ZESTAW WYBRANYCH WZORÓW MATEMATYCZNYCH OBOWIÑZUJÑCYCH OD ROKU 2010

Transkrypt

1 Mtetyk. ó Mtu z RNM ZSTW WRNH WZRÓW MTMTZNH WIÑZUJÑH RKU (êód o: K). WRTÂå ZWZGL N LIZ WtoÊç ezwzgl dà lizy zezywistej x defiiujey wzoe: x dl x H x ) - x dl x < Liz x jest to odleg oêç osi lizowej puktu x od puktu. W szzególoêi: x H - x x l dowoly liz x, y y: x + y G x + y x - y G x + y x $ y x $ y odto, jeêli y!, to x y x y H l dowoly liz oz y wuki ówow e: x - G + - G x G + x - H + x G - lu x H +. T GI I IRWSTKI Nie dzie lizà kowità dodtià. l dowolej lizy defiiujey jej -tà pot g : $... $ \ zy iewistkie ytetyzy stopi z lizy H zywy liz H tkà, e. W szzególoêi, dl dowolej lizy zodzi ówoêç:. Je eli < oz liz jest iepzyst, to ozz liz < tkà, e. iewistki stopi pzysty z liz ujey ie istiejà. Nie, dà lizi kowityi dodtii. efiiujey: - dl! : oz dl H : - dl > : Nie, s dà dowolyi lizi zezywistyi. JeÊli > i >, to zodzà ówoêi: s s + s $ s $ l - s s _ $ i $ d Je eli wyk diki, s sà lizi kowityi, to powy sze wzoy oowiàzujà dl wszystki liz! i!.. LGRTM Nie > i!. Logyte log lizy > pzy podstwie zywy wyk dik pot gi, do któej le y podieêç podstw, y otzyç liz : log + Rówow ie: l dowoly liz x >, y > oz zodzà wzoy: log x y log x log y _ $ i + log x $ log x log x log log y x - y Wzó zi podstwy logytu: log Je eli >,!, >,! oz >, to log log log x oz lg x ozz log x. log 4. SILNI. WSÓ ZNNIK WUMINW Silià lizy kowitej dodtiej zywy ilozy kolejy liz kowity od do w àzie:! $ $... $ odto pzyjujey uow, e! l dowolej lizy kowitej H zodzi zwiàzek: _ + i!! $ _ + i l liz kowity, k spe ijày wuki G k G defiiujey wspó zyik dwuiowy d k (syol Newto):! d k k!_ - k i! Zodzà ówoêi: _ - i_ - i $... $ _ - k + i d k $ $ $... $ k d k d - k d d

2 Mtetyk. ó Mtu z RNM 5. WZÓR WUMINW NWTN l dowolej lizy kowitej dodtiej oz dl dowoly liz, y: - - k k -... k... _ + i d + d + + d + + d - + d 6. WZR SKRÓNG MN NI l dowoly liz, : _ + i + + _ + i _ - i - + _ - i l dowolej lizy kowitej dodtiej oz dowoly liz, zodzi wzó: k k _ - i W szzególoêi: - _ - i_ + i + _ + i - + l - _ - i + + l l - _ - i_ + i + _ + i - + l - _ - i + + l - - _ - i l 7. IÑGI iàg ytetyzy Wzó -ty wyz iàgu ytetyzego ` jo piewszy wyzie i ó iy : + - _ i Wzó su S pozàtkowy wyzów iàgu ytetyzego: + + _ - i S $ $ Mi dzy sàsiedii wyzi iàgu ytetyzego zodzi zwiàzek: dl H iàg geoetyzy Wzó -ty wyz iàgu geoetyzego ` jo piewszy wyzie i ilozie q: - $ q dl H Wzó su S pozàtkowy wyzów iàgu geoetyzego: Z ] - q S $ dl q! [ - q ] $ dl q \ Mi dzy sàsiedii wyzi iàgu geoetyzego zodzi zwiàzek: $ dl H - + oet sk dy Je eli kpit pozàtkowy K z o yy lt w ku, w któy opoetowie lokt wyosi p% w skli ozej, to kpit koƒowy K wy si wzoe: K p K $ e + o 8. FUNKJ KWRTW ostç ogól fukji kwdtowej: f _ xi x + x +,!, x! R. Wzó k dej fukji kwdtowej o dopowdziç do posti koizej: f _ xi _ x - pi + q, gdzie p -, q Δ -, Δ Wykese fukji kwdtowej jest pol o wiezo ku w pukie o wspó z dy _ p, qi. Rio poli skieowe sà do góy, gdy >, do do u, gdy <. Liz iejs zeowy fukji kwdtowej f _ xi x + x + (liz piewistków tójiu kwdtowego, liz zezywisty ozwiàzƒ ówi x + x + ), zle y od wyó ik Δ - 4: je eli Δ <, to fukj kwdtow ie iejs zeowy (tóji kwdtowy ie piewistków zezywisty, ówie kwdtowe ie ozwiàzƒ zezywisty), je eli Δ, to fukj kwdtow dok die jedo iejse zeowe (tóji kwdtowy jede piewistek podwójy, ówie kwdtowe dok die jedo ozwiàzie zezywiste): x x - je eli Δ >, to fukj kwdtow dw iejs zeowe (tóji kwdtowy dw ó e piewistki zezywiste, ówie kwdtowe dw ozwiàzi zezywiste): x - - Δ, x - + Δ JeÊli Δ H, to wzó fukji kwdtowej o dopowdziç do posti ilozyowej: f _ xi `x - x j`x - x j

