EGZAMIN EKSTERNISTYCZNY Z MATEMATYKI

Transkrypt

1 SPIS TREŚI EGZMIN EKSTERNISTYZNY Z MTEMTYKI WZRY. Wtość ezwzględ licz.... Potęgi i piewistki.... Sili. Smol Newto wumi Newto Wzo skócoego możei iągi Fukcj kwdtow Logtm Pocod fukcji Geometi litcz...6. Plimeti...8. Steeometi.... Tgoometi Komitok Rcuek pwdopodoieństw Pmet dc sttstczc Tlic wtości fukcji tgoometczc...9. WRTŚĆ EZWZGLĘN LIZY Wtość ezwzględą licz zeczwistej defiiujem wzoem:, dl 0 dl < 0 Licz jest to odległość osi liczowej puktu od puktu 0. W szczególości: 0 l dowolc licz, mm: Podto, jeśli 0, to l dowolc licz oz, gdzie 0, mm wuki ówowże: + lu +. PTĘGI I PIERWISTKI Niec ędzie liczą cłkowitą dodtią. l dowolej licz defiiujem jej tą potęgę:... z Piewistkiem tmetczm stopi z licz 0 zwm liczę 0 tką, że.

2 W szczególości, dl dowolej licz zcodzi ówość:. Jeżeli < 0 oz licz jest iepzst, to ozcz liczę < 0 tką, że Piewistki stopi pzstc z licz ujemc ie istieją. *. Niec m, ędą liczmi cłkowitmi dodtimi. efiiujem: 0 dl 0 : oz dl 0 : m m m dl > 0 : m Niec, s ędą dowolmi liczmi zeczwistmi. Jeśli > 0 i > 0, to zcodzą ówości: s s + s s s s Jeżeli wkłdiki, s są liczmi cłkowitmi, to powższe wzo oowiązują dl wszstkic licz 0, 0.. SILNI. SYML NEWTN Silią licz cłkowitej dodtiej zwm ilocz kolejc licz cłkowitc:!... Podto pzjmujem umowę, że 0!. l dowolej licz cłkowitej 0 zcodzi związek: +!! + * l licz cłkowitc, k spełijącc wuki 0 k defiiujem smol Newto:! k k! ( k)! Zcodzą ówości: ( )( )... ( k+ ) k... k k k 0 l 0 k < mm: + k + k+ k k+ k+ k k +

3 4. WUMIN NEWTN l dowolej licz cłkowitej dodtiej oz dl dowolc licz, mm:... k k k 5. WZRY SKRÓNEG MNŻENI Z dwumiu Newto dl oz otzmujem dl dowolc licz, : * l dowolej licz cłkowitej dodtiej oz dowolc licz, zcodzi wzó: k k W szczególości: IĄGI iąg tmetcz Wzó t wz ciągu tmetczego o dm piewszm wzie i óżic : + Wzó sumę S początkowc wzów ciągu tmetczego: + ( ) S + Międz sąsiedimi wzmi ciągu tmetczego zcodzi związek: + + dl iąg geometcz Wzó t wz ciągu geometczego o dm piewszm wzie i ilozie q: q Wzó sumę S początkowc wzów ciągu geometczego: S q q dl q dl q Międz sąsiedimi wzmi ciągu geometczego zcodzi związek: dl +

4 Pocet skłd Jeżeli kpitł początkow K złożm lt w ku, w któm opocetowie lokt wosi p % w skli oczej, to kpitł końcow K wż się wzoem: p K K + 00 Gic ciągu Jeżeli lim g oz lim, to ( + ) g+ ( ) g lim lim Jeżeli podto 0 dl oz 0, to g lim * lim g Jeżeli ( ),, jest ieskończom ciągiem geometczm o ilozie q <, to ciąg sum jego początkowc wzów S m gicę: lim S q 7. FUNKJ KWRTW Postć ogól fukcji kwdtowej: f + + c, 0. Wzó kżdej fukcji kwdtowej moż dopowdzić do postci koiczej: Δ f +, gdzie 4 pomocej pz spoządziu wkesu. Δ Wkesem fukcji kwdtowej jest pol o wiezcołku w pukcie o współzędc Δ,. Rmio poli skieowe są do gó, gd > 0, do dołu, gd 0 4 <. Licz miejsc zeowc fukcji kwdtowej, czli licz piewistków ówi + + c 0 zleż od wóżik Δ 4c: jeżeli Δ< 0, to fukcj kwdtow ie m miejsc zeowc (ówie kwdtowe ie m piewistków zeczwistc), jeżeli Δ 0, to fukcj kwdtow m jedo miejsce zeowe (ówie kwdtowe m jede podwój piewistek): jeżeli Δ> 0, to fukcj kwdtow m dw miejsc zeowe (ówie kwdtowe m dw piewistki): Δ + Δ 4c 4

