1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY

Transkrypt

1 . WRTŚĆ EZWZGLĘN LIZY Wtość ezwzględą lizy zezywistej x defiiujemy wzoem: x dl x 0 x x dl x < 0 Liz x jest to odległość osi lizowej puktu x od puktu 0. W szzególośi: x 0 x x l dowoly liz x, y mmy: x + y x + y x y x + y x y x y Podto, jeśli y 0, to x y x y l dowoly liz oz 0 mmy wuki ówowże: x x + x x lu x +. PTĘGI I PIERWISTKI Nie ędzie lizą łkowitą dodtią. l dowolej lizy defiiujemy jej tą potęgę:... zy Piewistkiem ytmetyzym stopi z lizy 0 zywmy lizę 0 tką, że. W szzególośi, dl dowolej lizy zodzi ówość:. Jeżeli < 0 oz liz jest iepzyst, to ozz lizę < 0 tką, że Piewistki stopi pzysty z liz ujemy ie istieją. *. Nie m, ędą lizmi łkowitymi dodtimi. efiiujemy: 0 dl 0 : oz dl 0 : m m m dl > 0 : m Nie, s ędą dowolymi lizmi zezywistymi. Jeśli > 0 i > 0, to zodzą ówośi: s s + ( ) s s s s ( ) Jeżeli wykłdiki, s są lizmi łkowitymi, to powyższe wzoy oowiązują dl wszystki liz 0 i 0.

2 3. LGRYTMY Nie > 0 i. Logytmem log lizy > 0 pzy podstwie zywmy wykłdik potęgi, do któej leży podieść podstwę, y otzymć lizę : log Rówowżie: log l dowoly liz x > 0, y > 0 oz zodzą wzoy: x log( x y) log x+ log y log x log x log log x log y y Wzó zmię podstwy logytmu: jeżeli > 0,, > 0, oz > 0, to log log log log x oz lg x ozz log0 x. 4. SILNI. WSPÓŁZYNNIK WUMINWY Silią lizy łkowitej dodtiej zywmy ilozy kolejy liz łkowity od do włązie:!... Podto pzyjmujemy umowę, że 0!. l dowolej lizy łkowitej 0 zodzi związek: +!! + ( ) ( ) * l liz łkowity, k spełijąy wuki 0 k defiiujemy współzyik dwumiowy (symol Newto): k! k k! ( k)! Zodzą ówośi: ( )( )... ( k+ ) k 3... k k k 0 5. WZÓR WUMINWY NEWTN l dowolej lizy łkowitej dodtiej oz dl dowoly liz, mmy: ( )... k k k

3 6. WZRY SKRÓNEG MNŻENI l dowoly liz, : ( ) ( ) ( ) + ( ) l dowolej lizy łkowitej dodtiej oz dowoly liz, zodzi wzó: k k W szzególośi: ( )( ) ( )( + ) ( )( + ) ( )( + + ) 3 ( )( + + ) + ( + )( + ) 3 + ( + )( + ) ( )( ) IĄGI iąg ytmetyzy Wzó ty wyz iągu ytmetyzego ( ) o piewszym wyzie i óżiy : + ( ) Wzó sumę S pozątkowy wyzów iągu ytmetyzego: + ( ) S + Między sąsiedimi wyzmi iągu ytmetyzego zodzi związek: + + dl iąg geometyzy Wzó ty wyz iągu geometyzego ( ) o piewszym wyzie i ilozie q: q dl Wzó sumę S pozątkowy wyzów iągu geometyzego: q dl q S q dl q Między sąsiedimi wyzmi iągu geometyzego zodzi związek: + dl Poet skłdy Jeżeli kpitł pozątkowy K złożymy lt w ku, w któym opoetowie lokt wyosi p % w skli ozej, to kpitł końowy K wyż się wzoem: p K K