3 Mtetyk. ó Mtu z RNM Wzoy Viete Je eli Δ H, to x + x - x $ x 9. GMTRI NLITZN diek ugoêç odik o koƒ w pukt `x, y j, `x, y jd jest wzoe: `x - x j + `y - y j J x + x y + y N Wspó z de Êodk odik :, K L Wektoy Wspó z de wekto : 8x - x, y - y Je eli u 8u, u, v 8v, v sà wektoi, zê jest lizà, to u + v 8u + v, u + v $ u 8 $ u, $ u ost Rówie ogóle postej: x + y +, gdzie +! (tj. wspó zyiki, ie sà ówozeêie ówe ). Je eli, to post jest ówoleg do osi ; je eli, to post jest ówoleg do osi ; je eli, to post pzeodzi pzez pozàtek uk du wspó z dy. α Je eli post ie jest ówoleg do osi, to o ówie kieukowe: y x + Liz to wspó zyik kieukowy postej: tg Wspó zyik wyzz osi pukt, w któy d post jà pzei. Rówie kieukowe postej o wspó zyiku kieukowy, któ pzeodzi pzez pukt `x, y j: y `x - x j + y Rówie postej, któ pzeodzi pzez dw de pukty `x, y j, `x, y j: `y - y j`x - x j - `y - y j`x - x j ost i pukt dleg oêç puktu `x, y jod postej o ówiu x + y + jest d wzoe: x + y + + posty wie poste o ówi kieukowy y x +, y x + spe ijà jede z st pujày wuków: sà ówoleg e, gdy sà postopd e, gdy - - twozà kàt osty { i tg { + wie poste o ówi ogóly: x+ y+, x + y + sà ówoleg e, gdy - sà postopd e, gdy + - twozà kàt osty { i tg { + Tójkàt ole tójkàt o wiezo k `x, y j, `x, y j, x, y ` j, jest de wzoe: ` x - x j y - y - y - y x - x ` j ` j ` j J x + x + x y + y + y N Âodek i koêi tójkàt, zyli pukt pzei i jego Êodkowy, wspó z de:, K L zekszt ei geoetyze pzesui ie o wekto u 7, pzekszt pukt _ x, yi pukt ' _ x +, y + i syeti wyglàde osi pzekszt pukt _ x, yi pukt ' _ x, -yi syeti wzgl de osi pzekszt pukt _ x, yi pukt ' _-x, yi syeti wzgl de puktu _, ipzekszt pukt _ x, yi pukt ' _ - x, - yi jedok doêç o Êodku w pukie _, ii skli s! pzekszt pukt _ x, yi pukt ' _ sx, syi (x, y ) (x, y ) y x + Rówie ok gu Rówie ok gu o Êodku w pukie S _, ii poieiu > : _ x - i + _ y - i lu x + y - x - y +, gdy + - >