5 Jeśli Δ 0, to wzó fukcji kwdtowej moż dopowdzić do postci iloczowej: f Wzo Viéte : c + 8. LGRYTMY Niec > 0 i. Logtmem log c licz c > 0 pz podstwie zwm wkłdik potęgi, do któej leż podieść podstwę, otzmć liczę c: log c c Rówowżie: log c c l dowolc licz > 0, > 0 oz zcodzą wzo: log( ) log + log log log log log log Wzó zmię podstw logtmu: jeżeli > 0,, > 0, oz c > 0, to log c log c log 9. PHN FUNKJI c f c f dl c R f g f g + + f g f g f g f g f g + f f g f g, gd g 0 g g Pocode iektóc fukcji: f c f 0 + f f f + + c f + f f f f gdzie 0, zś,, c dowole licz zeczwiste. 5

6 Rówie stczej Jeżeli fukcj f m pocodą w pukcie 0, to ówie stczej do wkesu fukcji f w pukcie ( 0, ( 0) ) f ( ) f ( ) ( ) f de jest wzoem: GEMETRI NLITYZN dciek ługość odcik o końcc w puktc,, d jest wzoem:, + (, ) Współzęde śodk odcik : + +, Wekto Współzęde wekto, któ pzesuw pukt pukt : [, ] Jeżeli u [ u, u], v [ v, v] są wektomi, zś jest liczą, to u+ v u + v, u + v u u, u Post [ ] Rówie ogóle postej: + + 0, gdzie [ ] + 0 (tj. współcziki, ie są ówocześie ówe 0). (, ) Jeżeli 0, post jest ówoległ do osi ; jeżeli 0, post jest ówoległ do osi ; jeżeli 0, to post pzecodzi pzez początek ukłdu współzędc. Jeżeli post ie jest ówoległ do osi, to m o ówie kieukowe: + Licz to współczik kieukow postej: tg Współczik wzcz osi pukt, w któm d post ją pzeci. Rówie postej, pzecodzącej pzez dw de pukt (, ), (, ) ( )( ) ( )( ) 0 : + 6

7 Post i pukt 0 0 od postej o ówiu d jest wzoem: dległość puktu P (, ) P postc wie poste, o ówic kieukowc + + spełiją jede z stępującc wuków: są ówoległe, gd, są postopdłe, gd, twozą kąt ϕ tki, że: 0 < ϕ < 90 tgϕ. + i Jeżeli poste de są ówimi w postci ogólej: to odpowiedio: są ówoległe, gd 0, są postopdłe, gd + 0, twozą kąt ϕ tki, że: 0 < ϕ < 90 i tgϕ +. Tójkąt Pole tójkąt o wiezcołkc (, ), (, ), (, ), de jest wzoem: PΔ ( )( ) ( )( ) Śodek ciężkości tójkąt, czli pukt pzecięci jego śodkowc, m współzęde: , Pzeksztłcei geometcze u, pzesuięcie o wekto [ ] smeti względem osi pzeksztłc pukt (, ) smeti względem puktu (, ) pzeksztłc pukt (, ) pukt (, ) + + ; pukt (, ) ; pzeksztłc pukt (, ) pukt (, ) ; s pzeksztłc pukt (, ) jedokłdość o śodku w pukcie ( 0,0 ) i skli 0 pukt ( s, s ). 7

8 Rówie okęgu Rówie okęgu o śodku w pukcie (, ) i pomieiu : lu + c gdzie c + > 0. PLNIMETRI zczei Wzo pole tójkąt PΔ c c,, c długości oków, leżącc odpowiedio pzeciwko wiezcołków,, ; p + + c owód tójkąt;, β, γ mi kątów pz wiezcołkc,, ;,, c wsokości, opuszczoe z wiezcołków,, ; R, pomieie okęgów opisego i wpisego. siβ siγ PΔ siγ R si si β siγ si c PΔ p p p p p c 4R Twiedzeie siusów c R si si β siγ Twiedzeie cosiusów c γ + c ccos + c ccosβ c + cosγ Twiedzeie Pitgos (wz z twiedzeiem odwotm do iego) W tójkącie kąt γ jest post wted i tlko wted, gd β + c. 8