4 8. FUNKJ KWRTW Postć ogól fukji kwdtowej: f ( x) x + x+, 0, x R. Wzó kżdej fukji kwdtowej moż dopowdzić do posti koizej: f ( x) ( x p) Δ + q, gdzie p, q, Δ 4 4 Wykesem fukji kwdtowej jest pol o wiezołku w pukie o współzędy (, ) Rmio poli skieowe są do góy, gdy > 0, do dołu, gdy < 0. p q. Liz miejs zeowy fukji kwdtowej f ( x) x + x+ (liz piewistków tójmiu kwdtowego, liz zezywisty ozwiązń ówi od wyóżik Δ 4: x x ), zleży jeżeli Δ< 0, to fukj kwdtow ie m miejs zeowy (tójmi kwdtowy ie m piewistków zezywisty, ówie kwdtowe ie m ozwiązń zezywisty), jeżeli Δ 0, to fukj kwdtow m dokłdie jedo miejse zeowe (tójmi kwdtowy m jede piewistek podwójy, ówie kwdtowe m dokłdie jedo ozwiązie zezywiste): x x jeżeli Δ> 0, to fukj kwdtow m dw miejs zeowe (tójmi kwdtowy m dw óże piewistki zezywiste, ówie kwdtowe m dw ozwiązi zezywiste): Δ + Δ x x Jeśli Δ 0, to wzó fukji kwdtowej moż dopowdzić do posti ilozyowej: f x x x x x ( ) ( )( ) Wzoy Viéte Jeżeli Δ 0 to x+ x x x 9. GEMETRI NLITYZN diek ługość odik o koń w pukt x, y x, y d jest wzoem: ( ), ( ) ( ) ( ) x x + y y y (, ) x y Współzęde śodk odik : x + x y + y, (, ) x y x 4

5 Wektoy Współzęde wekto : x x, y y Jeżeli u [ u, u] v v, v u+ v u + v, u + v [ ], [ ] [ ] Post Rówie ogóle postej: x + y + 0, gdzie są wektomi, zś jest lizą, to u u, u [ ] + 0 (tj. współzyiki, ie są ówoześie ówe 0). Jeżeli 0, to post jest ówoległ do osi x; jeżeli 0, to post jest ówoległ do osi y; jeżeli 0, to post pzeodzi pzez pozątek ukłdu współzędy. Jeżeli post ie jest ówoległ do osi y, to m o ówie kieukowe: y x+ Liz to współzyik kieukowy postej: tg Współzyik wyzz osi y pukt, w któym d post ją pzei. y y x+ x Rówie kieukowe postej o współzyiku kieukowym, któ pzeodzi pzez pukt P x, y : ( ) 0 0 ( ) y x x + y 0 0 Rówie postej, któ pzeodzi pzez dw de pukty ( x, y), ( x, y) ( y y )( x x ) ( y y )( x x ) 0 Post i pukt dległość puktu P ( x, y ) : 0 0 od postej o ówiu x + y + 0 jest d wzoem: x0 + y0 + + P posty wie poste o ówi kieukowy y x + y x + spełiją jede z stępująy wuków: są ówoległe, gdy są postopdłe, gdy twozą kąt osty ϕ i tgϕ + 5

6 wie poste o ówi ogóly: x+ y+ x + y są ówoległe, gdy 0 są postopdłe, gdy + 0 twozą kąt osty ϕ i tgϕ + Tójkąt Pole tójkąt o wiezołk ( x, y ), ( x, y ), ( x, y ), jest de wzoem: PΔ ( x x )( y y ) ( y y )( x x ) Śodek iężkośi tójkąt, zyli pukt pzeięi jego śodkowy, m współzęde: x+ x + x y+ y + y, 3 3 Pzeksztłei geometyze pzesuięie o wekto u [, ] pzeksztł pukt ( xy, ) pukt ( x+, y+ ) symeti względem osi x pzeksztł pukt ( xy, ) pukt ( x, y) symeti względem osi y pzeksztł pukt ( x, y) pukt ( x, y) symeti względem puktu (, ) pzeksztł pukt ( x, y) pukt ( x, y) jedokłdość o śodku w pukie ( 0,0 ) i skli s 0 pzeksztł pukt ( x, y) pukt ( sx, sy) Rówie okęgu Rówie okęgu o śodku w pukie S (, ) lu ( ) ( ) x + y x y x y gdy i pomieiu > 0 : + > 0 0. PLNIMETRI ey pzystwi tójkątów F E 6