4 Mtetyk. ó Mtu z RNM. LNIMTRI ey pzystwi tójkàtów To, e dw tójkàty i F sà pzystjàe F _ / F i, o ey stwiedziç podstwie k dej z st pujày e pzystwi tójkàtów: e pzystwi ok ok ok : odpowidjàe soie oki ou tójkàtów jà te se d ugoêi:, F, F. e pzystwi ok kàt ok : dw oki jedego tójkàt sà ówe odpowidjày i oko dugiego tójkàt oz kàt zwty i dzy tyi oki jedego tójkàt tkà sà i jk odpowidjày u kàt dugiego tójkàt, p., F, ] ] F e pzystwi kàt ok kàt : jede ok jedego tójkàt t sà d ugoêç, o odpowidjày u ok dugiego tójkàt oz iy odpowidjày soie kàtów ou tójkàtów, pzyleg y do oku, sà ówe, p., ] ] F, ] ] F ey podoieƒstw tójkàtów To, e dw tójkàty i F sà podoe _ ~ F i, o ey stwiedziç podstwie k dej z st pujày F e podoieƒstw tójkàtów: e podoieƒstw ok ok ok : d ugoêi oków jedego tójkàt sà popojole do odpowiedi d ugoêi oków dugiego tójkàt, p. F F e podoieƒstw ok kàt ok : d ugoêi dwó oków jedego tójkàt sà popojole do odpowiedi d ugoêi dwó oków dugiego tójkàt i kàty i dzy tyi pi oków sà pzystjàe, p., ] F ] F e podoieƒstw kàt kàt kàt : dw kàty jedego tójkàt sà pzystjàe do odpowiedi dwó kàtów dugiego tójkàt (wi te i tzeie kàty ou tójkàtów sà pzystjàe): ] ] F, ] ] F, ] ] F zyjujey ozzei w tójkàie :,, d ugoêi oków, le ày odpowiedio pzeiwko wiezo ków,, p + + owód tójkàt,, iy kàtów pzy wiezo k,,,, wysokoêi opuszzoe z wiezo ków,, R, poieie ok gów opisego i wpisego Twiedzeie itgos (wz z twiedzeie odwoty do iego) W tójkàie kàt jest posty wtedy i tylko wtedy, gdy +. Zwiàzki iowe w tójkàie postokàty Z ó y, e kàt jest posty. Wówzs: $ si os $ tg $ R + - p - tg Twiedzeie siusów R si si si Twiedzeie osiusów + - os + - os + - os Tójkàt ówoozy d ugoêç oku, wysokoêç tójkàt 4 Wzoy pole tójkàt $ $ $ $ $ $ $ $ si si si $ R $ si $ si $ si si p p p p p 4R _ i_ i_ i Twiedzeie Tles Je eli poste ówoleg e ' i ' pzeijà dwie poste, któe pzeijà si w pukie, to. ' ' 4 ' ' ' '

5 Mtetyk. ó Mtu z RNM Twiedzeie odwote do twiedzei Tles Je eli poste ' i ' pzeijà dwie poste, któe pzeijà si w pukie oz, to poste ' i ' sà ówoleg e. ' ' zwookàty Tpez zwookàt, któy o jiej jedà p oków ówoleg y. Wzó pole tpezu: + $ { Rówoleg ook zwookàt, któy dwie py oków ówoleg y. Wzoy pole ówoleg ooku: $ $ si $ $ $ si { Ro zwookàt, któy dwie py oków ówoleg y jedkowej d ugoêi. Wzoy pole ou: $ si $ $ eltoid zwookàt, któy oê syetii, zwiejàà jedà z pzekàty. Wzó pole deltoidu: $ $ Ko o Wzó pole ko o poieiu : wód ko o poieiu : w. Wyiek ko Wzó pole wyik ko o poieiu i kàie Êodkowy wy oy w stopi: $ 6 ugoêç uku wyik ko o poieiu i kàie Êodkowy wy oy w stopi: l 6 Kàty w ok gu Mi kàt wpisego w okàg jest ów po owie iy kàt Êodkowego, optego ty sy uku. Miy kàtów wpisy w okàg, opty ty sy uku, sà ówe. Twiedzeie o kàie i dzy styzà i i iwà y jest okàg o Êodku w pukie i jego i iw. ost jest styz do tego ok gu w pukie. Wtedy ] $ ], pzy zy wyiey te z kàtów Êodkowy, któy jest opty uku zjdujày si wewàtz kàt. Twiedzeie o odik siezej i styzej e sà: post pzeijà okàg w pukt i oz post styz do tego ok gu w pukie. Je eli poste te pzeijà si w pukie, to $ d d kàg opisy zwookàie N zwookàie o opisç okàg wtedy i tylko wtedy, gdy suy i jego pzeiwleg y kàtów wew tzy sà ówe 8: + + d 8 kàg wpisy w zwookàt W zwookàt wypuk y o wpisç okàg wtedy i tylko wtedy, gdy suy d ugoêi jego pzeiwleg y oków sà ówe: + + d 5

6 Mtetyk. ó Mtu z RNM. STRMTRI Twiedzeie o tze posty postopd y ost k pzeij p szzyz w pukie. ost l jest zute postokàty postej k t p szzyz. ost le y tej p szzyêie i pzeodzi pzez pukt. Wówzs post jest postopd do postej k wtedy i tylko wtedy, gdy jest postopd do postej l. zzei pole powiezi kowitej pole powiezi ozej p pole powiezi podstwy V oj toêç k l F H G F J I H G S ostopd oêi _ + + i V gdzie,, sà d ugoêii kw dzi postopd oêiu Gistos up posty p $ V $ p gdzie p jest owode podstwy gistos up stos up V $ p gdzie jest wysokoêià ostos up S l Wle _ + i V gdzie jest poieie podstwy, wysokoêià wl Sto ek l _ + li V gdzie jest poieie podstwy, wysokoêià, l d ugoêià twozàej sto k Kul 4 V 4 gdzie jest poieie kuli. TRGNMTRI efiije fukji tygooetyzy si y os x tg x y, gdy x! gdzie x + y > jest poieie wodzày puktu M Wykesy fukji tygooetyzy α M (x, y) M' y si x y os x y tg x Zwiàzki i dzy fukji tego sego kàt si + os tg si os dl! + k, k kowite Niektóe wtoêi fukji tygooetyzy 45 6 si os tg ie istieje 6