9 Związki miowe w tójkącie postokątm c γ c. Złóżm, że kąt γ jest post. Wówczs: c c c c si c cos β tg ctgβ R c Twiedzeie Tles (wz z twiedzeiem odwotm do iego) β Poste,, są pmi ówoległe wted i tlko wted, gd zcodzi ówość: zwookąt E Tpez zwookąt, któ m co jmiej jedą pę oków ówoległc. Wzó pole tpezu: + P ϕ Rówoległook zwookąt, któ m dwie p oków ówoległc. Wzo pole ówoległooku: P si siϕ Rom zwookąt, któ m dwie p oków ówoległc jedkowej długości. Wzo pole omu: P si 9

10 eltoid zwookąt, któ m oś smetii, zwiejącą jedą z pzekątc. Wzó pole deltoidu: P Koło Wzó pole koł o pomieiu : P π wód koł o pomieiu : π Wciek koł Wzó pole wcik koł o pomieiu i kącie śodkowm : P π 60 ługość łuku wcik koł o pomieiu i kącie śodkowm : l π 60 Kąt w okęgu Mi kąt wpisego w okąg jest ów połowie mi kąt śodkowego, optego tm smm łuku. Mi kątów wpisc w okąg, optc tc smc łukc, są ówe. 0

11 kąg opis czwookącie γ β N czwookącie moż opisć okąg wted i tlko wted, gd sum mi jego pzeciwległc kątów wewętzc są ówe 80 : δ + γ β + δ 80 kąg wpis w czwookąt d c W czwookąt wpukł moż wpisć okąg wted i tlko wted, gd sum długości jego pzeciwległc oków są ówe: + c + d. STEREMETRI zczei P pole powiezci cłkowitej P pole powiezci podstw p P pole powiezci oczej V ojętość Postopdłości H G E F c P ( + c+ c ) V c gdzie,, c są długościmi kwędzi postopdłościu.

12 Gistosłup post F J E I G H P p V Pp gdzie p jest owodem podstw gistosłup. stosłup S E V P p gdzie jest wsokością ostosłup. Wlec P π P π + V π gdzie jest pomieiem podstw, wsokością wlc.

13 Stożek S l P π l P π + l V π gdzie jest pomieiem podstw, wsokością, l długością twozącej stożk. Kul P 4π 4 V π gdzie jest pomieiem kuli.. TRYGNMETRI efiicje fukcji tgoometczc M(, ) si cos tg ( 0) ctg ( 0) M gdzie + Wkes fukcji tgoometczc si cos

14 tg ctg Związki międz fukcjmi tego smego kąt si + cos si π tg dl + kπ k cłkowite cos cos ctg dl kπ k cłkowite si kπ ctg dl k cłkowite tg Niektóe wtości fukcji tgoometczc π 6 0( 0 ) ( 0 ) si 0 cos tg 0 ctg ie istieje π 4 ( 45 ) π ( 60 ) π ( 90 ) 0 ie istieje Wzo edukcje ϕ π π π π π π π siϕ si si si si cos cos cos cos si cosϕ cos cos cos cos si si si si cos tgϕ tg tg tg tg ctg ctg ctg ctg tg ctgϕ ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg ctg 0 4

15 Fukcje sum i óżic kątów l dowolc kątów, β zcodzą ówości: si + β sicos β + cossi β si β sicos β cossi β cos + β coscos β sisi β cos β coscos β + sisi β Podto mm ówości: tg tgβ tg( + β) + tg tgβ tg tgβ tg( β) + tg tgβ ctg ctgβ ctg ( + β) ctg + ctgβ ctg ctgβ + ctg ( β) ctgβ ctg któe zcodzą zwsze, gd są okeśloe i miowik pwej sto ie jest zeem. Fukcje podwojoego kąt si si cos cos cos si cos si Podto, dl tc kątów, dl któc pwe sto są okeśloe, mm ówości: tg si + tg tg cos + tg tg tg tg Fukcje potojoego kąt si si cos si si 4si cos cos cos si cos 4 cos Sum i óżice fukcji tgoometczc + β β si + si β si cos β + β si si β si cos + β β cos + cos β cos cos + β β cos cos β si si 5

