V = gdzie jest pomieiem podstw, wsokoêià wl Sto ek P = l P = _ + li V = gdzie jest pomieiem podstw, wsokoêià, l d ugoêià twozàej sto k Kul P = 4 V = 4 gdzie jest pomieiem kuli. TRYGNMETRI efiije fukji tgoometz si = os = tg =, gd! gdzie = + > jest pomieiem wodzàm puktu M Wkes fukji tgoometz α M =(, ) M' = si = os = tg Zwiàzki mi dz fukjmi tego smego kàt si + os = tg = si os dl! + k, k kowite Niektóe wtoêi fukji tgoometz 45 6 si os tg ie istieje 6 6 N5568_tlie.idd :4:

7 Mtemtk. Pó Mtu Pó z PERNEM Mtu z PERNEM i Gzetą Wozą Fukje sum i ó i kàtów l dowol kàtów, zodzà ówoêi: si _ + i = si os + os si si _ - i = si os - os si os _ + i = os os - si si os _ - i = os os + si si Podto mm ówoêi: tg + tg tg - tg tg _ + i = tg _ - i = - tg $ tg + tg $ tg któe zodzà zwsze, gd sà okeêloe i miowik pwej sto ie jest zeem. Fukje podwojoego kàt si = si os os = os - si = os - = - si. KMINTRYK Wije z powtózeimi Liz sposoów, któe z ó elemetów mo utwozç iàg, sk djà si z k iekoiezie ó wzów, jest ów k. Wije ez powtózeƒ Liz sposoów, któe z ó elemetów mo utwozç iàg, sk djà si z k ( G k G ) ó wzów, jest ów $... k! _ - i $ $ _ - + i = _ - ki! Pemutje Liz sposoów, któe H ó elemetów mo ustwiç w iàg, jest ów!. Komije Liz sposoów, któe spoêód ó elemetów mo wç k ( G k G ) elemetów, jest ów d k. 4. RHUNEK PRWPIE STW W soêi pwdopodoieƒstw G P _ i G dl k dego zdzei Ω P _ Ωi = Ω zdzeie pewe P _ Q i = Q zdzeie iemo liwe (pust podzió Ω) P _ i G P _ i, gd Ω P _ ' i = - P _ i, gdzie ' ozz zdzeie pzeiwe do zdzei P _, i = P _ i + P _ i - P _ + i, dl dowol zdzeƒ, Ω P _, i G P _ i + P _ i, dl dowol zdzeƒ, Ω Twiedzeie: Klsz defiij pwdopodoieƒstw Nie Ω dzie skoƒzom zioem wszstki zdzeƒ elemet. Je eli wszstkie zdzei jedoelemetowe sà jedkowo pwdopodoe, to pwdopodoieƒstwo zdzei Ω jest ówe P _ i =, gdzie ozz liz elemetów Ω ziou, zê Ω liz elemetów ziou Ω. 5. PRMETRY NYH STTYSTYZNYH Âedi tmetz Âedi tmetz liz,,, jest ów: = Âedi w o Âedi w o liz,,,, któm pzpiso odpowiedio dodtie wgi w, w,, w jest ów: w $ + w $ w $ w + w w Âedi geometz Âedi geometz ieujem liz,,, jest ów: $ $... $ Medi Medià upozàdkowego w kolejoêi iemlejàej ziou d lizow G G G... G jest: dl iepzst: + (Êodkow wz iàgu) dl pzst: + + m(êedi tmetz Êodkow wzów iàgu) Wij i odleie stddowe Wijà d lizow,,, o Êediej tmetzej jest liz:... ` - j + ` - j + + ` - j v = = - _ i dleie stddowe v jest piewistkiem kwdtowm z wiji. 7 7 N5568_tlie.idd :4:

8 Mtemtk. Pó Mtu Pó z PERNEM Mtu z PERNEM i Gzetą Wozą 6. TLI WRTÂI FUNKJI TRYGNMETRYZNYH 7 si os tg 7 7 si os tg 7,, 9,75,75 89,49,49 88,5, ,698, ,87, ,45,5 84 7,9,8 8 8,9,45 8 9,564,584 8,76,76 8,98,944 79,79,6 78,5,9 77 4,49, ,588, ,756, ,94,57 7 8,9,49 7 9,56,44 7,4,64 7,584,89 69,746,44 68,97, ,467, ,46, ,484, ,454, ,4695,57 6 9,4848,554 6,5,5774 6,55,69 59,599,649 58,5446, ,559, ,576,7 55 6,5878, ,68, ,657,78 5 9,69, ,648,89 5 4,656, ,669, ,68, ,6947, ,77, 45 46,79, ,74, ,74,6 4 49,7547,54 4 5,766,98 4 5,777,49 9 5,788, ,7986,7 7 54,89, ,89, ,89, ,887,599 58,848,6 59,857,664 6,866,7 6,8746,84 9 6,889, ,89, ,8988,5 6 65,96, ,95, ,95,559 68,97,475 69,96,65 7,997,7475 7,9455,94 9 7,95, ,956, ,96, ,9659,7 5 76,97 4,8 4 77,9744 4,5 78,978 4,746 79,986 5,446 8,9848 5,67 8,9877 6,8 9 8,99 7,54 8 8,995 8, ,9945 9, ,996,4 5 86,9976 4,7 4 87,9986 9,8 88,9994 8,66 89, ,9 9, 8 8 N5568_tlie.idd :4:

9 Uzupełieie zestwu w wzoów mtemtz e są iągi ( ) i ( ), okeśloe dl ³. Jeżeli lim = oz lim =, to: Gi iągu lim( + )= + lim( )= lim( )= Jeżeli podto ¹ dl ³ oz ¹, to lim = jest ieskońzo iąg geometz ( ), okeślo dl ³, o ilozie q. Nie S ozz iąg sum pozątkow wzów iągu ( ), tz. iąg okeślo wzoem S = Jeżeli q <, to iąg S m gię: S= lim S = q Tę gię zwm sumą wszstki wzów iągu ( ). Pood fukji ' f( ) = f' ( ) dl Î R ' f( )+ g( ) = f' ( )+ g' ( ) ' f( ) g( ) = f' ( ) g' ( ) ' f( ) g( ) = f' ( ) g( )+ f( ) g' ( ) ' f( ) f' ( ) g( ) f( ) g' ( ) g( ) =, gd g ( ) g( ) Poode iektó fukji Nie,, ędą dowolmi lizmi zezwistmi, ³ dowolą lizą tulą. Fukj Mtemtk Pó Mtu z PERNEM i Gzetą Wozą Pood fukji f( )= f'( )= f( )= + f'( )= f( )= + + f '( )= + f( )= f'( )= f( )= f'( )= Rówie stzej ( ) de jest wzoem Jeżeli fukj f m poodą w pukie, to ówie stzej do wkesu fukji f w pukie, f( ) = +, gdzie współzik kieukow stzej jest ów wtośi poodej fukji f w pukie, tz. = f' ( ), tomist = f( ) f' ( ). Tgoometi Sum, óżie i iloz fukji tgoometz: α+ β α β siα+ siβ= si os α β α+ β siα siβ= si os α+ β α β osα + osβ = os os α+ β α β osα osβ= si si siαsiβ= os( α+ β) os( α β) osαosβ= ( os( α+ β)+ os( α β) ) siαosβ= ( si si ( α+ β)+ ( α β) ) ( ) 9 N5568_tlie.idd :4:7

10 Mtemtk Pó Mtu z PERNEM i Gzetą Wozą Ruek pwdopodoieństw Pwdopodoieństwo wukowe Nie, ędą zdzeimi losowmi zwtmi w W, pz zm P( )>. Pwdopodoieństwem wukowm P( ) zwm lizę: P( ) P( )= P( ) Twiedzeie o pwdopodoieństwie łkowitm Jeżeli zdzei losowe,,..., zwte w W spełiją wuki:.,,..., są pmi ozłąze, tz. i j = dl i¹ j, i, j,.... = Ω,. P( i )> dl i, to dl kżdego zdzei losowego zwtego w W zodzi ówość: P( )= P( ) P( )+ P( ) P( ) P( ) P( ) N5568_tlie.idd 4-- :4:9

11 Mtemtk Pó Mtu z PERNEM i Gzetą Wozą N5568_tlie.idd 4-- :4:9

12 N5568_tlie.idd 4-- :4:9