7 Mtetyk. ó Mtu z RNM Fukje suy i ó iy kàtów l dowoly kàtów, zodzà ówoêi: si _ + i si os + os si si _ - i si os - os si os _ + i os os - si si os _ - i os os + si si odto y ówoêi: tg + tg tg - tg tg _ + i tg _ - i - tg $ tg + tg $ tg któe zodzà zwsze, gdy sà okeêloe i iowik pwej stoy ie jest zee. Fukje podwojoego kàt si si os os os - si os - - si. KMINTRK Wije z powtózeii Liz sposoów, któe z ó y eleetów o utwozyç iàg, sk djày si z k iekoiezie ó y wyzów, jest ów k. Wije ez powtózeƒ Liz sposoów, któe z ó y eleetów o utwozyç iàg, sk djày si z k ( G k G ) ó y wyzów, jest ów $... k! _ - i $ $ _ - + i _ - ki! eutje Liz sposoów, któe H ó y eleetów o ustwiç w iàg, jest ów!. Koije Liz sposoów, któe spoêód ó y eleetów o wyç k ( G k G ) eleetów, jest ów d k. 4. RHUNK RWI STW W soêi pwdopodoieƒstw G _ i G dl k dego zdzei Ω _ Ωi Ω zdzeie pewe _ Q i Q zdzeie ieo liwe (pusty podzió Ω) _ i G _ i, gdy Ω _ ' i - _ i, gdzie ' ozz zdzeie pzeiwe do zdzei _, i _ i + _ i - _ + i, dl dowoly zdzeƒ, Ω _, i G _ i + _ i, dl dowoly zdzeƒ, Ω Twiedzeie: Klsyz defiij pwdopodoieƒstw Nie Ω dzie skoƒzoy zioe wszystki zdzeƒ eleety. Je eli wszystkie zdzei jedoeleetowe sà jedkowo pwdopodoe, to pwdopodoieƒstwo zdzei Ω jest ówe _ i, gdzie ozz liz eleetów Ω ziou, zê Ω liz eleetów ziou Ω. 5. RMTR NH STTSTZNH Âedi ytetyz Âedi ytetyz liz,,, jest ów: Âedi w o Âedi w o liz,,,, któy pzypiso odpowiedio dodtie wgi w, w,, w jest ów: w $ + w $ w $ w + w w Âedi geoetyz Âedi geoetyz ieujey liz,,, jest ów: $ $... $ Medi Medià upozàdkowego w kolejoêi ielejàej ziou dy lizowy G G G... G jest: dl iepzysty: + (Êodkowy wyz iàgu) dl pzysty: + + (Êedi ytetyz Êodkowy wyzów iàgu) Wij i odyleie stddowe Wijà dy lizowy,,, o Êediej ytetyzej jest liz:... ` - j + ` - j + + ` - j v - _ i dyleie stddowe v jest piewistkie kwdtowy z wiji. 7

8 Mtetyk. ó Mtu z RNM 6. TLI WRTÂI FUNKJI TRGNMTRZNH 7 si os tg 7 7 si os tg 7,, 9,75,75 89,49,49 88,5, ,698, ,87, ,45,5 84 7,9,8 8 8,9,45 8 9,564,584 8,76,76 8,98,944 79,79,6 78,5,9 77 4,49, ,588, ,756, ,94,57 7 8,9,49 7 9,56,44 7,4,64 7,584,89 69,746,44 68,97, ,467, ,46, ,484, ,454, ,4695,57 6 9,4848,554 6,5,5774 6,55,69 59,599,649 58,5446, ,559, ,576,7 55 6,5878, ,68, ,657,78 5 9,69, ,648,89 5 4,656, ,669, ,68, ,6947, ,77, 45 46,79, ,74, ,74,6 4 49,7547,54 4 5,766,98 4 5,777,49 9 5,788, ,7986,7 7 54,89, ,89, ,89, ,887,599 58,848,6 59,857,664 6,866,7 6,8746,84 9 6,889, ,89, ,8988,5 6 65,96, ,95, ,95,559 68,97,475 69,96,65 7,997,7475 7,9455,94 9 7,95, ,956, ,96, ,9659,7 5 76,97 4,8 4 77,9744 4,5 78,978 4,746 79,986 5,446 8,9848 5,67 8,9877 6,8 9 8,99 7,54 8 8,995 8, ,9945 9, ,996,4 5 86,9976 4,7 4 87,9986 9,8 88,9994 8,66 89, ,9 9, 8