16 4. KMINTRYK Pemutcje Licz sposoów, w jki elemetów moż ustwić w ciąg, jest ów! Wicje ez powtózeń Licz sposoów, w jki z elemetów moż utwozć ciąg, skłdjąc się z k ( k ) óżc wzów, jest ów! ( )... ( k+ ) k! Wicje z powtózeimi Licz sposoów, w jki z elemetów moż utwozć ciąg, skłdjąc się z k iekoieczie óżc wzów, jest ów k. Komicje Licz sposoów, w jki spośód elemetów moż wć k ( 0 k ) elemetów, jest ów k. 5. RHUNEK PRWPIEŃSTW Klscz defiicj pwdopodoieństw Niec Ω ędzie skończom zioem wszstkic zdzeń elemetc. Jeżeli zjście kżdego zdzei elemetego jest jedkowo pwdopodoe, to pwdopodoieństwo zjści zdzei Ω jest ówe P( ) Ω gdzie ozcz liczę elemetów ziou, zś Ω liczę elemetów ziou Ω. Włsości pwdopodoieństw P ( Ω ) 0 P dl kżdego zdzei Ω Ω zdzeie pewe P ( ) 0 zdzeie iemożliwe (pust podzió Ω ) P P gd Ω P( ) P + P P( ), dl dowolc zdzeń Ω,, ztem P( ) P + P, dl dowolc zdzeń Ω., Zdzei iezleże Zdzei Ω i Ω są iezleże, gd P P P 6

17 Pwdopodoieństwo wukowe Niec Ω, ędą zdzeimi, pz czm P( ) > 0. Pwdopodoieństwem wukowm P( ) zjści zdzei pod wukiem, że zszło zdzeie, zwm liczę: ( ) P( ) P P Twiedzeie o pwdopodoieństwie cłkowitm Jeżeli zdzei,,..., Ωspełiją wuki:. dl i, j, i j, i j.... Ω,. 0 dl P > i i to dl kżdego zdzei Ω zcodzi ówość: P P P + P P P P Scemt eoulliego Pwdopodoieństwo uzski dokłdie k sukcesów w scemcie pó eoulliego wż się wzoem: k k p q p + q k gdzie: p pwdopodoieństwo sukcesu w pojedczej póie, q pwdopodoieństwo pożki w pojedczej póie. 6. PRMETRY NYH STTYSTYZNYH Śedi tmetcz Śedi tmetcz licz,,..., jest ów: Śedi wżo Śedi wżo licz,,..., któm pzpiso odpowiedio dodtie wgi w, w,..., w jest ów: w + w w w + w w Śedi geometcz Śedi geometcz ieujemc licz,,..., jest ów:... 7

18 Śedi moicz Śedi moicz dodtic licz,,..., jest ów: Medi Medią upoządkowego w kolejości iemlejącej ciągu dc liczowc jest:... dl iepzstc: + (śodkow wz ciągu), dl pzstc: + (śedi tmetcz śodkowc wzów ciągu). + Wicj i odcleie stddowe Wicją dc liczowc,,..., o śediej tmetczej jest licz: σ dcleie stddowe σ jest piewistkiem kwdtowm z wicji: σ σ. 8

19 7. TLI WRTŚI FUNKJI TRYGNMETRYZNYH [] si cos β tg ctgβ β [] [] si cos β tg ctgβ 0 0,0000 0, ,79, ,075 0, ,74, ,049 0, ,74,06 4 0,05 0, ,7547, ,0698 0, ,7660, ,087 0, ,777, ,045 0, ,7880, ,9 0, ,7986, ,9 0, ,8090, ,564 0, ,89, ,76 0, ,890, ,908 0, ,887,599 0,079 0, ,8480,600 0,50 0, ,857, ,49 0, ,8660, ,588 0, ,8746, ,756 0, ,889, ,94 0, ,890, ,090 0, ,8988, ,56 0, ,906, ,40 0, ,95, ,584 0, ,905,559 0,746 0, ,97,475 0,907 0, ,96, ,4067 0, ,997, ,46 0, ,9455, ,484 0, ,95, ,4540 0, ,956, ,4695 0, ,96, ,4848 0, ,9659, ,5000 0, ,970 4, ,550 0, ,9744 4,5 0,599 0, ,978 4,7046 0,5446 0, ,986 5, ,559 0, ,9848 5, ,576 0, ,9877 6, ,5878 0, ,990 7, ,608 0, ,995 8, ,657 0, ,9945 9, ,69 0, ,996, ,648 0, ,9976 4, ,656 0, ,9986 9,08 4 0,669 0, ,9994 8,66 4 0,680 0, , , ,6947 0, , ,707, β [] 9