7 To, że dw tójkąty i EF są pzystjąe ( Δ Δ EF ), możemy stwiedzić podstwie kżdej z stępująy e pzystwi tójkątów: e pzystwi ok ok ok : odpowidjąe soie oki ou tójkątów mją te sme długośi: E, F, EF e pzystwi ok kąt ok : dw oki jedego tójkąt są ówe odpowidjąym im okom dugiego tójkąt oz kąt zwty między tymi okmi jedego tójkąt m tką smą mię jk odpowidjąy mu kąt dugiego tójkąt, p. E, F, EF e pzystwi kąt ok kąt : jede ok jedego tójkąt m tę smą długość, o odpowidjąy mu ok dugiego tójkąt oz miy odpowidjąy soie kątów ou tójkątów, pzyległy do oku, są ówe, p. E, EF, EF ey podoieństw tójkątów F E To, że dw tójkąty i EF są podoe ( Δ ~ Δ EF ), możemy stwiedzić podstwie kżdej z stępująy e podoieństw tójkątów: e podoieństw ok ok ok : długośi oków jedego tójkąt są popojole do odpowiedi długośi oków dugiego tójkąt, p. E F EF e podoieństw ok kąt ok : długośi dwó oków jedego tójkąt są popojole do odpowiedi długośi dwó oków dugiego tójkąt i kąty między tymi pmi oków są pzystjąe, p., EF E F e podoieństw kąt kąt kąt : dw kąty jedego tójkąt są pzystjąe do odpowiedi dwó kątów dugiego tójkąt (wię też i tzeie kąty ou tójkątów są pzystjąe): EF, EF, FE 7

8 Pzyjmujemy ozzei w tójkąie : γ,, długośi oków, leżąy odpowiedio pzeiwko wiezołków,, p + + owód tójkąt, β, γ miy kątów pzy wiezołk,, β,, wysokośi opuszzoe z wiezołków,, R, pomieie okęgów opisego i wpisego Twiedzeie Pitgos (wz z twiedzeiem odwotym do iego) W tójkąie kąt γ jest posty wtedy i tylko wtedy, gdy +. Związki miowe w tójkąie postokątym Złóżmy, że kąt γ jest posty. Wówzs: γ si os β. β tg tgβ + R p Twiedzeie siusów R si si β siγ Wzoy pole tójkąt PΔ PΔ siγ siβ siγ PΔ R si siβ siγ si PΔ p p p p p 4R ( )( )( ) Twiedzeie osiusów + os + osβ + osγ Tójkąt ówoozy długość oku wysokość tójkąt 3 3 P Δ 4 8

9 Twiedzeie Tles Jeżeli poste ówoległe i pzeiją dwie poste, któe pzeiją się w pukie, to. Twiedzeie odwote do twiedzei Tles Jeżeli poste i pzeiją dwie poste, któe pzeiją się w pukie oz, to poste i są ówoległe. zwookąty E Tpez zwookąt, któy m o jmiej jedą pę oków ówoległy. Wzó pole tpezu: + P ϕ Rówoległook zwookąt, któy m dwie py oków ówoległy. Wzoy pole ówoległooku: P si siϕ Rom zwookąt, któy m dwie py oków ówoległy jedkowej długośi. Wzoy pole omu: P si eltoid zwookąt, któy m oś symetii, zwiejąą jedą z pzekąty. Wzó pole deltoidu: P 9

10 Koło Wzó pole koł o pomieiu : P π wód koł o pomieiu : π Wyiek koł Wzó pole wyik koł o pomieiu i kąie śodkowym wyżoym w stopi: P π 360 ługość łuku wyik koł o pomieiu i kąie śodkowym wyżoym w stopi: l π 360 Kąty w okęgu Mi kąt wpisego w okąg jest ów połowie miy kąt śodkowego, optego tym smym łuku. Miy kątów wpisy w okąg, opty tym smym łuku, są ówe. Twiedzeie o kąie między styzą i ięiwą y jest okąg o śodku w pukie i jego ięiw. Post jest styz do tego okęgu w pukie. Wtedy, pzy zym wyiemy te z kątów śodkowy, któy jest opty łuku zjdująym się wewątz kąt. 0

11 Twiedzeie o odik siezej i styzej e są: post pzeiją okąg w pukt i oz post styz do tego okęgu w pukie. Jeżeli poste te pzeiją się w pukie P, to P P P. P kąg opisy zwookąie γ β N zwookąie moż opisć okąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy mi jego pzeiwległy kątów wewętzy są ówe 80 : δ + γ β + δ 80 kąg wpisy w zwookąt d W zwookąt wypukły moż wpisć okąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długośi jego pzeiwległy oków są ówe: + + d

12 . STEREMETRI Twiedzeie o tze posty postopdły k P m l Post k pzeij płszzyzę w pukie P. Post l jest zutem postokątym postej k tę płszzyzę. Post m leży tej płszzyźie i pzeodzi pzez pukt P. Wówzs post m jest postopdł do postej k wtedy i tylko wtedy, gdy jest postopdł do postej l. zzei P pole powiezi łkowitej P pole powiezi podstwy p Postopdłośi P pole powiezi ozej V ojętość H G E F P ( + + ) V gdzie,, są długośimi kwędzi postopdłośiu Gistosłup posty F J E I G H P p V Pp gdzie p jest owodem podstwy gistosłup

13 stosłup S E V P 3 p gdzie jest wysokośią ostosłup Wle P π P π + ( ) V π gdzie jest pomieiem podstwy, wysokośią wl Stożek S l P π l P π + l ( ) V π 3 gdzie jest pomieiem podstwy, wysokośią, l długośią twoząej stożk Kul P 4π 4 3 V π 3 gdzie jest pomieiem kuli 3

14 . TRYGNMETRI efiije fukji tygoometyzy y M(x, y) M x Wykesy fukji tygoometyzy y si x os y tg, gdy x 0 x gdzie x + y > 0 jest pomieiem wodząym puktu M y si x y os x y tg x Związki między fukjmi tego smego kąt si + os si tg dl os π + kπ k łkowite Niektóe wtośi fukji tygoometyzy π π π π si 0 os tg ie istieje

15 Fukje sumy i óżiy kątów l dowoly kątów, β zodzą ówośi: ( ) ( ) ( ) ( ) si + β sios β + ossi β si β sios β ossi β os + β osos β sisi β os β osos β + sisi β Podto mmy ówośi: tg( ) tg + tgβ tg( ) tg + β β tgβ tg tgβ + tg tgβ któe zodzą zwsze, gdy są okeśloe i miowik pwej stoy ie jest zeem. Fukje podwojoego kąt si sios os os si os si 3. KMINTRYK Wije z powtózeimi Liz sposoów, któe z óży elemetów moż utwozyć iąg, skłdjąy się z k iekoiezie óży wyzów, jest ów k. Wije ez powtózeń Liz sposoów, któe z óży elemetów moż utwozyć iąg, skłdjąy się z k ( k ) óży wyzów, jest ów Pemutje ( )... ( ) k+! ( k) Liz sposoów, któe óży elemetów moż ustwić w iąg, jest ów!. Komije Liz sposoów, któe spośód óży elemetów moż wyć k ( 0 k ) elemetów, jest ów k.! 4. RHUNEK PRWPIEŃSTW Włsośi pwdopodoieństw ( ) P ( Ω ) 0 P dl kżdego zdzei Ω Ω zdzeie pewe P ( ) 0 zdzeie iemożliwe (pusty podzió Ω ) P( ) P( ) gdy Ω P( ) P( ), gdzie ozz zdzeie pzeiwe do zdzei P( ) P( ) + P( ) P( ), dl dowoly zdzeń Ω, P( ) P( ) + P( ), dl dowoly zdzeń Ω, 5

16 Twiedzeie: Klsyz defiij pwdopodoieństw Nie Ω ędzie skońzoym zioem wszystki zdzeń elemety. Jeżeli wszystkie zdzei jedoelemetowe są jedkowo pwdopodoe, to pwdopodoieństwo zdzei Ω jest ówe P( ) Ω gdzie ozz lizę elemetów ziou, zś Ω lizę elemetów ziou Ω. 5. PRMETRY NYH STTYSTYZNYH Śedi ytmetyz Śedi ytmetyz liz,,..., jest ów: Śedi wżo Śedi wżo liz,,...,, któym pzypiso odpowiedio dodtie wgi w, w,..., w jest ów: w + w w w + w w Śedi geometyz Śedi geometyz ieujemy liz,,..., jest ów: Medi... Medią upoządkowego w kolejośi iemlejąej ziou dy lizowy jest: 3... dl iepzysty: + (śodkowy wyz iągu) dl pzysty: + (śedi ytmetyz śodkowy wyzów iągu) + Wij i odyleie stddowe Wiją dy lizowy,,..., o śediej ytmetyzej jest liz: ( ) ( ) ( ) ( ) σ dyleie stddowe σ jest piewistkiem kwdtowym z wiji. 6